En este artículo, nos detendremos en el concepto del producto cruz de dos vectores. Daremos las definiciones necesarias, escribiremos una fórmula para encontrar las coordenadas de un producto vectorial, enumeraremos y justificaremos sus propiedades. Después de eso, nos detendremos en el significado geométrico del producto vectorial de dos vectores y consideraremos las soluciones de varios ejemplos típicos.

Navegación de página.

Definición de un producto vectorial.

Antes de dar una definición de un producto vectorial, analicemos la orientación de un triple ordenado de vectores en un espacio tridimensional.

Pospongamos vectores desde un punto. Dependiendo de la dirección del vector, el triple puede ser hacia la derecha o hacia la izquierda. Veamos desde el final del vector cómo el giro más corto del vector a . Si la rotación más corta es en sentido contrario a las manecillas del reloj, entonces el triple de vectores se llama Correcto, de lo contrario - izquierda.

Ahora tomemos dos vectores no colineales y . Aparte los vectores y desde el punto A. Construyamos un vector que sea perpendicular a y y al mismo tiempo. Obviamente, al construir un vector, podemos hacer dos cosas, darle una dirección o la opuesta (ver ilustración).

Dependiendo de la dirección del vector, la terna ordenada de vectores puede ser derecha o izquierda.

Así que nos acercamos a la definición de un producto vectorial. Se da para dos vectores dados en un sistema de coordenadas rectangulares del espacio tridimensional.

Definición.

Producto vectorial de dos vectores y , dado en un sistema de coordenadas rectangulares del espacio tridimensional, se llama vector tal que

producto vectorial vectores y se denota como .

Coordenadas del producto vectorial.

Ahora damos la segunda definición de un producto vectorial, que nos permite encontrar sus coordenadas a partir de las coordenadas de los vectores dados y.

Definición.

En un sistema de coordenadas rectangulares del espacio tridimensional producto cruz de dos vectores y es un vector , donde son vectores de coordenadas.

Esta definición nos da el producto vectorial en forma de coordenadas.

El producto vectorial se representa convenientemente como un determinante de una matriz cuadrada de tercer orden, cuya primera fila son las orts, la segunda fila contiene las coordenadas del vector y la tercera fila contiene las coordenadas del vector en un dado. sistema de coordenadas rectangulares:

Si expandimos este determinante por los elementos de la primera fila, obtenemos la igualdad de la definición del producto vectorial en coordenadas (si es necesario, consulte el artículo):

Cabe señalar que la forma coordinada del producto vectorial es totalmente consistente con la definición dada en el primer párrafo de este artículo. Además, estas dos definiciones de producto vectorial son equivalentes. La prueba de este hecho se encuentra en el libro indicado al final del artículo.

Propiedades del producto vectorial.

Dado que el producto vectorial en coordenadas se puede representar como el determinante de la matriz, lo siguiente se puede fundamentar fácilmente sobre la base propiedades del producto vectorial:

Como ejemplo, probemos la propiedad de anticonmutatividad de un producto vectorial.

Por definición y . Sabemos que el valor del determinante de una matriz se invierte cuando se intercambian dos filas, entonces, , lo que demuestra la propiedad de anticonmutatividad del producto vectorial.

Producto vectorial: ejemplos y soluciones.

Básicamente hay tres tipos de tareas.

En problemas del primer tipo, se dan las longitudes de dos vectores y el ángulo entre ellos, y se requiere encontrar la longitud del producto vectorial. En este caso, se utiliza la fórmula .

Ejemplo.

Encuentre la longitud del producto vectorial de los vectores y, si se conoce .

Solución.

Sabemos por la definición que la longitud del producto vectorial de los vectores y es igual al producto de las longitudes de los vectores por el seno del ángulo entre ellos, por lo tanto, .

Responder:

.

Las tareas del segundo tipo están asociadas a las coordenadas de los vectores, en las que se busca el producto vectorial, su longitud u otra cosa a través de las coordenadas de los vectores dados. y .

Hay muchas opciones diferentes disponibles aquí. Por ejemplo, no las coordenadas de los vectores y , sino sus desarrollos en vectores de coordenadas de la forma y , o vectores y se pueden especificar por las coordenadas de sus puntos inicial y final.

Consideremos ejemplos típicos.

Ejemplo.

Se dan dos vectores en un sistema de coordenadas rectangulares . Encuentra su producto vectorial.

Solución.

Según la segunda definición, el producto vectorial de dos vectores en coordenadas se escribe como:

Habríamos llegado al mismo resultado si hubiéramos escrito el producto vectorial a través del determinante

Responder:

.

Ejemplo.

Encuentre la longitud del producto vectorial de los vectores y , donde están los orts del sistema de coordenadas cartesianas rectangulares.

Solución.

Primero, encuentre las coordenadas del producto vectorial en un sistema de coordenadas rectangular dado.

Dado que los vectores y tienen coordenadas y respectivamente (si es necesario, vea el artículo coordenadas de un vector en un sistema de coordenadas rectangulares), entonces por la segunda definición de un producto vectorial tenemos

es decir, el producto vectorial tiene coordenadas en el sistema de coordenadas dado.

Encontramos la longitud de un producto vectorial como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus coordenadas (obtuvimos esta fórmula para la longitud de un vector en la sección sobre cómo encontrar la longitud de un vector):

Responder:

.

