शैक्षिक संस्थान "बेलारूसी राज्य

कृषि अकादमी"

उच्च गणित विभाग

दिशा-निर्देश

शिक्षा के पत्राचार प्रपत्र (एनआईएसपीओ) के लेखा विभाग के छात्रों द्वारा "दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरण" विषय के अध्ययन पर

गोर्की, 2013

रैखिक विभेदक समीकरण

स्थिरांक के साथ दूसरा क्रमगुणांकों

1. रैखिक सजातीय अंतर समीकरण

स्थिर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम का रैखिक अंतर समीकरण रूप का समीकरण कहलाता है

वे। एक समीकरण जिसमें वांछित फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव केवल पहली डिग्री तक होते हैं और उनके उत्पाद शामिल नहीं होते हैं। इस समीकरण में और
कुछ संख्याएँ और फ़ंक्शन हैं
कुछ अंतराल पर दिया जाता है
.

अगर
अंतराल पर
, तब समीकरण (1) रूप लेता है

, (2)

और बुलाया रैखिक सजातीय . अन्यथा, समीकरण (1) कहा जाता है रैखिक अमानवीय .

जटिल फ़ंक्शन पर विचार करें

, (3)

कहाँ
और
वास्तविक कार्य हैं. यदि फ़ंक्शन (3) समीकरण (2) का एक जटिल समाधान है, तो वास्तविक भाग
, और काल्पनिक भाग
समाधान
अलग-अलग लिए गए एक ही सजातीय समीकरण के समाधान हैं। इस प्रकार, समीकरण (2) का कोई भी जटिल समाधान इस समीकरण के दो वास्तविक समाधान उत्पन्न करता है।

एक सजातीय रैखिक समीकरण के समाधान में निम्नलिखित गुण होते हैं:

अगर समीकरण (2) का हल है, तो फलन
, कहाँ साथ- एक मनमाना स्थिरांक, समीकरण (2) का भी समाधान होगा;

अगर और समीकरण (2) के समाधान हैं, फिर फलन
समीकरण (2) का भी समाधान होगा;

अगर और समीकरण (2) के समाधान हैं, फिर उनका रैखिक संयोजन
समीकरण (2) का भी समाधान होगा, जहाँ और
मनमाना स्थिरांक हैं.

कार्य
और
बुलाया रैखिक रूप से निर्भर अंतराल पर
अगर ऐसी संख्याएं हैं और
, जो एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं, इस अंतराल पर समानता

यदि समानता (4) केवल तभी लागू होती है
और
, फिर फ़ंक्शन
और
बुलाया रैखिक रूप से स्वतंत्र अंतराल पर
.

उदाहरण 1 . कार्य
और
चूँकि, रैखिक रूप से निर्भर हैं
पूर्ण संख्या रेखा के साथ. इस उदाहरण में
.

उदाहरण 2 . कार्य
और
समानता के बाद से, किसी भी अंतराल पर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं
केवल तभी संभव है जब और
, और
.

1. एक रैखिक समांगी के सामान्य समाधान का निर्माण

समीकरण

समीकरण (2) का सामान्य समाधान खोजने के लिए, आपको इसके दो रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान खोजने होंगे और . इन समाधानों का रैखिक संयोजन
, कहाँ और
मनमाना स्थिरांक हैं, और एक रैखिक सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान देंगे।

समीकरण (2) के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान प्रपत्र में मांगे जाएंगे

, (5)

कहाँ - कुछ संख्या. तब
,
. आइए इन भावों को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करें:

या
.

क्योंकि
, वह
. तो समारोह
समीकरण (2) का समाधान होगा यदि समीकरण को संतुष्ट करेगा

. (6)

समीकरण (6) कहा जाता है विशेषता समीकरण समीकरण (2) के लिए. यह समीकरण एक बीजगणितीय द्विघात समीकरण है.

होने देना और इस समीकरण की जड़ें हैं. वे या तो वास्तविक और भिन्न, या जटिल, या वास्तविक और समान हो सकते हैं। आइए इन मामलों पर विचार करें।

जड़ें चलो और विशेषता समीकरण वास्तविक और विशिष्ट हैं। तब समीकरण (2) के समाधान फलन होंगे
और
. समानता के बाद से ये समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं
केवल तभी निष्पादित किया जा सकता है जब
, और
. इसलिए, समीकरण (2) का सामान्य समाधान इस प्रकार है

,

कहाँ और
मनमाना स्थिरांक हैं.

