किसी कठोर पिंड का एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमना। एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक कठोर शरीर की घूर्णी गति एक अक्ष के चारों ओर एक कठोर शरीर का घूर्णन

कठोर शारीरिक किनेमेटिक्स

किसी बिंदु की गतिकी के विपरीत, कठोर पिंडों की गतिकी में दो मुख्य कार्य हल किए जाते हैं:

गति निर्धारित करना और समग्र रूप से शरीर की गतिक विशेषताओं का निर्धारण करना;

शरीर के बिंदुओं की गतिक विशेषताओं का निर्धारण।

गतिक विशेषताओं को स्थापित करने और निर्धारित करने की विधियाँ पिंडों की गति के प्रकार पर निर्भर करती हैं।

इस मैनुअल में, तीन प्रकार की गति पर विचार किया गया है: अनुवादात्मक, एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णी और कठोर शरीर की समतल-समानांतर गति।

एक कठोर पिंड की अनुवादात्मक गति

ट्रांसलेशनल एक ऐसी गति है जिसमें शरीर के दो बिंदुओं से होकर खींची गई एक सीधी रेखा अपनी मूल स्थिति के समानांतर रहती है (चित्र 2.8)।

प्रमेय सिद्ध हुआ: अनुवादात्मक गति में, शरीर के सभी बिंदु एक ही प्रक्षेप पथ के साथ चलते हैं और समय के प्रत्येक क्षण में निरपेक्ष मान और दिशा में समान गति और त्वरण होता है (चित्र 2.8)।

निष्कर्ष: किसी कठोर पिंड की अनुवादात्मक गति उसके किसी भी बिंदु की गति से निर्धारित होती है, और इसलिए, उसकी गति का कार्य और अध्ययन एक बिंदु की गतिकी तक कम हो जाता है।

चावल। 2.8 चित्र. 2.9

किसी कठोर पिंड की एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णी गति।

एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमना एक कठोर शरीर की गति है, जिसमें शरीर से संबंधित दो बिंदु आंदोलन के पूरे समय के दौरान स्थिर रहते हैं।

पिंड की स्थिति घूर्णन के कोण से निर्धारित होती है (चित्र 2.9)। किसी कोण की माप की इकाई रेडियन है। (रेडियन एक वृत्त का केंद्रीय कोण है जिसकी चाप की लंबाई त्रिज्या के बराबर होती है, वृत्त के पूर्ण कोण में 2 रेडियन होते हैं।)

एक निश्चित अक्ष के चारों ओर किसी पिंड की घूर्णी गति का नियम = (t)। पिंड का कोणीय वेग और कोणीय त्वरण विभेदन विधि द्वारा निर्धारित किया जाएगा

कोणीय वेग, रेड/एस; (2.10)

कोणीय त्वरण, रेड/एस 2 (2.11)

जब कोई पिंड एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो उसके बिंदु जो घूर्णन अक्ष पर स्थित नहीं होते हैं, वे घूर्णन अक्ष पर केन्द्रित वृत्तों के साथ चलते हैं।

यदि हम पिंड को अक्ष के लंबवत समतल द्वारा काटते हैं, तो घूर्णन अक्ष पर एक बिंदु चुनें साथऔर मनमाना बिंदु एम,फिर बिंदु एमबिंदु के चारों ओर वर्णन करेंगे साथत्रिज्या वृत्त आर(चित्र 2.9)। दौरान डीटीएक कोण के माध्यम से एक प्रारंभिक घूर्णन होता है, जबकि बिंदु एमकुछ दूरी तक प्रक्षेपवक्र के साथ आगे बढ़ेगा। आइए रैखिक वेग मॉड्यूल निर्धारित करें:

बिंदु त्वरण एमएक ज्ञात प्रक्षेपवक्र उसके घटकों द्वारा निर्धारित होता है, देखें (2.8)

सूत्र में व्यंजक (2.12) को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

कहा पे: - स्पर्शरेखीय त्वरण,

सामान्य त्वरण.

किसी कठोर पिंड की समतल-समानांतर गति

समतल-समानांतर एक कठोर पिंड की गति है, जिसमें इसके सभी बिंदु एक निश्चित तल के समानांतर समतल में चलते हैं (चित्र 2.10)। किसी पिंड की गति का अध्ययन करने के लिए, एक खंड की गति का अध्ययन करना पर्याप्त है एसयह पिंड निश्चित तल के समानांतर एक तल द्वारा। अनुभाग आंदोलन एसइसके तल को एक जटिल माना जा सकता है, जिसमें दो प्राथमिक गतिविधियाँ शामिल हैं: ए) अनुवादात्मक और घूर्णी; बी) मोबाइल (तात्कालिक) केंद्र के सापेक्ष घूर्णी।

पहले संस्करण मेंखंड की गति को इसके एक बिंदु (ध्रुव) की गति के समीकरण और ध्रुव के चारों ओर खंड के घूर्णन द्वारा दिया जा सकता है (चित्र 2.11)। अनुभाग के किसी भी बिंदु को ध्रुव के रूप में लिया जा सकता है।

चावल। 2.10 चित्र. 2.11

गति के समीकरण इस प्रकार लिखे जायेंगे:

एक्सए = एक्स ए (टी)

वाई ए = वाई ए (टी) (2.14)

ए = ए (टी)

ध्रुव की गतिक विशेषताएँ उसकी गति के समीकरणों से निर्धारित होती हैं।

अपने ही तल में गतिमान किसी समतल आकृति के किसी भी बिंदु की गति ध्रुव की गति का योग होती है (बिंदु के अनुभाग में मनमाने ढंग से चुना गया) ए) और ध्रुव के चारों ओर घूमने की गति (बिंदु का घूमना मेंबिंदु के चारों ओर ए).

एक चलती हुई सपाट आकृति के एक बिंदु का त्वरण, संदर्भ के निश्चित फ्रेम के सापेक्ष ध्रुव के त्वरण और ध्रुव के चारों ओर घूर्णी गति के कारण होने वाले त्वरण का योग है।

दूसरे संस्करण मेंअनुभाग की गति को गतिशील (तात्कालिक) केंद्र के चारों ओर घूर्णी माना जाता है पी(चित्र 1.12)। इस स्थिति में, खंड के किसी भी बिंदु बी की गति घूर्णी गति के सूत्र द्वारा निर्धारित की जाएगी

तात्कालिक केंद्र के चारों ओर कोणीय वेग आरनिर्धारित किया जा सकता है यदि अनुभाग के किसी भी बिंदु की गति ज्ञात हो, उदाहरण के लिए, बिंदु ए।

चित्र.2.12

घूर्णन के तात्कालिक केंद्र की स्थिति निम्नलिखित गुणों के आधार पर निर्धारित की जा सकती है:

बिंदु का वेग वेक्टर त्रिज्या के लंबवत है;

किसी बिंदु का गति मापांक बिंदु से घूर्णन के केंद्र तक की दूरी के समानुपाती होता है ( वी=आर) ;

घूर्णन के केन्द्र पर गति शून्य है।

आइए तात्कालिक केंद्र की स्थिति निर्धारित करने के कुछ मामलों पर विचार करें।

1. एक समतल आकृति के दो बिंदुओं के वेग की दिशाएँ ज्ञात होती हैं (चित्र 2.13)। आइए त्रिज्या की रेखाएं बनाएं। घूर्णन का तात्कालिक केंद्र P, वेग सदिशों पर खींचे गए लंबवतों के प्रतिच्छेदन पर स्थित है।

2. बिंदु A और B की गति ज्ञात है, और सदिश और एक दूसरे के समानांतर हैं, और रेखा अबलंबवत (चित्र 2.14)। इस स्थिति में, घूर्णन का तात्कालिक केंद्र रेखा पर स्थित होता है अब. इसे खोजने के लिए, हम निर्भरता के आधार पर वेगों की आनुपातिकता की एक रेखा खींचते हैं वी=आर.

