घूर्णन की धुरी के बारे में बलों का क्षण: बुनियादी अवधारणाएं, सूत्र, समस्या को हल करने का उदाहरण। बल के आघूर्ण का सूत्र ध्रुव और अक्ष के सापेक्ष बल के आघूर्ण का सूत्र

गतिमान वस्तुओं की समस्याओं को हल करते समय, कई मामलों में उनके स्थानिक आयामों की उपेक्षा की जाती है, जिससे भौतिक बिंदु की अवधारणा का परिचय मिलता है। एक अन्य प्रकार की समस्या के लिए, जिसमें आराम कर रहे या घूमते हुए पिंडों पर विचार किया जाता है, उनके मापदंडों और बाहरी बलों के अनुप्रयोग के बिंदुओं को जानना महत्वपूर्ण है। इस मामले में, हम घूर्णन अक्ष के सापेक्ष बल के क्षण के बारे में बात कर रहे हैं। आइए लेख में इस मुद्दे को देखें।

बल के क्षण की अवधारणा

इसे घूर्णन की एक निश्चित धुरी के सापेक्ष लाने से पहले, यह स्पष्ट करना आवश्यक है कि हम किस घटना के बारे में बात कर रहे हैं। नीचे एक चित्र है जो लंबाई d का एक रिंच दिखाता है, इसके सिरे पर एक बल F लगाया जाता है। यह कल्पना करना आसान है कि इसके प्रभाव का परिणाम रिंच को वामावर्त घुमाना और नट को खोलना होगा।

परिभाषा के अनुसार, बल का क्षण भुजा (इस मामले में d) और बल (F) का गुणनफल है, अर्थात, हम निम्नलिखित अभिव्यक्ति लिख सकते हैं: M = d*F। यह तुरंत ध्यान दिया जाना चाहिए कि उपरोक्त सूत्र स्केलर रूप में लिखा गया है, यानी, यह आपको क्षण एम के पूर्ण मूल्य की गणना करने की अनुमति देता है। जैसा कि सूत्र से देखा जा सकता है, विचाराधीन मूल्य की माप की इकाई न्यूटन है प्रति मीटर (एन*एम)।

- वेक्टर क्वांटिटी

जैसा कि ऊपर कहा गया है, क्षण M वास्तव में एक सदिश है। इस कथन को स्पष्ट करने के लिए एक अन्य आंकड़े पर विचार करें।

यहां हम लंबाई L का एक लीवर देखते हैं, जो एक अक्ष पर स्थिर है (तीर द्वारा दिखाया गया है)। कोण Φ पर इसके सिरे पर एक बल F लगाया जाता है। यह कल्पना करना कठिन नहीं है कि यह बल लीवर को ऊपर उठाने का कारण बनेगा। इस मामले में वेक्टर रूप में क्षण का सूत्र इस प्रकार लिखा जाएगा: M¯ = L¯*F¯, यहां प्रतीक के ऊपर बार का मतलब है कि प्रश्न में मात्रा एक वेक्टर है। यह स्पष्ट किया जाना चाहिए कि L¯ घूर्णन अक्ष से बल F¯ के अनुप्रयोग के बिंदु तक निर्देशित है।

दी गई अभिव्यक्ति एक क्रॉस उत्पाद है। इसके परिणामी वेक्टर (M¯) को L¯ और F¯ द्वारा निर्मित विमान के लंबवत निर्देशित किया जाएगा। क्षण M¯ की दिशा निर्धारित करने के लिए कई नियम (दायाँ हाथ, गिमलेट) हैं। उन्हें याद न रखने और सदिश L¯ और F¯ (M¯ की दिशा इस पर निर्भर करती है) के गुणन क्रम में भ्रमित न होने के लिए, आपको एक साधारण बात याद रखनी चाहिए: बल का क्षण इस प्रकार निर्देशित किया जाएगा इस तरह कि अगर इसके वेक्टर के अंत से देखा जाए, तो अभिनय बल F¯ लीवर को वामावर्त घुमाएगा। क्षण की इस दिशा को परंपरागत रूप से सकारात्मक माना जाता है। यदि सिस्टम दक्षिणावर्त घूमता है, तो परिणामी बल आघूर्ण का मान ऋणात्मक होता है।

इस प्रकार, लीवर एल के साथ विचाराधीन मामले में, एम¯ का मान ऊपर की ओर निर्देशित होता है (आंकड़े से पाठक तक)।

