किसी श्रृंखला का उपयोग करके लगभग DE का कोई विशेष समाधान कैसे खोजा जाए?

श्रृंखला सिद्धांत के व्यावहारिक अनुप्रयोगों का अध्ययन जारी रखते हुए, आइए एक और सामान्य समस्या पर विचार करें, जिसका नाम आप शीर्षक में देखते हैं। और, पूरे पाठ में घास काटने की मशीन की तरह महसूस न करने के लिए, आइए तुरंत कार्य के सार को समझें। तीन प्रश्न और तीन उत्तर:

आपको क्या खोजने की आवश्यकता है? अवकल समीकरण का विशेष समाधान. पंक्तियों के बीच एक संकेत फुसफुसाता है कि इस क्षण तक कम से कम यह समझने की सलाह दी जाती है कि यह क्या है अंतर समीकरणऔर उसका समाधान क्या है.

इस समाधान की आवश्यकता कैसे है? लगभग - एक शृंखला का उपयोग करते हुए.

और तीसरा तार्किक प्रश्न: लगभग क्यों?मैंने इस प्रश्न को कक्षा में पहले ही कवर कर लिया है। यूलर और रनगे-कुट्टा विधियाँ, लेकिन दोहराव से नुकसान नहीं होगा। विशिष्टताओं का समर्थक होने के नाते, मैं सबसे सरल पर लौटूंगा अंतर समीकरण. डिफ्यूज़र पर पहले व्याख्यान के दौरान, हमें इसका सामान्य समाधान (घातांक का सेट) और प्रारंभिक स्थिति के अनुरूप एक विशेष समाधान मिला। किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ सबसे सामान्य रेखा है जिसे किसी चित्र में चित्रित करना आसान है।

लेकिन यह एक प्राथमिक मामला है. व्यवहार में, बहुत सारे विभेदक समीकरण हैं जिन्हें विश्लेषणात्मक रूप से सटीक रूप से हल नहीं किया जा सकता है (कम से कम वर्तमान में ज्ञात तरीकों से)। दूसरे शब्दों में, आप ऐसे समीकरण को कितना भी मोड़ें, उसे एकीकृत करना संभव नहीं होगा। और समस्या यह है एक सामान्य समाधान (एक समतल पर रेखाओं का एक परिवार) मौजूद हो सकता है. और तब कम्प्यूटेशनल गणित के तरीके बचाव में आते हैं।

आइए हमारी खुशी से मिलें!

एक विशिष्ट समस्या इस प्रकार तैयार की गई है:

… , प्रारंभिक शर्त को संतुष्ट करते हुए, तीन के रूप में (कम अक्सर - चार या पाँच)गैर-शून्य पद टेलर श्रृंखला.

आवश्यक विशेष समाधान को प्रसिद्ध सूत्र के अनुसार इस श्रृंखला में विस्तारित किया गया है:

एकमात्र बात यह है कि यहाँ "ef" अक्षर के स्थान पर "igrek" का प्रयोग किया गया है (ऐसा ही होता है)।

विचार और अर्थ भी परिचित हैं: कुछ डिफ्यूज़र के लिए और कुछ शर्तों के तहत (हम सिद्धांत में नहीं जाएंगे) निर्मित शक्ति शृंखला जुटेगीवांछित विशेष समाधान के लिए. अर्थात्, श्रृंखला के जितने अधिक पदों पर हम विचार करेंगे, संबंधित बहुपद का ग्राफ उतना ही सटीक रूप से फ़ंक्शन के ग्राफ का अनुमान लगाएगा।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उपरोक्त सबसे सरल मामलों पर लागू होता है। आइए उसी पॉटी पर बच्चों की एक साधारण पढ़ाई संचालित करें:

उदाहरण 1

अंतर समीकरण का लगभग आंशिक समाधान खोजें जो टेलर श्रृंखला के पहले चार गैर-शून्य पदों के रूप में प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है।

समाधान: इस समस्या की स्थितियों में, इसलिए सामान्य टेलर सूत्र एक विशेष मामले में बदल जाता है मैकलॉरिन श्रृंखला का विस्तार:

थोड़ा आगे देखते हुए, मैं कहूंगा कि व्यावहारिक कार्यों में यह अधिक कॉम्पैक्ट श्रृंखला अधिक सामान्य है।

दोनों कार्य सूत्रों को अपनी संदर्भ पुस्तक में दर्ज करें।

आइये अर्थ समझते हैं. समाधान के चरणों को क्रमांकित करना सुविधाजनक है:

0) चरण शून्य पर, हम मान लिखते हैं, जो हमेशा स्थिति से ज्ञात होता है। नोटबुक में, बिंदुओं के अंतिम परिणामों पर गोला लगाने की सलाह दी जाती है ताकि वे स्पष्ट रूप से दिखाई दें और समाधान में खो न जाएं। तकनीकी कारणों से, मेरे लिए उन्हें बोल्ड में उजागर करना अधिक सुविधाजनक है। अलावा, ध्यान दें कि यह मान शून्य नहीं है! आख़िरकार, स्थिति के लिए चार खोजने की आवश्यकता है शून्येतरश्रृंखला के सदस्य.

1) आइए गणना करें। ऐसा करने के लिए, ज्ञात मान को मूल समीकरण के दाईं ओर "y" के बजाय प्रतिस्थापित करें:

2) आइए गणना करें। पहले हम ढूंढते हैं दूसरा व्युत्पन्न:

हम पिछले पैराग्राफ में पाए गए मान को दाईं ओर प्रतिस्थापित करते हैं:

हमारे पास पहले से ही विस्तार के तीन गैर-शून्य पद हैं, हमें एक और की आवश्यकता है:

उदाहरण 2

अवकल समीकरण का लगभग आंशिक समाधान खोजें , टेलर श्रृंखला के पहले तीन गैर-शून्य पदों के रूप में प्रारंभिक शर्त को संतुष्ट करता है।

समाधानएक मानक वाक्यांश से शुरू होता है:

इस समस्या में, इसलिए:

अब हम क्रमिक रूप से मान ज्ञात करते हैं - जब तक कि तीन प्राप्त न हो जाएं शून्येतरपरिणाम। यदि आप भाग्यशाली हैं, तो वे शून्य से भिन्न होंगे - यह न्यूनतम कार्य मात्रा वाला एक आदर्श मामला है।

आइए समाधान बिंदुओं में कटौती करें:

0) शर्त के अनुसार। यहाँ पहली सफलता है.

1) आइए गणना करें। सबसे पहले, आइए पहले व्युत्पन्न के संबंध में मूल समीकरण को हल करें, अर्थात, हम व्यक्त करते हैं . आइए ज्ञात मानों को दाईं ओर प्रतिस्थापित करें:

हमें एक स्टीयरिंग व्हील मिला और यह अच्छा नहीं है, क्योंकि हम इसमें रुचि रखते हैं शून्येतरअर्थ. हालाँकि, शून्य - वही परिणाम, जिसे हम किसी अन्य तरीके से घेरना या हाइलाइट करना नहीं भूलते।

2) दूसरा व्युत्पन्न खोजें और ज्ञात मानों को दाईं ओर प्रतिस्थापित करें:

दूसरा है "शून्य नहीं"।

3) दूसरे व्युत्पन्न का व्युत्पन्न खोजें:

सामान्य तौर पर, यह कार्य कुछ हद तक शलजम की कहानी की याद दिलाता है, जब दादा, दादी और पोती मदद के लिए बग, बिल्ली आदि को बुलाते हैं। और वास्तव में, प्रत्येक आगामी व्युत्पन्न को उसके "पूर्ववर्तियों" के माध्यम से व्यक्त किया जाता है।

आइए ज्ञात मानों को दाईं ओर प्रतिस्थापित करें:

तीसरा गैर-शून्य मान. उन्होंने शलजम बाहर निकाला।

हमारे सूत्र में सावधानीपूर्वक और सावधानी से "बोल्ड" संख्याओं को प्रतिस्थापित करें:

उत्तर: विशेष समाधान का वांछित अनुमानित विस्तार:

विचारित उदाहरण में, दूसरे स्थान पर केवल एक शून्य था, और यह इतना बुरा नहीं है। सामान्य तौर पर, शून्य आप जितनी चाहें उतनी संख्या में और कहीं भी हो सकते हैं। मैं दोहराता हूं, उन्हें गैर-शून्य परिणामों के साथ उजागर करना बहुत महत्वपूर्ण है, ताकि अंतिम चरण में प्रतिस्थापन में भ्रमित न हों।