उदाहरण 3
.

समाधान . इस अंतर के लिए विशेषता समीकरण होगा
. इस द्विघात समीकरण को हल करने पर हम इसके मूल ज्ञात करते हैं
और
. कार्य
और
अवकल समीकरण के समाधान हैं. इस समीकरण का सामान्य हल इस प्रकार है
.

जटिल संख्या रूप की अभिव्यक्ति कहलाती है
, कहाँ और वास्तविक संख्याएँ हैं, और
काल्पनिक इकाई कहलाती है. अगर
, फिर संख्या
पूर्णतः काल्पनिक कहा जाता है. अगर
, फिर संख्या
वास्तविक संख्या से पहचाना जाता है .

संख्या सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग कहलाता है, तथा - काल्पनिक भाग. यदि दो सम्मिश्र संख्याएँ केवल काल्पनिक भाग के चिन्ह में एक दूसरे से भिन्न हों, तो वे संयुग्म कहलाती हैं:
,
.

उदाहरण 4 . द्विघात समीकरण हल करें
.

समाधान . समीकरण विभेदक
. तब । वैसे ही,
. इस प्रकार, इस द्विघात समीकरण में संयुग्मित जटिल जड़ें हैं।

मान लीजिए कि विशेषता समीकरण की जड़ें जटिल हैं, यानी।
,
, कहाँ
. समीकरण (2) के समाधान इस प्रकार लिखे जा सकते हैं
,
या
,
. यूलर के सूत्रों के अनुसार

,
.

तब , । जैसा कि ज्ञात है, यदि एक जटिल फ़ंक्शन एक रैखिक सजातीय समीकरण का समाधान है, तो इस समीकरण के समाधान इस फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग हैं। इस प्रकार, समीकरण (2) के समाधान फलन होंगे
और
. समानता के बाद से

केवल तभी निष्पादित किया जा सकता है यदि
और
, तो ये समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इसलिए, समीकरण (2) के सामान्य समाधान का रूप है

कहाँ और
मनमाना स्थिरांक हैं.

उदाहरण 5 . अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए
.

समाधान . समीकरण
दिए गए अंतर के लिए विशेषता है। हम इसे हल करते हैं और जटिल जड़ें प्राप्त करते हैं
,
. कार्य
और
अवकल समीकरण के रैखिकतः स्वतंत्र समाधान हैं। इस समीकरण का सामान्य समाधान इस प्रकार है।

मान लीजिए कि अभिलक्षणिक समीकरण के मूल वास्तविक और समान हैं, अर्थात्।
. तब समीकरण (2) के समाधान फलन हैं
और
. ये समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, क्योंकि अभिव्यक्ति केवल तभी शून्य के बराबर हो सकती है
और
. इसलिए, समीकरण (2) के सामान्य समाधान का रूप है
.

उदाहरण 6 . अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए
.

समाधान . विशेषता समीकरण
समान जड़ें हैं
. इस मामले में, अंतर समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान कार्य हैं
और
. सामान्य समाधान का स्वरूप होता है
.

स्थिर गुणांक वाले सजातीय दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरणों का रूप होता है

जहाँ p और q वास्तविक संख्याएँ हैं। आइए उदाहरण देखें कि स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के सजातीय अंतर समीकरण कैसे हल किए जाते हैं।

दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय सजातीय अंतर समीकरण का समाधान विशेषता समीकरण की जड़ों पर निर्भर करता है। अभिलक्षणिक समीकरण समीकरण k²+pk+q=0 है।

1) यदि अभिलक्षणिक समीकरण के मूल भिन्न-भिन्न वास्तविक संख्याएँ हैं:

तब स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान रूप होता है

2) यदि अभिलक्षणिक समीकरण के मूल वास्तविक संख्याओं के बराबर हों

(उदाहरण के लिए, शून्य के बराबर विवेचक के साथ), तो दूसरे क्रम के सजातीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है

3) यदि अभिलक्षणिक समीकरण के मूल सम्मिश्र संख्याएँ हैं

(उदाहरण के लिए, एक ऋणात्मक संख्या के बराबर विवेचक के साथ), तो दूसरे क्रम के सजातीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान इस प्रकार लिखा जाता है

