Razmotrimo Cauchyjev problem za jednačinu oblika
u kojoj je brzina prijenosa v može biti funkcija X. Za jednačinu (6.1) može se predložiti mnogo šema razlika koje se razlikuju po redoslijedu aproksimacije, načinu predstavljanja izvoda itd. Najprije se zadržimo na eksplicitnim diferencijskim shemama, u kojima svaka jednadžba sistema sadrži samo jednu nepoznatu veličinu), što nam omogućava da sekvencijalno izračunamo vrijednosti rješenja na novom vremenskom sloju.
Poznato je da je najvažnija osobina koju eksplicitne diferencijalne šeme moraju imati stabilnost – sposobnost sheme da ne akumulira računske smetnje. Stabilnost sheme je neophodan zahtjev da bi se osigurala konvergencija različitog rješenja točnom. Za hiperboličku jednadžbu, analiza stabilnosti se obično provodi korištenjem početnih podataka na temelju spektra vlastitih vrijednosti operatora prijelaza u novi vremenski sloj, na temelju kojih se odabiru sheme razlika prihvatljivih za proračun. Dakle, simetrična razlika shema
ima vrlo strog uvjet stabilnosti (t 2 vh) i ne koristi se za praktične algoritme. Šeme razlika
su uslovno stabilne. Da bi se osigurala njihova stabilnost, potrebno je, prvo, ispuniti Courant Friedrichs-Lévy (CFL) uslov:
i drugo, korištenje razlika prema toku, tj. primjena sheme (6.3) sa V> 0 i (6.4) pri v 0.
Eksplicitna shema s razlikama prema toku. Ako selektivno primijenimo dvije prethodne sheme, naime, sa v>> 0 šema (6.3), i kada v
će biti ravnodušan prema smjeru brzine i stabilan v/h^ 1. Lako je primijetiti da su jednostrane razlike u ovoj shemi usmjerene prema toku (za shemu se kaže da ima svojstvo mpanenopmuenoemu).Šeme ovog tipa se nazivaju protivtoka ili shema sa razlikama prema toku.
U slučaju jednadžbe sa konstantnom vrijednošću brzine prijenosa, nema problema s dizajnom diferencialne sheme uz vjetar. Razlika koja odgovara predznaku brzine prenosa se bira i koristi u svim čvorovima računskog domena. Uslov (6.5) nameće ograničenje na omjer koraka računske mreže. Obično se za dati prostorni korak dozvoljeni vremenski korak t h/v određuje iz relacije (6.5).
Ali ako je brzina prijenosa funkcija koordinata (ili vremena), tada se izbor vrste aproksimacije razlike mora izvršiti na temelju analize predznaka brzine prijenosa, na primjer, korištenjem uvjetnog operatora. Osim goth, sa promjenjivom brzinom prijenosa v = v(x) uvjet stabilnosti se mora provjeriti za sve čvorove mreže i mora se odabrati minimalni iz ovog skupa vrijednosti vremenskog koraka: t min,; h/vj.
Courant i saradnici (1952) su predložili zanimljivu metodu za konstruisanje protutočnog kruga koji nije koristio uslovni operator. Važno je napomenuti da ovo nije samo formalna tehnika, već pristup koji sadrži duboke ideje na osnovu kojih se može uporediti i pronaći korespondencija između uzvodnih (asimetričnih) i simetričnih dijagrama. Ideja podjele operatora razlika shema je bliska ovome.
Zamislimo brzinu prijenosa kao zbir njenih pozitivnih i negativnih komponenti:
Ovo će vam omogućiti da predstavite operator prijenosa kao zbir dva operatora:
Sada svaki od operatera ima koeficijent konstantnog predznaka, što omogućava primjenu aproksimacije razlike u smjeru vjetra na njega. Imajte na umu da se šema razlike prema strujanju za aproksimaciju konvektivnih pojmova široko koristi u različitim problemima računske dinamike fluida. Često se koristi sljedeća notacija računskog algoritma prema šemi (6.6):
Ako sada izvršimo elementarne transformacije na desnoj strani (6.7) i izaberemo izvod simetrične razlike, tada će ova šema biti predstavljena u obliku
Možemo zaključiti da je protutočna diferentna šema (6.7) ekvivalentna simetričnoj (6.2), u koju je uveden disipativni aditiv, koji osigurava uslovnu stabilnost sheme.
Lax shema. Ova shema je uvedena u računarsku praksu u zoru razvoja računske dinamike fluida. II, iako su reference na shemu ovog tipa pronađene u radovima raznih autora, javno mnijenje to povezuje s imenom američkog matematičara Laxa (P.D. Lax), koji je 50-ih godina objavio niz radova o različitim aspektima teorija razlika shema. U primjeni na transportnu jednačinu (6.1), ova šema ima oblik
Posebnost sheme je u tome da se osigura njena stabilnost u aproksimaciji vremenske derivacije, vrijednost mrežne funkcije u čvoru (r, P) zamjenjuje se poluzbirom vrijednosti u susjednim čvorovima istog vremenskog sloja. Ova operacija osigurava uvjetnu stabilnost sheme razlike za centralnu aproksimaciju prostorne derivacije (ako je zadovoljen Courant-Friedrichs-Lévy uvjet v/h ^ 1).
Iako je ovdje izvedenica u odnosu na X je predstavljena sa drugim redom aproksimacije, shema, zbog specifičnog prikaza vremenske derivacije, ima značajnu disipaciju. Ovo se jasno vidi iz prve diferencijalne aproksimacije:
Koeficijent na desnoj strani prije drugog izvoda može se tumačiti kao koeficijent viskoznosti kola. Nakon jednostavnih transformacija, ova veličina se može predstaviti kao
gde kroz A označeno Kurantovim brojem. Iz diferencijalne aproksimacije mogu se odrediti mnoga svojstva ovog kola:
- - shema postaje nedisipativna pri Courantovom broju jednakom jedan;
- - kolo nije osjetljivo na smjer strujanja;
kada je Courant broj manji od jedan, viskoznost kruga ima stabilizirajući efekat (pozitivan koeficijent difuzije); kada je Courant broj veći od jedan, koeficijent viskoznosti kruga postaje negativan, što dovodi do intenziviranja procesa difuzije i, na kraju, , do gubitka računske stabilnosti kola;
Kako se vremenski korak smanjuje, disipativne osobine kola se povećavaju.
Među navedenim karakteristikama postoje neke koje značajno smanjuju prednosti šeme. Međutim, jednostavnost algoritma je često osnova za njegovu upotrebu u početnim koracima (otklanjanje grešaka) konstruisanja proračunskih programa. Osim toga, Laxova šema, kao što ćemo kasnije vidjeti, je sastavni dio efikasnih algoritama u više koraka u kojima se koristi za izvođenje preliminarnog koraka (korak predviđanja).
Šeme drugog reda.Šeme razlike o kojima se ranije govorilo bile su šeme prvog reda (u prostornoj ili vremenskoj varijabli). Prilikom konstruisanja šema drugog reda potrebno je osigurati povećani red aproksimacije kako u pogledu prostornih tako i vremenskih promjena. Pogledajmo nekoliko shema ove vrste.
Leapfrog shema.Šema drugog reda u prostornoj varijabli i vremenu najjednostavnijeg tipa može se predstaviti kao
Ova šema se naziva šema za prelazak, ali je poznatija kao "preskok"(šema preskok). Shema je troslojna i gradi rješenje na osnovu dva prethodna vremenska sloja. Stoga, prilikom njegove upotrebe, nastaju problemi s početkom proračuna, koji se moraju izvesti nekom drugom metodom.
Lax-Wendroffova shema. Jedna od najpoznatijih shema ovog tipa je centralna shema, po autorima nazvana Lax-Wendroffova shema. Zauzeo je određenu nišu u teoriji diferencijskih shema za hiperboličke jednadžbe; mnoge vrlo produktivne ideje su povezane s njim, ali njegova glavna prednost je što se lako generalizira i prenosi na slučaj složenijih problema - problema strujanja kompresibilnog plina. , opisan sistemima kvazilinearnih jednačina, pri čemu je već duže vrijeme jedan od glavnih računskih alata.
Korisno je proučiti karakteristike ove sheme na primjeru njene primjene na transportnu jednačinu oblika (6.1). Da bismo konstruirali šemu drugog reda, pišemo Taylorovu formulu:
koju ćemo razmotriti zajedno sa originalnom jednačinom (6.1) Koristićemo ovu jednačinu da zamenimo vremenske izvode u ekspanziji prostornim. To je moguće, budući da je prvi izvod vremena izražen direktno iz (6.1): du/dt = -vdu/dx. Druga izvodnica se takođe lako nalazi iz sledećeg lanca relacija:
Imajte na umu da je ova reprezentacija tačna samo pri konstantnoj brzini prijenosa: v = konst. Inače, to je približno, međutim, ako je brzina prijenosa v(x) je prilično glatka funkcija, može se koristiti za transformaciju odnosa razlika koje su lokalne prirode.
Zamjenom izraza za derivate dobivene korištenjem originalne diferencijalne jednadžbe u gornju Taylorovu formulu, dobijamo relaciju
i zamjenom prostornih izvoda sa relacijama konačnih razlika drugog reda, dobijamo (nakon nekoliko jednostavnih transformacija) shemu razlike
nazvana Lax Wendroffova šema. Ova šema je uvedena u računarsku praksu zajedno sa nizom drugih u nizu radova koje su objavili Lax i Wsndroff 1960-1964.
Verzija Lax-Wendroffove sheme u dva koraka. Kasnije je Richtmeier predložio originalnu verziju sheme u dva koraka, koja je, zbog svoje lakoće implementacije, dugo vremena bila jedan od glavnih računskih algoritama plinske dinamike. Hajde da predstavimo ovu opciju.
U prvom polukoraku izračunavamo međuvrijednost rješenja koristeći jednostavnu Lax shemu prvog reda. Ovoj međuvrijednosti ćemo dodijeliti superscript n + 1/2 i imaćemo na umu da se koristi i poluvremeni korak. Primjenom ove šeme dobijamo vrijednosti rješenja na međuvremenskom sloju: t = t n+l / 2 . Imajte na umu da se zbog upotrebe Lax šeme, u kojoj nema centralnog čvora na donjem sloju, rješenje reproducira i na međusloju također u sistemu polucijelih tačaka.
Zapišimo relacije razlike za dva susjedna intervala:
Drugi polukorak sastoji se od izračunavanja rješenja na novom vremenskom sloju P+ 1 zasnovana na šemi sa centralnim razlikama u prostoru i vremenu - shema „križ“. Za izračunavanje prostornih izvoda koriste se vrijednosti rješenja na međusloju u sistemu polucijelih tačaka; samo rješenje se vraća u isti sistem tačaka u kojem je određeno na početku vremenskog koraka :
Relacije (6.12) i (6.13) zajedno definiraju dvostepenu Lax-Weidroffovu shemu. U prvoj fazi osigurava se ispunjenje uslova stabilnosti. Ova faza se ponekad naziva prediktor. Druga faza osigurava da se postigne potrebna tačnost i poziva se lektor Metode prediktor-korektor se često koriste u računarskoj matematici, a faza korektora može uključivati iterativni blok.
Lako se može pokazati da, isključujući međuvrijednosti iz (6.13), koristeći relacije (6.12) dolazimo do glavne - jednostepene - verzije sheme. U pogledu redoslijeda aproksimacije i stabilnosti, obje opcije su ekvivalentne, ali je dvostepena pogodnija za izvođenje proračuna, zbog čega se naziv ove šeme razlike obično povezuje s njom. Opcija u dva koraka je posebno pogodna za korištenje pri konstruiranju dijagrama za složenije probleme, posebno za sisteme kvazilinearnih jednadžbi nestacionarne plinske dinamike.
