गेंद का आयतन. गेंद का आयतन कैसे ज्ञात करें: मूल सूत्र और उनके उपयोग का एक उदाहरण गेंद के आयतन की गणना कैसे करें

गेंद की अवधारणा का अध्ययन शुरू करने से पहले, गेंद का आयतन क्या है, इसके मापदंडों की गणना के सूत्रों पर विचार करने के लिए, एक वृत्त की अवधारणा को याद करना आवश्यक है, जिसका अध्ययन ज्यामिति के पाठ्यक्रम में पहले किया गया था। आख़िरकार, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में अधिकांश क्रियाएं समान होती हैं या दो-आयामी ज्यामिति का अनुसरण करती हैं, जिन्हें तीसरे समन्वय और तीसरी डिग्री की उपस्थिति के लिए समायोजित किया जाता है।

वृत्त क्या है?

एक वृत्त कार्तीय तल पर एक आकृति है (चित्र 1 में दर्शाया गया है); अक्सर परिभाषा ऐसी लगती है जैसे "समतल पर सभी बिंदुओं का स्थान, जिससे किसी दिए गए बिंदु (केंद्र) की दूरी एक निश्चित गैर-नकारात्मक संख्या से अधिक नहीं होती है जिसे त्रिज्या कहा जाता है।"

जैसा कि आप चित्र से देख सकते हैं, बिंदु O चित्र का केंद्र है, और वृत्त को भरने वाले सभी बिंदुओं का समूह, उदाहरण के लिए, A, B, C, K, E, दिए गए त्रिज्या से आगे स्थित नहीं हैं (चित्र 2 में दिखाए गए वृत्त से आगे न जाएं)।

यदि त्रिज्या शून्य है, तो वृत्त एक बिंदु में बदल जाता है।

समझने में समस्या

छात्र अक्सर इन अवधारणाओं को भ्रमित करते हैं। इसे सादृश्य से याद रखना आसान है। शारीरिक शिक्षा पाठों में बच्चे जिस घेरा को घुमाते हैं वह एक वृत्त होता है। इसे समझने से, या यह याद रखने से कि दोनों शब्दों के पहले अक्षर "ओ" हैं, बच्चे स्मरणीय रूप से अंतर को समझेंगे।

"गेंद" की अवधारणा का परिचय

गेंद एक पिंड है (चित्र 3), जो एक निश्चित गोलाकार सतह से घिरा है। यह किस प्रकार की "गोलाकार सतह" है यह इसकी परिभाषा से स्पष्ट हो जाएगा: यह सतह पर सभी बिंदुओं का स्थान है, जिससे किसी दिए गए बिंदु (केंद्र) की दूरी एक निश्चित गैर-नकारात्मक संख्या से अधिक नहीं होती है जिसे त्रिज्या कहा जाता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, एक वृत्त और एक गोलाकार सतह की अवधारणाएँ समान हैं, केवल वे स्थान जिनमें वे स्थित हैं, भिन्न हैं। यदि हम एक गेंद को द्वि-आयामी अंतरिक्ष में चित्रित करते हैं, तो हमें एक वृत्त मिलता है, जिसकी सीमा एक वृत्त है (एक गेंद के लिए, सीमा एक गोलाकार सतह है)। चित्र में हम त्रिज्या OA = OB वाली एक गोलाकार सतह देखते हैं।

गेंद बंद और खुली

वेक्टर और मीट्रिक स्थानों में, गोलाकार सतह से संबंधित दो अवधारणाओं पर भी विचार किया जाता है। यदि गेंद इस गोले को अपने में समाहित कर लेती है, तो इसे बंद कहा जाता है, और यदि नहीं, तो इस स्थिति में गेंद खुली होती है। ये अधिक "उन्नत" अवधारणाएँ हैं, जब इन्हें विश्लेषण से परिचित कराया जाता है तो संस्थानों में इनका अध्ययन किया जाता है। सरल, यहां तक ​​कि रोजमर्रा के उपयोग के लिए, वे सूत्र जो ग्रेड 10-11 के ठोस ज्यामिति पाठ्यक्रम में अध्ययन किए जाते हैं, पर्याप्त होंगे। ये ऐसी अवधारणाएँ हैं जो लगभग हर औसत शिक्षित व्यक्ति के लिए सुलभ हैं जिन पर आगे चर्चा की जाएगी।

निम्नलिखित गणनाओं के लिए आपको जिन अवधारणाओं को जानने की आवश्यकता है

त्रिज्या और व्यास.