स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरणों को हल करने के उदाहरण

दूसरे क्रम के सजातीय अंतर समीकरणों के सामान्य समाधान खोजें:

हम अभिलक्षणिक समीकरण बनाते हैं: k²-7k+12=0. इसका विभेदक D=b²-4ac=1>0 है, इसलिए मूल भिन्न वास्तविक संख्याएँ हैं।

अतः, दूसरे क्रम के इस सजातीय DE का सामान्य समाधान है

हम विशेषता समीकरण बनाते और हल करते हैं:

जड़ें वास्तविक और विशिष्ट हैं। इसलिए हमारे पास इस सजातीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है:

इस मामले में, विशेषता समीकरण

जड़ें विशिष्ट और वास्तविक हैं। इसलिए, दूसरे क्रम के सजातीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान यहां है

विशेषता समीकरण

चूँकि मूल वास्तविक और समान हैं, इसलिए हम इस अवकल समीकरण का सामान्य समाधान इस प्रकार लिखते हैं

विशेषता समीकरण यहाँ है

चूँकि विवेचक एक ऋणात्मक संख्या है, अभिलक्षणिक समीकरण के मूल सम्मिश्र संख्याएँ हैं।

इस दूसरे क्रम के सजातीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है

विशेषता समीकरण

यहां से हमें इस अंतर का सामान्य समाधान मिलता है। समीकरण:

स्व-परीक्षण के उदाहरण.

दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरण रूप का समीकरण कहलाता है

य"" + पी(एक्स)य" + क्यू(एक्स)य = एफ(एक्स) ,

कहाँ यपाया जाने वाला कार्य है, और पी(एक्स) , क्यू(एक्स) और एफ(एक्स) कुछ अंतराल पर निरंतर कार्य हैं ( ए, बी) .

यदि समीकरण का दायां पक्ष शून्य है ( एफ(एक्स) = 0 ), तो समीकरण कहा जाता है रैखिक सजातीय समीकरण . इस पाठ का व्यावहारिक भाग मुख्य रूप से ऐसे समीकरणों के लिए समर्पित होगा। यदि समीकरण का दायां पक्ष शून्य के बराबर नहीं है ( एफ(एक्स) ≠ 0 ), तो समीकरण कहा जाता है।

कार्यों में, हमें के संबंध में समीकरण को हल करना आवश्यक है य"" :

य"" = −पी(एक्स)य" − क्यू(एक्स)य + एफ(एक्स) .

दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरणों का एक अद्वितीय समाधान होता है कौची समस्याएँ .

दूसरे क्रम का रैखिक सजातीय अवकल समीकरण और उसका समाधान

दूसरे क्रम के एक रैखिक सजातीय अंतर समीकरण पर विचार करें:

य"" + पी(एक्स)य" + क्यू(एक्स)य = 0 .

अगर य1 (एक्स) और य2 (एक्स) यदि इस समीकरण के विशेष समाधान हैं, तो निम्नलिखित कथन सत्य हैं:

1) य1 (एक्स) + य 2 (एक्स) - इस समीकरण का एक समाधान भी है;

2) सीवाई1 (एक्स) , कहाँ सी- एक मनमाना स्थिरांक (स्थिरांक), भी इस समीकरण का एक समाधान है।

इन दो कथनों से यह पता चलता है कि फ़ंक्शन

सी1 य 1 (एक्स) + सी 2 य 2 (एक्स)

इस समीकरण का एक समाधान भी है।

एक उचित प्रश्न उठता है: क्या यह समाधान है? दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान , अर्थात ऐसा समाधान जिसमें, विभिन्न मूल्यों के लिए सी1 और सी2 क्या समीकरण के सभी संभावित समाधान प्राप्त करना संभव है?

इस प्रश्न का उत्तर है: यह हो सकता है, लेकिन कुछ शर्तों के तहत। यह विशेष समाधानों में क्या गुण होने चाहिए, इस पर शर्त य1 (एक्स) और य2 (एक्स) .

और इस स्थिति को विशेष समाधानों की रैखिक स्वतंत्रता की स्थिति कहा जाता है।

प्रमेय. समारोह सी1 य 1 (एक्स) + सी 2 य 2 (एक्स) यदि फ़ंक्शन दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरण का एक सामान्य समाधान है य1 (एक्स) और य2 (एक्स) रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं.

