Para los vectores, y, dado por sus coordenadas, el producto mixto se calcula mediante la fórmula :.

Se utiliza una obra mixta: 1) para calcular los volúmenes de un tetraedro y un paralelepípedo, construidos sobre vectores y, como en aristas, por la fórmula :; 2) como condición de coplanaridad de vectores, y: y son coplanares.

Tema 5. Líneas rectas y planos.

El vector normal de la línea , se llama cualquier vector distinto de cero perpendicular a la línea dada. El vector de dirección de la línea recta , se llama a cualquier vector distinto de cero paralelo a una línea dada.

Derecho en la superficie

1) - ecuación general línea recta, donde está el vector normal de la línea recta;

2) - ecuación de una línea recta que pasa por un punto perpendicular a un vector dado;

3) ecuación canónica );

4)

5) - ecuaciones de línea recta con pendiente , donde es el punto a través del cual pasa la línea recta; () - el ángulo que forma la línea recta con el eje; - la longitud del segmento (con un signo) cortado por una línea recta en el eje (signo "" si el segmento está cortado en la parte positiva del eje y "" si en la negativa).

6) - ecuación de una línea recta en segmentos, donde y son las longitudes de los segmentos (con un signo) cortados por una línea recta en los ejes de coordenadas y (el signo "" si el segmento está cortado en la parte positiva del eje y "" si en la negativa) .

Distancia de punto a línea dada por la ecuación general en el plano se encuentra mediante la fórmula:

Inyección ( )entre rectos y, dado por ecuaciones generales o ecuaciones con pendiente, se encuentra mediante una de las siguientes fórmulas:

Yo para.

Yo para

Coordenadas del punto de intersección de líneas. y se encuentran como solución a un sistema de ecuaciones lineales: o.

El vector normal del avión , se llama cualquier vector distinto de cero perpendicular al plano dado.

Plano en el sistema de coordenadas se puede especificar mediante una ecuación de uno de los siguientes tipos:

1) - ecuación general plano, donde está el vector normal del plano;

2) - la ecuación del plano que pasa por el punto perpendicular al vector dado;

3) - la ecuación del plano que pasa por tres puntos, y;

4) - ecuación de plano en segmentos, donde, y son las longitudes de los segmentos (con un signo) cortados por el plano en los ejes de coordenadas, y (el signo “” si el segmento está cortado en la parte positiva del eje y “” si está en la parte negativa ).

Distancia de un punto a otro dado por la ecuación general se encuentra mediante la fórmula:

Inyección( )entre aviones y, dado por las ecuaciones generales, se encuentra mediante la fórmula:

Derecho en el espacio en el sistema de coordenadas se puede especificar mediante una ecuación de uno de los siguientes tipos:

1) - ecuación general recto, como las líneas de intersección de dos planos, donde y - vectores normales de los planos y;

2) - la ecuación de una línea recta que pasa por un punto paralelo a un vector dado ( ecuación canónica );

3) - ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados;

4) - la ecuación de una línea recta que pasa por un punto paralelo a un vector dado, ( ecuación paramétrica );

Inyección ( ) entre rectos y en el espacio dado por las ecuaciones canónicas se encuentra mediante la fórmula:

Coordenadas de intersección de línea dado por la ecuación paramétrica y avión , dados por la ecuación general, se encuentran como una solución al sistema de ecuaciones lineales :.

Inyección ( ) entre rectos dado por la ecuación canónica y avión dado por la ecuación general se encuentra mediante la fórmula :.

Tema 6. Curvas de segundo orden.

Curva algebraica de segundo orden en el sistema de coordenadas se llama curva, ecuación general que tiene la forma:

donde los números no son iguales a cero al mismo tiempo. Existe la siguiente clasificación de curvas de segundo orden: 1) si, entonces la ecuación general define la curva tipo elíptico (círculo (en), elipse (en), conjunto vacío, punto); 2) si, entonces - curva tipo hiperbólico (hipérbola, un par de líneas que se cruzan); 3) si, entonces - curva tipo parabólico(parábola, conjunto vacío, línea, par de líneas paralelas). Un círculo, elipse, hipérbola y parábola se llaman curvas no degeneradas de segundo orden.

La ecuación general, en la que se define una curva no degenerada (círculo, elipse, hipérbola, parábola), siempre puede (mediante el método de selección de cuadrados perfectos) reducirse a una ecuación de uno de los siguientes tipos:

1a) - la ecuación de un círculo con un centro en un punto y un radio (Fig. 5).

1b)- la ecuación de una elipse con centro en un punto y ejes de simetría paralelos a los ejes de coordenadas. Los números y - se llaman semiejes de una elipse el rectángulo principal de la elipse; los vértices de la elipse .