एक गोले की त्रिज्या और उसका व्यास उसी तरह निर्धारित किया जाता है जैसे एक वृत्त के लिए।

त्रिज्या - गेंद की सीमा पर किसी बिंदु और गेंद के केंद्र को जोड़ने वाला एक खंड।

व्यास - एक गोले की सीमा पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाला और उसके केंद्र से गुजरने वाला एक खंड। चित्र 5ए स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि कौन से खंड गेंद की त्रिज्या हैं, और चित्र 5बी गोले के व्यास (बिंदु ओ से गुजरने वाले खंड) को दर्शाता है।

एक गोले में अनुभाग (गेंद)

गोले का कोई भी भाग एक वृत्त होता है। यदि यह गेंद के केंद्र से होकर गुजरती है, तो इसे एक बड़ा वृत्त (AB के व्यास वाला एक वृत्त) कहा जाता है, शेष खंडों को छोटे वृत्त (DC के व्यास वाला एक वृत्त) कहा जाता है।

इन वृत्तों के क्षेत्रफल की गणना निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:

यहां S क्षेत्र का पदनाम है, R त्रिज्या है, D व्यास है। 3.14 के बराबर एक स्थिरांक भी है। लेकिन इस बात से भ्रमित न हों कि किसी बड़े वृत्त का क्षेत्रफल निकालने के लिए गेंद (गोले) की त्रिज्या या व्यास का ही उपयोग किया जाता है और क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए छोटे वृत्त की त्रिज्या के आयामों की आवश्यकता होती है।

ऐसे खंडों की संख्या अनंत है जो गोले की सीमा पर स्थित एक ही व्यास के दो बिंदुओं से होकर गुजरती हैं। एक उदाहरण के रूप में, हमारा ग्रह: उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों पर दो बिंदु, जो पृथ्वी की धुरी के छोर हैं, और एक ज्यामितीय अर्थ में, व्यास के छोर, और इन दो बिंदुओं से गुजरने वाली मेरिडियन (चित्रा 7) . अर्थात्, गोले के निकट बड़े वृत्तों की संख्या मात्रा में अनन्त हो जाती है।

गेंद के हिस्से

यदि किसी समतल की सहायता से गोले से कोई "टुकड़ा" काट दिया जाए (चित्र 8) तो वह गोलाकार या गोलीय खंड कहलाएगा। इसकी ऊंचाई होगी - काटने वाले विमान के केंद्र से गोलाकार सतह O 1 K तक लंबवत। गोलाकार सतह पर बिंदु K, जिस पर ऊंचाई आती है, गोलाकार खंड का शीर्ष कहा जाता है। और O 1 T की त्रिज्या वाला एक छोटा वृत्त (इस मामले में, चित्र के अनुसार, विमान गोले के केंद्र से नहीं गुजरा, लेकिन यदि अनुभाग केंद्र से गुजरता है, तो अनुभाग वृत्त बड़ा होगा) , गोलाकार खंड को काटते समय गठित, हमारे टुकड़े की गेंद का आधार कहा जाएगा - गोलाकार खंड।

यदि हम गोलाकार खंड के आधार के प्रत्येक बिंदु को गोले के केंद्र से जोड़ते हैं, तो हमें "गोलाकार क्षेत्र" नामक एक आकृति मिलती है।

यदि दो तल गोले से होकर गुजरते हैं, जो एक-दूसरे के समानांतर हैं, तो गोले का वह भाग जो उनके बीच घिरा होता है, गोलाकार परत कहलाता है (चित्र 9, जो दो विमानों वाला एक गोला और अलग से एक गोलाकार परत दिखाता है)।