अदिश रूप में, क्षण का सूत्र इस प्रकार लिखा जाएगा: M = L*F*sin(180-Φ) या M = L*F*sin(Φ) (sin(180-Φ) = syn(Φ)) . साइन की परिभाषा के अनुसार, हम समानता लिख ​​सकते हैं: M = d*F, जहां d = L*sin(Φ) (चित्र और संबंधित समकोण त्रिभुज देखें)। अंतिम सूत्र पिछले पैराग्राफ में दिए गए सूत्र के समान है।

उपरोक्त गणना दर्शाती है कि त्रुटियों से बचने के लिए वेक्टर और स्केलर टॉर्क मानों के साथ कैसे काम किया जाए।

मात्रा M¯ का भौतिक अर्थ

चूँकि पिछले पैराग्राफ में चर्चा किए गए दो मामले घूर्णी गति से जुड़े हैं, हम अनुमान लगा सकते हैं कि बल के क्षण का अर्थ क्या है। यदि किसी भौतिक बिंदु पर कार्य करने वाला बल उसके रैखिक गति की गति में वृद्धि का माप है, तो बल का क्षण विचाराधीन प्रणाली के संबंध में उसकी घूर्णी क्षमता का माप है।

आइए एक स्पष्ट उदाहरण दें. कोई भी व्यक्ति इसके हैंडल को पकड़कर दरवाजा खोलता है। यह हैंडल क्षेत्र में दरवाजे को धकेल कर भी किया जा सकता है। कोई इसे काज क्षेत्र में धकेल कर क्यों नहीं खोलता? यह बहुत सरल है: जितना करीब से बल टिका पर लगाया जाता है, दरवाज़ा खोलना उतना ही मुश्किल होता है, और इसके विपरीत। पिछले वाक्य का निष्कर्ष क्षण (M = d*F) के सूत्र से होता है, जो दर्शाता है कि M = const पर d और F के मान विपरीत रूप से संबंधित हैं।

बल का क्षण - योगात्मक मात्रा

ऊपर चर्चा किए गए सभी मामलों में, केवल एक ही सक्रिय बल था। वास्तविक समस्याओं को हल करते समय स्थिति बहुत अधिक जटिल होती है। आमतौर पर, जो सिस्टम घूमते हैं या संतुलन में होते हैं वे कई मरोड़ वाली ताकतों के अधीन होते हैं, जिनमें से प्रत्येक अपना स्वयं का क्षण बनाता है। इस मामले में, समस्याओं को हल करना रोटेशन की धुरी के सापेक्ष बलों के कुल क्षण को खोजने तक कम हो जाता है।

कुल क्षण प्रत्येक बल के लिए अलग-अलग क्षणों के सामान्य योग से पाया जाता है, हालांकि, उनमें से प्रत्येक के लिए सही चिह्न का उपयोग करना याद रखें।

समस्या समाधान का उदाहरण

अर्जित ज्ञान को समेकित करने के लिए, निम्नलिखित समस्या को हल करने का प्रस्ताव है: नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए सिस्टम के लिए बल के कुल क्षण की गणना करना आवश्यक है।

हम देखते हैं कि तीन बल (F1, F2, F3) 7 मीटर लंबे लीवर पर कार्य करते हैं, और उनके घूर्णन अक्ष के सापेक्ष अनुप्रयोग के विभिन्न बिंदु होते हैं। चूंकि बलों की दिशा लीवर के लंबवत है, इसलिए मरोड़ वाले क्षण के लिए वेक्टर अभिव्यक्ति का उपयोग करने की कोई आवश्यकता नहीं है। आप अदिश सूत्र का उपयोग करके कुल क्षण एम की गणना कर सकते हैं और वांछित चिह्न सेट करना नहीं भूल सकते। चूंकि बल F1 और F3 लीवर को वामावर्त घुमाते हैं, और F2 - दक्षिणावर्त, पहले के लिए टॉर्क सकारात्मक होगा, और दूसरे के लिए - नकारात्मक। हमारे पास है: M = F1*7-F2*5+F3*3 = 140-50+75 = 165 N*m. अर्थात्, कुल क्षण सकारात्मक है और ऊपर की ओर (पाठक की ओर) निर्देशित है।

अक्ष के परितः बल का आघूर्णइस तल के साथ अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु के सापेक्ष, एक अक्ष के लंबवत समतल पर बल के प्रक्षेपण का क्षण है

किसी अक्ष के बारे में एक क्षण सकारात्मक होता है यदि बल अक्ष की ओर देखते समय विमान को अक्ष के लंबवत वामावर्त घुमाता है।