Ejemplo.

Las coordenadas de tres puntos se dan en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. Encuentre algún vector que sea perpendicular y al mismo tiempo.

Solución.

Los vectores y tienen coordenadas y, respectivamente (ver el artículo encontrar las coordenadas de un vector a través de las coordenadas de los puntos). Si encontramos el producto vectorial de los vectores y , entonces, por definición, es un vector perpendicular tanto a como a, es decir, es la solución a nuestro problema. vamos a encontrarlo

Responder:

es uno de los vectores perpendiculares.

En tareas del tercer tipo, se comprueba la destreza en el uso de las propiedades del producto vectorial de vectores. Después de aplicar las propiedades, se aplican las fórmulas correspondientes.

Ejemplo.

Los vectores y son perpendiculares y sus longitudes son 3 y 4 respectivamente. Encuentre la longitud del producto vectorial .

Solución.

Por la propiedad de distributividad del producto vectorial, podemos escribir

En virtud de la propiedad asociativa, sacamos los coeficientes numéricos para el signo de los productos vectoriales en la última expresión:

Los productos vectoriales y son iguales a cero, ya que y , después .

Como el producto vectorial es anticonmutativo, entonces .

Entonces, usando las propiedades del producto vectorial, hemos llegado a la igualdad .

Por condición, los vectores y son perpendiculares, es decir, el ángulo entre ellos es igual a . Es decir, tenemos todos los datos para encontrar la longitud requerida

Responder:

.

El significado geométrico del producto vectorial.

Por definición, la longitud del producto vectorial de vectores es . Y del curso de geometría escuela secundaria sabemos que el área de un triángulo es la mitad del producto de las longitudes de los dos lados del triángulo por el seno del ángulo entre ellos. Por lo tanto, la longitud del producto vectorial es igual al doble del área de un triángulo con lados de los vectores y , si se posponen desde un punto. En otras palabras, la longitud del producto vectorial de vectores y es igual al área de un paralelogramo con lados y y un ángulo entre ellos igual a . Este es el significado geométrico del producto vectorial.

7.1. Definición de producto cruz

Tres vectores no coplanares a , b y c , tomados en el orden indicado, forman un triple recto si desde el extremo del tercer vector c se ve que el giro más corto del primer vector a al segundo vector b es en sentido antihorario, y uno izquierdo si es en el sentido de las agujas del reloj (ver Fig. . 16).

El producto vectorial de un vector a y un vector b se llama vector c, el cual:

1. Perpendicular a los vectores a y b, es decir, c ^ a y c ^ b;

2. Tiene una longitud numéricamente igual al área del paralelogramo construido sobre los vectores a yb como en los lados (ver fig. 17), i.e.

3. Los vectores a, byc forman un triple recto.

El producto vectorial se denota a x bo [a,b]. De la definición de un producto vectorial, las siguientes relaciones entre los orts sigo directamente, j y k(ver figura 18):

i x j \u003d k, j x k \u003d yo, k x i \u003d j.
Probemos, por ejemplo, que yo xj \u003d k.

1) k ^ yo , k ^ j;

2) |k |=1, pero | yo x j| = | yo | |J| sin(90°)=1;

3) vectores i , j y k formar un triple derecho (ver Fig. 16).

7.2. Propiedades de productos cruzados

1. Cuando se reordenan los factores, el producto vectorial cambia de signo, es decir y xb \u003d (b xa) (ver Fig. 19).

Los vectores a xb y b xa son colineales, tienen los mismos módulos (el área del paralelogramo permanece sin cambios), pero están dirigidos de manera opuesta (triples a, b y xb y a, b, b x a de orientación opuesta). Eso es axb = -(bxa).

2. El producto vectorial tiene una propiedad de combinación con respecto a un factor escalar, es decir, l ​​(a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).

Sea l >0. El vector l (a xb) es perpendicular a los vectores a y b. vectorial ( yo a) x b también es perpendicular a los vectores a y b(vectores a, yo pero yacen en el mismo plano). Entonces los vectores yo(a xb) y ( yo a) x b colineal Es obvio que sus direcciones coinciden. Tienen la misma longitud:

Es por eso yo(a xb)= yo un xb. Se prueba de manera similar para yo<0.

3. Dos vectores distintos de cero a y b son colineales si y solo si su producto vectorial es igual al vector cero, es decir, y ||b<=>y xb \u003d 0.

En particular, i *i =j *j =k *k =0.

4. El producto vectorial tiene una propiedad de distribución:

(a+b) xs = un xs + b xs

Aceptar sin pruebas.

7.3. Expresión de productos cruzados en términos de coordenadas

Usaremos la tabla de productos cruzados de vectores i , j yk:

si la dirección del camino más corto del primer vector al segundo coincide con la dirección de la flecha, entonces el producto es igual al tercer vector, si no coincide, el tercer vector se toma con signo menos.

Sean dos vectores a =a x i +a y j+az k y b=bx i+por j+bz k. Encontremos el producto vectorial de estos vectores multiplicándolos como polinomios (según las propiedades del producto vectorial):

La fórmula resultante se puede escribir aún más corta:

dado que el lado derecho de la igualdad (7.1) corresponde a la expansión del determinante de tercer orden en términos de los elementos de la primera fila, la igualdad (7.2) es fácil de recordar.

