Za vektore i, date njihovim koordinatama, mješoviti proizvod se izračunava po formuli:.

Koristi se mješoviti rad: 1) izračunati zapremine tetraedra i paralelepipeda, izgrađenih na vektorima, i, kao na ivicama, po formuli:; 2) kao uslov komplanarnosti vektora, i: i su koplanarni.

Tema 5. Prave linije i ravni.

Normalni vektor linije , naziva se bilo koji vektor različit od nule okomit na datu pravu. Vektor smjera prave linije , naziva se bilo koji vektor različit od nule paralelan datoj liniji.

Pravo na površini

1) - opšta jednačina prava linija, gdje je vektor normale prave linije;

2) - jednačina prave koja prolazi kroz tačku okomitu na dati vektor;

3) kanonska jednačina );

4)

5) - pravolinijske jednačine sa nagibom , gdje je tačka kroz koju prolazi prava linija; () - ugao koji prava linija čini sa osom; - dužina segmenta (sa predznakom) odsječenog pravom linijom na osi (znak "" ako je segment odsječen na pozitivnom dijelu ose i "" ako je na negativnom).

6) - jednačina prave linije u segmentima, gdje su i dužine segmenata (sa predznakom) odsječenih ravnom linijom na koordinatnoj osi i (znak "" ako je segment odsječen na pozitivnom dijelu ose i "" ako je na negativnom).

Udaljenost od tačke do linije dato općom jednadžbom na ravni nalazi se po formuli:

injekcija , ( )između ravnih i, dato općim jednadžbama ili jednadžbama s nagibom, nalazi se jednom od sljedećih formula:

Ako ili.

Ako ili

Koordinate tačke preseka linija i nalaze se kao rješenje sistema linearnih jednačina: ili.

Vektor normale ravni , naziva se bilo koji vektor različit od nule okomit na datu ravan.

Avion u koordinatnom sistemu može se specificirati jednadžbom jednog od sljedećih tipova:

1) - opšta jednačina ravan, gdje je vektor normale ravni;

2) - jednačina ravnine koja prolazi kroz tačku okomitu na dati vektor;

3) - jednačina ravnine koja prolazi kroz tri tačke, i;

4) - ravan jednadžba u segmentima, gdje su i dužine segmenata (sa predznakom) odsječenih ravninom na koordinatnoj osi, i (znak “” ako je segment odsječen na pozitivnom dijelu ose i “” ako je na negativnom ).

Udaljenost od tačke do ravni dato općom jednačinom nalazi se po formuli:

injekcija ,( )između aviona i, dato općim jednačinama, nalazi se formulom:

Pravo u svemiru u koordinatnom sistemu može se specificirati jednadžbom jednog od sljedećih tipova:

1) - opšta jednačina prava, kao linije preseka dve ravni, gde je i - normalni vektori ravni i;

2) - jednačina prave koja prolazi kroz tačku paralelnu datom vektoru ( kanonska jednačina );

3) - jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke,;

4) - jednadžba prave linije koja prolazi kroz tačku paralelnu datom vektoru, ( parametarska jednačina );

injekcija , ( ) između ravnih i u svemiru dato kanonskim jednadžbama nalazi se po formuli:

Koordinate raskrsnice linija dato parametarskom jednačinom i avion , date opštom jednačinom, nalaze se kao rešenje sistema linearnih jednačina:.

injekcija , ( ) između ravnih dato kanonskom jednacinom i avion dato općom jednačinom nalazi se formulom:.

Tema 6. Krive drugog reda.

Algebarska kriva drugog reda u koordinatnom sistemu naziva se kriva, opšta jednačina koji ima oblik:

gdje brojevi nisu jednaki nuli u isto vrijeme. Postoji sljedeća klasifikacija krivulja drugog reda: 1) ako, onda opća jednadžba definira krivu eliptičnog tipa (krug (at), elipsa (at), prazan skup, tačka); 2) ako, onda - kriva hiperboličkog tipa (hiperbola, par linija koje se seku); 3) ako, onda - kriva paraboličnog tipa(parabola, prazan skup, prava, par paralelnih pravih). Zovu se krug, elipsa, hiperbola i parabola nedegenerisane krive drugog reda.

Opća jednadžba, gdje se definira nedegenerirana krivulja (krug, elipsa, hiperbola, parabola), uvijek se (metodom izolacije savršenih kvadrata) može svesti na jednadžbu jednog od sljedećih tipova:

1a) - jednadžba kružnice sa centrom u tački i poluprečnikom (slika 5).

1b)- jednadžba elipse sa centrom u tački i osama simetrije paralelnim sa koordinatnim osa. Pozivaju se brojevi i - poluose elipse glavni pravougaonik elipse; vrhove elipse .

Da nacrtate elipsu u koordinatnom sistemu: 1) označite centar elipse; 2) povući kroz centar isprekidanom linijom os simetrije elipse; 3) isprekidanom linijom crtamo glavni pravougaonik elipse sa centrom i stranicama paralelnim sa osama simetrije; 4) crtamo elipsu punom linijom, upisujemo je u glavni pravougaonik tako da elipsa dodiruje svoje stranice samo na vrhovima elipse (slika 6).

