ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์และดอททำให้ง่ายต่อการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ ให้เวกเตอร์สองตัว $\overline(a)$ และ $\overline(b)$ กำหนดมุมระหว่างพวกมันเท่ากับ $\varphi$ มาคำนวณค่า \$x = (\overline(a),\overline(b))$ และ $y = [\overline(a),\overline(b)]$ จากนั้น $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$ โดยที่ $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$ และ $\varphi$ เป็นที่ต้องการ มุม นั่นคือ จุด $(x, y)$ มีมุมขั้วเท่ากับ $\varphi$ ดังนั้น $\varphi$ จึงสามารถหาได้เป็น atan2(y, x)

พื้นที่สามเหลี่ยม

เนื่องจากผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ประกอบด้วยผลคูณของความยาวเวกเตอร์สองตัวและโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จึงสามารถคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC ได้:

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.

จุดที่เป็นของเส้น

ให้จุด $P$ และเส้น $AB$ (ให้สองจุด $A$ และ $B$) จำเป็นต้องตรวจสอบว่าจุดนั้นอยู่ในเส้น $AB$ หรือไม่

จุดอยู่ในเส้น $AB$ ถ้าหากเวกเตอร์ $AP$ และ $AB$ เป็น collinear นั่นคือถ้า $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $

เป็นจุดของรังสี

ให้จุด $P$ และรังสี $AB$ (ให้สองจุด - จุดเริ่มต้นของรังสี $A$ และจุดบนรังสี $B$) จำเป็นต้องตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นของรังสี $AB$ หรือไม่

ต้องเพิ่มเงื่อนไขเพิ่มเติมในเงื่อนไขที่จุด $P$ อยู่ในบรรทัด $AB$ - เวกเตอร์ $AP$ และ $AB$ เป็นทิศทางร่วม กล่าวคือ พวกมันเป็นแบบ collinear และผลิตภัณฑ์สเกลาร์ไม่เป็นลบ นั่นคือ $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge $0.

จุดที่เป็นของเซ็กเมนต์

ให้จุด $P$ และส่วน $AB$ จำเป็นต้องตรวจสอบว่าจุดนั้นอยู่ในกลุ่ม $AB$ หรือไม่

ในกรณีนี้ จุดจะต้องเป็นของทั้ง ray $AB$ และ ray $BA$ ดังนั้นต้องตรวจสอบเงื่อนไขต่อไปนี้:

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,

$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,

$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.

ระยะทางจากจุดไปยังเส้น

ให้จุด $P$ และเส้น $AB$ (ให้สองจุด $A$ และ $B$) จำเป็นต้องหาระยะทางจากจุดของเส้นตรง $AB$

พิจารณาสามเหลี่ยม ABP ด้านหนึ่ง พื้นที่ของมันคือ $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$

ในทางกลับกัน พื้นที่ของมันคือ $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$ โดยที่ $h$ คือความสูงจาก $P$ นั่นคือระยะทางจาก $P$ ถึง $ AB $. เหตุใด $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.

ระยะทางจากจุดไปยังลำแสง

ให้จุด $P$ และรังสี $AB$ (ให้สองจุด - จุดเริ่มต้นของรังสี $A$ และจุดบนรังสี $B$) จำเป็นต้องหาระยะทางจากจุดหนึ่งถึงรังสี นั่นคือ ความยาวของส่วนที่สั้นที่สุดจากจุด $P$ ไปยังจุดใดๆ ของรังสี

ระยะทางนี้เท่ากับความยาว $AP$ หรือระยะทางจากจุด $P$ ถึงเส้น $AB$ กรณีใดเกิดขึ้นได้โดยง่ายโดยตำแหน่งสัมพัทธ์ของลำแสงและจุด หากมุม PAB เป็นมุมแหลม เช่น $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$ คำตอบคือระยะทางจากจุด $P$ ถึงเส้น $AB$ ไม่เช่นนั้น คำตอบคือความยาว ของกลุ่ม $AB$

ระยะทางจากจุดไปยังเส้น

ให้จุด $P$ และส่วน $AB$ จำเป็นต้องหาระยะทางจาก $P$ ถึงเซกเมนต์ $AB$

หากฐานของเส้นตั้งฉากหลุดจาก $P$ ถึงเส้นที่ $AB$ ตกบนส่วน $AB$ ซึ่งตรวจสอบได้ตามเงื่อนไข

$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,

$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,

คำตอบคือระยะทางจากจุด $P$ ถึงเส้น $AB$ มิฉะนั้น ระยะทางจะเท่ากับ $\min(AP, BP)$

การบรรยาย: พิกัดเวกเตอร์; ผลคูณดอทของเวกเตอร์ มุมระหว่างเวกเตอร์

พิกัดเวกเตอร์

ดังที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ เวกเตอร์เป็นส่วนกำกับที่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของตัวเอง หากบางจุดแสดงจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด แสดงว่าจุดเหล่านี้มีพิกัดของตัวเองบนเครื่องบินหรือในอวกาศ

หากแต่ละจุดมีพิกัดของตัวเอง เราก็จะได้พิกัดของเวกเตอร์ทั้งหมด

สมมติว่าเรามีเวกเตอร์ที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์มีการกำหนดและพิกัดต่อไปนี้: A(A x ; Ay) และ B(B x ; By)

ในการรับพิกัดของเวกเตอร์นี้ จำเป็นต้องลบพิกัดเริ่มต้นที่เกี่ยวข้องออกจากพิกัดของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์:

ในการกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ในอวกาศ ให้ใช้สูตรต่อไปนี้:

ผลิตภัณฑ์ Dot ของเวกเตอร์

มีสองวิธีในการกำหนดแนวคิดของผลิตภัณฑ์ดอท:

• ทางเรขาคณิต ตามที่เขาพูดผลิตภัณฑ์สเกลาร์เท่ากับผลคูณของค่าของโมดูลเหล่านี้และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกเขา

• ความหมายเกี่ยวกับพีชคณิต จากมุมมองของพีชคณิต ผลคูณของสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวคือค่าหนึ่งที่เป็นผลจากผลรวมของผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์ที่สอดคล้องกัน

หากเวกเตอร์อยู่ในช่องว่าง คุณควรใช้สูตรที่คล้ายกัน:

คุณสมบัติ:

• หากคุณคูณเวกเตอร์ที่เหมือนกันสองตัวด้วยสเกลาร์ ผลคูณของพวกมันจะไม่เป็นลบ:

• หากผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่เหมือนกันสองตัวกลายเป็นศูนย์ เวกเตอร์เหล่านี้จะถือเป็นศูนย์:

• หากเวกเตอร์ตัวหนึ่งถูกคูณด้วยตัวมันเอง ผลคูณของสเกลาร์จะเท่ากับกำลังสองของโมดูลัสของมัน:

• ผลิตภัณฑ์สเกลาร์มีคุณสมบัติในการสื่อสาร กล่าวคือ ผลิตภัณฑ์สเกลาร์จะไม่เปลี่ยนจากการเรียงสับเปลี่ยนของเวกเตอร์:

• ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สามารถเป็นศูนย์ได้ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ตั้งฉากกัน:

• สำหรับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ กฎการสลับใช้ได้ในกรณีของการคูณเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งด้วยตัวเลข:

• ด้วยผลคูณดอท คุณยังสามารถใช้คุณสมบัติการกระจายของการคูณ:

มุมระหว่างเวกเตอร์

คำจำกัดความ 1

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เรียกว่าจำนวนเท่ากับผลคูณของไดน์ของเวกเตอร์เหล่านี้และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน

สัญกรณ์สำหรับผลคูณของเวกเตอร์ a → และ b → มีรูปแบบ a → , b → ลองแปลงเป็นสูตร:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ . a → และ b → หมายถึงความยาวของเวกเตอร์ a → , b → ^ แสดงถึงมุมระหว่างเวกเตอร์ที่กำหนด หากเวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ นั่นคือ มันมีค่าเป็น 0 ผลลัพธ์จะเป็นศูนย์ a → , b → = 0

