स्पर्शरेखीय त्वरण ग्राफ. स्पर्शरेखीय और सामान्य त्वरण

और इसकी आवश्यकता क्यों है? हम पहले से ही जानते हैं कि एक संदर्भ प्रणाली, गति की सापेक्षता और एक भौतिक बिंदु क्या हैं। खैर, अब आगे बढ़ने का समय आ गया है! यहां हम किनेमेटिक्स की बुनियादी अवधारणाओं को देखेंगे, किनेमेटिक्स की बुनियादी बातों के लिए सबसे उपयोगी सूत्रों को एक साथ रखेंगे, और समस्या को हल करने का एक व्यावहारिक उदाहरण देंगे।

आइए इस समस्या का समाधान करें: एक बिंदु 4 मीटर त्रिज्या वाले वृत्त में घूमता है। इसकी गति का नियम समीकरण S=A+Bt^2 द्वारा व्यक्त किया जाता है। A=8m, B=-2m/s^2. समय के किस बिंदु पर एक बिंदु का सामान्य त्वरण 9 m/s^2 के बराबर होता है? समय में इस क्षण के लिए बिंदु की गति, स्पर्शरेखीय और कुल त्वरण ज्ञात कीजिए।

समाधान: हम जानते हैं कि गति ज्ञात करने के लिए हमें गति के नियम का पहली बार व्युत्पन्न लेने की आवश्यकता है, और सामान्य त्वरण गति के वर्ग और वृत्त की त्रिज्या के भागफल के बराबर है जिसके अनुदिश बिंदु है बढ़ रहा है। इस ज्ञान से लैस होकर, हम आवश्यक मात्राएँ पा लेंगे।

समस्याओं को सुलझाने में मदद चाहिए? व्यावसायिक छात्र सेवा इसे प्रदान करने के लिए तैयार है।

किसी भौतिक बिंदु की गतिकी के मूल सूत्र, उनकी व्युत्पत्ति और सिद्धांत की प्रस्तुति दी गई है।

सामग्री

यह सभी देखें: किसी समस्या को हल करने का एक उदाहरण (एक बिंदु की गति को निर्दिष्ट करने की समन्वय विधि)

किसी भौतिक बिंदु की गतिकी के लिए मूल सूत्र

आइए हम किसी भौतिक बिंदु की गतिकी के मूल सूत्र प्रस्तुत करें। जिसके बाद हम उनका निष्कर्ष और सिद्धांत का प्रस्तुतीकरण देंगे.

आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सीज़ में सामग्री बिंदु एम का त्रिज्या वेक्टर:
,
x, y, z अक्षों की दिशा में इकाई सदिश (orts) कहां हैं।

बिंदु गति:
;
.
.
एक बिंदु के प्रक्षेपवक्र की स्पर्शरेखा दिशा में इकाई वेक्टर:
.

त्वरण बिंदु:
;
;
;
; ;

स्पर्शरेखा (स्पर्शरेखा) त्वरण:
;
;
.

सामान्य त्वरण:
;
;
.

यूनिट वेक्टर बिंदु के प्रक्षेपवक्र के वक्रता केंद्र की ओर निर्देशित (मुख्य सामान्य के साथ):
.

.

त्रिज्या वेक्टर और बिंदु प्रक्षेपवक्र

आइए भौतिक बिंदु एम की गति पर विचार करें। आइए हम किसी निश्चित बिंदु O पर केंद्र के साथ एक निश्चित आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सीज़ चुनें। तब बिंदु M की स्थिति उसके निर्देशांक द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित होती है (एक्स, वाई, जेड). ये निर्देशांक भौतिक बिंदु के त्रिज्या वेक्टर के घटक हैं।

एक बिंदु M का त्रिज्या वेक्टर एक निश्चित समन्वय प्रणाली O के मूल से बिंदु M तक खींचा गया एक वेक्टर है।
,
x, y, z अक्षों की दिशा में इकाई सदिश कहाँ हैं।

जब कोई बिंदु गति करता है, तो समय के साथ निर्देशांक बदलते हैं। अर्थात् ये समय के फलन हैं। फिर समीकरणों की प्रणाली
(1)
इसे पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा परिभाषित वक्र के समीकरण के रूप में माना जा सकता है। ऐसा वक्र एक बिंदु का प्रक्षेपवक्र है।

किसी भौतिक बिंदु का प्रक्षेपवक्र वह रेखा है जिसके अनुदिश बिंदु चलता है।

यदि बिंदु किसी समतल में गति करता है, तो अक्षों और समन्वय प्रणालियों का चयन किया जा सकता है ताकि वे इस तल में स्थित हों। फिर प्रक्षेपवक्र दो समीकरणों द्वारा निर्धारित किया जाता है

कुछ मामलों में, इन समीकरणों से समय को हटाया जा सकता है। तब प्रक्षेपवक्र समीकरण का रूप होगा:
,
कुछ फ़ंक्शन कहां है. इस निर्भरता में केवल चर और शामिल हैं। इसमें पैरामीटर नहीं है.

किसी भौतिक बिंदु का वेग

किसी भौतिक बिंदु की गति समय के संबंध में उसके त्रिज्या वेक्टर का व्युत्पन्न है।

गति की परिभाषा और व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार:

यांत्रिकी में, समय के संबंध में व्युत्पन्नों को प्रतीक के ऊपर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है। आइए यहां त्रिज्या वेक्टर के लिए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें:
,
जहां हमने समय पर निर्देशांक की निर्भरता को स्पष्ट रूप से इंगित किया है। हम पाते हैं:

,
कहाँ
,
,

- निर्देशांक अक्षों पर वेग का प्रक्षेपण। वे समय के संबंध में त्रिज्या वेक्टर के घटकों को विभेदित करके प्राप्त किए जाते हैं
.

इस प्रकार
.
स्पीड मॉड्यूल:
.