3. पिंड दूसरे पिंड की स्थिर सतह पर बिना फिसले लुढ़कता है (चित्र 2.15)। इस समय पिंडों के संपर्क बिंदु की गति शून्य है, जबकि पिंड के अन्य बिंदुओं की गति शून्य के बराबर नहीं है। स्पर्शरेखा बिंदु P घूर्णन का तात्कालिक केंद्र होगा।

चावल। 2.13 चित्र. 2.14 चित्र. 2.15

विचार किए गए विकल्पों के अलावा, एक खंड बिंदु की गति एक कठोर शरीर के दो बिंदुओं के वेग के अनुमानों पर प्रमेय के आधार पर निर्धारित की जा सकती है।

प्रमेय: किसी कठोर पिंड के दो बिंदुओं के वेगों का इन बिंदुओं से होकर खींची गई सीधी रेखा पर प्रक्षेपण बराबर और समान रूप से निर्देशित होता है.

प्रमाण: दूरी अबइसलिए नहीं बदल सकता

वीऔर कॉस कम या ज्यादा नहीं हो सकता वीकॉस में (चित्र 2.16)।

चावल। 2.16

निष्कर्ष: वी एक्योंकि = वी मेंक्योंकि. (2.19)

जटिल बिंदु आंदोलन

पिछले पैराग्राफ में, संदर्भ के एक निश्चित फ्रेम के सापेक्ष एक बिंदु की गति, तथाकथित निरपेक्ष गति पर विचार किया गया था। व्यवहार में, ऐसी समस्याएं होती हैं जिनमें एक समन्वय प्रणाली के सापेक्ष एक बिंदु की गति ज्ञात होती है, जो एक निश्चित प्रणाली के सापेक्ष चलती है। इस मामले में, निश्चित प्रणाली के सापेक्ष बिंदु की गतिज विशेषताओं को निर्धारित करना आवश्यक है।

इसे कॉल करने की प्रथा है: एक चलती प्रणाली के सापेक्ष एक बिंदु की गति - रिश्तेदार, चलती प्रणाली के साथ बिंदु की गति - पोर्टेबल, एक निश्चित प्रणाली के सापेक्ष एक बिंदु की गति - शुद्ध. तदनुसार, गति और त्वरण को कहा जाता है:

सापेक्ष;-आलंकारिक; -निरपेक्ष।

वेग जोड़ प्रमेय के अनुसार, एक बिंदु का निरपेक्ष वेग सापेक्ष और स्थानान्तरण वेगों के सदिश योग के बराबर होता है (चित्र)।

गति का निरपेक्ष मान कोज्या के नियम द्वारा निर्धारित होता है

चित्र.2.17

समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार त्वरण किसके द्वारा निर्धारित किया जाता है? केवल अनुवादात्मक गति में

गैर-अनुवादात्मक पोर्टेबल गति के साथ, त्वरण का एक तीसरा घटक प्रकट होता है, जिसे रोटरी या कोरिओलिस कहा जाता है।

कोरिओलिस त्वरण संख्यात्मक रूप से बराबर है

सदिशों और के बीच का कोण कहां है?

एन.ई. के अनुसार कोरिओलिस त्वरण वेक्टर की दिशा निर्धारित करना सुविधाजनक है। ज़ुकोवस्की: वेक्टर को ट्रांसलेशनल रोटेशन की धुरी के लंबवत एक विमान पर प्रक्षेपित करें, ट्रांसलेशनल रोटेशन की दिशा में प्रक्षेपण को 90 डिग्री तक घुमाएँ। परिणामी दिशा कोरिओलिस त्वरण की दिशा के अनुरूप होगी।

अनुभाग में आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न

1. गतिकी के मुख्य कार्य क्या हैं? गतिकीय विशेषताओं का नाम बताइए।

2. किसी बिंदु की गति को निर्दिष्ट करने और गतिक विशेषताओं को निर्धारित करने की विधियों का नाम बताइए।

3. किसी पिंड की अनुवादात्मक, एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाली, समतल-समानांतर गति की परिभाषा दीजिए।

4. एक कठोर पिंड की गति को अनुवादात्मक, एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने और पिंड की समतल-समानांतर गति के दौरान कैसे निर्दिष्ट किया जाता है, और पिंड की इन गतियों के दौरान एक बिंदु की गति और त्वरण कैसे निर्धारित किया जाता है?

अनुवादकीयकिसी कठोर पिंड की ऐसी गति कहलाती है जिसमें इस पिंड से जुड़ी कोई भी सीधी रेखा अपनी प्रारंभिक स्थिति के समानांतर रहती है।

प्रमेय. किसी कठोर पिंड की अनुवादात्मक गति में, इसके सभी बिंदु समान प्रक्षेप पथ का वर्णन करते हैं और किसी भी क्षण में परिमाण और दिशा में समान वेग और त्वरण होते हैं।

सबूत। दो बिंदुओं से गुजरें और , अनुवादात्मक रूप से गतिमान शरीर खंड
और स्थिति में इस खंड की गति पर विचार करें
. उसी समय, बिंदु प्रक्षेप पथ का वर्णन करता है
, और बात - प्रक्षेपवक्र
(चित्र 56)।

उस खंड को ध्यान में रखते हुए
स्वयं के समानांतर चलता है, और इसकी लंबाई नहीं बदलती है, यह स्थापित किया जा सकता है कि बिंदुओं का प्रक्षेप पथ और एक ही हो जाएगा। अतः, प्रमेय का पहला भाग सिद्ध होता है। हम बिंदुओं की स्थिति निर्धारित करेंगे और निश्चित मूल के संबंध में सदिश तरीके से . साथ ही, ये त्रिज्या-सदिश पर निर्भर हैं
. क्योंकि। न तो खंड की लंबाई और न ही दिशा
जब शरीर चलता है तो वेक्टर नहीं बदलता है

. हम निर्भरता के अनुसार वेगों के निर्धारण के लिए आगे बढ़ते हैं (24):

, हम पाते हैं
.

हम निर्भरता के अनुसार त्वरण के निर्धारण के लिए आगे बढ़ते हैं (26):

, हम पाते हैं
.

सिद्ध प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी पिंड की अनुवादात्मक गति पूरी तरह से निर्धारित होगी यदि कुछ बिंदुओं में से केवल एक की गति ज्ञात हो। इसलिए, किसी कठोर पिंड की स्थानांतरीय गति का अध्ययन उसके किसी एक बिंदु की गति के अध्ययन तक सीमित हो जाता है, अर्थात। बिंदु गतिकी की समस्या के लिए.