เมื่อคูณเวกเตอร์ด้วยตัวมันเอง เราจะได้กำลังสองของไดน์ของมัน:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

คำจำกัดความ 2

การคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์โดยตัวมันเองเรียกว่า สแควร์สเกลาร์

คำนวณตามสูตร:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

การเขียน a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → แสดงว่า npb → a → เป็นการฉายภาพเชิงตัวเลขของ a → บน b → , npa → a → - การฉายภาพของ b → ไปยัง a → ตามลำดับ

เรากำหนดนิยามของผลิตภัณฑ์สำหรับเวกเตอร์สองตัว:

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัว a → โดย b → เรียกว่าผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ a → โดยการฉายภาพของ b → โดยทิศทาง a → หรือผลคูณของความยาวของ b → โดยการฉายภาพของ a →, ตามลำดับ

จุดสินค้าในพิกัด

การคำนวณผลคูณสเกลาร์สามารถทำได้โดยใช้พิกัดของเวกเตอร์ในระนาบที่กำหนดหรือในอวกาศ

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวบนระนาบในพื้นที่สามมิติ เรียกว่า ผลรวมของพิกัดของเวกเตอร์ที่กำหนด a → และ b → .

เมื่อคำนวณบนระนาบของดอทโปรดัคของเวกเตอร์ที่กำหนด a → = (a x, a y) , b → = (b x, b y) ในระบบคาร์ทีเซียน ให้ใช้:

a → , b → = a x b x + a y b y ,

สำหรับพื้นที่สามมิติ นิพจน์ที่ใช้ได้:

a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z .

อันที่จริง นี่คือคำจำกัดความที่สามของผลิตภัณฑ์ดอท

มาพิสูจน์กัน

หลักฐาน 1

เพื่อพิสูจน์เราใช้ a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = ax bx + ay โดย สำหรับเวกเตอร์ a → = (ax , ay) , b → = (bx , by) บนคาร์ทีเซียน ระบบ.

เวกเตอร์ควรเลื่อนออกไป

O A → = a → = a x , a y และ O B → = b → = b x , b y

จากนั้นความยาวของเวกเตอร์ A B → จะเท่ากับ AB → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y)

พิจารณารูปสามเหลี่ยม O A B

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) เป็นจริง ตามทฤษฎีบทโคไซน์

โดยเงื่อนไขจะเห็นได้ว่า O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ เราจึงเขียนสูตรการหามุมระหว่างเวกเตอร์ต่างกัน

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a → , b → ^) .

จากนั้นตามคำจำกัดความแรกที่ b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a → , b →) ดังนั้น (a → , b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

การใช้สูตรคำนวณความยาวของเวกเตอร์เราได้รับ:
a → , b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + โดย 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (โดย - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ขวาน) 2 - (โดย - ay) 2) = = ขวาน bx + ay โดย

มาพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– ตามลำดับสำหรับเวกเตอร์ของปริภูมิสามมิติ

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่มีพิกัดบอกว่า สเกลาร์สแควร์ของเวกเตอร์ เท่ากับผลรวมของกำลังสองของพิกัดในอวกาศและบนระนาบตามลำดับ a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) และ (a → , a →) = a x 2 + a y 2

ผลิตภัณฑ์ Dot และคุณสมบัติของผลิตภัณฑ์

มีคุณสมบัติ dot product ที่ใช้กับ a → , b → และ c → :

1. การสับเปลี่ยน (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. การกระจาย (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , ค →) ;
3. คุณสมบัติเชื่อมโยง (λ a → , b →) = λ (a → , b →) , (a → , λ b →) = λ (a → , b →) , λ - ตัวเลขใด ๆ ;
4. สเกลาร์สแควร์มีค่ามากกว่าศูนย์เสมอ (a → , a →) ≥ 0 โดยที่ (a → , a →) = 0 เมื่อ a → ศูนย์

ตัวอย่างที่ 1

คุณสมบัติอธิบายโดยคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ดอทในระนาบและโดยคุณสมบัติของการบวกและการคูณของจำนวนจริง

พิสูจน์คุณสมบัติการสลับสับเปลี่ยน (a → , b →) = (b → , a →) จากคำจำกัดความที่เรามี (a → , b →) = a y b y + a y b y และ (b → , a →) = b x a x + b y a y

โดยสมบัติของการสลับสับเปลี่ยน ความเท่าเทียมกัน a x · b x = b x · a x และ a y · b y = b y · a y เป็นจริง ดังนั้น a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y

เป็นไปตามนั้น (a → , b →) = (b → , a →) คิวอีดี

การกระจายใช้ได้กับตัวเลขใดๆ:

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

และ (a → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

ดังนั้นเราจึงมี

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (ม.) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (ม.) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (ม.) →)

ผลิตภัณฑ์ Dot พร้อมตัวอย่างและแนวทางแก้ไข

ปัญหาใดๆ ของแผนดังกล่าวแก้ไขได้โดยใช้คุณสมบัติและสูตรเกี่ยวกับผลคูณของสเกลาร์:

1. (a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x b x + a y b y หรือ (a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z ;
4. (a → , a →) = a → 2 .

มาดูตัวอย่างวิธีแก้ปัญหากัน

ตัวอย่าง 2

ความยาวของ a → คือ 3, ความยาวของ b → คือ 7 ค้นหาผลคูณของจุดถ้ามุมมี 60 องศา

สารละลาย

ตามเงื่อนไข เรามีข้อมูลทั้งหมด ดังนั้นเราจึงคำนวณตามสูตร:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

คำตอบ: (a → , b →) = 21 2 .

ตัวอย่างที่ 3

ให้เวกเตอร์ a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) ผลิตภัณฑ์สเกลาร์คืออะไร.

สารละลาย

ในตัวอย่างนี้ จะพิจารณาสูตรการคำนวณพิกัด เนื่องจากมีการระบุไว้ในคำสั่งปัญหา:

(a → , b →) = axe bx + ay โดย + az bz = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

คำตอบ: (a → , b →) = - 9

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาผลิตภัณฑ์ภายในของ AB → และ A C → จุด A (1 , - 3) , B (5 , 4) , C (1 , 1) ถูกกำหนดบนระนาบพิกัด

สารละลาย

เริ่มต้นด้วยการคำนวณพิกัดของเวกเตอร์เนื่องจากพิกัดของจุดถูกกำหนดโดยเงื่อนไข:

เอ บี → = (5 - 1 , 4 - (- 3)) = (4 , 7) เอซี → = (1 - 1 , 1 - (- 3)) = (0 , 4)

แทนสูตรโดยใช้พิกัดเราได้รับ:

(AB → , A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28 .

คำตอบ: (AB → , A C →) = 28 .

ตัวอย่างที่ 5

ให้เวกเตอร์ a → = 7 m → + 3 n → และ b → = 5 m → + 8 n → หาผลคูณของพวกมัน m → เท่ากับ 3 และ n → เท่ากับ 2 หน่วยซึ่งตั้งฉาก

สารละลาย

(a → , b →) = (7 ม. → + 3 n → , 5 ม. → + 8 n →) . การใช้คุณสมบัติการกระจายเราได้รับ:

(7 ม. → + 3 n → , 5 ม. → + 8 n →) = = (7 ม. → , 5 ม. →) + (7 ม. → , 8 n →) + (3 n n → , 5 ม. →) + (3 n → , 8 n →)

เราใช้สัมประสิทธิ์นอกเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์และรับ:

(7 ม. → , 5 ม. →) + (7 ม. → , 8 n →) + (3 n → , 5 ม. →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 5 (ม. → , ม. →) + 7 8 (ม. → , น →) + 3 5 (n → , ม. →) + 3 8 (น → , n →) = = 35 (ม. → , ม. →) + 56 (ม. → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →)

โดยคุณสมบัติของการสลับสับเปลี่ยน เราแปลง:

35 (ม. → , ม. →) + 56 (ม. → , n →) + 15 (น → , ม. →) + 24 (n → , n →) = = 35 (ม. → , ม. →) + 56 (ม. → , n →) + 15 (ม. → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 (ม. → , ม. →) + 71 (ม. → , n → ) + 24 (n → , n →)

เป็นผลให้เราได้รับ:

(a → , b →) = 35 (ม. → , ม. →) + 71 (ม. → , n →) + 24 (n → , n →)

ตอนนี้เราใช้สูตรสำหรับผลคูณสเกลาร์กับมุมที่ระบุโดยเงื่อนไข:

(a → , b →) = 35 (ม. → , ม. →) + 71 (ม. → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 ม. → 2 + 71 ม. → n → cos (ม. → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411 .

