ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์และดอททำให้ง่ายต่อการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ ให้เวกเตอร์ $\overline(a)$ และ $\overline(b)$ สองตัว มุมเชิงระหว่างทั้งสองมีค่าเท่ากับ $\varphi$ มาคำนวณค่า \$x = (\overline(a),\overline(b))$ และ $y = [\overline(a),\overline(b)]$ จากนั้น $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$ โดยที่ $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$ และ $\varphi$ เป็นที่ต้องการ มุม นั่นคือ จุด $(x, y)$ มีมุมขั้วเท่ากับ $\varphi$ ดังนั้น $\varphi$ จึงสามารถหาได้เป็น atan2(y, x)
พื้นที่สามเหลี่ยม
เนื่องจากผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ประกอบด้วยผลคูณของความยาวเวกเตอร์สองตัวและโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จึงสามารถคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC ได้:
$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.
จุดที่เป็นของเส้น
ให้จุด $P$ และเส้น $AB$ (ให้สองจุด $A$ และ $B$) จำเป็นต้องตรวจสอบว่าจุดนั้นอยู่ในเส้น $AB$ หรือไม่
จุดอยู่ในเส้น $AB$ ถ้าเวกเตอร์ $AP$ และ $AB$ เป็น collinear นั่นคือถ้า $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $
เป็นจุดของรังสี
ให้จุด $P$ และรังสี $AB$ (ให้สองจุด - จุดเริ่มต้นของรังสี $A$ และจุดบนรังสี $B$) จำเป็นต้องตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นของรังสี $AB$ หรือไม่
ต้องเพิ่มเงื่อนไขเพิ่มเติมในเงื่อนไขที่จุด $P$ อยู่ในบรรทัด $AB$ - เวกเตอร์ $AP$ และ $AB$ เป็นทิศทางร่วม กล่าวคือ เป็นเส้นตรงและผลคูณของสเกลาร์ไม่เป็นลบ นั่นคือ $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge $0.
จุดที่เป็นของเซ็กเมนต์
ให้จุด $P$ และส่วน $AB$ จำเป็นต้องตรวจสอบว่าจุดนั้นอยู่ในกลุ่ม $AB$ หรือไม่
ในกรณีนี้ จุดจะต้องเป็นของทั้ง ray $AB$ และ ray $BA$ ดังนั้นต้องตรวจสอบเงื่อนไขต่อไปนี้:
$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,
$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,
$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.
ระยะทางจากจุดถึงเส้น
ให้จุด $P$ และเส้น $AB$ (ให้สองจุด $A$ และ $B$) จำเป็นต้องหาระยะทางจากจุดของเส้นตรง $AB$
พิจารณาสามเหลี่ยม ABP ในอีกด้านหนึ่ง พื้นที่ของมันคือ $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$
ในทางกลับกัน พื้นที่ของมันคือ $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$ โดยที่ $h$ คือความสูงจาก $P$ นั่นคือระยะทางจาก $P$ ถึง $ AB $. เหตุใด $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.
ระยะทางจากจุดไปยังลำแสง
ให้จุด $P$ และรังสี $AB$ (ให้สองจุด - จุดเริ่มต้นของรังสี $A$ และจุดบนรังสี $B$) จำเป็นต้องหาระยะทางจากจุดหนึ่งถึงรังสี นั่นคือ ความยาวของส่วนที่สั้นที่สุดจากจุด $P$ ไปยังจุดใดๆ ของรังสี
ระยะทางนี้เท่ากับความยาว $AP$ หรือระยะทางจากจุด $P$ ถึงเส้น $AB$ กรณีใดเกิดขึ้นได้โดยง่ายโดยตำแหน่งสัมพัทธ์ของลำแสงและจุด หากมุม PAB เป็นมุมแหลม เช่น $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$ คำตอบคือระยะทางจากจุด $P$ ถึงเส้น $AB$ ไม่เช่นนั้น คำตอบคือความยาว ของกลุ่ม $AB$
ระยะทางจากจุดถึงเส้น
ให้จุด $P$ และส่วน $AB$ จำเป็นต้องหาระยะทางจาก $P$ ถึงเซกเมนต์ $AB$
หากฐานของเส้นตั้งฉากหลุดจาก $P$ ไปยังเส้นที่ $AB$ ตกอยู่ที่ส่วน $AB$ ซึ่งตรวจสอบได้ตามเงื่อนไข
$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,
$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,
คำตอบคือระยะทางจากจุด $P$ ถึงเส้น $AB$ มิฉะนั้น ระยะทางจะเท่ากับ $\min(AP, BP)$
ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เวกเตอร์
เรายังคงจัดการกับเวกเตอร์ต่อไป ในบทเรียนแรก เวกเตอร์สำหรับหุ่นเราได้พิจารณาแนวคิดของเวกเตอร์ การกระทำกับเวกเตอร์ พิกัดเวกเตอร์ และปัญหาที่ง่ายที่สุดของเวกเตอร์ หากคุณมาที่หน้านี้เป็นครั้งแรกจากเสิร์ชเอ็นจิ้น ฉันขอแนะนำให้อ่านบทความแนะนำด้านบนนี้มาก เพราะเพื่อที่จะซึมซับเนื้อหา คุณจะต้องได้รับคำแนะนำในข้อกำหนดและสัญกรณ์ที่ฉันใช้ มีความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์ และสามารถแก้ปัญหาเบื้องต้นได้ บทเรียนนี้เป็นความต่อเนื่องทางตรรกะของหัวข้อ และฉันจะวิเคราะห์รายละเอียดงานทั่วไปที่ใช้ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ นี่เป็นงานที่สำคัญมาก. พยายามอย่าข้ามตัวอย่าง สิ่งเหล่านี้มาพร้อมกับโบนัสที่มีประโยชน์ - แบบฝึกหัดนี้จะช่วยให้คุณรวบรวมเนื้อหาที่ครอบคลุมและ "ลงมือทำ" ในการแก้ปัญหาทั่วไปของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์
การบวกเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข…. มันคงไร้เดียงสาที่จะคิดว่านักคณิตศาสตร์ไม่ได้คิดอย่างอื่น นอกจากการดำเนินการที่พิจารณาแล้ว ยังมีการดำเนินการอื่นๆ อีกจำนวนหนึ่งที่มีเวกเตอร์ กล่าวคือ: ผลคูณดอทของเวกเตอร์, ผลคูณของเวกเตอร์และ ผลคูณของเวกเตอร์. ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เป็นที่คุ้นเคยสำหรับเราตั้งแต่โรงเรียน อีกสองผลิตภัณฑ์เกี่ยวข้องกับหลักสูตรคณิตศาสตร์ชั้นสูง หัวข้อนั้นง่าย อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาต่าง ๆ เป็นแบบตายตัวและเข้าใจได้ สิ่งเดียวเท่านั้น มีข้อมูลจำนวนพอสมควร ดังนั้นจึงไม่พึงปรารถนาที่จะพยายามเชี่ยวชาญและแก้ปัญหาทุกอย่างในครั้งเดียว นี่เป็นเรื่องจริงโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับหุ่นเชื่อฉันผู้เขียนไม่ต้องการรู้สึกเหมือน Chikatilo จากคณิตศาสตร์อย่างแน่นอน แน่นอนว่าไม่ใช่จากคณิตศาสตร์เช่นกัน =) นักเรียนที่เตรียมพร้อมมากขึ้นสามารถใช้วัสดุในการคัดเลือกในแง่หนึ่งเพื่อ "รับ" ความรู้ที่ขาดหายไปสำหรับคุณฉันจะเป็น Count Dracula ที่ไม่เป็นอันตราย =)
สุดท้ายนี้ มาเปิดประตูกันสักหน่อยแล้วมาดูกันว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเวกเตอร์สองตัวมาเจอกัน….
คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์
คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ งานทั่วไป
แนวคิดของผลิตภัณฑ์ดอท
ครั้งแรกเกี่ยวกับ มุมระหว่างเวกเตอร์. ฉันคิดว่าทุกคนเข้าใจโดยสัญชาตญาณว่ามุมระหว่างเวกเตอร์คืออะไร แต่เผื่อไว้ มากกว่านี้หน่อย พิจารณาเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์อิสระและ . หากเราเลื่อนเวกเตอร์เหล่านี้ออกจากจุดที่กำหนด เราก็จะได้ภาพที่หลายคนนำเสนอทางจิตใจแล้ว: 
ฉันขอสารภาพว่าที่นี่ฉันอธิบายสถานการณ์ในระดับความเข้าใจเท่านั้น หากคุณต้องการคำจำกัดความที่เข้มงวดของมุมระหว่างเวกเตอร์ โปรดอ้างอิงจากตำราเรียน แต่โดยหลักการแล้ว เราไม่จำเป็นต้องใช้ และยิ่งไปกว่านั้น บางครั้งฉันจะเพิกเฉยเวกเตอร์ศูนย์เนื่องจากค่านัยสำคัญในทางปฏิบัติต่ำของพวกมัน ฉันได้จองไว้เฉพาะสำหรับผู้เยี่ยมชมไซต์ขั้นสูง ซึ่งสามารถตำหนิฉันสำหรับความไม่สมบูรณ์ทางทฤษฎีของข้อความต่อไปนี้บางส่วน
สามารถรับค่าได้ตั้งแต่ 0 ถึง 180 องศา (จาก 0 ถึงเรเดียน) รวม ในเชิงวิเคราะห์ ข้อเท็จจริงนี้เขียนเป็นอสมการคู่:
หรือ 
(เป็นเรเดียน). ในวรรณคดี ไอคอนมุมมักถูกละเว้นและเขียนง่ายๆ
คำนิยาม:ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวคือ NUMBER เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน: 
ตอนนี้เป็นคำจำกัดความที่ค่อนข้างเข้มงวด
เราเน้นที่ข้อมูลที่จำเป็น:
การกำหนด:ผลิตภัณฑ์สเกลาร์แสดงด้วยหรือง่ายๆ
ผลลัพธ์ของการดำเนินการคือ NUMBER: คูณเวกเตอร์ด้วยเวกเตอร์เพื่อให้ได้ตัวเลข แท้จริงแล้ว ถ้าความยาวของเวกเตอร์เป็นตัวเลข โคไซน์ของมุมจะเป็นตัวเลข แล้วผลคูณของพวกมัน 
จะเป็นตัวเลขด้วย
เพียงไม่กี่ตัวอย่างการอุ่นเครื่อง:
ตัวอย่าง 1
วิธีการแก้:เราใช้สูตร 
. ในกรณีนี้:
ตอบ:
ค่าโคไซน์สามารถพบได้ใน ตารางตรีโกณมิติ. ฉันแนะนำให้พิมพ์ - จะต้องใช้ในเกือบทุกส่วนของหอคอยและจะต้องหลายครั้ง
จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ผลคูณของสเกลาร์นั้นไร้มิติ นั่นคือ ผลลัพธ์ ในกรณีนี้ เป็นเพียงตัวเลข และก็เท่านั้น จากมุมมองของปัญหาทางฟิสิกส์ผลคูณของสเกลาร์มักมีความหมายทางกายภาพเสมอนั่นคือหลังจากผลลัพธ์จะต้องระบุหน่วยทางกายภาพหนึ่งหน่วยหรืออีกหน่วยหนึ่ง ตัวอย่าง Canonical ของการคำนวณงานของแรงสามารถพบได้ในตำราเรียน (สูตรคือดอทโปรดัค) งานของแรงวัดเป็นจูล ดังนั้น คำตอบจะถูกเขียนค่อนข้างเฉพาะเจาะจง เช่น
ตัวอย่าง 2
ค้นหาว่า 
และมุมระหว่างเวกเตอร์คือ
นี่คือตัวอย่างการตัดสินใจ คำตอบอยู่ท้ายบทเรียน
มุมระหว่างเวกเตอร์และค่าดอทผลิตภัณฑ์
ในตัวอย่างที่ 1 ผลคูณสเกลาร์กลายเป็นบวก และในตัวอย่างที่ 2 มันกลับกลายเป็นลบ ให้เราหาว่าเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ขึ้นอยู่กับอะไร ลองดูสูตรของเรา: 
. ความยาวของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์จะเป็นค่าบวกเสมอ ดังนั้นเครื่องหมายจึงขึ้นอยู่กับค่าของโคไซน์เท่านั้น
บันทึก: เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นของข้อมูลด้านล่าง จะดีกว่าที่จะศึกษากราฟโคไซน์ในคู่มือ กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชัน. ดูว่าโคไซน์ทำงานอย่างไรบนเซ็กเมนต์
ดังที่ระบุไว้แล้ว มุมระหว่างเวกเตอร์สามารถเปลี่ยนแปลงได้ภายใน 
และกรณีต่อไปนี้เป็นไปได้:
1) ถ้า มุมระหว่างเวกเตอร์ เผ็ด: 
(จาก 0 ถึง 90 องศา) จากนั้น 
, และ สินค้าดอทจะเป็นบวก ร่วมกำกับจากนั้นมุมระหว่างทั้งสองจะถือเป็นศูนย์และผลิตภัณฑ์สเกลาร์จะเป็นบวกด้วย เนื่องจาก สูตรจึงถูกทำให้ง่ายขึ้น: .
2) ถ้า มุมระหว่างเวกเตอร์ โง่: 
(จาก 90 ถึง 180 องศา) จากนั้น 
และในทำนองเดียวกัน dot product เป็นค่าลบ: . กรณีพิเศษ: ถ้าเวกเตอร์ มุ่งตรงข้าม, จากนั้นจึงพิจารณามุมระหว่างกัน ปรับใช้: (180 องศา). ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ก็เป็นค่าลบเช่นกัน เนื่องจาก
ข้อความสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน:
1) ถ้า , แล้วมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้เป็นแบบเฉียบพลัน อีกทางหนึ่ง เวกเตอร์เป็นทิศทางร่วม
2) ถ้า ดังนั้นมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้จะเป็นมุมป้าน อีกทางหนึ่ง เวกเตอร์ถูกกำกับอย่างตรงกันข้าม
แต่กรณีที่สามมีความสนใจเป็นพิเศษ:
3) ถ้า มุมระหว่างเวกเตอร์ ตรง: (90 องศา) จากนั้นและ ผลิตภัณฑ์ดอทเป็นศูนย์: . การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน if , then . คำสั่งกระชับมีสูตรดังนี้: ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ที่กำหนดนั้นเป็นมุมฉาก. สัญกรณ์คณิตศาสตร์สั้น: 
! บันทึก
: ทำซ้ำ พื้นฐานของตรรกะทางคณิตศาสตร์: ไอคอนผลเชิงตรรกะสองด้านมักจะอ่านว่า "ถ้าเท่านั้น", "ถ้าและเฉพาะถ้า" อย่างที่คุณเห็น ลูกศรถูกชี้ไปทั้งสองทิศทาง - "จากสิ่งนี้ตามนี้ และในทางกลับกัน - จากสิ่งนี้ตามนี้" ยังไงซะ ความแตกต่างจากไอคอนติดตามทางเดียว ? การอ้างสิทธิ์ไอคอน ว่ามีเพียงว่า "จากสิ่งนี้ตามนี้" และไม่ใช่ความจริงที่ว่าสิ่งที่ตรงกันข้ามเป็นจริง ตัวอย่างเช่น: แต่ไม่ใช่ว่าสัตว์ทุกตัวจะเป็นเสือดำ ในกรณีนี้จึงไม่สามารถใช้ไอคอนได้ ในเวลาเดียวกัน แทนที่จะเป็นไอคอน สามารถใช้ไอคอนด้านเดียว ตัวอย่างเช่น ขณะแก้ปัญหา เราพบว่าเราสรุปได้ว่าเวกเตอร์เป็นมุมฉาก: 
- บันทึกดังกล่าวจะถูกต้องและเหมาะสมกว่า 
.