पथ के स्पर्शरेखा

गणितीय दृष्टिकोण से, समीकरणों की प्रणाली (1) को पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा परिभाषित एक रेखा (वक्र) के समीकरण के रूप में माना जा सकता है। इस विचार में समय एक पैरामीटर की भूमिका निभाता है। गणितीय विश्लेषण के दौरान यह ज्ञात होता है कि इस वक्र की स्पर्श रेखा के लिए दिशा वेक्टर में निम्नलिखित घटक होते हैं:
.
लेकिन ये बिंदु के वेग वेक्टर के घटक हैं। वह है भौतिक बिंदु का वेग प्रक्षेपवक्र की ओर स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होता है.

यह सब प्रत्यक्ष रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है। मान लीजिए कि समय के क्षण में बिंदु त्रिज्या वेक्टर के साथ एक स्थिति में है (आंकड़ा देखें)। और समय के क्षण में - त्रिज्या वेक्टर के साथ स्थिति में। आइए बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें। परिभाषा के अनुसार, स्पर्शरेखा एक सीधी रेखा है जिसकी ओर सीधी रेखा की ओर झुकाव होता है।
आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें:
;
;
.
फिर वेक्टर को सीधी रेखा के अनुदिश निर्देशित किया जाता है।

झुकते समय, सीधी रेखा स्पर्शरेखा की ओर झुकती है, और वेक्टर समय के क्षण में बिंदु की गति की ओर झुकता है:
.
चूँकि वेक्टर सीधी रेखा के अनुदिश निर्देशित होता है, और सीधी रेखा पर, वेग वेक्टर स्पर्शरेखा के अनुदिश निर्देशित होता है।
अर्थात्, किसी भौतिक बिंदु का वेग वेक्टर प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा के अनुदिश निर्देशित होता है।

आइए परिचय कराते हैं इकाई लंबाई की स्पर्शरेखा दिशा वेक्टर:
.
आइए दिखाते हैं कि इस वेक्टर की लंबाई एक के बराबर है। दरअसल, तब से
, वह:
.

तब बिंदु की गति वेक्टर को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
.

किसी भौतिक बिंदु का त्वरण

किसी भौतिक बिंदु का त्वरण समय के संबंध में उसकी गति का व्युत्पन्न है।

पिछले वाले के समान, हम त्वरण के घटक प्राप्त करते हैं (समन्वय अक्षों पर त्वरण के अनुमान):
;
;
;
.
त्वरण मॉड्यूल:
.

स्पर्शरेखा (स्पर्शरेखा) और सामान्य त्वरण

अब प्रक्षेपवक्र के संबंध में त्वरण वेक्टर की दिशा के प्रश्न पर विचार करें। ऐसा करने के लिए हम सूत्र लागू करते हैं:
.
हम उत्पाद विभेदीकरण नियम का उपयोग करके समय के संबंध में इसे अलग करते हैं:
.

वेक्टर को प्रक्षेप पथ पर स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित किया जाता है। इसका समय व्युत्पन्न किस दिशा में निर्देशित है?

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि वेक्टर की लंबाई स्थिर और इकाई के बराबर है। तब इसकी लंबाई का वर्ग भी एक के बराबर होता है:
.
यहां और नीचे, कोष्ठकों में दो सदिश सदिशों के अदिश गुणनफल को दर्शाते हैं। आइए समय के संबंध में अंतिम समीकरण को अलग करें:
;
;
.
चूँकि सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य के बराबर होता है, ये सदिश एक दूसरे के लंबवत होते हैं। चूंकि वेक्टर प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा पर निर्देशित है, इसलिए वेक्टर स्पर्शरेखा के लंबवत है।

पहले घटक को स्पर्शरेखीय या स्पर्शरेखीय त्वरण कहा जाता है:
.
दूसरे घटक को सामान्य त्वरण कहा जाता है:
.
तो कुल त्वरण है:
(2) .
यह सूत्र त्वरण के अपघटन को दो परस्पर लंबवत घटकों में दर्शाता है - प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा और स्पर्शरेखा के लंबवत।

के बाद से
(3) .

स्पर्शरेखा (स्पर्शरेखा) त्वरण

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करें (2) अदिश से :
.
क्योंकि तब । तब
;
.
यहां हमने रखा है:
.
इससे हम देख सकते हैं कि स्पर्शरेखीय त्वरण प्रक्षेपवक्र की स्पर्शरेखा की दिशा पर कुल त्वरण के प्रक्षेपण के बराबर है, या, जो बिंदु के वेग की दिशा पर समान है।

किसी भौतिक बिंदु का स्पर्शरेखा (स्पर्शरेखा) त्वरण प्रक्षेपवक्र की स्पर्शरेखा की दिशा (या वेग की दिशा) पर उसके कुल त्वरण का प्रक्षेपण है।

हम प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा के अनुदिश निर्देशित स्पर्शरेखीय त्वरण वेक्टर को दर्शाने के लिए प्रतीक का उपयोग करते हैं। फिर स्पर्शरेखा की दिशा पर कुल त्वरण के प्रक्षेपण के बराबर एक अदिश राशि है। यह सकारात्मक और नकारात्मक दोनों हो सकता है.

प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है:
.

आइए इसे सूत्र में डालें:
.
तब:
.
अर्थात्, स्पर्शरेखीय त्वरण बिंदु के निरपेक्ष वेग के समय व्युत्पन्न के बराबर है। इस प्रकार, स्पर्शरेखा त्वरण से बिंदु की गति के निरपेक्ष मान में परिवर्तन होता है. जैसे-जैसे गति बढ़ती है, स्पर्शरेखा त्वरण सकारात्मक होता है (या गति के अनुरूप निर्देशित होता है)। जैसे-जैसे गति घटती है, स्पर्शरेखीय त्वरण ऋणात्मक (या गति के विपरीत दिशा में) होता है।

अब आइए वेक्टर की जांच करें।

प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा इकाई वेक्टर पर विचार करें। आइए इसके मूल को समन्वय प्रणाली के मूल में रखें। तब सदिश का अंत इकाई त्रिज्या के एक गोले पर होगा। जब कोई भौतिक बिंदु गति करता है, तो वेक्टर का सिरा इस गोले के अनुदिश गति करेगा। अर्थात यह अपने मूल के चारों ओर घूमेगा। मान लीजिए समय के क्षण में वेक्टर के घूर्णन का तात्कालिक कोणीय वेग है। तब इसका व्युत्पन्न वेक्टर के अंत की गति की गति है। यह वेक्टर के लंबवत निर्देशित है। आइए घूर्णन गति के लिए सूत्र लागू करें। वेक्टर मॉड्यूल:
.

