अतिपरवलयिक समस्याओं के लिए अंतर योजनाएँ. हाइपरबोलिक प्रकार के आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीके (उदाहरण के रूप में परिवहन समीकरण का उपयोग करके) हाइपरबोलिक प्रकार के समीकरण के लिए सर्वोत्तम अंतर योजना

फॉर्म के समीकरण के लिए कॉची समस्या पर विचार करें

जिसमें स्थानांतरण दर वीएक समारोह हो सकता है एक्स।समीकरण (6.1) के लिए, कोई अंतर योजनाओं का एक सेट प्रस्तावित कर सकता है जो सन्निकटन के क्रम में भिन्न होता है, जिस तरह से डेरिवेटिव का प्रतिनिधित्व किया जाता है, और इसी तरह। आइए पहले स्पष्ट अंतर योजनाओं पर ध्यान दें, जिसमें सिस्टम के प्रत्येक समीकरण में केवल एक अज्ञात मात्रा होती है)", जो एक नई समय परत पर समाधान के मूल्यों की क्रमिक गणना करना संभव बनाता है।

यह ज्ञात है कि सबसे महत्वपूर्ण संपत्ति जो स्पष्ट अंतर योजनाओं में होनी चाहिए वह है स्थिरता, योजना की कम्प्यूटेशनल गड़बड़ी जमा न करने की क्षमता। अंतर समाधान का सटीक समाधान में अभिसरण सुनिश्चित करने के लिए योजना की स्थिरता एक आवश्यक आवश्यकता है। एक अतिशयोक्तिपूर्ण समीकरण के लिए, स्थिरता विश्लेषण आमतौर पर एक नई समय परत में संक्रमण ऑपरेटर के eigenvalues ​​​​के स्पेक्ट्रम के आधार पर प्रारंभिक डेटा के संबंध में किया जाता है, जिसके आधार पर गणना के लिए स्वीकार्य अंतर योजनाओं का चयन किया जाता है। इस प्रकार, सममित अंतर योजना

इसमें बहुत सख्त स्थिरता की स्थिति (t 2 vh) है और इसका उपयोग व्यावहारिक एल्गोरिदम के लिए नहीं किया जाता है। अंतर योजनाएं

सशर्त रूप से स्थिर हैं. उनकी स्थिरता सुनिश्चित करने के लिए, सबसे पहले, कूरेंट फ्रेडरिक्स-लेवी (सीएफएल) शर्त को पूरा करना आवश्यक है:

और दूसरा, प्रवाह के विरुद्ध मतभेदों का उपयोग, अर्थात्। योजना का आवेदन (6.3) के लिए वी> 0 और (6.4) के लिए वि0.

प्रवाह के विरुद्ध मतभेदों वाली स्पष्ट योजना।यदि हम चयनात्मक रूप से दो पिछली योजनाओं को लागू करते हैं, अर्थात्, के साथ वी >> 0 योजना (6.3), और के लिए वी

गति की दिशा के प्रति उदासीन तथा परिस्थिति के अधीन स्थिर रहेगा वी/एच^ 1. यह देखना आसान है कि इस योजना में एकतरफा अंतर को प्रवाह की ओर ले जाया जाता है (ऐसा कहा जाता है कि योजना में संपत्ति है mpanenopmuenoemu)।इस प्रकार की योजनाएँ कहलाती हैं हवा आने की दिशाया प्रवाह के विरुद्ध मतभेद वाली योजना।

स्थिर स्थानांतरण दर वाले समीकरण के मामले में, अपवाइंड अंतर योजना के निर्माण में कोई समस्या नहीं है। स्थानांतरण दर के चिह्न के अनुरूप अंतर का चयन किया जाता है, जिसका उपयोग कम्प्यूटेशनल डोमेन के सभी नोड्स में किया जाता है। शर्त (6.5) कम्प्यूटेशनल ग्रिड चरणों के अनुपात पर एक बाधा लगाती है। आमतौर पर, किसी दिए गए अंतरिक्ष चरण के लिए, संबंध (6.5) स्वीकार्य समय चरण m h/v निर्धारित करता है।

लेकिन यदि स्थानांतरण दर समन्वय (या समय) का एक कार्य है, तो अंतर सन्निकटन के प्रकार का चुनाव स्थानांतरण दर के संकेत के विश्लेषण के आधार पर किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, एक सशर्त ऑपरेटर का उपयोग करना। गोथ को छोड़कर, परिवर्तनीय स्थानांतरण गति के साथ वी = वी(एक्स)सभी ग्रिड नोड्स के लिए स्थिरता की स्थिति की जांच की जानी चाहिए और समय चरण मानों के इस सेट से, न्यूनतम चुना जाना चाहिए: टी मिनट; एच/वीजे.

कूरेंट एट अल. (1952) ने एक अपवाइंड योजना के निर्माण के लिए एक दिलचस्प तरीका प्रस्तावित किया जिसमें सशर्त ऑपरेटर का उपयोग नहीं किया गया। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह केवल एक औपचारिक तकनीक नहीं है, बल्कि गहरे विचारों से युक्त एक दृष्टिकोण है, जिसके आधार पर कोई अपविंड (असममित) और सममित अंतर योजनाओं के बीच तुलना और पत्राचार पा सकता है। अंतर योजनाओं के संचालकों को विभाजित करने का विचार इसी के करीब है।

हम स्थानांतरण दर को उसके सकारात्मक और नकारात्मक घटकों के योग के रूप में दर्शाते हैं:

इससे ट्रांसफर ऑपरेटर को दो ऑपरेटरों के योग के रूप में दर्शाया जा सकेगा:

अब प्रत्येक ऑपरेटर के पास स्थिर चिह्न का गुणांक होता है, जो उस पर अपवाइंड अंतर सन्निकटन को लागू करना संभव बनाता है। ध्यान दें कि संवहनात्मक शब्दों के अनुमान के लिए प्रतिप्रवाह अंतर योजना का व्यापक रूप से कम्प्यूटेशनल द्रव गतिशीलता की विभिन्न समस्याओं में उपयोग किया जाता है। योजना (6.6) के अनुसार कम्प्यूटेशनल एल्गोरिदम के निम्नलिखित नोटेशन का अक्सर उपयोग किया जाता है:

यदि अब हम (6.7) के दाईं ओर प्रारंभिक परिवर्तन करते हैं और सममित अंतर व्युत्पन्न को एकल करते हैं, तो इस योजना को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि अपविंड अंतर योजना (6.7) सममित एक (6.2) के बराबर है, जिसमें एक विघटनकारी योजक है जो योजना की सशर्त स्थिरता सुनिश्चित करता है।

लैक्स की योजना.इस योजना को कम्प्यूटेशनल गैस गतिशीलता के विकास की शुरुआत में कंप्यूटिंग के अभ्यास में पेश किया गया था। II हालांकि इस प्रकार की एक योजना के संदर्भ विभिन्न लेखकों के कार्यों में पाए गए थे, जनता की राय इसे अमेरिकी गणितज्ञ लैक्स (लैक्स, पी.डी.) के नाम से जोड़ती है, जिन्होंने अंतर के सिद्धांत के विभिन्न पहलुओं पर पत्रों की एक श्रृंखला प्रकाशित की थी। 50 के दशक में योजनाएं। जैसा कि परिवहन समीकरण (6.1) पर लागू होता है, इस योजना का स्वरूप है

योजना की ख़ासियत यह है कि, समय व्युत्पन्न के सन्निकटन में इसकी स्थिरता सुनिश्चित करने के लिए, नोड पर ग्रिड फ़ंक्शन का मान (आर, पी)समान समय परत के पड़ोसी नोड्स पर मानों के आधे योग द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह ऑपरेशन स्थानिक व्युत्पन्न के केंद्रीय सन्निकटन के तहत अंतर योजना की सशर्त स्थिरता सुनिश्चित करता है (जब कूरेंट-फ्रेडरिक-लेवी की स्थिति संतुष्ट होती है) वी/एच ^ 1).

यद्यपि यहाँ के संबंध में व्युत्पत्ति है एक्ससन्निकटन के दूसरे क्रम के साथ प्रस्तुत किया गया है, समय व्युत्पन्न के विशिष्ट प्रतिनिधित्व के कारण योजना में महत्वपूर्ण अपव्यय है। यह पहले अंतर सन्निकटन से स्पष्ट रूप से देखा जाता है:

दूसरे व्युत्पन्न के सामने दाईं ओर के गुणांक की व्याख्या योजना चिपचिपापन गुणांक के रूप में की जा सकती है। सरल परिवर्तनों के बाद, इस मात्रा को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

कहाँ के माध्यम से एकूरेंट संख्या द्वारा निरूपित। इस योजना के कई गुण अंतर सन्निकटन से निर्धारित किए जा सकते हैं:

• - जब कूरेंट संख्या एक के बराबर हो तो योजना गैर-विघटनकारी हो जाती है;
• - योजना प्रवाह दिशा के प्रति संवेदनशील नहीं है;

जब कूरेंट संख्या एक से कम होती है, तो सर्किट चिपचिपाहट में एक स्थिर प्रभाव (सकारात्मक प्रसार गुणांक) होता है, जब कूरेंट संख्या एक से अधिक होती है, तो सर्किट चिपचिपापन गुणांक नकारात्मक हो जाता है, जिससे प्रसार प्रक्रिया में वृद्धि होती है और, अंततः , सर्किट की कम्प्यूटेशनल स्थिरता के नुकसान के लिए;

जैसे-जैसे समय कदम घटता जाता है, योजना के विघटनकारी गुण बढ़ते जाते हैं।

सूचीबद्ध सुविधाओं में से कुछ ऐसी भी हैं जो योजना के लाभों को काफी कम कर देती हैं। हालाँकि, एल्गोरिदम की सरलता अक्सर कम्प्यूटेशनल प्रोग्राम के निर्माण के प्रारंभिक (डीबगिंग) चरणों में इसके उपयोग का आधार होती है। इसके अलावा, लैक्स योजना, जैसा कि हम नीचे देखेंगे, कुशल मल्टी-स्टेप एल्गोरिदम का एक घटक है जिसमें इसकी मदद से प्रारंभिक चरण (भविष्यवाणी चरण) किया जाता है।

दूसरे क्रम की योजनाएँ।पहले चर्चा की गई अंतर योजनाएँ प्रथम-क्रम योजनाएँ थीं (स्थानिक या लौकिक चर के संबंध में)। दूसरे क्रम की योजनाओं का निर्माण करते समय, स्थानिक और लौकिक चर दोनों के संदर्भ में सन्निकटन का बढ़ा हुआ क्रम प्रदान करना आवश्यक है। इस प्रकार की कई योजनाओं पर विचार करें.

लीपफ्रॉग योजना.अंतरिक्ष चर और सरलतम प्रकार के समय दोनों में दूसरे क्रम की योजना को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

इस सर्किट को स्टेपिंग सर्किट कहा जाता है, लेकिन इसे इसी नाम से जाना जाता है "छलाँग लगानेवाला"(छलांग-मेंढक योजना)। यह योजना तीन-स्तरीय है और पिछली दो समय परतों से एक समाधान बनाती है। इसलिए, इसका उपयोग करते समय, गणना शुरू करने में समस्याएँ उत्पन्न होती हैं, जिन्हें किसी अन्य विधि से किया जाना चाहिए।

लैक्स-वेंड्रॉफ़ योजना।इस प्रकार की सबसे प्रसिद्ध योजनाओं में से एक केंद्रीय योजना है, जिसे इसके लेखकों के नाम से लैक्स-वेंड्रॉफ़ योजना कहा जाता है। इसने हाइपरबोलिक समीकरणों के लिए अंतर योजनाओं के सिद्धांत में एक निश्चित स्थान पर कब्जा कर लिया है, कई बहुत ही उत्पादक विचार इसके साथ जुड़े हुए हैं, लेकिन इसका मुख्य लाभ यह है कि इसे आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है और अधिक जटिल समस्याओं के मामले में स्थानांतरित किया जा सकता है - संपीड़ित गैस की समस्याएं प्रवाह को क्वासिलिनियर समीकरणों की प्रणालियों द्वारा वर्णित किया गया है, जहां यह काफी लंबे समय से मुख्य कंप्यूटिंग उपकरणों में से एक रहा है।

फॉर्म (6.1) के परिवहन समीकरण पर इसके अनुप्रयोग के उदाहरण द्वारा इस योजना की विशेषताओं का अध्ययन करना उपयोगी है। दूसरे क्रम की योजना बनाने के लिए, हम टेलर सूत्र लिखते हैं:

जिस पर हम मूल समीकरण (6.1) के साथ मिलकर विचार करेंगे। इस समीकरण का उपयोग विस्तार में समय व्युत्पन्नों को स्थानिक व्युत्पन्नों से बदलने के लिए किया जाएगा। यह संभव है, क्योंकि पहली बार व्युत्पन्न सीधे (6.1) से व्यक्त किया गया है: डु/डीटी = -vdu/dx.संबंधों की निम्नलिखित श्रृंखला से दूसरा व्युत्पन्न भी आसानी से पाया जा सकता है:

ध्यान दें कि यह प्रतिनिधित्व केवल निरंतर स्थानांतरण दर पर सटीक है: वी=स्थिरांक. अन्यथा, यह अनुमानित है, हालाँकि, यदि स्थानांतरण दर वी(एक्स)यह एक पर्याप्त रूप से सुचारू कार्य है, इसका उपयोग उन अंतर संबंधों के परिवर्तनों के लिए किया जा सकता है जो प्रकृति में स्थानीय हैं।

उपरोक्त टेलर सूत्र में मूल अंतर समीकरण का उपयोग करके प्राप्त व्युत्पन्नों के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें संबंध प्राप्त होता है

और दूसरे क्रम के परिमित-अंतर संबंधों के साथ अंतरिक्ष डेरिवेटिव को प्रतिस्थापित करते हुए, हम (कुछ सरल परिवर्तनों के बाद) अंतर योजना प्राप्त करते हैं

लैक्स वेंड्रोफ़ योजना कहलाती है। इस योजना को 1960-1964 में लैक्स और वेन्सड्रॉफ़ द्वारा प्रकाशित पत्रों की एक श्रृंखला में कई अन्य के साथ कंप्यूटिंग के अभ्यास में पेश किया गया था।

लैक्स-वेंड्रॉफ़ योजना का दो-चरणीय संस्करण।बाद में, रिचटमेयर ने योजना का एक मूल दो-चरणीय संस्करण प्रस्तावित किया, जो कार्यान्वयन में आसानी के कारण, लंबे समय तक गैस गतिशीलता के मुख्य कम्प्यूटेशनल एल्गोरिदम में से एक था। चलिए यह विकल्प अपनाते हैं.