Monotoničnost rješenja u shemama drugog reda. Posljednji član na desnoj strani (6.11) ima oblik različit od oblika disipativnih članova shema prvog reda (6.8) i (6.10). U ovom slučaju, obezbeđuje suzbijanje greške povezane sa prvim redom aproksimacije vremenske derivacije. Dakle, ova šema je šema drugog reda i vremenske i prostorne varijable. Njegova prva diferencijalna aproksimacija više neće sadržavati disipativni član, ali će sadržavati disperzijsku komponentu s trećim izvodom, što je uzrok faznih grešaka u kolu. Može se očekivati da će ova shema slabo razmazati rješenje, ali u području njegove nagle promjene mogu se pojaviti nefizičke oscilacije uzrokovane disperzijom.
Diferencijalna shema koja pretvara rješenje u obliku monotone funkcije uzdužne koordinate u monotono rješenje naziva se monotonska razlika shema. Prema ovoj definiciji, Lax-Weidroffova shema nije monotona.
S.K. Godunov je uspostavio teoremu o monotonosti, koja zauzima jedno od centralnih mjesta u teoriji razlika shema. Prema ovoj teoremi, za linearnu jednačinu oblika (6.1) ne postoje monotone šeme sa redom višim od prve.
Gubitak monotonosti diferentne šeme karakterističan je u jednom ili drugom stepenu za sve šeme višeg reda aproksimacije. Da bi se prevladala nemonotonost numeričkog rješenja shema visokog reda, tzv. hibrid razlike šeme. Spadaju u klasu nelinearnih, u kojima se na osnovu analize ponašanja rješenja vrši prelazak na monotone sheme prvog reda u područjima gdje su fazne greške posebno izražene, te povratak na šeme visokog reda. u područjima glatkih promjena rješenja.
McCormackova šema. Ovo je također dvostepena shema drugog reda, indiferentna prema smjeru toka. Pogodnije je to demonstrirati koristeći konzervativni oblik transportne jednačine:
Shema se sastoji od dva uzastopna koraka:
U prvoj fazi (6.15) nalazi se preliminarna vrijednost rješenja sch u čvorovima mreže na osnovu jednosmjerne diferencijske sheme. Na osnovu ovako pronađenog rješenja izračunavaju se preliminarne vrijednosti tokova/g. Zatim se na osnovu jednosmjernih shema suprotnog smjera (6.16) određuje rješenje u sljedećem vremenskom sloju.
Ovaj algoritam dozvoljava različite modifikacije, dobro se prilagođava rješavanju i kvazilinearnih sistema i multidimenzionalnih hiperboličkih problema. Sedamdesetih godina prošlog veka ova šema je bila jedna od glavnih šema razlike stranih (uglavnom američkih) računara, ali je trenutno zamenjena modernijim zasnovanim na idejama hibridizacije.
Veličina: px
Počnite prikazivati sa stranice:
Transkript
2 MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE RF DRŽAVNI UNIVERZITET RF NOVOSIBIRSK Mehanički i matematički fakultet Katedra za matematičko modeliranje G. S. Khakimzyanov, S. G. Cherny METODE PRORAČUNA Deo 4. Numeričke metode za rešavanje problema za hiperbolički tip Text0quasi Novobir.
3 BBK V.193 UDK X 16 Recenzent dr.sc. fizike i matematike Nauka A. S. Lebedev Publikacija je pripremljena u okviru implementacije Programa razvoja državne obrazovne ustanove visokog stručnog obrazovanja "Novosibirsk State University" već nekoliko godina. X 16 Khakimzyanov, G. S. Metode proračuna: U 4 sata: udžbenik. priručnik / G. S. Khakimzyanov, S. G. Cherny; Novosib. stanje univ. Novosibirsk: RIC NSU, 014. Deo 4: Numeričke metode za rešavanje zadataka za jednačine hiperboličkog tipa. 07 str. ISBN Udžbenik odgovara programu nastavnog predmeta „Metode proračuna“ koji se izvodi na Mašinsko-matematičkom fakultetu NSU. Njegov četvrti dio iznosi osnove numeričkih metoda za rješavanje početno-graničnih zadataka za jednačine hiperboličkog tipa, formuliše zadatke za seminarsku nastavu i daje uzorke testova i zadataka za praktičnu nastavu na računaru. Priručnik je namijenjen studentima i nastavnicima matematičkih specijalnosti visokoškolskih ustanova. ISBN BBK V.193 UDC c Novosibirski državni univerzitet, 014 c G. S. Khakimzyanov, S. G. Cherny, 014
4 SADRŽAJ Predgovor Šeme za linearnu transportnu jednačinu Svojstvo monotonosti diferentnih šema Konstrukcija monotonih šema zasnovanih na metodi diferencijalne aproksimacije Šeme za nelinearnu transportnu jednačinu Šeme na adaptivnoj mreži za jednačinu transporta Šeme razlike za jednačinu šeme razlike oscilovanja za hiperbolički sistem jednačina sa konstantnim koeficijentima Diferencijske šeme za sisteme nelinearnih jednačina plitke vode Diferencijske šeme za probleme dinamike gasa Testni rad na temu „Proučavanje razlika šema za transportnu jednačinu“ Zadaci za laboratorijske radove Odgovori, uputstva, rešenja Bibliografija
5 Predgovor U četvrtom dijelu priručnika izlažu se osnove numeričkih metoda za rješavanje početno-graničnih zadataka za hiperboličke jednačine, formulisani su zadaci na ovu temu za seminarsku nastavu, dati su zadaci za praktičnu nastavu na računaru i primjer testa. Teorijska pitanja su predstavljena prilično kratko. Za dublje proučavanje pitanja koja se razmatraju, preporučujemo da se obratite udžbeniku S. K. Godunova i V. S. Ryabenskog, kao i knjigama G. I. Marchuka, A. A. Samarskog, A. A. Samarskog i A. V. Gulina, A. A. Samarskog i E. S. Nikolajeva, B. L. Rozhdestvensky i N. N. Yanenko i udžbenici objavljeni na NSU. Na predavanjima se razmatraju teorijska pitanja vezana za proučavanje samo shema konačnih razlika. Kao primere, razmatramo šeme za linearnu transportnu jednačinu, nelinearnu skalarnu jednačinu prvog reda, jednačinu drugog reda koja opisuje oscilacije struna, linearni sistem jednačina prvog reda, sistem nelinearnih jednačina plitke vode i jednačine dinamike gasa. . Svaki paragraf je praćen problemima koje je potrebno riješiti tokom seminarske nastave. Mnogi problemi su dati uputama i detaljnim rješenjima. Dodatni materijali za seminarsku nastavu mogu se naći u knjigama zadataka. Priručnik daje primjere zadataka za praktičnu nastavu u računarskoj nastavi, daje preporuke za rješavanje zadataka, razmatra pitanja vezana za izradu programa i prezentaciju rezultata. Dodatni zadaci mogu se preuzeti iz nastavnih sredstava. Četvrti dio priručnika ima samostalnu kontinuiranu numeraciju pasusa i slika i samostalnu bibliografsku listu. Unutar paragrafa za formule i iskaze (leme i teoreme) koristi se dvostruki indeks, na primjer 4. Reference na formule, leme, teoreme iz prethodna tri dijela priručnika daju se dodavanjem broja 1 ili 3 na njihove Na primjer, umjesto “po formuli (4.) iz priručnika “pišemo “po formuli (1.4.)”, umjesto “po teoremi 8.3 iz priručnika” “po teoremi 8.3”. Autori izražavaju duboku zahvalnost recenzentu Aleksandru Stepanoviču Lebedevu za vredne savete i kritičke komentare koji su doprineli unapređenju ovog udžbenika. 4
6 1. Šeme za linearnu transportnu jednačinu 1.1. Neke informacije iz teorije hiperboličkih sistema. Razmotrimo Cauchyjev problem za linearni sistem diferencijalnih jednadžbi prvog reda u t + A u = f(x, t),< x <, 0 < t T, x u(x, 0) = u 0 (x), < x <. (1.1) Здесь u = (u 1,..., u m) T m-мерная вектор-функция переменных x, t, A вещественная m m матрица с элементами a i (x, t). Определение. Систему уравнений (1.1) будем называть гиперболической в некоторой области переменных (x, t), если в каждой точке этой области собственные значения λ 1, λ,..., λ m матрицы A вещественны и различны. Определение. Интегральная кривая x = x k (t) обыкновенного дифференциального уравнения dx dt = λ k(x, t) (1.) называется k-ой характеристикой системы уравнений (1.1). Предполагается, что элементы матрицы A обладают гладкостью, достаточной для того, чтобы через каждую точку плоскости (x, t) проходила единственная характеристика, отвечающая собственному значению λ k. Характеристики, проведенные через точку (x, t) (t >0) u pravcu opadanja vremena t, presecaće Ox osu u m različitih tačaka. Poredimo sopstvene vrijednosti hiperboličkog sistema (1.1) (λ 1 (x, t)< λ (x, t) <... < λ m (x, t)) и через обозначим отрезок оси Ox, ограниченный точками пересечения этой оси с m-ой и первой характеристиками. Определение. Областью зависимости точки (x, t) для системы уравнений (1.1) называется множество точек верхней полуплоскости, ограниченное крайними характеристиками x = x m (t), x = x 1 (t) и отрезком . Область зависимости точки (x, t) изображена на рис. 1, а. Решение u системы (1.1) в точке (x, t) будет зависеть только от значений u 0 (x) на 5
7 segment. Prema tome, ako se početni podaci izvan segmenta promijene u druge, tada se rješenje u tački (x, t) neće promijeniti. Definicija. Područje uticaja tačke (x 0, 0) je skup tačaka (x, t) gornje poluravnine, ograničenih ekstremnim karakteristikama sistema (1.1) koji proizlaze iz (x 0, 0) ), odnosno karakteristike koje odgovaraju svojstvenim vrijednostima λ 1 i λ m. Područje uticaja tačke (x 0, 0) prikazano je na Sl. 1, b. Ako se početni podaci promijene samo u tački (x 0, 0), tada će se rješenje hiperboličkog sistema promijeniti samo u tačkama (x, t) koje pripadaju području uticaja tačke (x 0, 0). Pretpostavimo sada da umjesto Cauchyjevog problema (1.1) trebamo riješiti problem početne granične vrijednosti na intervalu . Zatim, pored početnih uslova, potrebno je specificirati i granične uslove. Broj graničnih uslova na svakoj granici određen je brojem karakteristika uključenih u domenu. Na primjer, ako m 0 karakteristike ulaze u domenu kroz lijevu granicu x = 0, tj. m 0 svojstvene vrijednosti λ k su pozitivne na x = 0, tada se na ovoj granici moraju specificirati m 0 granični uvjeti. Ako je na granici x = l broj negativnih vlastitih vrijednosti jednak m l i stoga tačno m l karakteristika ulazi u domenu kroz desnu granicu, tada je na ovoj granici potrebno specificirati m l graničnih uslova. Budući da vlastite vrijednosti zavise od vremena, broj graničnih uslova na svakoj granici može se mijenjati tokom vremena. t dx dt = m λ m (x,t) dx dt = λ 1 t dx dt =λ 1 dx dt = m λ x l a x r x (x 0,0) b x Sl. 1. Karakteristike sistema jednadžbi (1.1), ograničavanje područja zavisnosti tačke (x, t) (a) i uticaja tačke (x 0, 0) (b) 6