Slično, konstruisan je krug čiji glavni pravougaonik ima stranice (slika 5).

Slika 5 Slika 6

2) - jednačine hiperbola (tzv povezane) centriran u tački i sa osama simetrije paralelnim s koordinatnim osa. Pozivaju se brojevi i - poluose hiperbole ; pravougaonik sa stranicama paralelnim sa osi simetrije i centrom u tački - glavni pravougaonik hiperbola; tačke preseka glavnog pravougaonika sa osama simetrije - vrhovi hiperbola; prave linije koje prolaze kroz suprotne vrhove glavnog pravougaonika - asimptote hiperbola .

Da biste izgradili hiperbolu u koordinatnom sistemu: 1) označiti centar hiperbole; 2) isprekidanom linijom nacrtati os simetrije hiperbole kroz centar; 3) crtamo isprekidanu liniju za glavni pravougaonik hiperbole sa centrom i stranicama i paralelno sa osama simetrije; 4) crtaju prave linije kroz suprotne vrhove glavnog pravougaonika isprekidanom linijom, koje su asimptote hiperbole, kojima se grane hiperbole približavaju beskonačno blizu, na beskonačnoj udaljenosti od početka koordinata, a da ih ne prelaze; 5) crtamo grane hiperbole (slika 7) ili hiperbole (slika 8) punom linijom.

Slika 7 Slika 8

3a)- jednadžba parabole sa vrhom u tački i osom simetrije paralelnom sa koordinatnom osom (slika 9).

3b)- jednadžba parabole sa vrhom u tački i osom simetrije paralelnom sa koordinatnom osom (slika 10).

Da nacrtate parabolu u koordinatnom sistemu: 1) označite vrh parabole; 2) isprekidanom linijom nacrtati os simetrije parabole kroz vrh; 3) crtamo parabolu punom linijom, usmjeravajući njenu granu, uzimajući u obzir predznak parametra parabole: at - na pozitivnoj strani koordinatne ose paralelne s osi simetrije parabole (sl. 9a i 10a); at - u negativnom smjeru koordinatne ose (sl. 9b i 10b).

Rice. 9a sl. 9b

Rice. 10a Fig. 10b

Tema 7. Setovi. Setovi brojeva. Funkcija.

Ispod mnoštvo razumjeti određeni skup objekata bilo koje prirode, koji se razlikuju jedan od drugog i zamislivi kao cjelina. Objekti koji čine skup to zovu elementi ... Skup može biti beskonačan (sastoji se od beskonačnog broja elemenata), konačan (sastoji se od konačnog broja elemenata), prazan (ne sadrži niti jedan element). Skupovi označavaju:, a njihovi elementi:. Prazan skup je označen sa.

Mnoštvo se zove podset skup ako svi elementi skupa pripadaju skupu i pisati. Skupovi i pozivaju se jednaka ako se sastoje od istih elemenata i pišu. Dva skupa i bit će jednaki ako i samo ako i.

Mnoštvo se zove univerzalni (u okviru ove matematičke teorije) , ako su njegovi elementi svi objekti koji se razmatraju u ovoj teoriji.

Mnogi se mogu podesiti: 1) navođenjem svih njegovih elemenata, na primjer: (samo za konačne skupove); 2) postavljanjem pravila za određivanje pripadnosti elementa univerzalnog skupa datom skupu:.

Konsolidacija

Prelazak skupova i naziva se skup

Razlika skupova i naziva se skup

Dodatak skup (do univerzalnog skupa) naziva se skup.

Dva seta se zovu ekvivalentan i napišite ~ ako se može uspostaviti korespondencija jedan-na-jedan između elemenata ovih skupova. Skup se zove counting ako je ekvivalentan skupu prirodnih brojeva: ~. Prazan skup je, po definiciji, prebrojiv.

Koncept kardinalnosti skupa nastaje kada se skupovi upoređuju prema broju elemenata koji sadrže. Kardinalnost skupa je označena sa. Kardinalnost konačnog skupa je broj njegovih elemenata.

Ekvivalentni skupovi imaju jednaku kardinalnost. Skup se zove nebrojivo ako je njegova kardinalnost veća od kardinalnosti skupa.

Validan (stvarno) broj naziva se beskonačni decimalni razlomak, uzet sa znakom "+" ili "". Realni brojevi se identifikuju tačkama brojevne prave. Modul (apsolutna vrijednost) realnog broja je nenegativan broj:

Skup se zove numerički ako su njegovi elementi realni brojevi. intervalima skupovi brojeva se nazivaju:,,,,,,,,.

Skup svih tačaka na brojevnoj pravoj koje zadovoljavaju uslov, gdje je proizvoljno mali broj, naziva se -susjedstvo (ili samo susjedstvo) tačke i označava se sa. Skup svih tačaka pod uslovom, gdje je proizvoljno veliki broj, naziva se - susjedstvo (ili samo susjedstvo) beskonačnosti i označava se sa.