अब समय में दो निकटतम क्षणों के लिए बिंदु की स्थिति पर विचार करें। बिंदु को समय के क्षण में स्थिति में रहने दें, और समय के क्षण में भी स्थिति में रहने दें। मान लीजिए कि इन बिंदुओं पर प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित इकाई सदिश हैं। बिंदुओं के माध्यम से तथा हम सदिशों तथा के लंबवत् तल खींचते हैं। मान लीजिए कि इन तलों के प्रतिच्छेदन से एक सीधी रेखा बनती है। एक बिंदु से हम एक लंब को एक सीधी रेखा पर नीचे लाते हैं। यदि बिंदुओं की स्थिति काफी करीब है, तो बिंदु की गति को अक्ष के चारों ओर त्रिज्या के एक वृत्त के साथ घूर्णन के रूप में माना जा सकता है, जो भौतिक बिंदु के घूर्णन की तात्कालिक धुरी होगी। चूँकि सदिश और तलों के लंबवत हैं, इन तलों के बीच का कोण सदिशों और के बीच के कोण के बराबर होता है। तब अक्ष के चारों ओर बिंदु के घूमने की तात्कालिक गति वेक्टर के घूमने की तात्कालिक गति के बराबर होती है:
.
यहां बिंदुओं और के बीच की दूरी है।

इस प्रकार हमने वेक्टर के समय व्युत्पन्न का मापांक पाया:
.
जैसा कि हमने पहले बताया, वेक्टर, वेक्टर के लंबवत है। उपरोक्त तर्क से यह स्पष्ट है कि यह प्रक्षेपवक्र के तात्कालिक वक्रता केंद्र की ओर निर्देशित है। इस दिशा को प्रमुख सामान्य कहा जाता है।

सामान्य त्वरण

सामान्य त्वरण

वेक्टर के साथ निर्देशित। जैसा कि हमने पाया, यह वेक्टर प्रक्षेपवक्र के तात्कालिक वक्रता केंद्र की ओर, स्पर्शरेखा के लंबवत निर्देशित है।
मान लीजिए कि यह एक इकाई वेक्टर है जो भौतिक बिंदु से प्रक्षेपवक्र के वक्रता के तात्कालिक केंद्र (मुख्य सामान्य के साथ) तक निर्देशित है। तब
;
.
चूँकि दोनों सदिशों की दिशा एक ही है - प्रक्षेपवक्र के वक्रता केंद्र की ओर, तो
.

सूत्र से (2) हमारे पास है:
(4) .
सूत्र से (3) हम सामान्य त्वरण मॉड्यूल पाते हैं:
.

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करें (2) अदिश से :
(2) .
.
क्योंकि तब । तब
;
.
इससे पता चलता है कि सामान्य त्वरण का मापांक मुख्य सामान्य की दिशा पर कुल त्वरण के प्रक्षेपण के बराबर है।

किसी भौतिक बिंदु का सामान्य त्वरण प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा की लंबवत दिशा पर उसके कुल त्वरण का प्रक्षेपण है।

आइए स्थानापन्न करें। तब
.
अर्थात्, सामान्य त्वरण एक बिंदु की गति की दिशा में परिवर्तन का कारण बनता है, और यह प्रक्षेपवक्र की वक्रता की त्रिज्या से संबंधित है।

यहां से आप प्रक्षेपवक्र की वक्रता की त्रिज्या पा सकते हैं:
.

और निष्कर्ष में, हम उस सूत्र पर ध्यान देते हैं (4) इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:
.
यहां हमने तीन वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद के लिए सूत्र लागू किया है:
,
जिसे उन्होंने फ्रेम किया है
.

तो हमें मिला:
;
.
आइए बाएँ और दाएँ भागों के मॉड्यूल को बराबर करें:
.
लेकिन सदिश भी परस्पर लंबवत होते हैं। इसीलिए
.
तब
.
यह वक्र की वक्रता के लिए विभेदक ज्यामिति का एक प्रसिद्ध सूत्र है।

यह सभी देखें:

एक बिंदु की गतिकी, एक कठोर पिंड की गतिकी, अनुवादात्मक गति, घूर्णी गति, समतल-समानांतर गति, वेग प्रक्षेपण पर प्रमेय, वेग का तात्कालिक केंद्र, एक समतल पिंड के बिंदुओं के वेग और त्वरण का निर्धारण, एक बिंदु की जटिल गति

सामग्री

कठोर शरीर कीनेमेटिक्स

किसी कठोर पिंड की स्थिति को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए, आपको तीन निर्देशांक निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है (x ए , वाई ए , जेड ए )शरीर के बिंदु ए और तीन घूर्णन कोणों में से एक। इस प्रकार, एक कठोर पिंड की स्थिति छह निर्देशांकों द्वारा निर्धारित की जाती है। अर्थात्, एक कठोर शरीर में छह डिग्री की स्वतंत्रता होती है।

सामान्य स्थिति में, एक निश्चित समन्वय प्रणाली के सापेक्ष एक कठोर शरीर पर बिंदुओं के निर्देशांक की निर्भरता बल्कि बोझिल सूत्रों द्वारा निर्धारित की जाती है। हालाँकि, बिंदुओं के वेग और त्वरण को काफी सरलता से निर्धारित किया जाता है। ऐसा करने के लिए, आपको एक, मनमाने ढंग से चयनित, बिंदु ए और कोणीय वेग वेक्टर के समय पर निर्देशांक की निर्भरता जानने की आवश्यकता है। समय के संबंध में अंतर करते हुए, हम बिंदु A की गति और त्वरण और शरीर का कोणीय त्वरण पाते हैं:
; ; .
फिर त्रिज्या वेक्टर वाले किसी पिंड के एक बिंदु की गति और त्वरण सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
(1) ;
(2) .
यहां और नीचे, वर्गाकार कोष्ठकों में सदिशों के गुणनफल का अर्थ सदिश गुणनफल है।

ध्यान दें कि कोणीय वेग वेक्टर शरीर के सभी बिंदुओं के लिए समान है. यह शरीर के बिंदुओं के निर्देशांक पर निर्भर नहीं करता है। भी कोणीय त्वरण वेक्टर शरीर के सभी बिंदुओं के लिए समान है.

