ในบทความนี้ เราจะพูดถึงแนวคิดของผลคูณของเวกเตอร์สองตัว เราจะให้คำจำกัดความที่จำเป็น จดสูตรสำหรับค้นหาพิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ แสดงรายการและพิสูจน์คุณสมบัติของมัน หลังจากนั้น เราจะอาศัยความหมายทางเรขาคณิตของผลคูณของเวกเตอร์สองตัว และพิจารณาคำตอบของตัวอย่างทั่วไปต่างๆ

การนำทางหน้า

คำนิยามของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ก่อนที่จะให้คำจำกัดความของ cross product เรามาจัดการกับการวางแนวของเวกเตอร์สามตัวที่มีลำดับในปริภูมิสามมิติกันก่อน

ลองเลื่อนเวกเตอร์จากจุดหนึ่งไป ทริปเปิ้ลสามารถอยู่ทางขวาหรือทางซ้ายได้ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับทิศทางของเวกเตอร์ ลองดูจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ว่าการเลี้ยวที่สั้นที่สุดจากเวกเตอร์ไปเป็น เป็นอย่างไร หากการหมุนที่สั้นที่สุดทวนเข็มนาฬิกา จะเรียกว่าเวกเตอร์สามตัว ขวา, มิฉะนั้น - ซ้าย.

ทีนี้ ลองใช้เวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลิเนียร์สองตัวและ . กันเวกเตอร์และจากจุด A ลองสร้างเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ และ และ ในเวลาเดียวกันกัน แน่นอน เมื่อสร้างเวกเตอร์ เราสามารถทำสองสิ่ง โดยให้ทิศทางเดียวหรือตรงกันข้าม (ดูภาพประกอบ)

ขึ้นอยู่กับทิศทางของเวกเตอร์ เวกเตอร์สามตัวที่เรียงลำดับสามารถอยู่ทางขวาหรือทางซ้ายก็ได้

ดังนั้นเราจึงเข้าใกล้นิยามของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ มีให้สำหรับเวกเตอร์สองตัวที่กำหนดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของปริภูมิสามมิติ

คำนิยาม.

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของสองเวกเตอร์และให้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของปริภูมิสามมิติเรียกว่าเวกเตอร์เช่นนั้น

ผลคูณของเวกเตอร์ และแสดงเป็น

พิกัดสินค้าเวกเตอร์

ตอนนี้เราให้คำจำกัดความที่สองของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ซึ่งช่วยให้เราสามารถค้นหาพิกัดจากพิกัดของเวกเตอร์ที่กำหนดและ

คำนิยาม.

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของพื้นที่สามมิติ ผลคูณของเวกเตอร์สองตัว และ เป็นเวกเตอร์ โดยที่เวกเตอร์พิกัดคือ

คำจำกัดความนี้ให้ผลคูณในรูปแบบพิกัดแก่เรา

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์แสดงอย่างสะดวกเป็นดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมของลำดับที่สาม แถวแรกคือ orts แถวที่สองประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ และแถวที่สามประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ตามที่กำหนด ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม:

หากเราขยายดีเทอร์มีแนนต์นี้ด้วยองค์ประกอบของแถวแรก เราจะได้ความเท่าเทียมกันจากนิยามของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ในพิกัด (หากจำเป็น ให้อ้างอิงกับบทความ):

ควรสังเกตว่ารูปแบบพิกัดของผลิตภัณฑ์ข้ามมีความสอดคล้องอย่างสมบูรณ์กับคำจำกัดความที่ให้ไว้ในย่อหน้าแรกของบทความนี้ นอกจากนี้ คำจำกัดความทั้งสองนี้ของ cross product นั้นเทียบเท่ากัน หลักฐานของข้อเท็จจริงนี้สามารถพบได้ในหนังสือที่ระบุท้ายบทความ

คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

เนื่องจากผลคูณเวกเตอร์ในพิกัดสามารถแสดงเป็นดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ จึงสามารถพิสูจน์สิ่งต่อไปนี้ได้อย่างง่ายดายบนพื้นฐาน คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

ตัวอย่างเช่น ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติต้านการเปลี่ยนแปลงของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ตามคำจำกัดความ และ . เรารู้ว่าค่าดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์จะกลับกันเมื่อมีการสลับสองแถว ดังนั้น ซึ่งพิสูจน์คุณสมบัติต้านการเปลี่ยนแปลงของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ - ตัวอย่างและแนวทางแก้ไข

โดยทั่วไปมีงานสามประเภท

ในปัญหาประเภทแรก ให้กำหนดความยาวของเวกเตอร์สองตัวและมุมระหว่างพวกมัน และต้องหาความยาวของผลคูณไขว้ ในกรณีนี้จะใช้สูตร .

ตัวอย่าง.

จงหาความยาวของผลคูณของเวกเตอร์และถ้าทราบ .

สารละลาย.

เรารู้จากคำจำกัดความว่าความยาวของผลคูณของเวกเตอร์และเท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์และคูณไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน ดังนั้น .

ตอบ:

.

งานประเภทที่สองเกี่ยวข้องกับพิกัดของเวกเตอร์ ซึ่งผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ความยาว หรืออย่างอื่นถูกค้นหาผ่านพิกัดของเวกเตอร์ที่กำหนด และ .

มีตัวเลือกต่าง ๆ มากมายที่นี่ ตัวอย่างเช่น ไม่ใช่พิกัดของเวกเตอร์ และ แต่เป็นการขยายในเวกเตอร์พิกัดของแบบฟอร์ม และ หรือเวกเตอร์ และสามารถระบุได้โดยพิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด

ลองพิจารณาตัวอย่างทั่วไป

ตัวอย่าง.

เวกเตอร์สองตัวอยู่ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม . ค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของพวกเขา

สารละลาย.

ตามคำจำกัดความที่สอง ผลคูณของเวกเตอร์สองตัวในพิกัดเขียนเป็น:

เราจะได้ผลลัพธ์แบบเดียวกันถ้าเราเขียนผลคูณเวกเตอร์ผ่านดีเทอร์มีแนนต์

ตอบ:

.

ตัวอย่าง.

จงหาความยาวของผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ และ โดยที่ orts ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่ที่ไหน

สารละลาย.

ขั้นแรก ให้หาพิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด

เนื่องจากเวกเตอร์และมีพิกัดและตามลำดับ (หากจำเป็น ให้ดูบทความพิกัดของเวกเตอร์ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม) จากนั้นตามคำจำกัดความที่สองของผลคูณที่เรามี

นั่นคือ ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ มีพิกัดในระบบพิกัดที่กำหนด

เราหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์เป็นรากที่สองของผลบวกกำลังสองของพิกัดของมัน (เราได้สูตรนี้สำหรับความยาวของเวกเตอร์ในส่วนการหาความยาวของเวกเตอร์):

ตอบ:

.

ตัวอย่าง.

พิกัดของสามจุดอยู่ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า หาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับและในเวลาเดียวกัน

สารละลาย.