7.4. Algunas aplicaciones del producto cruz

Establecimiento de la colinealidad de los vectores

Encontrar el área de un paralelogramo y un triángulo

Según la definición del producto vectorial de vectores a y B |a xb | =| un | * |b |sin g , es decir, S par = |a x b |. Y, por lo tanto, D S \u003d 1/2 | a x b |.

Determinación del momento de fuerza respecto a un punto

Sea una fuerza aplicada en el punto A F = AB Déjalo ir O- algún punto en el espacio (ver Fig. 20).

Se sabe por la física que esfuerzo de torsión F relativo al punto O llamado vector M , que pasa por el punto O y:

1) perpendicular al plano que pasa por los puntos O, A, B;

2) numéricamente igual al producto de la fuerza y ​​el brazo

3) forma una terna recta con los vectores OA y A B .

Por lo tanto, M \u003d OA x F.

Encontrar la velocidad lineal de rotación

Velocidad v punto M de un cuerpo rígido que gira a una velocidad angular w alrededor de un eje fijo, está determinado por la fórmula de Euler v \u003d w x r, donde r \u003d OM, donde O es un punto fijo del eje (ver Fig. 21).

Antes de dar el concepto de producto vectorial, volvamos a la cuestión de la orientación del triple ordenado de vectores a → , b → , c → en el espacio tridimensional.

Para empezar, apartemos los vectores a → , b → , c → de un punto. La orientación del triple a → , b → , c → es derecha o izquierda, dependiendo de la dirección del vector c → . A partir de la dirección en que se realice el giro más corto desde el vector a → hasta b → desde el extremo del vector c → , se determinará la forma de la terna a → , b → , c →.

Si la rotación más corta es en sentido antihorario, entonces el triple de vectores a → , b → , c → se llama Correcto si en el sentido de las agujas del reloj - izquierda.

Luego, toma dos vectores no colineales a → y b → . Pospongamos entonces los vectores A B → = a → y A C → = b → del punto A. Construyamos un vector A D → = c → , que sea simultáneamente perpendicular tanto a A B → como a A C → . Así, al construir el vector A D → = c →, podemos hacer dos cosas, darle una dirección o la opuesta (ver ilustración).

El trío ordenado de vectores a → , b → , c → puede ser, como vimos, a la derecha oa la izquierda dependiendo de la dirección del vector.

De lo anterior, podemos introducir la definición de un producto vectorial. Esta definición se da para dos vectores definidos en un sistema de coordenadas rectangulares del espacio tridimensional.

Definición 1

El producto vectorial de dos vectores a → y b → llamaremos a tal vector dado en un sistema de coordenadas rectangulares del espacio tridimensional tal que:

• si los vectores a → y b → son colineales, será cero;
• será perpendicular tanto al vector a →​​ como al vector b → es decir ∠ un → C → = ∠ segundo → C → = π 2 ;
• su longitud está determinada por la fórmula: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• el triplete de vectores a → , b → , c → tiene la misma orientación que el sistema de coordenadas dado.

El producto vectorial de los vectores a → y b → tiene la siguiente notación: a → × b → .

Coordenadas de productos cruzados

Dado que cualquier vector tiene ciertas coordenadas en el sistema de coordenadas, es posible introducir una segunda definición del producto vectorial, que le permitirá encontrar sus coordenadas a partir de las coordenadas dadas de los vectores.

Definición 2

En un sistema de coordenadas rectangulares del espacio tridimensional producto vectorial de dos vectores a → = (a x ; a y ; a z) y b → = (b x ; b y ; b z) llame al vector c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , donde i → , j → , k → son vectores de coordenadas.

El producto vectorial se puede representar como un determinante de una matriz cuadrada de tercer orden, donde la primera fila son los orta vectores i → , j → , k → , la segunda fila contiene las coordenadas del vector a → , y la tercera son las coordenadas del vector b → en un sistema de coordenadas rectangular dado, este determinante de la matriz se ve así: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Expandiendo este determinante sobre los elementos de la primera fila, obtenemos la igualdad: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = a → × b → = ( a y segundo z - a z segundo y) yo → + (a z segundo x - a x segundo z) j → + (a x segundo y - a y segundo x) k →

Propiedades de productos cruzados

Se sabe que el producto vectorial en coordenadas se representa como el determinante de la matriz c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , entonces sobre la base propiedades determinantes de la matriz el seguimiento propiedades del producto vectorial:

1. anticonmutatividad a → × b → = - b → × a → ;
2. distributividad a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → o a → × b (1) → + b (2) → = a → × segundo (1) → + un → × segundo (2) → ;
3. asociatividad λ a → × b → = λ a → × b → o a → × (λ b →) = λ a → × b → , donde λ es un número real arbitrario.

Estas propiedades no tienen demostraciones complicadas.

Por ejemplo, podemos probar la propiedad de anticonmutatividad de un producto vectorial.

Prueba de anticonmutatividad

Por definición, a → × segundo → = yo → j → k → un X un y un z segundo X segundo y segundo z y segundo → × un → = yo → j → k → segundo X segundo y segundo z un X un y un z . Y si se intercambian dos filas de la matriz, entonces el valor del determinante de la matriz debería cambiar al contrario, por lo tanto, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , lo que demuestra la anticonmutatividad del producto vectorial.