Količina koja čuva istu brojčanu vrijednost se zove trajno. Količina koja poprima različite numeričke vrijednosti naziva se varijabla. Funkcija poziva se pravilo prema kojem se svaki broj pridružuje jednom dobro definiranom broju i oni pišu. Skup se zove obim funkcije, - mnoštvo ( ili region ) vrijednosti funkcije, - argument , - vrijednost funkcije . Najčešći način definiranja funkcije je analitički način, u kojem se funkcija definira formulom. Prirodni domen definicije funkcija je skup vrijednosti argumenata za koje data formula ima smisla. Funkcijski graf , u pravougaonom koordinatnom sistemu, je skup svih tačaka ravni sa koordinatama,.

Funkcija se poziva čak na skupu simetričnom u odnosu na tačku, ako je uvjet zadovoljen za sve: i odd ako je uslov ispunjen. Inače, funkcija opšti pogled ili ni par ni neparan .

Funkcija se poziva periodično na setu, ako postoji broj ( period funkcije ), tako da je uslov zadovoljen za sve:. Najmanji broj naziva se glavni period.

Funkcija se poziva monotono raste (smanjivanje ) na skupu ako veća vrijednost argumenta odgovara većoj (manjoj) vrijednosti funkcije.

Funkcija se poziva ograničeno na skupu, ako postoji broj takav da je uslov zadovoljen za sve:. Inače funkcija - neograničeno .

Obrnuto da funkcioniše , , naziva se funkcija koja je definirana na skupu i svakom

Takve utakmice. Da biste pronašli funkciju inverznu funkciji , trebate riješiti jednačinu relativno . Ako je funkcija , je striktno monotona, onda uvijek ima inverznu; štaviše, ako se funkcija povećava (smanjuje), tada se i inverzna funkcija povećava (smanjuje).

Funkcija predstavljena u obliku, gdje su neke funkcije takve da domena funkcije sadrži cijeli skup vrijednosti funkcije, naziva se složena funkcija nezavisni argument. Varijabla se tada naziva srednji argument. Kompleksna funkcija se također naziva kompozicijom funkcije i, i pišu:.

Glavni elementarni funkcije se smatraju: smireno funkcija, indikativno funkcija (,), logaritamski funkcija (,), trigonometrijski funkcije,,,, inverzna trigonometrija funkcije,,,. Osnovno naziva se funkcija dobivena iz osnovnih elementarnih funkcija konačnim brojem njihovih aritmetičkih operacija i kompozicija.

Ako je postavljen graf funkcije, tada se konstrukcija grafa funkcije svodi na niz transformacija (pomak, kompresija ili rastezanje, prikaz) grafa:

1) 2) transformacija prikazuje graf simetrično, u odnosu na osu; 3) transformacija pomiče graf duž ose po jedinicama (- udesno, - ulijevo); 4) transformacija pomera graf duž ose po jedinicama (- gore, - dole); 5) transformacija grafa duž ose se proteže puta, ako, ili se smanjuje za vrijeme, ako; 6) transformacija grafa duž ose se smanjuje za vrijeme, ako, ili se proteže za vrijeme, ako.

Niz transformacija prilikom crtanja grafa funkcije može se simbolički predstaviti kao:

Bilješka. Prilikom izvođenja transformacije, imajte na umu da je iznos pomaka duž ose određen konstantom koja se dodaje direktno argumentu, a ne argumentu.

Graf funkcije je parabola sa vrhom u tački čije su grane usmjerene prema gore if, ili prema dolje if. Graf linearne frakcijske funkcije je hiperbola sa središtem u tački, čije asimptote prolaze kroz centar, paralelno s koordinatnim osa. zadovoljavanje uslova. pozvao.

U ovoj lekciji ćemo pogledati još dvije vektorske operacije: vektorski proizvod vektora i mješoviti proizvod vektora (odmah link, kome treba)... U redu je, ponekad se desi da i za potpunu sreću, pored toga tačkasti proizvod vektora, potrebno je sve više i više. Takva je vektorska zavisnost. Mogao bi se steći utisak da ulazimo u džunglu analitičke geometrije. Ovo nije istina. U ovom dijelu više matematike uglavnom nema dovoljno drva za ogrjev, osim što ima dovoljno za Buratino. Zapravo, materijal je vrlo uobičajen i jednostavan - jedva komplikovaniji od istog skalarni proizvod, bit će čak i manje tipičnih zadataka. Glavna stvar u analitičkoj geometriji, u što će se mnogi uvjeriti ili su se već uvjerili, je DA NE POGREŠITE U PRORAČUNIMA. Ponovite kao čaroliju i bićete sretni =)

Ako vektori svjetlucaju negdje daleko, kao munja na horizontu, nije važno, počnite s lekcijom Vektori za lutke da povrati ili povrati osnovno znanje o vektorima. Spremniji čitatelji mogu se selektivno upoznati sa informacijama, pokušao sam prikupiti najpotpuniju zbirku primjera koji se često nalaze u praktičan rad

Kako vam odmah ugoditi? Kada sam bio mali, znao sam da žongliram sa dve ili čak tri lopte. Ispalo je spretno. Sada nećete morati uopšte da žonglirate, pošto ćemo razmotriti samo prostorni vektori, a ravni vektori sa dvije koordinate će biti izostavljeni. Zašto? Tako su se ove radnje rodile - vektor i mješoviti proizvod vektora su definirani i rade u trodimenzionalnom prostoru. Već je lakše!