เวกเตอร์และมีพิกัดและตามลำดับ (ดูบทความการหาพิกัดของเวกเตอร์ผ่านพิกัดของจุด) หากเราพบผลคูณของเวกเตอร์ และ ตามนิยามแล้ว มันคือเวกเตอร์ตั้งฉากกับทั้ง to และ to นั่นคือ มันคือวิธีแก้ปัญหาของเรา มาหาเขากัน

ตอบ:

เป็นหนึ่งในเวกเตอร์ตั้งฉาก

ในงานประเภทที่สาม จะตรวจสอบทักษะการใช้คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ หลังจากใช้คุณสมบัติแล้ว จะใช้สูตรที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่าง.

เวกเตอร์และตั้งฉากและความยาวของพวกมันคือ 3 และ 4 ตามลำดับ หาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ .

สารละลาย.

โดยคุณสมบัติการกระจายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เราสามารถเขียน

โดยอาศัยคุณสมบัติการเชื่อมโยง เรานำสัมประสิทธิ์ตัวเลขสำหรับเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ในนิพจน์สุดท้าย:

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์และมีค่าเท่ากับศูนย์ตั้งแต่ และ , แล้ว .

เนื่องจากผลคูณเวกเตอร์นั้นต่อต้านการสลับกัน ดังนั้น .

ดังนั้น โดยใช้คุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร์ เราจึงได้มาซึ่งความเท่าเทียมกัน .

ตามเงื่อนไข เวกเตอร์ และ ตั้งฉาก นั่นคือ มุมระหว่างพวกมันเท่ากับ . นั่นคือ เรามีข้อมูลทั้งหมดเพื่อค้นหาความยาวที่ต้องการ

ตอบ:

.

ความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ตามคำจำกัดความ ความยาวของผลคูณของเวกเตอร์คือ . และจากวิชาเรขาคณิตของโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย เรารู้ว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมนั้นเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของสองด้านของสามเหลี่ยมและไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน ดังนั้น ความยาวของกากบาทจึงเท่ากับสองเท่าของพื้นที่สามเหลี่ยมที่มีด้านของเวกเตอร์ และ หากเลื่อนจากจุดหนึ่งไป กล่าวอีกนัยหนึ่งคือความยาวของผลคูณของเวกเตอร์และเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านและมุมระหว่างพวกเขาเท่ากับ . นี่คือความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

7.1. คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ข้าม

เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ระนาบระนาบสามตัว a , b และ c , ถ่ายในลำดับที่ระบุ, ก่อตัวเป็นสามทางขวาถ้าจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่สาม c การเลี้ยวที่สั้นที่สุดจากเวกเตอร์แรก a ไปยังเวกเตอร์ที่สอง b ถูกมองว่าทวนเข็มนาฬิกา, และ อันซ้ายถ้าตามเข็มนาฬิกา (ดูรูปที่ . สิบหก)

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a และเวกเตอร์ b เรียกว่าเวกเตอร์ c ซึ่ง:

1. ตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ b นั่นคือ c ^ a และ c ^ ข;

2. มีความยาวเป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์ a และขด้านข้าง (ดูรูปที่ 17) เช่น

3. เวกเตอร์ a , b และ c ก่อตัวเป็นสามทางขวา

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์แสดงเป็น a x b หรือ [a,b] จากนิยามของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ระหว่างออร์ตที่ฉันติดตามโดยตรง เจและ k(ดูรูปที่ 18):

ผม x j \u003d k, j x k \u003d ผม, k x ผม \u003d j.
ให้เราพิสูจน์ตัวอย่างเช่นว่าฉัน xj \u003d k

1) k ^ ผม , k ^ เจ;

2) |k |=1 แต่ | ไอ x เจ| = |i | |เจ| บาป(90°)=1;

3) เวกเตอร์ i , j และ kสร้างทริปเปิ้ลขวา (ดูรูปที่ 16)

7.2. คุณสมบัติข้ามผลิตภัณฑ์

1. เมื่อปัจจัยถูกจัดเรียงใหม่ ผลคูณของเวกเตอร์จะเปลี่ยนเครื่องหมาย กล่าวคือ และ xb \u003d (b xa) (ดูรูปที่ 19)

เวกเตอร์ a xb และ b xa เป็นแบบ collinear มีโมดูลเดียวกัน (พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานยังคงไม่เปลี่ยนแปลง) แต่มีทิศทางตรงกันข้าม (สามเท่า a, b และ xb และ a, b, b x a ในทิศทางตรงกันข้าม) นั่นคือ axb = -(bxa).

2. ผลคูณเวกเตอร์มีคุณสมบัติแบบผสมผสานเทียบกับปัจจัยสเกลาร์ เช่น l ​​(a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b)

ให้ ล. >0. เวกเตอร์ l (a xb) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ b เวกเตอร์ ( lขวาน ขยังตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ ข(เวกเตอร์ a, lแต่อยู่ในระนาบเดียวกัน) ดังนั้นเวกเตอร์ l(xb) และ ( lขวาน ขคอลลิเนียร์ เห็นได้ชัดว่าทิศทางของพวกเขาตรงกัน มีความยาวเท่ากัน:

ดังนั้น l(xb)= lก. ได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกันสำหรับ l<0.

3. เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัว a และ ขเป็นคอลลิเนียร์ก็ต่อเมื่อผลคูณเวกเตอร์ของพวกมันเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ นั่นคือ และ ||b<=>และ xb \u003d 0

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง i *i =j *j =k *k =0

4. ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์มีคุณสมบัติการกระจาย:

(a+b) xs = ก xs + ขเอ็กซ์ส

ยอมรับโดยไม่มีหลักฐาน

7.3. การแสดงออกข้ามผลิตภัณฑ์ในแง่ของพิกัด

เราจะใช้ตารางผลิตภัณฑ์ข้ามเวกเตอร์ i , เจและ k :

หากทิศทางของเส้นทางที่สั้นที่สุดจากเวกเตอร์แรกไปยังทิศทางที่สองตรงกับทิศทางของลูกศร ผลคูณจะเท่ากับเวกเตอร์ที่สาม หากไม่ตรงกัน เวกเตอร์ที่สามจะมีเครื่องหมายลบ

ให้เวกเตอร์สองตัว a =a x i +a y เจ+az kและ b=bx ผม+โดย เจ+bz k. มาหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์เหล่านี้กันโดยการคูณพวกมันเป็นพหุนาม (ตามคุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร์):

สูตรผลลัพธ์สามารถเขียนให้สั้นลงได้อีก:

เนื่องจากด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (7.1) สอดคล้องกับการขยายตัวของดีเทอร์มีแนนต์อันดับสามในแง่ขององค์ประกอบของแถวแรก ความเสมอภาค (7.2) จำง่าย

7.4. การใช้งานบางผลิตภัณฑ์ข้ามผลิตภัณฑ์

การสร้าง collinearity ของเวกเตอร์

การหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานกับสามเหลี่ยม

ตามคำจำกัดความของผลคูณของเวกเตอร์ เอและข |a xb | =| ก | * |b |sin g เช่น S par = |a x b |. และด้วยเหตุนี้ D S \u003d 1/2 | a x b |.