8 Razmotrimo sada homogeni hiperbolički sistem jednačina (1.1) sa konstantnim koeficijentima. Za konstantnu matricu A, njeni sopstveni vektori i sopstvene vrednosti su konstantni, odnosno ne ovise o x i t. Neka je l k k-ti lijevi svojstveni vektor matrice A koji odgovara njenoj vlastitoj vrijednosti λ k: l k A = λ k l k (k = 1,..., m). Pomnožimo sistem (1.1) s lijeve strane vektorom l k: ili gdje je l k u t + l ka u x = 0. Ova jednačina se može napisati u sljedećem obliku: l k u t + λ k l k u x s k t + λ s k k x = 0, = 0 , (1.3) s k = l k u, k = 1,... m. (1.4) Rješenje s k (x, t) jednadžbe (1.3) prenosi se duž karakteristike bez promjene i stoga se računa za t > 0 od početne vrijednosti s k u tački presjeka k-te karakteristike sa Ox osa: s k (x, t) = s k ( x λ k t, 0). (1.5) Funkcije s k nazivaju se Riemannovim invarijantama. 1.. Linearni model plitke vode. Najjednostavniji matematički model u okviru kojeg je moguće opisati kretanje tečnosti površinskim talasima je linearni model plitke vode: η t + u 0 = 0, (1.6) x u t + g η = 0, (1.7) x η (x, 0) = η 0 (x), u(x, 0) = u 0 (x), (1.8) gdje je η(x, t) nadmorska visina površine tečnosti iznad neporemećenog nivoa (vidi sliku), u (x, t) brzina tečnosti , η 0 (x) i u 0 (x) elevacija i brzina u početnom trenutku vremena t = 0, 0 = konst dubina bazena, g = konstantno ubrzanje gravitacije. 7
9 Sistem jednačina (1.6), (1.7) može se zapisati u obliku homogenog sistema (1.1) sa matricom A i vektorom rješenja u: A = (0 0 g 0) (η, u = u). (1.9) Matrica A ima dve različite realne sopstvene vrednosti λ 1 = c 0, λ = c 0 = g 0, (1.10) pa je sistem jednačina (1.6), (1.7) hiperboličkog tipa. Jednačine karakteristika (1.) imaju sljedeći oblik: dx dt = c 0, dx dt = c 0, (1.11) dakle karakteristike su prave linije. Karakteristike koje prolaze kroz tačku (x, t), t > 0, sijeku osu Ox u tačkama x l i x r, gdje je x l = x c 0 t, x r = x + c 0 t. (1.1) Lijevi vlastiti vektori matrice A koji odgovaraju vlastitim vrijednostima (1.10) dati su formulama l 1 = (c 0, 0), l = (c 0, 0). (1.13) y 0 η y= (x,t) l x y=- 0 Sl. Oznake u problemu širenja i transformacije talasa u bazenu sa vertikalnim zidovima Prema (1.4), veza između Riemanovih invarijanti r = s 1, s = s i početne zavisne varijable date su formulama r = c 0 η 0 u, s = c 0 η + 0 u, (1.14) 8
10 odakle je η = r + s c 0, u = s r 0. (1.15) Iz formule (1.5) uzimajući u obzir jednakosti (1.14) dobijamo formule za rješavanje Cauchyjevog problema u invarijantama r(x, t) = r( x λ 1 t, 0) = r(x + c 0 t, 0) = c 0 η 0 (x r) 0 u 0 (x r), (1.16) s(x, t) = s(x λ t, 0 ) = s(x c 0 t, 0) = c 0 η 0 (x l) + 0 u 0 (x l). (1.17) I konačno, koristeći relacije (1.15), dobijamo tačno rješenje Cauchyjevog problema (1.6), (1.7), (1.8) η(x, t) = η 0(x l) + η 0 (x r) + 0 u0( x l) u 0 (x r), c 0 u(x, t) = u 0(x l) + u 0 (x r) + c 0 η0(x l) η 0 (x r). 0 (1.18) Prilikom rješavanja razmatranog početnog graničnog problema potrebno je postaviti po jedan uslov na svakom kraju segmenta . Pretpostavimo, na primer, da su zidovi bazena nepropusni za tečnost, što znači da je brzina tečnosti na ovim zidovima nula: u(0, t) = u(l, t) = 0. (1.19 ) Dajemo konačnu matematičku formulaciju problema o kretanju fluida s površinskim valovima u ograničenom bazenu: pronađite kontinuirano rješenje u zatvorenom području D = rješenje η(x, t), u(x, t) od sljedeći početno-granični problem η t + u 0 x = 0, u t + g η = 0, 0< x < l, 0 < t T, x u(0, t) = u(l, t) = 0, 0 t T, η(x, 0) = η 0 (x), u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l. (1.0) 1.3. Линейное уравнение переноса. Итак, если матрица A однородной гиперболической системы уравнений (1.1) постоянна, то такую систему можно свести к системе уравнений в инвариантах Римана, 9
11 u ovom slučaju, jednačine za Riemannove invarijante su nezavisne jedna od druge i svaka od njih ima oblik u t + au x = 0, a = const. (1.1) Ova jednačina je najjednostavnija hiperbolična jednačina i naziva se linearna transportna jednačina. Koristeći ovu jednačinu, možete proučavati svojstva razlika shema koje se koriste za rješavanje hiperboličkih sistema jednačina. Uzmimo za linearnu transportnu jednačinu (1.1) Cauchyjev problem u t + au x = 0,< x <, 0 < t T, u(x, 0) = u 0 (x), < x <. (1.) Характеристика x = x(t) уравнения (1.1) определяется уравнением dx dt = a, (1.3) т. е. является прямой с наклоном a к оси Ot. Следовательно, точное решение задачи Коши определяется по формуле u(x, t) = u 0 (x at). (1.4) График точного решения в момент времени t получается переносом графика начальной функции на величину at (в положительном направлении оси Ox, если a >0 i obrnuto). Za jednačinu transporta sa konstantnim koeficijentom a lako je napisati tačno rješenje za početni granični problem. Neka je, na primjer, a = const > 0. Tada će sljedeći početno-granični problem u t + au x = 0, 0 biti tačan< x l, 0 < t T, u(0, t) = µ 0 (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l, u 0 (0) = µ 0 (0). (1.5) Легко проверить, что если u 0 (x) и µ 0 (t) дифференцируемые функции, то решение задачи (1.5) определяется формулой u(x, t) = { u0 (x at) при t x/a, µ 0 (t x/a) при t x/a. (1.6) 1.4. Явная противопоточная схема. Перейдем теперь к изучению конечно-разностных схем решения линейного уравнения переноса. 10
12 Počnimo s eksplicitnom shemom sa uzvodnim razlikama (uzvodnom šemom) za početni granični problem u t + au x = f(x, t), 0< x l, 0 < t T, a = const >0, u(0, t) = µ 0 (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l, u 0 (0) = µ 0 (0). (1.7) U nastavku ćemo razmatrati samo uniformne mreže koje pokrivaju zatvoreno područje D = . Konstruirajmo sljedeću shemu razlike u n + a un un 1 = f n, = 1,..., N, u n 0 = µ n 0, n = 0,..., M, u 0 = u 0(x) , = 0 ,..., N, (1.8) aproksimirajući problem (1.7) sa redom O(+). Kao i ranije, ova šema se može napisati u operatorskom obliku L u = f. Naziv šeme protivtoka je zbog činjenice da ako posmatramo jednačinu transporta kao jednačinu modela za sistem jednačina koje opisuju protok tečnosti ili gasa, a koeficijent a identifikujemo sa brzinom fluida, onda pri pozitivnoj brzini , tj. za a > 0, u šemi se lijevi diferencijalni derivati uzimaju koristeći čvor x 1 koji se nalazi uzvodno (lociran uzvodno). Uvedimo uniformne norme u prostor mrežnih funkcija U i prostor desnih strana F: gdje je f F (= max u U max n u n C = max 0 N un, = max n un C, (1.9)) µn 0, (u 0) C, max f n n C, (1.30) f n C = max 1 N f n uniformne norme na sloju t = t n. Koristeći princip maksimuma, možemo dokazati sljedeću tvrdnju. Teorema 1.1. Zadovoljenje uslova a 1 (1,31) 11
13 je dovoljan za stabilnost šeme protivtoka (1.8) ujednačenom brzinom. Dokaz. Neka je x čvor mreže sa brojem 1 N. Prepišimo diferencijsku jednačinu kola u ovom čvoru = (1 r)u n + r n 1 + f n, gdje je r = a/. Iz uslova teoreme sledi da je 1 r 0, stoga će važiti sledeća ocena (1 r) u n +r u n 1 + f n (1 r) u n C +r u n C + f n C u n C + max m f m C. granični čvor imamo sljedeću procjenu 0 = µ n+1 0 max m µm 0. Prema tome, maksimum lijeve strane ovih nejednačina ne može premašiti maksimum dva broja na desnoj strani ovih nejednačina: (C max max m) µm 0, u n C + max f m m C, a ovo je princip maksimuma. Otkrili smo da, pod uslovom (1.31), shema (1.8) zadovoljava princip maksimuma. Prema tome (vidi teoremu 3.1.1) on će biti stabilan u uniformnoj normi u odnosu na početne podatke, granične uslove i desnu stranu. Isti uslov (1.31) je takođe neophodan uslov za stabilnost šeme (1.8), koja sledi iz Neumanovog kriterijuma spektralne stabilnosti. Dokažimo to. Uzmimo harmonik u n = λ n e iφ (1.3) i zamijenimo ga u homogenu diferencijsku jednačinu. Kao rezultat, za faktor tranzicije dobijamo jednačinu. Dakle, λ = 1 r (1 e iφ) = 1 r(1 cos φ) ir sin φ. λ = 1 r(1 cos φ) + r (1 cos φ) + r sin φ = 1
14 = 1 r(1 cos φ) [ r(1 cos φ) r(1 + cos φ)] = 1 r(1 cos φ)(1 r). Neka su koraci u šemi (1.8) povezani zakonom prolaska na granicu r = a = const. (1.33) Tada vlastite vrijednosti λ (φ) ne zavise od toga, pa se nužni uvjet za Neumannu stabilnost svodi na zahtjev ili λ (φ) 1, φ R. (1.34) r(1 cos φ)(1 r) 0, φ R. (1.35) Očigledno, ova nejednakost je ekvivalentna uslovu (1.31) za a > 0. Dakle, uslov (1.31) za a > 0 je neophodan i dovoljan uslov za stabilnost šeme uz vetar u uniformnoj normi. Imajte na umu da za a< 0 схема (1.8) абсолютно неустойчива, поскольку в этом случае нарушается неравенство (1.34) (см. задачу 1.1). Какую же схему следует использовать при a < 0, когда поток распространяется справа налево? Отметим, что в этом случае корректной будет такая начально-краевая задача u t + au x = f(x, t), 0 x < l, 0 < t T, a = const < 0, u(l, t) = µ l (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l, u 0 (l) = µ l (l). (1.36) Для этой задачи возьмем следующую противопоточную схему u n + a un +1 un = f n, = 0,..., N 1, u n N = µn l, n = 0,..., M, u 0 = u 0(x), = 0,..., N, (1.37) которая аппроксимирует дифференциальную задачу (1.36) с порядком O(+). Используя принцип максимума и спектральный признак Неймана, можно показать, что схема (1.37) при a < 0 будет устойчива при выполнении условия a 1. С другой стороны, при a >0 šema (1.37) će biti apsolutno nestabilna (vidi problem 1.). 13