दो मामलों में अक्ष के चारों ओर बल का क्षण 0 है:

यदि बल अक्ष के समानांतर है

यदि बल अक्ष को पार करता है

यदि क्रिया रेखा और अक्ष एक ही तल में हों, तो अक्ष के परितः बल का आघूर्ण 0 के बराबर होता है।

27. किसी अक्ष के परितः बल आघूर्ण और किसी बिंदु के परितः सदिश बल आघूर्ण के बीच संबंध।

Mz(F)=Mo(F)*cosαअक्ष के सापेक्ष बल का क्षण इस अक्ष पर अक्ष के बिंदु के सापेक्ष बल के क्षण के वेक्टर के प्रक्षेपण के बराबर है।

28. किसी दिए गए केंद्र पर बलों की एक प्रणाली लाने के बारे में स्थैतिक का मुख्य प्रमेय (प्वाइन्सॉट प्रमेय)। बलों की प्रणाली का मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण।

सामान्य स्थिति में, बलों की किसी भी स्थानिक प्रणाली को एक समतुल्य प्रणाली द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जिसमें शरीर के कुछ बिंदु (कमी का केंद्र) पर लागू एक बल और बलों की इस प्रणाली के मुख्य वेक्टर के बराबर और बलों की एक जोड़ी शामिल होती है , जिसका क्षण चयनित सम्मिलन केंद्र के सापेक्ष सभी बलों के मुख्य क्षण के बराबर है।

बल प्रणाली का मुख्य सदिशवेक्टर कहा जाता है आर, इन बलों के वेक्टर योग के बराबर:

आर = एफ 1 + एफ 2 + ... + एफएन= एफमैं।

बलों की एक समतल प्रणाली के लिए, इसका मुख्य वेक्टर इन बलों की कार्रवाई के तल में निहित होता है।

बलों की प्रणाली का मुख्य बिंदुकेंद्र O के सापेक्ष को सदिश कहा जाता है एल O, बिंदु O के सापेक्ष इन बलों के सदिश क्षणों के योग के बराबर:

एलओ= एमहे( एफ 1) + एमहे( एफ 2) + ... + एमहे( एफएन)= एमहे( एफमैं)।

वेक्टर आरकेंद्र O और वेक्टर की पसंद पर निर्भर नहीं करता है एलजब केंद्र की स्थिति बदलती है, तो O आमतौर पर बदल सकता है।

पॉइन्सॉट का प्रमेय: बलों की एक मनमानी स्थानिक प्रणाली को कठोर शरीर की स्थिति को परेशान किए बिना बल प्रणाली के मुख्य वेक्टर के साथ एक बल और एक मुख्य क्षण के साथ बलों की एक जोड़ी द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। मुख्य वेक्टर एक ठोस पिंड पर कार्य करने वाले सभी बलों का ज्यामितीय योग है और बलों की कार्रवाई के तल में स्थित है। मुख्य वेक्टर को समन्वय अक्षों पर इसके प्रक्षेपणों के माध्यम से माना जाता है।

किसी ठोस पिंड के किसी बिंदु पर लगाए गए बल को दिए गए केंद्र में लाने के लिए, यह आवश्यक है: 1) बल के मापांक को बदले बिना बल को अपने समानांतर किसी दिए गए केंद्र में स्थानांतरित करें; 2) किसी दिए गए केंद्र पर, बलों की एक जोड़ी लागू करें, जिसका वेक्टर क्षण नए केंद्र के सापेक्ष स्थानांतरित बल के वेक्टर पल के बराबर है; इस जोड़ी को संलग्न जोड़ी कहा जाता है।

कमी के केंद्र की पसंद पर मुख्य क्षण की निर्भरता। कमी के नए केंद्र के बारे में मुख्य क्षण कमी के पुराने केंद्र के बारे में मुख्य क्षण के ज्यामितीय योग और मुख्य वेक्टर द्वारा कमी के नए केंद्र को पुराने के साथ जोड़ने वाले त्रिज्या वेक्टर के वेक्टर उत्पाद के बराबर है।