विषय 11. एक कठोर पिंड की घूर्णी गति

घुमानेवालाकिसी कठोर पिंड की ऐसी गति है जिसमें उसके दो बिंदु गति के पूरे समय तक गतिहीन रहते हैं। इन दो निश्चित बिंदुओं से होकर गुजरने वाली रेखा कहलाती है अक्ष.

पिंड का प्रत्येक बिंदु जो घूर्णन की धुरी पर स्थित नहीं होता है, ऐसे आंदोलन के दौरान, एक वृत्त का वर्णन करता है, जिसका तल घूर्णन की धुरी के लंबवत होता है, और इसका केंद्र इस धुरी पर स्थित होता है।

हम घूर्णन अक्ष के माध्यम से एक निश्चित विमान I और एक गतिशील विमान II खींचते हैं, जो हमेशा शरीर से जुड़ा होता है और इसके साथ घूमता है (चित्र 57)। विमान II की स्थिति, और, तदनुसार, अंतरिक्ष में विमान I के संबंध में, पूरे शरीर की स्थिति, पूरी तरह से कोण द्वारा निर्धारित होती है . जब कोई पिंड किसी अक्ष के चारों ओर घूमता है यह कोण समय का एक सतत और एकल-मान वाला फलन है। इसलिए, समय के साथ इस कोण के परिवर्तन के नियम को जानकर, हम अंतरिक्ष में पिंड की स्थिति निर्धारित कर सकते हैं:

- शरीर के घूमने का नियम. (43)

इस मामले में, हम मान लेंगे कि कोण अक्ष के धनात्मक सिरे से देखने पर स्थिर तल से वामावर्त दिशा में गिना जाता है . चूँकि एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले पिंड की स्थिति एक पैरामीटर द्वारा निर्धारित की जाती है, इसलिए ऐसा कहा जाता है कि ऐसे पिंड में स्वतंत्रता की एक डिग्री होती है।

कोणीय वेग

समय के साथ पिंड के घूर्णन कोण में परिवर्तन को कोणीय कहा जाता है शरीर की गति और निरूपित किया गया
(ओमेगा):

.(44)

कोणीय वेग, रैखिक वेग की तरह, एक सदिश राशि है, और यह सदिश है शरीर के घूर्णन की धुरी पर निर्मित। इसे घूर्णन अक्ष के अनुदिश उस दिशा में निर्देशित किया जाता है ताकि, इसके अंत से आरंभ तक देखने पर, कोई शरीर के घूर्णन को वामावर्त दिशा में देख सके (चित्र 58)। इस वेक्टर का मापांक निर्भरता (44) द्वारा निर्धारित होता है। आवेदन बिंदु अक्ष पर मनमाने ढंग से चुना जा सकता है, क्योंकि वेक्टर को उसकी क्रिया की रेखा के साथ अनुवादित किया जा सकता है। यदि हम घूर्णन अक्ष के ऑर्थो-वेक्टर को निरूपित करते हैं , तो हमें कोणीय वेग की सदिश अभिव्यक्ति मिलती है:

. (45)

कोणीय त्वरण

समय के साथ किसी पिंड के कोणीय वेग में परिवर्तन की दर कहलाती है कोणीय त्वरण निकायों और निरूपित किया गया है (एप्सिलॉन):

. (46)

कोणीय त्वरण एक सदिश राशि है, और यह सदिश है शरीर के घूर्णन की धुरी पर निर्मित। इसे उस दिशा में घूर्णन की धुरी के साथ निर्देशित किया जाता है, ताकि, इसके अंत से इसकी शुरुआत तक देखने पर, कोई व्यक्ति एप्सिलॉन के घूर्णन की दिशा को वामावर्त (चित्र 58) देख सके। इस वेक्टर का मापांक निर्भरता (46) द्वारा निर्धारित होता है। आवेदन बिंदु अक्ष पर मनमाने ढंग से चुना जा सकता है, क्योंकि वेक्टर को उसकी क्रिया की रेखा के साथ अनुवादित किया जा सकता है।

यदि हम घूर्णन अक्ष के ऑर्थो-वेक्टर को निरूपित करते हैं , तो हमें कोणीय त्वरण की सदिश अभिव्यक्ति मिलती है:

. (47)

यदि कोणीय वेग और त्वरण एक ही चिह्न के हों तो पिंड घूमता है ACCELERATED, और यदि भिन्न हो - धीरे से. धीमी गति से घूमने का एक उदाहरण चित्र में दिखाया गया है। 58.

घूर्णी गति के विशेष मामलों पर विचार करें।

1. एकसमान घूर्णन:

,
.

,
,
,

,
. (48)

2. समान-चर घूर्णन:

.

,
,
,
,
,
,
,
,

,
,
.(49)

रैखिक और कोणीय मापदंडों के बीच संबंध

एक मनमाने बिंदु की गति पर विचार करें
घूमता हुआ शरीर. इस स्थिति में, बिंदु का प्रक्षेपवक्र एक वृत्त, त्रिज्या होगा
, घूर्णन अक्ष के लंबवत समतल में स्थित (चित्र 59, ए).

आइए उस समय यह मान लें बिंदु स्थिति में है
. आइए मान लें कि शरीर सकारात्मक दिशा में घूमता है, यानी। बढ़ते कोण की दिशा में . समय के बिंदु पर
बिंदु स्थिति ले लेगा
. चाप को निरूपित करें
. इसलिए, समय के साथ
बात बहुत आगे निकल चुकी है
. उसकी औसत गति , और जब
,
. लेकिन, चित्र से. 59, बी, यह स्पष्ट है कि
. तब। अंततः हम पाते हैं

. (50)

यहाँ - बिंदु की रैखिक गति
. जैसा कि पहले प्राप्त किया गया था, यह वेग किसी दिए गए बिंदु पर प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होता है, अर्थात। वृत्त की स्पर्शरेखा.

इस प्रकार, घूमते हुए पिंड के एक बिंदु के रैखिक (परिधि) वेग का मापांक इस बिंदु से घूर्णन अक्ष तक की दूरी के कोणीय वेग के निरपेक्ष मान के गुणनफल के बराबर होता है।

आइए अब बिंदु के त्वरण के रैखिक घटकों को कोणीय मापदंडों से जोड़ें।

,
. (51)

एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले कठोर शरीर के एक बिंदु के स्पर्शरेखीय त्वरण का मॉड्यूल इस बिंदु से रोटेशन की धुरी तक की दूरी से शरीर के कोणीय त्वरण के उत्पाद के बराबर है।

,
. (52)

एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले कठोर पिंड के एक बिंदु के सामान्य त्वरण का मापांक पिंड के कोणीय वेग के वर्ग और इस बिंदु से घूर्णन अक्ष तक की दूरी के गुणनफल के बराबर होता है।

तब बिंदु के कुल त्वरण के लिए अभिव्यक्ति का रूप ले लेता है

. (53)

वेक्टर दिशाएँ ,,चित्र 59 में दिखाया गया है, वी.