กรณีที่สามมีความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างมากเนื่องจากจะช่วยให้คุณตรวจสอบว่าเวกเตอร์เป็นมุมฉากหรือไม่ เราจะแก้ปัญหานี้ในส่วนที่สองของบทเรียน
คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ดอท
กลับไปที่สถานการณ์เมื่อเวกเตอร์สองตัว ร่วมกำกับ. ในกรณีนี้ มุมระหว่างพวกมันคือศูนย์ และสูตรผลคูณสเกลาร์จะอยู่ในรูปแบบ:
จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเวกเตอร์คูณด้วยตัวมันเอง? เป็นที่ชัดเจนว่าเวกเตอร์มีทิศทางร่วมกับตัวมันเอง ดังนั้นเราจึงใช้สูตรแบบง่ายข้างต้น:
เบอร์นี้เรียกว่า สเกลาร์สแควร์ vector และแสดงเป็น .
ทางนี้, สเกลาร์สแควร์ของเวกเตอร์เท่ากับกำลังสองของความยาวของเวกเตอร์ที่กำหนด:
จากความเท่าเทียมกันนี้ คุณจะได้สูตรการคำนวณความยาวของเวกเตอร์:
แม้ว่าจะดูคลุมเครือ แต่งานของบทเรียนจะทำให้ทุกอย่างเข้าที่ เพื่อแก้ปัญหา เราต้อง คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ดอท.
สำหรับเวกเตอร์ที่กำหนดเองและจำนวนใดๆ คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริง:
1) - พลัดถิ่นหรือ สับเปลี่ยนกฎหมายผลิตภัณฑ์สเกลาร์
2) 
- จำหน่ายหรือ แจกจ่ายกฎหมายผลิตภัณฑ์สเกลาร์ พูดง่ายๆ ก็คือ คุณสามารถเปิดวงเล็บได้
3) 
- การรวมกันหรือ สมาคมกฎหมายผลิตภัณฑ์สเกลาร์ ค่าคงที่สามารถนำออกจากผลคูณสเกลาร์ได้
บ่อยครั้งที่คุณสมบัติทุกประเภท (ซึ่งจำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์ด้วย!) นักเรียนจะมองว่าเป็นขยะที่ไม่จำเป็น ซึ่งจะต้องจดจำและลืมอย่างปลอดภัยทันทีหลังการสอบ ดูเหมือนว่าสิ่งที่สำคัญที่นี่ทุกคนรู้ตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 แล้วว่าผลิตภัณฑ์ไม่เปลี่ยนแปลงจากการเรียงสับเปลี่ยนของปัจจัย: ฉันต้องเตือนคุณในวิชาคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นด้วยวิธีการดังกล่าว มันง่ายที่จะทำสิ่งต่าง ๆ ให้ยุ่งเหยิง ตัวอย่างเช่น สมบัติการสับเปลี่ยนใช้ไม่ได้กับ เมทริกซ์พีชคณิต. ไม่จริงสำหรับ ผลคูณของเวกเตอร์. ดังนั้น อย่างน้อยก็ดีกว่าที่จะเจาะลึกคุณสมบัติใด ๆ ที่คุณจะพบในวิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูงเพื่อทำความเข้าใจสิ่งที่สามารถทำได้และไม่สามารถทำได้
ตัวอย่างที่ 3
.
วิธีการแก้:อันดับแรก เรามาอธิบายสถานการณ์ด้วยเวกเตอร์กันก่อน มันเกี่ยวกับอะไร? ผลรวมของเวกเตอร์และเป็นเวกเตอร์ที่กำหนดไว้อย่างดี ซึ่งเขียนแทนด้วย . การตีความทางเรขาคณิตของการกระทำด้วยเวกเตอร์สามารถพบได้ในบทความ เวกเตอร์สำหรับหุ่น. ผักชีฝรั่งเดียวกันกับเวกเตอร์คือผลรวมของเวกเตอร์ และ
ดังนั้นตามเงื่อนไข จะต้องค้นหาผลคูณของสเกลาร์ ตามทฤษฎีคุณต้องใช้สูตรการทำงาน 
แต่ปัญหาคือเราไม่รู้ความยาวของเวกเตอร์และมุมระหว่างพวกมัน แต่ในเงื่อนไขนั้น พารามิเตอร์ที่คล้ายกันจะได้รับสำหรับเวกเตอร์ ดังนั้นเราจะไปทางอื่น:
(1) เราแทนนิพจน์ของเวกเตอร์
(2) เราเปิดวงเล็บตามกฎของการคูณของพหุนาม, twister ลิ้นหยาบคายสามารถพบได้ในบทความ ตัวเลขที่ซับซ้อนหรือ การรวมฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ. ฉันจะไม่พูดซ้ำ =) อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติการกระจายของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ช่วยให้เราเปิดวงเล็บได้ เรามีสิทธิ
(3) ในเทอมแรกและเทอมสุดท้าย เราเขียนกำลังสองสเกลาร์ของเวกเตอร์อย่างกระชับ: 
. ในระยะที่สอง เราใช้การสับเปลี่ยนได้ของผลิตภัณฑ์สเกลาร์:
(4) ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน: .
(5) ในเทอมแรก เราใช้สูตรสเกลาร์สแควร์ที่กล่าวถึงเมื่อไม่นานนี้ ในระยะสุดท้าย ตามลำดับ สิ่งเดียวกันใช้: . เทอมที่สองขยายตามสูตรมาตรฐาน 
.
(6) แทนที่เงื่อนไขเหล่านี้ 
และดำเนินการคำนวณขั้นสุดท้ายอย่างระมัดระวัง
ตอบ:
ค่าลบของผลิตภัณฑ์ดอทระบุความจริงที่ว่ามุมระหว่างเวกเตอร์นั้นมีลักษณะป้าน
งานเป็นเรื่องปกติ นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:
ตัวอย่างที่ 4
หาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ และ , ถ้าทราบว่า 
.
งานทั่วไปอีกงานหนึ่ง สำหรับสูตรความยาวเวกเตอร์ใหม่เท่านั้น การกำหนดที่นี่จะทับซ้อนกันเล็กน้อย ดังนั้นเพื่อความชัดเจน ฉันจะเขียนมันใหม่ด้วยตัวอักษรอื่น:
ตัวอย่างที่ 5
หาความยาวของเวกเตอร์ if 
.
วิธีการแก้จะเป็นดังนี้:
(1) เราจัดหานิพจน์เวกเตอร์
(2) เราใช้สูตรความยาว: ในขณะที่เรามีนิพจน์จำนวนเต็มเป็นเวกเตอร์ "ve"
(3) เราใช้สูตรโรงเรียนสำหรับกำลังสองของผลรวม ให้ความสนใจว่ามันทำงานอย่างไรที่นี่: - อันที่จริง นี่คือกำลังสองของความแตกต่าง และที่จริง มันก็เป็นอย่างนั้น ผู้ที่ต้องการสามารถจัดเรียงเวกเตอร์ในสถานที่: - มันกลับกลายเป็นสิ่งเดียวกันจนถึงการจัดเรียงเงื่อนไขใหม่
(4) สิ่งต่อไปนี้คุ้นเคยจากปัญหาสองข้อก่อนหน้านี้แล้ว
ตอบ: 
เนื่องจากเรากำลังพูดถึงความยาว อย่าลืมระบุขนาด - "หน่วย"
ตัวอย่างที่ 6
หาความยาวของเวกเตอร์ if 
.
นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง คำตอบที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน
เรายังคงบีบสิ่งที่มีประโยชน์ออกจากผลิตภัณฑ์สเกลาร์ มาดูสูตรของเรากันอีกครั้ง 
. ตามกฎของสัดส่วน เรารีเซ็ตความยาวของเวกเตอร์เป็นตัวส่วนทางด้านซ้าย: 
มาสลับชิ้นส่วนกัน: 
ความหมายของสูตรนี้คืออะไร? ถ้าทราบความยาวของเวกเตอร์สองตัวและผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของพวกมันแล้ว โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้สามารถคำนวณได้ และด้วยเหตุนี้ ตัวของมุมเอง
ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เป็นตัวเลขหรือไม่? ตัวเลข. ความยาวเวกเตอร์เป็นตัวเลขหรือไม่ ตัวเลข เศษส่วนก็เป็นตัวเลขเช่นกัน และถ้าทราบโคไซน์ของมุม: 
เมื่อใช้ฟังก์ชันผกผัน จะหามุมได้ง่าย: 
.