การหาโมเมนต์แรงที่จุดใดจุดหนึ่ง

ให้แรงกระทำที่จุด A F = ABปล่อยมันไป อู๋- บางจุดในอวกาศ (ดูรูปที่ 20)

รู้จากฟิสิกส์ว่า แรงบิด F เทียบกับจุด อู๋เรียกว่าเวกเตอร์ เอ็ม ,ที่ผ่านจุด อู๋และ:

1) ตั้งฉากกับระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ โอ, เอ, บี;

2) ตัวเลขเท่ากับผลคูณของแรงและแขน

3) สร้างทริปเปิ้ลที่ถูกต้องด้วยเวกเตอร์ OA และ AB .

ดังนั้น M \u003d OA x F.

การหาความเร็วเชิงเส้นของการหมุน

ความเร็ว วีจุด M ของวัตถุแข็งเกร็งหมุนด้วยความเร็วเชิงมุม wรอบแกนคงที่ถูกกำหนดโดยสูตรออยเลอร์ v \u003d w x r โดยที่ r \u003d OM โดยที่ O เป็นจุดคงที่ของแกน (ดูรูปที่ 21)

ก่อนที่จะให้แนวคิดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ให้เรากลับไปที่คำถามเกี่ยวกับการวางแนวของเวกเตอร์สามตัวที่เรียงลำดับ a → , b → , c → ในพื้นที่สามมิติ

เริ่มต้นด้วย ให้แยกเวกเตอร์ a → , b → , c → กันจากจุดหนึ่ง การวางแนวของทริปเปิ้ล a → , b → , c → อยู่ทางขวาหรือทางซ้าย ขึ้นอยู่กับทิศทางของเวกเตอร์ c → . จากทิศทางที่ทำการหมุนที่สั้นที่สุดจากเวกเตอร์ a → ถึง b → จากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ c → รูปแบบของทริปเปิ้ล a → , b → , c → จะถูกกำหนด

หากการหมุนที่สั้นที่สุดทวนเข็มนาฬิกา จะเรียกเวกเตอร์สามตัว a → , b → , c → ขวาถ้าตามเข็มนาฬิกา - ซ้าย.

ต่อไป ให้ใช้เวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลิเนียร์สองตัว a → และ b → ให้เราเลื่อนเวกเตอร์ AB → = a → และ A C → = b → จากจุด A ให้เราสร้างเวกเตอร์ A D → = c → ซึ่งตั้งฉากกับทั้ง A B → และ A C → พร้อมกัน ดังนั้น เมื่อสร้างเวกเตอร์ A D → = c → เราสามารถทำสองสิ่ง โดยให้ทิศทางเดียวหรือตรงกันข้าม (ดูภาพประกอบ)

เวกเตอร์สามลำดับที่เรียงลำดับ a → , b → , c → สามารถเป็นได้ตามที่เราพบ ไปทางขวาหรือซ้าย ขึ้นอยู่กับทิศทางของเวกเตอร์

จากข้างต้น เราสามารถแนะนำคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ คำจำกัดความนี้ให้ไว้สำหรับเวกเตอร์สองตัวที่กำหนดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของพื้นที่สามมิติ

คำจำกัดความ 1

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัว a → และ b → เราจะเรียกเวกเตอร์ดังกล่าวในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของพื้นที่สามมิติดังนี้:

• ถ้าเวกเตอร์ a → และ b → เป็น collinear มันจะเป็นศูนย์
• มันจะตั้งฉากกับเวกเตอร์ a →​​ และเวกเตอร์ b → i.e. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• ความยาวถูกกำหนดโดยสูตร: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• แฝดสามของเวกเตอร์ a → , b → , c → มีทิศทางเดียวกับระบบพิกัดที่กำหนด

ผลคูณของเวกเตอร์ a → และ b → มีสัญลักษณ์ต่อไปนี้: a → × b → .

พิกัดข้ามผลิตภัณฑ์

เนื่องจากเวกเตอร์ใดๆ มีพิกัดที่แน่นอนในระบบพิกัด จึงเป็นไปได้ที่จะแนะนำคำจำกัดความที่สองของผลิตภัณฑ์ข้าม ซึ่งจะช่วยให้คุณค้นหาพิกัดจากพิกัดที่กำหนดของเวกเตอร์ได้

คำจำกัดความ 2

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของพื้นที่สามมิติ ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัว a → = (a x ; a y ; a z) และ b → = (b x ; b y ; b z) เรียกเวกเตอร์ c → = a → × b → = (ay bz - az โดย) i → + (az bx - ax bz) j → + (ขวานโดย - ay bx) k → โดยที่ i → , j → , k → เป็นเวกเตอร์พิกัด

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์สามารถแสดงเป็นดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์กำลังสองของลำดับที่สาม โดยที่แถวแรกคือเวกเตอร์ออร์ตา i → , j → , k → แถวที่สองประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ a → และที่สาม คือพิกัดของเวกเตอร์ b → ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์นี้มีลักษณะดังนี้: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz

การขยายดีเทอร์มีแนนต์นี้เหนือองค์ประกอบของแถวแรก เราได้ความเท่าเทียมกัน: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = ayazbybz i → - axazbxbz j → + axaybxby k → = = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ขวานโดย - ay bx) k →

คุณสมบัติข้ามผลิตภัณฑ์

เป็นที่ทราบกันดีว่าผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ในพิกัดแสดงเป็นดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z จากนั้นบนฐาน คุณสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ต่อไปนี้ คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

1. ต้านการเปลี่ยนแปลง a → × b → = - b → × a → ;
2. การกระจาย a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → หรือ a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. การเชื่อมโยง λ a → × b → = λ a → × b → หรือ a → × (λ b →) = λ a → × b → โดยที่ λ เป็นจำนวนจริงตามอำเภอใจ

คุณสมบัติเหล่านี้มีหลักฐานไม่ซับซ้อน

ตัวอย่างเช่น เราสามารถพิสูจน์คุณสมบัติต้านการเปลี่ยนแปลงของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

หลักฐานการต่อต้านการเปลี่ยนแปลง

ตามคำจำกัดความ a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z และ b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z และถ้าเมทริกซ์สองแถวสลับกัน ค่าดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ควรเปลี่ยนเป็นค่าตรงกันข้าม ดังนั้น a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = - i → j → k → bxbybzaxayaz = - b → × a → ซึ่งพิสูจน์การต้านการเปลี่ยนแปลงของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ - ตัวอย่างและแนวทางแก้ไข

ในกรณีส่วนใหญ่ มีงานสามประเภท

ในปัญหาประเภทแรก มักจะให้ความยาวของเวกเตอร์สองตัวและมุมระหว่างพวกมัน แต่คุณต้องหาความยาวของผลคูณไขว้ ในกรณีนี้ ให้ใช้สูตรต่อไปนี้ c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาความยาวของผลคูณของเวกเตอร์ a → และ b → ถ้า a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 เป็นที่รู้จัก

สารละลาย

โดยใช้คำจำกัดความของความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a → และ b → เราแก้ปัญหานี้: a → × b → = a → b → บาป ∠ a → , b → = 3 5 บาป π 4 = 15 2 2 .

ตอบ: 15 2 2 .

งานประเภทที่สองมีการเชื่อมต่อกับพิกัดของเวกเตอร์ ประกอบด้วยผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ความยาว ฯลฯ จะถูกค้นหาผ่านพิกัดที่ทราบของเวกเตอร์ที่กำหนด a → = (a x ; a y ; a z) และ b → = (b x ; b y ; b z) .