คำตอบ: (a → , b →) = 411

หากมีการฉายภาพเป็นตัวเลข

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาผลิตภัณฑ์ภายในของ a → และ b → เวกเตอร์ a → มีพิกัด a → = (9 , 3 , - 3) , การฉายภาพ b → มีพิกัด (- 3 , - 1 , 1)

สารละลาย

ตามเงื่อนไข เวกเตอร์ a → และการฉายภาพ b → ถูกกำกับในทางตรงกันข้ามเพราะ a → = - 1 3 npa → b → → ดังนั้นการฉายภาพ b → สอดคล้องกับความยาว npa → b → → และด้วย “-” เข้าสู่ระบบ:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

แทนสูตรเราจะได้นิพจน์:

(a → , b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33 .

คำตอบ: (a → , b →) = - 33 .

ปัญหาเกี่ยวกับผลคูณสเกลาร์ที่ทราบ ซึ่งจำเป็นต้องค้นหาความยาวของเวกเตอร์หรือเส้นโครงที่เป็นตัวเลข

ตัวอย่าง 7

λ ควรใช้ค่าใดสำหรับผลิตภัณฑ์สเกลาร์ที่กำหนด a → \u003d (1, 0, λ + 1) และ b → \u003d (λ, 1, λ) จะเท่ากับ -1

สารละลาย

จากสูตรจะเห็นได้ว่าจำเป็นต้องหาผลรวมของผลคูณของพิกัดดังนี้

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .

ในให้เรามี (a → , b →) = - 1 .

เพื่อหา λ เราคำนวณสมการ:

λ 2 + 2 · λ = - 1 ดังนั้น λ = - 1 .

คำตอบ: λ = - 1 .

ความหมายทางกายภาพของผลิตภัณฑ์สเกลาร์

ช่างเครื่องพิจารณาการประยุกต์ใช้ดอทโปรดัค

เมื่อทำงาน A ด้วยแรงคงที่ F → วัตถุเคลื่อนที่จากจุด M ถึง N คุณจะพบผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ F → และ MN → ด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน ซึ่งหมายความว่างานนั้นเท่ากัน เป็นผลคูณของแรงและเวกเตอร์การกระจัด:

A = (F → , M N →) .

ตัวอย่างที่ 8

การกระจัดของจุดวัสดุ 3 เมตรภายใต้การกระทำของแรงเท่ากับ 5 นิวตันจะชี้ไปที่มุม 45 องศาที่สัมพันธ์กับแกน หา ก.

สารละลาย

เนื่องจากงานเป็นผลคูณของเวกเตอร์แรงและการกระจัด ดังนั้น ตามเงื่อนไข F → = 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 ° เราจะได้ A = (F → , S → ) = F → S → cos (F → , S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2 .

คำตอบ: A = 15 2 2 .

ตัวอย่างที่ 9

จุดวัสดุเคลื่อนที่จาก M (2, - 1, - 3) ถึง N (5, 3 λ - 2, 4) ภายใต้แรง F → = (3, 1, 2) ทำงานเท่ากับ 13 J. คำนวณ ความยาวของการเคลื่อนไหว

สารละลาย

สำหรับพิกัดที่กำหนดของเวกเตอร์ M N → เรามี M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) .

โดยสูตรการค้นหางานกับเวกเตอร์ F → = (3 , 1 , 2) และ MN → = (3 , 3 λ - 1 , 7) เราได้ A = (F ⇒ , MN →) = 3 3 + 1 (3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3λ

ตามเงื่อนไขจะได้รับ A \u003d 13 J ซึ่งหมายถึง 22 + 3 λ \u003d 13 นี่หมายความว่า λ = - 3 ดังนั้น M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7)

ในการหาความยาวการเดินทาง M N → เราใช้สูตรและแทนที่ค่า:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158 .

คำตอบ: 158 .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ผลิตภัณฑ์ Dot ของเวกเตอร์

เราจัดการกับเวกเตอร์ต่อไป ในบทเรียนแรก เวกเตอร์สำหรับหุ่นเราได้พิจารณาแนวคิดของเวกเตอร์ การกระทำกับเวกเตอร์ พิกัดเวกเตอร์ และปัญหาที่ง่ายที่สุดของเวกเตอร์ หากคุณมาที่หน้านี้เป็นครั้งแรกจากเสิร์ชเอ็นจิ้น ฉันขอแนะนำให้อ่านบทความแนะนำด้านบนนี้มาก เพราะเพื่อที่จะซึมซับเนื้อหา คุณจะต้องได้รับคำแนะนำในเงื่อนไขและสัญกรณ์ที่ฉันใช้ มีความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์ และสามารถแก้ปัญหาเบื้องต้นได้ บทเรียนนี้เป็นความต่อเนื่องทางตรรกะของหัวข้อ และในนั้นฉันจะวิเคราะห์รายละเอียดงานทั่วไปที่ใช้ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ นี่เป็นงานที่สำคัญมาก. พยายามอย่าข้ามตัวอย่าง สิ่งเหล่านี้มาพร้อมกับโบนัสที่มีประโยชน์ - แบบฝึกหัดนี้จะช่วยให้คุณรวบรวมเนื้อหาที่ครอบคลุมและ "ลงมือทำ" ในการแก้ปัญหาทั่วไปของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์

การบวกเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข…. มันคงไร้เดียงสาที่จะคิดว่านักคณิตศาสตร์ไม่ได้คิดอะไรอย่างอื่น นอกจากการดำเนินการที่พิจารณาแล้ว ยังมีการดำเนินการอื่นๆ อีกหลายประการเกี่ยวกับเวกเตอร์ กล่าวคือ: ผลคูณดอทของเวกเตอร์, ผลคูณของเวกเตอร์และ ผลคูณของเวกเตอร์. ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เป็นที่คุ้นเคยสำหรับเราตั้งแต่โรงเรียน อีกสองผลิตภัณฑ์เกี่ยวข้องกับหลักสูตรคณิตศาสตร์ชั้นสูง หัวข้อนั้นง่าย อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาต่าง ๆ เป็นแบบตายตัวและเข้าใจได้ สิ่งเดียวเท่านั้น มีข้อมูลจำนวนพอสมควร ดังนั้นจึงไม่พึงปรารถนาที่จะพยายามเชี่ยวชาญและแก้ปัญหาทุกอย่างในครั้งเดียว นี่เป็นเรื่องจริงโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับหุ่นเชื่อฉันผู้เขียนไม่ต้องการรู้สึกเหมือน Chikatilo จากคณิตศาสตร์อย่างแน่นอน แน่นอนว่าไม่ใช่จากคณิตศาสตร์เช่นกัน =) นักเรียนที่เตรียมพร้อมมากขึ้นสามารถใช้วัสดุในการคัดเลือกในแง่หนึ่งเพื่อ "รับ" ความรู้ที่ขาดหายไปสำหรับคุณฉันจะเป็น Count Dracula ที่ไม่เป็นอันตราย =)

สุดท้ายนี้ มาเปิดประตูกันสักหน่อยแล้วมาดูกันว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเวกเตอร์สองตัวมาเจอกัน….

ความหมายของผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์
คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ งานทั่วไป

แนวคิดของผลิตภัณฑ์ดอท

ครั้งแรกเกี่ยวกับ มุมระหว่างเวกเตอร์. ฉันคิดว่าทุกคนเข้าใจโดยสัญชาตญาณว่ามุมระหว่างเวกเตอร์คืออะไร แต่เผื่อไว้ มากกว่านี้หน่อย พิจารณาเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์อิสระและ . หากเราเลื่อนเวกเตอร์เหล่านี้จากจุดที่กำหนด เราก็จะได้ภาพที่หลายคนนำเสนอทางจิตใจแล้ว:

ฉันขอสารภาพว่าที่นี่ฉันอธิบายสถานการณ์ในระดับความเข้าใจเท่านั้น หากคุณต้องการคำจำกัดความที่เข้มงวดของมุมระหว่างเวกเตอร์ โปรดอ้างอิงจากตำราเรียน แต่โดยหลักการแล้ว เราไม่ต้องการมันสำหรับงานภาคปฏิบัติ และยิ่งไปกว่านั้น บางครั้งฉันจะเพิกเฉยเวกเตอร์ศูนย์เนื่องจากค่านัยสำคัญในทางปฏิบัติต่ำของพวกมัน ฉันได้จองไว้เฉพาะสำหรับผู้เยี่ยมชมไซต์ขั้นสูง ซึ่งสามารถตำหนิฉันสำหรับความไม่สมบูรณ์ทางทฤษฎีของข้อความต่อไปนี้บางส่วน

สามารถรับค่าได้ตั้งแต่ 0 ถึง 180 องศา (จาก 0 ถึงเรเดียน) รวม ในการวิเคราะห์ ความจริงข้อนี้เขียนเป็นอสมการคู่: หรือ (เป็นเรเดียน).

ในวรรณคดี ไอคอนมุมมักจะละเว้นและเขียนง่าย

คำนิยาม:ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวมีค่า NUMBER เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน:

ตอนนี้เป็นคำจำกัดความที่ค่อนข้างเข้มงวด

เราเน้นที่ข้อมูลที่จำเป็น:

การกำหนด:ผลิตภัณฑ์สเกลาร์แสดงโดยหรือง่ายๆ

ผลลัพธ์ของการดำเนินการคือ NUMBER: คูณเวกเตอร์ด้วยเวกเตอร์เพื่อให้ได้ตัวเลข อันที่จริง ถ้าความยาวของเวกเตอร์เป็นตัวเลข โคไซน์ของมุมก็เป็นตัวเลข แล้วผลคูณของพวกมัน จะเป็นตัวเลขด้วย

เพียงไม่กี่ตัวอย่างการวอร์มอัพ:

ตัวอย่างที่ 1

สารละลาย:เราใช้สูตร . ในกรณีนี้:

ตอบ:

ค่าโคไซน์สามารถพบได้ใน ตารางตรีโกณมิติ. ฉันแนะนำให้พิมพ์ - จะต้องใช้ในเกือบทุกส่วนของหอคอยและจะต้องหลายครั้ง

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ผลคูณของสเกลาร์นั้นไม่มีมิติ นั่นคือ ผลลัพธ์ ในกรณีนี้ เป็นเพียงตัวเลข และก็เท่านั้น จากมุมมองของปัญหาทางฟิสิกส์ ผลคูณของสเกลาร์มักมีความหมายทางกายภาพที่แน่นอน นั่นคือหลังจากผลลัพธ์จะต้องระบุหน่วยทางกายภาพหนึ่งหน่วยหรืออีกหน่วยหนึ่ง ตัวอย่าง Canonical ของการคำนวณงานของแรงสามารถพบได้ในตำราเรียน (สูตรคือดอทโปรดัค) งานของแรงวัดเป็นจูล ดังนั้น คำตอบจะถูกเขียนค่อนข้างเฉพาะเจาะจง เช่น

ตัวอย่าง 2

ค้นหาว่า และมุมระหว่างเวกเตอร์คือ

นี่คือตัวอย่างการตัดสินใจ คำตอบอยู่ท้ายบทเรียน

มุมระหว่างเวกเตอร์และค่าดอทผลิตภัณฑ์

ในตัวอย่างที่ 1 ผลคูณสเกลาร์กลายเป็นบวก และในตัวอย่างที่ 2 มันกลับกลายเป็นลบ ให้เราหาว่าเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ขึ้นอยู่กับอะไร ลองดูสูตรของเรา: . ความยาวของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์จะเป็นค่าบวกเสมอ ดังนั้นเครื่องหมายจึงขึ้นอยู่กับค่าของโคไซน์เท่านั้น

บันทึก: เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นของข้อมูลด้านล่าง จะดีกว่าที่จะศึกษากราฟโคไซน์ในคู่มือ กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชัน. ดูว่าโคไซน์ทำงานอย่างไรบนเซ็กเมนต์

ตามที่ระบุไว้แล้ว มุมระหว่างเวกเตอร์สามารถเปลี่ยนแปลงได้ภายใน และเป็นไปได้ในกรณีต่อไปนี้:

1) ถ้า ฉีดระหว่างเวกเตอร์ เผ็ด: (ตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา) จากนั้น , และ สินค้าดอทจะเป็นบวก ร่วมกำกับจากนั้นมุมระหว่างทั้งสองจะถือเป็นศูนย์และผลิตภัณฑ์สเกลาร์จะเป็นบวกด้วย เนื่องจาก สูตรจึงถูกทำให้ง่ายขึ้น: .

2) ถ้า ฉีดระหว่างเวกเตอร์ ทื่อ: (จาก 90 ถึง 180 องศา) จากนั้น และในทำนองเดียวกัน dot product เป็นค่าลบ: . กรณีพิเศษ: ถ้าเวกเตอร์ มุ่งตรงข้าม, แล้ว ถือว่ามุมระหว่างกัน ปรับใช้: (180 องศา). ผลคูณสเกลาร์ก็เป็นค่าลบเช่นกัน เนื่องจาก

ข้อความสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน:

1) ถ้า แล้วมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้เป็นแบบเฉียบพลัน อีกทางหนึ่ง เวกเตอร์เป็นทิศทางร่วม

2) ถ้า แล้วมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้จะเป็นมุมป้าน อีกทางหนึ่ง เวกเตอร์ถูกกำกับอย่างตรงกันข้าม

แต่กรณีที่สามมีความสนใจเป็นพิเศษ:

3) ถ้า ฉีดระหว่างเวกเตอร์ ตรง: (90 องศา) จากนั้นและ ผลิตภัณฑ์ดอทเป็นศูนย์: . การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน ถ้า แล้ว . คำสั่งกระชับมีสูตรดังนี้: ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ที่กำหนดนั้นเป็นมุมฉาก. สัญกรณ์คณิตศาสตร์สั้น:

! บันทึก : ทำซ้ำ พื้นฐานของตรรกะทางคณิตศาสตร์: ไอคอนผลเชิงตรรกะสองด้านมักจะอ่านว่า "ถ้าเท่านั้น", "ถ้าและเฉพาะถ้า" อย่างที่คุณเห็น ลูกศรถูกชี้ไปทั้งสองทิศทาง - "จากสิ่งนี้ตามนี้ และในทางกลับกัน - จากนี้ไปตามนี้" ยังไงซะ ความแตกต่างจากไอคอนติดตามทางเดียว ? การอ้างสิทธิ์ไอคอน ว่ามีเพียงว่า "จากสิ่งนี้ตามนี้" และไม่ใช่ความจริงที่ว่าสิ่งที่ตรงกันข้ามเป็นจริง ตัวอย่างเช่น: แต่ไม่ใช่สัตว์ทุกตัวที่เป็นเสือดำ ดังนั้นจึงไม่สามารถใช้ไอคอนได้ในกรณีนี้ ในเวลาเดียวกัน แทนที่จะเป็นไอคอน สามารถใช้ไอคอนด้านเดียว ตัวอย่างเช่น ขณะแก้ปัญหา เราพบว่าเราสรุปได้ว่าเวกเตอร์เป็นมุมฉาก: - บันทึกดังกล่าวจะถูกต้องและเหมาะสมกว่า .

