Grado de número: definiciones, designación, ejemplos. Grado y sus propiedades.

El exponente se usa para que sea más fácil escribir la operación de multiplicar un número por sí mismo. Por ejemplo, en lugar de escribir, puede escribir 4 5 (\ estilo de visualización 4 ^ (5))(Se da una explicación de tal transición en la primera sección de este artículo). Las potencias facilitan la escritura de expresiones o ecuaciones largas o complejas; además, las potencias se suman y restan fácilmente, lo que resulta en una simplificación de una expresión o ecuación (por ejemplo, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Nota: si necesitas resolver una ecuación exponencial (en tal ecuación, la incógnita está en el exponente), lee.

Pasos

Resolver problemas simples con potencias

Multiplica la base del exponente por sí mismo un número de veces igual al exponente. Si necesita resolver un problema con exponentes manualmente, reescriba el exponente como una operación de multiplicación, donde la base del exponente se multiplica por sí misma. Por ejemplo, dado el grado 3 4 (\ estilo de visualización 3 ^ (4)). En este caso, la base de grado 3 debe multiplicarse por sí misma 4 veces: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Aquí hay otros ejemplos:

Primero, multiplica los dos primeros números. Por ejemplo, 4 5 (\ estilo de visualización 4 ^ (5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). No se preocupe, el proceso de cálculo no es tan complicado como parece a primera vista. Primero multiplique los dos primeros cuadruplicados y luego reemplácelos con el resultado. Como esto:

Multiplica el resultado (16 en nuestro ejemplo) por el siguiente número. Cada resultado posterior aumentará proporcionalmente. En nuestro ejemplo, multiplica 16 por 4. Así:

Resuelve los siguientes problemas. Comprueba tu respuesta con una calculadora.

En la calculadora, busque la tecla etiquetada como "exp" o " x norte (\ estilo de visualización x ^ (n)) ", o "^". Con esta tecla elevarás un número a una potencia. Es prácticamente imposible calcular manualmente el grado con un exponente grande (por ejemplo, el grado 9 15 (\ estilo de visualización 9 ^ (15))), pero la calculadora puede hacer frente fácilmente a esta tarea. En Windows 7, la calculadora estándar se puede cambiar al modo de ingeniería; para hacer esto, haga clic en "Ver" -\u003e "Ingeniería". Para cambiar al modo normal, haga clic en "Ver" -\u003e "Normal".

• Comprueba tu respuesta con Google. Usando la tecla "^" en el teclado de la computadora, ingrese la expresión en el motor de búsqueda, que mostrará instantáneamente la respuesta correcta (y posiblemente sugerirá expresiones similares para estudiar).

Suma, resta, multiplicación de potencias

1. Puedes sumar y restar potencias solo si tienen la misma base. Si necesita sumar potencias con las mismas bases y exponentes, puede reemplazar la operación de suma con una operación de multiplicación. Por ejemplo, dada la expresión 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Recuerda que el grado 4 5 (\ estilo de visualización 4 ^ (5)) se puede representar como 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); De este modo, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(donde 1 +1 =2). Es decir, cuente el número de grados similares y luego multiplique tal grado y este número. En nuestro ejemplo, eleva 4 a la quinta potencia y luego multiplica el resultado por 2. Recuerda que la operación de suma se puede reemplazar por una operación de multiplicación, por ejemplo, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Aquí hay otros ejemplos:

   Al multiplicar potencias con la misma base, se suman sus exponentes (la base no cambia). Por ejemplo, dada la expresión x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). En este caso, solo necesita agregar los indicadores, dejando la base sin cambios. De este modo, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Aquí hay una explicación visual de esta regla:

   Al elevar una potencia a otra potencia, los exponentes se multiplican. Por ejemplo, dado el grado (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5)). Como los exponentes se multiplican, entonces (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). El significado de esta regla es que multiplicas la potencia (x 2) (\displaystyle (x^(2))) sobre sí mismo cinco veces. Como esto:

   Un exponente con un exponente negativo debe convertirse en una fracción (a la potencia inversa). No importa si no sabes lo que es un recíproco. Si te dan un grado con un exponente negativo, por ejemplo, 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), escribe esta potencia en el denominador de la fracción (pon 1 en el numerador), y haz que el exponente sea positivo. En nuestro ejemplo: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Aquí hay otros ejemplos:

   Al dividir potencias con la misma base, se restan sus exponentes (la base no cambia). La operación de división es lo opuesto a la operación de multiplicación. Por ejemplo, dada la expresión 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Resta el exponente del denominador del exponente del numerador (no cambies la base). De este modo, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

   A continuación se presentan algunas expresiones para ayudarlo a aprender cómo resolver problemas de potencia. Las expresiones anteriores cubren el material presentado en esta sección. Para ver la respuesta, simplemente resalte el espacio vacío después del signo igual.

Resolver problemas con exponentes fraccionarios

Un grado con un exponente fraccionario (por ejemplo, x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) ) se convierte en una operación de extracción raíz. En nuestro ejemplo: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). No importa qué número esté en el denominador del exponente fraccionario. Por ejemplo, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) es la raíz cuarta de "x" x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

En este artículo, entenderemos qué es grado de. Aquí daremos definiciones del grado de un número, mientras consideramos en detalle todos los posibles exponentes del grado, comenzando con un exponente natural y terminando con uno irracional. En el material encontrará muchos ejemplos de grados que cubren todas las sutilezas que surgen.

Navegación de página.

Grado con exponente natural, cuadrado de un número, cubo de un número

Empecemos con . De cara al futuro, digamos que la definición del grado de a con exponente natural n está dada para a , que llamaremos base de grado, y n , que llamaremos exponente. También tenga en cuenta que el grado con un indicador natural se determina a través del producto, por lo que para comprender el material a continuación, debe tener una idea sobre la multiplicación de números.

Definición.

Potencia del número a con exponente natural n es una expresión de la forma a n , cuyo valor es igual al producto de n factores, cada uno de los cuales es igual a a , es decir, .
En particular, el grado de un número a con exponente 1 es el propio número a, es decir, a 1 =a.

Inmediatamente vale la pena mencionar las reglas para leer títulos. La forma universal de leer la entrada a n es: "a elevado a n". En algunos casos, tales opciones también son aceptables: "a a la n-ésima potencia" y "n-ésima potencia del número a". Por ejemplo, tomemos el grado 8 12, esto es "ocho elevado a doce", u "ocho elevado a doceavo", o "duodécimo elevado a ocho".

La segunda potencia de un número, así como la tercera potencia de un número, tienen sus propios nombres. La segunda potencia de un número se llama el cuadrado de un numero, por ejemplo, 7 2 se lee como "siete al cuadrado" o "cuadrado del número siete". La tercera potencia de un número se llama número de cubo, por ejemplo, 5 3 se puede leer como "cinco al cubo" o decir "cubo del número 5".

es hora de traer ejemplos de grados con indicadores físicos. Comencemos con la potencia de 5 7 , donde 5 es la base de la potencia y 7 es el exponente. Pongamos otro ejemplo: 4,32 es la base, y el número natural 9 es el exponente (4,32) 9 .

Nótese que en el último ejemplo, la base del grado 4.32 está escrita entre paréntesis: para evitar discrepancias, llevaremos entre paréntesis todas las bases del grado que sean diferentes a los números naturales. Como ejemplo, damos los siguientes grados con indicadores naturales , sus bases no son números naturales, por lo que se escriben entre paréntesis. Bien, para mayor claridad en este punto, mostraremos la diferencia contenida en los registros de la forma (−2) 3 y −2 3 . La expresión (−2) 3 es la potencia de −2 con exponente natural 3, y la expresión −2 3 (se puede escribir como −(2 3) ) corresponde al número, el valor de la potencia 2 3 .