สำหรับงานประเภทนี้ คุณสามารถแก้ไขตัวเลือกสำหรับงานต่างๆ ได้มากมาย ตัวอย่างเช่น ไม่ใช่พิกัดของเวกเตอร์ a → และ b → แต่เป็นการขยายในเวกเตอร์พิกัดของแบบฟอร์ม b → = b x i → + b y j → + b z k → และ c → = a → × b → = (ay bz - az โดย) i → + (az bx - ax bz) j → + (ขวานโดย - ay bx) k → หรือเวกเตอร์ a → และ b → สามารถ กำหนดโดยพิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด

พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง 2

เวกเตอร์สองตัวถูกกำหนดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) ค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของพวกเขา

สารละลาย

ตามคำจำกัดความที่สอง เราพบผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวในพิกัดที่กำหนด: a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) ผม → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 ผม → - 2 เจ → - 2 k → .

ถ้าเราเขียนผลคูณเวกเตอร์ผ่านดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์ คำตอบของตัวอย่างจะเป็นดังนี้: a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 ผม → - 2 j → - 2 k → .

ตอบ: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาความยาวของผลคูณของเวกเตอร์ i → - j → และ i → + j → + k → โดยที่ i → , j → , k → - orts ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม

สารละลาย

อันดับแรก ให้หาพิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ที่กำหนด i → - j → × i → + j → + k → ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด

เป็นที่ทราบกันว่าเวกเตอร์ i → - j → และ i → + j → + k → มีพิกัด (1 ; - 1 ; 0) และ (1 ; 1 ; 1) ตามลำดับ ค้นหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์โดยใช้ดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์ จากนั้นเราจะได้ i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

ดังนั้นผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ i → - j → × i → + j → + k → มีพิกัด (- 1 ; - 1 ; 2) ในระบบพิกัดที่กำหนด

เราหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ตามสูตร (ดูหัวข้อการหาความยาวของเวกเตอร์): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

ตอบ: ผม → - j → × ผม → + j → + k → = 6 . .

ตัวอย่างที่ 4

พิกัดของสามจุด A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) ​​​​​​, C (1 , 4 , 2) ถูกกำหนดในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม หาเวกเตอร์ตั้งฉากกับ A B → และ A C → พร้อมกัน

สารละลาย

เวกเตอร์ AB → และ A C → มีพิกัดดังต่อไปนี้ (- 1 ; 2 ; 2) และ (0 ; 4 ; 1) ตามลำดับ เมื่อพบผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ AB → และ A C → เป็นที่ชัดเจนว่ามันเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากตามคำจำกัดความของทั้ง AB → และ A C → นั่นคือมันเป็นวิธีแก้ปัญหาของเรา ค้นหา A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k →

ตอบ: - 6 ผม → + j → - 4 k → . เป็นหนึ่งในเวกเตอร์ตั้งฉาก

ปัญหาประเภทที่สามมุ่งเน้นไปที่การใช้คุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ หลังจากสมัครแล้วเราจะได้วิธีแก้ไขปัญหาที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 5

เวกเตอร์ a → และ b → ตั้งฉากและมีความยาว 3 และ 4 ตามลำดับ ค้นหาความยาวของผลคูณ 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

สารละลาย

โดยคุณสมบัติการกระจายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เราสามารถเขียน 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

โดยคุณสมบัติของการเชื่อมโยง เรานำสัมประสิทธิ์เชิงตัวเลขออกมานอกเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ในนิพจน์สุดท้าย: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ a → × a → และ b → × b → เท่ากับ 0 เนื่องจาก a → × a → = a → a → บาป 0 = 0 และ b → × b → = b → b → บาป 0 = 0 , จากนั้น 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

จากผลต้านการเปลี่ยนแปลงของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ตามมา - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

โดยใช้คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เราจะได้ความเท่าเทียมกัน 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

ตามเงื่อนไข เวกเตอร์ a → และ b → ตั้งฉาก นั่นคือ มุมระหว่างพวกมันเท่ากับ π 2 . ตอนนี้ยังคงเป็นเพียงการแทนที่ค่าที่พบในสูตรที่เกี่ยวข้อง: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → บาป (a →, b →) = 5 3 4 บาป π 2 = 60.

ตอบ: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

ความยาวของผลคูณของเวกเตอร์ตามคำจำกัดความคือ a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → เนื่องจากเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว (จากหลักสูตรของโรงเรียน) ว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมนั้นเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของสองด้านคูณด้วยไซน์ของมุมระหว่างด้านเหล่านี้ ดังนั้นความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จึงเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน - สามเหลี่ยมสองเท่า กล่าวคือ ผลคูณของด้านในรูปแบบของเวกเตอร์ a → และ b → , ออกจากจุดหนึ่งโดยไซน์ ของมุมระหว่างพวกเขา บาป ∠ a → , b → .

นี่คือความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ความหมายทางกายภาพของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ในกลศาสตร์ ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของฟิสิกส์ ต้องขอบคุณผลคูณของเวกเตอร์ คุณสามารถกำหนดโมเมนต์ของแรงที่สัมพันธ์กับจุดในอวกาศได้

คำจำกัดความ 3

ภายใต้โมเมนต์ของแรง F → นำไปใช้กับจุด B เทียบกับจุด A เราจะเข้าใจผลคูณของเวกเตอร์ต่อไปนี้ AB → × F →

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ผลิตภัณฑ์ผสมของสามเวกเตอร์และคุณสมบัติของมัน

สินค้าผสมเวกเตอร์สามตัวเรียกว่าจำนวนเท่ากับ ระบุ . ในที่นี้เวกเตอร์สองตัวแรกถูกคูณด้วยเวกเตอร์ จากนั้นเวกเตอร์ผลลัพธ์จะถูกคูณด้วยอัตราส่วนเวกเตอร์ด้วยเวกเตอร์ที่สาม เห็นได้ชัดว่าผลิตภัณฑ์ดังกล่าวเป็นตัวเลขบางส่วน

พิจารณาคุณสมบัติของสินค้าผสม

1. ความรู้สึกทางเรขาคณิตผลิตภัณฑ์ผสม ผลคูณผสมของเวกเตอร์ 3 ตัว จนถึงเครื่องหมาย เท่ากับปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์เหล่านี้ เช่นเดียวกับที่ขอบ กล่าวคือ .

   ดังนั้นและ .

   

   การพิสูจน์. ลองเลื่อนเวกเตอร์จากจุดกำเนิดทั่วไปและสร้างเส้นขนานบนพวกมัน ให้เราแสดงและสังเกตว่า ตามคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์

   สมมติว่าและแสดงว่าผ่าน ชมความสูงของส่วนขนานที่เราพบ .

   ดังนั้นที่

   ถ้า แล้ว และ . เพราะฉะนั้น, .

   เมื่อรวมทั้งสองกรณีนี้เข้าด้วยกัน เราจะได้ หรือ .

   จากการพิสูจน์คุณสมบัตินี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันตามมาว่าถ้าเวกเตอร์สามตัวถูกต้อง แล้วผลคูณผสม และถ้าเหลือ ก็ .