Ova operacija, na isti način kao u tačkastom proizvodu, uključuje dva vektora... Neka ovo budu neprolazna slova.

Sama akcija označeno na sledeći način:. Postoje i druge opcije, ali ja sam navikao da vektorski proizvod vektora označavam na taj način, u uglastim zagradama sa krstom.

I to odmah pitanje: ako je unutra tačkasti proizvod vektora dva vektora su uključena, a i ovdje se dva vektora množe, dakle koja je razlika? Očigledna razlika je, prije svega, u REZULTATU:

Rezultat tačkastog proizvoda vektora je BROJ:

Vektorski proizvod vektora rezultira VEKTOROM:, odnosno množimo vektore i ponovo dobijamo vektor. Zatvoren klub. Zapravo, otuda i naziv operacije. U različitoj obrazovnoj literaturi oznake se također mogu razlikovati, koristit ću slovo.

Definicija unakrsnog proizvoda

Prvo će biti definicija sa slikom, zatim komentari.

Definicija: Po vektorskom proizvodu nekolinearno vektori, uzeti ovim redoslijedom, pod nazivom VEKTOR, dužina koji brojčano jednaka površini paralelograma izgrađen na ovim vektorima; vektor ortogonalno na vektore, i usmjeren je tako da osnova ima pravu orijentaciju:

Definiciju analiziramo po kostima, ima mnogo zanimljivih stvari!

Dakle, mogu se istaći sljedeće bitne tačke:

1) Originalni vektori, označeni crvenim strelicama, po definiciji nije kolinearno... Bilo bi prikladno razmotriti slučaj kolinearnih vektora malo kasnije.

2) Vektori su uzeti po strogo definisanom redosledu: – "A" se množi sa "bh", a ne "bh" do "a". Rezultat množenja vektora je VEKTOR, koji je označen plavom bojom. Ako se vektori pomnože obrnutim redoslijedom, dobićemo vektor jednake dužine i suprotnog smjera (grimizna boja). Odnosno, jednakost je tačna .

3) Hajde da se sada upoznamo sa geometrijskim značenjem vektorskog proizvoda. Ovo je veoma važna tačka! DUŽINA plavog vektora (a samim tim i grimiznoga) je numerički jednaka POVRŠINI paralelograma izgrađenog na vektorima. Na slici je ovaj paralelogram obojen crnom bojom.

Bilješka : crtež je shematski, i, naravno, nazivna dužina poprečnog proizvoda nije jednaka površini paralelograma.

Podsjećamo na jednu od geometrijskih formula: površina paralelograma jednaka je umnošku susjednih stranica na sinus ugla između njih... Stoga, na osnovu gore navedenog, vrijedi formula za izračunavanje DUŽINE vektorskog proizvoda:

Naglašavam da se u formuli govori o DUŽINI vektora, a ne o samom vektoru. Koja je praktična poenta? A značenje je da se u problemima analitičke geometrije površina paralelograma često nalazi kroz koncept vektorskog proizvoda:

Hajde da dobijemo drugu važnu formulu. Dijagonala paralelograma (crvena tačkasta linija) dijeli ga na dva jednaka trougla. Stoga se površina trokuta izgrađenog na vektorima (crveno sjenčanje) može pronaći po formuli:

4) Jednako važna činjenica je da je vektor ortogonan na vektore, tj. ... Naravno, suprotno usmjereni vektor (grimizna strelica) je također ortogonan prema originalnim vektorima.

5) Vektor je usmjeren tako da osnovu Ima u pravu orijentacija. U lekciji o prelazak na novu osnovu Govorio sam dovoljno detaljno o tome orijentacija u ravnini, a sada ćemo shvatiti kakva je orijentacija prostora. Na prste ću ti objasniti desna ruka... Mentalno kombinujte kažiprst sa vektorom i srednji prst sa vektorom. Domaći prst i mali prst pritisnite ga na dlan. Kao rezultat thumb- unakrsni proizvod će tražiti gore. Ovo je desno orijentisana osnova (na slici je to). Sada promijenite vektore ( kažiprst i srednji prst) na mjestima, kao rezultat toga, palac će se otvoriti, a križni proizvod će već gledati prema dolje. Ovo je takođe pravo orijentisana osnova. Možda imate pitanje: šta je osnova lijeve orijentacije? "Dodeli" istim prstima lijeva ruka vektora, te dobijemo lijevu osnovu i lijevu orijentaciju prostora (u ovom slučaju, palac će biti lociran u smjeru donjeg vektora)... Slikovito rečeno, ove podloge "uvijaju" ili usmjeravaju prostor u različitim smjerovima. I ovaj koncept ne treba smatrati nečim nategnutim ili apstraktnim - na primjer, orijentaciju prostora mijenja najobičnije ogledalo, a ako "izvučete reflektirani predmet iz ogledala", onda u općenitom slučaju neće ga biti moguće kombinovati sa “originalom”. Usput, prinesi tri prsta ogledalu i analiziraj odraz ;-)