परिभाषा. कार्य य1 (एक्स) और य2 (एक्स) यदि उनका अनुपात गैर-शून्य स्थिरांक है तो उन्हें रैखिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है:

य1 (एक्स)/य 2 (एक्स) = क ; क = कॉन्स्ट ; क ≠ 0 .

हालाँकि, परिभाषा के अनुसार यह स्थापित करना कि क्या ये कार्य रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, अक्सर बहुत मुश्किल होता है। व्रोनस्की निर्धारक का उपयोग करके रैखिक स्वतंत्रता स्थापित करने का एक तरीका है डब्ल्यू(एक्स) :

यदि व्रोनस्की निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं . यदि व्रोनस्की निर्धारक शून्य के बराबर है, तो समाधान रैखिक रूप से निर्भर होते हैं।

उदाहरण 1एक रैखिक समांगी अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

समाधान। हम दो बार एकीकृत करते हैं और, जैसा कि यह देखना आसान है, फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न और फ़ंक्शन के बीच का अंतर शून्य के बराबर होने के लिए, समाधान को एक घातांक के साथ जोड़ा जाना चाहिए जिसका व्युत्पन्न स्वयं के बराबर है। यानी निजी समाधान हैं और .

व्रोन्स्की निर्धारक के बाद से

शून्य के बराबर नहीं है, तो ये समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इसलिए, इस समीकरण का सामान्य समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है

.

स्थिर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरण: सिद्धांत और व्यवहार

स्थिर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम का रैखिक सजातीय अंतर समीकरण रूप का समीकरण कहलाता है

य"" + पाई" + क्यू = 0 ,

कहाँ पीऔर क्यूस्थिर मूल्य हैं.

तथ्य यह है कि यह एक दूसरे क्रम का समीकरण है, वांछित फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न की उपस्थिति से संकेत मिलता है, और इसकी एकरूपता दाईं ओर शून्य द्वारा इंगित की जाती है। ऊपर उल्लिखित मात्राएँ अचर गुणांक कहलाती हैं।

को स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरण को हल करें , आपको पहले फॉर्म के तथाकथित विशेषता समीकरण को हल करना होगा

क² + पी क्यू + क्यू = 0 ,

जो, जैसा कि देखा जा सकता है, एक सामान्य द्विघात समीकरण है।

विशेषता समीकरण के समाधान के आधार पर, तीन अलग-अलग विकल्प संभव हैं स्थिर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम के एक रैखिक सजातीय अंतर समीकरण का समाधान , जिसका अब हम विश्लेषण करेंगे। पूर्ण निश्चितता के लिए, हम मान लेंगे कि सभी विशेष समाधानों का परीक्षण व्रोनस्की निर्धारक द्वारा किया गया है और सभी मामलों में यह शून्य के बराबर नहीं है। हालाँकि, संदेह करने वाले लोग स्वयं इसकी जाँच कर सकते हैं।

विशेषता समीकरण की जड़ें - वास्तविक और भिन्न

दूसरे शब्दों में, । इस मामले में, स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरण के समाधान का रूप होता है

.

उदाहरण 2. एक रैखिक सजातीय अवकल समीकरण को हल करें

.

उदाहरण 3. एक रैखिक सजातीय अवकल समीकरण को हल करें

.

समाधान। अभिलक्षणिक समीकरण का रूप, उसकी जड़ें वास्तविक और भिन्न होती हैं। समीकरण के संगत विशेष समाधान: और। इस अवकल समीकरण का सामान्य समाधान इस प्रकार है

.

अभिलक्षणिक समीकरण के मूल - वास्तविक और समान

वह है, । इस मामले में, स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरण के समाधान का रूप होता है

.

उदाहरण 4. एक रैखिक सजातीय अवकल समीकरण को हल करें

.

समाधान। विशेषता समीकरण समान जड़ें हैं. समीकरण के संगत विशेष समाधान: और। इस अवकल समीकरण का सामान्य समाधान इस प्रकार है

उदाहरण 5. एक रैखिक सजातीय अवकल समीकरण को हल करें

.