पहले आधे चरण में, हम एक सरल प्रथम-क्रम लैक्स योजना का उपयोग करके समाधान के मध्यवर्ती मूल्य की गणना करते हैं। हम इस मध्यवर्ती मान के लिए एक सुपरस्क्रिप्ट निर्दिष्ट करते हैं एन+ 1/2 और ध्यान रखें कि हाफ टाइम स्टेप का भी प्रयोग किया जाता है। इस योजना को लागू करने पर, हम मध्यवर्ती समय परत पर समाधान के मान प्राप्त करते हैं: टी = टीएन+एल/2।ध्यान दें कि लैक्स योजना के उपयोग के कारण, जिसमें निचली परत पर कोई केंद्रीय नोड नहीं होता है, समाधान को अर्ध-पूर्णांक बिंदुओं की प्रणाली में मध्यवर्ती परत पर भी पुन: पेश किया जाता है।

आइए हम दो पड़ोसी अंतरालों के लिए अंतर संबंध लिखें:

दूसरा आधा चरण नई समय परत पर समाधान की गणना करना है पी+1 स्थान और समय दोनों में केंद्रीय अंतर वाली एक योजना पर आधारित - "क्रॉस" योजना। स्थानिक व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, अर्ध-पूर्णांक बिंदुओं की प्रणाली में मध्यवर्ती परत पर समाधान के मूल्यों का उपयोग किया जाता है, समाधान स्वयं बिंदुओं की उसी प्रणाली में बहाल किया जाता है जिसमें यह समय की शुरुआत तक निर्धारित किया गया था कदम:

संबंध (6.12) और (6.13) मिलकर दो-चरणीय लैक्स-वेड्रॉफ योजना निर्धारित करते हैं। इसके पहले चरण में, स्थिरता की स्थिति संतुष्ट होती है। इस चरण को कभी-कभी कहा जाता है भविष्यवक्ता.दूसरा चरण यह सुनिश्चित करता है कि आवश्यक सटीकता पूरी हो गई है और उसे बुलाया गया है सुधारक.भविष्यवक्ता-सुधारक विधियों का उपयोग अक्सर कम्प्यूटेशनल गणित में किया जाता है, और सुधारक चरण में एक पुनरावृत्त ब्लॉक शामिल हो सकता है।

यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि, (6.13) से मध्यवर्ती मूल्यों को छोड़कर, संबंधों (6.12) की मदद से हम योजना के मूल एक-चरण संस्करण पर पहुंचते हैं। सन्निकटन और स्थिरता के क्रम के संदर्भ में, दोनों विकल्प समतुल्य हैं, लेकिन दो-चरण वाला गणना के लिए अधिक सुविधाजनक है, इसलिए इस अंतर योजना का नाम आमतौर पर इसके साथ जुड़ा हुआ है। दो-चरणीय संस्करण विशेष रूप से अधिक जटिल समस्याओं के लिए अंतर योजनाओं का निर्माण करते समय उपयोग करने के लिए सुविधाजनक है, विशेष रूप से, गैर-स्थिर गैस गतिशीलता के क्वासिलिनियर समीकरणों की प्रणालियों के लिए।

दूसरे क्रम की योजनाओं में समाधान की एकरसता। (6.11) के दाहिनी ओर के अंतिम शब्द का रूप प्रथम-क्रम योजनाओं (6.8) और (6.10) के विघटनकारी शब्दों से भिन्न है। इस मामले में, यह समय व्युत्पन्न के पहले क्रम सन्निकटन से जुड़ी त्रुटि का दमन प्रदान करता है। इस प्रकार, यह योजना समय और स्थान दोनों में दूसरे क्रम की योजना है। इसके पहले अंतर सन्निकटन में अब एक विघटनकारी शब्द नहीं होगा, लेकिन इसमें तीसरे व्युत्पन्न के साथ एक फैलाव घटक होगा, जो सर्किट में चरण त्रुटियों का कारण है। यह उम्मीद की जा सकती है कि यह योजना समाधान को थोड़ा धुंधला कर देगी, लेकिन फैलाव के कारण होने वाले गैर-भौतिक दोलन इसके तीव्र परिवर्तन के क्षेत्र में दिखाई दे सकते हैं।

एक अंतर योजना जो अनुदैर्ध्य समन्वय के एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन के रूप वाले समाधान को एक मोनोटोनिक समाधान में परिवर्तित करती है, कहलाती है मोनोटोन अंतर योजना. इस परिभाषा के अनुसार, लैक्स-वीड्रॉफ़ योजना नॉनमोनोटोनिक है।

एस.के. गोडुनोव ने एकरसता प्रमेय की स्थापना की, जो अंतर योजनाओं के सिद्धांत में केंद्रीय स्थानों में से एक पर है। इस प्रमेय के अनुसार, फॉर्म (6.1) के रैखिक समीकरण के लिए, पहले से अधिक क्रम वाली कोई मोनोटोन योजनाएं नहीं हैं।

अंतर योजना की एकरसता का नुकसान कुछ हद तक उच्च सन्निकटन क्रम की सभी योजनाओं के लिए विशिष्ट है। उच्च-क्रम योजनाओं के संख्यात्मक समाधान की गैर-एकरसता को दूर करने के लिए, तथाकथित हाइब्रिड अंतर योजनाएं. वे गैर-रेखीय वर्ग से संबंधित हैं, जिसमें, समाधान के व्यवहार के विश्लेषण के आधार पर, वे उन क्षेत्रों में मोनोटोनिक प्रथम-क्रम योजनाओं पर स्विच करते हैं जहां चरण त्रुटियां विशेष रूप से स्पष्ट होती हैं, और उच्च-क्रम योजनाओं पर लौटती हैं समाधान में सहज परिवर्तन के क्षेत्र।

मैककॉर्मैक की योजना.यह भी दो-चरणीय द्वितीय-क्रम योजना है, जो प्रवाह दिशा के प्रति उदासीन है। इसे परिवहन समीकरण के रूढ़िवादी रूप में प्रदर्शित करना अधिक सुविधाजनक है:

इस योजना में दो क्रमिक चरण शामिल हैं:

पहले चरण (6.15) में समाधान का प्रारंभिक मूल्य ज्ञात करें एसएच एक तरफा अंतर योजना के आधार पर ग्रिड नोड्स पर। इस प्रकार पाए गए समाधान के अनुसार, प्रवाह /आर के प्रारंभिक मूल्यों की गणना की जाती है। इसके अलावा, विपरीत दिशा (6.16) वाली एक-तरफ़ा योजनाओं के आधार पर, अगली समय परत पर समाधान निर्धारित किया जाता है।

यह एल्गोरिदम विभिन्न संशोधनों की अनुमति देता है; यह क्वासिलिनियर सिस्टम और बहुआयामी हाइपरबोलिक समस्याओं दोनों को हल करने के लिए अच्छी तरह से अनुकूलित होता है। 1970 के दशक में, यह योजना विदेशी (मुख्य रूप से अमेरिकी) कैलकुलेटरों की मुख्य अंतर योजनाओं में से एक थी, लेकिन वर्तमान में इसे संकरण के विचारों के आधार पर अधिक आधुनिक लोगों द्वारा प्रतिस्थापित कर दिया गया है।

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प्रतिलिपि

2 रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय नोवोसिबिर्स्क राज्य विश्वविद्यालय यांत्रिकी और गणित संकाय गणितीय मॉडलिंग विभाग जी.एस. खाकिमज़्यानोव, एस.जी. चेर्नी गणना विधियां भाग 4. हाइपरबोलिक प्रकार के समीकरणों के लिए समस्याओं को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीके पाठ्यपुस्तक नोवोसिबिर्स्क 014

3 एलबीसी वी.193 यूडीसी एक्स 16 समीक्षक पीएच.डी. भौतिक-गणित. विज्ञान ए.एस. लेबेडेव प्रकाशन वर्षों से उच्च व्यावसायिक शिक्षा "नोवोसिबिर्स्क स्टेट यूनिवर्सिटी" के राज्य शैक्षणिक संस्थान के विकास कार्यक्रम के ढांचे के भीतर तैयार किया गया था। एक्स 16 खाकिमज़्यानोव, जी.एस. कम्प्यूटेशनल तरीके: 4 बजे: पाठ्यपुस्तक। भत्ता / जी. एस. खाकिमज़्यानोव, एस. जी. चेर्नी; नोवोसिब. राज्य अन-टी. नोवोसिबिर्स्क: आरआईसी एनजीयू, 014। भाग 4: हाइपरबोलिक प्रकार के समीकरणों के लिए समस्याओं को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीके। 07 पी. आईएसबीएन पाठ्यपुस्तक व्याख्यान पाठ्यक्रम "गणना के तरीके" के कार्यक्रम से मेल खाती है, जो नोवोसिबिर्स्क राज्य विश्वविद्यालय के यांत्रिकी और गणित संकाय में पढ़ा जाता है। इसके चौथे भाग में, हाइपरबोलिक प्रकार के समीकरणों के लिए प्रारंभिक-सीमा मूल्य समस्याओं को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों के मूल सिद्धांतों को रेखांकित किया गया है, सेमिनारों के लिए समस्याएं तैयार की गई हैं, कंप्यूटर पर व्यावहारिक अभ्यास के लिए परीक्षणों और कार्यों के नमूने दिए गए हैं। मैनुअल उच्च शिक्षण संस्थानों के गणितीय विशिष्टताओं के छात्रों और शिक्षकों के लिए है। आईएसबीएन बीबीसी वी.193 यूडीसी सी नोवोसिबिर्स्क स्टेट यूनिवर्सिटी, 014 सी जी.एस. खाकिमज़्यानोव, एस.जी. चेर्नी, 014

4 सामग्री प्रस्तावना रैखिक परिवहन समीकरण के लिए योजनाएं, अंतर योजनाओं की एकरसता संपत्ति, अंतर सन्निकटन विधि के आधार पर मोनोटोन योजनाओं का निर्माण, गैर-रेखीय परिवहन समीकरण के लिए योजनाएं, परिवहन समीकरण के लिए एक अनुकूली ग्रिड पर योजनाएं, स्ट्रिंग कंपन के समीकरण के लिए अंतर योजनाएं, अंतर योजनाओं के लिए अंतर योजनाएं निरंतर गुणांक वाले समीकरणों की एक अतिशयोक्तिपूर्ण प्रणाली, गैर-रेखीय उथले पानी समीकरणों की प्रणालियों के लिए अंतर योजनाएं, गैस गतिशीलता की समस्याओं के लिए अंतर योजनाएं, "परिवहन समीकरण के लिए अंतर योजनाओं की जांच" विषय पर परीक्षण कार्य, प्रयोगशाला कार्य के लिए कार्य, उत्तर, निर्देश, समाधान ग्रंथ सूची सूची