Para dibujar una elipse en un sistema de coordenadas: 1) marque el centro de la elipse; 2) dibuje a través del centro con una línea de puntos el eje de simetría de la elipse; 3) dibujamos con una línea de puntos el rectángulo principal de una elipse con centro y lados paralelos a los ejes de simetría; 4) dibujamos una elipse con una línea continua, inscribiéndola en el rectángulo principal de modo que la elipse toque sus lados solo en los vértices de la elipse (Fig. 6).

De manera similar, se construye un círculo, cuyo rectángulo principal tiene lados (Fig. 5).

Figura 5 Figura 6

2) - ecuaciones de hipérbolas (llamadas asociado) centrado en un punto y con ejes de simetría paralelos a los ejes de coordenadas. Los números y - se llaman semiejes de hipérbolas ; rectángulo con lados paralelos a los ejes de simetría y centro en el punto - el rectángulo principal de hipérbolas; puntos de intersección del rectángulo principal con los ejes de simetría - tapas de hipérbolas; líneas rectas que pasan por vértices opuestos del rectángulo principal - asíntotas de hipérbolas .

Para construir una hipérbola en un sistema de coordenadas: 1) marcar el centro de la hipérbola; 2) dibuje el eje de simetría de la hipérbola a través del centro con una línea de puntos; 3) dibujamos una línea de puntos para el rectángulo principal de la hipérbola con centro y lados y paralela a los ejes de simetría; 4) trazar líneas rectas a través de los vértices opuestos del rectángulo principal con línea de puntos, que son las asíntotas de la hipérbola, a las que las ramas de la hipérbola se aproximan infinitamente cerca, a una distancia infinita del origen de las coordenadas, sin cruzarlas; 5) dibujamos las ramas de una hipérbola (Fig. 7) o hipérbola (Fig. 8) con una línea continua.

Figura 7 Figura 8

3a)- la ecuación de una parábola con vértice en un punto y un eje de simetría paralelo al eje de coordenadas (Fig. 9).

3b)- la ecuación de una parábola con vértice en un punto y un eje de simetría paralelo al eje de coordenadas (Fig. 10).

Para dibujar una parábola en un sistema de coordenadas: 1) marcar el vértice de la parábola; 2) dibuja el eje de simetría de la parábola a través del vértice con una línea de puntos; 3) dibujamos una parábola con una línea continua, dirigiendo su rama, teniendo en cuenta el signo del parámetro de la parábola: en - en la dirección positiva del eje de coordenadas paralelo al eje de simetría de la parábola (Fig. 9a y 10a); en - en la dirección negativa del eje de coordenadas (Fig. 9b y 10b).

Arroz. 9a Fig. 9b

Arroz. 10a Fig. 10b

Tema 7. Conjuntos. Conjuntos de números. Función.

Debajo la multitud comprender un determinado conjunto de objetos de cualquier naturaleza, distinguibles entre sí y pensables como un todo. Los objetos que componen el conjunto lo llaman elementos ... El conjunto puede ser infinito (consta de un número infinito de elementos), finito (consta de un número finito de elementos), vacío (no contiene un solo elemento). Los conjuntos denotan :, y sus elementos :. El conjunto vacío se denota por.

La multitud se llama subconjunto establecer si todos los elementos del conjunto pertenecen al conjunto y escribir. Conjuntos y se llaman igual si constan de los mismos elementos y escriben. Dos conjuntos y serán iguales si y solo si y.

La multitud se llama universal (en el marco de esta teoría matemática) , si sus elementos son todos los objetos considerados en esta teoría.

Se pueden configurar muchos: 1) enumerando todos sus elementos, por ejemplo: (solo para conjuntos finitos); 2) estableciendo la regla para determinar la pertenencia de un elemento de un conjunto universal a un conjunto dado :.

Consolidación

Cruce conjuntos y se llama conjunto

Diferencia conjuntos y se llama conjunto

Suplemento un conjunto (hasta un conjunto universal) se denomina conjunto.

Los dos conjuntos se llaman equivalente y escriba ~ si se puede establecer una correspondencia uno a uno entre los elementos de estos conjuntos. El conjunto se llama contando si es equivalente al conjunto de números naturales: ~. El conjunto vacío es, por definición, contable.

El concepto de cardinalidad de un conjunto surge al comparar conjuntos según el número de elementos que contienen. La cardinalidad del conjunto se denota por. La cardinalidad de un conjunto finito es el número de sus elementos.

Los conjuntos equivalentes tienen la misma cardinalidad. El conjunto se llama incontable si su cardinalidad es mayor que la cardinalidad del conjunto.

Válido (verdadero) número se llama una fracción decimal infinita, tomada con el signo "+" o "". Los números reales se identifican con puntos de la recta numérica. Módulo (valor absoluto) de un número real es un número no negativo:

El conjunto se llama numérico si sus elementos son números reales. intervalos los conjuntos de números se denominan: ,,,,,,,,,.