Tenga en cuenta que existe una notación para el grado de a con un exponente n de la forma a^n . Además, si n es un número natural multivaluado, entonces el exponente se toma entre paréntesis. Por ejemplo, 4^9 es otra notación para la potencia de 4 9 . Y aquí hay más ejemplos de escribir grados usando el símbolo "^": 14^(21) , (−2,1)^(155) . En lo que sigue, usaremos principalmente la notación del grado de la forma a n .

Uno de los problemas, el inverso de la exponenciación con un exponente natural, es el problema de encontrar la base del grado a partir de un valor conocido del grado y un exponente conocido. Esta tarea conduce a.

Se sabe que el conjunto de los números racionales está formado por números enteros y fraccionarios, y cada número fraccionario se puede representar como una fracción ordinaria positiva o negativa. Definimos el grado con exponente entero en el párrafo anterior, por lo tanto, para completar la definición del grado con exponente racional, necesitamos dar el significado del grado del número a con exponente fraccionario m/n, donde m es un número entero y n es un número natural. Vamos a hacerlo.

Considere un grado con un exponente fraccionario de la forma . Para que la propiedad de grado en un grado siga siendo válida, la igualdad debe cumplirse . Si tenemos en cuenta la igualdad resultante y la forma en que definimos , entonces es lógico aceptar, siempre que dados m, n y a, la expresión tenga sentido.

Es fácil comprobar que todas las propiedades de un grado con exponente entero son válidas para as (esto se hace en el apartado de propiedades de un grado con exponente racional).

El razonamiento anterior nos permite hacer lo siguiente conclusión: si dados m, n y a la expresión tiene sentido, entonces la potencia del número a con un exponente fraccionario m/n es la raíz del enésimo grado de a elevado a la potencia m.

Esta declaración nos acerca a la definición de un grado con un exponente fraccionario. Solo queda describir para qué m, n y a tiene sentido la expresión. Dependiendo de las restricciones impuestas sobre m, n y a, existen dos enfoques principales.

La forma más fácil de restringir a es asumir a≥0 para m positivo y a>0 para m negativo (porque m≤0 no tiene potencia de 0 m). Entonces obtenemos la siguiente definición del grado con un exponente fraccionario.

Definición.

Potencia de un número positivo a con exponente fraccionario m/n, donde m es un número entero y n es un número natural, se llama raíz de la n-ésima del número a elevado a m, es decir, .

El grado fraccionario de cero también se define con la única salvedad de que el exponente debe ser positivo.

Definición.

Potencia de cero con exponente positivo fraccionario m/n, donde m es un entero positivo y n es un número natural, se define como .
Cuando el grado no está definido, es decir, el grado del número cero con exponente fraccionario negativo no tiene sentido.

Cabe señalar que con tal definición del grado con un exponente fraccionario, hay un matiz: para algunos a negativos y algunos m y n, la expresión tiene sentido, y descartamos estos casos introduciendo la condición a≥0. Por ejemplo, tiene sentido escribir o , y la definición anterior nos obliga a decir que grados con un exponente fraccionario de la forma no tienen sentido, ya que la base no debe ser negativa.

Otro enfoque para determinar el grado con un exponente fraccionario m / n es considerar por separado los exponentes pares e impares de la raíz. Este enfoque requiere una condición adicional: el grado del número a, cuyo exponente es , se considera el grado del número a, cuyo exponente es la fracción irreducible correspondiente (la importancia de esta condición se explicará más adelante). Es decir, si m/n es una fracción irreducible, entonces para cualquier número natural k el grado primero se reemplaza por .

Para n par y m positivo, la expresión tiene sentido para cualquier a no negativo (la raíz de un grado par a partir de un número negativo no tiene sentido), para m negativo, el número a debe seguir siendo distinto de cero (de lo contrario, la división por cero ocurrirá). Y para n impar y m positivo, el número a puede ser cualquiera (la raíz de un grado impar se define para cualquier número real), y para m negativo, el número a debe ser diferente de cero (para que no haya división por cero).

El razonamiento anterior nos lleva a tal definición del grado con un exponente fraccionario.

Definición.