... kako je dobro što sada znaš desno i lijevo orijentisan baze, jer su izjave nekih predavača o promjeni orijentacije strašne =)

Unakrsni proizvod kolinearnih vektora

Definicija je detaljno analizirana, ostaje da se otkrije šta se dešava kada su vektori kolinearni. Ako su vektori kolinearni, onda se mogu locirati na jednoj pravoj liniji i naš paralelogram se također "preklapa" u jednu pravu liniju. Područje takvog, kako kažu matematičari, degenerisati paralelogram je nula. Isto proizlazi iz formule - sinus od nula ili 180 stepeni jednak je nuli, što znači da je površina nula.

Dakle, ako, onda i ... Imajte na umu da je sam unakrsni proizvod jednak nultom vektoru, ali u praksi se to često zanemaruje i piše da je i nula.

Poseban slučaj je vektorski proizvod samog vektora:

Koristeći unakrsni proizvod, možete provjeriti kolinearnost trodimenzionalnih vektora, a mi ćemo, između ostalog, analizirati i ovaj problem.

Za rješavanje praktičnih primjera, možda će vam trebati trigonometrijska tabela da iz njega nađete vrijednosti sinusa.

Pa zapalimo vatru:

Primjer 1

a) Nađite dužinu vektorskog proizvoda vektora if

b) Nađite površinu paralelograma izgrađenog na vektorima ako

Rješenje: Ne, ovo nije greška u kucanju, namjerno sam napravio iste početne podatke u klauzulama uslova. Jer će dizajn rješenja biti drugačiji!

a) Po uslovu, potrebno je pronaći Dužina vektor (vektorski proizvod). Prema odgovarajućoj formuli:

Odgovori:

Pošto je postavljeno pitanje o dužini, onda u odgovoru označavamo dimenziju - jedinice.

b) Po uslovu, potrebno je pronaći kvadrat paralelogram izgrađen na vektorima. Površina ovog paralelograma je numerički jednaka dužini vektorskog proizvoda:

Odgovori:

Napominjemo da odgovor o vektorskom proizvodu uopće ne dolazi u obzir, o čemu su nas pitali područje figure, odnosno, dimenzija je kvadratna jedinica.

Uvek gledamo ŠTA je potrebno da se nađe uslovom, i na osnovu toga formulišemo jasno odgovori. Možda se čini kao bukvalnost, ali među nastavnicima ima dovoljno literalista, a zadatak sa dobrim izgledima će se vratiti na reviziju. Iako ovo nije posebno napeto prigovaranje - ako je odgovor netačan, onda se stječe utisak da osoba ne razumije jednostavne stvari i/ili ne razumije suštinu zadatka. Ovaj momenat se uvek mora držati pod kontrolom, rešavajući bilo koji problem iz više matematike, ali i iz drugih predmeta.

Gdje je nestalo veliko slovo "en"? U principu bi se to moglo dodatno ugurati u rješenje, ali da bih skratio snimak nisam. Nadam se da svi to razumiju i da je oznaka iste stvari.

Popularan primjer rješenja uradi sam:

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Formula za pronalaženje površine trokuta kroz unakrsni proizvod data je u komentarima na definiciju. Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

U praksi je zadatak zaista vrlo čest, trouglovi vas generalno mogu mučiti.

Za rješavanje ostalih problema potrebno nam je:

Vektorska svojstva proizvoda

Već smo razmotrili neka svojstva unakrsnog proizvoda, međutim, uključit ću ih u ovu listu.

Za proizvoljne vektore i proizvoljan broj vrijede sljedeća svojstva:

1) U drugim izvorima informacija ova stavka se obično ne ističe u svojstvima, ali je u praktičnom smislu veoma važna. Neka bude.

2) - o imovini se također govori gore, ponekad se naziva antikomutativnost... Drugim riječima, redoslijed vektora je bitan.

3) - kombinacija ili asocijativni zakoni vektorskog proizvoda. Konstante se neprimjetno uklanjaju izvan vektorskog proizvoda. Zaista, šta da rade tamo?

4) - distribucija ili distributivni zakoni vektorskog proizvoda. Nema problema ni sa proširenjem zagrada.

Kao demonstraciju, razmotrite kratak primjer:

Primjer 3

Pronađite ako

Rješenje: Prema uslovu, opet je potrebno pronaći dužinu unakrsnog proizvoda. Hajde da napišemo našu sličicu:

(1) Prema asocijativnim zakonima, pomjeramo konstante izvan podjele vektorskog proizvoda.