El conjunto de todos los puntos en la recta numérica que satisfacen la condición, donde es un número arbitrariamente pequeño, se llama -vecindario (o simplemente la vecindad) del punto y se denota por. El conjunto de todos los puntos por una condición, donde es un número arbitrariamente grande, se llama - vecindario (o simplemente un vecindario) de infinito y se denota por.

Una cantidad que conserva el mismo valor numérico se llama permanente. Una cantidad que toma diferentes valores numéricos se llama variable. Función se llama la regla, según la cual cada número está asociado con un número bien definido, y escriben. El conjunto se llama alcance funciones, - la multitud ( o región ) valores funciones, - argumento , - valor de la función . La forma más común de definir una función es la forma analítica, en la que la función se define mediante una fórmula. Dominio natural de definición función es el conjunto de valores de argumentos para los que la fórmula dada tiene sentido. Gráfico de funciones , en un sistema de coordenadas rectangular, es el conjunto de todos los puntos del plano con coordenadas ,.

La función se llama incluso en un conjunto simétrico con respecto a un punto, si la condición se cumple para todos: y impar si se cumple la condición. De lo contrario, la función vista general o ni par ni impar .

La función se llama periódico en el set, si hay un número ( período de función ), de modo que la condición se satisfaga para todos :. El número más pequeño se llama período principal.

La función se llama aumentando monótonamente (menguante ) en el conjunto si el valor mayor del argumento corresponde al valor mayor (menor) de la función.

La función se llama limitado en el set, si hay un número tal que la condición se satisfaga para todos :. De lo contrario, la función - ilimitado .

Marcha atrás funcionar , , se llama una función que se define en el conjunto y cada

Coincide con eso. Para encontrar la función inversa a la función , necesitas resolver la ecuación relativamente . Si la función , es estrictamente monótona activada, entonces siempre tiene una inversa; además, si la función aumenta (disminuye), entonces la función inversa también aumenta (disminuye).

Una función representada en la forma, donde, son algunas funciones tales que el dominio de la función contiene el conjunto completo de valores de la función, se llama función compleja argumento independiente. Entonces, la variable se denomina argumento intermedio. Una función compleja también se llama composición de funciones y escriben :.

La primaria principal se consideran funciones: sosegado función, indicativo función (,), logarítmico función (,), trigonométrico funciones ,,,, trigonométrica inversa funciones ,,,. Elemental Se denomina función obtenida a partir de funciones elementales básicas mediante un número finito de sus operaciones y composiciones aritméticas.

Si se establece el gráfico de una función, entonces la construcción del gráfico de la función se reduce a una serie de transformaciones (desplazamiento, compresión o estiramiento, visualización) del gráfico:

1) 2) la transformación muestra el gráfico simétricamente, en relación con el eje; 3) la transformación desplaza el gráfico a lo largo del eje en unidades (- a la derecha, - a la izquierda); 4) la transformación desplaza el gráfico a lo largo del eje en unidades (- arriba, - abajo); 5) transformación el gráfico a lo largo del eje se alarga en tiempos, si, o se reduce en tiempos, si; 6) transformar el gráfico a lo largo del eje se reduce en tiempos, si, o se alarga en tiempos, si.

La secuencia de transformaciones al trazar un gráfico de función se puede representar simbólicamente como:

Nota. Al realizar la transformación, tenga en cuenta que la cantidad de desplazamiento a lo largo del eje está determinada por la constante que se agrega directamente al argumento y no al argumento.

La gráfica de la función es una parábola con vértice en un punto cuyas ramas se dirigen hacia arriba si, o hacia abajo si. La gráfica de una función fraccionaria lineal es una hipérbola centrada en un punto, cuyas asíntotas pasan por el centro, paralelas a los ejes coordenados. satisfaciendo la condición. llamado.

En esta lección, veremos dos operaciones vectoriales más: vector producto de vectores y producto mixto de vectores (enlace inmediato, quién lo necesita)... Está bien, a veces sucede que para la felicidad completa, además de producto escalar de vectores, se necesita cada vez más. Tal es la adicción a los vectores. Uno podría tener la impresión de que nos adentramos en la jungla de la geometría analítica. Esto no es verdad. En esta sección de matemáticas superiores, generalmente no hay suficiente leña, excepto que hay suficiente para Buratino. De hecho, el material es muy común y simple, apenas más complicado que el mismo. producto escalar, incluso habrá menos tareas típicas. Lo principal en geometría analítica, como muchos estarán convencidos o ya han sido convencidos, es NO ERRAR EN LOS CÁLCULOS. Repite como un hechizo y serás feliz =)