2. สำหรับเวกเตอร์ใด ๆ , , ความเท่าเทียมกัน

   หลักฐานของคุณสมบัตินี้ตามมาจากคุณสมบัติ 1 อันที่จริง มันง่ายที่จะแสดงสิ่งนั้น และ . ยิ่งกว่านั้นสัญญาณ "+" และ "-" ถูกนำมาใช้พร้อมกันเพราะ มุมระหว่างเวกเตอร์ กับ และ และ และ เป็นมุมแหลมหรือมุมป้าน

3. เมื่อมีการเปลี่ยนปัจจัยสองประการ ผลิตภัณฑ์ผสมจะเปลี่ยนเป็นเครื่องหมาย

   ที่จริงแล้ว หากเราพิจารณาถึงผลคูณ ดังนั้น ตัวอย่างเช่น หรือ

4. ผลิตภัณฑ์ผสมก็ต่อเมื่อปัจจัยหนึ่งเท่ากับศูนย์หรือเวกเตอร์เป็นระนาบเดียวกัน

   การพิสูจน์.

   ดังนั้น เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการเปรียบเทียบกับเวกเตอร์ 3 ตัวคือความเท่าเทียมกันถึงศูนย์ของผลิตภัณฑ์ผสมของพวกมัน นอกจากนี้ จากนี้ไปเวกเตอร์สามตัวสร้างฐานในอวกาศถ้า .

   หากเวกเตอร์ได้รับในรูปแบบพิกัด ก็สามารถแสดงว่าผลคูณของพวกมันถูกพบโดยสูตร:

   .

   ดังนั้นผลคูณจะเท่ากับดีเทอร์มีแนนต์อันดับสามซึ่งบรรทัดแรกมีพิกัดของเวกเตอร์แรก บรรทัดที่สองประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ที่สอง และบรรทัดที่สามประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ที่สาม

   ตัวอย่าง.

เรขาคณิตวิเคราะห์ในอวกาศ

สมการ F(x, y, z)= 0 กำหนดในช่องว่าง Oxyzพื้นผิวบางส่วนเช่น ตำแหน่งของจุดที่มีพิกัด x, y, zเป็นไปตามสมการนี้ สมการนี้เรียกว่าสมการพื้นผิวและ x, y, z– พิกัดปัจจุบัน

อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งที่พื้นผิวไม่ได้ถูกกำหนดโดยสมการ แต่เป็นชุดของจุดในอวกาศที่มีคุณสมบัติอย่างใดอย่างหนึ่ง ในกรณีนี้ จำเป็นต้องหาสมการของพื้นผิวตามคุณสมบัติทางเรขาคณิตของมัน

เครื่องบิน.

เวกเตอร์เครื่องบินปกติ

สมการของเครื่องบินผ่านจุดที่กำหนด

พิจารณาระนาบโดยพลการ σ ในอวกาศ ตำแหน่งของมันถูกกำหนดโดยการตั้งค่าเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบนี้และจุดคงที่บางจุด M0(x0, y 0, z0) นอนอยู่บนเครื่องบิน σ

เวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบ σ เรียกว่า ปกติเวกเตอร์ของเครื่องบินลำนี้ ให้เวกเตอร์มีพิกัด

เราได้สมการสำหรับระนาบ σ ผ่านจุดที่กำหนด M0และมีเวกเตอร์ปกติ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้จุดใดก็ได้บนเครื่องบิน σ M(x, y, z)และพิจารณาเวกเตอร์

สำหรับจุดใด ๆ เอ็มÎ σ เวกเตอร์ ดังนั้นผลคูณของสเกลาร์จึงเท่ากับศูนย์ ความเท่าเทียมกันนี้เป็นเงื่อนไขที่จุด เอ็มโอ เอส. ใช้ได้กับทุกจุดของเครื่องบินลำนี้และถูกละเมิดทันทีที่จุด เอ็มจะอยู่นอกระนาบ σ

ถ้าเราแทนด้วยเวกเตอร์รัศมี จุด เอ็ม, คือเวกเตอร์รัศมีของจุด M0แล้วสมการสามารถเขียนได้เป็น

สมการนี้เรียกว่า เวกเตอร์สมการระนาบ ลองเขียนในรูปแบบพิกัดกัน ตั้งแต่นั้นมา

ดังนั้นเราจึงได้สมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนด ดังนั้น ในการแต่งสมการของระนาบ คุณต้องรู้พิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากและพิกัดของบางจุดที่วางอยู่บนระนาบ

สังเกตว่าสมการระนาบเป็นสมการดีกรีที่ 1 เทียบกับพิกัดปัจจุบัน x, yและ z.

ตัวอย่าง.

สมการทั่วไปของเครื่องบิน

จะได้ว่าสมการใดๆ ของดีกรีแรกเทียบกับพิกัดคาร์ทีเซียน x, y, zเป็นสมการของระนาบหนึ่ง สมการนี้เขียนเป็น:

ขวาน+โดย+Cz+D=0

และเรียก สมการทั่วไปเครื่องบินและพิกัด A, B, Cนี่คือพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ

ให้เราพิจารณากรณีเฉพาะของสมการทั่วไป มาดูกันว่าระนาบนั้นตั้งอยู่สัมพันธ์กับระบบพิกัดอย่างไร ถ้าสัมประสิทธิ์ของสมการหนึ่งตัวหรือมากกว่านั้นหายไป

A คือความยาวของส่วนที่ตัดโดยระนาบบนแกน วัว. ในทำนองเดียวกัน เราสามารถแสดงได้ว่า ขและ คคือความยาวของส่วนที่ตัดโดยระนาบที่พิจารณาบนแกน ออยและ ออนซ์.

สะดวกในการใช้สมการของระนาบเป็นส่วนๆ เพื่อสร้างระนาบ

ในบทนี้ เราจะดูการดำเนินการเพิ่มเติมอีกสองรายการกับเวกเตอร์: ผลคูณของเวกเตอร์และ ผลคูณของเวกเตอร์ (ลิงค์ด่วนสำหรับคนที่ต้องการ). ไม่เป็นไรบางครั้งมันก็เกิดขึ้นเพื่อความสุขที่สมบูรณ์นอกเหนือจาก ผลคูณดอทของเวกเตอร์มีความจำเป็นมากขึ้นเรื่อยๆ นั่นคือการเสพติดเวกเตอร์ บางคนอาจรู้สึกว่าเรากำลังเข้าสู่ป่าของเรขาคณิตวิเคราะห์ นี่ไม่เป็นความจริง. ในส่วนนี้ของคณิตศาสตร์ชั้นสูง โดยทั่วไปมีฟืนเพียงเล็กน้อย ยกเว้นอาจเพียงพอสำหรับพิน็อกคิโอ อันที่จริง เนื้อหานั้นธรรมดามากและเรียบง่าย - ยากกว่าเดิมมาก ผลิตภัณฑ์สเกลาร์แม้ว่าจะมีงานทั่วไปน้อยลงก็ตาม สิ่งสำคัญในเรขาคณิตวิเคราะห์ อย่างที่หลายคนเห็นหรือเคยเห็นมาแล้วคือต้องไม่พลาดการคำนวณ ทำซ้ำเหมือนมนต์สะกดแล้วคุณจะมีความสุข =)