यहाँ आप जाएँ - बैगेल पहले स्थान पर है:

उदाहरण 3

टेलर श्रृंखला के पहले तीन गैर-शून्य पदों के रूप में प्रारंभिक स्थिति के अनुरूप अंतर समीकरण का लगभग आंशिक समाधान खोजें।

पाठ के अंत में किसी कार्य का एक अनुमानित उदाहरण। एल्गोरिदम के बिंदुओं को क्रमांकित नहीं किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, चरणों के बीच खाली रेखाएं छोड़कर), लेकिन मेरा सुझाव है कि शुरुआती लोग एक सख्त टेम्पलेट का पालन करें।

विचाराधीन कार्य पर अधिक ध्यान देने की आवश्यकता है - यदि आप किसी भी कदम पर गलती करते हैं, तो बाकी सब भी गलत होगा! इसलिए, आपका स्पष्ट दिमाग घड़ी की कल की तरह काम करना चाहिए। अफ़सोस, ऐसा नहीं है अभिन्नया डिफ्यूज़र, जिन्हें थकान की स्थिति में भी विश्वसनीय रूप से हल किया जा सकता है, क्योंकि वे एक प्रभावी जांच करने की अनुमति देते हैं।

व्यवहार में यह बहुत अधिक सामान्य है मैकलॉरिन श्रृंखला का विस्तार:

उदाहरण 4

समाधान: सिद्धांत रूप में, आप तुरंत लिख सकते हैं मैकलॉरिन विस्तार, लेकिन सामान्य मामले के साथ समस्या को औपचारिक रूप देना शुरू करना अधिक अकादमिक है:

प्रारंभिक स्थिति के तहत एक अंतर समीकरण के एक विशेष समाधान के विस्तार का रूप है:

इस मामले में, इसलिए:

0) शर्त के अनुसार।

खैर आप क्या कर सकते हैं... आशा करते हैं कि शून्य कम हों।

1) आइए गणना करें। पहला व्युत्पन्न उपयोग के लिए पहले से ही तैयार है। आइए मानों को प्रतिस्थापित करें:

2) आइए दूसरा व्युत्पन्न खोजें:

और आइए इसमें स्थानापन्न करें:

चीजें अच्छी हो गईं!

3) खोजें . मैं इसे विस्तार से लिखूंगा:

ध्यान दें कि सामान्य बीजीय नियम डेरिवेटिव पर लागू होते हैं: अंतिम चरण में समान शब्द लाना और उत्पाद को घात के रूप में लिखना: (ibid.)।

आइए कड़ी मेहनत से हासिल की गई हर चीज़ को प्रतिस्थापित करें:

तीन गैर-शून्य मान पैदा होते हैं।

हम मैकलॉरिन सूत्र में "बोल्ड" संख्याओं को प्रतिस्थापित करते हैं, जिससे विशेष समाधान का अनुमानित विस्तार प्राप्त होता है:

उत्तर:

इसे स्वयं हल करने के लिए:

उदाहरण 5

घात श्रृंखला के पहले तीन गैर-शून्य पदों के योग के रूप में दी गई प्रारंभिक स्थिति के अनुरूप अंतर समीकरण का लगभग एक विशेष समाधान प्रस्तुत करें।

पाठ के अंत में एक नमूना डिज़ाइन।

जैसा कि आप देख सकते हैं, समस्या एक विशेष विस्तार के साथ है मैकलॉरिन श्रृंखलासामान्य मामले से भी अधिक कठिन निकला। विचाराधीन कार्य की जटिलता, जैसा कि हमने अभी देखा, विघटन में नहीं, बल्कि विभेदीकरण की कठिनाइयों में निहित है। इसके अलावा, कभी-कभी आपको 5-6 डेरिवेटिव (या इससे भी अधिक) ढूंढने पड़ते हैं, जिससे त्रुटि का खतरा बढ़ जाता है। और पाठ के अंत में, मैं बढ़ी हुई जटिलता के कुछ कार्य प्रस्तुत करता हूँ:

उदाहरण 6

मैकलॉरिन श्रृंखला में एक विशेष समाधान के विस्तार का उपयोग करके अंतर समीकरण को लगभग हल करें, खुद को श्रृंखला के पहले तीन गैर-शून्य शब्दों तक सीमित रखें।

समाधान: हमारे पास दूसरे क्रम का अंतर है, लेकिन यह व्यावहारिक रूप से मामले को नहीं बदलता है। शर्त के अनुसार, हमें तुरंत मैकलॉरिन श्रृंखला का उपयोग करने के लिए कहा जाता है, जिसे हम उपयोग करने से नहीं चूकेंगे। आइए अधिक शर्तों को लेते हुए, परिचित विस्तार को लिखें:

एल्गोरिथ्म बिल्कुल वैसा ही काम करता है:

0)- शर्त के अनुसार।

1)- शर्त के अनुसार.

2) आइए दूसरे व्युत्पन्न के संबंध में मूल समीकरण को हल करें:।

और आइए प्रतिस्थापित करें:

पहला गैर-शून्य मान

डेरिवेटिव पर क्लिक करें और प्रतिस्थापन करें:

आइए स्थानापन्न करें और:

आइए स्थानापन्न करें:

दूसरा गैर-शून्य मान.

5) - जिस तरह से हम समान डेरिवेटिव प्रस्तुत करते हैं।

आइए स्थानापन्न करें:

आइए स्थानापन्न करें:

अंत में। हालाँकि, यह और भी बुरा हो सकता है।

इस प्रकार, वांछित विशेष समाधान का अनुमानित विस्तार है:

शक्ति श्रृंखला का उपयोग करके विभेदक समीकरणों को एकीकृत करना संभव है।

फॉर्म के एक रैखिक अंतर समीकरण पर विचार करें:

यदि इस समीकरण के सभी गुणांकों और दाहिनी ओर को एक निश्चित अंतराल में अभिसरण करने वाली शक्ति श्रृंखला में विस्तारित किया जाता है, तो शून्य बिंदु के कुछ छोटे पड़ोस में इस समीकरण का एक समाधान होता है जो प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है।

इस समाधान को एक शक्ति श्रृंखला द्वारा दर्शाया जा सकता है:

समाधान खोजने के लिए अज्ञात स्थिरांकों को निर्धारित करना बाकी है सी मैं .

इस समस्या का समाधान हो सकता है अनिश्चित गुणांकों की तुलना की विधि. हम वांछित फ़ंक्शन के लिए लिखित अभिव्यक्ति को मूल अंतर समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, शक्ति श्रृंखला (विभेदन, जोड़, घटाव, गुणा इत्यादि) के साथ सभी आवश्यक संचालन करते हैं।

फिर हम गुणांकों को समान डिग्री पर बराबर करते हैं एक्ससमीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों पर। परिणामस्वरूप, प्रारंभिक स्थितियों को ध्यान में रखते हुए, हमें समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है जिससे हम क्रमिक रूप से गुणांक निर्धारित करते हैं सी मैं .

ध्यान दें कि यह विधि अरेखीय अवकल समीकरणों पर भी लागू होती है।

उदाहरण।समीकरण का हल खोजें
प्रारंभिक शर्तों के साथ य(0)=1, य’(0)=0.

हम फॉर्म में समीकरण का समाधान ढूंढेंगे

हम परिणामी अभिव्यक्तियों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

यहाँ से हमें मिलता है:

………………

हम वांछित फ़ंक्शन और उसके पहले व्युत्पन्न के लिए प्रारंभिक शर्तों को अभिव्यक्तियों में प्रतिस्थापित करके प्राप्त करते हैं:

अंततः हमें मिलता है:

कुल:

श्रृंखला का उपयोग करके अवकल समीकरणों को हल करने की एक और विधि है। यह कहा जाता है अनुक्रमिक विभेदन विधि.

आइए उसी उदाहरण को देखें. हम मैकलॉरिन श्रृंखला में अज्ञात फ़ंक्शन के विस्तार के रूप में अंतर समीकरण का समाधान ढूंढेंगे।

यदि प्रारंभिक शर्तें दी गई हैं य(0)=1, य’(0)=0 मूल अंतर समीकरण में प्रतिस्थापित करें, हमें वह मिलता है

इसके बाद, हम विभेदक समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं
और हम इसे क्रमिक रूप से अलग करेंगे एक्स.

प्राप्त मूल्यों को प्रतिस्थापित करने के बाद हमें प्राप्त होता है:

कॉची मानदंड.