Si los vectores brillan en algún lugar lejano, como un rayo en el horizonte, no importa, comience con la lección Vectores para maniquíes recuperar o recuperar conocimientos básicos sobre vectores. Los lectores más preparados pueden familiarizarse con la información de forma selectiva, intenté recopilar la colección más completa de ejemplos que a menudo se encuentran en trabajo practico

¿Cómo complacerte de inmediato? Cuando era pequeño, sabía hacer malabares con dos o incluso tres pelotas. Con destreza resultó. Ahora no tendrá que hacer malabares en absoluto, ya que consideraremos solo vectores espaciales, y los vectores planos con dos coordenadas se omitirán. ¿Por qué? Así es como nacieron estas acciones: el vector y el producto mixto de vectores se definen y funcionan en un espacio tridimensional. ¡Ya es más fácil!

Esta operación, al igual que en el producto escalar, implica dos vectores... Sean estas letras imperecederas.

La acción en sí denotado de la siguiente manera:. Hay otras opciones, pero estoy acostumbrado a denotar el producto vectorial de los vectores de esa manera, entre corchetes con una cruz.

Y inmediatamente pregunta: si en producto escalar de vectores dos vectores están involucrados, y aquí, también, dos vectores se multiplican, entonces cuál es la diferencia? La diferencia obvia está, en primer lugar, en el RESULTADO:

El resultado del producto escalar de los vectores es NÚMERO:

El producto vectorial de los vectores da como resultado un VECTOR:, es decir, multiplicamos los vectores y obtenemos un vector nuevamente. Club cerrado. En realidad, de ahí el nombre de la operación. En la literatura educativa diferente, las designaciones también pueden variar, usaré la letra.

Definición de un producto cruzado

Primero habrá una definición con una imagen, luego comentarios.

Definición: Por producto vectorial no colineal vectores, tomado en este orden, llamado VECTOR, largo que numéricamente igual al área del paralelogramo construido sobre estos vectores; vector ortogonal a los vectores, y está dirigido para que la base tenga una orientación correcta:

Analizamos la definición por huesos, ¡hay muchas cosas interesantes!

Entonces, se pueden destacar los siguientes puntos esenciales:

1) Los vectores originales, indicados por flechas rojas, por definición no colineal... Será apropiado considerar el caso de los vectores colineales un poco más adelante.

2) Los vectores se toman en un orden estrictamente definido: – "A" se multiplica por "bh" y no "bh" a "a". El resultado de la multiplicación de vectores es el VECTOR, que está marcado en azul. Si los vectores se multiplican en orden inverso, obtenemos un vector de igual longitud y dirección opuesta (color carmesí). Es decir, la igualdad es verdadera .

3) Ahora familiaricémonos con el significado geométrico del producto vectorial. ¡Este es un punto muy importante! La LONGITUD del vector azul (y, por lo tanto, el vector carmesí) es numéricamente igual al ÁREA del paralelogramo construido sobre los vectores. En la figura, este paralelogramo está sombreado en negro.

Nota : el dibujo es esquemático y, por supuesto, la longitud nominal del producto cruzado no es igual al área del paralelogramo.

Recordamos una de las fórmulas geométricas: el área del paralelogramo es igual al producto de los lados adyacentes por el seno del ángulo entre ellos... Por tanto, en base a lo anterior, la fórmula para calcular la LONGITUD de un producto vectorial es válida:

Hago hincapié en que en la fórmula estamos hablando de la LONGITUD del vector, y no del vector en sí. ¿Cuál es el punto práctico? Y el significado es que en problemas de geometría analítica, el área de un paralelogramo a menudo se encuentra a través del concepto de producto vectorial:

Consigamos la segunda fórmula importante. La diagonal del paralelogramo (línea punteada roja) lo divide en dos triángulos iguales. Por lo tanto, el área de un triángulo construido sobre vectores (sombreado rojo) se puede encontrar mediante la fórmula:

4) Un hecho igualmente importante es que el vector es ortogonal a los vectores, es decir, ... Por supuesto, el vector de dirección opuesta (flecha carmesí) también es ortogonal a los vectores originales.