15 Dakle, konstruisali smo dve uslovno stabilne eksplicitne šeme sa uzvodnim razlikama za transportnu jednačinu sa konstantnim koeficijentom a u n u n + a un un 1 + a un +1 un One su stabilne pod nejednakošću = f n, ako je a > 0, = f n , ako a< 0. (1.38) a 1. (1.39) Во внутренних узлах сетки противопоточную схему (1.38) можно записать в виде одного уравнения u n + a + a u n un 1 + a a u n +1 un = f n. (1.40) Аналогично выглядит явная противопоточная схема и в случае знакопеременного коэффициента a(x, t). Например, если на границах отрезка выполнены условия a(0, t) >0, a(l, t)< 0, 0 t T, то получим такую противопоточную схему где u n + a + un un 1 + a un +1 un = f n, = 1,..., N 1, u n 0 = µ n 0, u n N = µ n l, n = 0,..., M, (1.41) u 0 = u 0 (x), = 0,..., N, a + = an + a n, a = an a n, (1.4) которая аппроксимирует с порядком O(+) начально-краевую задачу u t + a(x, t)u x = f(x, t), 0 < x < l, 0 < t T, u(0, t) = µ 0 (t), u(l, t) = µ l (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l. (1.43) 14
16 Koristeći princip maksimuma, može se dokazati (vidi problem 1.10) da je za stabilnost sheme uz vjetar (1.41) s promjenjivim koeficijentom a(x, t) dovoljno da se zadovolji uvjet max a(x, t) 1. (1,44) x,t 1,5 . Lax shema. Dalje, radi jednostavnosti prikaza, razmotrićemo početni granični problem (1.7) sa homogenom jednačinom transporta u t + au x = 0. (1.45) U Lax šemi, jednačina razlike koja aproksimira transportnu jednačinu (1.45) je zapisana kao 0.5 (u n +1 + ) un 1 + a un +1 un 1 = 0, = 1,..., N 1. (1.46) Za lokalnu grešku aproksimacije imamo izraz ψ n, = u tt u xx +..., dakle za = O( ) Laxova šema neće aproksimirati transportnu jednačinu, ali će sa zakonom prelaska na granicu r = a = const (1.47) aproksimirati redom O(+). Dakle, aproksimacija se odvija samo uz određenu vezu između koraka i, tj. Laxova šema spada u klasu uslovno aproksimirajućih šema. Za faktor tranzicije dobijamo formulu λ(φ) = cos φ ir sin φ. Prema tome, prema zakonu prelaska do granice (1.47), neophodan uslov za stabilnost Laxove šeme je da se zadovolji nejednakost r 1, tj. a 1. (1.48) 15
17 1.6. Lax Wendroffova šema. Jednačine razlike ove šeme izgledaju ovako: u +1/ 0, 5 (u n +1 +) un + a un +1 un = 0, / u n + a u +1/ (1.49) u 1/ = 0. Lax Wendroffova shema se odnosi na porodicu shema u dva koraka. U ovoj šemi, prvo, na polucijelim čvorovima x +1/ = x +/, pomoćne veličine u +1/ koje se odnose na trenutak vremena t n + / se izračunavaju pomoću Laxove šeme. Zatim se u drugom koraku izračunavaju vrijednosti željene mrežne funkcije na (n + 1) vremenskom sloju. Za proučavanje aproksimacije i stabilnosti dvostepenih šema, pomoćne veličine u se prvo isključuju iz sheme. Kao rezultat eliminacije, dobijamo jednostepenu Lax Wendroffovu shemu u n + a un +1 un 1 = a un +1 un + un 1, (1.50) koja, kao što se može lako provjeriti, aproksimira transportnu jednačinu (1.45 ) sa drugim redom u u. Za faktor prijelaza imamo sljedeći izraz: λ = 1 ir sin φ r sin φ. Prema tome, neophodan uslov za stabilnost λ 1 će biti ekvivalentan ispunjenju nejednakosti (1 r sin φ) + r sin φ 1, ili 1 4r sin φ + 4r4 sin 4 φ + 4r sin φ (1 sin φ ) 1. Posljednja nejednakost je ekvivalentna uvjetu r 1. Dakle, nužni uvjet stabilnosti Lax Wendroffove sheme poklapa se sa potrebnim uvjetom (1.48) za stabilnost Laxove sheme Disipacija i disperzija. Uz transportnu jednačinu u t + au x = 0, a = const (1.51) 16
18, razmotrite još dvije jednačine u t + au x = µu xx, µ = const > 0, (1.5) u t + au x + νu xxx = 0, ν = const. (1.53) Neka početna funkcija u Cauchyjevom problemu za ove jednačine bude predstavljena kao Fourierov red u(x, 0) = m b m e imx. (1.54) Rješenje svake od ovih jednačina tražit ćemo metodom razdvajanja varijabli u(x, t) = b m λ t e imx = b m u m (x, t), (1.55) m m gdje je u m (x, t ) je harmonik s talasnim brojem m u m (x , t) = λ t e imx, (1.56) λ treba odrediti. Realni i imaginarni delovi harmonika su m-talasi, čija je dužina l povezana sa talasnim brojem formulom l = π m. (1.57) Pošto su jednačine (1.51) (1.53) linearne, ponašanje svakog od harmonika može se posmatrati nezavisno. Zamjenom harmonika s talasnim brojem m u transportnu jednačinu (1.51), dobijamo ili ln(λ) + aim = 0 λ = e aim. Prema tome, ako je harmonik (1.56) rješenje transportne jednačine, onda ima oblik Označavajući ξ = x at, dobijamo u m (x, t) = e im(x at). (1.58) u m (x, t) = e imξ = u m (ξ, 0). (1,59) 17
19 Dakle, u bilo kom trenutku t > 0, harmonik u m se dobija pomeranjem početnog harmonika za iznos at. Prema tome, jednačina transporta opisuje kretanje m-talasa, koji se, bez obzira na njihovu dužinu, šire konstantnom brzinom v m = a bez izobličenja njihovog oblika. Lako je provjeriti da će harmonik (1.56) biti rješenje druge jednadžbe (1.5) ako je ln(λ) + aim = µm ili λ = e aim e µm, tj. harmonik u ovom slučaju ima oblik u m ( x, t) = e µmt e im(x at). Shodno tome, za sve harmonike amplituda talasa slabi (disipacija talasa). Pošto je m = π/l, kratki talasi opadaju brže od dugih. Brzina v m prostiranja talasa ne zavisi od talasne dužine i još uvek je jednaka a. Pojam µu xx sa drugim izvodom rješenja odgovoran je za disipaciju valova. Konačno, zamjena harmonika u jednačinu (1.53) daje ln(λ) + aim + ν(im) 3 = 0, ili odakle dobijamo da je λ = e im(a νm), u m (x, t) = e im (x ( a νm)t). Dakle, treća jednačina opisuje kretanje vala bez promjene njegove amplitude (bez disipacije). Ali brzina njegovog širenja zavisi od talasne dužine v m = a νm. (1.60) Iz ove formule je jasno da se talasi različitih dužina šire različitim brzinama (talasi se raspršuju). Brzina širenja kratkotalasnih poremećaja (velikih m) doživljava značajnije promjene. Pojam νu xxx sa trećim izvodom rješenja odgovoran je za disperziju valova. 18
20 Uzimajući u obzir ponašanje pojedinačnih harmonika, sada možemo predvidjeti kvalitativno ponašanje rješenja (1.55) Cauchyjevog problema za ove jednačine. Neka, na primjer, početna funkcija u(x, 0) ima oblik koraka ( 1, x 0, u(x, 0) = (1.61) 0, x > 0 i a > 0. Proširivanje takve funkcija u Fourierov red (1.54) će sadržavati cijeli skup harmonika Rješenje Cauchyjevog problema za transportnu jednačinu (1.51) je predstavljeno u sljedećem obliku: u(x, t) = m b m e im(x at) = m b m e imξ = u(ξ, 0), (1.6) tj. rješenje problema će biti početni profil koji se kreće brzinom a. Rješenje u(x, t) = m b m e µmt e im(x at) = m b m e µmt e imξ (1.63) Cauchyjevog problema za jednadžbu (1.5) sa disipativnim članom u kojem se kratki talasi snažno raspadaju, imat će izgled razmazanog koraka. Konačno, rješenje u(x, t) = m b m e im(x (a νm)t) (1.64) Cauchyjevog problema za jednačinu (1.53), u kojoj se valovi različitih dužina kreću različitim brzinama, ima nemonotonski, oscilirajući karakter. Prema formuli (1.60), za ν > 0, valovi od kratke dužine će imati brzinu manju od talasa duge dužine, a za ν< 0 наоборот. Поэтому осцилляции будут отставать от основного решения (описываемого первыми гармониками) при ν >0 i, shodno tome, krenuti naprijed na ν< Дифференциальное приближение разностной схемы. Вернемся к численному решению задачи Коши для уравнения переноса (1.51). В качестве начального профиля возьмем ступеньку { 1, x x0, u(x, 0) = (1.65) 0, x >x 0 19
21 i izvršimo proračun koristeći eksplicitnu šemu protivtoka u n + a un un 1 = 0, a = const > 0. (1.66) Kao rezultat dobijamo rješenje u obliku razmazanog koraka (Sl. 3 ), tj. rješenje će biti kvalitativno isto kao i rješenje jednačine (1.5) sa disipativnim članom. Sta je bilo? Na kraju krajeva, htjeli smo riješiti jednačinu transporta, u kojoj nema disipativnog člana. Poenta je u tome da smo tražili numeričko rješenje ne transportne jednačine, već rješenje razlike šeme. Dakle, svojstva rješenja aproksimirane diferencijalne jednadžbe i aproksimirajuće diferencialne jednačine se možda neće poklapati. Kako se onda mogu predvidjeti svojstva rješenja diferencijske jednačine? y x 30 Sl. 3. Grafikoni tačnog rješenja (isprekidane linije) i numeričkog rješenja (pune linije) dobiveni primjenom sheme uz vjetar (1.66) u trenutku t = 1 (1); t = 8(); t = 15 (3). a = 1; x0 = 10; a/ = 0,5 Ovo se može uraditi pomoću metode diferencijalne aproksimacije, koju ćemo sada ukratko predstaviti. Suština ove metode je da se originalna jednačina razlike zamijeni posebnom diferencijalnom jednadžbom koja ima sva svojstva jednačine razlike koja se proučava. Stoga, umjesto proučavanja jednačine razlike, proučavamo ovu diferencijalnu jednačinu, što je u mnogim slučajevima mnogo lakše uraditi. Dobijanje diferencijalne jednadžbe koja odgovara jednadžbi razlike počinje pisanjem ove jednačine razlike u obliku takozvane teorijske sheme razlike, u kojoj operatori razlike djeluju u istom funkcionalnom prostoru kao i diferencijalni operatori koje aproksimiraju. Na primjer, jednadžba razlike (1.66) je zapisana kao sljedeća teorijska razlika 0