(श्रृंखला के अभिसरण के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें)

अनुक्रम के क्रम में
अभिसरण था, यह किसी के लिए आवश्यक और पर्याप्त है
ऐसी एक संख्या थीएन, वह परएन > एनऔर कोई भीपी> 0, जहाँ p एक पूर्णांक है, निम्नलिखित असमानता होगी:

.

सबूत. (आवश्यकता)

होने देना
, फिर किसी भी संख्या के लिए
एक संख्या N ऐसी है जो असमानता है

n>N होने पर पूरा होता है। n>N और किसी पूर्णांक p>0 के लिए भी असमानता कायम है
. दोनों असमानताओं को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

आवश्यकता सिद्ध हो चुकी है। हम पर्याप्तता के प्रमाण पर विचार नहीं करेंगे.

आइए हम श्रृंखला के लिए कॉची मानदंड तैयार करें।

श्रृंखला के क्रम में
अभिसरण था, यह किसी के लिए आवश्यक और पर्याप्त है
वहाँ एक नंबर थाएनऐसे कि परएन> एनऔर कोई भीपी>0 असमानता कायम रहेगी

.

हालाँकि, व्यवहार में, कॉची मानदंड का सीधे उपयोग करना बहुत सुविधाजनक नहीं है। इसलिए, एक नियम के रूप में, सरल अभिसरण परीक्षणों का उपयोग किया जाता है:

परिणाम।अगर एफ(एक्स) और  (एक्स)- अंतराल (ए, बी] और पर निरंतर कार्य
फिर अभिन्न
और
अभिसरण के संदर्भ में समान व्यवहार करें।

बिजली की श्रृंखला।

शक्ति श्रृंखला का उपयोग करके विभेदक समीकरणों को एकीकृत करना संभव है।

फॉर्म के एक रैखिक अंतर समीकरण पर विचार करें:

यदि इस समीकरण के सभी गुणांकों और दाहिनी ओर को एक निश्चित अंतराल में अभिसरण करने वाली शक्ति श्रृंखला में विस्तारित किया जाता है, तो शून्य बिंदु के कुछ छोटे पड़ोस में इस समीकरण का एक समाधान होता है जो प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है।

इस समाधान को एक शक्ति श्रृंखला द्वारा दर्शाया जा सकता है:

समाधान खोजने के लिए अज्ञात स्थिरांकों को निर्धारित करना बाकी है सी मैं.

इस समस्या का समाधान हो सकता है अनिश्चित गुणांकों की तुलना की विधि. हम वांछित फ़ंक्शन के लिए लिखित अभिव्यक्ति को मूल अंतर समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, शक्ति श्रृंखला (विभेदन, जोड़, घटाव, गुणा इत्यादि) के साथ सभी आवश्यक संचालन करते हैं।

फिर हम गुणांकों को समान डिग्री पर बराबर करते हैं एक्ससमीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों पर। परिणामस्वरूप, प्रारंभिक स्थितियों को ध्यान में रखते हुए, हमें समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है जिससे हम क्रमिक रूप से गुणांक निर्धारित करते हैं सी मैं.

ध्यान दें कि यह विधि अरेखीय अवकल समीकरणों पर भी लागू होती है।

उदाहरण।प्रारंभिक स्थितियों के साथ समीकरण का हल खोजें y(0)=1, y'(0)=0.

हम फॉर्म में समीकरण का समाधान ढूंढेंगे

हम परिणामी अभिव्यक्तियों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

यहाँ से हमें मिलता है:

………………

हम वांछित फ़ंक्शन और उसके पहले व्युत्पन्न के लिए प्रारंभिक शर्तों को अभिव्यक्तियों में प्रतिस्थापित करके प्राप्त करते हैं:

अंततः हमें मिलता है:

श्रृंखला का उपयोग करके अवकल समीकरणों को हल करने की एक और विधि है। यह कहा जाता है अनुक्रमिक विभेदन की विधि.

आइए उसी उदाहरण को देखें. हम मैकलॉरिन श्रृंखला में अज्ञात फ़ंक्शन के विस्तार के रूप में अंतर समीकरण का समाधान ढूंढेंगे।

यदि प्रारंभिक शर्तें दी गई हैं y(0)=1, y'(0)=0मूल अंतर समीकरण में प्रतिस्थापित करें, हमें वह मिलता है

प्राप्त मूल्यों को प्रतिस्थापित करने के बाद हमें प्राप्त होता है:

फोरियर श्रेणी।

(जीन बैपटिस्ट जोसेफ फूरियर (1768 - 1830) - फ्रांसीसी गणितज्ञ)

त्रिकोणमितीय श्रृंखला.

परिभाषा।त्रिकोणमितीय श्रृंखलाफॉर्म की एक श्रृंखला कहा जाता है:

या, संक्षेप में,

वास्तविक संख्या ए आई, बी आईत्रिकोणमितीय श्रेणी के गुणांक कहलाते हैं।

यदि ऊपर प्रस्तुत प्रकार की एक श्रृंखला अभिसरण करती है, तो इसका योग अवधि 2p के साथ एक आवधिक कार्य है, क्योंकि कार्य पाप एनएक्सऔर क्योंकि एनएक्स 2पी की अवधि के साथ आवधिक कार्य भी।

त्रिकोणमितीय श्रृंखला को खंड पर समान रूप से अभिसरण होने दें [-p; पी], और इसलिए आवधिकता के कारण किसी भी खंड पर, और इसका योग बराबर है एफ(एक्स).

आइए हम इस श्रृंखला के गुणांक निर्धारित करें।

इस समस्या को हल करने के लिए हम निम्नलिखित समानताओं का उपयोग करते हैं:

इन समानताओं की वैधता त्रिकोणमितीय सूत्रों के इंटीग्रैंड के अनुप्रयोग से होती है। अधिक जानकारी के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों को एकीकृत करना देखें।

क्योंकि समारोह एफ(एक्स)अंतराल पर निरंतर है [-p; पी], तो एक अभिन्न है

यह परिणाम इसी तथ्य के फलस्वरूप प्राप्त हुआ है।

यहाँ से हमें मिलता है:

इसी प्रकार, हम किसी फ़ंक्शन के श्रृंखला विस्तार के लिए अभिव्यक्ति को पाप से गुणा करते हैं एनएक्सऔर -p से p तक की सीमा में एकीकृत करें।

हम पाते हैं:

गुणांक के लिए अभिव्यक्ति एक 0गुणांक व्यक्त करने का एक विशेष मामला है एक.

इस प्रकार, यदि फ़ंक्शन एफ(एक्स)- अवधि 2पी का कोई भी आवधिक कार्य, अंतराल पर निरंतर [-पी; पी] या इस खंड पर पहली तरह के असंततता बिंदुओं की एक सीमित संख्या होने पर, फिर गुणांक

मौजूद हैं और बुलाए गए हैं फूरियर गुणांकसमारोह के लिए एफ(एक्स).

परिभाषा।फूरियर के पाससमारोह के लिए एफ(एक्स)त्रिकोणमितीय श्रृंखला कहलाती है जिसके गुणांक फूरियर गुणांक होते हैं। यदि फ़ंक्शन की फूरियर श्रृंखला एफ(एक्स)निरंतरता के सभी बिंदुओं पर इसमें अभिसरण होता है, तो हम कहते हैं कि फ़ंक्शन एफ(एक्स)फूरियर श्रृंखला में विस्तारित होता है।

फूरियर श्रृंखला में विघटनशीलता के पर्याप्त संकेत।

प्रमेय. (डिरिचलेट प्रमेय) यदि फ़ंक्शन f(x) की अवधि 2p और खंड पर है

[-p;p] निरंतर है या इसमें पहली तरह के असंततता बिंदुओं और खंड की एक सीमित संख्या है

[-p;p] को खंडों की एक सीमित संख्या में विभाजित किया जा सकता है ताकि उनमें से प्रत्येक के अंदर फ़ंक्शन f(x) मोनोटोनिक हो, फिर फ़ंक्शन f(x) के लिए फूरियर श्रृंखला x के सभी मानों के लिए अभिसरण करती है, और फ़ंक्शन f(x) की निरंतरता के बिंदुओं पर इसका योग f(x) के बराबर है, और असंततता के बिंदुओं पर इसका योग बराबर है, यानी। बाएँ और दाएँ सीमा मानों का अंकगणितीय माध्य। इस मामले में, फ़ंक्शन f(x) की फूरियर श्रृंखला फ़ंक्शन f(x) के निरंतरता अंतराल से संबंधित किसी भी खंड पर समान रूप से परिवर्तित होती है।