5) El vector se dirige de modo que base Tiene Derecha orientación. En la lección sobre transición a una nueva base Hablé con suficiente detalle sobre orientación del plano, y ahora averiguaremos cuál es la orientación del espacio. Te lo explicare con los dedos mano derecha... Combina mentalmente dedo índice con vector y dedo medio con vector. Dedo anular y meñique presiónelo en la palma de su mano. Como resultado pulgar- el producto cruzado buscará hacia arriba. Esta es la base orientada a la derecha (en la figura es). Ahora cambia los vectores ( dedos índice y medio) en algunos lugares, como resultado, el pulgar se desplegará y el producto cruzado ya mirará hacia abajo. Esta es también una base orientada a la derecha. Quizás tenga una pregunta: ¿cuál es la base de la orientación hacia la izquierda? "Asignar" a los mismos dedos mano izquierda vectores, y obtenga la base izquierda y la orientación izquierda del espacio (en este caso, el pulgar se ubicará en la dirección del vector inferior)... En sentido figurado, estas bases "tuercen" u orientan el espacio en diferentes direcciones. Y este concepto no debe considerarse como algo exagerado o abstracto; por ejemplo, el espejo más común cambia la orientación del espacio, y si "saca el objeto reflejado del espejo", entonces, en el caso general no será posible combinarlo con el “original”. Por cierto, acerca tres dedos al espejo y analiza el reflejo ;-)

... que bueno es que ahora conozcas orientado a derecha e izquierda bases, porque las declaraciones de algunos profesores sobre el cambio de orientación son terribles =)

Producto cruzado de vectores colineales

La definición ha sido analizada en detalle, queda por saber qué sucede cuando los vectores son colineales. Si los vectores son colineales, entonces se pueden ubicar en una línea recta y nuestro paralelogramo también se "pliega" en una línea recta. El área de tales, como dicen los matemáticos, degenerar paralelogramo es cero. Lo mismo se sigue de la fórmula: el seno de cero o 180 grados es igual a cero, lo que significa que el área es cero.

Por lo tanto, si, entonces y ... Tenga en cuenta que el producto cruzado en sí mismo es igual al vector cero, pero en la práctica esto a menudo se descuida y se escribe que también es cero.

Un caso especial es el producto vectorial de un vector por sí mismo:

Con el producto cruzado se puede comprobar la colinealidad de vectores tridimensionales, y también analizaremos este problema, entre otros.

Para resolver ejemplos prácticos, es posible que necesite tabla trigonométrica para encontrar los valores del seno a partir de él.

Bueno, enciendamos un fuego:

Ejemplo 1

a) Encuentre la longitud del producto vectorial de vectores si

b) Encuentra el área de un paralelogramo construido sobre vectores si

Solución: No, esto no es un error tipográfico, deliberadamente hice iguales los datos iniciales en las cláusulas de la condición. ¡Porque el diseño de las soluciones será diferente!

a) Por condición, se requiere encontrar la longitud vector (producto vectorial). Según la fórmula correspondiente:

Respuesta:

Dado que se hizo la pregunta sobre la longitud, en la respuesta indicamos la dimensión: unidades.

b) Por condición, se requiere encontrar cuadrado un paralelogramo construido sobre vectores. El área de este paralelogramo es numéricamente igual a la longitud del producto vectorial:

Respuesta:

Tenga en cuenta que la respuesta sobre el producto vectorial está fuera de discusión, se nos preguntó sobre área de la figura, respectivamente, la dimensión es unidades cuadradas.

Siempre miramos QUÉ se requiere encontrar por la condición y, en base a esto, formulamos claro respuesta. Puede parecer literalismo, pero hay suficientes literalistas entre los profesores, y la tarea con buenas posibilidades volverá para ser revisada. Aunque esto no es un fastidio particularmente tenso, si la respuesta es incorrecta, entonces uno tiene la impresión de que la persona no comprende cosas simples y / o no comprende la esencia de la tarea. Este momento debe mantenerse siempre bajo control, resolviendo cualquier problema en matemáticas superiores, y también en otras materias.

¿Dónde se fue la letra grande "en"? En principio, también podría incluirse en la solución, pero para acortar la grabación, no lo hice. Espero que todos entiendan eso y sea una designación de lo mismo.

Ejemplo popular de una solución de bricolaje:

Ejemplo 2

Encuentra el área de un triángulo construido sobre vectores si

La fórmula para encontrar el área de un triángulo a través del producto cruzado se da en los comentarios a la definición. Solución y respuesta al final de la lección.

En la práctica, la tarea es realmente muy común, los triángulos generalmente pueden torturarte.

Para resolver otros problemas, necesitamos:

Propiedades del producto vectorial

Ya hemos considerado algunas propiedades del producto cruzado, sin embargo, las incluiré en esta lista.

Para vectores arbitrarios y un número arbitrario, las siguientes propiedades son válidas:

1) En otras fuentes de información, este elemento generalmente no se destaca en las propiedades, pero es muy importante en términos prácticos. Pues dejalo ser.

2) - la propiedad también se analiza anteriormente, a veces se llama anticomutatividad... En otras palabras, el orden de los vectores importa.

3) - combinación o de asociación leyes de un producto vectorial. Las constantes se eliminan sin problemas fuera del producto vectorial. De hecho, ¿qué deberían hacer allí?

4) - distribución o distributivo leyes de un producto vectorial. Tampoco hay problemas con la expansión de los soportes.