Sea m/n una fracción irreducible, m un entero yn un número natural. Para cualquier fracción ordinaria reducible, el grado se reemplaza por . La potencia de a con exponente fraccionario irreducible m/n es para



Expliquemos por qué un grado con un exponente fraccionario reducible se reemplaza primero por un grado con un exponente irreducible. Si simplemente definiéramos el grado como , y no hiciéramos una reserva sobre la irreductibilidad de la fracción m / n , entonces nos encontraríamos con situaciones similares a las siguientes: como 6/10=3/5 , entonces la igualdad , Pero , A .

se puede encontrar usando la multiplicación. Por ejemplo: 5+5+5+5+5+5=5x6. Dicen sobre tal expresión que la suma de términos iguales se ha doblado en un producto. Y viceversa, si leemos esta igualdad de derecha a izquierda, obtenemos que hemos desarrollado la suma de términos iguales. De manera similar, puedes doblar el producto de varios factores iguales 5x5x5x5x5x5=5 6 .

Es decir, en lugar de multiplicar seis factores idénticos 5x5x5x5x5x5, escriben 5 6 y dicen "cinco a la sexta potencia".

La expresión 5 6 es una potencia de un número, donde:

5 - base de grado;

6 - exponente.

Las operaciones mediante las cuales el producto de factores iguales se convierte en una potencia se denominan exponenciación

En general, una potencia con base "a" y exponente "n" se escribe como

Elevar el número a a la potencia de n significa encontrar el producto de n factores, cada uno de los cuales es igual a a

Si la base del grado "a" es 1, entonces el valor del grado para cualquier n natural será igual a 1. Por ejemplo, 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1

Si subes el número "a" sube a primer grado, entonces obtenemos el número a en sí mismo: un 1 = un

Si elevas cualquier número a grado cero, luego, como resultado de los cálculos, obtenemos uno. un 0 = 1

Las potencias segunda y tercera de un número se consideran especiales. Se les ocurrieron nombres: el segundo grado se llama el cuadrado de un numero, tercero - cubo este número.

Cualquier número puede elevarse a una potencia: positivo, negativo o cero. Sin embargo, no se utilizan las siguientes reglas:

Al encontrar el grado de un número positivo, se obtiene un número positivo.

Al calcular cero en especie, obtenemos cero.

x metro n = x metro + norte

por ejemplo: 7 1.7 7 - 0.9 = 7 1.7+(- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

A dividir potencias con la misma base no cambiamos la base, sino que restamos los exponentes:

x metro / x norte \u003d x m - n , Dónde, metro > norte

por ejemplo: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Al calcular exponenciación No cambiamos la base, pero multiplicamos los exponentes entre sí.

(Cajero automático )norte = ym norte

por ejemplo: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) norte = x norte · metro ,

por ejemplo: (2 3) 3 = 2 n 3 m ,

Al realizar los cálculos de exponenciacion de una fraccion elevamos el numerador y el denominador de la fracción a la potencia dada

(x/y)n = x norte / sn

por ejemplo: (2/5) 3 = (2/5) (2/5) (2/5) = 2 3/5 3 .

La secuencia de realizar cálculos cuando se trabaja con expresiones que contienen un grado.

Cuando se realizan cálculos de expresiones sin paréntesis, pero que contienen potencias, primero se realiza la exponenciación, luego las operaciones de multiplicación y división, y solo luego las operaciones de suma y resta.

Si es necesario evaluar una expresión que contiene corchetes, primero, en el orden indicado anteriormente, hacemos los cálculos entre paréntesis y luego las acciones restantes en el mismo orden de izquierda a derecha.

Muy ampliamente en los cálculos prácticos, para simplificar los cálculos, se utilizan tablas de grados confeccionadas.

Cómo: (las células del bazo no lograron...) en la misma medida que (sobrenadantes de cultivo de...)

Diccionario ruso-inglés de términos biológicos. - Novosibirsk: Instituto de Inmunología Clínica. Y EN. Seledtsov. 1993-1999.

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