หากเวกเตอร์เป็นประกายระยิบระยับในที่ห่างไกล เช่น ฟ้าแลบบนขอบฟ้า ไม่เป็นไร เริ่มด้วยบทเรียน เวกเตอร์สำหรับหุ่นเพื่อฟื้นฟูหรือเรียนรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์อีกครั้ง ผู้อ่านที่เตรียมพร้อมมากขึ้นสามารถทำความคุ้นเคยกับข้อมูลแบบคัดเลือกได้ ฉันพยายามรวบรวมตัวอย่างที่สมบูรณ์ที่สุดที่มักพบในการปฏิบัติงาน

อะไรจะทำให้คุณมีความสุข? เมื่อฉันยังเด็ก ฉันสามารถเล่นปาหี่ได้สองหรือสามลูก มันทำงานได้ดี ตอนนี้ไม่จำเป็นต้องเล่นกลเลยเพราะเราจะพิจารณา เวกเตอร์อวกาศเท่านั้นและเวกเตอร์แบบแบนที่มีสองพิกัดจะถูกละไว้ ทำไม? นี่คือสาเหตุที่การกระทำเหล่านี้เกิดขึ้น - เวกเตอร์และผลคูณผสมของเวกเตอร์ถูกกำหนดและทำงานในพื้นที่สามมิติ ง่ายขึ้นแล้ว!

ในการดำเนินการนี้ เช่นเดียวกับในผลิตภัณฑ์สเกลาร์ สองเวกเตอร์. ปล่อยให้มันเป็นตัวอักษรที่ไม่มีวันเสื่อมสลาย

การกระทำนั้นเอง หมายถึงด้วยวิธีดังต่อไปนี้ . มีตัวเลือกอื่นๆ แต่ฉันเคยกำหนดผลคูณของเวกเตอร์ด้วยวิธีนี้ ในวงเล็บเหลี่ยมที่มีกากบาท

และทันที คำถาม: ถ้าอยู่ใน ผลคูณดอทของเวกเตอร์เวกเตอร์สองตัวเกี่ยวข้องกัน และเวกเตอร์สองตัวนี้ถูกคูณด้วย แล้ว อะไรคือความแตกต่าง? ความแตกต่างที่ชัดเจน อย่างแรกเลย ในผลลัพธ์:

ผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์คือ NUMBER:

ผลคูณของเวกเตอร์คือ VECTOR: นั่นคือ เราคูณเวกเตอร์แล้วได้เวกเตอร์อีกครั้ง สโมสรปิด. อันที่จริงแล้วจึงเป็นชื่อของการดำเนินการ ในวรรณคดีการศึกษาต่างๆ การกำหนดอาจแตกต่างกันไป ฉันจะใช้จดหมาย

คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ข้าม

ขั้นแรกจะมีคำจำกัดความพร้อมรูปภาพแล้วแสดงความคิดเห็น

คำนิยาม: ข้ามผลิตภัณฑ์ ไม่ใช่ collinearเวกเตอร์ , ตามลำดับนี้เรียกว่าเวกเตอร์ ระยะเวลาซึ่งเป็นตัวเลข เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานสร้างขึ้นจากเวกเตอร์เหล่านี้ เวกเตอร์ ตั้งฉากกับเวกเตอร์และถูกชี้นำเพื่อให้พื้นฐานมีทิศทางที่ถูกต้อง:

เราวิเคราะห์คำจำกัดความโดยกระดูก มีสิ่งที่น่าสนใจมากมาย!

ดังนั้น เราสามารถเน้นจุดสำคัญต่อไปนี้:

1) Source vectors ระบุด้วยลูกศรสีแดงตามคำจำกัดความ ไม่ใช่ collinear. มันจะเป็นการเหมาะสมที่จะพิจารณากรณีของเวกเตอร์คอลลิเนียร์ในภายหลัง

2) ถ่ายเวกเตอร์ อย่างเข้มงวด: – "a" คูณด้วย "be"ไม่ใช่ "เป็น" ถึง "a" ผลของการคูณเวกเตอร์คือ VECTOR ซึ่งแสดงเป็นสีน้ำเงิน หากเวกเตอร์คูณในลำดับที่กลับกัน เราก็จะได้เวกเตอร์ยาวเท่ากันและมีทิศตรงข้าม (สีแดงเข้ม) นั่นคือ ความเท่าเทียมกัน .

3) ตอนนี้ มาทำความคุ้นเคยกับความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์กัน นี่เป็นจุดที่สำคัญมาก! LENGTH ของเวกเตอร์สีน้ำเงิน (และด้วยเหตุนี้ เวกเตอร์สีแดงเข้ม ) เป็นตัวเลขเท่ากับ AREA ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ ในรูป สี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เป็นสีดำ

บันทึก : ภาพวาดเป็นแผนผัง และแน่นอน ความยาวระบุของผลิตภัณฑ์กากบาทไม่เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เราจำหนึ่งในสูตรทางเรขาคณิต: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของด้านประชิดและไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน. ดังนั้น จากที่กล่าวข้างต้น สูตรสำหรับคำนวณ LENGTH ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จึงใช้ได้:

ฉันเน้นว่าในสูตรที่เรากำลังพูดถึง LENGTH ของเวกเตอร์ ไม่ใช่เกี่ยวกับเวกเตอร์เอง ความหมายในทางปฏิบัติคืออะไร? และความหมายก็คือในปัญหาของเรขาคณิตวิเคราะห์ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานมักพบผ่านแนวคิดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

เราได้สูตรสำคัญที่สอง เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (เส้นประสีแดง) แบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากัน ดังนั้น พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ (การแรเงาสีแดง) สามารถพบได้โดยสูตร:

4) ข้อเท็จจริงที่สำคัญไม่แพ้กันก็คือเวกเตอร์นั้นตั้งฉากกับเวกเตอร์ นั่นคือ . แน่นอน เวกเตอร์ที่กำกับทิศทางตรงกันข้าม (ลูกศรสีแดงเข้ม) ก็ตั้งฉากกับเวกเตอร์ดั้งเดิมเช่นกัน