5 प्रस्तावना मैनुअल के चौथे भाग में, हाइपरबोलिक प्रकार के समीकरणों के लिए प्रारंभिक-सीमा मूल्य समस्याओं को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों की मूल बातें रेखांकित की गई हैं, सेमिनार के लिए इस विषय पर कार्य तैयार किए गए हैं, कंप्यूटर पर व्यावहारिक अभ्यास के लिए कार्य और एक उदाहरण दिया गया है। एक परीक्षण दिया गया है. सैद्धांतिक प्रश्न संक्षेप में बताए गए हैं। विचाराधीन मुद्दों के गहन अध्ययन के लिए, हम एस. के. गोडुनोव और वी. एस. रयाबेन्की की पाठ्यपुस्तक के साथ-साथ जी. और एन.एन. यानेंको और एनएसयू में प्रकाशित पाठ्यपुस्तकें। व्याख्यान केवल परिमित-अंतर योजनाओं के अध्ययन से संबंधित सैद्धांतिक मुद्दों से संबंधित हैं। उदाहरण के तौर पर, योजनाओं को एक रैखिक परिवहन समीकरण, एक प्रथम-क्रम गैर-रेखीय अदिश समीकरण, एक दूसरे क्रम का समीकरण जो स्ट्रिंग कंपन का वर्णन करता है, समीकरणों की एक प्रथम-क्रम रैखिक प्रणाली, गैर-रेखीय उथले पानी समीकरणों की एक प्रणाली और गैस गतिशीलता समीकरणों पर विचार किया जाता है। . प्रत्येक अनुच्छेद के साथ ऐसे कार्य शामिल हैं जिन्हें सेमिनार में हल करने की आवश्यकता है। कई समस्याओं के निर्देश और विस्तृत समाधान दिए गए हैं। सेमिनारों के लिए अतिरिक्त सामग्री समस्या पुस्तकों में पाई जा सकती है। मैनुअल कंप्यूटर कक्षाओं में व्यावहारिक अभ्यास के लिए कार्यों के उदाहरण प्रदान करता है, कार्यों को पूरा करने के तरीके पर सिफारिशें देता है, और कार्यक्रमों को विकसित करने और परिणाम प्रस्तुत करने से संबंधित मुद्दों पर चर्चा करता है। शिक्षण सहायक सामग्री से अतिरिक्त कार्य लिए जा सकते हैं। मैनुअल के चौथे भाग में अनुच्छेदों और आंकड़ों की एक स्वतंत्र निरंतर संख्या और एक स्वतंत्र ग्रंथसूची सूची है। सूत्रों और कथनों (लेम्मा और प्रमेय) के लिए पैराग्राफ के अंदर, दो-सूचकांक क्रमांकन का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए 4. 4.) मैनुअल से "हम लिखते हैं" सूत्र (1.4.) के अनुसार, "प्रमेय 8.3 के अनुसार" के बजाय मैनुअल से" "प्रमेय.8.3 द्वारा"। लेखक बहुमूल्य सलाह और आलोचनात्मक टिप्पणियों के लिए समीक्षक अलेक्जेंडर स्टेपानोविच लेबेडेव के प्रति गहरा आभार व्यक्त करते हैं, जिन्होंने इस पाठ्यपुस्तक के सुधार में योगदान दिया। 4

6 1. रैखिक परिवहन समीकरण 1.1 के लिए योजनाएँ। अतिशयोक्तिपूर्ण प्रणालियों के सिद्धांत से कुछ जानकारी। प्रथम-क्रम विभेदक समीकरणों की एक रैखिक प्रणाली के लिए कॉची समस्या पर विचार करें u t + A u = f(x, t),< x <, 0 < t T, x u(x, 0) = u 0 (x), < x <. (1.1) Здесь u = (u 1,..., u m) T m-мерная вектор-функция переменных x, t, A вещественная m m матрица с элементами a i (x, t). Определение. Систему уравнений (1.1) будем называть гиперболической в некоторой области переменных (x, t), если в каждой точке этой области собственные значения λ 1, λ,..., λ m матрицы A вещественны и различны. Определение. Интегральная кривая x = x k (t) обыкновенного дифференциального уравнения dx dt = λ k(x, t) (1.) называется k-ой характеристикой системы уравнений (1.1). Предполагается, что элементы матрицы A обладают гладкостью, достаточной для того, чтобы через каждую точку плоскости (x, t) проходила единственная характеристика, отвечающая собственному значению λ k. Характеристики, проведенные через точку (x, t) (t >0) घटते समय t की दिशा में, ऑक्स अक्ष को m विभिन्न बिंदुओं पर पार करें। आइए हम अतिशयोक्तिपूर्ण प्रणाली (1.1) (λ 1 (x, t)) के eigenvalues ​​​​को क्रमबद्ध करें< λ (x, t) <... < λ m (x, t)) и через обозначим отрезок оси Ox, ограниченный точками пересечения этой оси с m-ой и первой характеристиками. Определение. Областью зависимости точки (x, t) для системы уравнений (1.1) называется множество точек верхней полуплоскости, ограниченное крайними характеристиками x = x m (t), x = x 1 (t) и отрезком . Область зависимости точки (x, t) изображена на рис. 1, а. Решение u системы (1.1) в точке (x, t) будет зависеть только от значений u 0 (x) на 5

7 खंड. इसलिए, यदि अंतराल के बाहर प्रारंभिक डेटा को अन्य में बदल दिया जाता है, तो बिंदु (x, t) पर समाधान नहीं बदलेगा। परिभाषा। बिंदु (x 0, 0) के प्रभाव का क्षेत्र ऊपरी आधे तल के बिंदुओं (x, t) का समूह है, जो (x 0, 0) से निकलने वाली प्रणाली (1.1) की चरम विशेषताओं से घिरा है। ), यानी, eigenvalues ​​​​λ 1 और λ m के अनुरूप विशेषताएँ। बिंदु (x 0, 0) का प्रभाव क्षेत्र अंजीर में दिखाया गया है। 1बी. यदि प्रारंभिक डेटा केवल बिंदु (x 0, 0) पर बदला जाता है, तो हाइपरबोलिक प्रणाली का समाधान केवल बिंदु (x 0,) के प्रभाव क्षेत्र से संबंधित बिंदुओं (x, t) पर बदल जाएगा। 0). आइए अब मान लें कि कॉची समस्या (1.1) के बजाय, हमें खंड पर प्रारंभिक-सीमा मूल्य समस्या को हल करने की आवश्यकता है। फिर, प्रारंभिक शर्तों के अलावा, सीमा शर्तें निर्धारित करना आवश्यक है। प्रत्येक सीमा पर सीमा स्थितियों की संख्या क्षेत्र के अंदर शामिल विशेषताओं की संख्या से निर्धारित होती है। उदाहरण के लिए, यदि m 0 विशेषताएँ बाईं सीमा x = 0 से प्रवेश करती हैं, अर्थात, m 0 eigenvalues ​​​​λ k x = 0 पर सकारात्मक हैं, तो m 0 सीमा शर्तों को इस सीमा पर निर्दिष्ट किया जाना चाहिए। यदि सीमा x = l पर नकारात्मक eigenvalues ​​​​की संख्या m l के बराबर है और, परिणामस्वरूप, बिल्कुल m l विशेषताएँ सही सीमा के माध्यम से डोमेन में प्रवेश करती हैं, तो इस सीमा पर m l सीमा शर्तों को निर्दिष्ट किया जाना चाहिए। चूँकि स्वदेशी मान समय पर निर्भर करते हैं, प्रत्येक सीमा पर सीमा स्थितियों की संख्या समय के साथ बदल सकती है। t dx dt = m λ m (x,t) dx dt = λ 1 t dx dt = λ 1 dx dt = m λ x l a x r x (x 0.0) b x 1. समीकरणों की प्रणाली की विशेषताएं (1.1), बिंदु (x, t) (ए) की निर्भरता के क्षेत्रों और बिंदु (x 0, 0) के प्रभाव को सीमित करना (बी) 6

8 अब स्थिर गुणांक वाले समीकरणों (1.1) की सजातीय अतिपरवलयिक प्रणाली पर विचार करें। एक स्थिर मैट्रिक्स A के लिए, इसके eigenvectors और eigenvalues ​​​​स्थिर हैं, यानी, x और t पर निर्भर नहीं हैं। मान लीजिए l k मैट्रिक्स A का k-वां बायाँ eigenvector है जो इसके eigenvalue λ k के अनुरूप है: l k A = λ k l k (k = 1,..., m)। बाईं ओर से सिस्टम (1.1) को वेक्टर l k से गुणा करें: या जहां l k u t + l ka u x = 0। इस समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है: l k u t + λ k l k u x s ​​​​k t + λ s k k x = 0, = 0, (1.3) एस के = एल के यू, के = 1,...एम। (1.4) समीकरण (1.3) का समाधान s k (x, t) बिना किसी परिवर्तन के विशेषता के साथ स्थानांतरित किया जाता है और इसलिए अक्ष ऑक्स के साथ k वें विशेषता के प्रतिच्छेदन बिंदु पर प्रारंभिक मान s k से t > 0 के लिए गणना की जाती है: एस के (एक्स, टी) = एस के (एक्स λ के टी, 0). (1.5) फ़ंक्शंस s k को रीमैन इनवेरिएंट कहा जाता है। 1. रैखिक उथले पानी का मॉडल। सबसे सरल गणितीय मॉडल जिसके भीतर सतह तरंगों के साथ तरल पदार्थ की गति का वर्णन किया जा सकता है वह उथले पानी का रैखिक मॉडल है: η t + u 0 = 0, (1.6) x u t + g η = 0, (1.7) x η(x) , 0) = η 0 (x), u(x, 0) = u 0 (x), (1.8) , η 0 (x) और u 0 (x) प्रारंभिक समय में ऊंचाई और वेग t = 0, 0 = स्थिरांक पूल गहराई, जी = स्थिरांक मुक्त गिरावट त्वरण। 7

9 समीकरणों की प्रणाली (1.6), (1.7) को मैट्रिक्स ए और समाधान वेक्टर यू के साथ एक सजातीय प्रणाली (1.1) के रूप में लिखा जा सकता है: ए = (0 0 जी 0) (η, यू = यू)। (1.9) मैट्रिक्स ए में दो अलग-अलग वास्तविक स्वदेशी मान हैं λ 1 = सी 0, λ = सी 0 = जी 0, (1.10) इसलिए समीकरणों की प्रणाली (1.6), (1.7) अतिपरवलयिक प्रकार की है। विशेषता समीकरण (1.) निम्नलिखित रूप लेते हैं: dx dt = c 0, dx dt = c 0, (1.11) इसलिए विशेषताएँ सीधी रेखाएँ हैं। बिंदु (x, t), t > 0 से गुजरने वाली विशेषताएँ, ऑक्स अक्ष को बिंदुओं x l और x r पर प्रतिच्छेद करती हैं, जहाँ x l = x c 0 t, x r = x + c 0 t। (1.1) eigenvalues ​​​​(1.10) के अनुरूप मैट्रिक्स A के बाएँ eigenvectors सूत्र l 1 = (c 0, 0), l = (c 0, 0) द्वारा दिए गए हैं। (1.13) y 0 η y= (x,t) l x y=- 0 प्रारंभिक आश्रित चर सूत्र r = c 0 η 0 u, s = c 0 η + 0 u, (1.14) 8 द्वारा दिए गए हैं

10 जहाँ से η = r + s c 0, u = s r 0. (1.15) सूत्र (1.5) से, समानता (1.14) को ध्यान में रखते हुए, हम अपरिवर्तनीय r(x, t) = r में कॉची समस्या को हल करने के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं (x λ 1 t, 0) = r(x + c 0 t, 0) = c 0 η 0 (x r) 0 u 0 (x r), (1.16) s(x, t) = s(x λ t, 0) = एस(एक्स सी 0 टी, 0) = सी 0 η 0 (एक्स एल) + 0 यू 0 (एक्स एल)। (1.17) अंत में, संबंधों (1.15) का उपयोग करके, हम कॉची समस्या का सटीक समाधान प्राप्त करते हैं (1.6), (1.7), (1.8) η(x, t) = η 0(x l) + η 0 (x r) + 0 यू0(एक्स एल) यू 0 (एक्स आर), सी 0 यू(एक्स, टी) = यू 0(एक्स एल) + यू 0 (एक्स आर) + सी 0 η0(एक्स एल) η 0 (एक्स आर)। 0 (1.18) विचाराधीन प्रारंभिक-सीमा मूल्य समस्या को हल करते समय, खंड के प्रत्येक छोर पर एक शर्त निर्धारित करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, मान लें कि पूल की दीवारें तरल के लिए अभेद्य हैं, जिसका अर्थ है कि इन दीवारों पर तरल का वेग शून्य के बराबर है: u(0, t) = u(l, t) = 0 .(1.19) एक घिरे बेसिन में सतह तरंगों के साथ एक तरल पदार्थ की गति पर: निम्नलिखित प्रारंभिक-सीमा मूल्य समस्या का एक बंद क्षेत्र डी = में निरंतर समाधान η (x, t), u (x, t) खोजें η टी + यू 0 एक्स = 0, यू टी + जी η = 0, 0< x < l, 0 < t T, x u(0, t) = u(l, t) = 0, 0 t T, η(x, 0) = η 0 (x), u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l. (1.0) 1.3. Линейное уравнение переноса. Итак, если матрица A однородной гиперболической системы уравнений (1.1) постоянна, то такую систему можно свести к системе уравнений в инвариантах Римана, 9

11, रीमैन इनवेरिएंट के समीकरण एक-दूसरे पर निर्भर नहीं हैं और उनमें से प्रत्येक का रूप u t + au x = 0, a = const है। (1.1) यह समीकरण सबसे सरल अतिपरवलयिक समीकरण है और इसे रैखिक परिवहन समीकरण कहा जाता है। इस समीकरण का उपयोग समीकरणों की अतिशयोक्तिपूर्ण प्रणालियों को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली अंतर योजनाओं के गुणों का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है। रैखिक परिवहन समीकरण (1.1) के लिए कॉची समस्या u t + au x = 0 पर विचार करें,< x <, 0 < t T, u(x, 0) = u 0 (x), < x <. (1.) Характеристика x = x(t) уравнения (1.1) определяется уравнением dx dt = a, (1.3) т. е. является прямой с наклоном a к оси Ot. Следовательно, точное решение задачи Коши определяется по формуле u(x, t) = u 0 (x at). (1.4) График точного решения в момент времени t получается переносом графика начальной функции на величину at (в положительном направлении оси Ox, если a >0 और इसके विपरीत)। निरंतर गुणांक ए के साथ परिवहन समीकरण के लिए, प्रारंभिक-सीमा मूल्य समस्या के लिए सटीक समाधान लिखना भी आसान है। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, a = const > 0. फिर निम्नलिखित प्रारंभिक-सीमा मान समस्या u t + au x = 0, 0 अच्छी तरह से प्रस्तुत की गई है< x l, 0 < t T, u(0, t) = µ 0 (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l, u 0 (0) = µ 0 (0). (1.5) Легко проверить, что если u 0 (x) и µ 0 (t) дифференцируемые функции, то решение задачи (1.5) определяется формулой u(x, t) = { u0 (x at) при t x/a, µ 0 (t x/a) при t x/a. (1.6) 1.4. Явная противопоточная схема. Перейдем теперь к изучению конечно-разностных схем решения линейного уравнения переноса. 10