सूत्र आउटपुट देखें (1) और (2) पृष्ठ पर: एक कठोर पिंड के बिंदुओं का वेग और त्वरण > > >

एक कठोर पिंड की अनुवादात्मक गति

स्थानांतरीय गति के दौरान, कोणीय वेग शून्य होता है। शरीर के सभी बिंदुओं का वेग बराबर होता है। शरीर में खींची गई कोई भी सीधी रेखा अपनी प्रारंभिक दिशा के समानांतर रहकर गति करती है। इस प्रकार, स्थानांतरीय गति के दौरान किसी कठोर पिंड की गति का अध्ययन करने के लिए, इस पिंड के किसी एक बिंदु की गति का अध्ययन करना पर्याप्त है। खंड देखें।

समान रूप से त्वरित गति

आइए हम समान रूप से त्वरित गति के मामले पर विचार करें। मान लीजिए कि x अक्ष पर पिंड के एक बिंदु के त्वरण का प्रक्षेपण स्थिर और x के बराबर है। फिर वेग v x और x का प्रक्षेपण - इस बिंदु का निर्देशांक कानून के अनुसार समय t पर निर्भर करता है:
वी एक्स = वी एक्स 0 + ए एक्स टी;
,
कहां वी एक्स 0 और एक्स 0 - समय के प्रारंभिक क्षण में बिंदु की गति और समन्वय t = 0 .

किसी कठोर पिंड की घूर्णी गति

एक ऐसे पिंड पर विचार करें जो एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है। आइए बिंदु O पर केंद्र के साथ एक निश्चित समन्वय प्रणाली ऑक्सीज़ चुनें। आइए z अक्ष को घूर्णन अक्ष के अनुदिश निर्देशित करें। हम मानते हैं कि शरीर के सभी बिंदुओं के z-निर्देशांक स्थिर रहते हैं। तब गति xy तल में होती है। कोणीय वेग ω और कोणीय त्वरण ε को z अक्ष के अनुदिश निर्देशित किया जाता है:
; .
मान लीजिए φ पिंड के घूर्णन का कोण है, जो समय t पर निर्भर करता है। समय के संबंध में विभेद करने पर हम पाते हैं कोणीय वेग और कोणीय त्वरण का अनुमान z अक्ष पर:
;
.

आइए एक बिंदु M की गति पर विचार करें, जो घूर्णन अक्ष से दूरी r पर स्थित है। गति का प्रक्षेपवक्र त्रिज्या r का एक वृत्त (या वृत्त का चाप) है।
बिंदु गति:
वी = ωr.
वेग वेक्टर को प्रक्षेपवक्र पर स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित किया जाता है।
स्पर्शरेखीय त्वरण:
ए τ = ε आर .
स्पर्शरेखीय त्वरण भी प्रक्षेपवक्र की ओर स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होता है।
सामान्य त्वरण:
.
यह घूर्णन अक्ष O की ओर निर्देशित है।
पूर्ण त्वरण:
.
चूँकि सदिश और एक दूसरे के लंबवत हैं त्वरण मॉड्यूल:
.

समान रूप से त्वरित गति

समान रूप से त्वरित गति के मामले में, जिसमें कोणीय त्वरण स्थिर होता है और ε के बराबर होता है, कोणीय वेग ω और घूर्णन का कोण φ कानून के अनुसार समय t के साथ बदलता है:
ω = ω 0 + ε टी;
,
कहां ω 0 और φ 0 - समय के प्रारंभिक क्षण में कोणीय वेग और घूर्णन का कोण t = 0 .

किसी कठोर पिंड की समतल-समानांतर गति

समतल-समानांतर या समतलयह एक कठोर पिंड की गति है जिसमें इसके सभी बिंदु किसी निश्चित तल के समानांतर चलते हैं। आइए एक आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सीज़ चुनें। हम x और y अक्षों को उस तल में रखेंगे जिसमें पिंड के बिंदु गति करते हैं। तब सभी z - शरीर के बिंदुओं के निर्देशांक स्थिर रहते हैं, z - वेग और त्वरण के घटक शून्य के बराबर होते हैं। इसके विपरीत, कोणीय वेग और कोणीय त्वरण के सदिश, z अक्ष के अनुदिश निर्देशित होते हैं। उनके x और y घटक शून्य हैं।

इन बिंदुओं से गुजरने वाली धुरी पर किसी कठोर पिंड के दो बिंदुओं के वेगों का प्रक्षेपण एक दूसरे के बराबर होता है।
वी ए cos α = v B cos β.

तात्क्षणिक वेग केंद्र

तात्क्षणिक वेग केंद्रएक समतल आकृति का बिंदु है जिसका वेग वर्तमान में शून्य है।

एक सपाट आकृति के वेगों के तात्कालिक केंद्र P की स्थिति निर्धारित करने के लिए, आपको केवल वेगों की दिशा और उसके दो बिंदु A और B जानने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, वेग की दिशा के लंबवत बिंदु A से होकर एक सीधी रेखा खींचें। बिंदु B से होकर हम वेग की दिशा के लंबवत एक सीधी रेखा खींचते हैं। इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु वेगों का तात्कालिक केंद्र P है। शरीर के घूमने का कोणीय वेग:
.