गोले के इस भाग की सतह (दाईं ओर चित्र 9 में हाइलाइट किया गया भाग) को बेल्ट कहा जाता है (फिर से, बेहतर समझ के लिए, हम ग्लोब के साथ एक सादृश्य बना सकते हैं, अर्थात् इसके जलवायु क्षेत्रों के साथ - आर्कटिक, उष्णकटिबंधीय, समशीतोष्ण , आदि), और सेक्शन सर्कल बेस बॉल लेयर होंगे। परत की ऊंचाई - आधारों के केंद्रों से काटने वाले विमानों के लंबवत खींचे गए व्यास का हिस्सा। गोलाकार गोले की अवधारणा भी है। इसका निर्माण तब होता है जब एक-दूसरे के समानांतर स्थित विमान गोले को काटते नहीं हैं, बल्कि उसे एक-एक बिंदु पर स्पर्श करते हैं।

गेंद के आयतन और उसके सतह क्षेत्र की गणना के लिए सूत्र

एक अर्धवृत्त या वृत्त के एक निश्चित व्यास के चारों ओर घूमने से एक गेंद बनती है। इस ऑब्जेक्ट के विभिन्न मापदंडों की गणना करने के लिए इतने अधिक डेटा की आवश्यकता नहीं है।

गेंद का आयतन, जिसकी गणना का सूत्र ऊपर दर्शाया गया है, एकीकरण द्वारा प्राप्त किया जाता है। आइए बिंदुओं पर गौर करें।

हम एक द्वि-आयामी विमान में एक वृत्त पर विचार करते हैं, क्योंकि, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, यह वह वृत्त है जो गेंद के निर्माण का आधार है। हम केवल इसके चौथे भाग का उपयोग करते हैं (चित्र 10)।

हम इकाई त्रिज्या और मूल बिंदु पर केंद्र वाला एक वृत्त लेते हैं। ऐसे वृत्त का समीकरण इस प्रकार है: X 2 + Y 2 = R 2। हम यहाँ से Y व्यक्त करते हैं: Y 2 \u003d R 2 - X 2।

यह ध्यान रखना सुनिश्चित करें कि परिणामी फ़ंक्शन गैर-नकारात्मक, निरंतर और खंड यानी एक तक.

अगली चीज़ जो हम करते हैं वह है अपने चतुर्थ वृत्त को x-अक्ष के चारों ओर घुमाना। परिणामस्वरूप, हमें एक गोलार्ध प्राप्त होता है। इसकी मात्रा निर्धारित करने के लिए हम एकीकरण विधियों का सहारा लेते हैं।

चूँकि यह केवल एक गोलार्ध का आयतन है, हम परिणाम को दोगुना करते हैं, जिससे हम पाते हैं कि गेंद का आयतन बराबर है:

छोटी-छोटी बारीकियाँ

यदि आपको किसी गेंद के आयतन की गणना उसके व्यास के आधार पर करने की आवश्यकता है, तो याद रखें कि त्रिज्या व्यास का आधा है, और इस मान को उपरोक्त सूत्र में प्रतिस्थापित करें।

साथ ही, किसी गोले के आयतन के सूत्र तक उसकी सीमावर्ती सतह - गोले के क्षेत्र के माध्यम से पहुंचा जा सकता है। याद रखें कि एक गोले के क्षेत्रफल की गणना सूत्र S = 4πr 2 द्वारा की जाती है, जिसे एकीकृत करके, हम एक गेंद के आयतन के लिए उपरोक्त सूत्र पर भी पहुंचते हैं। यदि समस्या की स्थिति में वॉल्यूम मान शामिल है तो समान सूत्रों से, आप त्रिज्या व्यक्त कर सकते हैं।