Producto vectorial - Ejemplos y soluciones

En la mayoría de los casos, hay tres tipos de tareas.

En los problemas del primer tipo, generalmente se dan las longitudes de dos vectores y el ángulo entre ellos, pero es necesario encontrar la longitud del producto vectorial. En este caso, utilice la siguiente fórmula c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Ejemplo 1

Encuentre la longitud del producto vectorial de los vectores a → y b → si se conoce a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4.

Solución

Usando la definición de la longitud del producto vectorial de los vectores a → y b →, resolvemos este problema: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Responder: 15 2 2 .

Las tareas del segundo tipo tienen una conexión con las coordenadas de los vectores, contienen un producto vectorial, su longitud, etc. se buscan a través de las coordenadas conocidas de los vectores dados a → = (a x ; a y ; a z) y b → = (b x ; b y ; b z) .

Para este tipo de tarea, puede resolver muchas opciones para tareas. Por ejemplo, no las coordenadas de los vectores a → y b → , sino sus desarrollos en vectores de coordenadas de la forma segundo → = segundo X yo → + segundo y j → + segundo z k → y c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , o los vectores a → y b → pueden estar dados por las coordenadas de sus puntos de inicio y fin.

Considere los siguientes ejemplos.

Ejemplo 2

Dos vectores están establecidos en un sistema de coordenadas rectangulares a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Encuentra su producto vectorial.

Solución

Según la segunda definición, encontramos el producto vectorial de dos vectores en las coordenadas dadas: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) yo → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 yo → - 2 j → - 2 k → .

Si escribimos el producto vectorial en términos del determinante matricial, entonces la solución a este ejemplo es la siguiente: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 yo → - 2 j → - 2 k → .

Responder: un → × segundo → = - 2 yo → - 2 j → - 2 k → .

Ejemplo 3

Encuentre la longitud del producto vectorial de los vectores i → - j → e i → + j → + k → , donde i → , j → , k → - orts de un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares.

Solución

Primero, encontremos las coordenadas del producto vectorial dado i → - j → × i → + j → + k → en el sistema de coordenadas rectangulares dado.

Se sabe que los vectores i → - j → e i → + j → + k → tienen coordenadas (1 ; - 1 ; 0) y (1 ; 1 ; 1) respectivamente. Encuentre la longitud del producto vectorial usando el determinante matricial, entonces tenemos i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Por lo tanto, el producto vectorial i → - j → × i → + j → + k → tiene coordenadas (- 1 ; - 1 ; 2) en el sistema de coordenadas dado.

Encontramos la longitud del producto vectorial mediante la fórmula (consulte la sección sobre cómo encontrar la longitud del vector): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6

Responder: yo → - j → × yo → + j → + k → = 6 . .

Ejemplo 4

Las coordenadas de tres puntos A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) ​​, C (1 , 4 , 2) están dadas en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. Encuentra algún vector perpendicular a A B → y A C → al mismo tiempo.

Solución

Los vectores A B → y A C → tienen las siguientes coordenadas (- 1 ; 2 ; 2) y (0 ; 4 ; 1) respectivamente. Habiendo encontrado el producto vectorial de los vectores A B → y A C → , es obvio que es un vector perpendicular por definición tanto a A B → como a A C → , es decir, es la solución a nuestro problema. Encuéntrelo UN segundo → × UN C → = yo → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 yo → + j → - 4 k → .

Responder: - 6 yo → + j → - 4 k → . es uno de los vectores perpendiculares.

Los problemas del tercer tipo se centran en el uso de las propiedades del producto vectorial de vectores. Después de aplicar cuál, obtendremos una solución al problema planteado.

Ejemplo 5

Los vectores a → y b → son perpendiculares y sus longitudes son 3 y 4 respectivamente. Encuentra la longitud del producto cruz 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 un → × - 2 segundo → + - segundo → × un → + - segundo → × - 2 segundo → .

Solución

Por la propiedad de distributividad del producto vectorial, podemos escribir 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 una → × una → + 3 una → × - 2 segundo → + - segundo → × una → + - segundo → × - 2 segundo →

Por la propiedad de asociatividad, sacamos los coeficientes numéricos más allá del signo de los productos vectoriales en la última expresión: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 segundo → = = 3 un → × un → + 3 (- 2) un → × segundo → + (- 1) segundo → × un → + (- 1) (- 2) segundo → × segundo → = = 3 un → × un → - 6 un → × segundo → - segundo → × un → + 2 segundo → × segundo →

Los productos vectoriales a → × a → y b → × b → son iguales a 0, ya que a → × a → = a → a → sen 0 = 0 y b → × b → = b → b → sen 0 = 0 , entonces 3 un → × un → - 6 un → × segundo → - segundo → × un → + 2 segundo → × segundo → = - 6 un → × segundo → - segundo → × un → . .

De la anticonmutatividad del producto vectorial se sigue - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Usando las propiedades del producto vectorial, obtenemos la igualdad 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Por condición, los vectores a → y b → son perpendiculares, es decir, el ángulo entre ellos es igual a π 2 . Ahora solo queda sustituir los valores encontrados en las fórmulas correspondientes: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sen (a →, b →) = 5 3 4 sen π 2 = 60.