बलों की स्थानिक प्रणाली में कमी के 29 विशेष मामले

	प्रमुख वेक्टर और प्रमुख क्षण मान	कास्टिंग का परिणाम
		बलों की प्रणाली को बलों की एक जोड़ी में घटा दिया जाता है, जिसका क्षण मुख्य क्षण के बराबर होता है (बलों की प्रणाली का मुख्य क्षण कमी के केंद्र ओ की पसंद पर निर्भर नहीं होता है)।
		बलों की प्रणाली केंद्र O से गुजरने के बराबर परिणामी तक कम हो जाती है।
		बलों की प्रणाली मुख्य वेक्टर के बराबर और उसके समानांतर और उससे कुछ दूरी पर स्थित परिणामी तक कम हो जाती है। परिणामी की क्रिया रेखा की स्थिति ऐसी होनी चाहिए कि कमी के केंद्र O के सापेक्ष उसके क्षण की दिशा केंद्र O के सापेक्ष दिशा के साथ मेल खाती हो।
	, और सदिश लंबवत नहीं हैं	बलों की प्रणाली को एक डायना (पावर स्क्रू) में बदल दिया जाता है - बल का एक संयोजन और इस बल के लंबवत विमान में स्थित बलों की एक जोड़ी।
		किसी ठोस पिंड पर लागू बलों की प्रणाली संतुलित होती है।

30. गतिशीलता में कमी.यांत्रिकी में, गतिकी किसी ठोस पिंड पर कार्य करने वाले बलों और बलों के जोड़े () के ऐसे समूह को कहा जाता है, जिसमें बल बलों के जोड़े की क्रिया के तल के लंबवत होता है। बलों की एक जोड़ी के वेक्टर पल का उपयोग करके, हम गतिशीलता को एक बल और एक जोड़ी के संयोजन के रूप में भी परिभाषित कर सकते हैं जिसका बल बलों की जोड़ी के वेक्टर पल के समानांतर है।

केंद्रीय पेचदार अक्ष का समीकरणआइए मान लें कि कमी के केंद्र पर, निर्देशांक की उत्पत्ति के रूप में लिया गया, समन्वय अक्षों पर प्रक्षेपण के साथ मुख्य वेक्टर और अनुमानों के साथ मुख्य क्षण प्राप्त होता है। बलों की प्रणाली को कमी के केंद्र में लाते समय O 1 (चित्र) .30), हम मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण, वेक्टर और एक लिनामा बनाने के साथ एक डायना प्राप्त करते हैं। समानांतर हैं और इसलिए केवल अदिश कारक k 0 में भिन्न हो सकते हैं। हमारे पास मुख्य क्षण हैं और संबंध को संतुष्ट करते हैं

अक्ष के परितः बल का आघूर्णइस तल के साथ अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु के सापेक्ष, एक अक्ष के लंबवत समतल पर बल के प्रक्षेपण का क्षण है

किसी अक्ष के बारे में एक क्षण सकारात्मक होता है यदि बल अक्ष की ओर देखते समय विमान को अक्ष के लंबवत वामावर्त घुमाता है।

दो मामलों में अक्ष के चारों ओर बल का क्षण 0 है:

यदि बल अक्ष के समानांतर है

यदि बल अक्ष को पार करता है

यदि क्रिया रेखा और अक्ष एक ही तल में हों, तो अक्ष के परितः बल का आघूर्ण 0 के बराबर होता है।

27. किसी अक्ष के परितः बल आघूर्ण और किसी बिंदु के परितः सदिश बल आघूर्ण के बीच संबंध।

Mz(F)=Mo(F)*cosαअक्ष के सापेक्ष बल का क्षण इस अक्ष पर अक्ष के बिंदु के सापेक्ष बल के क्षण के वेक्टर के प्रक्षेपण के बराबर है।

28. किसी दिए गए केंद्र पर बलों की एक प्रणाली लाने के बारे में स्थैतिक का मुख्य प्रमेय (प्वाइन्सॉट प्रमेय)। बलों की प्रणाली का मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण।

सामान्य स्थिति में, बलों की किसी भी स्थानिक प्रणाली को एक समतुल्य प्रणाली द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जिसमें शरीर के कुछ बिंदु (कमी का केंद्र) पर लागू एक बल और बलों की इस प्रणाली के मुख्य वेक्टर के बराबर और बलों की एक जोड़ी शामिल होती है , जिसका क्षण चयनित सम्मिलन केंद्र के सापेक्ष सभी बलों के मुख्य क्षण के बराबर है।

बल प्रणाली का मुख्य सदिशवेक्टर कहा जाता है आर, इन बलों के वेक्टर योग के बराबर:

आर = एफ 1 + एफ 2 + ... + एफएन= एफमैं।

बलों की एक समतल प्रणाली के लिए, इसका मुख्य वेक्टर इन बलों की कार्रवाई के तल में निहित होता है।