12 आइए प्रारंभिक-सीमा मूल्य समस्या यू टी + एयू एक्स = एफ (एक्स, टी), 0 के लिए अपस्ट्रीम अंतर (अपस्ट्रीम स्कीम) के साथ एक स्पष्ट योजना के साथ शुरुआत करें।< x l, 0 < t T, a = const >0, यू(0, टी) = µ 0 (टी), 0 टी टी, यू(एक्स, 0) = यू 0 (एक्स), 0 एक्स एल, यू 0 (0) = µ 0 (0)। (1.7) निम्नलिखित में, हम केवल बंद डोमेन डी = को कवर करने वाले समान ग्रिड पर विचार करेंगे। आइए निम्नलिखित अंतर योजना बनाएं u n + a un un 1 = f n, = 1,..., N, u n 0 = µ n 0, n = 0,..., M, u 0 = u 0(x) , = 0 ,..., एन, (1.8) क्रम ओ(+) के साथ समस्या (1.7) का अनुमान लगाना। पहले की तरह, इस योजना को ऑपरेटर फॉर्म L u = f में लिखा जा सकता है। अपविंड योजना का नाम इस तथ्य के कारण है कि यदि हम परिवहन समीकरण को तरल या गैस के प्रवाह का वर्णन करने वाले समीकरणों की प्रणाली के लिए एक मॉडल समीकरण के रूप में मानते हैं, और द्रव वेग के साथ गुणांक की पहचान करते हैं, तो एक सकारात्मक पर वेग, यानी, > 0 पर, योजना में बाएं अंतर डेरिवेटिव को "स्ट्रीम" (अपस्ट्रीम में स्थित) के अपस्ट्रीम में स्थित नोड x 1 का उपयोग करके लिया जाता है। आइए हम ग्रिड फ़ंक्शंस यू के स्थान और दाहिनी ओर एफ के स्थान में समान मानदंड पेश करें: जहां एफ एफ (= अधिकतम यू यू अधिकतम एन यू एन सी = अधिकतम 0 एन यूएन, = अधिकतम एन यूएन सी, (1.9)) µn 0, (यू 0) सी, अधिकतम एफ एन एन सी, (1.30) एफ एन सी = अधिकतम 1 एन एफ एन परत टी = टी एन पर समान मानदंड। अधिकतम सिद्धांत का उपयोग करके, हम निम्नलिखित कथन को सिद्ध कर सकते हैं। प्रमेय 1.1. शर्त की संतुष्टि ए 1 (1.31) 11

13 एकसमान मानदंड में अपविंड योजना (1.8) की स्थिरता के लिए पर्याप्त है। सबूत। मान लीजिए x संख्या 1 N वाला एक ग्रिड नोड है। आइए हम इस नोड पर सर्किट के अंतर समीकरण को फिर से लिखें = (1 r)u n + ru n 1 + f n, जहां r = a/। प्रमेय की शर्तों से यह निष्कर्ष निकलता है कि 1 आर 0, इसलिए निम्नलिखित अनुमान (1 आर) यू एन +आर यू एन 1 + एफ एन (1 आर) यू एन सी +आर यू एन सी + एफ एन सी यू एन सी + अधिकतम एम एफ एम सी मान्य होगा। सीमा नोड, हमारे पास निम्नलिखित अनुमान है 0 = µ n+1 0 अधिकतम m µm 0. इसलिए, इन असमानताओं के बायीं ओर की अधिकतम सीमा इनके दायीं ओर की दो संख्याओं की अधिकतम संख्या से अधिक नहीं हो सकती है असमानताएँ: (C अधिकतम अधिकतम m) µm 0, u n C + अधिकतम f m m C, और यह अधिकतम सिद्धांत है। हमने पाया है कि, शर्त (1.31) के तहत, योजना (1.8) अधिकतम सिद्धांत को संतुष्ट करती है। इसलिए (प्रमेय 3.1.1 देखें) यह प्रारंभिक डेटा, सीमा स्थितियों और दाहिनी ओर एक समान मानदंड में स्थिर होगा। वही स्थिति (1.31) योजना (1.8) की स्थिरता के लिए भी एक आवश्यक शर्त है, जो स्थिरता के लिए न्यूमैन वर्णक्रमीय मानदंड से अनुसरण करती है। आइए इसे साबित करें. आइए हम हार्मोनिक u n = λ n e iφ (1.3) लें और इसे सजातीय अंतर समीकरण में प्रतिस्थापित करें। परिणामस्वरूप, संक्रमण कारक के लिए हमें समीकरण प्राप्त होता है इसलिए, λ = 1 r (1 e iφ) = 1 r(1 cos φ) ir syn φ। λ = 1 आर(1 कॉस φ) + आर (1 कॉस φ) + आर सिन φ = 1

14 = 1 आर(1 कॉस φ) [ आर(1 कॉस φ) आर(1 + कॉस φ)] = 1 आर(1 कॉस φ)(1 आर)। मान लीजिए कि चरण और योजना (1.8) सीमा आर = ए = स्थिरांक के मार्ग से संबंधित हैं। (1.33) तब eigenvalues ​​​​λ (φ) पर निर्भर नहीं होता है, इसलिए आवश्यक न्यूमैन स्थिरता की स्थिति आवश्यकता या λ (φ) 1, φ R तक कम हो जाती है। (1.34) r(1 cos φ)(1 r) 0, φ आर. (1.35) जाहिर है, यह असमानता > 0 से स्थिति (1.31) के बराबर है। इस प्रकार, एक > 0 के लिए स्थिति (1.31) एकसमान मानदंड में अपविंड योजना की स्थिरता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है। ध्यान दें कि ए के लिए< 0 схема (1.8) абсолютно неустойчива, поскольку в этом случае нарушается неравенство (1.34) (см. задачу 1.1). Какую же схему следует использовать при a < 0, когда поток распространяется справа налево? Отметим, что в этом случае корректной будет такая начально-краевая задача u t + au x = f(x, t), 0 x < l, 0 < t T, a = const < 0, u(l, t) = µ l (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l, u 0 (l) = µ l (l). (1.36) Для этой задачи возьмем следующую противопоточную схему u n + a un +1 un = f n, = 0,..., N 1, u n N = µn l, n = 0,..., M, u 0 = u 0(x), = 0,..., N, (1.37) которая аппроксимирует дифференциальную задачу (1.36) с порядком O(+). Используя принцип максимума и спектральный признак Неймана, можно показать, что схема (1.37) при a < 0 будет устойчива при выполнении условия a 1. С другой стороны, при a >0 योजना (1.37) बिल्कुल अस्थिर होगी (समस्या 1 देखें)। 13

15 इस प्रकार, हमने परिवहन समीकरण के लिए अपस्ट्रीम अंतर के साथ दो सशर्त रूप से स्थिर स्पष्ट योजनाओं का निर्माण किया है, जिसमें निरंतर गुणांक a un n un + a un un 1 + a un +1 un है। वे असमानता = f n के तहत स्थिर हैं, यदि a > 0, = एफ एन, यदि ए< 0. (1.38) a 1. (1.39) Во внутренних узлах сетки противопоточную схему (1.38) можно записать в виде одного уравнения u n + a + a u n un 1 + a a u n +1 un = f n. (1.40) Аналогично выглядит явная противопоточная схема и в случае знакопеременного коэффициента a(x, t). Например, если на границах отрезка выполнены условия a(0, t) >0, ए(एल, टी)< 0, 0 t T, то получим такую противопоточную схему где u n + a + un un 1 + a un +1 un = f n, = 1,..., N 1, u n 0 = µ n 0, u n N = µ n l, n = 0,..., M, (1.41) u 0 = u 0 (x), = 0,..., N, a + = an + a n, a = an a n, (1.4) которая аппроксимирует с порядком O(+) начально-краевую задачу u t + a(x, t)u x = f(x, t), 0 < x < l, 0 < t T, u(0, t) = µ 0 (t), u(l, t) = µ l (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l. (1.43) 14

16 अधिकतम सिद्धांत की सहायता से, कोई यह साबित कर सकता है (समस्या 1.10 देखें) कि एक चर गुणांक a(x, t) के साथ अपविंड योजना (1.41) की स्थिरता के लिए यह अधिकतम a(x, टी) 1. (1.44) एक्स,टी 1.5। लैक्स की योजना. इसके अलावा, प्रस्तुति की सरलता के लिए, हम सजातीय परिवहन समीकरण u t + au x = 0 के साथ प्रारंभिक-सीमा मूल्य समस्या (1.7) पर विचार करेंगे। (1.45) लैक्स योजना में, परिवहन समीकरण (1.45) का अनुमान लगाने वाला अंतर समीकरण है 0.5 (u n +1 + ) un 1 + a un +1 un 1 = 0, = 1,..., N 1 के रूप में लिखा गया है। (1.46) स्थानीय सन्निकटन त्रुटि के लिए, हमारे पास अभिव्यक्ति ψ n, = u tt है यू एक्सएक्स +..., इसलिए, = ओ () के लिए लैक्स योजना परिवहन समीकरण का अनुमान नहीं लगाएगी, लेकिन सीमा आर = ए = स्थिरांक (1.47) तक पारित होने के कानून के तहत यह ऑर्डर ओ (+) के साथ अनुमानित होगी ). इस प्रकार, सन्निकटन केवल चरणों के बीच एक निश्चित संबंध के लिए होता है, अर्थात, लैक्स योजना सशर्त रूप से सन्निकटन योजनाओं के वर्ग से संबंधित है। संक्रमण कारक के लिए, हम सूत्र λ(φ) = cos φ ir syn φ प्राप्त करते हैं। इसलिए, सीमा (1.47) तक पारित होने के कानून के तहत, लैक्स योजना की स्थिरता के लिए आवश्यक शर्त असमानता आर 1 की पूर्ति है, यानी, 1. (1.48) 15

17 1.6. लैक्स वेन्ड्रोफ़ का आरेख। इस योजना के अंतर समीकरण इस तरह दिखते हैं: u +1/ 0.5 (u n +1 +) un + a un +1 un = 0, / u n + a u +1/ (1.49) u 1/ = 0. लैक्स वेन्ड्रोफ की योजना दो-चरणीय योजनाओं के परिवार को संदर्भित करता है। इस योजना में, सबसे पहले, अर्ध-पूर्णांक नोड्स x +1/ = x +/ पर, समय t n + / से संबंधित सहायक मात्राएँ u +1/ की गणना लैक्स योजना के अनुसार की जाती है। फिर, दूसरे चरण में, वांछित ग्रिड फ़ंक्शन के मानों की गणना (n + 1)वीं समय परत पर की जाती है। दो-चरणीय योजनाओं के सन्निकटन और स्थिरता का अध्ययन करने के लिए, सहायक मात्रा यू को योजना से प्रारंभिक रूप से बाहर रखा गया है। उन्मूलन के परिणामस्वरूप, हमें लैक्स वेंड्रॉफ यू एन + ए अन +1 अन 1 = ए अन +1 अन + अन 1, (1.50) की एक-चरणीय योजना प्राप्त होती है, जिसे जांचना आसान है, यह परिवहन का अनुमान लगाता है यू में दूसरे क्रम के साथ समीकरण (1.45)। संक्रमण कारक के लिए, हमारे पास निम्नलिखित अभिव्यक्ति है λ = 1 ir पाप φ r पाप φ। इसलिए, आवश्यक स्थिरता की स्थिति λ 1 असमानता (1 आर पाप φ) + आर पाप φ 1, या 1 4r पाप φ + 4r4 पाप 4 φ + 4r पाप φ (1 पाप φ) 1 की पूर्ति के बराबर होगी। बाद की असमानता स्थिति आर 1 के बराबर है। इस प्रकार, लैक्स वेन्ड्रॉफ़ योजना की स्थिरता के लिए आवश्यक शर्त, लैक्स योजना अपव्यय और फैलाव की स्थिरता के लिए आवश्यक शर्त (1.48) के साथ मेल खाती है। परिवहन समीकरण u t + au x = 0 के साथ, a = स्थिरांक (1.51) 16