22 kola u(x, t +) u(x, t) u(x, t) u(x, t) + a = 0. (1.67) Rješenje takvog kola je funkcija u(x, t) neprekidnih argumenata x i t dok je rješenje jednadžbe (1.66) mrežna funkcija u, definirana samo na čvorovima mreže. Neka je dovoljno glatka funkcija u(x, t) rješenje teorijske sheme razlike (1.67). Zamijenimo ga u ovaj dijagram i izrazimo u(x, t +) i u(x, t) kroz vrijednosti funkcije i njenih derivata u tački (x, t) koristeći Taylorovu formulu. Kao rezultat, dobijamo diferencijalnu jednačinu ekvivalentnu šemi razlike (1.67) u t + au x + u tt + 6 u ttt a u xx + a 6 u xxx +... = 0. (1.68) Definicija. Diferencijalna jednadžba beskonačnog reda (1.68), dobijena proširenjem rješenja u(x, t) teorijske sheme razlike (1.67) korištenjem Taylorove formule, naziva se diferencijalnim prikazom sheme razlike (1.66). Neka svojstva sheme razlike mogu se proučavati korištenjem ove diferencijalne reprezentacije, ali za naše će svrhe biti zgodnije koristiti drugi oblik diferencijalne reprezentacije, koji je rezultat eliminacije iz (1.68) svih vremenskih izvoda osim one uključene u aproksimiranu jednadžbu (1.51), tj. osim u t. Pokazaćemo, na primjer, kako eliminirati vremenske derivate u smislu reda i. Da bismo to učinili, prepisujemo jednačinu (1.68) uzimajući u obzir članove do reda O() i O() u t + au x + u tt + 6 u ttt a u xx + a 6 u xxx = O() (1.69 ) i pronađite pomoću rezultirajuće derivacije jednadžbe u t: u t = au x u tt 6 u ttt + a u xx a 6 u xxx + O() (1.70) Zamjenjujemo ovu derivaciju u pojmove jednačine (1.69) koja sadrži izvode (u t) t i (u t) tt. Uzimajući u obzir red malenosti koeficijenata za drugu i treću derivaciju u odnosu na vrijeme, dobijamo da u (u t) t 1
23, dovoljno je zamijeniti izvod (1.70), izračunat sa tačnošću O(+): u t = au x u tt + a u xx + O(+), (1.71) i u (u t) tt sa tačnošću O(+): u t = au x + O(+). (1.7) Kao rezultat ove zamjene, jednadžba (1.69) će poprimiti sljedeći oblik: u t + au x + (au x u tt + a) u xx + t 6 (au x) tt = = a u xx a 6 u xxx + O(), ili u t + au x a u tx 4 u ttt + a 4 u txx a 6 u ttx = = a u xx a 6 u xxx + O(). (1.73) Nakon što smo izvršili zamjene u jednadžbi (1.69), onda ćemo poduzeti slične radnje sa jednačinom (1.73). Sada moramo zamijeniti izvod u t, određen iz jednačine (1.73), u četiri člana iste jednačine: u t + au x a (au x + a u tx + a u xx) x 4 (au x) tt + + a 4 (au x) xx a 6 (au x) tx = a u xx a 6 u xxx + O(). Nakon donošenja sličnih, dobijamo jednačinu u t + au x a 1 u txx + a 4 u ttx = = a (a) (1 r) u xx + a u xxx + O(), 6 (1.74) u kojoj je, za razliku od do (1.69) , nema drugih izvoda s obzirom na vrijeme. Preostale mješovite derivacije u txx i u ttx u (1.74) izračunate su na osnovu jednakosti (1.7): u txx = au xxx + O(+), u ttx = a u xxx + O(+). (1.75)
24 Prema tome, diferencijalna reprezentacija (1.74) ima oblik u t + au x = a (1 r)u xx a 6 (r 3r + 1)u xxx + O(). (1.76) Tako smo se riješili vremenskih derivata na stepenu i. Ali derivati u odnosu na t i dalje ostaju na višim snagama na desnoj strani O(). Ako nastavimo dalje opisani postupak, onda u prikazu (1.68) možemo ukloniti vremenske derivate na proizvoljno visok red. Kao rezultat, dobijamo diferencijalnu reprezentaciju kola u obliku ili u t + au x = a (1 r)u xx + a 6 (1 r)(r 1)u xxx +... (1.77) u t + au x = k= c k k u x k . (1.78) Definicija. Jednačina beskonačnog reda (1.78) naziva se P-oblik diferencijalnog prikaza sheme razlike. Neka shema razlike ima redove aproksimacije γ 1 i γ u i respektivno. Definicija. Diferencijalna jednadžba dobijena iz P-forme diferencijalne reprezentacije odbacivanjem članova reda O(γ1+1, γ+1) i više naziva se prva diferencijalna aproksimacija (f.d.a.) sheme razlike. Za shemu uz vjetar (1.66), p.d.p. je diferencijalna jednadžba drugog reda u t + au x = µu xx, µ = a (1 r), (1.79) koja se, kao što vidimo, poklapa sa jednadžbom (1.5) sa a disipativni termin . Dakle, za r 1, naša šema implicitno uvodi viskoznost (disipaciju) u aproksimiranu transportnu jednačinu, koja se naziva aproksimacija ili shema viskoznosti. Prisustvo aproksimacijske viskoznosti dovodi do razmazivanja početnog koraka. Definicija. Svojstvo diferentne šeme zbog prisustva izvoda parnog reda u njenom d.d.p. naziva se numerička disipacija. 3
25 P-oblik diferencijalnog predstavljanja Lax Wendroffove diferencijalne sheme ima oblik u t + au x = a 6 (1 r)u xxx a3 8 r(1 r)u xxxx +..., i p.d.p. u t + au x + νu xxx = 0, ν = a 6 (1 r) (1.80) poklapa se sa jednačinom (1.53) sa disperzijskim članom. Posljedično, za r 1, Lax-Wendroffova shema implicitno uvodi disperziju u aproksimiranu transportnu jednačinu, tako da rješenje razlike sheme može oscilirati (slika 4). y Fig. 4. Grafovi tačnog rješenja (isprekidane linije) i numeričkog rješenja (pune linije) dobiveni korištenjem Lax Wendroffove sheme u trenutku t = 1 (1); t = 8(); t = 15 (3). a = 1; x0 = 10; a/ = 0,5 Definicija. Svojstvo diferentne šeme zbog prisustva derivata neparnog reda u njenom d.d.p. naziva se numerička disperzija. Hajde da sumiramo naše rezonovanje. Za probleme s glatko promjenjivim rješenjem, kojima je doprinos visokofrekventnih harmonika mali, tačnost Lax Wendroffove sheme je veća od tačnosti sheme uz vjetar. Ako numerički riješimo problem u kojem rješenje ima oštro promjenjiv monotoni profil, tada će upotreba sheme prvog reda prema vjetru dati monotoni neoscilirajući profil, ali vrlo izglađen. Ovo je rezultat numeričke disipacije. Lax Wendroffova shema, koja ima numeričku disperziju, može dati nemonotone profile numeričkog rješenja u blizini diskontinuiteta ili oštre promjene rješenja, iskrivljene nefizičkim oscilacijama. x 4
26 ZADACI 1.1. Pokažite to za a< 0 схема (1.8) абсолютно неустойчива. 1.. С помощью спектрального метода Неймана показать, что явная схема для уравнения (1.1) u n + a un +1 un = 0, n = 0,..., M 1, = 0, ±1, ±,... (1.81) при a >0 je apsolutno nestabilan Koristeći Neumannovu spektralnu metodu, izvedite neophodan uslov za stabilnost troslojnog kola "preskok-žaba" (korak za preskok, kolo "preskok") za jednačinu (1.1) u n 1 + a un + 1 un 1 = 0, n = 1, ..., M 1, = 0, ±1, ±,..., (1.8) ako je zakon prelaska do granice dat u obliku (1.33) Odrediti red aproksimacije eksplicitne šeme sa centralnom razlikom u n + a un +1 un 1 = 0 , (1.83) konstruisan za transportnu jednačinu (1.1). Koristeći Neumann spektralnu metodu, proučite stabilnost ove šeme ako je zakon prolaska do granice dat u obliku a = const. (1,84) 1.5. Odrediti red aproksimacije majorantne šeme u n + a un +1 un 1 = a un +1 un + un 1, (1.85) konstruisane za transportnu jednačinu (1.1). Koristeći Neumann spektralnu metodu, proučite stabilnost ove šeme ako je zakon prolaska do granice dat u obliku (1.84). 5
27 1.6. Odrediti red aproksimacije McCormackove sheme u un + a un +1 un = 0, 0, 5 (u +) un / + a u u 1 = 0, (1.86) konstruirane za transportnu jednačinu (1.1). Koristeći Neumannovu spektralnu metodu, proučite stabilnost ove sheme ako je zakon graničnog prijelaza dat u obliku (1.84) Odrediti red aproksimacije sheme uz vjetar s težinama u n + σa un (1 σ)a un un 1 = 0, (1.87) konstruisana za transportnu jednačinu (1.1) sa koeficijentom a > 0. Koristeći Neumannovu spektralnu metodu, izvesti neophodan uslov stabilnosti šeme (1.87), ako je zakon prelaska do granice dat u oblik (1.84) Koristeći princip maksimuma, proučiti stabilnost u uniformnoj normi implicitne sheme uz vjetar u n + a un+1 1 = f n+1, = 1,..., N, u n 0 = µ n 0 , n = 0,..., M, u 0 = u 0(x), = 0,..., N , (1.88) konstruisano za zadatak (1.7) Koristeći princip maksimuma, pronaći dovoljan uslov stabilnosti u uniformna norma sheme uz vjetar s težinama u n + σa un (1 σ)a un un 1 = f n+1/, u n 0 = µ n 0 , n = 0,..., M, u 0 = u 0( x), = 0,..., N, (1.89) konstruisano za zadatak (1.7). Ovdje je 0 σ 1.6
28 1.10. Koristeći princip maksimuma, dokazati da je ispunjenje uvjeta (1.44) dovoljno za stabilnost sheme uz vjetar (1.41) s promjenjivim koeficijentom a(x, t) Dobiti p.d.p. (1.80) Lax-Wendroffove sheme Pronađite p.p.p. implicitne šeme u n + a un+1 1 = 0, (1.90) konstruisane za transportnu jednačinu (1.1) sa koeficijentom a > 0. Dajte kvalitativno objašnjenje ponašanja rješenja diferencijske sheme za t > 0 , ako je u početnom trenutku t = 0 korak ( 1.61).. Svojstvo monotonosti diferencijskih shema.1. Jedan od glavnih zahtjeva za šeme razlika je da rješenje jednačine razlike mora prenijeti karakteristike ponašanja rješenja diferencijalne jednačine koja se aproksimira. Razmotrimo, na primjer, Cauchyjev problem za linearnu transportnu jednačinu u t + au x = 0, a = const > 0,< x <, t >0, (.1) u(x, 0) = u 0 (x). (.) Ako je u 0 (x) neopadajuća (nerastuća) funkcija varijable x, tada je za bilo koji fiksni t > 0 rješenje u(x, t) za problem (.1), (.) će također biti neopadajuća (nerastuća) funkcija varijable x. Ovo proizilazi iz činjenice da je u svakom trenutku rješenje dato formulom u(x, t) = u 0 (x at). (.3) Prirodno je zahtijevati da rješenje problema aproksimacije diferentne šeme (.1), (.) također ima slično svojstvo. Ali ispostavilo se da mnoge diferencijalne sheme narušavaju monotonost numeričkog rješenja: umjesto očekivanih monotonih profila dobijaju se rješenja koja sadrže nefizičke oscilacije (slika 4). Razlog njihovog nastanka je numerička disperzija razlike 7
29 šema o kojima se raspravljalo u prethodnom paragrafu. U ovom odeljku predstavljamo uslove pod kojima će različita šema sačuvati monotonost numeričkog rešenja. Razmotrimo proizvoljnu eksplicitnu shemu razlike = α b α u n +α, (.4) gdje je α cijeli broj, α = α 1, α 1 + 1,..., α, čvorovi x +α definiraju obrazac sheme . Definicija. Diferencijalna shema (.4) naziva se shema koja čuva monotonost numeričkog rješenja (monotonska shema) ako transformira bilo koju monotonu funkciju u n u funkciju koja je monotona na (n + 1)-tom vremenskom sloju, a sa istim smjeru rasta. Primjer.1. Aproksimiramo jednačinu (.1) na uniformnoj mreži pomoću sheme u smjeru vjetra u n + a un un 1 = 0. (.5) Ova shema ima prvi red aproksimacije po u. Neka je mrežna funkcija u n na n-tom vremenskom sloju monotona, na primjer, monotono rastuća funkcija, tj. u n un 1 za proizvoljnu. U ovom slučaju, ako je zadovoljen uslov stabilnosti kola, koji ima oblik aæ 1, gde je æ = /, dobijamo 1 = (u n aæ(u n u n 1)) (u n 1 aæ(u n 1 u n)) = = (1 aæ) (u n u n 1) + aæ(u n 1 u n) 0. Dakle, rješenje monotono raste na (n + 1)-om sloju. Dakle, shema protivtoka (koja ima disipaciju na aæ< 1) является схемой, сохраняющей монотонность. Пример.. Покажем, что схема Лакса Вендроффа (1.49) (не обладающая диссипацией при aæ < 1) не сохраняет монотонность численного решения. Пусть начальная функция для уравнения (.1) имеет вид (1.61) { 1, при x 0, u 0 (x) = 0, при x > 0. 8