बलों की प्रणाली का मुख्य बिंदुकेंद्र O के सापेक्ष को सदिश कहा जाता है एल O, बिंदु O के सापेक्ष इन बलों के सदिश क्षणों के योग के बराबर:

एलओ= एमहे( एफ 1) + एमहे( एफ 2) + ... + एमहे( एफएन)= एमहे( एफमैं)।

वेक्टर आरकेंद्र O और वेक्टर की पसंद पर निर्भर नहीं करता है एलजब केंद्र की स्थिति बदलती है, तो O आमतौर पर बदल सकता है।

पॉइन्सॉट का प्रमेय: बलों की एक मनमानी स्थानिक प्रणाली को कठोर शरीर की स्थिति को परेशान किए बिना बल प्रणाली के मुख्य वेक्टर के साथ एक बल और एक मुख्य क्षण के साथ बलों की एक जोड़ी द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। मुख्य वेक्टर एक ठोस पिंड पर कार्य करने वाले सभी बलों का ज्यामितीय योग है और बलों की कार्रवाई के तल में स्थित है। मुख्य वेक्टर को समन्वय अक्षों पर इसके प्रक्षेपणों के माध्यम से माना जाता है।

किसी ठोस पिंड के किसी बिंदु पर लगाए गए बल को दिए गए केंद्र में लाने के लिए, यह आवश्यक है: 1) बल के मापांक को बदले बिना बल को अपने समानांतर किसी दिए गए केंद्र में स्थानांतरित करें; 2) किसी दिए गए केंद्र पर, बलों की एक जोड़ी लागू करें, जिसका वेक्टर क्षण नए केंद्र के सापेक्ष स्थानांतरित बल के वेक्टर पल के बराबर है; इस जोड़ी को संलग्न जोड़ी कहा जाता है।

कमी के केंद्र की पसंद पर मुख्य क्षण की निर्भरता। कमी के नए केंद्र के बारे में मुख्य क्षण कमी के पुराने केंद्र के बारे में मुख्य क्षण के ज्यामितीय योग और मुख्य वेक्टर द्वारा कमी के नए केंद्र को पुराने के साथ जोड़ने वाले त्रिज्या वेक्टर के वेक्टर उत्पाद के बराबर है।

बलों की स्थानिक प्रणाली में कमी के 29 विशेष मामले

	प्रमुख वेक्टर और प्रमुख क्षण मान	कास्टिंग का परिणाम
		बलों की प्रणाली को बलों की एक जोड़ी में घटा दिया जाता है, जिसका क्षण मुख्य क्षण के बराबर होता है (बलों की प्रणाली का मुख्य क्षण कमी के केंद्र ओ की पसंद पर निर्भर नहीं होता है)।
		बलों की प्रणाली केंद्र O से गुजरने के बराबर परिणामी तक कम हो जाती है।
		बलों की प्रणाली मुख्य वेक्टर के बराबर और उसके समानांतर और उससे कुछ दूरी पर स्थित परिणामी तक कम हो जाती है। परिणामी की क्रिया रेखा की स्थिति ऐसी होनी चाहिए कि कमी के केंद्र O के सापेक्ष उसके क्षण की दिशा केंद्र O के सापेक्ष दिशा के साथ मेल खाती हो।
	, और सदिश लंबवत नहीं हैं	बलों की प्रणाली को एक डायना (पावर स्क्रू) में बदल दिया जाता है - बल का एक संयोजन और इस बल के लंबवत विमान में स्थित बलों की एक जोड़ी।
		किसी ठोस पिंड पर लागू बलों की प्रणाली संतुलित होती है।

30. गतिशीलता में कमी.यांत्रिकी में, गतिकी किसी ठोस पिंड पर कार्य करने वाले बलों और बलों के जोड़े () के ऐसे समूह को कहा जाता है, जिसमें बल बलों के जोड़े की क्रिया के तल के लंबवत होता है। बलों की एक जोड़ी के वेक्टर पल का उपयोग करके, हम गतिशीलता को एक बल और एक जोड़ी के संयोजन के रूप में भी परिभाषित कर सकते हैं जिसका बल बलों की जोड़ी के वेक्टर पल के समानांतर है।

केंद्रीय पेचदार अक्ष का समीकरणआइए मान लें कि कमी के केंद्र पर, निर्देशांक की उत्पत्ति के रूप में लिया गया, समन्वय अक्षों पर प्रक्षेपण के साथ मुख्य वेक्टर और अनुमानों के साथ मुख्य क्षण प्राप्त होता है। बलों की प्रणाली को कमी के केंद्र में लाते समय O 1 (चित्र) .30), हम मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण, वेक्टर और एक लिनामा बनाने के साथ एक डायना प्राप्त करते हैं। समानांतर हैं और इसलिए केवल अदिश कारक k 0 में भिन्न हो सकते हैं। हमारे पास मुख्य क्षण हैं और संबंध को संतुष्ट करते हैं