एक फलन f(x) जिसके लिए डिरिक्लेट के प्रमेय की शर्तें संतुष्ट होती हैं, कहलाता है टुकड़े-टुकड़े एकरसखंड पर [-पी;पी]।

प्रमेय. यदि फ़ंक्शन f(x) की अवधि 2p है, तो इसके अलावा, f(x) और इसका व्युत्पन्न f'(x) अंतराल [-p;p] पर निरंतर फ़ंक्शन हैं या उनके पास असंततता बिंदुओं की एक सीमित संख्या है। इस अंतराल पर पहले प्रकार, फिर श्रृंखला फूरियर फ़ंक्शन f(x) x के सभी मानों के लिए अभिसरण करता है, और निरंतरता के बिंदुओं पर इसका योग f(x) के बराबर होता है, और असंततता के बिंदुओं पर यह के बराबर होता है। इस मामले में, फ़ंक्शन f(x) की फूरियर श्रृंखला फ़ंक्शन f(x) के निरंतरता अंतराल से संबंधित किसी भी खंड पर समान रूप से परिवर्तित होती है।

एक फ़ंक्शन जो इस प्रमेय की शर्तों को पूरा करता है उसे कहा जाता है टुकड़ों में - चिकनाखंड पर [-पी;पी]।

एक गैर-आवधिक फ़ंक्शन का फूरियर श्रृंखला विस्तार।

एक गैर-आवधिक फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करने की समस्या, सिद्धांत रूप में, एक आवधिक फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करने से अलग नहीं है।

आइए फ़ंक्शन कहते हैं एफ(एक्स)एक अंतराल पर दिया गया है और इस अंतराल पर टुकड़े-टुकड़े एकरस है। एक मनमाने ढंग से आवधिक टुकड़े-टुकड़े मोनोटोनिक फ़ंक्शन पर विचार करें एफ 1 (एक्स)अवधि के साथ 2T ³ ib-aï, खंड पर फ़ंक्शन f(x) के साथ मेल खाता है।

ए - 2टी ए बी ए+2टी ए + 4टी एक्स

तो समारोह एफ(एक्स)जोड़ा गया है। अब समारोह एफ 1 (एक्स)फूरियर श्रृंखला में विस्तारित होता है। खंड के सभी बिंदुओं पर इस श्रृंखला का योग फ़ंक्शन के साथ मेल खाता है एफ(एक्स),वे। हम यह मान सकते हैं कि function एफ(एक्स)खंड पर फूरियर श्रृंखला में विस्तारित किया गया।

इस प्रकार, यदि फ़ंक्शन f(x) 2p के बराबर अंतराल पर दिया गया है, तो यह एक आवधिक फ़ंक्शन के श्रृंखला विस्तार से अलग नहीं है। यदि जिस खंड पर फ़ंक्शन दिया गया है वह 2p से कम है, तो फ़ंक्शन को अंतराल (बी, ए + 2पी) तक बढ़ाया जाता है ताकि फूरियर श्रृंखला में विस्तार की शर्तें संरक्षित रहें।

आम तौर पर, इस मामले में, लंबाई 2p के एक खंड (अंतराल) पर दिए गए फ़ंक्शन की निरंतरता को अनंत तरीकों से निष्पादित किया जा सकता है, इसलिए परिणामी श्रृंखला के योग अलग-अलग होंगे, लेकिन वे दिए गए के साथ मेल खाएंगे खंड पर फ़ंक्शन f(x)।

सम और विषम कार्यों के लिए फूरियर श्रृंखला।

आइए हम सम और विषम फलनों के निम्नलिखित गुणों पर ध्यान दें:

2) दो सम और विषम फलनों का गुणनफल एक सम फलन होता है।

3) सम और विषम फलनों का गुणनफल एक विषम फलन होता है।

सम और विषम फलनों की परिभाषा के आधार पर इन गुणों की वैधता आसानी से सिद्ध की जा सकती है।

यदि f(x) 2p अवधि के साथ एक सम आवर्त फलन है, जो फूरियर श्रृंखला में विस्तार की शर्तों को संतुष्ट करता है, तो हम लिख सकते हैं:

इस प्रकार, एक सम फलन के लिए फूरियर श्रृंखला लिखी गई है:

इसी प्रकार, हम एक विषम फ़ंक्शन के लिए फूरियर श्रृंखला विस्तार प्राप्त करते हैं:

उदाहरण।अंतराल [-p;p] पर अवधि T = 2p के साथ एक फूरियर श्रृंखला में एक आवधिक फ़ंक्शन का विस्तार करें।

दिया गया फ़ंक्शन विषम है, इसलिए, हम फूरियर गुणांक को इस रूप में देखते हैं:

परिभाषा।कार्यों की ऑर्थोगोनल प्रणाली पर फूरियर श्रृंखला j 1 (x), j 2 (x), …,jn(x) को इस प्रकार की श्रृंखला कहा जाता है:

जिनके गुणांक सूत्र द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

कहाँ एफ(एक्स)= कार्यों की ऑर्थोगोनल प्रणाली के साथ एक खंड पर समान रूप से अभिसरण करने वाली श्रृंखला का योग है। एफ(एक्स) –कोई भी फ़ंक्शन जो निरंतर है या खंड पर पहली तरह के असंततता बिंदुओं की एक सीमित संख्या है।

कार्यों की एक ऑर्थोनॉर्मल प्रणाली के मामले में, गुणांक निर्धारित किए जाते हैं:

कंप्यूटर संस्करण का उपयोग करते समय " उच्च गणित पाठ्यक्रम"ऐसा प्रोग्राम चलाना संभव है जो एक मनमाने फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करता है।

कजाकिस्तान गणराज्य के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय

उत्तर कजाकिस्तान राज्य विश्वविद्यालय

उन्हें। एम. कोज़ीबायेवा

सूचना प्रौद्योगिकी संकाय

गणित विभाग

कोर्सवर्क संरक्षित

"___________" की रेटिंग के साथ

"___"___________ वर्ष 2013

सिर विभाग____________

ए. ताडज़िगिटोव

गणित में पाठ्यक्रम कार्य

"विभेदक समीकरणों का एकीकरण

पावर श्रृंखला का उपयोग करना"

प्रमुख: वलीवा एम.बी. ____________

पेट्रोपावलोव्स्क 2013

अनुकूलन

बेरिलगेन कुर्स्तिक ज़ुमिस्ता क़तरलारमेन ज़ेन डिफरेंशियल्स टेंडेमेलरमेन बेलेनिस्टी थ्योरीलिक सुरक्तर करास्टिरिलगन। एक इंटीग्रलडौयिन मायसलडरी झेने मंगनाज़ कतरलार्डिन कोमेगिमेन करास्टिरिलगन के विभेदक।

टिप्पणी

यह पाठ्यक्रम कार्य श्रृंखला और अंतर समीकरणों से संबंधित सैद्धांतिक मुद्दों की जांच करता है। घात श्रृंखला का उपयोग करके विभेदक समीकरणों को एकीकृत करने के उदाहरणों पर विचार किया जाता है।

दिए गए कार्य को सैद्धांतिक प्रश्न माना जाता है जो श्रृंखला और अंतर समीकरणों से संबंधित हैं। पावर श्रृंखला का उपयोग करके एकीकरण आंशिक अंतर समीकरणों के उदाहरण माने जाते हैं।

परिचय

श्रृंखला और विभेदक समीकरणों से संबंधित बुनियादी अवधारणाएँ

1 पंक्तियाँ. बुनियादी अवधारणाओं। अभिसरण का आवश्यक संकेत

2 शक्ति श्रृंखला. शक्ति श्रृंखला के गुण

3 टेलर पंक्ति. मैकलॉरिन श्रृंखला

4 विभेदक समीकरण

5 श्रृंखला का उपयोग करके विभेदक समीकरणों को एकीकृत करना

विभेदक समीकरणों को एकीकृत करने में पावर श्रृंखला का उपयोग करने के उदाहरण

1 हवादार समीकरण

2 बेसेल समीकरण

3 एकीकरण उदाहरण

मेपल में एकीकरण के 4 उदाहरण

निष्कर्ष

परिचय

शब्द "डिफरेंशियल इक्वेशन" लीबनिज़ (1676, प्रकाशित 1684) से आया है। विभेदक समीकरणों पर शोध की शुरुआत लीबनिज़ और न्यूटन के समय से हुई, जिनके कार्यों में ऐसे समीकरणों की ओर ले जाने वाली पहली समस्याओं का अध्ययन किया गया था। लीबनिज़, न्यूटन, भाइयों जे. और आई. बर्नौली ने साधारण अंतर समीकरणों को एकीकृत करने के लिए तरीके विकसित किए। एक सार्वभौमिक विधि के रूप में, शक्ति श्रृंखला में अंतर समीकरणों के अभिन्न अंग के विस्तार का उपयोग किया गया था।