กรณีที่สามมีความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างมากเนื่องจากจะช่วยให้คุณตรวจสอบว่าเวกเตอร์เป็นมุมฉากหรือไม่ เราจะแก้ปัญหานี้ในส่วนที่สองของบทเรียน

คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ดอท

กลับไปที่สถานการณ์เมื่อเวกเตอร์สองตัว ร่วมกำกับ. ในกรณีนี้ มุมระหว่างค่าทั้งสองจะเป็นศูนย์ และสูตรผลคูณของสเกลาร์จะอยู่ในรูปแบบ:

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเวกเตอร์คูณด้วยตัวมันเอง? เป็นที่ชัดเจนว่าเวกเตอร์มีทิศทางร่วมกับตัวมันเอง ดังนั้นเราจึงใช้สูตรแบบง่ายข้างต้น:

เบอร์นี้เรียกว่า สเกลาร์สแควร์ vector และแสดงเป็น .

ทางนี้, สเกลาร์สแควร์ของเวกเตอร์เท่ากับกำลังสองของความยาวของเวกเตอร์ที่กำหนด:

จากความเท่าเทียมกันนี้ คุณจะได้สูตรการคำนวณความยาวของเวกเตอร์:

แม้ว่าจะดูคลุมเครือ แต่งานของบทเรียนจะทำให้ทุกอย่างเข้าที่ เพื่อแก้ปัญหา เรายังต้อง คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ดอท.

สำหรับเวกเตอร์ที่กำหนดเองและจำนวนใดๆ คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริง:

1) - พลัดถิ่นหรือ สับเปลี่ยนกฎหมายผลิตภัณฑ์สเกลาร์

2) - จำหน่ายหรือ แจกจ่ายกฎหมายผลิตภัณฑ์สเกลาร์ พูดง่ายๆ ก็คือ คุณสามารถเปิดวงเล็บได้

3) - การรวมกันหรือ สมาคมกฎหมายผลิตภัณฑ์สเกลาร์ สามารถนำค่าคงที่ออกจากผลคูณสเกลาร์ได้

บ่อยครั้งที่คุณสมบัติทุกประเภท (ซึ่งจำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์ด้วย!) นักเรียนจะมองว่าเป็นขยะที่ไม่จำเป็น ซึ่งจะต้องจดจำและลืมอย่างปลอดภัยทันทีหลังการสอบ ดูเหมือนว่าสิ่งที่สำคัญที่นี่ทุกคนรู้ตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 แล้วว่าผลิตภัณฑ์ไม่เปลี่ยนแปลงจากการเรียงสับเปลี่ยนของปัจจัย: ฉันต้องเตือนคุณในวิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูงด้วยวิธีการดังกล่าว มันง่ายที่จะทำสิ่งต่าง ๆ ให้ยุ่งเหยิง ตัวอย่างเช่น สมบัติการสับเปลี่ยนใช้ไม่ได้กับ เมทริกซ์พีชคณิต. มันไม่เป็นความจริงสำหรับ ผลคูณของเวกเตอร์. ดังนั้น อย่างน้อยก็ดีกว่าที่จะเจาะลึกคุณสมบัติใด ๆ ที่คุณจะพบในหลักสูตรคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นเพื่อทำความเข้าใจสิ่งที่สามารถทำได้และไม่สามารถทำได้

ตัวอย่างที่ 3

.

สารละลาย:อันดับแรก เรามาอธิบายสถานการณ์ด้วยเวกเตอร์กันก่อน มันเกี่ยวกับอะไร? ผลรวมของเวกเตอร์และเป็นเวกเตอร์ที่กำหนดไว้อย่างดี ซึ่งเขียนแทนด้วย . การตีความทางเรขาคณิตของการกระทำด้วยเวกเตอร์สามารถพบได้ในบทความ เวกเตอร์สำหรับหุ่น. ผักชีฝรั่งเดียวกันกับเวกเตอร์ คือผลรวมของเวกเตอร์ และ

ดังนั้นตามเงื่อนไข จะต้องค้นหาผลคูณของสเกลาร์ ตามทฤษฎีคุณต้องใช้สูตรการทำงาน แต่ปัญหาคือเราไม่รู้ความยาวของเวกเตอร์และมุมระหว่างพวกมัน แต่ในเงื่อนไขนั้น พารามิเตอร์ที่คล้ายกันจะได้รับสำหรับเวกเตอร์ ดังนั้นเราจะไปทางอื่น:

(1) เราแทนที่นิพจน์ของเวกเตอร์

(2) เราเปิดวงเล็บตามกฎของการคูณของพหุนาม, twister ลิ้นหยาบคายสามารถพบได้ในบทความ ตัวเลขที่ซับซ้อนหรือ การรวมฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ. ฉันจะไม่พูดซ้ำ =) อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติการกระจายของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ช่วยให้เราเปิดวงเล็บได้ เรามีสิทธิ

(3) ในเทอมแรกและเทอมสุดท้าย เราเขียนกำลังสองสเกลาร์ของเวกเตอร์อย่างกระชับ: . ในระยะที่สอง เราใช้การสับเปลี่ยนได้ของผลิตภัณฑ์สเกลาร์:

(4) ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน: .

(5) ในเทอมแรก เราใช้สูตรสเกลาร์สแควร์ที่กล่าวถึงเมื่อไม่นานนี้ ในระยะสุดท้าย ตามลำดับ สิ่งเดียวกันใช้: . ระยะที่สองขยายตามสูตรมาตรฐาน .

(6) แทนที่เงื่อนไขเหล่านี้ และดำเนินการคำนวณขั้นสุดท้ายอย่างระมัดระวัง

ตอบ:

ค่าลบของผลิตภัณฑ์ดอทระบุความจริงที่ว่ามุมระหว่างเวกเตอร์นั้นมีลักษณะป้าน

งานเป็นเรื่องปกติ นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 4

หาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ และ , ถ้าทราบว่า .

งานทั่วไปอีกงานหนึ่ง สำหรับสูตรความยาวเวกเตอร์ใหม่เท่านั้น การกำหนดที่นี่จะทับซ้อนกันเล็กน้อย ดังนั้นเพื่อความชัดเจน ฉันจะเขียนมันใหม่ด้วยตัวอักษรอื่น:

ตัวอย่างที่ 5

หาความยาวของเวกเตอร์ if .

สารละลายจะเป็นดังนี้:

(1) เราจัดหานิพจน์เวกเตอร์

(2) เราใช้สูตรความยาว: ในขณะที่เรามีนิพจน์จำนวนเต็มเป็นเวกเตอร์ "ve"

(3) เราใช้สูตรโรงเรียนสำหรับกำลังสองของผลรวม ให้ความสนใจว่ามันทำงานอย่างไรที่นี่: - อันที่จริง นี่คือกำลังสองของความแตกต่าง และที่จริง มันก็เป็นอย่างนั้น ผู้ที่ต้องการสามารถจัดเรียงเวกเตอร์ในสถานที่: - มันกลับกลายเป็นสิ่งเดียวกันจนถึงการจัดเรียงเงื่อนไขใหม่

(4) สิ่งต่อไปนี้คุ้นเคยจากปัญหาสองข้อก่อนหน้านี้แล้ว

ตอบ:

เนื่องจากเรากำลังพูดถึงความยาว อย่าลืมระบุขนาด - "หน่วย"

ตัวอย่างที่ 6

หาความยาวของเวกเตอร์ if .