प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

आइए हम बिंदु O 1 के निर्देशांक को निरूपित करें जिस पर गतिशीलता x, y, z के रूप में प्राप्त होती है। फिर निर्देशांक अक्षों पर वेक्टर के प्रक्षेपण निर्देशांक x, y, z के बराबर होते हैं। इसे देखते हुए, (*) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

जहां मैं। j ,k निर्देशांक अक्षों के इकाई सदिश हैं, और सदिश उत्पाद * को सारणिक द्वारा दर्शाया जाता है। वेक्टर समीकरण (**) तीन अदिश समीकरणों के बराबर है, जिन्हें त्यागने के बाद, इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

निर्देशांक x, y, z के लिए परिणामी रैखिक समीकरण एक सीधी रेखा - केंद्रीय पेचदार अक्ष के समीकरण हैं। नतीजतन, उन बिंदुओं पर एक सीधी रेखा होती है, जहां बलों की प्रणाली गतिशीलता में बदल जाती है।

आइए विचार करें कि यह कैसे निर्धारित किया जाता है अक्ष के चारों ओर बल का क्षण. शक्ति की आकांक्षा किसी पिंड को एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घुमानापर निर्भर करता है मात्राताकत, उसकी नतऔर अक्ष से दूरी.

अनुभव से ज्ञात होता है कि बल अक्ष से गुजरना, और ताकत, समानांतर अक्ष, शरीर के घूमने का कारण नहीं बन सकता इस धुरी के चारों ओर. आइए ड्राइंग को देखें.

न ही ताकत आर 1 , जिसकी कार्रवाई की रेखा क्रॉसएक्सिस आउंस , न ही ताकत आर 2 , समानांतरधुरी, वे मुड़ नहीं सकेंगेशरीर आस-पासयह अक्ष.

के लिए घुमानेवालाएक निश्चित अक्ष के सापेक्ष बल के प्रभाव की अवधारणा प्रस्तुत की गई है अक्ष के चारों ओर बल का क्षण एम ज़ेड(आर) . घूर्णी प्रभावधुरी के बारे में बल और उसके क्षण द्वारा व्यक्त किया जाता है.

इसे किसी बिंदु पर शरीर पर कार्य करने दें मुक्तबल आर , समानांतर नहींघूर्णन अक्ष आउंस और प्रतिच्छेद नहींयह अक्ष. आइए एक हवाई जहाज़ बनाएं एच , सीधाकुल्हाड़ियों आउंस और बल वेक्टर की शुरुआत से गुजरना. आइए दिए गए बल का विस्तार करें आर दो घटकों में: आर 1 , विमान में स्थित है एच , और आर 2 , अक्ष के समानांतर आउंस .

अवयव आर 2 , समानांतरकुल्हाड़ियों आउंस इस अक्ष के बारे में क्षण नहीं बनाता. अवयव आर 1 , विमान में अभिनय एच , एक क्षण बनाता हैअक्ष के सापेक्ष आउंस या, बिंदु के सापेक्ष, वही क्या है के बारे में . बल का क्षण आर 1 मापा बल के मापांक और लंबाई का गुणनफल ए सीधा, बिंदु से गिरा दिया गया के बारे में इस बल की दिशा पर, अर्थात्

अभिव्यक्ति में पलअक्ष के सापेक्ष बल प्रवेश करता है सारी शक्ति नहीं, लेकिन केवल वह अवयव,हवाई जहाज़ में लेटे हुए सीधाअक्ष।

संकेतक्षण, एक सामान्य नियम के रूप में, शरीर के घूमने की दिशा से निर्धारित होता है: (+) चलते समय दक्षिणावर्त, (-) चलते समय ख़िलाफ़दक्षिणावर्त (सशर्त नियम)। क्षण का संकेत निर्धारित करते समय, पर्यवेक्षक को निश्चित रूप से पक्ष में होना चाहिए सकारात्मकअक्ष दिशाएँ. उपरोक्त चित्र में बल का क्षण आर अक्ष के सापेक्ष आउंस सकारात्मक, क्योंकि अक्ष की सकारात्मक दिशा से देखने वाले पर्यवेक्षक के लिए ( ऊपर), किसी दिए गए बल के प्रभाव में पिंड एक अक्ष के चारों ओर घूमता हुआ प्रतीत होता है दक्षिणावर्त.