Responder: 3 un → - segundo → × un → - 2 segundo → = 60 .

La longitud del producto vectorial vectorial por definición es a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Como ya se sabe (del curso escolar) que el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de las longitudes de sus dos lados por el seno del ángulo entre estos lados. Por lo tanto, la longitud del producto vectorial es igual al área de un paralelogramo, un triángulo duplicado, es decir, el producto de los lados en forma de vectores a → y b → , separados de un punto, por el seno del ángulo entre ellos sen ∠ a → , b → .

Este es el significado geométrico del producto vectorial.

El significado físico del producto vectorial

En mecánica, una de las ramas de la física, gracias al producto vectorial se puede determinar el momento de fuerza relativo a un punto del espacio.

Definición 3

Bajo el momento de la fuerza F → , aplicada al punto B , relativo al punto A entenderemos el siguiente producto vectorial A B → × F → .

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PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES Y SUS PROPIEDADES

producto mixto tres vectores se llama un número igual a . denotado . Aquí los dos primeros vectores se multiplican vectorialmente y luego el vector resultante se multiplica escalarmente por el tercer vector. Obviamente, tal producto es un número.

Considere las propiedades del producto mixto.

1. sentido geométrico producto mixto. El producto mixto de 3 vectores, hasta un signo, es igual al volumen del paralelepípedo construido sobre estos vectores, como sobre aristas, es decir .

   Así, y .

   

   Prueba. Pospongamos los vectores del origen común y construyamos un paralelepípedo sobre ellos. Denotemos y notemos que . Por definición del producto escalar

   Suponiendo que y denotando a través de h la altura del paralelepípedo, encontramos .

   Así, en

   Si , entonces y . Como consecuencia, .

   Combinando ambos casos, obtenemos o .

   De la demostración de esta propiedad, en particular, se sigue que si la terna de vectores es correcta, entonces el producto mixto , y si es izquierda, entonces .

2. Para cualquier vector , , la igualdad

   La prueba de esta propiedad se sigue de la propiedad 1. De hecho, es fácil demostrar que y . Además, los signos "+" y "-" se toman simultáneamente, porque los ángulos entre los vectores y y y son agudos u obtusos.

3. Cuando se intercambian dos factores cualesquiera, el producto mixto cambia de signo.

   En efecto, si consideramos el producto mixto , entonces, por ejemplo, o

4. Un producto mixto si y solo si uno de los factores es igual a cero o los vectores son coplanares.

   Prueba.

   Así, una condición necesaria y suficiente para la complanaridad de 3 vectores es la igualdad a cero de su producto mixto. Además, se sigue de esto que tres vectores forman una base en el espacio si .

   Si los vectores se dan en forma de coordenadas, se puede demostrar que su producto mixto se encuentra mediante la fórmula:

   .

   Así, el producto mixto es igual a un determinante de tercer orden cuya primera línea contiene las coordenadas del primer vector, la segunda línea contiene las coordenadas del segundo vector y la tercera línea contiene las coordenadas del tercer vector.

   Ejemplos.

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO

La ecuacion F(x, y, z)= 0 define en el espacio Oxyz alguna superficie, es decir lugar geométrico de los puntos cuyas coordenadas x, y, z satisfacer esta ecuación. Esta ecuación se llama la ecuación de superficie, y x, y, z– coordenadas actuales.

Sin embargo, muchas veces la superficie no está definida por una ecuación, sino como un conjunto de puntos en el espacio que tienen una propiedad u otra. En este caso, se requiere encontrar la ecuación de la superficie, en base a sus propiedades geométricas.

PLANO.

VECTOR PLANO NORMAL.

ECUACIÓN DE UN PLANO QUE PASA POR UN PUNTO DADO

Considere un plano arbitrario σ en el espacio. Su posición se determina fijando un vector perpendicular a este plano, y algún punto fijo M0(x0, 0, z0) que se encuentra en el plano σ.

El vector perpendicular al plano σ se llama normal vector de este plano. Deje que el vector tenga coordenadas.

Derivamos la ecuación para el plano σ que pasa por el punto dado M0 y teniendo un vector normal. Para hacer esto, tome un punto arbitrario en el plano σ M(x, y, z) y considere el vector .

Para cualquier punto METROÎ σ vector Por lo tanto, su producto escalar es igual a cero. Esta igualdad es la condición de que el punto METROО σ. Es válido para todos los puntos de este plano y se viola tan pronto como el punto METRO estará fuera del plano σ.

Si denotamos por el radio vector los puntos METRO, es el radio vector del punto M0, entonces la ecuación se puede escribir como

Esta ecuación se llama vector ecuación plana. Escribámoslo en forma de coordenadas. Desde entonces

Entonces, hemos obtenido la ecuación del plano que pasa por el punto dado. Por lo tanto, para componer la ecuación del plano, necesita conocer las coordenadas del vector normal y las coordenadas de algún punto que se encuentra en el plano.

Tenga en cuenta que la ecuación del plano es una ecuación de 1er grado con respecto a las coordenadas actuales x, y y z.

Ejemplos.