Como demostración, considere un breve ejemplo:

Ejemplo 3

Encuentra si

Solución: De acuerdo con la condición, nuevamente se requiere encontrar la longitud del producto cruzado. Escribamos nuestra miniatura:

(1) De acuerdo con las leyes asociativas, movemos las constantes fuera de la división del producto vectorial.

(2) Sacamos la constante del módulo, mientras que el módulo "se come" el signo menos. La longitud no puede ser negativa.

(3) Lo que sigue es claro.

Respuesta:

Es hora de poner leña al fuego:

Ejemplo 4

Calcula el área de un triángulo construido sobre vectores si

Solución: El área del triángulo se calcula mediante la fórmula ... El problema es que los vectores "tse" y "de" se representan ellos mismos como sumas de vectores. El algoritmo aquí es estándar y recuerda algo a los ejemplos 3 y 4 de la lección. Producto escalar de vectores... Para mayor claridad, dividamos la solución en tres etapas:

1) En el primer paso, expresamos el producto vectorial en términos del producto vectorial, de hecho, expresar el vector en términos del vector... ¡Ni una palabra sobre longitudes todavía!

(1) Sustituir expresiones vectoriales.

(2) Usando las leyes distributivas, expandimos los corchetes de acuerdo con la regla de multiplicación de polinomios.

(3) Usando leyes asociativas, movemos todas las constantes fuera de los productos vectoriales. Con un poco de experiencia, las acciones 2 y 3 se pueden realizar simultáneamente.

(4) El primer y último término son iguales a cero (vector cero) debido a una propiedad agradable. En el segundo término, usamos la propiedad de anticomutatividad del producto vectorial:

(5) Presentamos términos similares.

Como resultado, el vector se expresó en términos del vector, que era lo que se requería lograr:

2) En el segundo paso, encontramos la longitud del producto vectorial que necesitamos. Esta acción se parece al ejemplo 3:

3) Encuentra el área del triángulo requerido:

Las decisiones de las etapas 2-3 podrían completarse en una línea.

Respuesta:

El problema considerado es bastante común en los trabajos de prueba, aquí hay un ejemplo de una solución independiente:

Ejemplo 5

Encuentra si

Una breve solución y respuesta al final del tutorial. Veamos qué tan cuidadoso fuiste al estudiar los ejemplos anteriores ;-)

Producto vectorial de vectores en coordenadas

dado en forma ortonormal, expresado por la fórmula:

La fórmula es realmente simple: en la línea superior del determinante escribimos los vectores coordenados, en la segunda y tercera líneas “ponemos” las coordenadas de los vectores, y ponemos en estricto orden- primero las coordenadas del vector "ve", luego las coordenadas del vector "doble-ve". Si los vectores deben multiplicarse en un orden diferente, entonces las líneas deben intercambiarse:

Ejemplo 10

Compruebe si los siguientes vectores espaciales son colineales:
a)
B)

Solución: La verificación se basa en una de las declaraciones Esta lección: si los vectores son colineales, entonces su producto cruzado es igual a cero (vector cero): .

a) Encuentra el producto cruzado:

Por tanto, los vectores no son colineales.

b) Encuentra el producto cruzado:

Respuesta: a) no colineal, b)

Aquí, quizás, está toda la información básica sobre el producto vectorial de los vectores.

Esta sección no será muy extensa, ya que no hay muchas tareas en las que se utilice un producto mixto de vectores. De hecho, todo dependerá de la definición, el significado geométrico y un par de fórmulas de trabajo.

El producto mixto de vectores es producto de tres vectores:

Así que se alinearon con un pequeño tren y están esperando, no pueden esperar a que los descubra.

Primero, nuevamente la definición y la imagen:

Definición: Trabajo mixto no coplanar vectores, tomado en este orden se llama volumen de un paralelepípedo, construido sobre los vectores dados, provisto con un signo "+" si la base es derecha, y un signo "-" si la base es izquierda.

Completemos el dibujo. Las líneas invisibles para nosotros están dibujadas con una línea de puntos:

Vamos a sumergirnos en la definición:

2) Los vectores se toman en un cierto orden, es decir, la permutación de vectores en el producto, como se puede adivinar, no pasa sin consecuencias.

3) Antes de comentar el significado geométrico, señalaré un hecho obvio: producto mixto de vectores es un NÚMERO:. En la literatura educativa, el diseño puede ser algo diferente, suelo denotar un trabajo mixto y el resultado de los cálculos con la letra "pe".

Priorato producto mixto es el volumen de un paralelepípedo construido sobre vectores (la figura está dibujada con vectores rojos y líneas negras). Es decir, el número es igual al volumen de este paralelepípedo.

Nota : el dibujo es esquemático.