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एक गेंद की त्रिज्या (आर या आर के रूप में चिह्नित) वह रेखा खंड है जो गेंद के केंद्र को उसकी सतह पर किसी भी बिंदु से जोड़ती है। एक वृत्त की तरह, गेंद की त्रिज्या एक महत्वपूर्ण मात्रा है जो गेंद के व्यास, परिधि, सतह क्षेत्र और/या आयतन को खोजने के लिए आवश्यक है। लेकिन गेंद की त्रिज्या व्यास, परिधि और अन्य मात्राओं के दिए गए मान से भी पाई जा सकती है। ऐसे सूत्र का उपयोग करें जिसमें आप इन मानों को प्रतिस्थापित कर सकें।

कदम

त्रिज्या की गणना के लिए सूत्र

व्यास से त्रिज्या की गणना करें.त्रिज्या व्यास का आधा है, इसलिए सूत्र का उपयोग करें डी = डी/2. यह वही सूत्र है जिसका उपयोग किसी वृत्त की त्रिज्या और व्यास की गणना के लिए किया जाता है।

• उदाहरण के लिए, 16 सेमी व्यास वाली एक गेंद दी गई है। इस गेंद की त्रिज्या: r = 16/2 = 8 सेमी. यदि व्यास 42 सेमी है, तो त्रिज्या है 21 सेमी (42/2=21).

1. वृत्त की परिधि से त्रिज्या की गणना करें।सूत्र का प्रयोग करें: आर = सी/2π. चूँकि परिधि C = πD = 2πr है, तो परिधि की गणना के सूत्र को 2π से विभाजित करें और त्रिज्या ज्ञात करने का सूत्र प्राप्त करें।

   • उदाहरण के लिए, 20 सेमी परिधि वाली एक गेंद दी गई है। इस गेंद की त्रिज्या है: आर = 20/2π = 3.183 सेमी.
   • किसी वृत्त की त्रिज्या और परिधि की गणना के लिए उसी सूत्र का उपयोग किया जाता है।

2. गोले के आयतन से त्रिज्या की गणना करें।सूत्र का प्रयोग करें: आर = ((वी/π)(3/4)) 1/3. गेंद के आयतन की गणना सूत्र V = (4/3)πr 3 द्वारा की जाती है। समीकरण के एक तरफ r को अलग करने पर, आपको सूत्र मिलता है ((V / π) (3/4)) 3 \u003d r, अर्थात, त्रिज्या की गणना करने के लिए, गेंद के आयतन को π से विभाजित करें, परिणाम को गुणा करें 3/4 तक, और परिणाम को घात 1/3 तक बढ़ाएँ (या घनमूल लें)।

   • उदाहरण के लिए, 100 सेमी 3 आयतन वाली एक गेंद दी गई है। इस गोले की त्रिज्या की गणना इस प्रकार की जाती है:
     • ((वी/π)(3/4)) 1/3 = आर
     • ((100/π)(3/4)) 1/3 = आर
     • ((31.83)(3/4)) 1/3 = आर
     • (23.87) 1/3 = आर
     • 2.88 सेमी= आर

3. सतह क्षेत्र से त्रिज्या की गणना करें।सूत्र का प्रयोग करें: आर = √(ए/(4 π)). गेंद के सतह क्षेत्र की गणना सूत्र A = 4πr 2 द्वारा की जाती है। समीकरण के एक तरफ r को अलग करने से, आपको सूत्र √(A/(4π)) = r मिलता है, यानी, त्रिज्या की गणना करने के लिए, आपको सतह क्षेत्र का वर्गमूल 4π से विभाजित करने की आवश्यकता है। मूल लेने के बजाय, अभिव्यक्ति (A/(4π)) को 1/2 की घात तक बढ़ाया जा सकता है।

   • उदाहरण के लिए, 1200 सेमी 3 सतह क्षेत्रफल वाला एक गोला दिया गया है। इस गोले की त्रिज्या की गणना इस प्रकार की जाती है:
     • √(ए/(4π)) = आर
     • √(1200/(4π)) = आर
     • √(300/(π)) = आर
     • √(95.49) = आर
     • 9.77 सेमी= आर