सपाट गतिकठोर पिंड एक ऐसी गति है जिसमें शरीर के सभी बिंदु किसी निश्चित तल के समानांतर चलते हैं। ऐसे आंदोलन के उदाहरण:

किसी भी पिंड की गति जिसका आधार किसी दिए गए निश्चित विमान के साथ स्लाइड करता है;

पहिया ट्रैक (रेल) के सीधे खंड पर घूम रहा है।

हमें समतल गति के समीकरण प्राप्त होते हैं। ऐसा करने के लिए, शीट के तल में घूमती हुई एक सपाट आकृति पर विचार करें (चित्र 60)। हम इस गति को एक निश्चित समन्वय प्रणाली से संदर्भित करते हैं
, और चित्र के साथ ही हम एक गतिमान समन्वय प्रणाली को जोड़ देंगे
, जो इसके साथ चलता है।

जाहिर है, एक निश्चित तल पर गतिमान आकृति की स्थिति गतिमान अक्षों की स्थिति से निर्धारित होती है
स्थिर अक्षों के सापेक्ष
. यह स्थिति गतिशील मूल की स्थिति से निर्धारित होती है , अर्थात। COORDINATES ,और घूर्णन का कोण , स्थिर समन्वय प्रणाली के सापेक्ष एक गतिशील समन्वय प्रणाली, जिसे अक्ष से गिना जाएगा वामावर्त दिशा में.

नतीजतन, यदि समय के प्रत्येक क्षण के लिए मान ज्ञात हो तो उसके तल में एक सपाट आकृति की गति पूरी तरह से निर्धारित हो जाएगी ,,, अर्थात। प्रपत्र के समीकरण:

,
,
. (54)

समीकरण (54) एक कठोर पिंड की समतल गति के समीकरण हैं, क्योंकि यदि ये कार्य ज्ञात हैं, तो समय के प्रत्येक क्षण के लिए क्रमशः इन समीकरणों से पता लगाना संभव है ,,, अर्थात। किसी निश्चित समय पर गतिमान आकृति की स्थिति निर्धारित करें।

विशेष मामलों पर विचार करें:

1.

, तो शरीर की गति अनुवादात्मक होगी, क्योंकि गतिशील कुल्हाड़ियाँ अपनी प्रारंभिक स्थिति के समानांतर रहते हुए चलती हैं।

2.

,

. इस गति से केवल घूर्णन का कोण बदलता है। , अर्थात। शरीर बिंदु के माध्यम से आकृति के तल के लंबवत गुजरने वाली धुरी के चारों ओर घूमेगा .

एक सपाट आकृति की गति का अनुवादात्मक और घूर्णी में विघटन

लगातार दो स्थितियों पर विचार करें और
कभी-कभी शरीर पर कब्जा कर लिया जाता है और
(चित्र 61)। शरीर स्थिति से बाहर स्थिति में
निम्नानुसार स्थानांतरित किया जा सकता है। आइए पहले शरीर को हिलाएँ उत्तरोत्तर. उसी समय, खंड
स्थिति में स्वयं के समानांतर चलता है
, और तब चलो मुड़ेंएक बिंदु (ध्रुव) के चारों ओर का शरीर कोने पर
जब तक अंक मेल नहीं खाते और .

इस तरह, किसी भी समतलीय गति को चुने हुए ध्रुव और घूर्णी गति के साथ अनुवादात्मक गति के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, इस पोल के बारे में

आइए उन तरीकों पर विचार करें जिनके द्वारा समतल गति कर रहे किसी पिंड के बिंदुओं के वेग को निर्धारित करना संभव है।

1. ध्रुव विधि. यह विधि समतल गति के अनुवादात्मक और घूर्णी में परिणामी अपघटन पर आधारित है। एक समतल आकृति के किसी भी बिंदु की गति को दो घटकों के रूप में दर्शाया जा सकता है: अनुवादात्मक, मनमाने ढंग से चुने गए बिंदु की गति के बराबर गति के साथ -डंडे , और इस ध्रुव के चारों ओर घूर्णनशील है।

एक सपाट पिंड पर विचार करें (चित्र 62)। गति के समीकरण हैं:
,
,
.

हम इन समीकरणों से बिंदु की गति निर्धारित करते हैं (सेटिंग की समन्वय विधि के साथ)

,
,
.

तो बिंदु गति - मूल्य ज्ञात है. हम इस बिंदु को एक ध्रुव के रूप में लेते हैं और एक मनमाने बिंदु की गति निर्धारित करते हैं
शरीर।

रफ़्तार
ट्रांसलेशनल घटक से बना होगा , बिंदु के साथ चलते समय , और घूर्णी
, जब बिंदु घुमाया जाता है
बिंदु के सापेक्ष . बिंदु गति बिंदु पर ले जाएँ
स्वयं के समानांतर, क्योंकि स्थानांतरीय गति में सभी बिंदुओं के वेग परिमाण और दिशा दोनों में समान होते हैं। रफ़्तार
निर्भरता द्वारा निर्धारित (50)
, और यह वेक्टर त्रिज्या के लंबवत निर्देशित है
घूर्णन की दिशा में
. वेक्टर
सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के अनुदिश निर्देशित किया जाएगा और
, और इसका मॉड्यूल निर्भरता द्वारा निर्धारित किया जाता है:

, .(55)

2. शरीर के दो बिंदुओं के वेग के प्रक्षेपण पर प्रमेय।

इन बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा पर एक कठोर पिंड के दो बिंदुओं के वेग के प्रक्षेपण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

शरीर के दो बिंदुओं पर विचार करें और (चित्र 63)। एक बिंदु ले रहा हूँ प्रति पोल, दिशा निर्धारित करें निर्भरता द्वारा (55):
. हम इस सदिश समानता को रेखा पर प्रक्षेपित करते हैं
और उस पर विचार कर रहे हैं
सीधा
, हम पाते हैं

3. गति का तात्क्षणिक केंद्र.

गति का तत्काल केंद्र(MCS) एक बिंदु है जिसकी गति किसी निश्चित समय पर शून्य होती है।

आइए हम दिखाएं कि यदि शरीर आगे नहीं बढ़ता है, तो ऐसा बिंदु समय के प्रत्येक क्षण में मौजूद होता है और इसके अलावा, अद्वितीय होता है। फिलहाल चलो अंक और खंड-खंड में पड़े शव , गति है और , एक दूसरे के समानांतर नहीं (चित्र 64)। फिर बात
, सदिशों के लंबवत् के प्रतिच्छेदन पर स्थित है और , और तब से एक एमसीएस होगा
.

वास्तव में, यदि हम ऐसा मान लें
, फिर प्रमेय (56) द्वारा, सदिश
लंबवत होना चाहिए
और
, जो असंभव है. उसी प्रमेय से यह देखा जा सकता है कि कोई अन्य खंड बिंदु नहीं है इस समय इसकी गति शून्य के बराबर नहीं हो सकती।

पोल विधि लागू करना
- ध्रुव, बिंदु की गति निर्धारित करें (55): से
,
. (57)

शरीर के किसी अन्य बिंदु के लिए भी ऐसा ही परिणाम प्राप्त किया जा सकता है। इसलिए, शरीर के किसी भी बिंदु की गति MCS के सापेक्ष उसकी घूर्णी गति के बराबर होती है:

,
,
, अर्थात। शरीर के बिंदुओं का वेग एमसीएस से उनकी दूरी के समानुपाती होता है।

एक सपाट आकृति के बिंदुओं के वेग को निर्धारित करने के लिए विचार की गई तीन विधियों से, यह देखा जा सकता है कि एमसीएस बेहतर है, क्योंकि यहां गति तुरंत निरपेक्ष मूल्य और एक घटक की दिशा दोनों में निर्धारित की जाती है। हालाँकि, इस पद्धति का उपयोग किया जा सकता है यदि हम जानते हैं या हम शरीर के लिए एमसीएस की स्थिति निर्धारित कर सकते हैं।