(2) Konstantu pomičemo iz modula, dok modul "jede" znak minus. Dužina ne može biti negativna.

(3) Ono što slijedi je jasno.

Odgovori:

Vrijeme je da stavite drva na vatru:

Primjer 4

Izračunajte površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Rješenje: Površina trokuta se nalazi po formuli ... Kvaka je u tome što su vektori "tse" i "de" sami predstavljeni kao sume vektora. Algoritam ovdje je standardan i pomalo podsjeća na primjere 3 i 4 iz lekcije Tačkasti proizvod vektora... Radi jasnoće, podijelimo rješenje u tri faze:

1) U prvom koraku izražavamo vektorski proizvod u smislu vektorskog proizvoda, u stvari, izraziti vektor u terminima vektora... Još ni riječi o dužinama!

(1) Zamjenski vektorski izrazi.

(2) Koristeći distributivne zakone, širimo zagrade prema pravilu množenja polinoma.

(3) Koristeći asocijativne zakone, pomjeramo sve konstante izvan vektorskih proizvoda. Uz malo iskustva, radnje 2 i 3 se mogu izvoditi istovremeno.

(4) Prvi i posljednji član su jednaki nuli (nulti vektor) zbog ugodnog svojstva. U drugom terminu koristimo svojstvo antikomutativnosti vektorskog proizvoda:

(5) Predstavljamo slične pojmove.

Kao rezultat toga, vektor je izražen kao vektor, što je bilo potrebno da se postigne:

2) U drugom koraku nalazimo dužinu vektorskog proizvoda koji nam je potreban. Ova radnja liči na primjer 3:

3) Pronađite površinu traženog trokuta:

Faze 2-3 odluke mogu se završiti u jednom redu.

Odgovori:

Razmatrani problem je prilično čest u testnim radovima, evo primjera za nezavisno rješenje:

Primjer 5

Pronađite ako

Kratko rješenje i odgovor na kraju tutorijala. Da vidimo koliko ste bili oprezni kada ste proučavali prethodne primjere ;-)

Vektorski proizvod vektora u koordinatama

dato na ortonormalnoj osnovi, izraženo formulom:

Formula je zaista jednostavna: u gornji red determinante upisujemo koordinatne vektore, u drugi i treći red "stavljamo" koordinate vektora i stavljamo u strogom redu- prvo koordinate vektora "ve", zatim koordinate vektora "double-ve". Ako se vektori trebaju pomnožiti drugim redoslijedom, tada treba zamijeniti linije:

Primjer 10

Provjerite jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:
a)
b)

Rješenje: Provjera se zasniva na jednoj od izjava ovu lekciju: ako su vektori kolinearni, tada je njihov unakrsni proizvod jednak nuli (nulti vektor): .

a) Pronađite unakrsni proizvod:

Dakle, vektori nisu kolinearni.

b) Pronađite unakrsni proizvod:

Odgovori: a) nije kolinearan, b)

Ovdje su, možda, sve osnovne informacije o vektorskom proizvodu vektora.

Ova sekcija neće biti velika, jer nema mnogo zadataka u kojima se koristi mješoviti proizvod vektora. Zapravo, sve će počivati ​​na definiciji, geometrijskom značenju i nekoliko radnih formula.

Mješoviti proizvod vektora je proizvod od tri vektori:

Tako su stajali u redu sa malim vozom i čekaju, jedva čekaju da se otkriju.

Prvo, opet definicija i slika:

Definicija: Mješoviti rad nekoplanarni vektori, uzeti ovim redoslijedom se zove zapremina paralelepipeda, izgrađen na datim vektorima, opremljen znakom “+” ako je osnova desna i znakom “-” ako je baza lijeva.

Hajde da završimo crtež. Linije koje su nama nevidljive nacrtane su isprekidanom linijom:

Uronimo u definiciju:

2) Vektori su uzeti određenim redosledom, odnosno permutacija vektora u proizvodu, kao što možete pretpostaviti, ne prolazi bez posljedica.

3) Prije nego što komentiram geometrijsko značenje, primijetit ću očiglednu činjenicu: mješoviti proizvod vektora je BROJ:. U obrazovnoj literaturi dizajn može biti nešto drugačiji, ja sam naviknut označavati mješoviti rad kroz, a rezultat proračuna slovom "pe".

Po definiciji mješoviti proizvod je zapremina paralelepipeda izgrađen na vektorima (figura je nacrtana crvenim vektorima i crnim linijama). Odnosno, broj je jednak zapremini ovog paralelepipeda.

Bilješka : crtež je šematski.

4) Nemojmo se iznova zamarati konceptom baze i prostorne orijentacije. Značenje završnog dijela je da se volumenu može dodati znak minus. Jednostavnim riječima, mješoviti rad može biti negativan:.

Formula za izračunavanje volumena paralelepipeda izgrađenog na vektorima slijedi direktno iz definicije.