समाधान। अभिलक्षणिक समीकरण के मूल समान होते हैं। समीकरण के संगत विशेष समाधान: और। इस अवकल समीकरण का सामान्य समाधान इस प्रकार है

इस लेख में, हम स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरणों को हल करने के सिद्धांतों का विश्लेषण करेंगे, जहां पी और क्यू मनमानी वास्तविक संख्याएं हैं। पहले, आइए सिद्धांत पर ध्यान दें, फिर प्राप्त परिणामों को उदाहरणों और समस्याओं को हल करने में लागू करें।

यदि आपके सामने अपरिचित शब्द आते हैं, तो अंतर समीकरणों के सिद्धांत की परिभाषाएँ और अवधारणाएँ अनुभाग देखें।

आइए हम एक प्रमेय बनाएं जो इंगित करता है कि LODE का सामान्य समाधान किस रूप में खोजा जाए।

प्रमेय.

एकीकरण अंतराल X पर निरंतर गुणांक वाले एक रैखिक सजातीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान एक रैखिक संयोजन द्वारा निर्धारित किया जाता है , कहाँ X पर LODE के रैखिक रूप से स्वतंत्र आंशिक समाधान हैं, और मनमाना स्थिरांक हैं।

इस प्रकार, स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरण के सामान्य समाधान का रूप y 0 =C 1 ⋅y 1 +C 2 ⋅y 2 मनमाना स्थिरांक होता है। यह सीखना बाकी है कि विशेष समाधान y 1 और y 2 कैसे खोजें।

यूलर ने फॉर्म में विशेष समाधान खोजने का सुझाव दिया।

यदि हम एक विशेष समाधान के रूप में स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के LODE को लेते हैं, तो इस समाधान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते समय, हमें पहचान मिलनी चाहिए:

तो हमें तथाकथित मिला विशेषता समीकरणस्थिर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम का रैखिक सजातीय अंतर समीकरण। इस विशेषता समीकरण के समाधान k 1 और k 2 निरंतर गुणांक वाले हमारे दूसरे क्रम के LODE के विशेष समाधान भी निर्धारित करते हैं।

गुणांक पी और क्यू के आधार पर, विशेषता समीकरण की जड़ें हो सकती हैं:

पहले मामले मेंमूल अंतर समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र आंशिक समाधान हैं और, स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के LODE का सामान्य समाधान है।

फ़ंक्शन और वास्तव में रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, क्योंकि व्रोनस्की निर्धारक किसी भी वास्तविक x के लिए गैर-शून्य है।

दूसरे मामले मेंएक विशेष समाधान फ़ंक्शन है। जैसा कि दूसरा विशेष समाधान लिया जाता है। आइए हम दिखाएं कि स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के LODE का वास्तव में एक विशेष समाधान क्या है और y 1 और y 2 की रैखिक स्वतंत्रता साबित करें।

चूँकि k 1 = k 0 और k 2 = k 0 अभिलक्षणिक समीकरण के समान मूल हैं, तो इसका रूप है। इसलिए, मूल रैखिक सजातीय अंतर समीकरण है। इसमें स्थानापन्न करें और सुनिश्चित करें कि समीकरण एक पहचान में बदल जाए:

इस प्रकार, मूल समीकरण का एक विशेष समाधान है।

आइए हम कार्यों की रैखिक स्वतंत्रता दिखाएं और। ऐसा करने के लिए, हम व्रोनस्की निर्धारक की गणना करते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि यह गैर-शून्य है।

निष्कर्ष: स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के LODE के रैखिक रूप से स्वतंत्र आंशिक समाधान हैं और, और सामान्य समाधान पर है।

तीसरे मामले मेंहमारे पास LODE और के लिए जटिल विशेष समाधानों की एक जोड़ी है। सामान्य समाधान इस प्रकार लिखा गया है . इन विशेष समाधानों को दो वास्तविक कार्यों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है और वास्तविक और काल्पनिक भागों के अनुरूप। यदि हम सामान्य समाधान को रूपांतरित करें तो यह स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है , से सूत्रों का उपयोग करना एक जटिल चर के कार्यों का सिद्धांतदयालु :


जहाँ C 3 और C 4 स्वेच्छ स्थिरांक हैं।

तो आइए सिद्धांत को संक्षेप में प्रस्तुत करें।

स्थिर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय विभेदक समीकरण का सामान्य समाधान खोजने के लिए एल्गोरिदम।

प्रत्येक मामले के लिए उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण।

निरंतर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय विभेदक समीकरण का एक सामान्य समाधान खोजें .