   मूल मात्राओं की परिभाषा

   1. उन मूल मात्राओं को याद रखें जो गेंद की त्रिज्या की गणना के लिए प्रासंगिक हैं।गेंद की त्रिज्या एक खंड है जो गेंद के केंद्र को उसकी सतह पर किसी भी बिंदु से जोड़ता है। किसी गोले की त्रिज्या की गणना व्यास, परिधि, आयतन या सतह क्षेत्र के दिए गए मानों से की जा सकती है।

      त्रिज्या ज्ञात करने के लिए इन मात्राओं के मानों का उपयोग करें।त्रिज्या की गणना व्यास, परिधि, आयतन और सतह क्षेत्र के दिए गए मानों से की जा सकती है। इसके अलावा, ये मान त्रिज्या के दिए गए मान से पाए जा सकते हैं। त्रिज्या की गणना करने के लिए, दिए गए मानों को खोजने के लिए बस सूत्रों को परिवर्तित करें। व्यास, परिधि, आयतन और सतह क्षेत्र की गणना के लिए नीचे सूत्र (जिसमें त्रिज्या है) दिए गए हैं।

   दो बिंदुओं के बीच की दूरी से त्रिज्या ज्ञात करना

   1. गेंद के केंद्र के निर्देशांक (x, y, z) ज्ञात करें।किसी गोले की त्रिज्या उसके केंद्र और गोले की सतह पर स्थित किसी बिंदु के बीच की दूरी के बराबर होती है। यदि गेंद के केंद्र और उसकी सतह पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात हैं, तो आप दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करके एक विशेष सूत्र का उपयोग करके गेंद की त्रिज्या पा सकते हैं। सबसे पहले, गेंद के केंद्र के निर्देशांक ज्ञात करें। ध्यान रखें कि चूँकि गेंद एक त्रि-आयामी आकृति है, बिंदु के तीन निर्देशांक (x, y, z) होंगे, न कि दो (x, y)।

      • एक उदाहरण पर विचार करें. निर्देशांक के साथ केन्द्रित एक गेंद दी गई है (4,-1,12) . गेंद की त्रिज्या ज्ञात करने के लिए इन निर्देशांकों का उपयोग करें।

   2. गोले की सतह पर एक बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।अब आपको निर्देशांक खोजने की आवश्यकता है (x, y, z) कोईगोले की सतह पर बिंदु. चूँकि गेंद की सतह पर स्थित सभी बिंदु गेंद के केंद्र से समान दूरी पर स्थित होते हैं, गेंद की त्रिज्या की गणना के लिए किसी भी बिंदु को चुना जा सकता है।

      • हमारे उदाहरण में, मान लें कि गेंद की सतह पर स्थित किसी बिंदु पर निर्देशांक हैं (3,3,0) . इस बिंदु और गेंद के केंद्र के बीच की दूरी की गणना करके, आप त्रिज्या पाएंगे।

   3. सूत्र d = √ ((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2) का उपयोग करके त्रिज्या की गणना करें।गेंद के केंद्र और उसकी सतह पर स्थित बिंदु के निर्देशांक जानने के बाद, आप उनके बीच की दूरी पा सकते हैं, जो गेंद की त्रिज्या के बराबर है। दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना सूत्र d \u003d √ ((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2) द्वारा की जाती है, जहां d बीच की दूरी है बिंदु, (x 1, y 1 ,z 1) गेंद के केंद्र के निर्देशांक हैं, (x 2 ,y 2 ,z 2) गेंद की सतह पर स्थित एक बिंदु के निर्देशांक हैं।

      • इस उदाहरण में, (x 1, y 1, z 1) के स्थान पर (4, -1,12), और (x 2, y 2, z 2) के स्थान पर (3,3,0) रखें:
        • d = √ ((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)
        • डी = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2)
        • डी = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
        • डी = √(1 + 16 + 144)
        • डी = √(161)
        • डी=12.69. यह गेंद की वांछित त्रिज्या है.