4) No volvamos a preocuparnos por el concepto de orientación base y espacial. El significado de la parte final es que se puede agregar un signo menos al volumen. En palabras simples, un trabajo mixto puede ser negativo :.

La fórmula para calcular el volumen de un paralelepípedo construido sobre vectores se deriva directamente de la definición.

Para los vectores, y, dado por las coordenadas, el producto mixto se calcula mediante la fórmula :.

Se utiliza una obra mixta: 1) para calcular los volúmenes de un tetraedro y un paralelepípedo, construidos sobre vectores y, como en aristas, por la fórmula :; 2) como condición de coplanaridad de vectores, y: y son coplanares.

Tema 5. Líneas en un avión.

El vector normal de la línea , se llama cualquier vector distinto de cero perpendicular a la línea dada. El vector de dirección de la línea recta , se llama a cualquier vector distinto de cero paralelo a una línea dada.

Derecho en la superficie en el sistema de coordenadas se puede especificar mediante una ecuación de uno de los siguientes tipos:

1) - ecuación general línea recta, donde está el vector normal de la línea recta;

2) - ecuación de una línea recta que pasa por un punto perpendicular a un vector dado;

3) - la ecuación de una línea recta que pasa por un punto paralelo a un vector dado ( ecuación canónica );

4) - ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados;

5) - ecuaciones de línea recta con pendiente , donde es el punto a través del cual pasa la línea recta; () - el ángulo que forma la línea recta con el eje; - la longitud del segmento (con un signo) cortado por una línea recta en el eje (signo "" si el segmento está cortado en la parte positiva del eje y "" si en la negativa).

6) - ecuación de una línea recta en segmentos, donde y son las longitudes de los segmentos (con un signo) cortados por una línea recta en los ejes de coordenadas y (el signo "" si el segmento está cortado en la parte positiva del eje y "" si en la negativa) .

Distancia de punto a línea dada por la ecuación general en el plano se encuentra mediante la fórmula:

Inyección ( )entre rectos y, dado por ecuaciones generales o ecuaciones con pendiente, se encuentra mediante una de las siguientes fórmulas:

Yo para.

Yo para

Coordenadas del punto de intersección de líneas. y se encuentran como solución a un sistema de ecuaciones lineales: o.

Tema 10. Conjuntos. Conjuntos de números. Funciones.

Debajo la multitud comprender un determinado conjunto de objetos de cualquier naturaleza, distinguibles entre sí y pensables como un todo. Los objetos que componen el conjunto lo llaman elementos ... El conjunto puede ser infinito (consta de un número infinito de elementos), finito (consta de un número finito de elementos), vacío (no contiene un solo elemento). Los conjuntos denotan :, y sus elementos :. El conjunto vacío se denota por.

La multitud se llama subconjunto establecer si todos los elementos del conjunto pertenecen al conjunto y escribir.

Conjuntos y se llaman igual si constan de los mismos elementos y escriben. Dos conjuntos y serán iguales si y solo si y.

La multitud se llama universal (en el marco de esta teoría matemática) , si sus elementos son todos los objetos considerados en esta teoría.

Se pueden configurar muchos: 1) enumerando todos sus elementos, por ejemplo: (solo para conjuntos finitos); 2) estableciendo la regla para determinar la pertenencia de un elemento de un conjunto universal a un conjunto dado :.

Consolidación

Cruce conjuntos y se llama conjunto

Diferencia conjuntos y se llama conjunto

Suplemento un conjunto (hasta un conjunto universal) se denomina conjunto.

Los dos conjuntos se llaman equivalente y escriba ~ si se puede establecer una correspondencia uno a uno entre los elementos de estos conjuntos. El conjunto se llama contando si es equivalente al conjunto de números naturales: ~. El conjunto vacío es, por definición, contable.

Válido (verdadero) número se llama una fracción decimal infinita, tomada con el signo "+" o "". Los números reales se identifican con puntos de la recta numérica.

Módulo (valor absoluto) de un número real es un número no negativo:

El conjunto se llama numérico si sus elementos son números reales. Numérico intervalos los conjuntos se llaman

números:,,,,,,,,.

El conjunto de todos los puntos en la recta numérica que satisfacen la condición, donde es un número arbitrariamente pequeño, se llama -vecindario (o simplemente la vecindad) del punto y se denota por. El conjunto de todos los puntos por una condición, donde es un número arbitrariamente grande, se llama - vecindario (o simplemente un vecindario) de infinito y se denota por.

Una cantidad que conserva el mismo valor numérico se llama permanente. Una cantidad que toma diferentes valores numéricos se llama variable. Función se llama la regla, según la cual cada número está asociado con un número bien definido, y escriben. El conjunto se llama alcance funciones, - la multitud ( o región ) valores funciones, - argumento , - valor de la función . La forma más común de definir una función es la forma analítica, en la que la función se define mediante una fórmula. Dominio natural de definición función es el conjunto de valores de argumentos para los que la fórmula dada tiene sentido. Gráfico de funciones , en un sistema de coordenadas rectangular, es el conjunto de todos los puntos del plano con coordenadas ,.