एमसीएस की स्थिति का निर्धारण

1. यदि हम शरीर की दी गई स्थिति के लिए शरीर के दो बिंदुओं के वेगों की दिशा जानते हैं, तो एमसीसी इन वेग वैक्टरों के लंबवत के चौराहे का बिंदु होगा।

2. शरीर के दो बिंदुओं की गति प्रतिसमानांतर है (चित्र 65, ए). इस मामले में, वेगों का लंबवत् उभयनिष्ठ होगा, अर्थात। एमसीसी इसी लम्बवत् पर कहीं स्थित है। एमसीसी की स्थिति निर्धारित करने के लिए, वेग वैक्टर के सिरों को जोड़ना आवश्यक है। लम्ब के साथ इस रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु वांछित MCS होगा। इस मामले में, एमसीएस इन दो बिंदुओं के बीच स्थित है।

3. पिंड के दो बिंदुओं की गति समानांतर हैं, लेकिन परिमाण में समान नहीं हैं (चित्र 65, बी). एमडीएस प्राप्त करने की प्रक्रिया पैराग्राफ 2 में वर्णित प्रक्रिया के समान है।

d) दो बिंदुओं की गति परिमाण और दिशा दोनों में समान है (चित्र 65, वी). हमें तात्कालिक अनुवादात्मक गति का मामला मिलता है, जिसमें शरीर के सभी बिंदुओं की गति समान होती है। इसलिए, इस स्थिति में शरीर का कोणीय वेग शून्य है:

4. एक निश्चित सतह पर फिसले बिना घूमने वाले पहिये के लिए एमसीसी को परिभाषित करें (चित्र 65, जी). चूँकि गति बिना फिसलन के होती है, तो सतह के साथ पहिया के संपर्क के बिंदु पर, गति समान और शून्य के बराबर होगी, क्योंकि सतह स्थिर है। इसलिए, एक निश्चित सतह के साथ पहिये का संपर्क बिंदु एमसीसी होगा।

एक समतल आकृति के बिंदुओं के त्वरण का निर्धारण

एक सपाट आकृति के बिंदुओं के त्वरण का निर्धारण करते समय, वेग निर्धारित करने के तरीकों के साथ एक सादृश्य का पता लगाया जा सकता है।

1. ध्रुव विधि. जैसे वेग निर्धारित करने में, हम ध्रुव के रूप में शरीर का एक मनमाना बिंदु लेते हैं, जिसका त्वरण हम जानते हैं, या हम इसे निर्धारित कर सकते हैं। तब किसी समतल आकृति के किसी भी बिंदु का त्वरण ध्रुव के त्वरण और इस ध्रुव के चारों ओर घूर्णी गति में त्वरण के योग के बराबर होता है:

उसी समय, घटक
किसी बिंदु का त्वरण निर्धारित करता है जैसे यह ध्रुव के चारों ओर घूमता है . घूमते समय, बिंदु का प्रक्षेपवक्र वक्ररेखीय होगा, जिसका अर्थ है
(चित्र 66)।

तब निर्भरता (58) का रूप ले लेती है
. (59)

निर्भरता (51) और (52) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं
,
.

2. त्वरण का तात्क्षणिक केंद्र।

त्वरित त्वरण केंद्र(MCC) एक बिंदु है जिसका त्वरण किसी निश्चित समय पर शून्य होता है।

आइए हम दिखाएं कि ऐसा बिंदु किसी भी समय मौजूद होता है। हम एक बिंदु को ध्रुव के रूप में लेते हैं , जिसका त्वरण
हम जानते हैं। एक कोण ढूँढना , भीतर पड़ा हुआ
, और शर्त को संतुष्ट करना
. अगर
, वह
और इसके विपरीत, यानी कोना दिशा में जमा किया जाता है . बिंदु से अलग रख दें एक कोण पर वेक्टर के लिए
रेखा खंड
(चित्र 67)। ऐसे निर्माणों से प्राप्त बिंदु
एमसीयू होगा.

दरअसल, एक बिंदु का त्वरण
त्वरणों के योग के बराबर
डंडे और त्वरण
ध्रुव के चारों ओर घूर्णन में :
.

,
. तब
. दूसरी ओर, त्वरण
खंड की दिशा के साथ बनता है
कोना
, जो शर्त को पूरा करता है
. ऋण चिह्न को कोण की स्पर्शरेखा के सामने रखा जाता है , रोटेशन के बाद से
ध्रुव के सापेक्ष वामावर्त, और कोण
दक्षिणावर्त दिशा में जमा किया जाता है। तब
.

इस तरह,
और तब
.

एमसीसी निर्धारित करने के विशेष मामले

1.
. तब
, और, इसलिए, MCU मौजूद नहीं है। इस मामले में, शरीर आगे बढ़ता है, अर्थात। शरीर के सभी बिंदुओं के वेग और त्वरण समान हैं।

2.
. तब
,
. इसका मतलब यह है कि एमसीयू शरीर के बिंदुओं के त्वरण की कार्रवाई की रेखाओं के चौराहे पर स्थित है (चित्र 68, ए).

3.
. तब,
,
. इसका मतलब यह है कि एमसीसी शरीर के बिंदुओं के त्वरण के लंबवत के चौराहे पर स्थित है (चित्र 68, बी).

4.
. तब
,

. इसका मतलब यह है कि एमसीयू एक कोण पर शरीर के बिंदुओं के त्वरण की ओर खींची गई किरणों के प्रतिच्छेदन पर स्थित है (अंजीर.68, वी).

विचारित विशेष मामलों से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं: अगर हम बात को समझें
प्रति ध्रुव, तो एक सपाट आकृति के किसी भी बिंदु का त्वरण एमसीसी के चारों ओर घूर्णी गति में त्वरण द्वारा निर्धारित किया जाता है:

. (60)

जटिल बिंदु आंदोलनगति उस गति को कहते हैं जिसमें एक बिंदु एक साथ दो या दो से अधिक गतियों में भाग लेता है। इस तरह के आंदोलन के साथ, बिंदु की स्थिति मोबाइल के सापेक्ष और निश्चित संदर्भ प्रणालियों के सापेक्ष निर्धारित की जाती है।

गतिशील संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष किसी बिंदु की गति को कहा जाता है किसी बिंदु की सापेक्ष गति . आइए हम सापेक्ष गति के मापदंडों को निरूपित करें
.

गतिमान संदर्भ फ्रेम के उस बिंदु की गति, जिसके साथ गतिमान बिंदु निश्चित संदर्भ फ्रेम के संबंध में एक निश्चित क्षण में मेल खाता है, कहलाती है बिंदु आंदोलन . आइए पोर्टेबल गति के मापदंडों को निरूपित करें
.

किसी निश्चित संदर्भ तंत्र के सापेक्ष किसी बिंदु की गति को कहा जाता है निरपेक्ष (जटिल) बिंदु आंदोलन . आइए हम निरपेक्ष गति के मापदंडों को निरूपित करें
.