यदि दो बिंदुओं के वेग एक दूसरे के समानांतर हैं, तो ω = 0 . शरीर के सभी बिंदुओं के वेग एक दूसरे के बराबर होते हैं (किसी निश्चित समय पर)।

यदि किसी समतल पिंड के किसी बिंदु A की गति और उसकी कोणीय गति ω ज्ञात हो, तो एक मनमाना बिंदु M की गति सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है (1) , जिसे अनुवादात्मक और घूर्णी गति के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है:
,
बिंदु A के सापेक्ष बिंदु M की घूर्णी गति की गति कहां है। अर्थात वह गति जो बिंदु M की त्रिज्या |AM| के वृत्त में घूमने पर होगी कोणीय वेग के साथ ω यदि बिंदु A स्थिर होता।
सापेक्ष वेग मॉड्यूल:
v एमए = ω |एएम| .
वेक्टर त्रिज्या |AM| के वृत्त की स्पर्श रेखा पर निर्देशित है बिंदु A पर केंद्र के साथ.

एक सपाट पिंड के बिंदुओं के त्वरण का निर्धारण सूत्र का उपयोग करके किया जाता है (2) . बिंदु A को स्थिर मानते हुए, किसी भी बिंदु M का त्वरण किसी बिंदु A के त्वरण और बिंदु A के चारों ओर घूमने के दौरान बिंदु M के त्वरण के सदिश योग के बराबर होता है:
.
स्पर्शरेखा और सामान्य त्वरण में विघटित किया जा सकता है:
.
स्पर्शरेखीय त्वरण प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होता है। सामान्य त्वरण बिंदु M से बिंदु A की ओर निर्देशित होता है। यहां ω और ε पिंड का कोणीय वेग और कोणीय त्वरण हैं।

जटिल बिंदु आंदोलन

चलो ओ 1 एक्स 1 वाई 1 जेड 1- निश्चित आयताकार समन्वय प्रणाली। इस समन्वय प्रणाली में बिंदु M की गति और त्वरण को निरपेक्ष गति और निरपेक्ष त्वरण कहा जाएगा।

मान लीजिए कि ऑक्सीज़ एक गतिमान आयताकार समन्वय प्रणाली है, मान लीजिए, प्रणाली O के सापेक्ष गतिमान एक निश्चित कठोर पिंड से कठोरता से जुड़ा हुआ है 1 एक्स 1 वाई 1 जेड 1. ऑक्सीज़ समन्वय प्रणाली में बिंदु M की गति और त्वरण को सापेक्ष गति और सापेक्ष त्वरण कहा जाएगा। माना O के सापेक्ष Oxyz प्रणाली के घूर्णन का कोणीय वेग है 1 एक्स 1 वाई 1 जेड 1.

आइए एक ऐसे बिंदु पर विचार करें, जो किसी निश्चित समय पर, बिंदु एम के साथ मेल खाता है और ऑक्सीज़ सिस्टम (एक ठोस शरीर से मजबूती से जुड़ा हुआ बिंदु) के सापेक्ष गतिहीन है। समन्वय प्रणाली O में ऐसे बिंदु का वेग और त्वरण 1 एक्स 1 वाई 1 जेड 1हम इसे पोर्टेबल गति और पोर्टेबल त्वरण कहेंगे।

वेग जोड़ प्रमेय

एक बिंदु की पूर्ण गति सापेक्ष और पोर्टेबल गति के वेक्टर योग के बराबर है:
.

त्वरण जोड़ प्रमेय (कोरिओलिस प्रमेय)

किसी बिंदु का पूर्ण त्वरण सापेक्ष, परिवहन और कोरिओलिस त्वरण के वेक्टर योग के बराबर है:
,
कहाँ
- कोरिओलिस त्वरण.

सन्दर्भ:
एस.एम. टार्ग, सैद्धांतिक यांत्रिकी में लघु पाठ्यक्रम, "हायर स्कूल", 2010।

घुमावदार पथ पर किसी भौतिक बिंदु की गति हमेशा त्वरित होती है, क्योंकि भले ही गति संख्यात्मक मान में नहीं बदलती है, यह हमेशा दिशा में बदलती है।

सामान्य तौर पर, वक्रीय गति के दौरान त्वरण को स्पर्शरेखा (या स्पर्शरेखा) त्वरण के वेक्टर योग के रूप में दर्शाया जा सकता है टीऔर सामान्य त्वरण एन: =टी+एन-चावल। 1.4.

स्पर्शरेखीय त्वरण वेग मापांक में परिवर्तन की दर को दर्शाता है।इस त्वरण का मान होगा:

सामान्य त्वरण दिशा में गति परिवर्तन की दर को दर्शाता है।इस त्वरण का संख्यात्मक मान, कहाँ आर-संपर्क वृत्त की त्रिज्या, अर्थात तीन असीम रूप से करीब बिंदुओं के माध्यम से खींचा गया एक वृत्त बी¢ , ए, बी, वक्र पर लेटा हुआ (चित्र 1.5)। वेक्टर एनवक्रता के केंद्र (ऑस्कुलेटिंग सर्कल के केंद्र) के प्रक्षेपवक्र के सामान्य के साथ निर्देशित।

कुल त्वरण का संख्यात्मक मान

कोणीय वेग कहाँ है.

कोणीय त्वरण कहाँ है.

कोणीय त्वरण संख्यात्मक रूप से प्रति इकाई समय कोणीय वेग में परिवर्तन के बराबर है।

अंत में, हम एक तालिका प्रस्तुत करते हैं जो गति के रैखिक और कोणीय गतिक मापदंडों के बीच एक सादृश्य स्थापित करती है।

काम का अंत -

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भौतिकी में लघु पाठ्यक्रम

यूक्रेन के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय.. ओडेसा राष्ट्रीय समुद्री अकादमी..