ECUACIÓN GENERAL DEL PLANO

Se puede demostrar que cualquier ecuación de primer grado con respecto a coordenadas cartesianas x, y, z es una ecuación de algún plano. Esta ecuación se escribe como:

Hacha+Por+Cz+D=0

y llamó ecuación general plano y las coordenadas A B C aquí están las coordenadas del vector normal del plano.

Consideremos casos particulares de la ecuación general. Averigüemos cómo se ubica el plano en relación con el sistema de coordenadas si uno o más coeficientes de la ecuación desaparecen.

A es la longitud del segmento cortado por el plano en el eje Buey. De manera similar, se puede demostrar que b y C son las longitudes de los segmentos cortados por el plano considerado en los ejes Oye y Onz.

Es conveniente utilizar la ecuación de un plano en segmentos para construir planos.

En esta lección, veremos dos operaciones más con vectores: producto vectorial de vectores y producto mixto de vectores (enlace inmediato para quien lo necesite). Está bien, a veces sucede que para la felicidad completa, además de producto escalar de vectores, cada vez se necesita más. Así es la adicción a los vectores. Uno puede tener la impresión de que nos estamos adentrando en la jungla de la geometría analítica. Esto no es verdad. En esta sección de matemáticas superiores, generalmente hay poca leña, excepto quizás la suficiente para Pinocho. De hecho, el material es muy común y simple, apenas más difícil que el mismo producto escalar, incluso habrá menos tareas típicas. Lo principal en geometría analítica, como muchos verán o ya han visto, es NO EQUIVOCARSE EN LOS CÁLCULOS. Repite como un hechizo, y serás feliz =)

Si los vectores brillan en algún lugar lejano, como un relámpago en el horizonte, no importa, comience con la lección. Vectores para tontos restaurar o readquirir conocimientos básicos sobre vectores. Los lectores más preparados pueden familiarizarse con la información de forma selectiva, traté de recopilar la colección más completa de ejemplos que a menudo se encuentran en el trabajo práctico.

¿Qué te hará feliz? Cuando era pequeño, podía hacer malabarismos con dos y hasta tres pelotas. Funcionó bien. Ahora no hay necesidad de hacer malabares en absoluto, ya que consideraremos Vectores de solo espacio, y se omitirán los vectores planos con dos coordenadas. ¿Por qué? Así nacieron estas acciones: el vector y el producto mixto de vectores se definen y funcionan en el espacio tridimensional. ¡Ya más fácil!

En esta operación, al igual que en el producto escalar, dos vectores. Que sean letras imperecederas.

La acción en sí denotado de la siguiente manera: . Hay otras opciones, pero estoy acostumbrado a designar el producto vectorial de vectores de esta manera, entre corchetes con una cruz.

Y inmediatamente pregunta: si en producto escalar de vectores dos vectores están involucrados, y aquí también se multiplican dos vectores, entonces cuál es la diferencia? Una clara diferencia, en primer lugar, en el RESULTADO:

El resultado del producto escalar de vectores es un NÚMERO:

El resultado del producto vectorial de vectores es un VECTOR: , es decir, multiplicamos los vectores y obtenemos de nuevo un vector. Club cerrado. En realidad, de ahí el nombre de la operación. En varias publicaciones educativas, las designaciones también pueden variar, usaré la letra .

Definición de producto cruz

Primero habrá una definición con una imagen, luego comentarios.

Definición: producto cruzado no colineal vectores , tomado en este orden, se llama VECTOR, longitud que es numéricamente igual al área del paralelogramo, construida sobre estos vectores; vector ortogonal a los vectores, y está dirigido para que la base tenga una orientación correcta:

Analizamos la definición por huesos, ¡hay muchas cosas interesantes!

Así, podemos destacar los siguientes puntos significativos:

1) Vectores fuente, indicados por flechas rojas, por definición no colineal. Será apropiado considerar el caso de los vectores colineales un poco más adelante.

2) Vectores tomados en un orden estricto: – "a" se multiplica por "ser", no "ser" a "a". El resultado de la multiplicación de vectores es VECTOR , que se indica en azul. Si los vectores se multiplican en orden inverso, entonces obtenemos un vector de igual longitud y dirección opuesta (color carmesí). Es decir, la igualdad .

3) Ahora familiaricémonos con el significado geométrico del producto vectorial. ¡Este es un punto muy importante! La LONGITUD del vector azul (y, por lo tanto, del vector carmesí) es numéricamente igual al ÁREA del paralelogramo construido sobre los vectores. En la figura, este paralelogramo está sombreado en negro.

Nota : el dibujo es esquemático y, por supuesto, la longitud nominal del producto vectorial no es igual al área del paralelogramo.

Recordamos una de las fórmulas geométricas: el area de un paralelogramo es igual al producto de los lados adyacentes por el seno del angulo entre ellos. Por tanto, en base a lo anterior, es válida la fórmula para calcular la LONGITUD de un producto vectorial:

Hago hincapié en que en la fórmula estamos hablando de la LONGITUD del vector, y no del vector en sí. ¿Cuál es el significado práctico? Y el significado es tal que en problemas de geometría analítica, el área de un paralelogramo se suele hallar mediante el concepto de producto vectorial:

Obtenemos la segunda fórmula importante. La diagonal del paralelogramo (línea punteada roja) lo divide en dos triángulos iguales. Por lo tanto, el área de un triángulo construido sobre vectores (sombreado rojo) se puede encontrar mediante la fórmula:

4) Un hecho igualmente importante es que el vector es ortogonal a los vectores , es decir . Por supuesto, el vector de dirección opuesta (flecha carmesí) también es ortogonal a los vectores originales.