§ 9. स्थिर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरण

स्थिर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम के LODE का निर्धारण

विशेषता समीकरण:

मामला एक। शून्य से भी बड़ा विवेचक

केस 2. विभेदक शून्य है

केस 3. शून्य से भी कम विभेदक

लगातार गुणांक के साथ दूसरे क्रम के LODE के लिए एक सामान्य समाधान खोजने के लिए एल्गोरिदम

§ 10. स्थिर गुणांक वाले रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरण

स्थिर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम के LIDE की परिभाषा

निरंतर परिवर्तन विधि

LIDE को एक विशेष दाहिनी ओर से हल करने की विधि

LIDE के सामान्य समाधान की संरचना पर प्रमेय

1. कार्य आर (एक्स) डिग्री का एक बहुपद है टी

2. कार्य आर (एक्स) एक संख्या और एक घातीय फलन का गुणनफल है

3. कार्य आर (एक्स) त्रिकोणमितीय फलनों का योग है

एक विशेष दाहिने हाथ की ओर से LIDE का सामान्य समाधान खोजने के लिए एल्गोरिदम

आवेदन

§ 9. स्थिर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरण

दूसरे क्रम का अवकल समीकरण कहलाता है स्थिर गुणांकों के साथ रैखिक सजातीय विभेदक समीकरण (LODE)।यदि ऐसा दिखता है:

कहाँ पीऔर क्यू

LODE का एक सामान्य समाधान खोजने के लिए, इसके दो अलग-अलग विशेष समाधान ढूंढना पर्याप्त है। तब LODE के सामान्य समाधान का रूप होगा

कहाँ साथ 1 और साथ

लियोनहार्ड यूलर ने फॉर्म में LODE के विशेष समाधान देखने का प्रस्ताव रखा

कहाँ क- कुछ संख्या.

इस फ़ंक्शन को दो बार विभेदित करना और इसके लिए व्यंजकों को प्रतिस्थापित करना पर, पर"और पर"समीकरण में, हमें मिलता है:

परिणामी समीकरण कहलाता है विशेषता समीकरणलोडू. इसे संकलित करने के लिए, इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करना पर्याप्त है पर", पर"और परक्रमशः पर क 2 , कऔर 1:

विशेषता समीकरण को हल करने के बाद, अर्थात्। जड़ें ढूँढना क 1 और क 2, हम मूल LODE के लिए विशेष समाधान भी ढूंढेंगे।

अभिलक्षणिक समीकरण एक द्विघात समीकरण है, इसके मूल विवेचक के माध्यम से ज्ञात किये जाते हैं

इस स्थिति में, निम्नलिखित तीन स्थितियाँ संभव हैं।

मामला एक. शून्य से भी बड़ा विवेचक , इसलिए जड़ें क 1 और क 2 वैध और भिन्न:

क 1¹ क 2

कहाँ साथ 1 और साथ 2 मनमाना स्वतंत्र स्थिरांक हैं।

केस 2. विभेदक शून्य है , इसलिए जड़ें क 1 और क 2 वास्तविक और बराबर:

क 1 = क 2 = क

इस मामले में, LODE का सामान्य समाधान इस प्रकार है

कहाँ साथ 1 और साथ 2 मनमाना स्वतंत्र स्थिरांक हैं।

केस 3. शून्य से भी कम विभेदक . इस मामले में, समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं:

कोई जड़ें नहीं हैं.

इस मामले में, LODE का सामान्य समाधान इस प्रकार है

कहाँ साथ 1 और साथ 2 मनमाना स्वतंत्र स्थिरांक हैं,

इस प्रकार, स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के LODE का एक सामान्य समाधान ढूंढना विशेषता समीकरण की जड़ों को खोजने और समीकरण के सामान्य समाधान के लिए सूत्रों का उपयोग करने (इंटीग्रल की गणना का सहारा लिए बिना) तक कम हो जाता है।

लगातार गुणांक के साथ दूसरे क्रम के LODE के लिए एक सामान्य समाधान खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1. समीकरण को उस रूप में लाएँ जहाँ पीऔर क्यूकुछ वास्तविक संख्याएँ हैं.

2. एक अभिलक्षणिक समीकरण बनाइये।

3. अभिलक्षणिक समीकरण का विवेचक ज्ञात कीजिए।

4. सूत्रों का उपयोग करते हुए (तालिका 1 देखें), विवेचक के संकेत के आधार पर, सामान्य समाधान लिखें।

तालिका नंबर एक

संभावित सामान्य समाधानों की तालिका