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बुनियादी एसआई इकाइयाँ
वर्तमान में, इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली - एसआई - आम तौर पर स्वीकार की जाती है। इस प्रणाली में सात बुनियादी इकाइयाँ शामिल हैं: मीटर, किलोग्राम, सेकंड, मोल, एम्पीयर, केल्विन, कैंडेला और दो अतिरिक्त -

यांत्रिकी
यांत्रिकी भौतिक निकायों की यांत्रिक गति और इस प्रक्रिया के दौरान होने वाली उनके बीच की बातचीत का विज्ञान है। यांत्रिक गति को समय के साथ आपसी सेक्स में बदलाव के रूप में समझा जाता है।

न्यूटन के नियम
गतिशीलता यांत्रिकी की एक शाखा है जो भौतिक निकायों पर लागू बलों के प्रभाव में उनकी गति का अध्ययन करती है। यांत्रिकी न्यूटन के नियमों पर आधारित है। न्यूटन का पहला नियम

संवेग संरक्षण का नियम
आइए न्यूटन के दूसरे और तीसरे नियम के आधार पर संवेग संरक्षण के नियम की व्युत्पत्ति पर विचार करें।

कार्य और गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बीच संबंध
चावल। 3.3 मान लीजिए m द्रव्यमान का एक पिंड x अक्ष के अनुदिश गति करता है

कार्य और संभावित ऊर्जा में परिवर्तन के बीच संबंध
चावल। 3.4 हम गुरुत्वाकर्षण के कार्य के उदाहरण का उपयोग करके यह संबंध स्थापित करेंगे

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम
आइए हम निकायों की एक बंद रूढ़िवादी प्रणाली पर विचार करें। इसका मतलब यह है कि सिस्टम के निकाय बाहरी ताकतों से प्रभावित नहीं होते हैं, और आंतरिक ताकतें प्रकृति में रूढ़िवादी होती हैं। पूर्ण यांत्रिक

टक्कर
आइए ठोस पिंडों की परस्पर क्रिया - टकराव के एक महत्वपूर्ण मामले पर विचार करें। टकराव (प्रभाव) बहुत कम समय में ठोस पिंडों के वेग में एक सीमित परिवर्तन की घटना है जब वे नहीं होते हैं

घूर्णी गति की गतिशीलता का मूल नियम
चावल। 4.3 इस नियम को प्राप्त करने के लिए सबसे सरल मामले पर विचार करें

कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम
आइए हम एक पृथक निकाय पर विचार करें, अर्थात्। एक पिंड जिस पर बल के किसी बाहरी क्षण द्वारा कार्य नहीं किया जाता है। तब Mdt = 0 और (4.5) से यह d(Iw)=0 का अनुसरण करता है, अर्थात। Iw= स्थिरांक. यदि एक पृथक प्रणाली शामिल है

जाइरोस्कोप
जाइरोस्कोप एक सममित ठोस पिंड है जो एक अक्ष के चारों ओर घूमता है जो शरीर के समरूपता के अक्ष के साथ मेल खाता है, द्रव्यमान के केंद्र से गुजरता है, और जड़ता के सबसे बड़े क्षण के अनुरूप होता है।

दोलन प्रक्रियाओं की सामान्य विशेषताएँ। हार्मोनिक कंपन
दोलन वे गतिविधियाँ या प्रक्रियाएँ हैं जिनमें समय के साथ दोहराव की अलग-अलग डिग्री होती है। प्रौद्योगिकी में, दोलन प्रक्रियाओं का उपयोग करने वाले उपकरण ऑप प्रदर्शन कर सकते हैं।

स्प्रिंग पेंडुलम का दोलन
चावल। 6.1 आइए हम स्प्रिंग के सिरे पर m द्रव्यमान का एक पिंड जोड़ें, जो ऐसा कर सकता है

हार्मोनिक कंपन की ऊर्जा
आइए अब स्प्रिंग पेंडुलम के उदाहरण का उपयोग करके, एक हार्मोनिक दोलन में ऊर्जा परिवर्तन की प्रक्रियाओं पर विचार करें। यह स्पष्ट है कि स्प्रिंग लोलक की कुल ऊर्जा W=Wk+Wp है, जहाँ गतिज है

एक ही दिशा के हार्मोनिक कंपन का जोड़
कई मुद्दों का समाधान, विशेष रूप से, एक ही दिशा के कई दोलनों को जोड़ने से, बहुत सुविधा होती है यदि दोलनों को एक विमान पर वैक्टर के रूप में ग्राफिक रूप से दर्शाया जाता है। परिणामस्वरूप

नम दोलन
वास्तविक परिस्थितियों में, दोलन करने वाली प्रणालियों में प्रतिरोध बल हमेशा मौजूद रहते हैं। नतीजतन, सिस्टम धीरे-धीरे प्रतिरोध बलों के खिलाफ काम करने के लिए अपनी ऊर्जा खर्च करता है

जबरदस्ती कंपन
वास्तविक परिस्थितियों में, एक दोलन प्रणाली धीरे-धीरे घर्षण बलों पर काबू पाने के लिए ऊर्जा खो देती है, इसलिए दोलन कम हो जाते हैं। दोलनों का अवमंदित होना किसी न किसी प्रकार आवश्यक है

लोचदार (यांत्रिक) तरंगें
किसी पदार्थ या क्षेत्र में ऊर्जा के स्थानांतरण के साथ गड़बड़ी के प्रसार की प्रक्रिया को तरंग कहा जाता है। लोचदार तरंगें - एक लोचदार माध्यम में यांत्रिक प्रसार की प्रक्रिया

तरंग हस्तक्षेप
हस्तक्षेप दो सुसंगत स्रोतों से तरंगों के सुपरपोजिशन की घटना है, जिसके परिणामस्वरूप अंतरिक्ष में तरंग तीव्रता का पुनर्वितरण होता है, यानी। हस्तक्षेप होता है

खड़ी तरंगें
हस्तक्षेप का एक विशेष मामला खड़ी तरंगों का निर्माण है। समान आयाम वाली दो प्रतिप्रसारित सुसंगत तरंगों के हस्तक्षेप से खड़ी तरंगें उत्पन्न होती हैं। यह स्थिति परेशानी का कारण बन सकती है