एक जटिल गति के उदाहरण के रूप में, हम एक चलती गाड़ी (ट्राम) में एक व्यक्ति की गति पर विचार कर सकते हैं। इस मामले में, किसी व्यक्ति की गति एक चलती समन्वय प्रणाली - एक ट्राम और एक निश्चित समन्वय प्रणाली - पृथ्वी (सड़क) से संबंधित है। फिर, उपरोक्त परिभाषाओं के आधार पर, ट्राम के सापेक्ष किसी व्यक्ति की गति सापेक्ष होती है, जमीन के सापेक्ष ट्राम के साथ गति आलंकारिक होती है, और जमीन के सापेक्ष किसी व्यक्ति की गति निरपेक्ष होती है।

हम बिंदु की स्थिति निर्धारित करेंगे
त्रिज्या - गतिमान के सापेक्ष सदिश
और गतिहीन
समन्वय प्रणाली (चित्र 69)। आइए हम संकेतन का परिचय दें: - बिंदु की स्थिति को परिभाषित करने वाला त्रिज्या वेक्टर
गतिमान समन्वय प्रणाली के सापेक्ष
,
;- त्रिज्या वेक्टर जो गतिमान समन्वय प्रणाली (अंक) की उत्पत्ति की स्थिति निर्धारित करता है ) (अंक );- त्रिज्या - एक वेक्टर जो एक बिंदु की स्थिति को परिभाषित करता है
निश्चित समन्वय प्रणाली के सापेक्ष
;
,.

आइए सापेक्ष, आलंकारिक और निरपेक्ष गतियों के अनुरूप स्थितियाँ (प्रतिबंध) प्राप्त करें।

1. सापेक्ष गति पर विचार करते समय, हम मान लेंगे कि बिंदु
गतिमान समन्वय प्रणाली के सापेक्ष गति करता है
, और स्वयं गतिशील समन्वय प्रणाली
निश्चित समन्वय प्रणाली के सापेक्ष
हिलता नहीं.

फिर बिंदु के निर्देशांक
सापेक्ष गति में परिवर्तन होगा, और गतिमान समन्वय प्रणाली के ऑर्थो-वेक्टर दिशा में नहीं बदलेंगे:

,

,

.

2. पोर्टेबल गति पर विचार करते समय, हम मान लेंगे कि बिंदु के निर्देशांक
चलती समन्वय प्रणाली के संबंध में तय कर रहे हैं, और बिंदु चलती समन्वय प्रणाली के साथ चलता है
अपेक्षाकृत स्थिर
:

,

,

,.

3. निरपेक्ष गति के साथ बिंदु भी अपेक्षाकृत गति करता है
और समन्वय प्रणाली के साथ
अपेक्षाकृत स्थिर
:

तब (27) को ध्यान में रखते हुए, वेगों के लिए व्यंजकों का रूप होता है

,
,

इन निर्भरताओं की तुलना करने पर, हमें पूर्ण गति के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:
. (61)

हमने एक जटिल गति में एक बिंदु के वेगों के योग पर एक प्रमेय प्राप्त किया है: किसी बिंदु की पूर्ण गति गति के सापेक्ष और पोर्टेबल घटकों के ज्यामितीय योग के बराबर होती है।

निर्भरता (31) का उपयोग करके, हम त्वरण के लिए व्यंजक प्राप्त करते हैं:

,

इन निर्भरताओं की तुलना करने पर, हमें पूर्ण त्वरण के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:
.

यह पाया गया कि एक बिंदु का पूर्ण त्वरण त्वरण के सापेक्ष और पोर्टेबल घटकों के ज्यामितीय योग के बराबर नहीं है। आइए हम पूर्ण त्वरण के घटक को परिभाषित करें, जो विशेष मामलों के लिए कोष्ठक में है।

1. बिंदु का अनुवादात्मक आंदोलन
. इस मामले में, गतिमान समन्वय प्रणाली की कुल्हाड़ियाँ
फिर, हर समय अपने समानांतर चलें।

,

,

,
,
,
, तब
. अंततः हम पाते हैं

. (62)

यदि बिंदु की पोर्टेबल गति अनुवादात्मक है, तो बिंदु का पूर्ण त्वरण त्वरण के सापेक्ष और पोर्टेबल घटकों के ज्यामितीय योग के बराबर है।

2. बिंदु की पोर्टेबल गति गैर-अनुवादात्मक है। तो, इस मामले में, चलती समन्वय प्रणाली
कोणीय वेग के साथ घूर्णन के तात्कालिक अक्ष के चारों ओर घूमता है (चित्र 70)। वेक्टर के अंत में बिंदु को निरूपित करें के माध्यम से . फिर, (15) निर्दिष्ट करने की वेक्टर विधि का उपयोग करके, हम इस बिंदु का वेग वेक्टर प्राप्त करते हैं
.

दूसरी ओर,
. इन सदिश समानताओं के सही भागों की बराबरी करने पर, हमें मिलता है:
. इसी तरह आगे बढ़ते हुए, शेष सदिश सदिशों के लिए, हम पाते हैं:
,
.

सामान्य स्थिति में, किसी बिंदु का पूर्ण त्वरण त्वरण के सापेक्ष और पोर्टेबल घटकों के ज्यामितीय योग के साथ-साथ रैखिक वेग के वेक्टर द्वारा पोर्टेबल आंदोलन के कोणीय वेग के वेक्टर के वेक्टर उत्पाद के दोगुने के बराबर होता है। सापेक्ष गति.

सापेक्ष गति के रैखिक वेग के वेक्टर द्वारा पोर्टेबल गति के कोणीय वेग के वेक्टर के दोगुने वेक्टर उत्पाद को कहा जाता है कोरिओलिस त्वरण और निरूपित किया गया

. (64)

कोरिओलिस त्वरण पोर्टेबल गति में सापेक्ष गति में परिवर्तन और सापेक्ष गति में पोर्टेबल गति में परिवर्तन को दर्शाता है।

अग्रेषित
वेक्टर उत्पाद नियम के अनुसार. कोरिओलिस त्वरण वेक्टर हमेशा वैक्टर द्वारा गठित विमान के लंबवत निर्देशित होता है और , ताकि, वेक्टर के अंत से देख सकें
, बारी देखें को , सबसे छोटे कोण से, वामावर्त।

कोरिओलिस त्वरण मापांक बराबर है।

बिल्कुल कठोर शरीरशरीर जिसके अंग गति के दौरान नहीं बदलते।

एक कठोर पिंड की अनुवादात्मक गति - यह इसकी गति है, जिसमें शरीर से मजबूती से जुड़ी कोई भी सीधी रेखा अपनी मूल दिशा के समानांतर रहकर चलती है।

किसी कठोर पिंड की अनुवादात्मक गति में, उसके सभी बिंदु कम समय dt में एक ही तरह से चलते हैं, इन बिंदुओं का त्रिज्या वेक्टर समान मात्रा में बदलता है। तदनुसार, समय के प्रत्येक क्षण में इसके सभी बिंदुओं की गति समान और बराबर होती है। इसलिए, किसी कठोर पिंड की सुविचारित स्थानान्तरणीय गति की गतिकी को उसके किसी भी बिंदु की गति के अध्ययन तक सीमित कर दिया जाता है। आमतौर पर अंतरिक्ष में स्वतंत्र रूप से घूम रहे किसी कठोर पिंड के जड़त्व केंद्र की गति पर विचार किया जाता है।

किसी कठोर पिंड की घूर्णी गति - यह एक ऐसी गति है जिसमें इसके सभी बिंदु वृत्तों के अनुदिश गति करते हैं, जिनके केंद्र शरीर के बाहर होते हैं . सीधी रेखा को पिंड के घूर्णन की धुरी कहा जाता है।

कोणीय वेग- शरीर के घूमने की गति को दर्शाने वाली वेक्टर मात्रा; घूर्णन के कोण का उस समय से अनुपात जिसके दौरान यह घूर्णन हुआ; समय के संबंध में पिंड के घूर्णन कोण के पहले व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित एक वेक्टर। कोणीय वेग वेक्टर को दाएँ पेंच के नियम के अनुसार घूर्णन अक्ष के अनुदिश निर्देशित किया जाता है। ω=φ/t=2π/T=2πn, जहां T घूर्णन अवधि है, n घूर्णन आवृत्ति है। ω=lim Δt → 0 Δφ/Δt=dφ/dt.