आजकल, उच्च-शक्ति कंप्यूटिंग उपकरणों के आगमन से जुड़े विज्ञान में कम्प्यूटेशनल तरीकों के व्यापक परिचय के लिए गणित की विभिन्न शाखाओं और विशेष रूप से, सामान्य अंतर समीकरणों के सिद्धांत के अनुभागों के महत्व के पुनर्मूल्यांकन की आवश्यकता होती है। वर्तमान में, विभेदक समीकरणों के समाधानों के गुणात्मक अनुसंधान के तरीकों के साथ-साथ समाधानों की अनुमानित खोज के तरीकों का महत्व बढ़ गया है।

कई विभेदक समीकरणों के समाधान प्राथमिक कार्यों या चतुर्भुजों में व्यक्त नहीं किए जाते हैं। इन मामलों में, अंतर समीकरणों को एकीकृत करने के लिए अनुमानित तरीकों का उपयोग किया जाता है। ऐसी ही एक विधि किसी समीकरण के समाधान को घात श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत करना है; इस श्रृंखला के पदों की परिमित संख्या का योग लगभग वांछित समाधान के बराबर होगा। यह चुने गए शोध विषय की प्रासंगिकता निर्धारित करता है।

इस कार्य का उद्देश्य: विभेदक समीकरणों के एकीकरण में शक्ति श्रृंखला पद्धति का उपयोग दिखाना।

अध्ययन का उद्देश्य पावर श्रृंखला विधि का उपयोग करके अंतर समीकरणों को एकीकृत करने की प्रक्रिया है।

अध्ययन का विषय घात श्रृंखला द्वारा विभेदक समीकरणों को एकीकृत करने के रूप, तरीके और साधन हैं।

लक्ष्य के अनुसार इस कार्य के मुख्य उद्देश्य तैयार किये जा सकते हैं:

श्रृंखला और अवकल समीकरणों से संबंधित बुनियादी अवधारणाओं की समीक्षा करें।

घात श्रृंखला का उपयोग करके विभेदक समीकरणों को एकीकृत करने की विधि का विश्लेषण करें।

विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए शक्ति श्रृंखला विधि लागू करें।

कार्य की संरचना: शीर्षक पृष्ठ, कार्य असाइनमेंट प्रपत्र, सार, सामग्री, परिचय, मुख्य भाग, निष्कर्ष, संदर्भों की सूची।

कार्य के मुख्य भाग में दो अध्याय हैं। पहला अध्याय श्रृंखला, शक्ति श्रृंखला, टेलर श्रृंखला और अंतर समीकरणों की अवधारणाओं को प्रकट करता है। दूसरे अध्याय में, शक्ति श्रृंखला द्वारा अंतर समीकरणों के एकीकरण के उदाहरणों पर विचार किया गया है।

कार्य के सैद्धांतिक भाग का अध्ययन करने के लिए, प्रयुक्त साहित्य की सूची में इंगित शैक्षिक साहित्य और पत्रिकाओं की सामग्री का उपयोग किया गया था।

कार्य की मात्रा: 26 पृष्ठ।

1. श्रृंखला और विभेदक समीकरणों से संबंधित बुनियादी अवधारणाएँ

1.1 पंक्तियाँ। बुनियादी अवधारणाओं। अभिसरण का आवश्यक संकेत

गणितीय अनुप्रयोगों में, साथ ही अर्थशास्त्र, सांख्यिकी और अन्य क्षेत्रों में कुछ समस्याओं को हल करने में, अनंत संख्या वाले शब्दों पर विचार किया जाता है। यहां हम ऐसी परिभाषा देंगे कि ऐसी राशियों का क्या मतलब है।

मान लीजिए कि एक अनंत संख्या अनुक्रम दिया गया है। एक संख्या श्रृंखला या बस एक श्रृंखला रूप की एक अभिव्यक्ति (योग) है

,(1.1)

संख्याएँ किसी श्रृंखला के सदस्य कहलाती हैं, श्रृंखला का उभयनिष्ठ या nवाँ सदस्य।

श्रृंखला (1.1) को परिभाषित करने के लिए, श्रृंखला के nवें पद की संख्या द्वारा गणना करने के प्राकृतिक तर्क के कार्य को निर्दिष्ट करना पर्याप्त है

उदाहरण 1.1. होने देना । पंक्ति

(1.2)

हार्मोनिक श्रृंखला कहलाती है।

श्रृंखला (1.1) के पदों से हम आंशिक योगों का एक संख्यात्मक अनुक्रम बनाते हैं कहाँ - श्रृंखला के पहले पदों का योग, जिसे nवाँ आंशिक योग कहा जाता है, अर्थात।

(1.3)

संख्या क्रम संख्या में असीमित वृद्धि के साथ यह हो सकता है:

) एक सीमित सीमा है;

) की कोई परिमित सीमा नहीं है (सीमा मौजूद नहीं है या अनंत के बराबर है)।

श्रृंखला (1.1) को अभिसरण कहा जाता है यदि इसके आंशिक योगों के अनुक्रम (1.3) की एक सीमित सीमा है, अर्थात।

इस स्थिति में, संख्या को श्रृंखला का योग (1.1) कहा जाता है और लिखा जाता है

श्रृंखला (1.1) को अपसारी कहा जाता है यदि इसके आंशिक योगों के अनुक्रम की कोई सीमित सीमा नहीं है। अपसारी श्रृंखला के लिए कोई राशि निर्दिष्ट नहीं की गई है।

इस प्रकार, एक अभिसरण श्रृंखला (1.1) का योग ज्ञात करने की समस्या इसके आंशिक योगों के अनुक्रम की सीमा की गणना करने के बराबर है।

प्रमेय का प्रमाण इस तथ्य से मिलता है कि , और अगर

तो, S श्रृंखला (1.1) का योग है

शर्त (1.4) श्रृंखला के अभिसरण के लिए एक आवश्यक लेकिन पर्याप्त शर्त नहीं है। अर्थात्, यदि श्रृंखला का सामान्य पद शून्य हो जाता है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि श्रृंखला अभिसरण करती है। उदाहरण के लिए, हार्मोनिक श्रृंखला के लिए (1.2)

हालाँकि, यह अलग हो जाता है।

उपफल (किसी शृंखला के विचलन का पर्याप्त संकेत): यदि शृंखला का उभयनिष्ठ पद शून्य की ओर प्रवृत्त नहीं होता है, तो यह शृंखला विसरित हो जाती है।

उदाहरण 1.2. अभिसरण के लिए श्रृंखला का परीक्षण करें

इस शृंखला के लिए इसलिए, यह शृंखला अलग हो जाती है।

1.1

1.2 पावर श्रृंखला। शक्ति श्रृंखला के गुण

पावर श्रृंखला कार्यात्मक श्रृंखला का एक विशेष मामला है।

एक शक्ति श्रृंखला प्रपत्र की एक कार्यात्मक श्रृंखला है

यहां स्थिर वास्तविक संख्याएं हैं जिन्हें शक्ति श्रृंखला गुणांक कहा जाता है;

कुछ स्थिर संख्या;

एक वेरिएबल जो वास्तविक संख्याओं के सेट से मान लेता है।

जब शक्ति श्रृंखला (1.5) का रूप ले लेती है

(1.6)

घात श्रेणी (1.5) अंतर की शक्तियों में एक श्रृंखला कहलाती है; श्रृंखला (1.6) घातों में एक श्रृंखला कहलाती है। यदि किसी चर को कोई मान दिया जाता है, तो घात श्रृंखला (1.5) (या (1.6)) एक संख्यात्मक में बदल जाती है श्रृंखला जो अभिसरण या विचलन कर सकती है।

किसी शक्ति श्रृंखला का अभिसरण क्षेत्र उन मानों का समूह है जिन पर शक्ति श्रृंखला अभिसरण करती है।

प्रमेय 1.2 (एबेल का प्रमेय): यदि शक्ति श्रृंखला (1.6) अभिसरण करती है तो यह असमानता को संतुष्ट करने वाले सभी मूल्यों के लिए बिल्कुल अभिसरण करती है, लेकिन यदि श्रृंखला (1.6) विचलन करती है तो यह असमानता को संतुष्ट करने वाले सभी मूल्यों के लिए अभिसरण करती है