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง คำตอบที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

เรายังคงบีบสิ่งที่มีประโยชน์ออกจากผลคูณสเกลาร์ มาดูสูตรของเรากันอีกครั้ง . ตามกฎของสัดส่วน เรารีเซ็ตความยาวของเวกเตอร์เป็นตัวส่วนทางด้านซ้าย:

มาสลับชิ้นส่วนกัน:

ความหมายของสูตรนี้คืออะไร? ถ้าทราบความยาวของเวกเตอร์สองตัวและผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของพวกมัน ก็จะสามารถคำนวณโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้ได้ และด้วยเหตุนี้ ตัวของมุมเอง

ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เป็นตัวเลขหรือไม่? ตัวเลข. ความยาวเวกเตอร์เป็นตัวเลขหรือไม่ ตัวเลข เศษส่วนก็เป็นตัวเลขเช่นกัน และถ้าทราบโคไซน์ของมุม: เมื่อใช้ฟังก์ชันผกผัน จะหามุมได้ง่าย: .

ตัวอย่าง 7

หามุมระหว่างเวกเตอร์ และ ถ้าทราบแล้ว

สารละลาย:เราใช้สูตร:

ในขั้นตอนสุดท้ายของการคำนวณ มีการใช้เทคนิค - การกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน เพื่อขจัดความไร้เหตุผล ฉันคูณทั้งตัวเศษและส่วนด้วย .

ดังนั้นถ้า , แล้ว:

สามารถหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันได้โดย ตารางตรีโกณมิติ. แม้ว่าสิ่งนี้จะไม่ค่อยเกิดขึ้น ในปัญหาของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ หมีเงอะงะบางตัวปรากฏขึ้นบ่อยกว่ามาก และต้องหาค่ามุมโดยประมาณโดยใช้เครื่องคิดเลข อันที่จริง เราจะเห็นภาพนี้ซ้ำแล้วซ้ำเล่า

ตอบ:

อย่าลืมระบุมิติข้อมูล - เรเดียนและองศาอีกครั้ง โดยส่วนตัวแล้ว ในการจงใจ "ลบคำถามทั้งหมด" ฉันต้องการระบุทั้งสองอย่าง (เว้นแต่ตามเงื่อนไข จำเป็นต้องนำเสนอคำตอบเป็นเรเดียนหรือหน่วยองศาเท่านั้น)

ตอนนี้คุณจะสามารถรับมือกับงานที่ยากขึ้นได้ด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 7*

กำหนดความยาวของเวกเตอร์ และมุมระหว่างพวกมัน หามุมระหว่างเวกเตอร์ , .

งานไม่ยากเท่าหลายทาง
มาวิเคราะห์อัลกอริทึมของโซลูชันกัน:

1) ตามเงื่อนไข จะต้องหามุมระหว่างเวกเตอร์ กับ ดังนั้น คุณต้องใช้สูตร .

2) เราพบผลิตภัณฑ์สเกลาร์ (ดูตัวอย่างที่ 3, 4)

3) ค้นหาความยาวของเวกเตอร์และความยาวของเวกเตอร์ (ดูตัวอย่างที่ 5, 6)

4) จุดสิ้นสุดของการแก้ปัญหาเกิดขึ้นพร้อมกับตัวอย่างที่ 7 - เรารู้ตัวเลข ซึ่งหมายความว่าหามุมได้ง่าย:

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ส่วนที่สองของบทเรียนนี้เน้นไปที่ผลคูณดอทเดียวกัน พิกัด. มันจะง่ายกว่าในส่วนแรก

ผลคูณดอทของเวกเตอร์
กำหนดโดยพิกัดตามลำดับปกติ

ตอบ:

จำเป็นต้องพูดการจัดการพิกัดนั้นน่าพอใจกว่ามาก

ตัวอย่าง 14

หาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์และ if

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง ที่นี่คุณสามารถใช้การเชื่อมโยงของการดำเนินการนั่นคือไม่นับ แต่นำสเกลาร์สามตัวออกจากผลิตภัณฑ์สเกลาร์ทันทีแล้วคูณด้วยสุดท้าย คำตอบและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ที่ส่วนท้ายของย่อหน้า ตัวอย่างที่ยั่วยุของการคำนวณความยาวของเวกเตอร์:

ตัวอย่าง 15

หาความยาวของเวกเตอร์ , ถ้า

สารละลาย:วิธีการของส่วนก่อนหน้านี้แนะนำตัวเองอีกครั้ง: แต่มีวิธีอื่น:

มาหาเวกเตอร์กัน:

และความยาวตามสูตรเล็กน้อย :

ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ไม่เกี่ยวข้องเลย!

การคำนวณความยาวของเวกเตอร์เป็นอย่างไร
หยุด. ทำไมไม่ใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติความยาวที่ชัดเจนของเวกเตอร์ล่ะ? สิ่งที่สามารถพูดเกี่ยวกับความยาวของเวกเตอร์? เวกเตอร์นี้ยาวกว่าเวกเตอร์ 5 เท่า ทิศทางตรงกันข้ามแต่ไม่สำคัญเพราะเรากำลังพูดถึงความยาว แน่นอน ความยาวของเวกเตอร์เท่ากับผลคูณ โมดูลตัวเลขต่อความยาวเวกเตอร์:
- เครื่องหมายของโมดูล "กิน" ค่าลบที่เป็นไปได้ของตัวเลข

ทางนี้:

ตอบ:

สูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพิกัด

ตอนนี้เรามีข้อมูลที่ครบถ้วนแล้วเพื่อแสดงสูตรที่ได้รับก่อนหน้านี้สำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ในแง่ของพิกัดของเวกเตอร์:

โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ระนาบและ , กำหนดแบบ orthonormal , แสดงโดยสูตร:
.

โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์อวกาศ, กำหนดแบบออร์โธนอร์มอล, แสดงโดยสูตร:

ตัวอย่างที่ 16

ให้จุดยอดสามจุดของสามเหลี่ยม หา (มุมยอด ).

สารละลาย:ตามเงื่อนไขไม่จำเป็นต้องวาดรูป แต่ยังคง:

มุมที่ต้องการจะถูกทำเครื่องหมายด้วยส่วนโค้งสีเขียว เราจำการกำหนดมุมของโรงเรียนได้ทันที: - ให้ความสนใจเป็นพิเศษกับ กลางจดหมาย - นี่คือจุดยอดของมุมที่เราต้องการ เพื่อความกระชับ สามารถเขียนแบบง่ายๆ ได้เช่นกัน

จากรูปวาด จะเห็นได้ชัดว่ามุมของสามเหลี่ยมตรงกับมุมระหว่างเวกเตอร์ และ กล่าวอีกนัยหนึ่ง: .

เป็นที่พึงปรารถนาที่จะเรียนรู้วิธีการทำการวิเคราะห์ทางจิตใจ

มาหาเวกเตอร์กัน:

มาคำนวณผลคูณสเกลาร์กัน:

และความยาวของเวกเตอร์:

โคไซน์ของมุม:

เป็นลำดับของงานที่ฉันแนะนำให้กับหุ่น ผู้อ่านขั้นสูงสามารถเขียนการคำนวณ "ในหนึ่งบรรทัด":

นี่คือตัวอย่างค่าโคไซน์ที่ "ไม่ดี" ค่าผลลัพธ์ไม่เป็นที่สิ้นสุด ดังนั้นจึงไม่มีประเด็นมากในการกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน

มาหามุมกัน:

หากคุณดูภาพวาดผลลัพธ์จะค่อนข้างน่าเชื่อถือ ในการตรวจสอบมุมยังสามารถวัดด้วยไม้โปรแทรกเตอร์ อย่าทำให้การเคลือบจอภาพเสียหาย =)

ตอบ:

ในคำตอบอย่าลืมว่า ถามถึงมุมของสามเหลี่ยม(และไม่เกี่ยวกับมุมระหว่างเวกเตอร์) อย่าลืมระบุคำตอบที่แน่นอน: และค่าโดยประมาณของมุม: พบกับเครื่องคิดเลข

ผู้ที่ชื่นชอบกระบวนการนี้สามารถคำนวณมุม และตรวจสอบให้แน่ใจว่าความเท่าเทียมกันตามรูปแบบบัญญัติเป็นจริง