18 दो और समीकरणों पर विचार करें u t + au x = µu xx, µ = const > 0, (1.5) u t + au x + νu xxx = 0, ν = const. (1.53) मान लीजिए कि इन समीकरणों के लिए कॉची समस्या में प्रारंभिक फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला u(x, 0) = m b m e imx के रूप में दर्शाया गया है। (1.54) हम इनमें से प्रत्येक समीकरण का हल चरों को अलग करने की विधि से खोजेंगे u(x, t) = b m λ t e imx = b m u m (x, t), (1.55) m m जहां u m (x, t) तरंग संख्या m u m (x , t) = λ t e imx के साथ एक हार्मोनिक है, (1.56) λ निर्धारित किया जाना है। हार्मोनिक के वास्तविक और काल्पनिक भाग एम-तरंगें हैं, जिनकी लंबाई एल सूत्र एल = π मीटर द्वारा तरंग संख्या से संबंधित है। (1.57) चूँकि समीकरण (1.51) (1.53) रैखिक हैं, प्रत्येक हार्मोनिक्स के व्यवहार पर स्वतंत्र रूप से विचार किया जा सकता है। ट्रांसपोर्ट समीकरण (1.51) में तरंग संख्या एम के साथ हार्मोनिक को प्रतिस्थापित करने पर, हम या तो एलएन (λ) + लक्ष्य = 0 λ = ई उद्देश्य प्राप्त करते हैं। इसलिए, यदि हार्मोनिक (1.56) परिवहन समीकरण का एक समाधान है, तो इसका रूप ξ = x at को दर्शाता है, हम um (x, t) = e im(x at) प्राप्त करते हैं। (1.58) यू एम (एक्स, टी) = ई आईएमξ = यूएम (ξ, 0)। (1.59) 17

19 इस प्रकार, किसी भी समय t > 0 पर, प्रारंभिक हार्मोनिक को at से स्थानांतरित करके हार्मोनिक um प्राप्त किया जाता है। इसलिए, परिवहन समीकरण एम-तरंगों की गति का वर्णन करता है, जो उनकी लंबाई की परवाह किए बिना, उनके आकार को विकृत किए बिना एक स्थिर गति वी एम = ए पर फैलती हैं। यह जांचना आसान है कि हार्मोनिक (1.56) दूसरे समीकरण (1.5) का एक समाधान है यदि ln(λ) + लक्ष्य = µm या λ = e लक्ष्य e µm, यानी, इस मामले में हार्मोनिक का रूप u m है ( x, t) = e µmt e im(xat). नतीजतन, सभी हार्मोनिक्स के लिए, तरंग आयाम कम हो जाता है (तरंग अपव्यय)। चूँकि m = π/l, छोटी तरंगें लंबी तरंगों की तुलना में तेजी से क्षय होती हैं। तरंग प्रसार का वेग v m तरंग दैर्ध्य पर निर्भर नहीं करता है और अभी भी a के बराबर है। समाधान के दूसरे व्युत्पन्न के साथ µu xx शब्द तरंग अपव्यय के लिए जिम्मेदार है। अंत में, हार्मोनिक को समीकरण (1.53) में प्रतिस्थापित करने पर ln(λ) + लक्ष्य + ν(im) 3 = 0 मिलता है, या जहाँ से हम प्राप्त करते हैं कि λ = e im(a νm), u m (x, t) = e im( एक्स ( ए νm)टी). इस प्रकार, तीसरा समीकरण इसके आयाम को बदले बिना (अपव्यय के बिना) तरंग गति का वर्णन करता है। लेकिन इसके प्रसार की गति तरंग दैर्ध्य v m = a νm पर निर्भर करती है। (1.60) यह सूत्र दर्शाता है कि अलग-अलग लंबाई की तरंगें अलग-अलग गति से फैलती हैं (तरंगें फैलती हैं)। शॉर्ट-वेव विक्षोभ (बड़े एम) के प्रसार के वेग में अधिक महत्वपूर्ण परिवर्तन होते हैं। समाधान के तीसरे व्युत्पन्न के साथ νu xxx शब्द तरंग फैलाव के लिए जिम्मेदार है। 18

20 व्यक्तिगत हार्मोनिक्स के व्यवहार पर विचार करने के बाद, अब हम इन समीकरणों के लिए कॉची समस्या के समाधान (1.55) के गुणात्मक व्यवहार की भविष्यवाणी कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, प्रारंभिक फलन u(x, 0) का एक चरण (1, x 0, u(x, 0) = (1.61) 0, x > 0 और a > 0 है। ऐसे का विस्तार फूरियर श्रृंखला (1.54) में एक फ़ंक्शन में हार्मोनिक्स का पूरा सेट शामिल होगा। परिवहन समीकरण (1.51) के लिए कॉची समस्या का समाधान इस रूप में दर्शाया गया है कि समस्या का समाधान वेग ए के साथ चलने वाली प्रारंभिक प्रोफ़ाइल है। समाधान u(x, t) = m b m e µmt e im(x at) = m b m e µmt e imξ (1.63) समीकरण (1.5) के लिए कॉची समस्या का एक विघटनकारी पद के साथ जिसमें लघु तरंगें दृढ़ता से u(x, t) = m b m e im (x (a νm)t) समीकरण (1.53) के लिए कॉची समस्या का (1.64), जिसमें अलग-अलग लंबाई की तरंगें अलग-अलग वेग से चलती हैं, इसमें नॉनमोनोटोनिक, दोलन चरित्र होता है, सूत्र (1.60) के अनुसार, ν > 0 के लिए, तरंगें छोटी लंबाई की तरंगों का वेग बड़ी लंबाई की तरंगों से कम होगा, और ν के लिए< 0 наоборот. Поэтому осцилляции будут отставать от основного решения (описываемого первыми гармониками) при ν >0 और, तदनुसार, ν के रूप में आगे बढ़ें< Дифференциальное приближение разностной схемы. Вернемся к численному решению задачи Коши для уравнения переноса (1.51). В качестве начального профиля возьмем ступеньку { 1, x x0, u(x, 0) = (1.65) 0, x >x 0 19

21 और स्पष्ट अपविंड योजना के अनुसार गणना करें यू एन + ए अन अन 1 = 0, ए = कॉन्स्ट > 0। (1.66) परिणामस्वरूप, हम एक स्मीयर स्टेप के रूप में एक समाधान प्राप्त करते हैं (चित्र 3) , यानी, समाधान गुणात्मक रूप से एक विघटनकारी पद के साथ समीकरण (1.5) के समाधान के समान होगा। क्या बात क्या बात? आख़िरकार, हम परिवहन समीकरण को हल करना चाहते थे, जिसमें कोई विघटनकारी शब्द नहीं है। मुद्दा यह है कि हम संख्यात्मक रूप से परिवहन समीकरण के समाधान की तलाश में नहीं थे, बल्कि एक अंतर योजना के समाधान की तलाश कर रहे थे। इस प्रकार, अनुमानित अंतर समीकरण और अनुमानित अंतर समीकरण के समाधान के गुण मेल नहीं खा सकते हैं। तो फिर, अंतर समीकरण के समाधान के गुणों की भविष्यवाणी कैसे करें? y x 30 चित्र। चित्र 3. समय बिंदु t = 1 (1) पर अपविंड योजना (1.66) का उपयोग करके प्राप्त सटीक समाधान (धराशायी रेखाएं) और संख्यात्मक समाधान (ठोस रेखाएं) के ग्राफ़; टी=8(); टी = 15 (3). ए = 1; x0 = 10; ए/ = 0.5 यह अंतर सन्निकटन विधि का उपयोग करके किया जा सकता है, जिसकी अब हम संक्षेप में समीक्षा करेंगे। इस पद्धति का सार मूल अंतर समीकरण को एक विशेष अंतर समीकरण से बदलना है जिसमें अध्ययन के तहत अंतर समीकरण के सभी गुण हों। इसलिए, अंतर समीकरण का अध्ययन करने के बजाय, इस अंतर समीकरण की जांच की जाती है, जो कई मामलों में करना बहुत आसान है। एक अंतर समीकरण के अनुरूप एक अंतर समीकरण प्राप्त करना इस अंतर समीकरण को एक तथाकथित सैद्धांतिक अंतर योजना के रूप में लिखने से शुरू होता है, जिसमें अंतर ऑपरेटर उसी कार्यात्मक स्थान में कार्य करते हैं, जिस अंतर ऑपरेटर का वे अनुमान लगाते हैं। उदाहरण के लिए, अंतर समीकरण (1.66) को निम्नलिखित सैद्धांतिक अंतर 0 के रूप में लिखा गया है

22 योजनाएँ u(x, t +) u(x, t) u(x, t) u(x, t) + a = 0. (1.67) ऐसी योजना का समाधान फलन u(x, t) है निरंतर तर्क x और t जबकि समीकरण (1.66) का समाधान ग्रिड फ़ंक्शन यू है, जिसे केवल ग्रिड नोड्स पर परिभाषित किया गया है। मान लीजिए कि पर्याप्त रूप से सुचारू फ़ंक्शन u(x, t) सैद्धांतिक अंतर योजना (1.67) का समाधान है। हम इसे इस योजना में प्रतिस्थापित करते हैं और टेलर सूत्र का उपयोग करके बिंदु (x, t) पर फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव के मानों के संदर्भ में u(x, t +) और u(x, t) को व्यक्त करते हैं। परिणामस्वरूप, हमें अंतर योजना (1.67) u t + au x + u tt + 6 u ttt a u xx + a 6 u xxx +... = 0 के समतुल्य एक अंतर समीकरण प्राप्त होता है। (1.68) परिभाषा। टेलर सूत्र द्वारा सैद्धांतिक अंतर योजना (1.67) के समाधान यू(एक्स, टी) का विस्तार करने के बाद प्राप्त अनंत क्रम के अंतर समीकरण (1.68) को अंतर योजना (1.66) का अंतर प्रतिनिधित्व कहा जाता है। अंतर योजना के कुछ गुणों का अध्ययन पहले से ही इस अंतर प्रतिनिधित्व की सहायता से किया जा सकता है, लेकिन हमारे उद्देश्यों के लिए अंतर प्रतिनिधित्व के दूसरे रूप का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होगा, जो (1.68) को छोड़कर सभी समय व्युत्पन्नों के उन्मूलन के परिणामस्वरूप होता है। उसके लिए जो अनुमानित समीकरण (1.51) में प्रवेश करता है, मी यानी यूटी को छोड़कर। आइए, उदाहरण के लिए, दिखाएं कि ऑर्डर यू के संदर्भ में समय डेरिवेटिव को कैसे खत्म किया जाए। ऐसा करने के लिए, हम O() और O() u t + au x + u tt + 6 u ttt a u xx + a 6 u xxx = O() (1.69) क्रम तक के पदों को ध्यान में रखते हुए समीकरण (1.68) को फिर से लिखते हैं। ) और व्युत्पन्न u t खोजने के लिए परिणामी समीकरण का उपयोग करें: u t = au x u tt 6 u ttt + a u xx a 6 u xxx + O() (1.70) हम इस व्युत्पन्न को व्युत्पन्न (u t) वाले समीकरण (1.69) के पदों में प्रतिस्थापित करते हैं ) टी और (यू टी) टीटी। समय के संबंध में दूसरे और तीसरे डेरिवेटिव पर गुणांक की लघुता के क्रम को ध्यान में रखते हुए, हम इसे (यू टी) टी 1 में प्राप्त करते हैं

23 यह O(+) सटीकता के साथ गणना किए गए व्युत्पन्न (1.70) को प्रतिस्थापित करने के लिए पर्याप्त है: u t = au x u tt + a u xx + O(+), (1.71) और (u t) tt में O(+) सटीकता के साथ: u t = एयू एक्स +ओ(+). (1.7) ऐसे प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप, समीकरण (1.69) निम्नलिखित रूप लेता है: यू टी + एयू एक्स + (एयू एक्स यू टीटी + ए) यू एक्सएक्स + टी 6 (एयू एक्स) टीटी = = ए यू एक्सएक्स ए 6 यू xxx + O(), या u t + au x a u tx 4 u ttt + a 4 u txx a 6 u ttx = = a u xx a 6 u xxx + O()। (1.73) समीकरण (1.69) में प्रतिस्थापित करने के बाद, हम समीकरण (1.73) के साथ समान कार्रवाई करते हैं। अब हमें समीकरण (1.73) से निर्धारित अवकलज u t को उसी समीकरण के चार पदों में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है: u t + au x a (au x + a u tx + a u xx) x 4 (au x) tt + + a 4 (au x) xx a 6 (au x) tx = a u xx a 6 u xxx + O()। समान को कम करने के बाद, हम समीकरण u t + au x a 1 u txx + a 4 u ttx = = a (a) (1 r) u xx + a u xxx + O(), 6 (1.74) प्राप्त करते हैं, जिसमें, इसके विपरीत (1.69) तक, कोई दूसरी बार व्युत्पन्न नहीं है। (1.74) में शेष मिश्रित व्युत्पन्न यू टीएक्स और यू टीटीएक्स की गणना समानता (1.7) के आधार पर की जा सकती है: यू टीएक्सएक्स = एयू एक्सएक्सएक्स + ओ (+), यू टीटीएक्स = एयू एक्सएक्सएक्स + ओ (+)। (1.75)