एबेल का प्रमेय एक शक्ति श्रृंखला के अभिसरण क्षेत्र की संरचना का स्पष्ट विचार देता है।

प्रमेय 1.3: शक्ति श्रृंखला (1.6) के अभिसरण का क्षेत्र निम्नलिखित अंतरालों में से एक के साथ मेल खाता है:

) ; 2) ; 3) ; 4) ,

कुछ गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या कहां है या

संख्या को अभिसरण की त्रिज्या कहा जाता है, अंतराल को शक्ति श्रृंखला (1.6) के अभिसरण का अंतराल कहा जाता है।

यदि तब अभिसरण अंतराल संपूर्ण संख्या रेखा का प्रतिनिधित्व करता है

यदि तब अभिसरण का अंतराल बिंदु तक घट जाता है

नोट: यदि शक्ति श्रृंखला (1.2) के लिए अभिसरण अंतराल है, तो - शक्ति श्रृंखला के लिए अभिसरण अंतराल (1.5)।

प्रमेय 1.3 से यह पता चलता है कि शक्ति श्रृंखला (1.6) के अभिसरण के क्षेत्र को व्यावहारिक रूप से खोजने के लिए, इसके अभिसरण की त्रिज्या को खोजने और अभिसरण अंतराल के अंत में इस श्रृंखला के अभिसरण के प्रश्न को स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है, अर्थात। पर और

किसी शक्ति श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या निम्नलिखित सूत्रों में से किसी एक का उपयोग करके पाई जा सकती है:

डी'अलेम्बर्ट का सूत्र:

कॉची सूत्र:

उदाहरण 1.3. शक्ति श्रृंखला के अभिसरण त्रिज्या, अभिसरण अंतराल और अभिसरण क्षेत्र का पता लगाएं

आइए सूत्र का उपयोग करके इस श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या ज्ञात करें

हमारे मामले में

परिणामस्वरूप, इस श्रृंखला के अभिसरण अंतराल का रूप है

आइए हम अभिसरण अंतराल के अंत में श्रृंखला के अभिसरण का अध्ययन करें।

जो एक हार्मोनिक श्रृंखला की तरह विचलन करता है।

जब शक्ति श्रृंखला एक संख्या श्रृंखला में बदल जाती है

.

यह एक प्रत्यावर्ती श्रृंखला है, जिसके पदों का निरपेक्ष मान घटता जाता है

अतः लीबनिज़ की कसौटी के अनुसार यह संख्या श्रृंखला अभिसरित हो जाती है।

इस प्रकार, अंतराल किसी दी गई शक्ति श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र है।

शक्ति श्रृंखला (1.6) अभिसरण अंतराल में परिभाषित एक फ़ंक्शन है, अर्थात।

यहां फ़ंक्शन के कुछ गुण दिए गए हैं:

संपत्ति 1. अभिसरण अंतराल से संबंधित किसी भी खंड पर फ़ंक्शन निरंतर है

गुण 2. फलन अंतराल पर अवकलनीय है और इसका व्युत्पन्न श्रृंखला (1.6) के पद-दर-अवधि विभेदन द्वारा पाया जा सकता है, अर्थात।

सभी के लिए

संपत्ति 3. सभी के लिए एक फ़ंक्शन का अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग श्रृंखला (1.6) के शब्द-दर-अवधि एकीकरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है, अर्थात।

सभी के लिए

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी शक्ति श्रृंखला के पद-दर-अवधि विभेदन और एकीकरण के साथ, इसके अभिसरण की त्रिज्या नहीं बदलती है, लेकिन अंतराल के अंत में इसका अभिसरण बदल सकता है।

उपरोक्त गुण पावर श्रृंखला (1.5) के लिए भी मान्य हैं।

उदाहरण 1.4. शक्ति श्रृंखला पर विचार करें

इस श्रृंखला का अभिसरण क्षेत्र, जैसा कि उदाहरण 1.3 में दिखाया गया है, अंतराल है

आइए हम इस श्रृंखला को पद दर पद अलग करें:

(1.7)

आइए हम अभिसरण अंतराल के अंत में इस श्रृंखला के व्यवहार का अध्ययन करें।

यह संख्या श्रृंखला अलग हो जाती है क्योंकि आवश्यक अभिसरण मानदंड पूरा नहीं होता है

जो अस्तित्व में नहीं है.

जब घात श्रृंखला (1.7) एक संख्या श्रृंखला में बदल जाती है

जो आवश्यक अभिसरण मानदंड पूरा नहीं होने के कारण भी अलग हो जाता है।

नतीजतन, मूल शक्ति श्रृंखला के शब्द-दर-अवधि विभेदन द्वारा प्राप्त शक्ति श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र बदल गया है और अंतराल के साथ मेल खाता है।

1.3 टेलर श्रृंखला। मैकलॉरिन श्रृंखला

मान लीजिए कि एक फलन एक बिंदु के पड़ोस में अनंत बार अवकलनीय है, अर्थात। किसी भी क्रम का व्युत्पन्न है। किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की टेलर श्रृंखला एक शक्ति श्रृंखला है

(1.8)

श्रृंखला के विशेष मामले में (1.8) को मैकलॉरिन श्रृंखला कहा जाता है:

सवाल उठता है: किन मामलों में किसी फ़ंक्शन के लिए टेलर श्रृंखला एक बिंदु के पड़ोस में अनंत बार विभेदित होती है जो फ़ंक्शन के साथ मेल खाती है?

ऐसे मामले हो सकते हैं जब किसी फ़ंक्शन की टेलर श्रृंखला अभिसरण करती है, लेकिन इसका योग बराबर नहीं होता है

आइए हम किसी फ़ंक्शन की टेलर श्रृंखला के इस फ़ंक्शन में अभिसरण के लिए पर्याप्त शर्त प्रस्तुत करें।

प्रमेय 1.4: यदि अंतराल में किसी फ़ंक्शन में किसी भी क्रम के डेरिवेटिव होते हैं और वे सभी पूर्ण मान में एक ही संख्या तक सीमित होते हैं, यानी। तब इस फ़ंक्शन की टेलर श्रृंखला इस अंतराल में से किसी के लिए अभिसरण होती है वे। समानता है

यह निर्धारित करने के लिए अलग-अलग अध्ययन की आवश्यकता है कि क्या यह समानता अभिसरण अंतराल के अंत में है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि किसी फ़ंक्शन को पावर श्रृंखला में विस्तारित किया जाता है, तो यह श्रृंखला इस फ़ंक्शन की टेलर (मैकलॉरिन) श्रृंखला है, और यह विस्तार अद्वितीय है।

1.4 विभेदक समीकरण

किसी तर्क फ़ंक्शन के लिए nवें क्रम का एक साधारण अंतर समीकरण प्रपत्र का एक संबंध है

इसके तर्कों का एक दिया गया कार्य कहां है।

गणितीय समीकरणों के इस वर्ग के नाम में, "अंतर" शब्द इस बात पर जोर देता है कि उनमें व्युत्पन्न (विभेदीकरण के परिणामस्वरूप बनने वाले कार्य) शामिल हैं; शब्द "साधारण" इंगित करता है कि वांछित फ़ंक्शन केवल एक वास्तविक तर्क पर निर्भर करता है।

एक साधारण अंतर समीकरण में वांछित फ़ंक्शन और उसके किसी भी व्युत्पन्न का तर्क स्पष्ट रूप से शामिल नहीं हो सकता है, लेकिन उच्चतम व्युत्पन्न को nवें क्रम समीकरण में शामिल किया जाना चाहिए।

उदाहरण के लिए,

ए) - प्रथम क्रम समीकरण;

बी) - तीसरे क्रम का समीकरण.