5) เวกเตอร์ถูกกำกับเพื่อให้ พื้นฐานมันมี ขวาปฐมนิเทศ. ในบทเรียนเกี่ยวกับ เปลี่ยนไปสู่พื้นฐานใหม่ฉันได้พูดในรายละเอียดเกี่ยวกับ การวางแนวเครื่องบินและตอนนี้เราจะหาว่าการวางแนวของอวกาศคืออะไร ฉันจะอธิบายด้วยนิ้วของคุณ มือขวา. รวมจิต นิ้วชี้ด้วยเวกเตอร์และ นิ้วกลางด้วยเวกเตอร์ นิ้วนางกับนิ้วก้อยกดลงบนฝ่ามือของคุณ ผลที่ตามมา นิ้วหัวแม่มือ- ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะค้นหา นี่เป็นพื้นฐานที่ถูกต้อง (อยู่ในรูป) ตอนนี้สลับเวกเตอร์ ( นิ้วชี้และนิ้วกลาง) ในบางสถานที่นิ้วหัวแม่มือจะหันไปรอบ ๆ และผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะมองลงมาแล้ว นี่เป็นพื้นฐานที่เน้นด้านขวา บางทีคุณอาจมีคำถาม: การวางแนวด้านซ้ายเป็นพื้นฐานอะไร? "กำหนด" นิ้วเดียวกัน มือซ้าย vectors และรับฐานซ้ายและการวางแนวช่องว่างซ้าย (ในกรณีนี้ นิ้วโป้งจะอยู่ในทิศทางของเวกเตอร์ล่าง). พูดเปรียบเปรยฐานเหล่านี้ "บิด" หรือปรับพื้นที่ในทิศทางที่ต่างกัน และแนวคิดนี้ไม่ควรถูกมองว่าเป็นเรื่องไกลตัวหรือเป็นนามธรรม เช่น กระจกธรรมดาที่สุดจะเปลี่ยนทิศทางของอวกาศ และหากคุณ "ดึงวัตถุที่สะท้อนออกจากกระจก" โดยทั่วไปแล้วจะไม่สามารถทำได้ ผสมผสานกับ "ต้นฉบับ" อ้อ เอาสามนิ้วไปส่องกระจกแล้ววิเคราะห์ภาพสะท้อน ;-)

...ดีแค่ไหนที่รู้ตอนนี้ ไปทางขวาและซ้ายพื้นฐานเพราะคำพูดของอาจารย์บางคนเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงการปฐมนิเทศแย่มาก =)

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์คอลลิเนียร์

คำจำกัดความได้รับการพิจารณาอย่างละเอียดแล้ว ยังต้องค้นหาว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเวกเตอร์อยู่ในแนวราบ หากเวกเตอร์เป็นแบบ collinear ก็สามารถวางบนเส้นตรงเส้นเดียวและสี่เหลี่ยมด้านขนานของเราจะ "พับ" เป็นเส้นตรงเส้นเดียว พื้นที่ดังกล่าวตามที่นักคณิตศาสตร์กล่าวว่า เสื่อมโทรมสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นศูนย์ ตามมาจากสูตร - ไซน์ของศูนย์หรือ 180 องศาเท่ากับศูนย์ซึ่งหมายความว่าพื้นที่เป็นศูนย์

ดังนั้น ถ้า , แล้ว และ . โปรดทราบว่าผลคูณไขว้นั้นเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ แต่ในทางปฏิบัติสิ่งนี้มักถูกละเลยและเขียนว่ามีค่าเท่ากับศูนย์เช่นกัน

กรณีพิเศษคือผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์และตัวมันเอง:

เมื่อใช้ผลคูณไขว้ คุณสามารถตรวจสอบความสอดคล้องกันของเวกเตอร์สามมิติได้ และเราจะวิเคราะห์ปัญหานี้ด้วย

อาจจำเป็นต้องแก้ตัวอย่างในทางปฏิบัติ ตารางตรีโกณมิติเพื่อหาค่าของไซน์จากมัน

เรามาเริ่มจุดไฟกันเถอะ:

ตัวอย่างที่ 1

ก) จงหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ if

b) ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์ if

สารละลาย: ไม่ นี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด ฉันตั้งใจทำให้ข้อมูลเริ่มต้นในรายการเงื่อนไขเหมือนกัน เพราะการออกแบบโซลูชั่นจะแตกต่างออกไป!

ก) ตามเงื่อนไขจะต้องหา ระยะเวลาเวกเตอร์ (ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์) ตามสูตรที่สอดคล้องกัน:

ตอบ:

เนื่องจากถูกถามถึงความยาว ดังนั้นในคำตอบ เราจึงระบุขนาด - หน่วย

ข) ตามเงื่อนไข ต้องหา สี่เหลี่ยมสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้มีค่าเท่ากับความยาวของผลคูณ:

ตอบ:

โปรดทราบว่าในคำตอบเกี่ยวกับผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ไม่มีการพูดคุยเลย เราถูกถามเกี่ยวกับ พื้นที่รูปตามลำดับ มิติคือหน่วยสี่เหลี่ยม

เรามักจะพิจารณาว่าสิ่งที่จำเป็นจะต้องพบโดยเงื่อนไขเสมอ และจากสิ่งนี้ เรากำหนด แจ่มใสคำตอบ. อาจดูเหมือนเป็นตัวอักษร แต่มีอาจารย์เพียงพอในหมู่ครู และงานที่มีโอกาสดีจะถูกส่งกลับเพื่อแก้ไข แม้ว่านี่จะไม่ใช่ nitpick ที่เครียดเป็นพิเศษ - หากคำตอบไม่ถูกต้อง ผู้คนจะรู้สึกว่าบุคคลนั้นไม่เข้าใจสิ่งง่ายๆ และ / หรือไม่ได้เจาะลึกถึงแก่นแท้ของงาน ช่วงเวลานี้ควรอยู่ภายใต้การควบคุมเสมอ แก้ปัญหาใดๆ ในวิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูง และในวิชาอื่นๆ ด้วย

ตัวอักษรตัวใหญ่ "en" หายไปไหน? โดยหลักการแล้ว มันอาจจะติดอยู่กับวิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติม แต่ฉันไม่ได้ทำเพื่อย่อให้สั้นลง ฉันหวังว่าทุกคนจะเข้าใจสิ่งนั้นและเป็นการกำหนดสิ่งเดียวกัน

ตัวอย่างยอดนิยมสำหรับโซลูชันที่ต้องทำด้วยตัวเอง:

ตัวอย่าง 2

หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นจากเวกเตอร์ if

สูตรการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมผ่านผลิตภัณฑ์เวกเตอร์นั้นอยู่ในความคิดเห็นของคำจำกัดความ คำตอบและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ในทางปฏิบัติ งานนี้เป็นเรื่องธรรมดามาก โดยทั่วไปแล้วรูปสามเหลี่ยมสามารถถูกทรมานได้

เพื่อแก้ปัญหาอื่นๆ เราต้องการ:

สมบัติของผลคูณของเวกเตอร์

เราได้พิจารณาคุณสมบัติบางอย่างของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์แล้ว อย่างไรก็ตาม ฉันจะรวมคุณสมบัติเหล่านี้ไว้ในรายการนี้

สำหรับเวกเตอร์ที่กำหนดเองและจำนวนใด ๆ คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริง:

1) ในแหล่งข้อมูลอื่น รายการนี้มักจะไม่แยกแยะคุณสมบัติ แต่มีความสำคัญมากในทางปฏิบัติ ปล่อยให้มันเป็นไป

2) - คุณสมบัติยังกล่าวถึงข้างต้นบางครั้งเรียกว่า สารต้านการเปลี่ยนแปลง. กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลำดับของเวกเตอร์มีความสำคัญ

3) - การรวมกันหรือ สมาคมกฎหมายผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ค่าคงที่สามารถเอาออกจากลิมิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ได้อย่างง่ายดาย จริงๆ แล้วพวกเขากำลังทำอะไรอยู่ที่นั่น?