   4. ध्यान रखें कि सामान्य मामलों में r = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).गेंद की सतह पर स्थित सभी बिंदु गेंद के केंद्र से समान दूरी पर स्थित होते हैं। यदि दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के सूत्र में "d" को "r" से प्रतिस्थापित कर दिया जाए, तो आपको केंद्र के ज्ञात निर्देशांक (x 1, y 1, z 1) से गेंद की त्रिज्या की गणना करने का सूत्र मिलता है। गेंद और निर्देशांक (x 2, y 2, z 2 ) गोले की सतह पर स्थित कोई भी बिंदु।

      • इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें और आपको r 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 मिलता है। ध्यान दें कि यह समीकरण (0,0,0) पर केन्द्रित एक गोले r 2 = x 2 + y 2 + z 2 के समीकरण से मेल खाता है।
   • गणित संक्रियाओं को निष्पादित करने के क्रम को न भूलें। यदि आपको यह आदेश याद नहीं है, और आपका कैलकुलेटर कोष्ठकों के साथ काम करना जानता है, तो उनका उपयोग करें।
   • यह लेख एक गेंद की त्रिज्या की गणना के बारे में बात करता है। लेकिन अगर आपको ज्यामिति सीखने में परेशानी हो रही है, तो ज्ञात त्रिज्या मान के संदर्भ में गेंद से जुड़े मूल्यों की गणना करके शुरुआत करना सबसे अच्छा है।
   • π (Pi) ग्रीक वर्णमाला का अक्षर है, जिसका अर्थ है एक वृत्त के व्यास और उसकी परिधि की लंबाई के अनुपात के बराबर एक स्थिरांक। पाई एक अपरिमेय संख्या है जिसे वास्तविक संख्याओं के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जाता है। कई अनुमान हैं, उदाहरण के लिए, अनुपात 333/106 आपको दशमलव बिंदु के बाद चार अंकों तक की सटीकता के साथ संख्या पाई खोजने की अनुमति देगा। एक नियम के रूप में, वे पाई के अनुमानित मान का उपयोग करते हैं, जो कि 3.14 है।

ज्यामिति में गेंदइसे एक निश्चित पिंड के रूप में परिभाषित किया गया है, जो अंतरिक्ष में सभी बिंदुओं का एक संग्रह है जो केंद्र से एक निश्चित दूरी से अधिक दूरी पर स्थित नहीं है, जिसे गेंद की त्रिज्या कहा जाता है। गोले की सतह को गोला कहा जाता है और यह अपने व्यास के चारों ओर एक अर्धवृत्त घुमाने से बनता है, जो गतिहीन रहता है।

डिज़ाइन इंजीनियरों और वास्तुकारों को अक्सर इस ज्यामितीय निकाय का सामना करना पड़ता है, जिन्हें अक्सर ऐसा करना पड़ता है एक गोले के आयतन की गणना करें. उदाहरण के लिए, अधिकांश आधुनिक कारों के फ्रंट सस्पेंशन के डिज़ाइन में, तथाकथित बॉल बेयरिंग का उपयोग किया जाता है, जिसमें, जैसा कि आप नाम से ही अनुमान लगा सकते हैं, गेंदें मुख्य तत्वों में से एक हैं। उनकी मदद से स्टीयरिंग व्हील और लीवर के हब जुड़े हुए हैं। ये कितना सही होगा गणनाउनकी मात्रा काफी हद तक न केवल इन इकाइयों के स्थायित्व और उनके काम की शुद्धता पर निर्भर करती है, बल्कि यातायात सुरक्षा पर भी निर्भर करती है।

प्रौद्योगिकी में बॉल बेयरिंग जैसे भागों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जिनकी सहायता से एक्सल को विभिन्न इकाइयों और असेंबलियों के निश्चित भागों में बांधा जाता है और उनका घुमाव सुनिश्चित किया जाता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उनकी गणना करते समय डिजाइनरों को इसकी आवश्यकता होती है एक गोले का आयतन ज्ञात कीजिए(या बल्कि, पिंजरे में रखी गेंदें) उच्च स्तर की सटीकता के साथ। बीयरिंगों के लिए धातु की गेंदों के निर्माण के लिए, वे एक जटिल तकनीकी प्रक्रिया का उपयोग करके धातु के तार से बनाए जाते हैं जिसमें बनाने, सख्त करने, खुरदरा पीसने, बारीक पीसने और सफाई के चरण शामिल होते हैं। वैसे, वे गेंदें जो सभी बॉलपॉइंट पेन के डिज़ाइन में शामिल हैं, बिल्कुल उसी तकनीक का उपयोग करके बनाई गई हैं।