सामान्य अंतर समीकरण लिखते समय, अंतर के संदर्भ में डेरिवेटिव के लिए नोटेशन का अक्सर उपयोग किया जाता है:

में) - दूसरे क्रम का समीकरण;

जी) - एक प्रथम-क्रम समीकरण, जो समतुल्य रूप से विभाजित करने के बाद, निम्नलिखित समीकरण बनाता है:

किसी फ़ंक्शन को साधारण अवकल समीकरण का समाधान कहा जाता है, यदि इसे इसमें प्रतिस्थापित करने पर यह एक पहचान में बदल जाता है।

किसी एक विधि या किसी अन्य विधि द्वारा, उदाहरण के लिए, चयन करके, एक फ़ंक्शन ढूंढना जो समीकरण को संतुष्ट करता है, इसका मतलब इसे हल करना नहीं है। एक साधारण अंतर समीकरण को हल करने का मतलब उन सभी कार्यों को ढूंढना है जो समीकरण में प्रतिस्थापित होने पर एक पहचान बनाते हैं। समीकरण (1.10) के लिए, ऐसे कार्यों का एक परिवार मनमाना स्थिरांक का उपयोग करके बनाया जाता है और इसे nवें क्रम के साधारण अंतर समीकरण का सामान्य समाधान कहा जाता है, और स्थिरांक की संख्या समीकरण के क्रम के साथ मेल खाती है: सामान्य समाधान नहीं हो सकता है इस मामले में, समाधान को आमतौर पर समीकरण (1.10) का सामान्य अभिन्न अंग कहा जाता है।

सामान्य समाधान या सामान्य अभिन्न में सभी मनमाने स्थिरांकों को कुछ स्वीकार्य मान निर्दिष्ट करके, हम एक निश्चित फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं जिसमें अब मनमाना स्थिरांक नहीं होते हैं। इस फलन को समीकरण (1.10) का आंशिक समाधान या आंशिक समाकलन कहा जाता है। मनमाना स्थिरांक और इसलिए एक विशेष समाधान के मूल्यों को खोजने के लिए, समीकरण (1.10) की विभिन्न अतिरिक्त शर्तों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, तथाकथित प्रारंभिक शर्तों को यहां निर्दिष्ट किया जा सकता है:

प्रारंभिक स्थितियों (1.11) के दाईं ओर फ़ंक्शन और डेरिवेटिव के संख्यात्मक मान निर्दिष्ट हैं, और प्रारंभिक स्थितियों की कुल संख्या परिभाषित मनमाना स्थिरांक की संख्या के बराबर है।

प्रारंभिक स्थितियों के आधार पर समीकरण (1.10) का एक विशेष समाधान खोजने की समस्या को कॉची समस्या कहा जाता है।

1.5 श्रृंखला का उपयोग करके विभेदक समीकरणों को एकीकृत करना

सामान्य स्थिति में, प्रथम-क्रम साधारण अंतर समीकरण (ओडीई) को एकीकृत करके इसका सटीक समाधान खोजना असंभव है। इसके अलावा, यह ODE प्रणाली के लिए संभव नहीं है। इस परिस्थिति के कारण ODE और उनकी प्रणालियों को हल करने के लिए बड़ी संख्या में अनुमानित तरीकों का निर्माण हुआ। अनुमानित विधियों के बीच, तीन समूहों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है: विश्लेषणात्मक, ग्राफिकल और संख्यात्मक। बेशक, ऐसा वर्गीकरण कुछ हद तक मनमाना है। उदाहरण के लिए, यूलर की टूटी हुई रेखाओं की ग्राफिकल विधि एक अंतर समीकरण को संख्यात्मक रूप से हल करने के तरीकों में से एक को रेखांकित करती है।

पावर श्रृंखला का उपयोग करके ओडीई को एकीकृत करना एक अनुमानित विश्लेषणात्मक विधि है, जो आमतौर पर कम से कम दूसरे क्रम के रैखिक समीकरणों पर लागू होती है। सरलता के लिए, हम स्वयं को चर गुणांकों के साथ एक रैखिक सजातीय दूसरे क्रम वाले ODE पर विचार करने तक सीमित रखते हैं

(1.12)

ध्यान दें: फ़ंक्शंस की एक विस्तृत श्रेणी को फ़ॉर्म में दर्शाया जा सकता है

कुछ स्थिरांक कहाँ हैं. इस अभिव्यक्ति को शक्ति श्रृंखला कहा जाता है।

आइए मान लें कि फ़ंक्शंस को अंतराल में अभिसरण श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है:

निम्नलिखित प्रमेय मान्य है (प्रमाण को छोड़कर, हम केवल इसका सूत्रीकरण प्रस्तुत करते हैं)।

प्रमेय 1.5: यदि फ़ंक्शंस का रूप (1.13) है, तो ODE (1.12) के किसी भी समाधान को एक शक्ति श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है:

(1.14)

यह प्रमेय न केवल शक्ति श्रृंखला के रूप में समाधान का प्रतिनिधित्व करना संभव बनाता है, बल्कि, सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि यह श्रृंखला के अभिसरण (1.14) को उचित ठहराता है। सरलता के लिए, हम (1.13) और (1.14) डालते हैं और फॉर्म में ODE (1.12) का समाधान ढूंढते हैं

(1.15)

(1.15) को (1.12) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें समानता प्राप्त होती है

(1.16) को पूरा करने के लिए यह आवश्यक है कि प्रत्येक डिग्री के लिए गुणांक शून्य के बराबर हो।

इस स्थिति से हमें रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक अनंत प्रणाली प्राप्त होती है

जिससे कोई क्रमिक रूप से पता लगा सकता है कि क्या कोई मान निर्धारित करता है और (ओडीई (1.12) के लिए कॉची समस्या के मामले में) उन्हें प्रारंभिक स्थितियों में शामिल किया गया है ).

यदि फलन तर्कसंगत हैं, अर्थात्

जहां बहुपद हैं, तो उन बिंदुओं के आसपास जहां या तो शक्ति श्रृंखला के रूप में कोई समाधान मौजूद नहीं हो सकता है, और यदि यह मौजूद है, तो यह बिंदु को छोड़कर हर जगह विचलन कर सकता है। यह परिस्थिति एल. यूलर को ज्ञात थी, जिन्होंने प्रथम-क्रम समीकरण पर विचार किया

यह समीकरण शक्ति श्रृंखला से संतुष्ट होता है

हालाँकि, यह देखना मुश्किल नहीं है कि यह श्रृंखला किसी के लिए भी भिन्न है

अपसारी शक्ति श्रृंखला के रूप में ODE के समाधान को औपचारिक कहा जाता है।

2. विभेदक समीकरणों को एकीकृत करते समय पावर श्रृंखला का उपयोग करने के उदाहरण

हवादार समीकरण

वायु समीकरण का समाधान

हम एक शक्ति श्रृंखला (1.15) के रूप में खोजेंगे। तब समानता (1.16) का रूप ले लेगी

के लिए गुणांक बराबर है इसलिए, गुणांक के शून्य के बराबर होने से, हम पाते हैं कि के लिए गुणांक बराबर है यहाँ से

इस सूत्र से हमें प्राप्त होता है

इसी प्रकार हम पाते हैं

संभावनाएँ अनिश्चित बनी हुई हैं। समाधान की मूलभूत प्रणाली खोजने के लिए, हम पहले सेट करते हैं और फिर इसके विपरीत. पहले मामले में हमारे पास है

और दूसरे में

प्रमेय 1.5 के आधार पर, ये श्रृंखलाएँ संख्या रेखा पर हर जगह अभिसरण होती हैं

फ़ंक्शंस को वायु फ़ंक्शंस कहा जाता है। बड़े मूल्यों के लिए, इन कार्यों के स्पर्शोन्मुख व्यवहार को सूत्रों द्वारा वर्णित किया गया है

इन फ़ंक्शंस के ग्राफ़ चित्र 1 में दिखाए गए हैं।

चित्र 1

असीमित वृद्धि के साथ, एयरी समीकरण के किसी भी समाधान के शून्य बिना किसी सीमा के एक-दूसरे के करीब आते हैं, जो इन समाधानों के स्पर्शोन्मुख प्रतिनिधित्व से स्पष्ट है, लेकिन अभिसरण शक्ति के रूप में एयरी कार्यों के प्रतिनिधित्व से बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं है। शृंखला। इसका तात्पर्य यह है कि एक श्रृंखला का उपयोग करके ओडीई के समाधान की खोज करने की विधि, आम तौर पर लागू समस्याओं को हल करते समय बहुत कम उपयोग की होती है, और एक श्रृंखला के रूप में समाधान का प्रतिनिधित्व ही गुणात्मक गुणों का विश्लेषण करना मुश्किल बना देता है। परिणामी समाधान का.