बल के क्षण के नीचे दिए गए चित्र में आर अक्ष के सापेक्ष आउंस - परिमाण नकारात्मक.

आइये एक विशेष मामले पर विचार करें.

विशेष मामले में बल का क्षण आर , विमान में स्थित है एच , अक्ष के सापेक्ष आउंस , इस विमान के लंबवत, बल के कुल परिमाण के उत्पाद द्वारा निर्धारित किया जाएगा आर उसके कंधे पर एल अक्ष प्रतिच्छेदन बिंदु के सापेक्ष आउंस और विमान एच

लेख में हम एक बिंदु और एक अक्ष के बारे में बल के क्षण, परिभाषाओं, रेखाचित्रों और ग्राफ़ों के बारे में बात करेंगे, घूर्णी गति में बल, कार्य और बल के क्षण की माप की क्या इकाई है, साथ ही उदाहरण और समस्याएं भी।

शक्ति का क्षणसदिशों के गुणनफल के बराबर भौतिक मात्रा के एक सदिश का प्रतिनिधित्व करता है कंधे की ताकत(कण का त्रिज्या वेक्टर) और ताकत, एक बिंदु पर कार्य करना। बल लीवर उस बिंदु को जोड़ने वाला एक वेक्टर है जिसके माध्यम से एक कठोर शरीर के घूर्णन की धुरी उस बिंदु से गुजरती है जिस पर बल लगाया जाता है।

जहाँ: r बल भुजा है, F शरीर पर लगाया गया बल है।

सदिश दिशा क्षण बलहमेशा वैक्टर आर और एफ द्वारा परिभाषित विमान के लंबवत।

मुख्य मुद्दा- स्वीकृत ध्रुव के सापेक्ष किसी समतल पर बलों की किसी भी प्रणाली को इस ध्रुव के सापेक्ष इस प्रणाली के सभी बलों के आघूर्ण का बीजगणितीय आघूर्ण कहा जाता है।

घूर्णी गति में, न केवल भौतिक मात्राएँ स्वयं महत्वपूर्ण होती हैं, बल्कि यह भी महत्वपूर्ण होती हैं कि वे घूर्णन की धुरी के सापेक्ष कैसे स्थित हैं, अर्थात उनकी क्षणों. हम पहले से ही जानते हैं कि घूर्णी गति में न केवल द्रव्यमान महत्वपूर्ण है, बल्कि द्रव्यमान भी महत्वपूर्ण है। किसी बल के मामले में, त्वरण को ट्रिगर करने में इसकी प्रभावशीलता उस तरीके से निर्धारित होती है जिस तरह बल रोटेशन की धुरी पर लगाया जाता है।

बल के बीच संबंध और इसे लागू करने के तरीके का वर्णन करता है शक्ति का क्षण.बल का क्षण बल भुजा का सदिश गुणनफल है आरबल वेक्टर के लिए एफ:

जैसा कि प्रत्येक वेक्टर उत्पाद में होता है, वैसे ही यहाँ भी

इसलिए, बल वैक्टर के बीच कोण होने पर बल घूर्णन को प्रभावित नहीं करेगा एफऔर लीवर आर 0 o या 180 o के बराबर। एक क्षण का बल लगाने से क्या प्रभाव पड़ता है? एम?

हम न्यूटन के गति के दूसरे नियम और रस्सी और कोणीय वेग के बीच संबंध का उपयोग करते हैं वी = आरωअदिश रूप में, सदिश होने पर मान्य होते हैं आरऔर ω एक दूसरे के लंबवत

समीकरण के दोनों पक्षों को R से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है

चूँकि mR 2 = I, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं

उपरोक्त निर्भरता भौतिक शरीर के मामले में भी मान्य है। ध्यान दें कि जबकि बाहरी बल एक रैखिक त्वरण देता है ए, बाहरी बल का क्षण कोणीय त्वरण देता है ε.