अक्सर, गेंदों का उपयोग वास्तुकला में भी किया जाता है, और वहां वे अक्सर इमारतों और अन्य संरचनाओं के सजावटी तत्व होते हैं। ज्यादातर मामलों में, वे ग्रेनाइट से बने होते हैं, जिसके लिए अक्सर बहुत अधिक शारीरिक श्रम की आवश्यकता होती है। बेशक, इन गेंदों के निर्माण में इतनी उच्च परिशुद्धता का पालन करने की आवश्यकता नहीं है जितनी विभिन्न इकाइयों और तंत्रों में उपयोग की जाती है।

बिलियर्ड्स जैसा दिलचस्प और लोकप्रिय खेल गेंदों के बिना अकल्पनीय है। उनके उत्पादन के लिए, विभिन्न सामग्रियों का उपयोग किया जाता है (हड्डी, पत्थर, धातु, प्लास्टिक) और विभिन्न तकनीकी प्रक्रियाओं का उपयोग किया जाता है। बिलियर्ड गेंदों के लिए मुख्य आवश्यकताओं में से एक उनकी उच्च शक्ति और उच्च यांत्रिक भार (मुख्य रूप से झटका) का सामना करने की क्षमता है। इसके अलावा, बिलियर्ड टेबल की सतह पर चिकनी और समान रोलिंग सुनिश्चित करने के लिए उनकी सतह एक सटीक गोला होनी चाहिए।

अंत में, एक भी नया साल या क्रिसमस का पेड़ गेंदों जैसे ज्यामितीय निकायों के बिना पूरा नहीं हो सकता। ये सजावट ज्यादातर मामलों में फूंक मारकर कांच से बनाई जाती है, और उनके उत्पादन में सबसे अधिक ध्यान आयामी सटीकता पर नहीं, बल्कि उत्पादों के सौंदर्यशास्त्र पर दिया जाता है। इसी समय, तकनीकी प्रक्रिया लगभग पूरी तरह से स्वचालित है और क्रिसमस गेंदों को केवल मैन्युअल रूप से पैक किया जाता है।

गेंद की परिभाषा

गेंदएक पिंड है, जिसके सभी बिंदु किसी दिए गए बिंदु से R से अधिक दूरी पर नहीं हैं।

ऑनलाइन कैलकुलेटर

गेंद की परिभाषा में निर्दिष्ट बिंदु को कहा जाता है केंद्रयह गेंद. और उक्त दूरी है RADIUSइस गेंद का.

वृत्त के अनुरूप एक गोले का भी एक व्यास होता है डी डी डी, जो त्रिज्या की लंबाई से दोगुना है:

D = 2 ⋅ R D=2\cdot R डी=2 ⋅ आर

किसी गोले के आयतन का सूत्र उसकी त्रिज्या के संदर्भ में

एक गोले के आयतन की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

त्रिज्या के संदर्भ में एक गोले के आयतन का सूत्र

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3वी=3 4 ​ ⋅ π ⋅ आर 3

आर आर आरदिए गए गोले की त्रिज्या है.

आइए कुछ उदाहरण देखें.