2.1 बेसेल समीकरण

परिवर्तनशील गुणांकों के साथ रैखिक अवकल समीकरण, जिसका रूप होता है

बेसेल समीकरण कहा जाता है।

हम सामान्यीकृत शक्ति श्रृंखला के रूप में समीकरण (2.1) का समाधान ढूंढेंगे, अर्थात। स्टेपी श्रृंखला पर कुछ डिग्री के उत्पाद:

(2.2)

एक सामान्यीकृत शक्ति श्रृंखला को समीकरण (2.1) में प्रतिस्थापित करने और समीकरण के बाईं ओर प्रत्येक शक्ति के लिए गुणांक को शून्य के बराबर करने पर, हमें सिस्टम प्राप्त होता है

यह मानते हुए कि इस प्रणाली से हम पाते हैं, फिर प्रणाली के दूसरे समीकरण से हम पाते हैं और 3,5,7,... मान देने वाले समीकरण से, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सम संख्याओं वाले गुणांकों के लिए हम व्यंजक प्राप्त करते हैं

पाए गए गुणांकों को श्रृंखला (2.2) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें समाधान प्राप्त होता है

जहां गुणांक मनमाना रहता है.

सभी गुणांकों के लिए समान रूप से केवल उस स्थिति में निर्धारित किया जाता है जब यह पूर्णांक के बराबर नहीं होता है। फिर पिछले समाधान में मान को इसके साथ प्रतिस्थापित करके समाधान प्राप्त किया जा सकता है:

परिणामी शक्ति श्रृंखला सभी मूल्यों के लिए अभिसरण करती है, जिसे डी'अलेम्बर्ट के मानदंड के आधार पर आसानी से स्थापित किया जाता है। समाधान और रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, क्योंकि उनका अनुपात स्थिर नहीं है।

समाधान को एक स्थिरांक से गुणा किया गया प्रथम प्रकार के क्रम का बेसेल फ़ंक्शन (या बेलनाकार फ़ंक्शन) कहा जाता है और इसे प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है समाधान दर्शाया जाता है

स्थिरांक की आम तौर पर स्वीकृत पसंद में गामा फ़ंक्शन शामिल होता है, जो अनुचित अभिन्न द्वारा निर्धारित होता है:

नतीजतन, एक गैर-पूर्णांक संख्या के लिए समीकरण (2.1) के सामान्य समाधान का रूप होता है जहां और मनमाना स्थिरांक होते हैं।

2.2 एकीकरण उदाहरण

ऐसे मामलों में जहां समीकरण को प्रारंभिक स्थिति के तहत कॉची समस्या को हल करने की आवश्यकता होती है, टेलर श्रृंखला का उपयोग करके समाधान मांगा जा सकता है:

जहां मूल समीकरण के क्रमिक विभेदन और मूल्यों के बजाय विभेदन के परिणाम में प्रतिस्थापन द्वारा एक और व्युत्पन्न पाया जाता है और अन्य सभी बाद के व्युत्पन्न पाए जाते हैं। इसी प्रकार, टेलर श्रृंखला का उपयोग करके उच्च क्रम समीकरणों को एकीकृत किया जा सकता है।

उदाहरण 2.1. विस्तार के पहले छह गैर-शून्य पदों को लेकर टेलर श्रृंखला का उपयोग करके समीकरण को लगभग एकीकृत करें।

प्रारंभिक स्थितियों के समीकरण से हम पाते हैं इस समीकरण को विभेदित करने पर, हम क्रमिक रूप से प्राप्त करते हैं

विश्वास करना और अर्थों का प्रयोग करना हम लगातार पाते हैं कि आवश्यक समाधान का स्वरूप है

उदाहरण 2.2. विस्तार के पहले चार (गैर-शून्य) पद ज्ञात कीजिए। और

पाए गए मानों को श्रृंखला (2.3) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम निर्दिष्ट सटीकता के साथ वांछित समाधान प्राप्त करते हैं:

2.3 मेपल में एकीकरण के उदाहरण

मेपल में अंतर समीकरणों के विश्लेषणात्मक समाधान खोजने के लिए, dsolve(eq,var,options) कमांड का उपयोग करें, जहां eq अंतर समीकरण है, var अज्ञात फ़ंक्शन हैं, विकल्प पैरामीटर हैं। पैरामीटर किसी समस्या को हल करने के लिए एक विधि का संकेत दे सकते हैं, उदाहरण के लिए, डिफ़ॉल्ट रूप से एक विश्लेषणात्मक समाधान खोजा जाता है: प्रकार = सटीक। विभेदक समीकरण बनाते समय, अंतर कमांड का उपयोग व्युत्पन्न को दर्शाने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए, अंतर समीकरण को इस रूप में लिखा जाता है: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

पावर श्रृंखला के रूप में एक अंतर समीकरण का अनुमानित समाधान खोजने के लिए, dsolve कमांड में आपको चर के बाद पैरामीटर प्रकार = श्रृंखला (या बस श्रृंखला) निर्दिष्ट करना चाहिए। अपघटन के क्रम को इंगित करने के लिए, अर्थात जिस डिग्री तक अपघटन किया जाता है उसका क्रम ऑर्डर: = एन का उपयोग करके ऑर्डर की परिभाषा से पहले होना चाहिए।

यदि किसी विभेदक समीकरण का सामान्य समाधान शक्ति श्रृंखला विस्तार के रूप में मांगा जाता है, तो पाए गए विस्तार की शक्तियों के गुणांक में शून्य और उसके डेरिवेटिव आदि पर फ़ंक्शन के अज्ञात मान शामिल होंगे। आउटपुट लाइन में प्राप्त अभिव्यक्ति का रूप मैकलॉरिन श्रृंखला में वांछित समाधान के विस्तार के समान होगा, लेकिन शक्तियों के लिए अलग-अलग गुणांक के साथ। किसी विशेष समाधान को अलग करने के लिए, प्रारंभिक शर्तों आदि को निर्दिष्ट किया जाना चाहिए, और इन प्रारंभिक स्थितियों की संख्या संबंधित अंतर समीकरण के क्रम के साथ मेल खाना चाहिए।

पावर श्रृंखला में विस्तार श्रृंखला प्रकार का है, इसलिए इस श्रृंखला के साथ आगे काम करने के लिए, इसे कन्वर्ट (%, बहुपद) कमांड का उपयोग करके बहुपद में परिवर्तित किया जाना चाहिए, और फिर rhs के साथ परिणामी अभिव्यक्ति के दाईं ओर का चयन करें ( %) आज्ञा।

> cond:=y(0)=1, D(y)(0)=1, (D@@2)(y)(0)=1;

> dsolve((de,cond),y(x));

> y1:=rhs(%):

> dsolve((de,cond),y(x),series);

ध्यान दें: श्रृंखला के रूप में विभेदक समीकरण के समाधान का प्रकार श्रृंखला है, इसलिए ऐसे समाधान (गणना या प्लॉटिंग) के आगे उपयोग के लिए, इसे कन्वर्ट कमांड का उपयोग करके बहुपद में परिवर्तित किया जाना चाहिए।

विभेदक समीकरण श्रृंखला डिग्री

> कन्वर्ट(%,बहुपद): y2:=rhs(%):

> p1:=प्लॉट(y1, x=-3..3, मोटाई=2, रंग=काला):

> p2:=प्लॉट(y2, x=-3..3, लाइनस्टाइल=3, मोटाई=2, रंग=काला):

> (प्लॉट्स) के साथ: डिस्प्ले (पी1,पी2);

चित्र 2 से पता चलता है कि पावर श्रृंखला द्वारा सटीक समाधान का सबसे अच्छा अनुमान लगभग अंतराल में प्राप्त किया जाता है

चित्र 2

निष्कर्ष

पाठ्यक्रम कार्य में निर्धारित लक्ष्य पूरी तरह से प्राप्त कर लिए गए हैं, निम्नलिखित कार्य हल किए गए हैं:

श्रृंखला और अवकल समीकरणों से जुड़ी बुनियादी अवधारणाओं को परिभाषित किया गया है।

घात श्रृंखला का उपयोग करके विभेदक समीकरणों को एकीकृत करने की विधि पर विचार किया जाता है।

इस विषय पर समस्याओं का समाधान कर दिया गया है.

इस पाठ्यक्रम कार्य में, शक्ति श्रृंखला का उपयोग करके अंतर समीकरणों को एकीकृत करने की विधि के स्वतंत्र अध्ययन के दौरान छात्रों द्वारा उपयोग के लिए सामग्री का अध्ययन और व्यवस्थित किया जाता है। श्रृंखला और अवकल समीकरणों की अवधारणाओं पर विचार किया जाता है। श्रृंखला का उपयोग करके अनुमानित गणनाएँ की गईं।

इस कार्य का उपयोग तकनीकी और गणितीय विशिष्टताओं के छात्रों के लिए शिक्षण सहायता के रूप में किया जा सकता है।

कार्य के परिणाम आगे के शोध के लिए आधार के रूप में काम कर सकते हैं।

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