Za vektore i, date koordinatama, mješoviti proizvod se izračunava po formuli:.

Koristi se mješoviti rad: 1) izračunati zapremine tetraedra i paralelepipeda, izgrađenih na vektorima, i, kao na ivicama, po formuli:; 2) kao uslov komplanarnosti vektora, i: i su koplanarni.

Tema 5. Linije u avionu.

Normalni vektor linije , naziva se bilo koji vektor različit od nule okomit na datu pravu. Vektor smjera prave linije , naziva se bilo koji vektor različit od nule paralelan datoj liniji.

Pravo na površini u koordinatnom sistemu može se specificirati jednadžbom jednog od sljedećih tipova:

1) - opšta jednačina prava linija, gdje je vektor normale prave linije;

2) - jednačina prave koja prolazi kroz tačku okomitu na dati vektor;

3) - jednačina prave koja prolazi kroz tačku paralelnu datom vektoru ( kanonska jednačina );

4) - jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke,;

5) - pravolinijske jednačine sa nagibom , gdje je tačka kroz koju prolazi prava linija; () - ugao koji prava linija čini sa osom; - dužina segmenta (sa predznakom) odsječenog pravom linijom na osi (znak "" ako je segment odsječen na pozitivnom dijelu ose i "" ako je na negativnom).

6) - jednačina prave linije u segmentima, gdje su i dužine segmenata (sa predznakom) odsječenih ravnom linijom na koordinatnoj osi i (znak "" ako je segment odsječen na pozitivnom dijelu ose i "" ako je na negativnom).

Udaljenost od tačke do linije dato općom jednadžbom na ravni nalazi se po formuli:

injekcija , ( )između ravnih i, dato općim jednadžbama ili jednadžbama s nagibom, nalazi se jednom od sljedećih formula:

Ako ili.

Ako ili

Koordinate tačke preseka linija i nalaze se kao rješenje sistema linearnih jednačina: ili.

Tema 10. Setovi. Setovi brojeva. Funkcije.

Ispod mnoštvo razumjeti određeni skup objekata bilo koje prirode, koji se razlikuju jedan od drugog i zamislivi kao cjelina. Objekti koji čine skup to zovu elementi ... Skup može biti beskonačan (sastoji se od beskonačnog broja elemenata), konačan (sastoji se od konačnog broja elemenata), prazan (ne sadrži niti jedan element). Skupovi označavaju:, a njihovi elementi:. Prazan skup je označen sa.

Mnoštvo se zove podset skup ako svi elementi skupa pripadaju skupu i pisati.

Skupovi i pozivaju se jednaka ako se sastoje od istih elemenata i pišu. Dva skupa i bit će jednaki ako i samo ako i.

Mnoštvo se zove univerzalni (u okviru ove matematičke teorije) , ako su njegovi elementi svi objekti koji se razmatraju u ovoj teoriji.

Mnogi se mogu podesiti: 1) navođenjem svih njegovih elemenata, na primjer: (samo za konačne skupove); 2) postavljanjem pravila za određivanje pripadnosti elementa univerzalnog skupa datom skupu:.

Konsolidacija

Prelazak skupova i naziva se skup

Razlika skupova i naziva se skup

Dodatak skup (do univerzalnog skupa) naziva se skup.

Dva seta se zovu ekvivalentan i napišite ~ ako se može uspostaviti korespondencija jedan-na-jedan između elemenata ovih skupova. Skup se zove counting ako je ekvivalentan skupu prirodnih brojeva: ~. Prazan skup je, po definiciji, prebrojiv.

Validan (stvarno) broj naziva se beskonačni decimalni razlomak, uzet sa znakom "+" ili "". Realni brojevi se identifikuju tačkama brojevne prave.

Modul (apsolutna vrijednost) realnog broja je nenegativan broj:

Skup se zove numerički ako su njegovi elementi realni brojevi. Numeric intervalima skupovi se nazivaju

brojevi:,,,,,,,,.

Skup svih tačaka na brojevnoj pravoj koje zadovoljavaju uslov, gdje je proizvoljno mali broj, naziva se -susjedstvo (ili samo susjedstvo) tačke i označava se sa. Skup svih tačaka pod uslovom, gdje je proizvoljno veliki broj, naziva se - susjedstvo (ili samo susjedstvo) beskonačnosti i označava se sa.

Količina koja čuva istu brojčanu vrijednost se zove trajno. Količina koja poprima različite numeričke vrijednosti naziva se varijabla. Funkcija poziva se pravilo prema kojem se svaki broj pridružuje jednom dobro definiranom broju i oni pišu. Skup se zove obim funkcije, - mnoštvo ( ili region ) vrijednosti funkcije, - argument , - vrijednost funkcije . Najčešći način definiranja funkcije je analitički način, u kojem se funkcija definira formulom. Prirodni domen definicije funkcija je skup vrijednosti argumenata za koje data formula ima smisla. Funkcijski graf , u pravougaonom koordinatnom sistemu, je skup svih tačaka ravni sa koordinatama,.