ตัวอย่าง 7
หามุมระหว่างเวกเตอร์ และ ถ้ารู้ว่า
วิธีการแก้:เราใช้สูตร:
ในขั้นตอนสุดท้ายของการคำนวณ เราใช้ เทคนิค– การขจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน เพื่อขจัดความไร้เหตุผล ฉันคูณทั้งตัวเศษและส่วนด้วย .
ดังนั้นถ้า 
, แล้ว: 
สามารถหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันได้โดย ตารางตรีโกณมิติ. แม้ว่าสิ่งนี้จะไม่ค่อยเกิดขึ้น ในปัญหาของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ หมีเงอะงะบางตัวปรากฏขึ้นบ่อยกว่ามาก และต้องหาค่าของมุมโดยประมาณโดยใช้เครื่องคิดเลข อันที่จริง เราจะเห็นภาพนี้ซ้ำแล้วซ้ำเล่า
ตอบ:
อย่าลืมระบุมิติข้อมูล - เรเดียนและองศาอีกครั้ง โดยส่วนตัวแล้ว ในการจงใจ "ลบคำถามทั้งหมด" ฉันต้องการระบุทั้งสองอย่าง (เว้นแต่ตามเงื่อนไข จำเป็นต้องนำเสนอคำตอบเป็นเรเดียนหรือหน่วยองศาเท่านั้น)
ตอนนี้คุณจะสามารถรับมือกับงานที่ยากขึ้นได้ด้วยตัวเอง:
ตัวอย่างที่ 7*
กำหนดความยาวของเวกเตอร์ และมุมระหว่างพวกมัน หามุมระหว่างเวกเตอร์ , .
งานไม่ยากเท่าหลายทาง
มาวิเคราะห์อัลกอริทึมของโซลูชันกัน:
1) ตามเงื่อนไข ต้องหามุมระหว่างเวกเตอร์ กับ จึงต้องหาสูตร 
.
2) เราพบผลิตภัณฑ์สเกลาร์ (ดูตัวอย่างที่ 3, 4)
3) ค้นหาความยาวของเวกเตอร์และความยาวของเวกเตอร์ (ดูตัวอย่างที่ 5, 6)
4) จุดสิ้นสุดของการแก้ปัญหาเกิดขึ้นพร้อมกับตัวอย่างที่ 7 - เรารู้ตัวเลข ซึ่งหมายความว่าหามุมได้ง่าย: 
วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน
ส่วนที่สองของบทเรียนนี้เน้นไปที่ผลคูณดอทเดียวกัน พิกัด. มันจะง่ายกว่าในส่วนแรก
ผลคูณดอทของเวกเตอร์
กำหนดโดยพิกัดตามลำดับปกติ
ตอบ:
จำเป็นต้องพูดการจัดการพิกัดนั้นน่าพอใจกว่ามาก
ตัวอย่างที่ 14
หาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์และ if
นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง ที่นี่คุณสามารถใช้การเชื่อมโยงของการดำเนินการนั่นคือไม่นับ แต่นำสเกลาร์สามตัวออกจากผลิตภัณฑ์สเกลาร์ทันทีแล้วคูณด้วยสุดท้าย คำตอบและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน
ที่ส่วนท้ายของย่อหน้า ตัวอย่างที่ยั่วยุของการคำนวณความยาวของเวกเตอร์:
ตัวอย่างที่ 15
หาความยาวของเวกเตอร์ 
, ถ้า
วิธีการแก้:วิธีการของส่วนก่อนหน้านี้แนะนำตัวเองอีกครั้ง: แต่มีวิธีอื่น:
มาหาเวกเตอร์กัน:
และความยาวตามสูตรเล็กน้อย 
:
ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ไม่เกี่ยวข้องเลย!
การคำนวณความยาวของเวกเตอร์เป็นอย่างไร
หยุด. ทำไมไม่ใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติความยาวที่ชัดเจนของเวกเตอร์ล่ะ? สิ่งที่สามารถพูดเกี่ยวกับความยาวของเวกเตอร์? เวกเตอร์นี้ยาวกว่าเวกเตอร์ 5 เท่า ทิศทางตรงกันข้ามแต่ไม่สำคัญเพราะเรากำลังพูดถึงความยาว แน่นอน ความยาวของเวกเตอร์เท่ากับผลคูณ โมดูลตัวเลขต่อความยาวเวกเตอร์:
- เครื่องหมายของโมดูล "กิน" ค่าลบที่เป็นไปได้ของตัวเลข
ทางนี้:
ตอบ:
สูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพิกัด
ตอนนี้เรามีข้อมูลที่ครบถ้วนแล้วเพื่อแสดงสูตรที่ได้รับก่อนหน้านี้สำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ในแง่ของพิกัดของเวกเตอร์:
โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ระนาบและ , กำหนดแบบ orthonormal , แสดงโดยสูตร:
.
โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์อวกาศ, กำหนดแบบออร์โธปกติ , แสดงโดยสูตร: 
ตัวอย่างที่ 16
ให้จุดยอดสามจุดของสามเหลี่ยม หา (มุมยอด ).
วิธีการแก้:ตามเงื่อนไขไม่จำเป็นต้องวาดรูป แต่ยังคง: 
มุมที่ต้องการจะถูกทำเครื่องหมายด้วยส่วนโค้งสีเขียว เราจำการกำหนดมุมของโรงเรียนได้ทันที: - ให้ความสนใจเป็นพิเศษกับ กลางจดหมาย - นี่คือจุดยอดของมุมที่เราต้องการ เพื่อความกระชับ สามารถเขียนแบบง่ายๆ ได้เช่นกัน
จากรูปวาด จะเห็นได้ชัดว่ามุมของสามเหลี่ยมตรงกับมุมระหว่างเวกเตอร์ และ กล่าวอีกนัยหนึ่ง: 
.