कोणीय त्वरणसमय के संबंध में कोणीय वेग के पहले व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित एक वेक्टर है। जब शरीर एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो कोणीय त्वरण वेक्टर को घूर्णन अक्ष के साथ कोणीय वेग के प्रारंभिक वृद्धि के वेक्टर की ओर निर्देशित किया जाता है। समय के संबंध में घूर्णन कोण का दूसरा व्युत्पन्न। जब शरीर एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो कोणीय त्वरण वेक्टर को घूर्णन अक्ष के साथ कोणीय वेग के प्रारंभिक वृद्धि के वेक्टर की ओर निर्देशित किया जाता है। त्वरित गति के साथ, वेक्टर ε वेक्टर φ के सह-निर्देशित होता है, धीमी गति के साथ, यह इसके विपरीत होता है। ε=dω/dt.

यदि dω/dt > 0, तो εω

यदि dω/dt< 0, то ε ↓ω

4. जड़त्व का सिद्धांत (न्यूटन का प्रथम नियम)। जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली. सापेक्षता का सिद्धांत.

न्यूटन का प्रथम नियम (जड़त्व का नियम): कोई भी भौतिक बिंदु (शरीर) तब तक आराम या एकसमान सीधी गति की स्थिति बनाए रखता है जब तक कि अन्य निकायों के प्रभाव से यह स्थिति बदल न जाए

किसी पिंड की आराम की स्थिति या एकसमान सीधी गति बनाए रखने की इच्छा कहलाती है जड़ता. इसलिए न्यूटन के प्रथम नियम को जड़त्व का नियम कहा जाता है।

न्यूटन का पहला नियम जड़त्वीय संदर्भ तंत्र के अस्तित्व को बताता है।

संदर्भ का जड़त्वीय ढाँचा- यह एक संदर्भ प्रणाली है, जिसके सापेक्ष एक मुक्त भौतिक बिंदु, अन्य निकायों के प्रभाव के अधीन नहीं, एक सीधी रेखा में समान रूप से चलता है; यह एक ऐसी प्रणाली है जो या तो आराम की स्थिति में है या किसी अन्य जड़त्वीय प्रणाली के सापेक्ष समान रूप से और सीधी रेखा में चल रही है।

सापेक्षता का सिद्धांत- एक मौलिक भौतिक नियम, जिसके अनुसार कोई भी प्रक्रिया आराम की स्थिति में एक अलग सामग्री प्रणाली में और उसी प्रणाली में एक समान सीधी गति की स्थिति में आगे बढ़ती है। गति या आराम की अवस्थाएँ मनमाने ढंग से चुने गए संदर्भ के जड़त्वीय फ्रेम के संबंध में निर्धारित की जाती हैं। सापेक्षता का सिद्धांत आइंस्टीन के सापेक्षता के विशेष सिद्धांत का आधार है।

5. गैलीलियन परिवर्तन।

सापेक्षता का सिद्धांत (गैलीली): किसी दिए गए जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम के अंदर किए गए कोई भी प्रयोग (मैकेनिकल, इलेक्ट्रिकल, ऑप्टिकल) यह पता लगाना संभव नहीं बनाते हैं कि यह फ्रेम आराम पर है या समान रूप से और सीधा चलता है; एक जड़त्वीय संदर्भ तंत्र से दूसरे जड़त्वीय संदर्भ तंत्र में संक्रमण के संबंध में प्रकृति के सभी नियम अपरिवर्तनीय हैं।

संदर्भ के दो फ़्रेमों पर विचार करें: एक जड़त्वीय फ़्रेम K (निर्देशांक x, y, z के साथ), जिसे हम सशर्त रूप से स्थिर मानेंगे, और एक फ़्रेम K' (निर्देशांक x', y', z' के साथ), के सापेक्ष गतिमान है K समान रूप से और सीधी रेखा में गति U ( U = स्थिरांक) के साथ। आइए दोनों प्रणालियों में एक मनमाना बिंदु A के निर्देशांक के बीच संबंध खोजें। आर = आर'+आर0=आर'+यूटी. (1.)

समीकरण (1.) को निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपणों में लिखा जा सकता है:

y=y'+Uyt; (2.)

z=z'+Uzt; समीकरण (1.) और (2.) को गैलीलियन समन्वय परिवर्तन कहा जाता है।

संभावित ऊर्जा और बल के बीच संबंध

संभावित क्षेत्र का प्रत्येक बिंदु, एक ओर, शरीर पर कार्य करने वाले बल वेक्टर के एक निश्चित मूल्य से मेल खाता है, और दूसरी ओर, संभावित ऊर्जा के एक निश्चित मूल्य से मेल खाता है। इसलिए, बल और स्थितिज ऊर्जा के बीच एक निश्चित संबंध होना चाहिए।

इस संबंध को स्थापित करने के लिए, हम अंतरिक्ष में एक मनमाने ढंग से चुनी गई दिशा के साथ होने वाले शरीर के एक छोटे से विस्थापन के दौरान क्षेत्र बलों द्वारा किए गए प्राथमिक कार्य की गणना करते हैं, जिसे हम पत्र द्वारा दर्शाते हैं। ये काम है

दिशा पर बल का प्रक्षेपण कहाँ है?

चूँकि इस मामले में कार्य संभावित ऊर्जा के भंडार के कारण किया जाता है, यह अक्ष के खंड पर संभावित ऊर्जा के नुकसान के बराबर है:

अंतिम दो भावों से हमें प्राप्त होता है

यह सूत्र निर्देशांक अक्षों पर बल वेक्टर के प्रक्षेपण को निर्धारित करता है। यदि ये अनुमान ज्ञात हैं, तो बल वेक्टर स्वयं निर्धारित होता है:

गणित वेक्टर में ,

जहां a एक अदिश फलन x, y, z है, उसे इस अदिश का ग्रेडिएंट कहा जाता है और इसे प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है . इसलिए, बल संभावित ऊर्जा प्रवणता के बराबर है, जिसे विपरीत चिह्न से लिया गया है

यह एक ऐसी गति है जिसमें शरीर के सभी बिंदु उन वृत्तों के अनुदिश गति करते हैं जिनके केंद्र घूर्णन अक्ष पर स्थित होते हैं।

पिंड की स्थिति डायहेड्रल कोण  (घूर्णन कोण) द्वारा दी जाती है।

 =  (टी) - गति का समीकरण.