ตัวอย่าง 17

สามเหลี่ยมถูกกำหนดในอวกาศโดยพิกัดของจุดยอดของมัน หามุมระหว่างด้านกับ

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง คำตอบที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ส่วนสุดท้ายขนาดเล็กจะทุ่มเทให้กับการคาดการณ์ซึ่งผลิตภัณฑ์สเกลาร์ก็ "เกี่ยวข้อง" ด้วย:

การฉายภาพเวกเตอร์ลงบนเวกเตอร์ การฉายภาพเวกเตอร์บนแกนพิกัด
โคไซน์ทิศทางเวกเตอร์

พิจารณาเวกเตอร์และ:

เราฉายเวกเตอร์ลงบนเวกเตอร์ สำหรับสิ่งนี้เราละเว้นจากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ตั้งฉากต่อเวกเตอร์ (เส้นประสีเขียว) ลองนึกภาพว่ารังสีของแสงตกลงมาในแนวตั้งฉากกับเวกเตอร์ จากนั้นส่วน (เส้นสีแดง) จะเป็น "เงา" ของเวกเตอร์ ในกรณีนี้ การฉายภาพของเวกเตอร์บนเวกเตอร์คือ LENGTH ของเซ็กเมนต์ นั่นคือ PROJECTION IS A NUMBER

NUMBER นี้แสดงดังนี้: , "เวกเตอร์ขนาดใหญ่" หมายถึงเวกเตอร์ ซึ่งโครงการ "เวกเตอร์ตัวห้อยขนาดเล็ก" หมายถึงเวกเตอร์ บนซึ่งเป็นที่คาดการณ์

ตัวข้อความนั้นอ่านได้ดังนี้: “การฉายภาพของเวกเตอร์ “a” ไปยังเวกเตอร์ “เป็น”

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเวกเตอร์ "be" "สั้นเกินไป" เราวาดเส้นตรงที่มีเวกเตอร์ "เป็น" และเวกเตอร์ "a" จะถูกฉายออกมาแล้ว ไปยังทิศทางของเวกเตอร์ "เป็น"ง่ายๆ - บนเส้นตรงที่มีเวกเตอร์ "be" สิ่งเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นหากเวกเตอร์ "a" ถูกจัดวางไว้ในอาณาจักรที่ 30 - จะยังคงฉายภาพได้อย่างง่ายดายบนเส้นที่มีเวกเตอร์ "be"

ถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์ เผ็ด(ตามภาพ) แล้ว

ถ้าเวกเตอร์ มุมฉากจากนั้น (การฉายภาพคือจุดที่ถือว่ามิติข้อมูลเป็นศูนย์)

ถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์ ทื่อ(ในรูป จัดเรียงลูกศรของเวกเตอร์ทางจิตใจ) จากนั้น (ความยาวเท่ากัน แต่ถ่ายด้วยเครื่องหมายลบ)

กันเวกเตอร์เหล่านี้จากจุดหนึ่ง:

แน่นอน เมื่อเคลื่อนที่เวกเตอร์ การฉายภาพจะไม่เปลี่ยนแปลง

นอกจากนี้ยังมีงานสำหรับโซลูชันอิสระ ซึ่งคุณสามารถดูคำตอบได้

หากในปัญหามีการนำเสนอทั้งความยาวของเวกเตอร์และมุมระหว่างพวกเขา "บนจานสีเงิน" แสดงว่าสภาพของปัญหาและวิธีแก้ไขจะมีลักษณะดังนี้:

ตัวอย่างที่ 1เวกเตอร์จะได้รับ ค้นหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ถ้าความยาวและมุมระหว่างพวกมันแทนด้วยค่าต่อไปนี้:

คำจำกัดความอื่นก็ใช้ได้เช่นกัน ซึ่งเทียบเท่ากับคำจำกัดความที่ 1 โดยสิ้นเชิง

คำจำกัดความ 2. ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์คือตัวเลข (สเกลาร์) เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้และการฉายภาพของเวกเตอร์อื่นบนแกนที่กำหนดโดยเวกเตอร์แรกเหล่านี้ สูตรตามคำจำกัดความ 2:

เราจะแก้ปัญหาโดยใช้สูตรนี้หลังจากจุดทฤษฎีที่สำคัญต่อไป

คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์ในแง่ของพิกัด

สามารถรับหมายเลขเดียวกันได้หากเวกเตอร์คูณถูกกำหนดโดยพิกัด

คำจำกัดความ 3ผลคูณดอทของเวกเตอร์คือตัวเลขที่เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์คู่ของพิกัดตามลำดับ

บนพื้นผิว

ถ้าเวกเตอร์สองตัวและในระนาบถูกกำหนดโดยสองตัว . ของพวกมัน พิกัดคาร์ทีเซียน

จากนั้นดอทโปรดัคของเวกเตอร์เหล่านี้จะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ที่เป็นคู่ของพิกัดตามลำดับ:

.

ตัวอย่าง 2หาค่าตัวเลขของการฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนที่ขนานกับเวกเตอร์

สารละลาย. เราพบผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์โดยการเพิ่มผลคูณคู่ของพิกัด:

ตอนนี้ เราต้องทำให้ผลคูณสเกลาร์เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์และการฉายภาพเวกเตอร์บนแกนที่ขนานกับเวกเตอร์ (ตามสูตร)

เราหาความยาวของเวกเตอร์เป็นรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัด:

.

เขียนสมการและแก้มัน:

ตอบ. ค่าตัวเลขที่ต้องการคือลบ 8

ในที่ว่าง

ถ้าเวกเตอร์สองตัวและในอวกาศถูกกำหนดโดยพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนทั้งสามของพวกมัน

,

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้ก็เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์คู่ของพิกัดตามลำดับ มีเพียงสามพิกัดเท่านั้น:

.

งานในการหาผลคูณของสเกลาร์ในลักษณะที่พิจารณาคือหลังจากวิเคราะห์คุณสมบัติของผลคูณสเกลาร์แล้ว เพราะในงานจำเป็นต้องกำหนดมุมของเวกเตอร์ที่คูณกัน

คุณสมบัติของ Dot Product ของ Vectors

คุณสมบัติพีชคณิต

1. (สมบัติการสับเปลี่ยน: คุณค่าของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ไม่เปลี่ยนจากการเปลี่ยนตำแหน่งของเวกเตอร์คูณ)

2. (สมบัติที่สัมพันธ์กับตัวประกอบตัวเลข: ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์คูณด้วยปัจจัยบางตัว และเวกเตอร์อื่นเท่ากับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้คูณด้วยตัวประกอบเดียวกัน)

3. (สมบัติการกระจายเทียบกับผลรวมของเวกเตอร์: ผลคูณสเกลาร์ของผลบวกของเวกเตอร์สองตัวโดยเวกเตอร์ตัวที่สาม เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์แรกคูณเวกเตอร์ที่สาม และเวกเตอร์ที่สองคูณเวกเตอร์ที่สาม)

4. (สเกลาร์กำลังสองของเวกเตอร์ที่มากกว่าศูนย์) if เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ และ ถ้า เป็นเวกเตอร์ศูนย์

คุณสมบัติทางเรขาคณิต

ในคำจำกัดความของการดำเนินการภายใต้การศึกษา เราได้กล่าวถึงแนวคิดของมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวแล้ว ได้เวลาชี้แจงแนวคิดนี้แล้ว

ในรูปด้านบน จะมองเห็นเวกเตอร์สองตัว ซึ่งนำไปสู่จุดเริ่มต้นทั่วไป และอย่างแรกที่คุณต้องใส่ใจ: มีสองมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้ - φ 1 และ φ 2 . มุมใดต่อไปนี้ปรากฏในคำจำกัดความและคุณสมบัติของผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ ผลรวมของมุมที่พิจารณาคือ2 π ดังนั้นโคไซน์ของมุมเหล่านี้จึงเท่ากัน คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ dot รวมเฉพาะโคไซน์ของมุม ไม่ใช่ค่าของนิพจน์ แต่มีเพียงมุมเดียวเท่านั้นที่ถือว่าอยู่ในคุณสมบัติ และนี่คือหนึ่งในสองมุมที่ไม่เกิน π เช่น 180 องศา มุมนี้แสดงในรูปเป็น φ 1 .