เป็นที่พึงปรารถนาที่จะเรียนรู้วิธีการทำการวิเคราะห์ทางจิตใจ
มาหาเวกเตอร์กัน: 
ลองคำนวณผลคูณสเกลาร์:
และความยาวของเวกเตอร์: 
โคไซน์ของมุม:
เป็นลำดับของงานที่ฉันแนะนำให้กับหุ่น ผู้อ่านขั้นสูงสามารถเขียนการคำนวณ "ในหนึ่งบรรทัด": 
นี่คือตัวอย่างค่าโคไซน์ที่ "ไม่ดี" ค่าผลลัพธ์ไม่ใช่ค่าสุดท้าย ดังนั้นจึงไม่มีประเด็นมากในการกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน
มาหามุมกัน:
หากคุณดูภาพวาดผลลัพธ์จะค่อนข้างน่าเชื่อถือ ในการตรวจสอบมุมยังสามารถวัดด้วยไม้โปรแทรกเตอร์ อย่าทำให้การเคลือบจอภาพเสียหาย =)
ตอบ: 
ในคำตอบอย่าลืมว่า ถามถึงมุมของสามเหลี่ยม(และไม่เกี่ยวกับมุมระหว่างเวกเตอร์) อย่าลืมระบุคำตอบที่แน่นอน: และค่าโดยประมาณของมุม: 
พบกับเครื่องคิดเลข
ผู้ที่สนุกกับกระบวนการนี้สามารถคำนวณมุม และทำให้แน่ใจว่าความเท่าเทียมกันตามรูปแบบบัญญัติเป็นจริง
ตัวอย่าง 17
สามเหลี่ยมถูกกำหนดในอวกาศโดยพิกัดของจุดยอดของมัน หามุมระหว่างด้านกับ
นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง คำตอบที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน
ส่วนสุดท้ายขนาดเล็กจะทุ่มเทให้กับการคาดการณ์ซึ่งผลิตภัณฑ์สเกลาร์ก็ "เกี่ยวข้อง" ด้วย:
การฉายภาพเวกเตอร์ลงบนเวกเตอร์ การฉายภาพเวกเตอร์บนแกนพิกัด
โคไซน์ทิศทางเวกเตอร์
พิจารณาเวกเตอร์และ: 
เราฉายเวกเตอร์ลงบนเวกเตอร์ สำหรับสิ่งนี้เราละเว้นจากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ตั้งฉากต่อเวกเตอร์ (เส้นประสีเขียว) ลองนึกภาพว่ารังสีของแสงตกลงมาในแนวตั้งฉากกับเวกเตอร์ จากนั้นส่วน (เส้นสีแดง) จะเป็น "เงา" ของเวกเตอร์ ในกรณีนี้ การฉายภาพของเวกเตอร์บนเวกเตอร์คือ LENGTH ของเซ็กเมนต์ นั่นคือ PROJECTION IS A NUMBER
NUMBER นี้ถูกทำเครื่องหมาย ด้วยวิธีต่อไปนี้: , "เวกเตอร์ขนาดใหญ่" หมายถึงเวกเตอร์ ซึ่งโครงการ "เวกเตอร์ตัวห้อยขนาดเล็ก" หมายถึงเวกเตอร์ บนซึ่งเป็นที่คาดการณ์
ข้อความนั้นอ่านได้ดังนี้: "การฉายภาพของเวกเตอร์ "a" ไปยังเวกเตอร์ "เป็น"
จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเวกเตอร์ "be" "สั้นเกินไป" เราวาดเส้นตรงที่มีเวกเตอร์ "เป็น" และเวกเตอร์ "a" จะถูกฉายออกมาแล้ว ไปยังทิศทางของเวกเตอร์ "เป็น"ง่ายๆ - บนเส้นตรงที่มีเวกเตอร์ "be" สิ่งเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นหากเวกเตอร์ "a" ถูกจัดวางไว้ในอาณาจักรที่ 30 - จะยังคงฉายภาพได้อย่างง่ายดายบนเส้นที่มีเวกเตอร์ "be"
ถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์ เผ็ด(ตามภาพ) แล้ว
ถ้าเวกเตอร์ มุมฉากจากนั้น (การฉายภาพคือจุดที่ถือว่ามิติข้อมูลเป็นศูนย์)
ถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์ โง่(ในรูป จัดเรียงลูกศรของเวกเตอร์ทางจิตใจ) จากนั้น (ความยาวเท่ากัน แต่ถ่ายด้วยเครื่องหมายลบ)
กันเวกเตอร์เหล่านี้จากจุดหนึ่ง: 
แน่นอน เมื่อเคลื่อนที่เวกเตอร์ การฉายภาพจะไม่เปลี่ยนแปลง
บรรยาย: พิกัดเวกเตอร์; ผลคูณดอทของเวกเตอร์ มุมระหว่างเวกเตอร์
พิกัดเวกเตอร์
ดังที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ เวกเตอร์เป็นส่วนกำกับที่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของตัวเอง หากบางจุดแสดงจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด แสดงว่ามีพิกัดของตัวเองบนเครื่องบินหรือในอวกาศ
หากแต่ละจุดมีพิกัดของตัวเอง เราก็จะได้พิกัดของเวกเตอร์ทั้งหมด
สมมติว่าเรามีเวกเตอร์ที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์มีการกำหนดและพิกัดต่อไปนี้: A(A x ; Ay) และ B(B x ; By)
ในการรับพิกัดของเวกเตอร์นี้ จำเป็นต้องลบพิกัดเริ่มต้นที่เกี่ยวข้องออกจากพิกัดของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์:
ในการกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ในอวกาศ ให้ใช้สูตรต่อไปนี้:
ผลิตภัณฑ์ Dot ของเวกเตอร์
มีสองวิธีในการกำหนดแนวคิดของผลิตภัณฑ์ดอท:
- ทางเรขาคณิต ตามที่เขาพูดผลิตภัณฑ์สเกลาร์เท่ากับผลคูณของค่าของโมดูลเหล่านี้และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกเขา
- ความหมายเกี่ยวกับพีชคณิต จากมุมมองของพีชคณิต ผลคูณของสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวคือค่าหนึ่งซึ่งเป็นผลมาจากผลรวมของผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์ที่สอดคล้องกัน
หากเวกเตอร์อยู่ในช่องว่าง คุณควรใช้สูตรที่คล้ายกัน:
คุณสมบัติ:
- หากคุณคูณเวกเตอร์ที่เหมือนกันสองตัวด้วยสเกลาร์ ผลคูณของสเกลาร์ของพวกมันจะไม่เป็นลบ:
- หากผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่เหมือนกันสองตัวกลายเป็นศูนย์ เวกเตอร์เหล่านี้จะถือเป็นศูนย์:
- หากเวกเตอร์ตัวหนึ่งถูกคูณด้วยตัวมันเอง ผลคูณของสเกลาร์จะเท่ากับกำลังสองของโมดูลัสของมัน:
- ผลิตภัณฑ์สเกลาร์มีคุณสมบัติในการสื่อสาร กล่าวคือ ผลิตภัณฑ์สเกลาร์จะไม่เปลี่ยนจากการเรียงสับเปลี่ยนของเวกเตอร์:
- ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สามารถเป็นศูนย์ได้ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ตั้งฉากกัน:
- สำหรับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ กฎการสลับใช้ได้ในกรณีของการคูณเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งด้วยตัวเลข:
- ด้วยผลคูณดอท คุณยังสามารถใช้คุณสมบัติการกระจายของการคูณ:
มุมระหว่างเวกเตอร์
นอกจากนี้ยังมีงานสำหรับโซลูชันอิสระ ซึ่งคุณสามารถดูคำตอบได้
หากในปัญหามีการนำเสนอทั้งความยาวของเวกเตอร์และมุมระหว่างพวกเขา "บนจานสีเงิน" แสดงว่าสภาพของปัญหาและวิธีแก้ไขจะมีลักษณะดังนี้:
ตัวอย่าง 1เวกเตอร์จะได้รับ หาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ถ้าความยาวและมุมระหว่างพวกมันแทนด้วยค่าต่อไปนี้:
คำจำกัดความอื่นก็ใช้ได้เช่นกัน ซึ่งเทียบเท่ากับคำจำกัดความที่ 1 อย่างสมบูรณ์
คำจำกัดความ 2. ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์คือตัวเลข (สเกลาร์) เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้และการฉายภาพของเวกเตอร์อื่นบนแกนที่กำหนดโดยเวกเตอร์ตัวแรกของเวกเตอร์เหล่านี้ สูตรตามคำจำกัดความ 2:
เราจะแก้ปัญหาโดยใช้สูตรนี้หลังจากจุดทฤษฎีที่สำคัญต่อไป
คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์ในแง่ของพิกัด
สามารถรับหมายเลขเดียวกันได้หากเวกเตอร์คูณถูกกำหนดโดยพิกัด
คำจำกัดความ 3ผลคูณดอทของเวกเตอร์คือจำนวนที่เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์คู่ของพิกัดตามลำดับ
บนพื้นผิว
ถ้าเวกเตอร์สองตัวและในระนาบถูกกำหนดโดยสองตัว . ของพวกมัน พิกัดคาร์ทีเซียน
จากนั้นดอทโปรดัคของเวกเตอร์เหล่านี้จะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ที่เป็นคู่ของพิกัดตามลำดับ:
.
ตัวอย่าง 2หาค่าตัวเลขของการฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนที่ขนานกับเวกเตอร์
วิธีการแก้. เราพบผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์โดยการเพิ่มผลคูณคู่ของพิกัด:
ตอนนี้ เราต้องทำให้ผลคูณสเกลาร์เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์และการฉายภาพเวกเตอร์บนแกนที่ขนานกับเวกเตอร์ (ตามสูตร)
เราหาความยาวของเวกเตอร์เป็นรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัด:
.