24 इसलिए, विभेदक निरूपण (1.74) u t + au x = a (1 r)u xx a 6 (r 3r + 1)u xxx + O() का रूप लेता है। (1.76) इस प्रकार, हमने और की शक्तियों के साथ समय व्युत्पन्न से छुटकारा पा लिया। लेकिन टी के संबंध में डेरिवेटिव अब तक ओ() के दाईं ओर उच्च शक्तियों पर बने हुए हैं। यदि हम वर्णित प्रक्रिया को आगे भी जारी रखते हैं, तो प्रतिनिधित्व (1.68) में हम समय व्युत्पन्न को मनमाने ढंग से उच्च क्रम तक हटा सकते हैं। परिणामस्वरूप, हमें या u t + au x = a (1 r)u xx + a 6 (1 r)(r 1)u xxx +... (1.77) u t + के रूप में सर्किट का विभेदक प्रतिनिधित्व प्राप्त होता है। एयू एक्स = के= सी के के यू एक्स के। (1.78) परिभाषा. अनंत कोटि के समीकरण (1.78) को अंतर योजना के विभेदक निरूपण का पी-रूप कहा जाता है। मान लें कि अंतर योजना में क्रमशः सन्निकटन γ 1 और γ के आदेश हैं। परिभाषा। क्रम O(γ1+1, γ+1) और उच्चतर की शर्तों को त्यागकर अंतर प्रतिनिधित्व के पी-फॉर्म से प्राप्त अंतर समीकरण को अंतर योजना का पहला अंतर सन्निकटन (पी.डी.पी.) कहा जाता है। अपविंड योजना (1.66) के लिए, पी.डी.पी. एक दूसरे क्रम का अंतर समीकरण है यू टी + एयू एक्स = μu xx, µ = ए (1 आर), (1.79) जो, जैसा कि हम देखते हैं, समीकरण (1.5) के साथ मेल खाता है विघटनकारी शब्द. इस प्रकार, आर 1 के लिए, हमारी योजना अनुमानित परिवहन समीकरण में चिपचिपाहट (अपव्यय) का परिचय देती है, जिसे अनुमानित या योजना चिपचिपाहट कहा जाता है। सन्निकटन चिपचिपाहट की उपस्थिति से प्रारंभिक चरण में धब्बा लग जाता है। परिभाषा। पीडीपी में सम-क्रम डेरिवेटिव की उपस्थिति के कारण अंतर योजना की संपत्ति को संख्यात्मक अपव्यय कहा जाता है। 3

25 लैक्स वेन्ड्रोफ अंतर योजना के विभेदक प्रतिनिधित्व के पी-फॉर्म का रूप + νu xxx = 0, ν = a 6 (1 r) (1.80) एक विचरण पद के साथ समीकरण (1.53) से मेल खाता है। नतीजतन, आर 1 पर, लैक्स वेन्ड्रोफ योजना अनुमानित परिवहन समीकरण में फैलाव का परिचय देती है, इसलिए अंतर योजना का समाधान दोलन कर सकता है (चित्र 4)। y चित्र. चित्र 4. समय बिंदु t = 1 (1) पर लैक्स वेन्ड्रोफ योजना का उपयोग करके प्राप्त सटीक समाधान (धराशायी रेखाएं) और संख्यात्मक समाधान (ठोस रेखाएं) के ग्राफ़; टी=8(); टी = 15 (3). ए = 1; x0 = 10; ए/ = 0.5 परिभाषा। किसी अंतर योजना की संपत्ति, उसके पीडीपी में विषम-क्रम डेरिवेटिव की उपस्थिति के कारण, संख्यात्मक फैलाव कहलाती है। आइए अपने तर्क को संक्षेप में प्रस्तुत करें। सुचारु रूप से भिन्न समाधान वाली समस्याओं के लिए, जिसमें उच्च-आवृत्ति हार्मोनिक्स का योगदान छोटा है, लैक्स वेन्ड्रॉफ़ योजना की सटीकता अपविंड योजना की तुलना में अधिक है। यदि हम संख्यात्मक रूप से एक समस्या को हल करते हैं जिसमें समाधान में तेजी से बदलती मोनोटोनिक प्रोफ़ाइल होती है, तो प्रथम-क्रम अपविंड योजना को लागू करने से एक मोनोटोनिक गैर-दोलन प्रोफ़ाइल मिलेगी, लेकिन दृढ़ता से चिकनी हो जाएगी। यह संख्यात्मक अपव्यय का परिणाम है. लैक्स वेंड्रॉफ़ की योजना, जिसमें संख्यात्मक फैलाव है, गैर-भौतिक दोलनों द्वारा विकृत, एक असंततता या समाधान में तेज बदलाव के आसपास संख्यात्मक समाधान की गैर-मोनोटोनिक प्रोफाइल दे सकती है। x4

26 चुनौतियाँ 1.1. एक के लिए दिखाओ< 0 схема (1.8) абсолютно неустойчива. 1.. С помощью спектрального метода Неймана показать, что явная схема для уравнения (1.1) u n + a un +1 un = 0, n = 0,..., M 1, = 0, ±1, ±,... (1.81) при a >0 बिल्कुल अस्थिर है न्यूमैन वर्णक्रमीय विधि का उपयोग करके, समीकरण (1.1) यू एन 1 + ए यूएन के लिए तीन-परत "लीप-फ्रॉग" योजना (स्टेपिंग ओवर के साथ योजना, "लीप फ्रॉग" योजना) की स्थिरता के लिए आवश्यक शर्त प्राप्त करें +1 संयुक्त राष्ट्र 1 = 0, एन = 1, ..., एम 1, = 0, ±1, ±,..., (1.8) यदि सीमा तक पारित होने का नियम फॉर्म (1.33) में दिया गया है, तो निर्धारित करें परिवहन समीकरण (1.1) के लिए निर्मित केंद्रीय अंतर यू एन + ए अन +1 अन 1 = 0, (1.83) के साथ स्पष्ट योजना के सन्निकटन का क्रम। न्यूमैन वर्णक्रमीय विधि का उपयोग करके, इस योजना की स्थिरता की जांच करें यदि सीमा तक पारित होने का नियम a = स्थिरांक के रूप में दिया गया है। (1.84) 1.5. परिवहन समीकरण (1.1) के लिए निर्मित प्रमुख योजना यू एन + ए अन +1 अन 1 = ए अन +1 अन + अन 1, (1.85) के सन्निकटन का क्रम निर्धारित करें। न्यूमैन वर्णक्रमीय विधि का उपयोग करके, इस योजना की स्थिरता की जांच करें यदि सीमा कानून का मार्ग फॉर्म (1.84) में दिया गया है। 5

27 1.6. परिवहन समीकरण (1.1) के लिए निर्मित मैककॉर्मैक योजना यू अन + ए अन +1 अन = 0, 0, 5 (यू +) अन / + ए यू यू 1 = 0, (1.86) के सन्निकटन का क्रम निर्धारित करें। न्यूमैन वर्णक्रमीय विधि का उपयोग करते हुए, इस योजना की स्थिरता की जांच करें यदि सीमा संक्रमण कानून फॉर्म (1.84) में दिया गया है, तो वजन के साथ अपविंड योजना के सन्निकटन का क्रम निर्धारित करें यूएन + σए अन (1 σ)ए अन अन 1 = 0 , (1.87) गुणांक a > 0 के साथ परिवहन समीकरण (1.1) के लिए निर्मित। न्यूमैन वर्णक्रमीय विधि का उपयोग करके, योजना की स्थिरता के लिए एक आवश्यक शर्त प्राप्त करें (1.87) यदि सीमा कानून का मार्ग फॉर्म (1.84) में दिया गया है ) अधिकतम सिद्धांत का उपयोग करते हुए, अंतर्निहित अपविंड योजना के एकसमान मानदंड में स्थिरता की जांच करें यू एन + ए अन+1 1 = एफ एन+1, = 1,..., एन, यू एन 0 = µ एन 0, एन = 0 ,..., एम, यू 0 = यू 0(एक्स), = 0,..., एन , (1.88) समस्या के लिए निर्मित (1.7) अधिकतम सिद्धांत का उपयोग करते हुए, के समान मानदंड में स्थिरता के लिए पर्याप्त स्थिति खोजें भार के साथ एक उल्टा योजना यूएन + σए अन (1 σ)ए अन अन 1 = एफ एन+1/, यू एन 0 = µ एन 0 , एन = 0,..., एम, यू 0 = यू 0(एक्स), = 0,..., एन, (1.89) समस्या (1.7) के लिए निर्मित। यहाँ 0 σ 1. 6

28 1.10. अधिकतम सिद्धांत का उपयोग करते हुए सिद्ध करें कि शर्त (1.44) की पूर्ति एक चर गुणांक a(x, t) योजना u n + a un+1 1 = 0, (1.90) के साथ अपविंड योजना (1.41) की स्थिरता के लिए पर्याप्त है। गुणांक a > 0 के साथ परिवहन समीकरण (1.1) के लिए निर्मित। t > 0 के लिए अंतर योजना समाधान के व्यवहार का गुणात्मक स्पष्टीकरण दें, यदि प्रारंभिक समय t = 0 एक चरण (1.61) है।. अंतर की एकरसता संपत्ति योजनाएं.1. अंतर योजनाओं के लिए मुख्य आवश्यकताओं में से एक यह है कि अंतर समीकरण के समाधान को अनुमानित अंतर समीकरण के समाधान के व्यवहार की विशेषताओं को बताना चाहिए। उदाहरण के लिए, रैखिक परिवहन समीकरण u t + au x = 0, a = const > 0, के लिए कॉची समस्या पर विचार करें।< x <, t >0, (.1) यू(एक्स, 0) = यू 0 (एक्स)। (.) यदि u 0 (x) वेरिएबल x का एक गैर-घटता (गैर-बढ़ता) फ़ंक्शन है, तो किसी भी निश्चित t > 0 के लिए समस्या (.1), (.) का समाधान u (x, t) भी होगा वेरिएबल x का न घटने वाला (न बढ़ने वाला) फलन। यह इस तथ्य से निकलता है कि किसी भी समय समाधान सूत्र u(x, t) = u 0 (x at) द्वारा दिया जाता है। (.3) यह आवश्यक होना स्वाभाविक है कि अंतर योजना अनुमानित समस्या (.1), (.) के समाधान में भी समान संपत्ति हो। लेकिन यह पता चला है कि कई अंतर योजनाएं संख्यात्मक समाधान की एकरसता का उल्लंघन करती हैं: अपेक्षित मोनोटोनिक प्रोफाइल के बजाय, गैर-भौतिक दोलन वाले समाधान प्राप्त होते हैं (चित्र 4)। इनके घटित होने का कारण अंतर 7 का संख्यात्मक फैलाव है

पिछले पैराग्राफ में 29 योजनाओं पर चर्चा की गई। इस खंड में, हम ऐसी स्थितियाँ प्रस्तुत करते हैं जिनके तहत अंतर योजना संख्यात्मक समाधान की एकरसता को बनाए रखेगी। आइए एक मनमाना स्पष्ट अंतर योजना पर विचार करें = α b α u n + α, (.4) जहां α एक पूर्णांक है, α = α 1, α 1 + 1,..., α, नोड्स x + α का टेम्पलेट निर्धारित करें यह योजना। परिभाषा। अंतर योजना (.4) को एक ऐसी योजना कहा जाता है जो संख्यात्मक समाधान (मोनोटोन योजना) की एकरसता को संरक्षित करती है यदि यह किसी भी मोनोटोन फ़ंक्शन यूएन को (एन + 1)वें समय परत पर एक मोनोटोन फ़ंक्शन में बदल देती है, इसके अलावा, उसी दिशा के साथ विकास का. उदाहरण 1। हम अपविंड योजना यू एन + ए अन अन 1 = 0 द्वारा एक समान ग्रिड पर समीकरण (.1) का अनुमान लगाते हैं। (.5) इस योजना में यू में सन्निकटन का पहला क्रम है। एनवें समय परत पर ग्रिड फ़ंक्शन यू एन को मोनोटोन होने दें, उदाहरण के लिए, एक मोनोटोनिक रूप से बढ़ता हुआ फ़ंक्शन, यानी, मनमाना के लिए यू एन यू एन 1। इस मामले में, aæ 1 के रूप वाले सर्किट की स्थिरता की स्थिति के तहत, जहां æ = /, हम + aæ(u n 1 u n) 0 प्राप्त करते हैं। इस प्रकार, समाधान (n + 1)वीं परत पर भी नीरस रूप से बढ़ता है . इस प्रकार, अपविंड योजना (एæ पर अपव्यय हो रही है< 1) является схемой, сохраняющей монотонность. Пример.. Покажем, что схема Лакса Вендроффа (1.49) (не обладающая диссипацией при aæ < 1) не сохраняет монотонность численного решения. Пусть начальная функция для уравнения (.1) имеет вид (1.61) { 1, при x 0, u 0 (x) = 0, при x > 0. 8

30 नतीजतन, प्रारंभिक ग्रिड फ़ंक्शन ( यू 0 1, 0 के लिए, = यू 0 (एक्स) = 0, > 0 के लिए नीरस रूप से घट रहा है। आइए हम विचार की गई योजना को एक-चरणीय योजना (1.50) के रूप में फिर से लिखें। और फिर गुणांक b 1 = a æ + aæ, b 0 = 1 a æ, b 1 = a æ aæ.(.6) 1 + b 0, at = 0, b 1 के साथ योजना (.4) के रूप में , पर = 1, 0, पर। एæ पर< 1 схема устойчива, но b 1 + b 0 >1, यानी, ग्रिड फ़ंक्शन यू 1 एकरूपता से कम नहीं हो रहा है। स्थिर गुणांक वाले समीकरणों के लिए योजनाओं की एकरसता की जांच निम्नलिखित प्रमेय का उपयोग करके की जा सकती है। प्रमेय.1. स्थिर गुणांक b α के साथ अंतर योजना (.4) को एकरस बनाए रखने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि शर्तें b α 0 सभी α के लिए बनी रहें। (.7) प्रमाण। आवश्यकता. मान लें कि योजना (.4) एकरस बनी हुई है, लेकिन एक नकारात्मक गुणांक b α0 मौजूद है< 0. Возьмем монотонно возрастающую функцию u n = { 0, < α0, 1, α 0. (.8) Тогда u0 n+1 1 = b α u n α b α u n 1+α = α α = b α b α = b α0 < 0, α α 0 α α