5) El vector está dirigido de manera que base Tiene Correcto orientación. En una lección sobre transición a una nueva base He hablado en detalle sobre orientación del plano, y ahora descubriremos cuál es la orientación del espacio. Te explicaré en tus dedos. mano derecha. combinar mentalmente dedo índice con vectores y dedo medio con vectores Dedo anular y dedo meñique presione en su palma. Como resultado pulgar- el producto vectorial buscará. Esta es la base orientada a la derecha (está en la figura). Ahora intercambia los vectores ( dedos índice y medio) en algunos lugares, como resultado, el pulgar girará y el producto vectorial ya mirará hacia abajo. Esta es también una base orientada hacia la derecha. Quizás tenga una pregunta: ¿qué base tiene una orientación a la izquierda? "Asignar" los mismos dedos mano izquierda vectores, y obtenga la base izquierda y la orientación espacial izquierda (en este caso, el pulgar se ubicará en la dirección del vector inferior). Hablando en sentido figurado, estas bases “tuercen” u orientan el espacio en diferentes direcciones. Y este concepto no debe considerarse algo descabellado o abstracto; por ejemplo, el espejo más común cambia la orientación del espacio, y si "saca el objeto reflejado del espejo", en general no será posible combínalo con el “original”. Por cierto, acerca tres dedos al espejo y analiza el reflejo ;-)

... que bueno que ahora sabes de orientado a la derecha y a la izquierda bases, porque las declaraciones de algunos profesores sobre el cambio de orientación son pésimas =)

Producto vectorial de vectores colineales

La definición se ha elaborado en detalle, queda por averiguar qué sucede cuando los vectores son colineales. Si los vectores son colineales, entonces se pueden colocar en una línea recta y nuestro paralelogramo también se "pliega" en una línea recta. El área de tal, como dicen los matemáticos, degenerar paralelogramo es cero. Lo mismo se deduce de la fórmula: el seno de cero o 180 grados es igual a cero, lo que significa que el área es cero

Así, si , entonces y . Tenga en cuenta que el producto vectorial en sí mismo es igual al vector cero, pero en la práctica esto a menudo se pasa por alto y se escribe que también es igual a cero.

Un caso especial es el producto vectorial de un vector por sí mismo:

Utilizando el producto vectorial, puedes comprobar la colinealidad de vectores tridimensionales, y también analizaremos este problema, entre otros.

Para resolver ejemplos prácticos, puede ser necesario tabla trigonométrica para encontrar los valores de los senos de ella.

Bueno, encendamos un fuego:

Ejemplo 1

a) Calcular la longitud del producto vectorial de vectores si

b) Hallar el área de un paralelogramo construido sobre vectores si

Solución: No, esto no es un error tipográfico, intencionalmente hice que los datos iniciales en los elementos de condición fueran iguales. ¡Porque el diseño de las soluciones será diferente!

a) Según la condición, se requiere encontrar longitud vector (producto vectorial). Según la fórmula correspondiente:

Responder:

Como se preguntó sobre la longitud, en la respuesta indicamos la dimensión - unidades.

b) Según la condición, se requiere encontrar cuadrado paralelogramo construido sobre vectores. El área de este paralelogramo es numéricamente igual a la longitud del producto vectorial:

Responder:

Tenga en cuenta que en la respuesta sobre el producto vectorial no se habla en absoluto, se nos preguntó sobre área de la figura, respectivamente, la dimensión es unidades cuadradas.

Siempre miramos QUÉ se requiere encontrar por la condición y, en base a esto, formulamos claro responder. Puede parecer literalismo, pero hay suficientes literalistas entre los profesores, y la tarea con buenas posibilidades será devuelta para su revisión. Aunque este no es un problema particularmente tenso, si la respuesta es incorrecta, entonces uno tiene la impresión de que la persona no entiende las cosas simples y / o no ha profundizado en la esencia de la tarea. Este momento debe mantenerse siempre bajo control, resolviendo cualquier problema en matemáticas superiores, y en otras materias también.

¿Adónde fue la gran letra "en"? En principio, también podría apegarse a la solución, pero para acortar la lista, no lo hice. Espero que todos entiendan eso y es la designación de lo mismo.

Un ejemplo popular para una solución de bricolaje:

Ejemplo 2

Encuentra el área de un triángulo construido sobre vectores si

La fórmula para encontrar el área de un triángulo a través del producto vectorial se proporciona en los comentarios a la definición. Solución y respuesta al final de la lección.

En la práctica, la tarea es realmente muy común, los triángulos generalmente se pueden torturar.

Para resolver otros problemas, necesitamos:

Propiedades del producto cruz de vectores

Ya hemos considerado algunas propiedades del producto vectorial, sin embargo, las incluiré en esta lista.

Para vectores arbitrarios y un número arbitrario, las siguientes propiedades son verdaderas:

1) En otras fuentes de información, este ítem no suele distinguirse en las propiedades, pero es muy importante en términos prácticos. Pues dejalo ser.

2) - la propiedad también se discute arriba, a veces se le llama anticonmutatividad. En otras palabras, el orden de los vectores importa.