ध्वनिकी में डॉपलर प्रभाव
ध्वनि तरंगें 16 से 20,000 हर्ट्ज की आवृत्ति वाली लोचदार तरंगें हैं, जिन्हें मानव श्रवण अंगों द्वारा माना जाता है। तरल और गैसीय मीडिया में ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य होती हैं। कठिन में

गैसों के आणविक गतिज सिद्धांत का मूल समीकरण
आइए एक आदर्श गैस को सबसे सरल भौतिक मॉडल मानें। एक आदर्श गैस वह है जिसके लिए निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं: 1) अणुओं के आयाम इतने छोटे होते हैं

गति से अणुओं का वितरण
चित्र 16.1 आइए मान लें कि हम सभी की गति मापने में सक्षम थे

बैरोमीटर का सूत्र
आइए गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक आदर्श गैस के व्यवहार पर विचार करें। जैसा कि आप जानते हैं, जैसे-जैसे आप पृथ्वी की सतह से ऊपर उठते हैं, वायुमंडल का दबाव कम होता जाता है। आइए ऊंचाई पर वायुमंडलीय दबाव की निर्भरता का पता लगाएं

बोल्ट्ज़मान वितरण
आइए हम ऊँचाई h और h0 पर गैस के दबाव को प्रति इकाई आयतन और u0 के अणुओं की संगत संख्या के माध्यम से व्यक्त करें, यह मानते हुए कि विभिन्न ऊँचाइयों पर T = स्थिरांक: P =

ऊष्मागतिकी का पहला नियम और आइसोप्रोसेस पर इसका अनुप्रयोग
ऊष्मागतिकी का पहला नियम तापीय प्रक्रियाओं को ध्यान में रखते हुए ऊर्जा के संरक्षण के नियम का सामान्यीकरण है। इसका सूत्रीकरण: सिस्टम को दी जाने वाली ऊष्मा की मात्रा कार्य करने पर खर्च होती है

स्वतंत्रता की कोटियों की संख्या. एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा
स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या स्वतंत्र निर्देशांक की संख्या है जो अंतरिक्ष में किसी पिंड की गति का वर्णन करती है। एक भौतिक बिंदु में स्वतंत्रता की तीन डिग्री होती है, क्योंकि जब वह पी में गति करता है

रूद्धोष्म प्रक्रिया
रुद्धोष्म एक ऐसी प्रक्रिया है जो पर्यावरण के साथ ताप विनिमय के बिना होती है। रुद्धोष्म प्रक्रिया में, dQ = 0, इसलिए इस प्रक्रिया के संबंध में ऊष्मागतिकी का पहला नियम है

प्रतिवर्ती और अपरिवर्तनीय प्रक्रियाएँ। वृत्ताकार प्रक्रियाएँ (चक्र)। ऊष्मा इंजन का संचालन सिद्धांत
प्रतिवर्ती प्रक्रियाएँ वे हैं जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करती हैं। 1. इन प्रक्रियाओं से गुजरने के बाद और थर्मोडायनामिक सिस्टम को उसकी मूल स्थिति में लौटाना

आदर्श कार्नोट ताप इंजन
चावल। 25.1 1827 में, फ्रांसीसी सैन्य इंजीनियर एस. कार्नोट, पुनः

ऊष्मागतिकी का दूसरा नियम
ऊष्मागतिकी का पहला नियम, जो तापीय प्रक्रियाओं को ध्यान में रखते हुए ऊर्जा के संरक्षण के नियम का सामान्यीकरण है, प्रकृति में विभिन्न प्रक्रियाओं के घटित होने की दिशा का संकेत नहीं देता है। हाँ, पहले

एक प्रक्रिया असंभव है, जिसका एकमात्र परिणाम ठंडे शरीर से गर्म शरीर में गर्मी का स्थानांतरण होगा
एक प्रशीतन मशीन में, गर्मी को ठंडे शरीर (फ्रीज़र) से गर्म वातावरण में स्थानांतरित किया जाता है। ऐसा प्रतीत होता है कि यह ऊष्मागतिकी के दूसरे नियम का खंडन करता है। वास्तव में इसके विरुद्ध

एन्ट्रापी
आइए अब हम थर्मोडायनामिक प्रणाली की स्थिति का एक नया पैरामीटर पेश करते हैं - एन्ट्रापी, जो इसके परिवर्तन की दिशा में अन्य राज्य मापदंडों से मौलिक रूप से भिन्न है। प्राथमिक देशद्रोह

विद्युत आवेश की विसंगति. विद्युत आवेश के संरक्षण का नियम
इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र का स्रोत एक विद्युत आवेश है - एक प्राथमिक कण की आंतरिक विशेषता जो विद्युत चुम्बकीय इंटरैक्शन में प्रवेश करने की इसकी क्षमता निर्धारित करती है।

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र ऊर्जा
आइए सबसे पहले आवेशित समतल संधारित्र की ऊर्जा ज्ञात करें। जाहिर है, यह ऊर्जा संख्यात्मक रूप से संधारित्र को डिस्चार्ज करने के लिए किए जाने वाले कार्य के बराबर है।

करंट की मुख्य विशेषताएं
विद्युत धारा आवेशित कणों की क्रमबद्ध (निर्देशित) गति है। वर्तमान ताकत संख्यात्मक रूप से प्रति यूनिट कंडक्टर के क्रॉस सेक्शन से गुजरने वाले चार्ज के बराबर है

श्रृंखला के सजातीय खंड के लिए ओम का नियम
सर्किट का एक भाग जिसमें ईएमएफ स्रोत नहीं होता है उसे सजातीय कहा जाता है। ओम ने प्रयोगात्मक रूप से स्थापित किया कि सर्किट के एक सजातीय खंड में वर्तमान ताकत वोल्टेज के समानुपाती और व्युत्क्रमानुपाती होती है

जूल-लेन्ज़ कानून
जूल और, उनसे स्वतंत्र रूप से, लेनज़ ने प्रयोगात्मक रूप से स्थापित किया कि समय dt के दौरान प्रतिरोध R के साथ एक कंडक्टर में जारी गर्मी की मात्रा, प्रतिरोधक धारा के वर्ग के समानुपाती होती है