बल के क्षण की माप की इकाई

एसआई प्रणाली निर्देशांक में बल के क्षण का मुख्य माप है: [एम]=एन एम

जीएचएस में: [एम]=दिन सेमी

घूर्णी गति में कार्य और बल

रैखिक गति में कार्य सामान्य अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित होता है,

लेकिन घूर्णी गति में,

और इसके परिणामस्वरूप

तीन सदिशों के मिश्रित गुणनफल के गुणों के आधार पर हम लिख सकते हैं

इसलिए हमने इसके लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त की है घूर्णी गति में कार्य करें:

घूर्णी गति में शक्ति:

खोजो शक्ति का क्षण,नीचे दिए गए आंकड़ों में दिखाई गई स्थितियों में शरीर पर कार्य करना। आइए मान लें कि r = 1m और F = 2N है।

ए)चूँकि सदिश r और F के बीच का कोण 90° है, तो syn(a)=1:

एम = आर एफ = 1एम 2एन = 2एन एम

बी)क्योंकि सदिश r और F के बीच का कोण 0° है, इसलिए पाप(a)=0:

एम = 0
हाँ निर्देशित किया बलएक बिंदु नहीं दे सकता घूर्णी गति.

सी)चूँकि सदिश r और F के बीच का कोण 30° है, तो syn(a)=0.5:

एम = 0.5 आर एफ = 1 एन एम।

इस प्रकार, निर्देशित बल कारण बनेगा शरीर का घूमनाहालाँकि, इसका प्रभाव मामले की तुलना में कम होगा ए).

अक्ष के परितः बल का आघूर्ण

आइए मान लें कि डेटा एक बिंदु है हे(ध्रुव) और शक्ति पी. बिंदु पर हेहम एक आयताकार समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति लेते हैं। शक्ति का क्षण आर ध्रुवों के संबंध में हेएक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है मैं वहां से हूँ (आर), (नीचे चित्र) .

कोई बात एऑनलाइन पी निर्देशांक हैं (एक्सओ, यो, ज़ो)।
बल सदिश पी निर्देशांक हैं पीएक्स, पीई, पीजेड. संयोजन बिंदु ए (एक्सओ, यो, ज़ो)सिस्टम की शुरुआत के साथ, हमें वेक्टर मिलता है पी. बल वेक्टर निर्देशांक पी ध्रुव के सापेक्ष हेप्रतीकों द्वारा दर्शाया गया है एमएक्स, माई, एमजेड। इन निर्देशांकों की गणना किसी दिए गए निर्धारक के न्यूनतम के रूप में की जा सकती है, जहां ( मैं, जे, के) - निर्देशांक अक्षों पर इकाई सदिश (विकल्प): मैं, जे, के

सारणिक को हल करने के बाद, क्षण के निर्देशांक इसके बराबर होंगे:

क्षण वेक्टर निर्देशांक एमओ (पी) संगत अक्ष के परितः बल के आघूर्ण कहलाते हैं। उदाहरण के लिए, बल का क्षण पी अक्ष के सापेक्ष आउंसचारों ओर टेम्पलेट:

एमजेड = पाइक्सो - पीएक्सयो

इस पैटर्न की व्याख्या ज्यामितीय रूप से की गई है जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

इस व्याख्या के आधार पर, अक्ष के चारों ओर बल का क्षण आउंसबल प्रक्षेपण के क्षण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है पी अक्ष के लंबवत आउंसअक्ष द्वारा इस तल के प्रवेश बिंदु के सापेक्ष। बल का प्रक्षेपण पी अक्ष पर लंबवत दर्शाया गया है Pxy , और विमान प्रवेश बिंदु ऑक्सी- एक्सिस ओएसप्रतीक ओ
किसी अक्ष के परितः बल के आघूर्ण की उपरोक्त परिभाषा से, यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी अक्ष के परितः बल का आघूर्ण शून्य होता है जब बल और अक्ष एक ही तल में समान हों (जब बल अक्ष के समानांतर हो या जब बल अक्ष को काटता है)।
पर सूत्रों का उपयोग करना एमएक्स, माई, एमजेड, हम बल के क्षण के मान की गणना कर सकते हैं पी बिंदु के सापेक्ष हेऔर वेक्टर के बीच के कोणों को निर्धारित करें एम और सिस्टम अक्ष:

यदि शक्ति निहित है ऑक्सी विमान,वह ज़ो = 0 और पज़ = 0 (नीचे चित्र देखें)।

शक्ति का क्षण पी बिंदु (ध्रुव) O के संबंध में है:
एमएक्स = 0,
मेरा = 0,
मो (पी) = एमजेड = पाइक्सो - पीएक्सयो.

टॉर्क मार्क:
प्लस (+) - ओ अक्ष के चारों ओर दक्षिणावर्त बल का घूमना,
माइनस (-) - ओ अक्ष के चारों ओर वामावर्त दिशा में बल का घूमना।