3) - combinación o de asociación Leyes de productos vectoriales. Las constantes se sacan fácilmente de los límites del producto vectorial. En serio, ¿qué están haciendo allí?

4) - distribución o distribución Leyes de productos vectoriales. Tampoco hay problemas con la apertura de corchetes.

Como demostración, considere un breve ejemplo:

Ejemplo 3

encontrar si

Solución: Por condición, nuevamente se requiere encontrar la longitud del producto vectorial. Pintemos nuestra miniatura:

(1) De acuerdo con las leyes asociativas, sacamos las constantes más allá de los límites del producto vectorial.

(2) Sacamos la constante del módulo, mientras que el módulo se “come” el signo menos. La longitud no puede ser negativa.

(3) Lo que sigue es claro.

Responder:

Es hora de echar leña al fuego:

Ejemplo 4

Calcular el área de un triángulo construido sobre vectores si

Solución: Encuentra el área de un triángulo usando la fórmula . El inconveniente es que los vectores "ce" y "te" se representan como sumas de vectores. El algoritmo aquí es estándar y recuerda un poco a los ejemplos No. 3 y 4 de la lección. Producto escalar de vectores. Vamos a dividirlo en tres pasos para mayor claridad:

1) En el primer paso, expresamos el producto vectorial a través del producto vectorial, de hecho, expresar el vector en términos del vector. ¡Todavía no hay información sobre la duración!

(1) Sustituimos expresiones de vectores .

(2) Usando leyes distributivas, abre los paréntesis de acuerdo con la regla de la multiplicación de polinomios.

(3) Usando las leyes asociativas, sacamos todas las constantes más allá de los productos vectoriales. Con poca experiencia, las acciones 2 y 3 se pueden realizar simultáneamente.

(4) Los términos primero y último son iguales a cero (vector cero) debido a la propiedad agradable. En el segundo término, usamos la propiedad de anticonmutatividad del producto vectorial:

(5) Presentamos términos similares.

Como resultado, el vector resultó expresarse a través de un vector, que era lo que se requería lograr:

2) En el segundo paso, encontramos la longitud del producto vectorial que necesitamos. Esta acción es similar al Ejemplo 3:

3) Encuentra el área del triángulo deseado:

Los pasos 2 y 3 de la solución se pueden organizar en una línea.

Responder:

El problema considerado es bastante común en las pruebas, aquí hay un ejemplo para una solución independiente:

Ejemplo 5

encontrar si

Solución corta y respuesta al final de la lección. A ver qué tan atento estuviste al estudiar los ejemplos anteriores ;-)

Producto vectorial de vectores en coordenadas

, dado en la base ortonormal , se expresa por la formula:

La fórmula es realmente simple: escribimos los vectores de coordenadas en la línea superior del determinante, "empaquetamos" las coordenadas de los vectores en la segunda y tercera líneas, y ponemos en estricto orden- primero, las coordenadas del vector "ve", luego las coordenadas del vector "doble-ve". Si los vectores deben multiplicarse en un orden diferente, entonces las líneas también deben intercambiarse:

Ejemplo 10

Compruebe si los siguientes vectores espaciales son colineales:
a)
b)

Solución: La prueba se basa en una de las afirmaciones de esta lección: si los vectores son colineales, entonces su producto vectorial es cero (vector cero): .

a) Hallar el producto vectorial:

Entonces los vectores no son colineales.

b) Encuentra el producto vectorial:

Responder: a) no colineal, b)

Aquí, quizás, está toda la información básica sobre el producto vectorial de vectores.

Esta sección no será muy grande, ya que hay pocos problemas donde se usa el producto mixto de vectores. De hecho, todo descansará sobre la definición, el significado geométrico y un par de fórmulas de trabajo.

El producto mixto de vectores es el producto de tres vectores:

Así se alinearon como un tren y esperaron, no pueden esperar hasta que se calculen.

Primero de nuevo la definición y la imagen:

Definición: Producto mixto no coplanar vectores , tomado en este orden, se llama volumen del paralelepípedo, construida sobre estos vectores, equipada con un signo "+" si la base es correcta y un signo "-" si la base es izquierda.

Hagamos el dibujo. Las líneas invisibles para nosotros se dibujan con una línea de puntos:

Vamos a sumergirnos en la definición:

2) Vectores tomados en cierto orden, es decir, la permutación de vectores en el producto, como se puede suponer, no deja de tener consecuencias.

3) Antes de comentar el significado geométrico, señalaré el hecho evidente: el producto mixto de vectores es un NUMERO: . En la literatura educativa, el diseño puede ser algo diferente, solía designar un producto mixto mediante, y el resultado de cálculos con la letra "pe".

Por definición el producto mixto es el volumen del paralelepípedo, construida sobre vectores (la figura está dibujada con vectores rojos y líneas negras). Es decir, el número es igual al volumen del paralelepípedo dado.

Nota : El dibujo es esquemático.

4) No nos molestemos de nuevo con el concepto de la orientación de la base y el espacio. El significado de la parte final es que se puede agregar un signo menos al volumen. En términos simples, el producto mixto puede ser negativo: .

La fórmula para calcular el volumen de un paralelepípedo construido sobre vectores se deriva directamente de la definición.