เขียนสมการและแก้มัน:
ตอบ. ค่าตัวเลขที่ต้องการคือลบ 8
ในที่ว่าง
ถ้าเวกเตอร์สองตัวและในอวกาศถูกกำหนดโดยพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนทั้งสามของพวกมัน
,
ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้ก็เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์คู่ของพิกัดตามลำดับ มีเพียงสามพิกัดเท่านั้น:
.
งานค้นหาผลิตภัณฑ์สเกลาร์ในลักษณะที่พิจารณาคือหลังจากวิเคราะห์คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์สเกลาร์แล้ว เพราะในงานจำเป็นต้องกำหนดมุมของเวกเตอร์ที่คูณกัน
คุณสมบัติของ Dot Product ของ Vectors
คุณสมบัติพีชคณิต
1. (สมบัติการสับเปลี่ยน: มูลค่าของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ไม่เปลี่ยนจากการเปลี่ยนตำแหน่งของเวกเตอร์คูณ)
2. 
(สมบัติที่สัมพันธ์กับตัวประกอบตัวเลข: ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์คูณด้วยปัจจัยบางตัว และเวกเตอร์อื่นเท่ากับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้คูณด้วยตัวประกอบเดียวกัน)
3. 
(สมบัติการกระจายเทียบกับผลรวมของเวกเตอร์: ผลคูณสเกลาร์ของผลรวมของเวกเตอร์สองตัวโดยเวกเตอร์ที่สาม เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์แรกด้วยเวกเตอร์ที่สาม และเวกเตอร์ที่สองด้วยเวกเตอร์ที่สาม)
4. (สเกลาร์กำลังสองของเวกเตอร์ที่มากกว่าศูนย์) if เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ และ ถ้า เป็นเวกเตอร์ศูนย์
คุณสมบัติทางเรขาคณิต
ในคำจำกัดความของการดำเนินการภายใต้การศึกษา เราได้กล่าวถึงแนวคิดของมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวแล้ว ได้เวลาชี้แจงแนวคิดนี้แล้ว
ในรูปด้านบน จะมองเห็นเวกเตอร์สองตัว ซึ่งนำไปสู่จุดเริ่มต้นทั่วไป และอย่างแรกที่คุณต้องใส่ใจ: มีสองมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้ - φ 1 และ φ 2 . มุมใดต่อไปนี้ปรากฏในคำจำกัดความและคุณสมบัติของผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ ผลรวมของมุมที่พิจารณาคือ2 π ดังนั้นโคไซน์ของมุมเหล่านี้จึงเท่ากัน คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ dot รวมเฉพาะโคไซน์ของมุม ไม่ใช่ค่าของนิพจน์ แต่มีเพียงมุมเดียวเท่านั้นที่ถือว่าอยู่ในคุณสมบัติ และนี่คือหนึ่งในสองมุมที่ไม่เกิน π เช่น 180 องศา มุมนี้แสดงในรูปเป็น φ 1 .
1. เรียกเวกเตอร์สองตัว มุมฉาก และ มุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้เป็นมุมขวา (90 องศาหรือ π /2 ) ถ้า ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้เป็นศูนย์ :
.
มุมฉากในพีชคณิตเวกเตอร์คือความตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว
2. ประกอบเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัว มุมแหลม (จาก 0 ถึง 90 องศาหรืออะไรเหมือนกันน้อยกว่า π dot product เป็นบวก .
3. ประกอบเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัว มุมป้าน (จาก 90 ถึง 180 องศาหรืออะไรที่เหมือนกัน - มากกว่า π /2 ) ถ้าเท่านั้นถ้า dot product เป็นค่าลบ .
ตัวอย่างที่ 3เวกเตอร์ได้รับในพิกัด:
.
คำนวณผลคูณดอทของเวกเตอร์ที่กำหนดทุกคู่ เวกเตอร์คู่เหล่านี้ทำมุมใด (เฉียบพลัน, ขวา, ป้าน)
วิธีการแก้. เราจะคำนวณโดยการเพิ่มผลคูณของพิกัดที่เกี่ยวข้อง
เราได้จำนวนลบ, เวกเตอร์จึงสร้างมุมป้าน
เราได้จำนวนบวก, เวกเตอร์จึงสร้างมุมแหลม
เราได้ศูนย์, เวกเตอร์จึงสร้างมุมฉาก
เราได้จำนวนบวก, เวกเตอร์จึงสร้างมุมแหลม
.
เราได้จำนวนบวก, เวกเตอร์จึงสร้างมุมแหลม
สำหรับการทดสอบตัวเอง คุณสามารถใช้ เครื่องคิดเลขออนไลน์ ผลิตภัณฑ์ Dot ของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน .
ตัวอย่างที่ 4กำหนดความยาวของเวกเตอร์สองตัวและมุมระหว่างพวกมัน:
.
กำหนดว่าเวกเตอร์มีค่าเท่าใดและเป็นมุมฉาก (ตั้งฉาก)
วิธีการแก้. เราคูณเวกเตอร์ตามกฎของการคูณพหุนาม:
ทีนี้มาคำนวณแต่ละเทอมกัน:
.
มาเขียนสมการ (ความเท่าเทียมกันของผลิตภัณฑ์เป็นศูนย์) ให้เงื่อนไขเหมือนกันและแก้สมการ:
คำตอบ: เราได้ค่า λ = 1.8 โดยที่เวกเตอร์เป็นมุมฉาก
ตัวอย่างที่ 5พิสูจน์ว่าเวกเตอร์ 
มุมฉาก (ตั้งฉาก) กับเวกเตอร์
วิธีการแก้. ในการตรวจสอบมุมฉาก เราคูณเวกเตอร์และพหุนามแทนนิพจน์ที่กำหนดในเงื่อนไขปัญหาแทนที่จะเป็น:
.
ในการทำเช่นนี้ คุณต้องคูณแต่ละเทอม (เทอม) ของพหุนามแรกด้วยแต่ละเทอมของวินาที และเพิ่มผลลัพธ์ที่ได้:
.
ส่งผลให้เศษส่วนที่ครบกำหนดลดลง ผลลัพธ์ต่อไปนี้จะได้รับ:
สรุป: จากการคูณ เราได้ศูนย์ ดังนั้นการพิสูจน์มุมฉาก (ความตั้งฉาก) ของเวกเตอร์จึงได้รับการพิสูจน์แล้ว
แก้ปัญหาด้วยตัวเองแล้วดูวิธีแก้ปัญหา
ตัวอย่างที่ 6จากความยาวของเวกเตอร์ และ , และมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้คือ π /สี่ . กำหนดว่าค่าอะไร μ เวกเตอร์และตั้งฉากกัน
สำหรับการทดสอบตัวเอง คุณสามารถใช้ เครื่องคิดเลขออนไลน์ ผลิตภัณฑ์ Dot ของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน .
การแสดงเมทริกซ์ของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์ n มิติ
เพื่อความชัดเจนในบางครั้ง เป็นการดีกว่าที่จะแทนเวกเตอร์คูณสองตัวในรูปแบบของเมทริกซ์ จากนั้นเวกเตอร์แรกจะแสดงเป็นเมทริกซ์แถว และเวกเตอร์ที่สองเป็นเมทริกซ์คอลัมน์:
แล้วผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์จะเป็น ผลคูณของเมทริกซ์เหล่านี้ :
ผลลัพธ์จะเหมือนกับที่ได้จากวิธีที่เราได้พิจารณาแล้ว เราได้เลขตัวเดียว และผลคูณของแถวเมทริกซ์โดยคอลัมน์เมทริกซ์ ก็เป็นเลขตัวเดียวด้วย
ในรูปแบบเมทริกซ์ จะสะดวกในการแสดงผลคูณของเวกเตอร์มิติ n ที่เป็นนามธรรม ดังนั้น ผลคูณของเวกเตอร์สี่มิติสองตัวจะเป็นผลคูณของเมทริกซ์แถวที่มีองค์ประกอบสี่ตัวโดยเมทริกซ์คอลัมน์ที่มีองค์ประกอบสี่องค์ประกอบด้วย ผลคูณของเวกเตอร์ห้ามิติสองรายการจะเป็นผลคูณของเมทริกซ์แถวที่มีองค์ประกอบห้าตัวโดย เมทริกซ์คอลัมน์ที่มีองค์ประกอบห้าตัวเช่นกัน เป็นต้น
ตัวอย่าง 7ค้นหาผลิตภัณฑ์ Dot ของคู่เวกเตอร์
,
โดยใช้การแสดงเมทริกซ์
วิธีการแก้. เวกเตอร์คู่แรก เราแทนเวกเตอร์แรกเป็นเมทริกซ์แถว และอันที่สองเป็นเมทริกซ์คอลัมน์ เราพบผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้เป็นผลคูณของเมทริกซ์แถวโดยเมทริกซ์คอลัมน์:
ในทำนองเดียวกัน เราเป็นตัวแทนของคู่ที่สองและพบว่า:
อย่างที่คุณเห็น ผลลัพธ์จะเหมือนกับคู่เดียวกันจากตัวอย่างที่ 2
มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว
ที่มาของสูตรโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวนั้นสวยงามและรัดกุมมาก
เพื่อแสดงผลคูณดอทของเวกเตอร์
(1)
ในรูปแบบพิกัด อันดับแรก เราจะหาผลคูณสเกลาร์ของออร์ต ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่มีตัวมันเองนั้นเป็นไปตามคำจำกัดความ:
สิ่งที่เขียนในสูตรข้างต้นหมายถึง: ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่มีตัวมันเองเท่ากับกำลังสองของความยาว. โคไซน์ของศูนย์เท่ากับหนึ่ง ดังนั้นกำลังสองของแต่ละ orth จะเท่ากับหนึ่ง:
เนื่องจากเวกเตอร์
เป็นคู่ตั้งฉาก จากนั้นผลคูณคู่ของออร์ตจะเท่ากับศูนย์:
ทีนี้มาทำการคูณพหุนามเวกเตอร์กัน:
เราแทนที่ค่าของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ที่สอดคล้องกันของ orts ทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน:
เราได้สูตรโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว:
ตัวอย่างที่ 8ให้สามแต้ม อา(1;1;1), บี(2;2;1), ค(2;1;2).
หามุม.
วิธีการแก้. เราพบพิกัดของเวกเตอร์:
,
.
จากสูตรสำหรับโคไซน์ของมุม เราได้:
เพราะเหตุนี้, .
สำหรับการทดสอบตัวเอง คุณสามารถใช้ เครื่องคิดเลขออนไลน์ ผลิตภัณฑ์ Dot ของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน .
ตัวอย่างที่ 9ให้เวกเตอร์สองตัว
หาผลรวม ความแตกต่าง ความยาว ดอทโปรดัค และมุมระหว่างพวกมัน
2.ความแตกต่าง
คำจำกัดความ 1
ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เรียกว่าจำนวนเท่ากับผลคูณของไดน์ของเวกเตอร์เหล่านี้และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน
สัญกรณ์สำหรับผลคูณของเวกเตอร์ a → และ b → มีรูปแบบ a → , b → ลองแปลงเป็นสูตร:
a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ . a → และ b → หมายถึงความยาวของเวกเตอร์ a → , b → ^ แสดงถึงมุมระหว่างเวกเตอร์ที่กำหนด หากเวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ นั่นคือ มันมีค่าเป็น 0 ผลลัพธ์จะเป็นศูนย์ a → , b → = 0
เมื่อคูณเวกเตอร์ด้วยตัวมันเอง เราจะได้กำลังสองของไดน์ของมัน:
a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2
คำจำกัดความ 2
การคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์โดยตัวมันเองเรียกว่า สแควร์สเกลาร์
คำนวณตามสูตร:
a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .
การเขียน a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → n p a → b → = b → n p b → a → แสดงว่า n p b → a → เป็นการฉายเชิงตัวเลขของ a → บน b → , n p a → a → - การฉายภาพของ b → ไปยัง a → ตามลำดับ
เรากำหนดนิยามของผลิตภัณฑ์สำหรับเวกเตอร์สองตัว:
ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัว a → โดย b → เรียกว่าผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ a → โดยการฉายภาพของ b → โดยทิศทาง a → หรือผลคูณของความยาวของ b → โดยการฉายภาพของ a →, ตามลำดับ
จุดสินค้าในพิกัด
การคำนวณผลคูณสเกลาร์สามารถทำได้โดยใช้พิกัดของเวกเตอร์ในระนาบที่กำหนดหรือในอวกาศ
ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวบนระนาบ ในปริภูมิสามมิติ เรียกว่า ผลรวมของพิกัดของเวกเตอร์ที่กำหนด a → และ b → .
เมื่อคำนวณบนระนาบของดอทโปรดัคของเวกเตอร์ที่กำหนด a → = (a x, a y) , b → = (b x, b y) ในระบบคาร์ทีเซียน ให้ใช้:
a → , b → = a x b x + a y b y ,
สำหรับพื้นที่สามมิติ นิพจน์ที่ใช้ได้:
a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z .
อันที่จริง นี่คือคำจำกัดความที่สามของผลิตภัณฑ์ดอท
มาพิสูจน์กัน
หลักฐาน 1
เพื่อพิสูจน์ เราใช้ a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y สำหรับเวกเตอร์ a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) บนระบบคาร์ทีเซียน
เวกเตอร์ควรเลื่อนออกไป
O A → = a → = a x , a y และ O B → = b → = b x , b y
จากนั้นความยาวของเวกเตอร์ A B → จะเท่ากับ AB → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y)
พิจารณารูปสามเหลี่ยม O A B
A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) เป็นจริง ตามทฤษฎีบทโคไซน์
โดยเงื่อนไขจะเห็นได้ว่า O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ เราจึงเขียนสูตรการหามุมระหว่างเวกเตอร์ต่างกัน
b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a → , b → ^) .
จากนั้นตามคำจำกัดความแรกที่ b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a → , b →) ดังนั้น (a → , b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .
การใช้สูตรคำนวณความยาวของเวกเตอร์เราได้รับ:
a → , b → = 1 2 ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x b x + a y b y
มาพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน:
(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z
– ตามลำดับสำหรับเวกเตอร์ของปริภูมิสามมิติ
ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่มีพิกัดบอกว่า สเกลาร์สแควร์ของเวกเตอร์ เท่ากับผลรวมของกำลังสองของพิกัดในอวกาศและบนระนาบตามลำดับ a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) และ (a → , a →) = a x 2 + a y 2
ผลิตภัณฑ์ Dot และคุณสมบัติของผลิตภัณฑ์
มีคุณสมบัติ dot product ที่ใช้กับ a → , b → และ c → :
- การสับเปลี่ยน (a → , b →) = (b → , a →) ;
- การกระจาย (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , ค →) ;
- คุณสมบัติเชื่อมโยง (λ a → , b →) = λ (a → , b →) , (a → , λ b →) = λ (a → , b →) , λ - ตัวเลขใด ๆ
- สเกลาร์สแควร์มีค่ามากกว่าศูนย์เสมอ (a → , a →) ≥ 0 โดยที่ (a → , a →) = 0 เมื่อ a → ศูนย์
คุณสมบัติอธิบายโดยคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ดอทในระนาบและโดยคุณสมบัติของการบวกและการคูณของจำนวนจริง
พิสูจน์คุณสมบัติการสลับสับเปลี่ยน (a → , b →) = (b → , a →) จากคำจำกัดความที่เรามี (a → , b →) = a y b y + a y b y และ (b → , a →) = b x a x + b y a y
โดยสมบัติของการสลับสับเปลี่ยน ความเท่าเทียมกัน a x · b x = b x · a x และ a y · b y = b y · a y เป็นจริง ดังนั้น a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y
เป็นไปตามนั้น (a → , b →) = (b → , a →) คิวอีดี
การกระจายใช้ได้กับตัวเลขใดๆ:
(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)
และ (a → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,
ดังนั้นเราจึงมี
(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (ม.) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (ม.) →)
ผลิตภัณฑ์ Dot พร้อมตัวอย่างและแนวทางแก้ไข
ปัญหาใดๆ ของแผนดังกล่าวแก้ไขได้โดยใช้คุณสมบัติและสูตรเกี่ยวกับผลิตภัณฑ์สเกลาร์:
- (a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) ;
- (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
- (a → , b →) = a x b x + a y b y หรือ (a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z ;
- (a → , a →) = a → 2 .