4) - การกระจายหรือ การกระจายกฎหมายผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ไม่มีปัญหากับวงเล็บเปิดเช่นกัน

เพื่อเป็นการสาธิต ให้พิจารณาตัวอย่างสั้นๆ:

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาว่า

สารละลาย:ตามเงื่อนไข จะต้องค้นหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์อีกครั้ง มาระบายสีภาพย่อของเรากันเถอะ:

(1) ตามกฎการเชื่อมโยง เรานำค่าคงที่ที่เกินขีดจำกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ออก

(2) เรานำค่าคงที่ออกจากโมดูลในขณะที่โมดูล "กิน" เครื่องหมายลบ ความยาวไม่สามารถเป็นลบได้

(3) สิ่งที่ตามมามีความชัดเจน

ตอบ:

ถึงเวลาที่จะโยนฟืนลงบนกองไฟ:

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นจากเวกเตอร์ if

สารละลาย: หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตร . อุปสรรคคือเวกเตอร์ "ce" และ "te" นั้นเป็นตัวแทนของผลรวมของเวกเตอร์ อัลกอริทึมนี้เป็นมาตรฐานและค่อนข้างชวนให้นึกถึงตัวอย่างที่ 3 และ 4 ของบทเรียน ผลิตภัณฑ์ Dot ของเวกเตอร์. แบ่งมันออกเป็นสามขั้นตอนเพื่อความชัดเจน:

1) ในขั้นตอนแรก เราแสดงผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ผ่านผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ อันที่จริง แสดงเวกเตอร์ในรูปของเวกเตอร์. ยังไม่มีคำว่ายาว!

(1) เราแทนที่นิพจน์ของเวกเตอร์

(2) ใช้กฎการกระจาย ให้เปิดวงเล็บตามกฎการคูณพหุนาม

(3) การใช้กฎที่เชื่อมโยงกัน เรานำค่าคงที่ทั้งหมดที่อยู่นอกเหนือผลคูณของเวกเตอร์ออก ด้วยประสบการณ์เพียงเล็กน้อย การกระทำที่ 2 และ 3 สามารถทำได้พร้อมกัน

(4) เทอมแรกและเทอมสุดท้ายมีค่าเท่ากับศูนย์ (เวกเตอร์ศูนย์) เนื่องจากคุณสมบัติที่น่าพอใจ ในระยะที่สอง เราใช้คุณสมบัติต้านการเปลี่ยนแปลงของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

(5) เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน

เป็นผลให้เวกเตอร์แสดงผ่านเวกเตอร์ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นเพื่อให้บรรลุ:

2) ในขั้นตอนที่สอง เราจะหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ที่เราต้องการ การกระทำนี้คล้ายกับตัวอย่างที่ 3:

3) ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่ต้องการ:

ขั้นตอนที่ 2-3 ของการแก้ปัญหาสามารถจัดเรียงเป็นบรรทัดเดียว

ตอบ:

ปัญหาที่พิจารณาเป็นเรื่องปกติในการทดสอบ นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาว่า

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน มาดูกันว่าคุณใส่ใจแค่ไหนเมื่อศึกษาตัวอย่างก่อนหน้านี้ ;-)

ผลคูณของเวกเตอร์ในพิกัด

, กำหนดแบบออร์โธนอร์มอล, แสดงโดยสูตร:

สูตรนั้นง่ายมาก: เราเขียนเวกเตอร์พิกัดในบรรทัดบนสุดของดีเทอร์มีแนนต์ เรา "แพ็ค" พิกัดของเวกเตอร์ลงในบรรทัดที่สองและสาม แล้วใส่ อย่างเข้มงวด- ก่อนอื่นพิกัดของเวกเตอร์ "ve" จากนั้นพิกัดของเวกเตอร์ "double-ve" หากเวกเตอร์จำเป็นต้องคูณในลำดับที่ต่างกัน ก็ควรสลับเส้นด้วย:

ตัวอย่าง 10

ตรวจสอบว่าเวกเตอร์พื้นที่ต่อไปนี้เป็นแบบ collinear หรือไม่:
ก)
ข)

สารละลาย: การทดสอบอิงตามหนึ่งในข้อความในบทเรียนนี้: หากเวกเตอร์เป็นแบบ collinear ผลคูณของพวกมันจะเป็นศูนย์ (เวกเตอร์ศูนย์): .

ก) ค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

เวกเตอร์จึงไม่ใช่แนวร่วม

b) ค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

ตอบ: a) ไม่ใช่ collinear b)

นี่อาจเป็นข้อมูลพื้นฐานทั้งหมดเกี่ยวกับผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์

ส่วนนี้จะไม่ใหญ่มาก เนื่องจากมีปัญหาเล็กน้อยในการใช้ผลคูณผสมของเวกเตอร์ อันที่จริงแล้ว ทุกอย่างจะอยู่ที่คำจำกัดความ ความหมายทางเรขาคณิต และสูตรการทำงานสองสามสูตร

ผลคูณผสมของเวกเตอร์เป็นผลคูณของเวกเตอร์สามตัว:

นี่คือวิธีที่พวกเขาเข้าแถวเหมือนรถไฟและรอ พวกเขาไม่สามารถรอจนกว่าจะคำนวณได้

ขั้นแรกให้คำจำกัดความและรูปภาพอีกครั้ง:

คำนิยาม: สินค้าผสม ไม่ใช่ coplanarเวกเตอร์ , ตามลำดับนี้, ถูกเรียก ปริมาตรของเส้นขนานสร้างขึ้นจากเวกเตอร์เหล่านี้ โดยมีเครื่องหมาย "+" หากฐานถูกต้อง และเครื่องหมาย "-" หากเหลือฐาน

มาวาดรูปกันเถอะ เส้นที่เรามองไม่เห็นนั้นถูกวาดด้วยเส้นประ:

มาดำดิ่งลงไปในคำจำกัดความ:

2) ถ่ายเวกเตอร์ ในลำดับที่แน่นอนนั่นคือ การเรียงสับเปลี่ยนของเวกเตอร์ในผลคูณ อย่างที่คุณอาจเดาได้ ไม่ได้เกิดขึ้นโดยไม่มีผลที่ตามมา

3) ก่อนแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับความหมายทางเรขาคณิต ฉันจะสังเกตข้อเท็จจริงที่ชัดเจนก่อน: ผลคูณผสมของเวกเตอร์คือ NUMBER: . ในวรรณคดีเพื่อการศึกษา การออกแบบอาจแตกต่างกันบ้าง ฉันเคยกำหนดผลิตภัณฑ์แบบผสม และผลลัพธ์ของการคำนวณด้วยตัวอักษร "pe"

ตามคำจำกัดความ สารผสมคือปริมาตรของท่อคู่ขนานสร้างขึ้นจากเวกเตอร์ (รูปวาดด้วยเวกเตอร์สีแดงและเส้นสีดำ) นั่นคือจำนวนเท่ากับปริมาตรของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่กำหนด

บันทึก : ภาพวาดเป็นแผนผัง

4) ไม่ต้องกังวลอีกต่อไปกับแนวคิดของการวางแนวของพื้นฐานและพื้นที่ ความหมายของส่วนสุดท้ายคือสามารถเพิ่มเครื่องหมายลบในระดับเสียงได้ ในแง่ง่ายๆ ผลิตภัณฑ์ผสมสามารถเป็นค่าลบได้:

สูตรสำหรับคำนวณปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์นั้นเป็นไปตามคำจำกัดความโดยตรง