La función se llama incluso en un conjunto simétrico con respecto a un punto, si la condición se cumple para todos: y impar si se cumple la condición. De lo contrario, una función general o ni par ni impar .

La función se llama periódico en el set, si hay un número ( período de función ), de modo que la condición se satisfaga para todos :. El número más pequeño se llama período principal.

La función se llama aumentando monótonamente (menguante ) en el conjunto si el valor mayor del argumento corresponde al valor mayor (menor) de la función.

La función se llama limitado en el set, si hay un número tal que la condición se satisfaga para todos :. De lo contrario, la función - ilimitado .

Marcha atrás funcionar , , se llama función que se define en un conjunto y se asigna a cada uno de ellos. Para encontrar la función inversa a la función , necesitas resolver la ecuación relativamente . Si la función , es estrictamente monótona activada, entonces siempre tiene una inversa; además, si la función aumenta (disminuye), entonces la función inversa también aumenta (disminuye).

Una función representada en la forma, donde, son algunas funciones tales que el dominio de la función contiene el conjunto completo de valores de la función, se llama función compleja argumento independiente. Entonces, la variable se denomina argumento intermedio. Una función compleja también se llama composición de funciones y escriben :.

La primaria principal se consideran funciones: sosegado función, indicativo función (,), logarítmico función (,), trigonométrico funciones ,,,, trigonométrica inversa funciones ,,,. Elemental Se denomina función obtenida a partir de funciones elementales básicas mediante un número finito de sus operaciones y composiciones aritméticas.

La gráfica de la función es una parábola con vértice en un punto cuyas ramas se dirigen hacia arriba si, o hacia abajo si.

En algunos casos, al construir una gráfica de una función, es aconsejable dividir su dominio de definición en varios intervalos que no se crucen y construir secuencialmente una gráfica en cada uno de ellos.

Cualquier conjunto ordenado de números reales se llama aritmética puntual-dimensional (coordinar) espacio y se denota por o, mientras que los números se llaman coordenadas .

Sean y sean algunos conjuntos de puntos y. Si, de acuerdo con alguna regla, se asocia un número real bien definido a cada punto, entonces dicen que se da una función numérica de variables en el conjunto y escriben brevemente y, en este caso, se llama alcance , - muchos significados , - argumentos funciones (variables independientes).

La función de dos variables a menudo se denota, la función de tres variables es. El dominio de una función es un conjunto de puntos en el plano, una función es un conjunto de puntos en el espacio.

Tema 7. Secuencias numéricas y series. Límite de secuencia. Límite de función y continuidad.

Si, de acuerdo con alguna regla, cada número natural está asociado con un número real completamente definido, entonces dicen que dado secuencia numérica ... Designe brevemente. El número se llama miembro común de la secuencia ... Una secuencia también se denomina función del argumento natural. Una secuencia siempre contiene un número infinito de elementos, entre los cuales puede haber otros iguales.

El número se llama límite de secuencia y escriba si para cualquier número hay un número tal que para todos se cumpla la desigualdad.

Una secuencia que tiene un límite finito se llama convergente , de lo contrario - divergente .

: 1) menguante , si ; 2) creciente , si ; 3) no decreciente , si ; 4) no creciente , si . Todas las secuencias anteriores se llaman monótono .

La secuencia se llama limitado , si hay un número tal que la condición se satisfaga para todos :. De lo contrario, la secuencia es ilimitado .

Cualquier secuencia monótona acotada tiene un límite ( Teorema de Weierstrass).

La secuencia se llama infinitesimal , si . La secuencia se llama infinitamente grande (convergiendo al infinito) si.

Por numero se llama el límite de la secuencia, donde

La constante se llama número neper. El logaritmo de un número a la base se llama logaritmo natural del número y se denota.

Una expresión de la forma, donde es una secuencia de números, se llama serie numérica y se indicará. La suma de los primeros miembros de la serie se llama -ésimo monto parcial hilera.

La fila se llama convergente si hay un límite finito y divergente si el límite no existe. El número se llama la suma de las series convergentes , mientras escribe.

Si la serie converge, entonces (un criterio necesario para la convergencia de una serie ) ... Lo contrario no es cierto.

Si, entonces la serie diverge ( un indicador suficiente de la divergencia de una serie ).

Serie armónica generalizada se llama serie que converge y diverge en.

Series geométricas se llama serie que converge en, mientras que su suma es igual y diverge en. hay un número o símbolo. (semi-vecindario izquierdo, semi-vecindario derecho) y