शरीर की गतिज विशेषताएँ:

- कोणीय वेग, एस -1 ;

- कोणीय त्वरण, एस -2।

मान  और  को वैक्टर के रूप में दर्शाया जा सकता है
, घूर्णन अक्ष पर स्थित, सदिश की दिशा ऐसा है कि इसके सिरे से पिंड का घूर्णन वामावर्त होता हुआ दिखाई देता है। दिशा के साथ मेल खाता है , अगर >के बारे में.

पी पदशरीर के बिंदु: M 0 M 1 = S = h.

रफ़्तारअंक
; जिसमें
.

कहाँ
;
;
.

त्वरणशरीर के बिंदु,
- घूर्णी त्वरण (बिंदु गतिकी में - स्पर्शरेखीय - ):
- तीव्र त्वरण (बिंदु की गतिकी में - सामान्य - ).

मॉड्यूल:
;
;

.

एकसमान और एकसमान घुमाव

1. वर्दी:  = स्थिरांक,
;
;
- गति का समीकरण।

2. समान रूप से परिवर्तनशील:  = स्थिरांक,
;
;
;
;
- गति का समीकरण।

2). यांत्रिक ड्राइव में एक चरखी 1, एक बेल्ट 2, और चरणबद्ध पहिये 3 और 4 शामिल हैं। रैक 5 की गति, साथ ही समय टी 1 = 1 एस पर बिंदु एम का त्वरण ज्ञात करें। यदि चरखी की कोणीय गति  1 = 0.2t, s -1 है; आर 1 = 15; आर3=40; आर 3 = 5; आर4 = 20; आर 4 = 8 (सेंटीमीटर में)।

रेक गति

;

;
;
.

कहाँ
;
;
, -1 के साथ।

(1) और (2) से हम प्राप्त करते हैं, देखिए

त्वरण बिंदु एम.

, s -2 पर t 1 = 1 s; ए = 34.84 सेमी/सेकेंड 2।

3.3 किसी कठोर पिंड की समतल-समानांतर (सपाट) गति

इ वह गति जिसमें शरीर के सभी बिंदु किसी निश्चित तल के समानांतर तलों में गति करते हैं।

किसी निश्चित तल पर लंबवत किसी भी सीधी रेखा पर शरीर के सभी बिंदु एक ही तरह से चलते हैं। इसलिए, किसी पिंड की समतल गति का विश्लेषण उसके समतल (xy) में एक समतल आकृति (अनुभाग S) की गति के अध्ययन तक सीमित हो जाता है।

इस आंदोलन को कुछ के साथ-साथ अनुवादात्मक आंदोलन के एक समूह के रूप में दर्शाया जा सकता है मनमाने ढंग सेचुना हुआ बिंदु ए, कहा जाता है खंभा, और ध्रुव के चारों ओर घूर्णी गति।

गति के समीकरणसपाट आकृति

एक्स ए = एक्स ए (टी); वाई ए = वाई ए; जे = जे(टी)

गतिज विशेषताएँकी सपाट आकृति:

- ध्रुव की गति और त्वरण; डब्ल्यू, ई - कोणीय वेग और कोणीय त्वरण (ध्रुव की पसंद पर निर्भर न करें)।

पर किसी बिंदु की गति का समीकरणसमतल आकृति (बी) वेक्टर समानता प्रक्षेपित करके प्राप्त की जा सकती है
x और y अक्ष पर

x 1 B , y 1 B - आकृति से जुड़े समन्वय प्रणाली में बिंदु के निर्देशांक।

बिंदु वेग का निर्धारण

1). विश्लेषणात्मक विधि.

गति के समीकरणों को जानना x n = x n (t); y n = y n (t), हम पाते हैं
;
;
.

2). वेग वितरण प्रमेय.

डी समानता को विभेदित करना
, हम पाते हैं
,

- ध्रुव A के चारों ओर एक समतल आकृति के घूमने के दौरान बिंदु B की गति;
;

समतल आकृति के बिंदुओं के वेगों के वितरण का सूत्र
.

साथ बिना फिसले घूम रहे पहिये का गति बिंदु M

;
.

3). वेग प्रक्षेपण प्रमेय.

इन बिंदुओं से गुजरने वाली धुरी पर शरीर के दो बिंदुओं के वेगों का प्रक्षेपण बराबर होता है। इंजीनियरिंग समानता
x-अक्ष पर, हमारे पास है

पी उदाहरण

यदि ज्ञात हो तो जहाज के पतवार पर जल प्रवाह की दर vH निर्धारित करें (जहाज के गुरुत्वाकर्षण केंद्र का वेग), बी और बी के (बहाव कोण)।

समाधान: ।

4). वेगों का तात्कालिक केंद्र (एमसीएस)।

किसी पिंड की समतल गति में बिंदुओं के वेग को एमसीएस की अवधारणा का उपयोग करके घूर्णी गति के सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।

एमसीसी - एक सपाट आकृति से जुड़ा एक बिंदु, जिसकी गति एक निश्चित समय पर शून्य (v p = 0) होती है।

सामान्य स्थिति में, एमसीसी आकृति के दो बिंदुओं के वेग की दिशाओं के लंबवतों के प्रतिच्छेदन का बिंदु है।

बिंदु P को एक ध्रुव के रूप में लेते हुए, हमारे पास एक मनमाना बिंदु है

, तब

कहाँ
आकृति का कोणीय वेग है और
,वे। एक समतल आकृति के बिंदुओं का वेग एमसीएस से उनकी दूरी के समानुपाती होता है।

एमसीसी खोजने के संभावित मामले
			बिना फिसले लुढ़कना
		एमसीएस - अनंत में

केस बी वेगों के तात्कालिक अनुवादात्मक वितरण से मेल खाता है।

1). तंत्र की दी गई स्थिति के लिए, v B, v C, v D, w 1, w 2, w 3 खोजें यदि इस समय v A = 20 सेमी/सेकेंड; बीसी=सीडी=40सेमी; ओसी = 25 सेमी; आर = 20 सेमी.

स्केटिंग रिंक 1 - बिंदु पी 1 के लिए एमसीसी समाधान:

-1 के साथ;
सेमी/से.

एमसीएस लिंक 2 - बिंदु बी और सी के वेग की दिशाओं के लंबवत के प्रतिच्छेदन का बिंदु पी 2:

-1 के साथ;
सेमी/सेकेंड;
सेमी/सेकेंड;
-1 के साथ.

2). भार Q को एक चरणबद्ध ड्रम 1 का उपयोग करके उठाया जाता है, जिसका कोणीय वेग w 1 = 1 s -1 है; आर 1 = 3आर 1 = 15 सेमी; एई || बी.डी. गतिमान ब्लॉक 2 के अक्ष की गति v C ज्ञात कीजिए।

बिंदु A और B की गति ज्ञात करें:

वी ए = वी ई = डब्ल्यू 1 * आर 1 = 15 सेमी/सेकेंड; वी बी = वी डी = डब्ल्यू 1 * आर 1 = 5 सेमी/सेकेंड।

ब्लॉक 2 एमसीएस - बिंदु पी. फिर
, कहाँ
;
;
सेमी/से.