Funkcija se poziva čak na skupu simetričnom u odnosu na tačku, ako je uvjet zadovoljen za sve: i odd ako je uslov ispunjen. Inače, opća funkcija ili ni par ni neparan .

Funkcija se poziva periodično na setu, ako postoji broj ( period funkcije ), tako da je uslov zadovoljen za sve:. Najmanji broj naziva se glavni period.

Funkcija se poziva monotono raste (smanjivanje ) na skupu ako veća vrijednost argumenta odgovara većoj (manjoj) vrijednosti funkcije.

Funkcija se poziva ograničeno na skupu, ako postoji broj takav da je uslov zadovoljen za sve:. Inače funkcija - neograničeno .

Obrnuto da funkcioniše , , naziva se funkcija koja je definirana na skupu i dodjeljuje svakom takvom da. Da biste pronašli funkciju inverznu funkciji , trebate riješiti jednačinu relativno . Ako je funkcija , je striktno monotona, onda uvijek ima inverznu; štaviše, ako se funkcija povećava (smanjuje), tada se i inverzna funkcija povećava (smanjuje).

Funkcija predstavljena u obliku, gdje su neke funkcije takve da domena funkcije sadrži cijeli skup vrijednosti funkcije, naziva se složena funkcija nezavisni argument. Varijabla se tada naziva srednji argument. Kompleksna funkcija se također naziva kompozicijom funkcije i, i pišu:.

Glavni elementarni funkcije se smatraju: smireno funkcija, indikativno funkcija (,), logaritamski funkcija (,), trigonometrijski funkcije,,,, inverzna trigonometrija funkcije,,,. Osnovno naziva se funkcija dobivena iz osnovnih elementarnih funkcija konačnim brojem njihovih aritmetičkih operacija i kompozicija.

Graf funkcije je parabola sa vrhom u tački čije su grane usmjerene prema gore if, ili prema dolje if.

U nekim slučajevima, kada se konstruiše graf funkcije, preporučljivo je podijeliti njenu oblast definicije na nekoliko intervala koji se ne sijeku i na svakom od njih uzastopno izgraditi graf.

Poziva se svaki uređeni skup realnih brojeva tačka-dimenzionalna aritmetika (koordinata) svemir i označava se sa ili, dok se brojevi nazivaju koordinate .

Neka i biti neki skupovi točaka i. Ako je, prema nekom pravilu, svakoj tački pridružen jedan dobro definiran realni broj, onda kažu da je na skupu data numerička funkcija varijabli i pišu ili kratko i, u ovom slučaju, naziva se obim , - mnogo značenja , - argumentima (nezavisne varijable) funkcije.

Često se označava funkcija dvije varijable, a funkcija tri varijable je. Domen funkcije je skup tačaka na ravni, funkcija je skup tačaka u prostoru.

Tema 7. Numerički nizovi i serije. Granica sekvence. Ograničenje i kontinuitet funkcije.

Ako je, prema nekom pravilu, svaki prirodni broj povezan s jednim potpuno određenim realnim brojem, onda kažu da je dato numerički niz ... Ukratko odredite. Broj je pozvan zajednički član niza ... Niz se također naziva funkcija prirodnog argumenta. Niz uvijek sadrži beskonačno mnogo elemenata, među kojima može biti i jednakih.

Broj je pozvan granica sekvence , i napišite ako za bilo koji broj postoji broj takav da za sve vrijedi nejednakost.

Niz koji ima konačnu granicu naziva se konvergirajući , inače - divergentan .

: 1) smanjivanje , ako ; 2) povećanje , ako ; 3) neopadajući , ako ; 4) bez povećanja , ako . Sve gore navedene sekvence se nazivaju monotono .

Slijed se zove ograničeno , ako postoji broj takav da je uslov zadovoljen za sve:. Inače redoslijed je neograničeno .

Bilo koji monotoni ograničeni niz ima ograničenje ( Weierstrassova teorema).

Slijed se zove beskonačno mali , ako . Slijed se zove beskonačno velika (konvergirajući u beskonačnost) ako.

Po broju naziva se granica niza, gdje

Konstanta se zove neper broj. Logaritam broja prema osnovici naziva se prirodni logaritam broja i označava se.

Poziva se izraz oblika, gdje je niz brojeva numeričke serije i biće naznačeno. Zove se zbroj prvih članova niza -ti djelimični iznos red.

Red se zove konvergirajući ako postoji konačna granica i divergentan ako granica ne postoji. Broj je pozvan zbir konvergentnog niza , tokom pisanja.

Ako se niz konvergira, onda (neophodan kriterijum za konvergenciju niza ) ... Obratno nije tačno.

Ako, onda se niz divergira ( dovoljan pokazatelj divergencije serije ).

Generalizovani harmonijski niz naziva se niz koji konvergira na i divergira u.

Geometrijske serije naziva se niz koji konvergira na, dok je njegov zbir jednak i divergira u. postoji broj ili simbol. (lijevo polususjedstvo, desno polususjedstvo) i