31 यानी, फ़ंक्शन नीरस रूप से नहीं बढ़ रहा है, और, परिणामस्वरूप, योजना (.4) एकरसता को संरक्षित नहीं करती है, जो मूल धारणा का खंडन करती है। प्राप्त विरोधाभास साबित करता है कि सभी गुणांक b α गैर-नकारात्मक हैं। पर्याप्तता. मान लीजिए कि b α 0 और u n एक मोनोटोन फ़ंक्शन हैं, उदाहरण के लिए, एक मोनोटोनिक रूप से बढ़ने वाला फ़ंक्शन। तब 1 = α b α u n + α α b α u n 1+α = α b α (u n + α u n 1+α) 0, यानी, एक नीरस रूप से बढ़ने वाला फलन भी। इस प्रकार, योजना (.4) एकरस बनी रहती है। आइए फिर से उदाहरण 1 और . पर लौटते हैं, और अब हम यह नहीं मानेंगे कि a > 0. गुणांक a के मनमाने चिह्न के साथ समीकरण (.1) के लिए अपविंड योजना इस तरह दिखती है: जहां u n इसे फॉर्म में फिर से लिखें ( .4) + ए + अन अन 1 ए + = ए + ए + ए अन +1 अन, ए = ए ए। = 0, (.9) जहां = बी 1 यू एन 1 + बी 0 यू एन + बी 1 यू एन +1, (.10) बी 1 = æa +, बी 0 = 1 æ ए, बी 1 = æa. यदि स्थिरता की स्थिति æ 1 (.11) संतुष्ट है, तो ये सभी गुणांक गैर-नकारात्मक हैं। इसके अलावा, वे स्थिर हैं, इसलिए, प्रमेय 1 के अनुसार, अपविंड योजना (.9) स्थिति (.11) के तहत समाधान की एकरसता को बरकरार रखती है। लैक्स वेन्ड्रोफ योजना अपविंड योजना के समान स्थिति (.11) के तहत स्थिर है, और इसे गुणांक (.6) के साथ फॉर्म (.10) में लिखा जा सकता है, जहां से यह देखा जा सकता है कि स्थिति के तहत ए æ< 1 один из 30

32 गुणांक बी 1 या बी 1 ऋणात्मक है। प्रमेय 1 के अनुसार, इसका तात्पर्य यह है कि लैक्स वेन्ड्रोफ़ योजना, जिसमें यू के संबंध में दूसरे क्रम का सन्निकटन है, संख्यात्मक समाधान की एकरसता को संरक्षित नहीं करती है। लेकिन शायद सन्निकटन के दूसरे क्रम की अन्य योजनाएँ भी हैं, जिनमें एकरसता का गुण है। पता चला कि ऐसी कोई योजनाएँ नहीं हैं। पेपर से पता चलता है कि रैखिक परिवहन समीकरण (.1) के लिए सन्निकटन के दूसरे क्रम के निरंतर गुणांक के साथ एक मोनोटोन योजना का निर्माण करना असंभव है... आइए अब चर गुणांक बी α के साथ योजना (.4) पर विचार करें। क्या गुणांकों की गैर-नकारात्मकता की स्थिति (.7) ऐसी योजनाओं के लिए संख्यात्मक समाधान की एकरसता को संरक्षित करने के लिए पर्याप्त होगी? ऐसा नहीं हुआ. आइए एक संगत उदाहरण दें। उदाहरण 3. मान लीजिए कि कॉची समस्या को समीकरण u t + a(x)u x = 0, (.1) के लिए हल किया गया है, जहां a(x) एक सख्ती से बढ़ता हुआ सकारात्मक परिबद्ध फलन है: 0< a(x) < 1 и a >0. इस समस्या को हल करने के लिए, आइए हम चर गुणांक 0, 5 (यू एन +1 +) अन 1 + ए यू एन +1 अन 1 = 0, (.13) के साथ एक योजना लें जहां ए = ए(एक्स), एक्स एक है एकसमान ग्रिड का नोड. उपरोक्त योजना लैक्स योजना (1.46) के अनुरूप है, जो संख्यात्मक समाधान की एकरसता को बरकरार रखती है (समस्या 1 देखें)। हम मान लेंगे कि स्थिति æa< 1, (.14) гарантирующее устойчивость схемы (.13) в равномерной норме по начальным данным: C u 0 C. (.15) Запишем схему (.13) в виде (.4): = b 1, u n 1 + b 1, u n +1, (.16) где b 1, = 1 + æa, b 1, = 1 æa, 31

33, गुणांक बी α को एक अतिरिक्त सूचकांक प्रदान किया जाता है, क्योंकि वे परिवर्तनीय गुणांक हैं और एक नोड से दूसरे नोड में जाने पर बदलते हैं। स्थिति (.14) के कारण, दोनों गुणांक सकारात्मक हैं, लेकिन योजना (.13) संख्यात्मक समाधान की एकरसता को संरक्षित नहीं करती है। वास्तव में, एक नीरस रूप से बढ़ते फलन को लेते हुए ( u n 0,< 0, = 1, 0, убеждаемся, что на (n + 1)-м слое по времени имеет место равенство = 0, при < 1, b 1, 1, при = 1, b 1,0, при = 0, 1, при 1. Но b 1, 1 >बी 1.0, इसलिए ग्रिड फ़ंक्शन बढ़ रहा है। एकस्वर नहीं है उपरोक्त उदाहरण से पता चलता है कि परिवर्तनीय गुणांक वाली योजनाओं के लिए प्रमेय.1 में निर्दिष्ट मानदंड (.7) के अलावा अन्य एकरसता मानदंड का उपयोग किया जाना चाहिए। प्रमेय.. मान लीजिए अंतर योजना के गुणांक = b 1, u n 1 + b 0, u n + b 1, u n +1 (.17) प्रत्येक नोड x पर स्थिति को संतुष्ट करते हैं, फिर सभी शर्तों की पूर्ति b 1, + b 0, + b 1 , = 1. (.18) b ±1, 0, b 1, + b 1, 1 1 (.19) परिवर्तनीय गुणांक वाली योजना (.17) के लिए एकरसता को बनाए रखने के लिए आवश्यक और पर्याप्त है। संख्यात्मक समाधान. सबूत। हम शर्त (.18) को संतुष्ट करने वाले चर गुणांकों के साथ योजना (.17) को निम्नलिखित रूप में लिखते हैं: = यू एन बी 1, (यू एन यू एन 1) + बी1, (यू एन +1 यू एन)। (.0) 3

34 तब +1 = अन +1 बी 1,+1 (यू एन +1 यू एन) + बी1,+1 (यू एन + यू एन +1)। इसलिए, +1 अन+1 = (यू एन +1 यू एन) (1 बी 1,+1 बी 1,) + (+ बी 1,+1 यू एन + यू एन (+1) + बी 1, यू एन यू एन) (.1) 1. आवश्यकता. मान लीजिए योजना (.17) एकरस है। आइए हम सिद्ध करें कि इसके गुणांक असमानताओं (.19) को संतुष्ट करते हैं। मान लीजिए कि यह सत्य नहीं है और कुछ शर्तें (.19) कुछ नोड x 0 पर संतुष्ट नहीं हैं, उदाहरण के लिए b 1,0< 0. Положим Из (.1) тогда следует u n = { 0, если < 0, 1, если un+1 0 = b 1,0 < 0, т. е. функция не является монотонно возрастающей, что противоречит исходному предположению о монотонности схемы (.17). Аналогично проверяются и остальные неравенства в (.19). Достаточность. Пусть в каждом узле x коэффициенты схемы (.17) удовлетворяют неравенствам (.19) и функция u n является монотонной, например монотонно возрастающей. Тогда из равенства (.1) следует, что функция также будет монотонно возрастающей функцией. Теорема доказана. Нетрудно проверить, что коэффициенты схемы (.16) не удовлетворяют второму из условий (.19) теоремы.3, поэтому эта схема не является схемой, сохраняющей монотонность численного решения. Дадим другую формулировку теоремы.. Теорема.3. Для того чтобы конечно-разностная схема u n + C 1/ un x, 1/ C+ +1/ un x,+1/ = 0, (.) сохраняла монотонность численного решения, необходимо и достаточно выполнение при всех условий где æ = /, u n x,+1/ = un +1 un C ± +1/ 0, C +1/ + C+ +1/ 1 æ, (.3). 33

35 प्रमाण. योजना (.) को फॉर्म (.17) में फिर से लिखा जा सकता है, जहां b 1, = æc 1/, b 1, = æc + +1/, b 0, = 1 æc 1/ æc+ +1/। तब समानता (.18) गुणांक b α के लिए मान्य है, और शर्तें (.19) शर्तों (.3) के बराबर हैं। टिप्पणी। हम साबित करते हैं कि असमानताओं (.3) की पूर्ति योजना (.) के लिए टीवीडी (टोटल वेरिएशन डिमिनाइजिंग स्कीम) बनने के लिए पर्याप्त है, यानी, एक ऐसी योजना जिसका समाधान यू एन किसी भी एन 0 के लिए कुल भिन्नता टीवी के लिए गैर-बढ़ती स्थिति को संतुष्ट करता है () टीवी (यू एन), (.4) जहां ग्रिड फ़ंक्शन यू एन की कुल भिन्नता को टीवी (यू एन) = यू एन +1 यू एन के रूप में समझा जाता है। (.5) वर्तमान में, टीवीडी योजनाओं और उनके विभिन्न संशोधनों का उपयोग कई समस्याओं को असंतत समाधानों के साथ हल करने के लिए किया जाता है। इन विधियों की इतनी बड़ी लोकप्रियता का कारण यह है कि वे गैर-दोलन समाधान प्रोफाइल, असंतोष के क्षेत्र में उच्च रिज़ॉल्यूशन देते हैं, और समाधान चिकनाई के क्षेत्रों में उच्च सटीकता बनाए रखते हैं। आधुनिक उच्च-क्रम टीवीडी योजनाएं पड़ोसी कोशिकाओं के केंद्रों पर उनके मूल्यों से सेल सीमाओं पर कार्यों के मूल्यों को पुनर्स्थापित (पुनर्निर्माण) करने के कुछ तरीकों पर आधारित हैं। इस मामले में, सर्किट टेम्पलेट परिवर्तनशील है और संख्यात्मक समाधान के व्यवहार पर निर्भर करता है। पुनर्निर्माण एल्गोरिदम विशेष प्रवाह सीमाओं के उपयोग पर आधारित होते हैं, जिनका निर्माण इस तरह से किया जाता है कि सीमाओं वाले सर्किट में टीवीडी संपत्ति (.4)..3 होती है। लैक्स वेंड्रोफ़ योजना का एकीकरण। यदि t = 0 पर प्रारंभिक फ़ंक्शन एक चरण के रूप में दिया गया है, तो अगली बार परतों पर हम लैक्स वेन्ड्रॉफ़ योजना के अनुसार, दोलनों द्वारा विकृत एक चरण प्राप्त करेंगे (चित्र 4 देखें)। लेकिन यह पता चला है कि लैक्स वेंड्रोफ की योजना को संशोधित किया जा सकता है ताकि इसमें 34 हो

36 टीवीडी-संपत्ति (.4), और इसलिए, प्रमेय 3 के अनुसार, एक ऐसी योजना बन जाएगी जो संख्यात्मक समाधान की एकरसता को संरक्षित करती है। हालाँकि, संशोधित सर्किट के गुणांक अब स्थिर नहीं रहेंगे, वे nवें परत पर समाधान पर निर्भर हो सकते हैं, यानी, संशोधित सर्किट गैर-रैखिक होगा। a = const > 0 के मामले में परिवहन समीकरण (.1) पर विचार करें। लैक्स वेन्ड्रोफ की योजना (1.50) को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: u n +a un x,+1/ + un x, 1/ a () u n x,+ 1/ un x, 1/ = 0, (.6) या u n + au n x, 1/ + a (1 aæ) un x,+1/ un x, 1/ u n = 0, (.7) + au n x , = ए (1 एæ) अन एक्सएक्स,। (.8) अपविंड योजना के पी.डी.पी. (1.79) में दाहिनी ओर विघटनकारी शब्द 0, 5ए (1 एæ) यू एक्सएक्स शामिल है, और प्रतिनिधित्व (.8) में अंतर रूप में समान विघटनकारी शब्द विपरीत है संकेत। इस प्रकार, लैक्स वेन्ड्रॉफ योजना को अपस्ट्रीम अंतर के साथ एक मोनोटोनिक योजना के रूप में दर्शाया जाता है, जिसे तथाकथित एंटी-डिफ्यूजन शब्द द्वारा पूरक किया जाता है, जो अपविंड स्कीम के पीडीपी में विघटनकारी शब्द को समाप्त करता है, इसे लैक्स वेन्ड्रोफ योजना में बदल देता है। उन स्थानों पर एंटीडिफ्यूजन शब्द को कम करके जहां दोलन दिखाई दे सकते हैं, उन्हें रोकने की कोशिश की जा सकती है। हम कुछ तर्क ξ के सीमक फ़ंक्शन Φ(ξ) का उपयोग करके लैक्स वेन्ड्रॉफ योजना (.7) में एंटीडिफ्यूजन शब्द को विनियमित करते हैं: u n +au n x, 1/ + a (1 aæ) ((Φu n x) +1/ (Φu n x) 1/) = 0. (.9) यदि Φ 0, तो हमारे पास सन्निकटन के पहले क्रम की एक मोनोटोन अपविंड योजना है। यदि Φ 1, तो हम सुचारु समाधानों पर सन्निकटन के दूसरे क्रम की लैक्स वेन्ड्रॉफ़ योजना प्राप्त करते हैं, लेकिन असंतत समाधानों पर दोलन करते हैं। 35