มาดูตัวอย่างการแก้ปัญหากัน
ตัวอย่าง 2
ความยาวของ a → คือ 3, ความยาวของ b → คือ 7 ค้นหาผลคูณจุดถ้ามุมมี 60 องศา
วิธีการแก้
ตามเงื่อนไข เรามีข้อมูลทั้งหมด ดังนั้นเราจึงคำนวณตามสูตร:
(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2
คำตอบ: (a → , b →) = 21 2 .
ตัวอย่างที่ 3
กำหนดเวกเตอร์ a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) ผลิตภัณฑ์สเกลาร์คืออะไร.
วิธีการแก้
ที่ ตัวอย่างนี้พิจารณาสูตรการคำนวณพิกัดเนื่องจากระบุไว้ในเงื่อนไขของปัญหา:
(a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9
คำตอบ: (a → , b →) = - 9
ตัวอย่างที่ 4
ค้นหาผลิตภัณฑ์ภายในของ AB → และ A C → จุด A (1 , - 3) , B (5 , 4) , C (1 , 1) ถูกกำหนดบนระนาบพิกัด
วิธีการแก้
เริ่มต้นด้วยการคำนวณพิกัดของเวกเตอร์เนื่องจากพิกัดของจุดถูกกำหนดโดยเงื่อนไข:
A B → = (5 - 1 , 4 - (- 3)) = (4 , 7) A C → = (1 - 1 , 1 - (- 3)) = (0 , 4)
แทนสูตรโดยใช้พิกัดเราได้รับ:
(AB → , A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28 .
คำตอบ: (AB → , A C →) = 28 .
ตัวอย่างที่ 5
ให้เวกเตอร์ a → = 7 m → + 3 n → และ b → = 5 m → + 8 n → หาผลคูณของพวกมัน m → เท่ากับ 3 และ n → เท่ากับ 2 หน่วยซึ่งตั้งฉาก
วิธีการแก้
(a → , b →) = (7 ม. → + 3 n → , 5 ม. → + 8 n →) . การใช้คุณสมบัติการกระจายเราได้รับ:
(7 ม. → + 3 n → , 5 ม. → + 8 n →) = = (7 ม. → , 5 ม. →) + (7 ม. → , 8 n →) + (3 n n → , 5 ม. →) + (3 n → , 8 n →)
เราใช้สัมประสิทธิ์นอกเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์และรับ:
(7 ม. → , 5 ม. →) + (7 ม. → , 8 n →) + (3 n → , 5 ม. →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 5 (ม. → , ม. →) + 7 8 (ม. → , น →) + 3 5 (n → , ม. →) + 3 8 (น → , n →) = = 35 (ม. → , ม. →) + 56 (ม. → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →)
โดยคุณสมบัติของการสลับสับเปลี่ยน เราแปลง:
35 (ม. → , ม. →) + 56 (ม. → , n →) + 15 (n → , ม. →) + 24 (n → , n →) = = 35 (ม. → , ม. →) + 56 (ม. → , n →) + 15 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n → ) + 24 (n → , n →)
เป็นผลให้เราได้รับ:
(a → , b →) = 35 (ม. → , ม. →) + 71 (ม. → , n →) + 24 (n → , n →)
ตอนนี้เราใช้สูตรสำหรับผลคูณสเกลาร์กับมุมที่ระบุโดยเงื่อนไข:
(a → , b →) = 35 (ม. → , ม. →) + 71 (ม. → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 ม. → 2 + 71 ม. → n → cos (ม. → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411 .
คำตอบ: (a → , b →) = 411
หากมีการฉายภาพเป็นตัวเลข
ตัวอย่างที่ 6
ค้นหาผลิตภัณฑ์ภายในของ a → และ b → เวกเตอร์ a → มีพิกัด a → = (9 , 3 , - 3) , การฉายภาพ b → มีพิกัด (- 3 , - 1 , 1)
วิธีการแก้
ตามเงื่อนไข เวกเตอร์ a → และการฉายภาพ b → ถูกกำกับในทางตรงกันข้ามเพราะ a → = - 1 3 n p a → b → → ดังนั้นการฉายภาพ b → จะสอดคล้องกับความยาว n p a → b → → และด้วย “-” เข้าสู่ระบบ:
n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,
แทนสูตรเราจะได้นิพจน์:
(a → , b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33 .
คำตอบ: (a → , b →) = - 33 .
ปัญหาเกี่ยวกับผลคูณสเกลาร์ที่ทราบ ซึ่งจำเป็นต้องค้นหาความยาวของเวกเตอร์หรือเส้นโครงที่เป็นตัวเลข
ตัวอย่าง 7
λ ควรใช้ค่าใดสำหรับผลิตภัณฑ์สเกลาร์ที่กำหนด a → \u003d (1, 0, λ + 1) และ b → \u003d (λ, 1, λ) จะเท่ากับ -1
วิธีการแก้
จากสูตรจะเห็นได้ว่าจำเป็นต้องหาผลรวมของผลิตภัณฑ์พิกัด:
(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .
ในให้เรามี (a → , b →) = - 1 .
เพื่อหา λ เราคำนวณสมการ:
λ 2 + 2 · λ = - 1 ดังนั้น λ = - 1 .
คำตอบ: λ = - 1 .
ความหมายทางกายภาพของผลิตภัณฑ์สเกลาร์
ช่างเครื่องพิจารณาการประยุกต์ใช้ดอทโปรดัค
เมื่อทำงาน A ด้วยแรงคงที่ F → วัตถุเคลื่อนที่จากจุด M ถึง N คุณจะพบผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ F → และ M N → ด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน ซึ่งหมายความว่างานนั้นเท่ากัน เป็นผลคูณของแรงและเวกเตอร์การกระจัด:
A = (F → , M N →) .
ตัวอย่างที่ 8
การกระจัดของจุดวัสดุ 3 เมตรภายใต้การกระทำของแรงเท่ากับ 5 นิวตันจะชี้ไปที่มุม 45 องศาที่สัมพันธ์กับแกน หา ก.
วิธีการแก้
เนื่องจากงานเป็นผลคูณของเวกเตอร์แรงและการกระจัด ดังนั้น ตามเงื่อนไข F → = 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 ° เราจะได้ A = (F → , S → ) = F → S → cos (F → , S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2 .
คำตอบ: A = 15 2 2 .
ตัวอย่างที่ 9
จุดวัสดุเคลื่อนที่จาก M (2, - 1, - 3) ถึง N (5, 3 λ - 2, 4) ภายใต้แรง F → = (3, 1, 2) ทำงานเท่ากับ 13 J. คำนวณ ความยาวของการเคลื่อนไหว
วิธีการแก้
สำหรับพิกัดที่กำหนดของเวกเตอร์ M N → เรามี M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) .
โดยสูตรการค้นหางานกับเวกเตอร์ F → = (3 , 1 , 2) และ M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) เราได้ A = (F ⇒ , M N →) = 3 3 + 1 (3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3λ
ตามเงื่อนไขจะได้รับ A \u003d 13 J ซึ่งหมายถึง 22 + 3 λ \u003d 13 นี่หมายความว่า λ = - 3 ดังนั้น M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7) .
ในการหาความยาวการเดินทาง M N → เราใช้สูตรและแทนที่ค่า:
M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158 .
คำตอบ: 158 .
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