30 Slijedom toga, početna mrežna funkcija ( u 0 1, pri 0, = u 0 (x) = 0, pri > 0 je monotono opadajuća. Prepišimo razmatranu shemu u obliku jednostepene šeme (1.50) , a zatim u obliku sheme (.4) sa koeficijentima b 1 = a æ + aæ, b 0 = 1 a æ, b 1 = a æ aæ.(.6) Tada je lako provjeriti da je na prvi vremenski sloj važi jednakost 1, za 1, u 1 b = 1 + b 0, at = 0, b 1, at = 1, 0, na At aæ< 1 схема устойчива, но b 1 + b 0 >1, tj. mrežna funkcija u 1 nije monotono opadajuća. Monotonost shema za jednadžbe sa konstantnim koeficijentima može se proučavati korištenjem sljedeće teoreme. Teorema.1. Da bi diferencijalna shema (.4) sa konstantnim koeficijentima b α održala monotonost, potrebno je i dovoljno da uslovi b α 0 budu zadovoljeni za sve α. (.7) Dokaz. Nužnost. Pretpostavimo da shema (.4) čuva monotonost, ali postoji negativan koeficijent b α0< 0. Возьмем монотонно возрастающую функцию u n = { 0, < α0, 1, α 0. (.8) Тогда u0 n+1 1 = b α u n α b α u n 1+α = α α = b α b α = b α0 < 0, α α 0 α α
31 tj. funkcija nije monotono rastuća, pa stoga shema (.4) ne čuva monotonost, što je u suprotnosti sa prvobitnom pretpostavkom. Dobivena kontradikcija dokazuje da su svi koeficijenti b α nenegativni. Adekvatnost. Neka je b α 0 i u n monotona funkcija, na primjer, monotono rastuća funkcija. Tada je 1 = α b α u n +α α b α u n 1+α = = α b α (u n +α u n 1+α) 0, tj. takođe monotono rastuća funkcija. Dakle, shema (.4) čuva monotonost. Vratimo se ponovo na primjere 1 i., a sada nećemo pretpostavljati da je a > 0. Šema uz vjetar za jednačinu (.1) sa proizvoljnim predznakom koeficijenta a izgleda ovako: gdje je u n Prepisujemo je u obliku (.4) + a + un un 1 a + = a + a + a un +1 un, a = a a. = 0, (.9) gdje je = b 1 u n 1 + b 0 u n + b 1 u n +1, (.10) b 1 = æa +, b 0 = 1 æ a, b 1 = æa. Ako je uslov stabilnosti a æ 1 (.11) zadovoljen, svi ovi koeficijenti su nenegativni. Osim toga, one su konstantne, pa prema teoremi.1, shema uz vjetar (.9) čuva monotonost rješenja pod uvjetom (.11). Lax Wendroffova shema je stabilna pod istim uvjetom (.11) kao i shema uz vjetar, a može se napisati u obliku (.10) sa koeficijentima (.6), što pokazuje da pod uvjetom a æ< 1 один из 30
32 koeficijenta b 1 ili b 1 je negativan. Prema teoremi.1, slijedi da Lax-Wendroffova shema, koja ima aproksimaciju drugog reda u i, ne čuva monotonost numeričkog rješenja. Ali možda postoje i druge šeme aproksimacije drugog reda koje imaju svojstvo monotonosti. Ispostavilo se da takvih šema nema. Rad pokazuje da je za linearnu transportnu jednačinu (.1) nemoguće konstruisati monotonu šemu sa konstantnim koeficijentima drugog reda aproksimacije... Razmotrimo sada šemu (.4) sa promenljivim koeficijentima b α. Da li će za takve sheme uvjet (.7) nenegativnosti koeficijenata biti dovoljan da očuva monotonost numeričkog rješenja? Ispostavilo se da nije. Navedimo odgovarajući primjer. Primjer.3. Neka je Cauchyjev problem riješen za jednadžbu u t + a(x)u x = 0, (.1) gdje je a(x) striktno rastuća pozitivna ograničena funkcija: 0< a(x) < 1 и a >0. Da bismo riješili ovaj problem, uzmimo shemu s promjenjivim koeficijentima 0, 5 (u n +1 +) un 1 + a u n +1 un 1 = 0, (.13) gdje je a = a(x), x a čvor uniformne mreže. Napisana shema je analog Laxove sheme (1.46), koja čuva monotonost numeričkog rješenja (vidi problem 1). Pretpostavićemo da je za bilo koji uslov æa< 1, (.14) гарантирующее устойчивость схемы (.13) в равномерной норме по начальным данным: C u 0 C. (.15) Запишем схему (.13) в виде (.4): = b 1, u n 1 + b 1, u n +1, (.16) где b 1, = 1 + æa, b 1, = 1 æa, 31
33 u ovom slučaju, koeficijenti b α su opremljeni dodatnim indeksom, budući da su promjenjivi koeficijenti i mijenjaju se pri prelasku iz jednog čvora u drugi. Zbog uslova (.14), oba koeficijenta su pozitivna, ali shema (.13) ne čuva monotonost numeričkog rješenja. Zaista, uzimajući monotono rastuću funkciju ( u n 0,< 0, = 1, 0, убеждаемся, что на (n + 1)-м слое по времени имеет место равенство = 0, при < 1, b 1, 1, при = 1, b 1,0, при = 0, 1, при 1. Но b 1, 1 >b 1.0, tako da se mrežna funkcija povećava. Navedeni primjer pokazuje da za kola sa promjenjivim koeficijentima treba koristiti druge kriterije monotonosti osim kriterija (.7) navedenog u Teoremi.1. Teorema Neka koeficijenti sheme razlike = b 1, u n 1 + b 0, u n + b 1, u n +1 (.17) zadovoljavaju uslov u svakom čvoru x Tada je ispunjenje svih uslova b 1, + b 0 , + b 1 , = 1. (.18) b ±1, 0, b 1, + b 1, 1 1 (.19) je neophodno i dovoljno da shema (.17) sa promjenjivim koeficijentima očuva monotonost numeričko rešenje. Dokaz. Zapišimo šemu (.17) sa promjenljivim koeficijentima koji zadovoljavaju uvjet (.18) u sljedećem obliku: = u n b 1, (u n u n 1) + b1, (u n +1 u n). (.0) 3
34 Tada je +1 = un +1 b 1,+1 (u n +1 u n) + b1,+1 (u n + u n +1). Dakle, +1 un+1 = (u n +1 u n) (1 b 1,+1 b 1,) + (+ b 1,+1 u n + u n (+1) + b 1, u n u n) (.1) 1. Nužnost. Neka je shema (.17) monotona. Dokažimo da njegovi koeficijenti zadovoljavaju nejednakosti (.19). Pretpostavimo da to nije slučaj i da neki od uslova (.19) nisu zadovoljeni na nekom čvoru x 0, na primjer b 1,0< 0. Положим Из (.1) тогда следует u n = { 0, если < 0, 1, если un+1 0 = b 1,0 < 0, т. е. функция не является монотонно возрастающей, что противоречит исходному предположению о монотонности схемы (.17). Аналогично проверяются и остальные неравенства в (.19). Достаточность. Пусть в каждом узле x коэффициенты схемы (.17) удовлетворяют неравенствам (.19) и функция u n является монотонной, например монотонно возрастающей. Тогда из равенства (.1) следует, что функция также будет монотонно возрастающей функцией. Теорема доказана. Нетрудно проверить, что коэффициенты схемы (.16) не удовлетворяют второму из условий (.19) теоремы.3, поэтому эта схема не является схемой, сохраняющей монотонность численного решения. Дадим другую формулировку теоремы.. Теорема.3. Для того чтобы конечно-разностная схема u n + C 1/ un x, 1/ C+ +1/ un x,+1/ = 0, (.) сохраняла монотонность численного решения, необходимо и достаточно выполнение при всех условий где æ = /, u n x,+1/ = un +1 un C ± +1/ 0, C +1/ + C+ +1/ 1 æ, (.3). 33
35 Dokaz. Kolo (.) se može prepisati kao (.17), sa b 1, = æc 1/, b 1, = æc + +1/, b 0, = 1 æc 1/ æc+ +1/. Tada koeficijenti b α zadovoljavaju jednakost (.18), a uslovi (.19) su ekvivalentni uslovima (.3). Komentar. Rad dokazuje da je ispunjenje nejednakosti (.3) dovoljno da shema (.) bude TVD-šema (Total Variation Diminising Sceme), tj. shema čije rješenje u n za bilo koji n 0 zadovoljava uslov ne- povećanje ukupne varijacije TV () TV (u n), (.4) pri čemu se ukupna varijacija mrežne funkcije u n podrazumijeva kao veličina TV (u n) = = u n +1 u n. (.5) Trenutno se TVD šeme i njihove različite modifikacije koriste za rješavanje mnogih problema s diskontinuiranim rješenjima. Razlog zašto su ove metode toliko popularne je taj što daju neoscilatorne profile rješenja, visoku rješivost u diskontinuiranim područjima i održavaju visoku preciznost u glatkim područjima rješenja. Moderne TVD sheme visokog reda aproksimacije temelje se na jednoj ili drugoj metodi vraćanja (rekonstruiranja) vrijednosti funkcija na granicama ćelija od njihovih vrijednosti u centrima susjednih ćelija. U ovom slučaju, šablon kola je promjenjiv i ovisi o ponašanju numeričkog rješenja. Algoritmi rekonstrukcije zasnovani su na upotrebi posebnih limitera protoka, koji su konstruisani tako da kolo sa limiterima ima svojstvo TVD (.4)..3. Monotonizacija Lax Wendroffove sheme. Ako je početna funkcija pri t = 0 data u obliku koraka, tada ćemo na sljedećim slojevima u vremenu dobiti, prema Lax Wendroffovoj shemi, korak izobličen oscilacijama (vidi sliku 4). Ali ispostavilo se da se Lax Wendroffov krug može modificirati tako da ima 34
36 TVD-osobina (.4), pa bi prema teoremi 3 postala šema koja čuva monotonost numeričkog rješenja. Međutim, koeficijenti modificiranog kola više neće biti konstantni, već mogu ovisiti o rješenju na n-tom sloju, tj. modificirani krug će biti nelinearan. Razmotrimo transportnu jednačinu (.1) u slučaju a = const > 0. Lax Wendroffova šema (1.50) može se prepisati na sljedeći način: u n +a un x,+1/ + un x, 1/ a () u n x, +1/ un x, 1/ = 0, (.6) ili u n + au n x, 1/ + a (1 aæ) un x,+1/ un x, 1/ u n = 0, (.7) + au n x, = a (1 aæ) un xx,. (.8) P.D.P. (1.79) sheme uz vjetar sadrži na desnoj strani disipativni član 0.5a (1 aæ) u xx, au prikazu (.8) isti disipativni član u obliku razlike ima suprotan predznak. Tako je Lax Wendroffova shema predstavljena kao monotonska shema sa uzvodnom razlikom, dopunjena takozvanim anti-difuzijskim članom, koji eliminira disipativni član u p.d.p. sheme uz vjetar, pretvarajući ga u Lax Wendroffovu shemu. Smanjivanjem anti-difuzionog termina na mjestima gdje se mogu pojaviti oscilacije, možete ih pokušati spriječiti. Regulisaćemo anti-difuzioni član u Lax-Wendroff šemi (.7) koristeći funkciju limitera Φ(ξ) nekog argumenta ξ: u n +au n x, 1/ + a (1 aæ) ((Φu n x) + 1/ (Φu n x) 1/) = 0. (.9) Ako je Φ 0, onda imamo monotonu šemu uz vjetar prvog reda aproksimacije. Ako je Φ 1, tada dobijamo Lax Wendroffovu shemu aproksimacije drugog reda na glatkim rješenjima, ali oscilirajuća na diskontinualnim rješenjima. 35