कार्य 1

एक गेंद एक घन में विकर्ण अंकित है डी डी डीजो के बराबर है 500 देखें \sqrt(500)\text(देखें)5 0 0 ​ सेमी ।गोले का आयतन ज्ञात कीजिए।

समाधान

D=500 d=\sqrt(500) घ=5 0 0 ​

सबसे पहले आपको घन के किनारे की लंबाई निर्धारित करने की आवश्यकता है। हम मान लेंगे कि यह बराबर है एक ए ए. इसलिए, घन का विकर्ण (पाइथागोरस प्रमेय के आधार पर) है:

D = a 2 + a 2 + a 2 d=\sqrt(a^2+a^2+a^2)घ=ए 2 + ए 2 + ए 2 ​

D = 3 ⋅ a 2 d=\sqrt(3\cdot a^2)घ=3 ⋅ ए 2 ​

D = 3 ⋅ a d=\sqrt(3)\cdot aघ=3 ​ ⋅ ए

500 = 3 ⋅ a \sqrt(500)=\sqrt(3)\cdot a5 0 0 ​ = 3 ​ ⋅ ए

A = 500 3 a=\sqrt(\frac(500)(3))ए =3 5 0 0 ​ ​

ए ≈ 12.9 ए\लगभग12.9 ए ≈1 2 . 9

यदि किसी घन में एक गोला अंकित है तो उसकी त्रिज्या इस घन की भुजा की आधी लंबाई के बराबर होती है। परिणामस्वरूप, हमारे पास है:

R = 1 2 ⋅ a R=\frac(1)(2)\cdot aआर=2 1 ​ ⋅ ए

आर = 1 2 ⋅ 12.9 ≈ 6.4 आर=\frac(1)(2)\cdot 12.9\लगभग6.4आर=2 1 ​ ⋅ 1 2 . 9 ≈ 6 . 4

अंतिम चरण सूत्र का उपयोग करके गेंद का आयतन ज्ञात करना है:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 ≈ 4 3 ⋅ π ⋅ (6.4) 3 ≈ 1097 .5 सेमी 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3\approx\frac(4 )(3)\cdot\pi\cdot (6.4)^3\लगभग1097.5\text( सेमी)^3वी=3 4 ​ ⋅ π ⋅ आर 3 ≈ 3 4 ​ ⋅ π ⋅ (6 . 4 ) 3 ≈ 1 0 9 7 , 5 सेमी3

उत्तर

1097, 5 सेमी3. 1097.5\पाठ(सेमी)^3.1 0 9 7 , 5 सेमी3 .

किसी गोले के व्यास के संदर्भ में उसके आयतन का सूत्र

किसी गोले का आयतन उसके व्यास के संदर्भ में भी पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम गेंद की त्रिज्या और व्यास के बीच संबंध का उपयोग करते हैं:

D = 2 ⋅ R D=2\cdot R डी=2 ⋅ आर

आर = डी 2 आर=\frac(D)(2) आर=2 डी​

इस अभिव्यक्ति को गेंद के आयतन के सूत्र में रखें:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 = 4 3 ⋅ π ⋅ (D 2) 3 = π 6 ⋅ D 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3=\frac(4 )(3)\cdot\pi\cdot\Big(\frac(D)(2)\Big)^3=\frac(\pi)(6)\cdot D^3वी=3 4 ​ ⋅ π ⋅ आर 3 = 3 4 ​ ⋅ π ⋅ ( 2 डी​ ) 3 = 6 π ​ ⋅ डी 3

व्यास के माध्यम से गेंद का आयतन

V = π 6 ⋅ D 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot D^3वी=6 π ​ ⋅ डी 3

डी डी डीगोले का व्यास है.

कार्य 2

गेंद का व्यास है 15 सेमी. 15\पाठ( सेमी.) 1 5 सेमी ।इसका आयतन ज्ञात कीजिए।

समाधान

डी=15 डी=15 डी=1 5

व्यास के मान को तुरंत सूत्र में बदलें:

V = π 6 ⋅ D 3 = π 6 ⋅ 1 5 3 ≈ 1766.25 सेमी 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot D^3=\frac(\pi)(6)\cdot 15^3\ लगभग1766.25\text(सेमी)^3वी=6 π ​ ⋅ डी 3 = 6 π ​ ⋅ 1 5 3 ≈ 1 7 6 6 . 2 5 सेमी3

उत्तर

$1766.25\text{सेमी3 .}$