37 अंतर योजना में (.9) Φ +1/ = Φ(ξ +1/). एक अलग तर्क के रूप में ξ +1/ हम मान u n x, 1/ ξ +1/ = u n को u n x के लिए चुनते हैं,+1/ 0, x,+1/ (.30) 1 u n x के लिए,+1/ = 0. पर दोलन समाधान अनुपात u n x, 1/ /un x,+1/ नकारात्मक हो जाता है; इसलिए, ξ +1/ के लिए< 0 полагаем, что Φ +1/ = 0. Далее будем считать, что функция Φ = Φ(ξ) непрерывного аргумента ξ также принимает нулевые значения при ξ < 0. Более того, предполагая, что функция-ограничитель является непрерывной, полагаем, что Φ(ξ) 0 при всех ξ 0. Далее рассмотрим случай, когда ξ +1/ >0. हम लिमिटर फ़ंक्शन को इस तरह से चुनते हैं कि योजना टीवीडी शर्त (.3) को संतुष्ट करती है और सुचारू समाधानों पर सन्निकटन के दूसरे क्रम को संरक्षित करती है। ऐसा करने के लिए, हम संशोधित लैक्स वेन्ड्रोफ़ योजना (.9) को फॉर्म (.) में बदलते हैं: या यू एन + एयू एन एक्स, 1/ + ए (1 एæ) ((Φ ξ यू एन [ + ए एæ ((Φ) ξ ) +1/ + 1/ Φ 1/) यू एन एक्स, 1/ = 0, Φ 1/)] यू एन एक्स, 1/ = 0. इस प्रकार, (.) के रूप में लिखी गई योजना (.9) के गुणांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं [सी + +1 / = 0, सी 1/ = ए एæ ((Φ))] ξ Φ 1/. +1/ प्रमेय 3 के अनुसार, शर्त 0 सी 1/ 1 æ (.31) यह गारंटी देगी कि इसमें पेश किए गए लिमिटर फ़ंक्शन के साथ लैक्स वेन्ड्रॉफ़ योजना संख्यात्मक समाधान की एकरसता को संरक्षित रखेगी। इसके अलावा, हम मानते हैं कि लैक-36 योजना के लिए स्थिरता की स्थिति

वेनड्रॉफ की शर्त संतुष्ट है, यानी, aæ 1. फिर, असमानताओं (.31) के लिए सभी aæ 1 के लिए मान्य होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि असमानताएं (Φ) ξ +1/ Φ 1/ कायम रहें, और निम्नलिखित सभी असमानताओं के लिए इसकी आवश्यकता पर्याप्त है: (Φ) 0, 0 Φ +1/। ξ +1/ चर Φ और ξ के तल में वह क्षेत्र, जिसमें ये असमानताएं मौजूद हैं, चित्र में दिखाया गया है। 5, ए. यदि फ़ंक्शन का ग्राफ Φ = Φ(ξ) इस क्षेत्र में स्थित है, तो संशोधित योजना (.9) संख्यात्मक समाधान की एकरसता को संरक्षित रखेगी। Φ Φ= Φ Φ = Φ = ξ Φ = ξ Φ=ξ 1 1 Φ = ए ξ बी ξ 5. और छायांकित क्षेत्र में, संशोधित लैक्स वेन्ड्रोफ योजना (.9) एक टीवीडी योजना है; डबल हैचिंग वाले क्षेत्र में बी, लैक्स वेंडरॉफ की संशोधित योजना सन्निकटन के दूसरे क्रम की एक टीवीडी योजना है। इस प्रकार, निम्नलिखित में हम मानते हैं कि Φ(ξ) = 0 ξ 0 के लिए, 0 Φ(ξ) मिनट( , ξ) ξ > 0 के लिए। ( .3) अब हम संशोधित योजना के सन्निकटन के क्रम की जांच करते हैं, यह मानते हुए कि निरंतर फ़ंक्शन Φ = Φ(ξ) 37 को संतुष्ट करता है

39 निम्नलिखित अतिरिक्त बाधाओं के लिए: Φ(ξ 1) Φ(ξ) L ξ 1 ξ, ξ 1, ξ, (.33) Φ(1) = 1, (.34) यानी, हमें आवश्यकता है कि फ़ंक्शन Φ = Φ (ξ) कुछ स्थिरांक L > 0 के साथ लिप्सचिट्ज़ स्थिति को संतुष्ट करता है, और इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ बिंदु (1, 1) से होकर गुजरता है। हम संशोधित लैक्स वेन्ड्रॉफ योजना (.9) को मूल लैक्स वेन्ड्रोफ स्कीम (.7) के रूप में एक अतिरिक्त शब्द के साथ फिर से लिखते हैं जहां यू एन + एयू एन एक्स, 1/ + ए (1 एæ) (यू एन एक्स,+1/ अन एक्स, 1/ ) + + ए (1 एæ) आरएन = 0, (.35) आर एन = (Φ +1/ 1) यू एन एक्स,+1/ (Φ 1/ 1) यू एन एक्स, 1/। (.36) मान लीजिए u = u(x, t) कॉची समस्या (.1), (.) का पर्याप्त रूप से सहज समाधान है। हम इस समाधान को अभिव्यक्ति (.36) में प्रतिस्थापित करते हैं, पिछले सभी नोटेशन को बरकरार रखते हुए, लेकिन यह ध्यान में रखते हुए कि अब यू एन एक्स,+1/ = यू(एक्स +1, टी एन) यू(एक्स, टी एन)। (.37) जाहिर है, यदि nवीं समय परत पर फ़ंक्शन u(x, t n) रैखिक है, u(x, t n) = Bx + C, तो R n 0। शर्तों का उपयोग करना (.33), (. 34) , यह जांचना आसान है कि द्विघात फलन u(x, t n) = Ax + Bx + C (A 0) के लिए समानता R n = O() एक मनमाना संख्यात्मक अंतराल (α, β) के सभी नोड्स के लिए है इसमें कोई बिंदु चरम x = B/A नहीं है। सामान्य स्थिति में, निम्नलिखित कथन सत्य है। लेम्मा.1. शर्तों (.33), (.34) को संतुष्ट होने दें और कॉची समस्या (.1), (.) का पर्याप्त रूप से सुचारू समाधान कुछ संख्यात्मक अंतराल पर शर्त यू एक्स (एक्स, टी एन) 0 एक्स [α, β] को संतुष्ट करें। [α, β] . (.38) फिर आर एन = ओ() एक्स (α, β)। (.39)38

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आइए अब हॉपफ समीकरण के लिए सबसे सरल अंतर योजनाओं पर विचार करें।

हॉपफ समीकरण के मामले में पी. लैक्स योजना के सामान्यीकरण का रूप है

यहाँ, स्पष्टतः, समीकरण (3.6) के भिन्न रूप का उपयोग किया गया है।

अभ्यास. हॉपफ समीकरण के लिए लैक्स-वेंड्रॉफ़ योजना पर विचार करें। मान लीजिए कि कॉची समस्या के लिए प्रारंभिक शर्तें इस प्रकार निर्धारित की गई हैं: u(x, 0) = ch - 2 (x) । फिर हॉपफ समीकरण का पहला अभिन्न अंग है: . जांचें कि उपरोक्त स्कीमा है रूढ़िवादी, अर्थात। इसमें ग्रिड स्तर पर समान संरक्षण कानून स्वतः ही संतुष्ट हो जाता है।

का उपयोग करके एक समान सर्किट बनाएं चारित्रिक रूपहॉपफ समीकरण (3.9) लिखना। क्या यह रूढ़िवादी होगा?

यह योजना कूरेंट स्थिति के तहत सशर्त रूप से स्थिर है (अधिक सटीक रूप से, कूरेंट स्थिति का सामान्यीकरण)

यहां और नीचे, (3.7) में पहले की तरह, f = 0.5u 2। यह माना जाता है कि प्रवाह पर्याप्त रूप से सुचारू है, क्रमिक आपदा का क्षण अभी तक नहीं आया है, और समाधान में कोई झटका तरंगें या अन्य असंतोष नहीं हैं।

कूरेंट-इसाकसन-रीज़ योजना. क्वासिलिनियर केस में आईआरसी योजनाओं का सामान्यीकरण (उपयोग करते समय)। भिन्न रूपसमीकरण) स्पष्ट है।

कूरेंट शर्त के तहत योजना स्थिर है

सामान्यकरण लैक्स-वेंड्रॉफ़ योजनाएँ(भविष्यवक्ता-सुधारक योजना)। अर्ध-रैखिक समीकरणों (साथ ही चर गुणांक, अमानवीय समीकरण आदि के साथ रैखिक समीकरण) के लिए, लैक्स-वेंड्रॉफ़ योजना अधिक जटिल हो जाती है। इसे बनाने के लिए, तथाकथित अर्ध-पूर्णांक बिंदुओं (भिन्नात्मक सूचकांकों वाले बिंदु) का परिचय देना आवश्यक है। पहले चरण (भविष्यवक्ता) में, अर्ध-पूर्णांक बिंदुओं पर मानों की गणना उपरोक्त योजना के अनुसार की जाती है - अर्ध-रैखिक मामले में लैक्स योजना का सामान्यीकरण:

दूसरे चरण (सुधारक) में, "लीपफ्रॉग" योजना का उपयोग किया जाता है (क्रूसिफ़ॉर्म टेम्पलेट पर एक तीन-परत योजना, जो परिवार में शामिल नहीं है (3.8)):

लैक्स-वेंड्रॉफ़ योजना तथाकथित से संबंधित है केंद्रीययोजनाएं. इसका पैटर्न सममित है. पहले चरण में, ग्रिड फ़ंक्शन के मानों की गणना मध्यवर्ती परत पर टेम्पलेट के आधे-पूर्णांक बिंदुओं पर की जाती है (t m - 1/2 , x m - 1/2) , (t n + 1/2 , x m + 1/2), दूसरे चरण में समाधान की गणना ऊपरी परत पर बिंदु (t n + 1, x m) पर की जाती है। कूरेंट शर्त के तहत योजना स्थिर है।

रैखिक अमानवीय समीकरणों के लिए लैक्स-वेंड्रॉफ़ योजनाएं समान रूप से बनाई गई हैं।

मैककॉर्मैक की गैर-केंद्रीय योजना(भविष्यवक्ता - सुधारक)।

उपरोक्त लैक्स-वेंड्रॉफ़ योजना की तरह, मैककॉर्मैक योजना के भी दो चरण हैं। के लिए मैककॉर्मैक योजना के निर्माण पर विचार करें सजातीय समीकरण(3.7). प्रथम चरण (भविष्यवक्ता) का स्वरूप है

वे। "स्पष्ट दायां कोना" योजना का उपयोग किया जाता है। दूसरा चरण सुधारक है:

इस प्रकार, पहले चरण में गणना "दाएं कोने" योजना के अनुसार, दूसरे पर - "बाएं कोने" के अनुसार।

एक अन्य मैककॉर्मैक योजना का रूप है

ऐसी विभेदक योजनाएँ कहलाती हैं गैर सेंट्रल. उनके फायदों में आधे-पूर्णांक सूचकांकों की अनुपस्थिति, सीमा स्थितियों की एक सरल सेटिंग शामिल है। रैखिक मामले में, मैककॉर्मैक योजनाएं लैक्स-वेंड्रॉफ़ योजना के साथ मेल खाती हैं। योजनाओं में दोनों चर में सन्निकटन का दूसरा क्रम होता है, योजनाएं कूरेंट स्थिति के तहत स्थिर होती हैं।

रुसानोव की योजना(सटीकता के तीसरे क्रम की केंद्रीय योजना)।

रुसानोव योजना के निर्माण के लिए, न केवल आधे-पूर्णांक बिंदु पेश किए जाते हैं, बल्कि भिन्नात्मक सूचकांकों के साथ मध्यवर्ती बिंदुओं की दो परतें भी पेश की जाती हैं। रुसानोव योजना के पहले चरण (परत 1/3 में संक्रमण) का रूप है

इसका दूसरा चरण "लीपफ्रॉग" योजना है

और तीसरा चरण

पहले चरण में, गणना लैक्स योजना के अनुसार की जाती है, दूसरे में - "क्रॉस" ("लीपफ्रॉग") योजना के अनुसार। योजना की स्थिरता सुनिश्चित करने के लिए तीसरे चरण का अंतिम शब्द पेश किया गया है (चौथे व्युत्पन्न के अंतर सन्निकटन के लिए आनुपातिक शब्द)।

यह योजना कूरेंट शर्त और शर्तों के तहत सशर्त रूप से स्थिर है।

गैर सेंट्रल वार्मिंग-कटलर-लोमैक्स योजनासटीकता का तीसरा क्रम।

प्रथम चरण:

दूसरा चरण:

तीसरा चरण:

अंतिम शब्द सर्किट की स्थिरता के लिए जोड़ा जाता है, जो कूरेंट की शर्तों के तहत सशर्त रूप से स्थिर है।