37 U šemi razlike (.9) Φ +1/ = Φ(ξ +1/). Kao diskretni argument ξ +1/ biramo vrijednost u n x, 1/ ξ +1/ = u n za u n x,+1/ 0, x,+1/ (.30) 1 za u n x,+1/ = 0. oscilirajuće rješenje omjer u n x, 1/ /un x,+1/ postaje negativan, dakle, kada ξ +1/< 0 полагаем, что Φ +1/ = 0. Далее будем считать, что функция Φ = Φ(ξ) непрерывного аргумента ξ также принимает нулевые значения при ξ < 0. Более того, предполагая, что функция-ограничитель является непрерывной, полагаем, что Φ(ξ) 0 при всех ξ 0. Далее рассмотрим случай, когда ξ +1/ >0. Odabraćemo funkciju limitera na način da shema zadovolji TVD uslov (.3) i sačuva drugi red aproksimacije na glatkim rješenjima. Da bismo to uradili, transformišemo modifikovanu Lax Wendroffovu šemu (.9) u oblik (.): ili u n + au n x, 1/ + a (1 aæ) ((Φ ξ u n [ + a aæ ((Φ) ξ ) +1/ + 1/ Φ 1/) u n x, 1/ = 0, Φ 1/)] u n x, 1/ = 0. Dakle, koeficijenti sheme (.9), zapisani u obliku (.), su određena formulama [ C + +1 / = 0, C 1/ = a aæ ((Φ))] ξ Φ 1/. +1/ Prema teoremi.3, uslov 0 C 1/ 1 æ (.31) će garantovati da će Lax Wendroffova šema sa uvedenom funkcijom limitera sačuvati monotonost numeričkog rješenja. Nadalje pretpostavljamo da je uvjet stabilnosti za Lak-36 shemu
38 sa Wendroff je zadovoljen, tj. aæ 1. Tada da bi nejednakosti (.31) bile važeće za sve aæ 1, potrebno je i dovoljno da nejednakosti (Φ) ξ +1/ Φ 1/ budu zadovoljene, i za ovo je dovoljno zahtevati ispunjenje svih sledećih nejednakosti: (Φ) 0, 0 Φ +1/. ξ +1/ Područje u ravni varijabli Φ i ξ u kojem ove nejednakosti vrijede prikazano je na sl. 5, a. Ako graf funkcije Φ = Φ(ξ) leži u ovom području, tada će modificirana šema (.9) sačuvati monotonost numeričkog rješenja. Φ Φ= Φ Φ = Φ = ξ Φ = ξ Φ=ξ 1 1 Φ = a ξ b ξ Sl. 5. a u zasjenjenom području modificirana Lax Wendroffova šema (.9) je TVD šema; b u duplo šrafiranoj oblasti, modifikovana Lax Wendroffova šema je TVD šema drugog reda aproksimacije. Dakle, dalje ćemo pretpostaviti da je Φ(ξ) = 0 za ξ 0, 0 Φ(ξ) min(, ξ ) za ξ > 0. (.3) Sada ispitujemo red aproksimacije modifikovane šeme, uz pretpostavku da kontinuirana funkcija Φ = Φ(ξ) zadovoljava 37
39 na sljedeća dodatna ograničenja: Φ(ξ 1) Φ(ξ) L ξ 1 ξ, ξ 1, ξ, (.33) Φ(1) = 1, (.34) tj. zahtijevamo da funkcija Φ = Φ (ξ) zadovoljava Lipschitzov uvjet sa nekom konstantom L > 0 i grafik ove funkcije prolazi kroz tačku (1, 1). Prepišimo modificiranu Lax Wendroffovu shemu (.9) u obliku originalne Lax Wendroffove sheme (.7) sa dodatnim članom gdje je u n + au n x, 1/ + a (1 aæ) (u n x,+1/ un x, 1/) + + a (1 aæ) Rn = 0, (.35) R n = (Φ +1/ 1) u n x,+1/ (Φ 1/ 1) u n x, 1/. (.36) Neka je u = u(x, t) dovoljno glatko rješenje Cauchyjevog problema (.1), (.). Zamijenimo ovo rješenje u izraz (.36), zadržavajući sve prethodne oznake u njemu, ali uzimajući u obzir da je sada u n x,+1/ = u(x +1, t n) u(x, t n). (.37) Očigledno, ako je na n-tom vremenskom sloju funkcija u(x, t n) linearna, u(x, t n) = Bx + C, tada je R n 0. Koristeći uslove (.33), (. 34) , lako je provjeriti da za kvadratnu funkciju u(x, t n) = Ax + Bx + C (A 0) vrijedi jednakost R n = O() za sve čvorove proizvoljnog numeričkog intervala (α, β) ne koji sadrži tačkasti ekstremum x = B/A. U opštem slučaju, tačna je sledeća tvrdnja. Lema.1. Neka su ispunjeni uslovi (.33), (.34) i dovoljno glatko rešenje Cauchyjevog problema (.1), (.) zadovoljava uslov u x (x, t n) 0 x [α, β] na nekom numeričkom intervalu [α, β] . (.38) Tada je R n = O() x (α, β). (.39) 38
Diferencijalne šeme za nelinearne probleme. Kvazilinearna transportna jednačina. Za numeričko rješavanje nelinearnih problema u različitim situacijama koriste se i linearne i nelinearne sheme. Održivost relevantnih
FEDERALNA AGENCIJA ZA OBRAZOVANJE NOVOSIBIRSKI DRŽAVNI UNIVERZITET Fakultet za mehaniku i matematiku G. S. Khakimzyanov, S. G. Cherny PRORAČUNSKE METODE Dio 3. Numeričke metode za rješavanje problema
Teorija stabilnosti diferencijskih shema 1 Stabilnost rješenja Cauchyjevog problema s obzirom na početne podatke i desnu stranu Neka je B Banahov (tj. potpuni normalizirani) prostor funkcija definiranih u nekoj domeni
Osnovni koncepti teorije razlika šema. Primjeri konstruiranja dijagrama za početno-granične probleme. Veliki broj problema u fizici i tehnologiji dovodi do graničnih ili početnih graničnih problema za linearne
Diferencijalne jednadžbe. 1999. T.35. 6. P.784-792. UDK 517.957 JEDINSTVENA RJEŠIVOST GRANIČNIH ZADATAKA ZA ELIPTIČKE JEDNAČINE SA NELINEARNOSTIMA Yu. V. Zhernovy 1. Uvod. Formulacija problema. Većina
Diferencijalna aproksimacija problema početne granične vrijednosti za jednadžbu oscilacije. Eksplicitne (unakrsne šeme) i implicitne diferencijalne šeme. Razmotrimo nekoliko opcija za aproksimaciju razlika linearne jednadžbe oscilacije:
Poglavlje IV. Prvi integrali ODE sistema 1. Prvi integrali autonomnih sistema običnih diferencijalnih jednačina U ovom odeljku ćemo razmatrati autonomne sisteme oblika f x = f 1 x, f n x C 1
Diferencijalna aproksimacija problema početne granične vrijednosti za jednadžbu topline. Koncept eksplicitne i implicitne sheme. 1. Razlika aproksimacije jednačine toplotne provodljivosti Razmotrimo različite opcije za razliku
Teorija stabilnosti dijagrama 1. Šeme razlike između operatora 1.1. Uvod Neka je B Banahov (tj. potpuni normalizovan) prostor funkcija definisanih u nekom domenu G R m, i neka je u(t) apstraktan
Transportne jednačine. „Pokrenute“ proračunske šeme Razmotrimo nekoliko najčešće korišćenih šema razlika koje aproksimiraju probleme početnih graničnih vrijednosti za linearnu transportnu jednačinu: u t + c(x, t) u x = f(x,
Skalko Jurij Ivanovič Cibulin Ivan Ševčenko Aleksandar Valna jednačina drugog reda Talasna jednačina u obliku jednačine drugog reda zapisuje se kao 2 u t 2 = c2 2 u x 2 + f Dodajmo jednačinu
PRORAČUNSKE METODE Predavači: prof. B.I.Kvasov, prof. G. S. Khakimzyanov 5 6 semestara 1. Matematički modeli i računski eksperiment. Klasifikacija jednadžbi matematičke fizike. Primjeri ispravnog
Diferencijske šeme za jednadžbu oscilovanja u višedimenzionalnom slučaju Za višedimenzionalne oscilacione jednačine moguće je konstruisati analog „unakrsne“ šeme i implicitne šeme. U ovom slučaju, eksplicitna „ukrštana“ shema je ista kao u jednodimenzionalnoj
Osnovne metode prostorne diskretizacije Metoda konačnih razlika. Tražene vrijednosti su vrijednosti varijabli u nekim tačkama, čvorovima mreže konačnih razlika. Greška se smanjuje za N, gdje je razmak mreže
Jednadžbe U algebri se razmatraju dvije vrste jednakosti: identiteti i jednačine. Identitet je jednakost koja je zadovoljena za sve važeće) vrijednosti slova uključenih u njega. Za identitete se koriste znaci
Najjednostavniji načini proučavanja shema razlika za stabilnost Podsjetimo da je shema razlike L h y h = ϕ h (x), x ω h, l h y h = χ h (x), x γ h, aproksimirajući graničnu vrijednost ili problem početne granične vrijednosti Lu
POGLAVLJE STABILNOST LINEARNIH SISTEMA U ovom poglavlju se ispituje stabilnost najjednostavnije klase diferencijalnih sistema linearnih sistema, a posebno je utvrđeno da za linearne sisteme sa konstantama
Siberian Mathematical Journal Januar Februar, 2001. Svezak 42, 1 UDK 517.929 METODE ZA STABILNOST STABILNOST SISTEMA SA LINEARNIM KAŠNJENJEM B. G. Grebenshchikov Apstrakt: Metode za proučavanje asimptotike
Poglavlje 1 Diferencijalne jednačine 1.1 Koncept diferencijalne jednačine 1.1.1 Problemi koji vode do diferencijalnih jednačina. U klasičnoj fizici svaka fizička veličina je povezana sa
PREDAVANJA 8 9 Teorema Hille Yosida S 3. Definicija i elementarna svojstva maksimalnih monotonskih operatora Kroz ova dva predavanja, simbol H označava Hilbertov prostor sa skalarom
Federalna agencija za obrazovanje Federalna državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja JUŽNOFEDERALNI UNIVERZITET R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Metodološka
Moskovski državni tehnički univerzitet nazvan po N.E. Bauman Fakultet fundamentalnih nauka Katedra za matematičko modeliranje A.N. Kaviakovykov, A.P. Kremenko
Tema modula Funkcionalni nizovi i nizovi Svojstva uniformne konvergencije nizova i redova Potencijskog niza Predavanje Definicije funkcionalnih nizova i nizova Uniformno
Diferencijalne jednadžbe prvog reda riješene s obzirom na derivaciju Teorema postojanja i jedinstvenosti rješenja U općenitom slučaju, diferencijalna jednadžba prvog reda ima oblik F ()
POGLAVLJE: Metoda konačnih razlika. Predavanje 5: Stabilnost razlika šema (10 slajdova, 6 slika) Slajd 1: Klasifikacija RS po tipovima stabilnosti. Prema tipovima stabilnosti razlikuju se sljedeće RS: apsolutno
MOSKVSKI DRŽAVNI TEHNIČKI UNIVERZITET CIVILNOG VAZDUHOPLOVSTVA V.M. Lyubimov, E.A. Žukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Šurinov MATEMATIČKI PRIRUČNIK za izučavanje discipline i testne zadatke
Predavanje 9 Linearizacija diferencijalnih jednadžbi Linearne diferencijalne jednadžbe višeg reda Homogene jednadžbe svojstva njihovih rješenja Svojstva rješenja nehomogenih jednačina Definicija 9 Linearna
FEDERALNA AGENCIJA ZA OBRAZOVANJE MOSKVSKI DRŽAVNI CIVILNI UNIVERZITET Institut za osnovno obrazovanje Fakultet opštenaučnih odseka - FOC Vibracije beskonačne žice. d'Alembertova formula.