किरचॉफ के नियम
चावल। 39.1 जटिल डीसी सर्किट की गणना करने के लिए

संभावित अंतर से संपर्क करें
यदि दो असमान धातु कंडक्टरों को संपर्क में लाया जाता है, तो इलेक्ट्रॉन एक कंडक्टर से दूसरे कंडक्टर तक और वापस जाने में सक्षम होते हैं। ऐसी प्रणाली की संतुलन स्थिति

सीबेक प्रभाव
चावल। 41.1 प्रति ग्राम दो असमान धातुओं के एक बंद सर्किट में

पेल्टियर प्रभाव
दूसरी थर्मोइलेक्ट्रिक घटना - पेल्टियर प्रभाव - यह है कि जब दो असमान कंडक्टरों के संपर्क के माध्यम से विद्युत प्रवाह पारित किया जाता है, तो इसमें एक रिलीज या अवशोषण होता है।

त्वरणएक मात्रा है जो गति में परिवर्तन की दर को दर्शाती है।

उदाहरण के लिए, जब कोई कार चलती है तो उसकी गति बढ़ जाती है, यानी वह तेज चलने लगती है। पहले तो इसकी गति शून्य होती है. एक बार चलने के बाद, कार धीरे-धीरे एक निश्चित गति तक बढ़ जाती है। अगर रास्ते में लाल ट्रैफिक लाइट आ जाए तो कार रुक जाएगी। लेकिन यह तुरंत नहीं बल्कि समय के साथ रुकेगा। यानी इसकी गति शून्य हो जाएगी - कार धीरे-धीरे चलेगी जब तक कि यह पूरी तरह से बंद न हो जाए। हालाँकि, भौतिकी में "मंदी" शब्द का कोई उपयोग नहीं है। यदि कोई पिंड अपनी गति को धीमा करते हुए चलता है, तो यह भी पिंड का त्वरण होगा, केवल ऋण चिह्न के साथ (जैसा कि आपको याद है, गति एक सदिश राशि है)।

> गति में परिवर्तन और उस समयावधि का अनुपात है जिसके दौरान यह परिवर्तन हुआ। औसत त्वरण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:

चावल। 1.8. औसत त्वरण.एसआई में त्वरण इकाई- 1 मीटर प्रति सेकंड प्रति सेकंड (या मीटर प्रति सेकंड वर्ग) है, यानी

एक मीटर प्रति सेकंड का वर्ग एक सीधे गतिमान बिंदु के त्वरण के बराबर है, जिस पर इस बिंदु की गति एक सेकंड में 1 मीटर/सेकंड बढ़ जाती है। दूसरे शब्दों में, त्वरण यह निर्धारित करता है कि किसी पिंड की गति एक सेकंड में कितनी बदलती है। उदाहरण के लिए, यदि त्वरण 5 m/s2 है, तो इसका मतलब है कि शरीर की गति हर सेकंड 5 m/s बढ़ जाती है।

किसी पिंड का तात्कालिक त्वरण (भौतिक बिंदु)किसी निश्चित समय पर एक भौतिक मात्रा उस सीमा के बराबर होती है जिस तक समय अंतराल शून्य होने पर औसत त्वरण की प्रवृत्ति होती है। दूसरे शब्दों में, यह वह त्वरण है जो शरीर बहुत कम समय में विकसित करता है:

त्वरित रैखिक गति के साथ, शरीर की गति निरपेक्ष मान में बढ़ जाती है, अर्थात

वी 2 > वी 1

और त्वरण वेक्टर की दिशा वेग वेक्टर से मेल खाती है

यदि किसी पिंड की गति निरपेक्ष मान में कम हो जाती है, अर्थात्

वि 2< v 1

तो त्वरण वेक्टर की दिशा वेग वेक्टर की दिशा के विपरीत है। दूसरे शब्दों में, इस मामले में क्या होता है धीमा होते हुए, इस स्थिति में त्वरण ऋणात्मक होगा (और< 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

चावल। 1.9. त्वरित त्वरण.

घुमावदार रास्ते पर चलते समय न केवल गति मापांक बदलता है, बल्कि उसकी दिशा भी बदलती है। इस मामले में, त्वरण वेक्टर को दो घटकों के रूप में दर्शाया गया है (अगला भाग देखें)।

स्पर्शरेखा (स्पर्शरेखा) त्वरण- यह गति प्रक्षेपवक्र के किसी दिए गए बिंदु पर प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा के साथ निर्देशित त्वरण वेक्टर का घटक है। स्पर्शरेखीय त्वरण वक्ररेखीय गति के दौरान गति मापांक में परिवर्तन की विशेषता बताता है।

चावल। 1.10. स्पर्शरेखीय त्वरण.

स्पर्शरेखीय त्वरण वेक्टर की दिशा (चित्र 1.10 देखें) रैखिक वेग की दिशा से मेल खाती है या इसके विपरीत है। अर्थात्, स्पर्शरेखा त्वरण वेक्टर स्पर्शरेखा वृत्त के साथ एक ही अक्ष पर स्थित है, जो शरीर का प्रक्षेपवक्र है।

सामान्य त्वरण

सामान्य त्वरणशरीर के प्रक्षेप पथ पर किसी दिए गए बिंदु पर गति के प्रक्षेप पथ के सामान्य के साथ निर्देशित त्वरण वेक्टर का घटक है। अर्थात्, सामान्य त्वरण वेक्टर गति की रैखिक गति के लंबवत है (चित्र 1.10 देखें)। सामान्य त्वरण दिशा में गति में परिवर्तन को दर्शाता है और इसे अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है। सामान्य त्वरण वेक्टर प्रक्षेपवक्र की वक्रता की त्रिज्या के साथ निर्देशित होता है।

पूर्ण त्वरण

पूर्ण त्वरणवक्रीय गति के दौरान, इसमें स्पर्शरेखीय और सामान्य त्वरण होते हैं और यह सूत्र द्वारा निर्धारित होता है:

(आयताकार आयत के लिए पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार)।