1. เรียกเวกเตอร์สองตัว มุมฉาก และ มุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้เป็นมุมขวา (90 องศาหรือ π /2 ) ถ้า ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้เป็นศูนย์ :

.

มุมฉากในพีชคณิตเวกเตอร์คือความตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว

2. ประกอบเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัว มุมแหลม (จาก 0 ถึง 90 องศาหรืออะไรเหมือนกันน้อยกว่า π dot product เป็นบวก .

3. ประกอบเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัว มุมป้าน (จาก 90 ถึง 180 องศาหรืออะไรที่เหมือนกัน - มากกว่า π /2 ) ถ้าเท่านั้นถ้า dot product เป็นค่าลบ .

ตัวอย่างที่ 3เวกเตอร์ได้รับในพิกัด:

.

คำนวณผลคูณดอทของเวกเตอร์ที่กำหนดทุกคู่ เวกเตอร์คู่เหล่านี้ทำมุมใด (แหลม, ขวา, ป้าน)

สารละลาย. เราจะคำนวณโดยการเพิ่มผลคูณของพิกัดที่เกี่ยวข้อง

เราได้จำนวนลบ, เวกเตอร์จึงสร้างมุมป้าน

เราได้จำนวนบวก, เวกเตอร์จึงสร้างมุมแหลม

เราได้ศูนย์, เวกเตอร์จึงสร้างมุมฉาก

เราได้จำนวนบวก, เวกเตอร์จึงสร้างมุมแหลม

.

เราได้จำนวนบวก, เวกเตอร์จึงสร้างมุมแหลม

สำหรับการทดสอบตัวเอง คุณสามารถใช้ เครื่องคิดเลขออนไลน์ Dot product ของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน .

ตัวอย่างที่ 4กำหนดความยาวของเวกเตอร์สองตัวและมุมระหว่างพวกมัน:

.

กำหนดว่าเวกเตอร์มีค่าเท่าใดและเป็นมุมฉาก (ตั้งฉาก)

สารละลาย. เราคูณเวกเตอร์ตามกฎการคูณของพหุนาม:

ทีนี้มาคำนวณแต่ละเทอมกัน:

.

มาเขียนสมการ (ความเท่าเทียมกันของผลิตภัณฑ์เป็นศูนย์) ให้เงื่อนไขเหมือนกันและแก้สมการ:

คำตอบ: เราได้ค่า λ = 1.8 โดยที่เวกเตอร์เป็นมุมฉาก

ตัวอย่างที่ 5พิสูจน์ว่าเวกเตอร์ มุมฉาก (ตั้งฉาก) กับเวกเตอร์

สารละลาย. ในการตรวจสอบมุมฉาก เราคูณเวกเตอร์และพหุนามแทนนิพจน์ที่ให้ไว้ในเงื่อนไขปัญหาแทนที่จะเป็น:

.

ในการทำเช่นนี้ คุณต้องคูณแต่ละเทอม (เทอม) ของพหุนามแรกด้วยแต่ละเทอมของวินาที และเพิ่มผลลัพธ์ที่ได้:

.

ส่งผลให้เศษส่วนที่ครบกำหนดลดลง ผลลัพธ์ต่อไปนี้จะได้รับ:

สรุป: จากการคูณ เราได้ศูนย์ ดังนั้น สมการมุมฉาก (ความตั้งฉาก) ของเวกเตอร์ได้รับการพิสูจน์แล้ว

แก้ปัญหาด้วยตัวเองแล้วดูวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 6จากความยาวของเวกเตอร์ และ และมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้คือ π /4 . กำหนดว่าค่าอะไร μ เวกเตอร์และตั้งฉากกัน

สำหรับการทดสอบตัวเอง คุณสามารถใช้ เครื่องคิดเลขออนไลน์ Dot product ของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน .

การแสดงเมทริกซ์ของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์ n มิติ

เพื่อความชัดเจนในบางครั้ง เป็นการดีกว่าที่จะแทนเวกเตอร์คูณสองตัวในรูปแบบของเมทริกซ์ จากนั้นเวกเตอร์แรกจะแสดงเป็นเมทริกซ์แถว และเวกเตอร์ที่สองเป็นเมทริกซ์ของคอลัมน์:

แล้วผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์จะเป็น ผลคูณของเมทริกซ์เหล่านี้ :

ผลลัพธ์ก็เหมือนกับที่ได้จากวิธีที่เราได้พิจารณาไปแล้ว เราได้เลขตัวเดียว และผลคูณของแถวเมทริกซ์โดยคอลัมน์เมทริกซ์ ก็เป็นเลขตัวเดียวด้วย

ในรูปแบบเมทริกซ์ เป็นการสะดวกที่จะนำเสนอผลคูณของเวกเตอร์มิติ n ที่เป็นนามธรรม ดังนั้น ผลคูณของเวกเตอร์สี่มิติสองอันจะเป็นผลคูณของเมทริกซ์แถวที่มีองค์ประกอบสี่ตัวโดยเมทริกซ์คอลัมน์ด้วยองค์ประกอบสี่องค์ประกอบด้วย ผลคูณของเวกเตอร์ห้ามิติสองอันจะเป็นผลคูณของเมทริกซ์แถวที่มีองค์ประกอบห้าตัวโดย เมทริกซ์คอลัมน์ที่มีองค์ประกอบห้าตัวเช่นกัน เป็นต้น

ตัวอย่าง 7ค้นหาผลิตภัณฑ์ Dot ของคู่เวกเตอร์

,

โดยใช้การแสดงเมทริกซ์

สารละลาย. เวกเตอร์คู่แรก เราแทนเวกเตอร์แรกเป็นเมทริกซ์แถว และอันที่สองเป็นเมทริกซ์ของคอลัมน์ เราพบผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้เป็นผลคูณของเมทริกซ์แถวโดยเมทริกซ์คอลัมน์:

ในทำนองเดียวกัน เราเป็นตัวแทนของคู่ที่สองและพบว่า:

อย่างที่คุณเห็น ผลลัพธ์จะเหมือนกับคู่เดียวกันจากตัวอย่างที่ 2

มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว

ที่มาของสูตรโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวนั้นสวยงามและรัดกุมมาก

เพื่อแสดงผลคูณดอทของเวกเตอร์

(1)

ในรูปแบบพิกัด อันดับแรก เราจะหาผลคูณสเกลาร์ของออร์ต ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่มีตัวมันเองนั้นเป็นไปตามคำจำกัดความ:

สิ่งที่เขียนในสูตรข้างต้นหมายถึง: ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่มีตัวมันเองเท่ากับกำลังสองของความยาว. โคไซน์ของศูนย์เท่ากับหนึ่ง ดังนั้นกำลังสองของแต่ละออร์ทจะเท่ากับหนึ่ง:

เนื่องจากเวกเตอร์

เป็นคู่ตั้งฉาก จากนั้นผลคูณคู่ของออร์ตจะเท่ากับศูนย์:

ทีนี้มาทำการคูณพหุนามเวกเตอร์กัน:

เราแทนที่ค่าของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ที่สอดคล้องกันของ orts ทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน:

เราได้สูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว:

ตัวอย่างที่ 8ให้สามแต้ม อา(1;1;1), บี(2;2;1), ค(2;1;2).

หามุม.

สารละลาย. เราพบพิกัดของเวกเตอร์:

,

.

จากสูตรของโคไซน์ของมุม จะได้

เพราะฉะนั้น, .

สำหรับการทดสอบตัวเอง คุณสามารถใช้ เครื่องคิดเลขออนไลน์ Dot product ของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน .

ตัวอย่างที่ 9ให้เวกเตอร์สองตัว

หาผลรวม ความแตกต่าง ความยาว ดอทโปรดัค และมุมระหว่างพวกมัน

2.ความแตกต่าง