Predavanje 3 Teorema postojanja i jedinstvenosti rješenja skalarne jednačine Navod problema Glavni rezultat Razmotrimo Cauchyjev problem d f () d =, () = Funkcija f (,) je definirana u području G ravni (,
Metode za konstruisanje diferentnih šema Homogene šeme za jednačine drugog reda sa promenljivim koeficijentima Homogene diferentne šeme podrazumevaju se kao diferentne šeme čiji oblik ne zavisi od
VARIJACIJA I EKSTREMUM FUNKCIONALNE A. N. Myagky Integralne jednadžbe i račun varijacija Predavanje Neka je dat funkcional V = V , y(x) M E. Popravimo funkciju y (x) M. Tada bilo koja druga funkcija
Šeme ekonomske razlike za višedimenzionalne probleme matematičke fizike. Šema naizmjeničnih smjerova za početni granični problem za jednadžbu topline u pravokutniku. Kao što je već pokazano
POJAM DERIVATNE FUNKCIJE Neka je funkcija definirana na skupu X i neka je tačka X unutrašnja tačka onih tačaka za koje postoji susjedstvo X. Uzmite bilo koju tačku i označite je sa tzv.
Jednačine hiperboličkog tipa. Vibracije beskonačne i polubeskonačne žice. Fourierova metoda Fourierova metoda Stojeći talasi 4 Predavanje 4.1 Jednačine hiperboličkog tipa. Oscilacije beskonačne i polubeskonačne
Preliminarne informacije o teoriji razlika shema 1 Formule za sumiranje po dijelovima i Greenove formule razlike za mrežne funkcije Dobijamo niz relacija koje ćemo koristiti u budućnosti u našem istraživanju
Predavanje 8 4 Sturm-Liouville problem Razmotrimo problem početne granične vrijednosti za parcijalnu diferencijalnu jednačinu drugog reda koja opisuje male poprečne vibracije strune.
II DIFERENCIJALNE JEDNAČINE Diferencijalne jednadžbe prvog reda Definicija Relacije u kojima su nepoznate varijable i njihove funkcije pod predznakom izvoda ili diferencijala nazivaju se
Predavanje 5 5 Teorema za postojanje i jedinstvenost rješenja Cauchyjevog problema za normalan ODE sistem Izjava problema Cauchyjev problem za normalan ODE sistem x = f (, x), () sastoji se od pronalaženja rješenja x =
Sastavio VPBelkin 1 Predavanje 1 Funkcija nekoliko varijabli 1 Osnovni pojmovi Zavisnost = f (1, n) varijable od varijabli 1, n naziva se funkcija od n argumenata 1, n U nastavku ćemo razmotriti
Poglavlje 4. NUMERIČKE METODE ZA RJEŠAVANJE OBIČNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA I NJIHOVI SISTEMI Ovo poglavlje razmatra osnovne numeričke metode za rješavanje Cauchyjevog problema za obične diferencijalne jednadžbe
Metode za rješavanje mrežnih jednačina 1 Direktne i iterativne metode Kao rezultat aproksimacije razlike graničnih problema matematičke fizike dobijaju se SLAE čije matrice imaju sljedeća svojstva:
Opis računarskih modela
MINISTARSTVO PROSVETE I NAUKE RUJSKE FEDERACIJE Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja "NACIONALNI ISTRAŽIVAČKI TOMSKI POLITEHNIČKI UNIVERZITET"
Cauchyjev problem za talasnu jednačinu. D'Alembertova formula 37, 438, I, II, 385, 439, 445, 37, III, IV, 37, 446.. 37 Pronađite opšte rješenje jednačine u tt a u xx..) Korak. Pronalaženje promjene varijabli Metoda kroz
METODOLOŠKA UPUTSTVA ZA PRORAČUNSKE ZADATKE IZ KURSA VISOKE MATEMATIKE „OBIČNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE REDOVI DUPLI INTEGRALI” DIO TEMA NIZ Sadržaj Serija Brojne serije Konvergencija i divergencija
Departman za matematiku i računarstvo Elementi više matematike Obrazovno-metodički kompleks za studente srednjeg stručnog obrazovanja koji studiraju korišćenjem daljinskih tehnologija Modul Diferencijalni račun Sastavio:
POGLAVLJE. STABILNOST LINEARNIH SISTEMA 8. stepena sa znakom +, iz dobijenog proizilazi da () π raste od do π. Dakle, pojmovi ϕ i() i k () +, tj. vektor (i) ϕ monotono ϕ monotono raste kao
Moskovski državni tehnički univerzitet nazvan po N.E. Bauman Fakultet fundamentalnih nauka Katedra za matematičko modeliranje A.N. Kasikov,
Poglavlje 6 Osnove teorije stabilnosti Predavanje Izjava problema Osnovni koncepti Ranije je pokazano da rješenje Cauchyjevog problema za normalan sistem ODE = f, () kontinuirano zavisi od početnih uslova na
Poglavlje 9. Numeričke metode. Predavanje 4. Ojlerova razlika metoda za rješavanje Cauchyjevog problema za diferencijalne jednadžbe Ojlerova diferencijalna i razlika problem. Definicija. Ojlerov diferencijalni problem
DIFERENCIJALNE JEDNAČINE Opći koncepti Diferencijalne jednadžbe imaju brojne i raznolike primjene u mehanici, fizici, astronomiji, tehnologiji i drugim granama više matematike (npr.
Linearne i nelinearne jednadžbe fizike Laplaceova jednačina u polarnom koordinatnom sistemu. Viši predavač Katedre VMMF Levchenko Evgeniy Anatolyevich 518 Poglavlje 5. Jednačine eliptičkog tipa 25.2. Odvajanje
Predavanje 3 Stabilnost ravnoteže i kretanja sistema Kada se razmatraju ustaljena kretanja, zapisujemo jednačine poremećenog kretanja u obliku d dt A Y gdje je vektor stupca kvadratna matrica konstantnih koeficijenata
Brojčani niz Brojčani niz Def Brojčani niz je numerička funkcija definirana na skupu prirodnih brojeva x - opći član niza x =, x =, x =, x =,
5 Redovi stepena 5 Redovi stepena: definicija, oblast konvergencije Funkcionalni nizovi oblika (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) gde je, a, a, K, a ,k su neki brojevi koji se nazivaju brojevima potencijskog niza
Ministarstvo obrazovanja Ruske Federacije MATI - RUSKI DRŽAVNI TEHNOLOŠKI UNIVERZITET nazvan po K E TSIOLKOVSKY Katedra za višu matematiku VV Gorbatsevich K Yu Osipenko Jednačine sa količnikima
Razmotrimo sada najjednostavnije šeme razlika za Hopfovu jednačinu.
Generalizacija na slučaj Hopfove jednadžbe P. Laxove sheme ima oblik
Ovdje se, očigledno, koristi divergentni oblik jednačine (3.6).
Vježbe. Razmotrimo Lax-Wendroffovu šemu za Hopfovu jednačinu. Neka su početni uslovi za Cauchyjev problem postavljeni na sljedeći način: u(x, 0) = cosh - 2 (x) . Tada Hopfova jednačina ima prvi integral: 
. Provjerite je li gornji dijagram konzervativan, tj. u njemu se na nivou mreže automatski ispunjava isti zakon očuvanja.
Izgradite sličan krug koristeći karakterističan oblik pisanje Hopfove jednačine (3.9). Hoće li biti konzervativna?
Shema je uslovno stabilna kada je zadovoljen Courantov uslov (tačnije, generalizacija Courantovog uslova)
Ovdje i ispod, kao ranije u (3.7), f = 0,5u 2. Pretpostavlja se da je strujanje dovoljno glatko, moment katastrofe gradijenta još nije nastupio, te da nema udarnih valova ili drugih diskontinuiteta u rješenju.
Courant-Isakson-Ries shema. Generalizacija KIR šema na kvazilinearni slučaj (kada se koristi divergentan oblik pisanje jednačina) je očigledno.
Shema je stabilna pod Courantovim uvjetom
Generalizacija Lax-Wendroff kola(šema prediktor-korektor). Za kvazilinearne jednadžbe (kao i linearne jednadžbe s promjenjivim koeficijentima, nehomogene jednadžbe, itd.), Lax-Wendroffova shema postaje složenija. Da bi se konstruisao, potrebno je uvesti takozvane polucijele tačke (tačke sa razlomkom indeksa). U prvoj fazi (prediktor), vrijednosti u polucijelim točkama se izračunavaju prema gornjoj shemi - generalizaciji na kvazilinearni slučaj Laxove sheme:
u drugoj fazi (korektor) koristi se shema "preskok" (troslojna shema na šablonu u obliku krsta, koji nije dio porodice (3.8)):
Lax-Wendroffova shema spada u tzv centralno sheme. Njegov uzorak je simetričan. U prvoj fazi izračunavaju se vrijednosti mrežne funkcije u polucijelim točkama šablona na međusloju (t m - 1/2, x m - 1/2), (t n + 1/2, x m + 1/2), u drugoj fazi se rješenje izračunava u gornjem sloju u tački (t n + 1 , x m) . Shema je stabilna pod Courantovim uvjetom.
Lax-Wendroffove šeme za linearne nehomogene jednadžbe konstruiraju se slično.
MacCormackova necentralna shema(prediktor - korektor).
Kao i Lax-Wendroffova shema iznad, McCormack shema se sastoji od dvije faze. Razmotrimo konstrukciju McCormack sheme za homogena jednačina(3.7). Prva faza (prediktor) ima oblik
one. Koristi se shema "eksplicitnog desnog ugla". Druga faza - lektor:
Dakle, proračun u prvoj fazi je prema šemi "desnog ugla", u drugoj - "lijevog kuta".
Još jedna McCormack shema izgleda
Takve razlike šeme se nazivaju necentralni. Njihove prednosti uključuju odsustvo polucijelih indeksa i jednostavnije postavljanje graničnih uslova. U linearnom slučaju, Mac-Cormackova šema se poklapa sa Lax-Wendroffovom šemom. Šeme imaju drugi red aproksimacije u obje varijable; šeme su stabilne kada je zadovoljen Courantov uslov.
Rusanovljeva šema(centralna šema trećeg reda tačnosti).
Da bi se konstruisala Rusanova šema, uvode se ne samo polucijele tačke, već i dva sloja međutačaka sa frakcijskim indeksima. Prva faza Rusanovljeve šeme (prelazak na sloj 1/3) ima oblik
njegova druga faza je šema "preskok".
i treća faza
U prvoj fazi, proračun se vrši prema Lax shemi, u drugoj - prema shemi "križ" ("preskok"). Poslednji član treće faze uvodi se kako bi se osigurala stabilnost šeme (termin proporcionalan aproksimaciji razlike četvrtog izvoda).
Shema je uvjetno stabilna ako su uvjet Courant i uvjet zadovoljeni.
Necentralni Zagrijavanje-Kutler-Lomax shema Preciznost 3. reda.
prva faza:
druga faza:
Treća faza:
Poslednji član se dodaje za stabilnost kola, koje je uslovno stabilno kada su ispunjeni Courantovi uslovi.
