चौथी डिग्री के समीकरणों को कैसे हल करें. चौथी डिग्री समीकरण

समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। इनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक ​​कि खेलों में भी किया जाता है। प्राचीन काल में मनुष्य ने समीकरणों का प्रयोग किया और तब से इनका प्रयोग बढ़ता ही गया। इस प्रकार के समीकरणों का समाधान उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने की सामान्य योजना के अनुसार किया जा सकता है। फेरारी पद्धति की बदौलत इस प्रकार के समीकरणों के समाधान रेडिकल में होते हैं, जो किसी को घन समीकरण के समाधान को कम करने की अनुमति देता है। हालाँकि, ज्यादातर मामलों में, एक बहुपद का गुणनखंड करके, आप जल्दी से समीकरण का समाधान पा सकते हैं।

मान लीजिए हमें चौथी डिग्री का द्विपद समीकरण दिया गया है:

आइए बहुपद का गुणनखंड करें:

हम पहले द्विघात त्रिपद की जड़ें निर्धारित करते हैं:

हम दूसरे त्रिपद की जड़ें निर्धारित करते हैं:

परिणामस्वरूप, मूल समीकरण की चार जटिल जड़ें हैं:

मैं चौथी डिग्री के समीकरणों को ऑनलाइन कहां हल कर सकता हूं?

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2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0

सबसे पहले आपको चयन विधि का उपयोग करके एक रूट ढूंढना होगा। आमतौर पर यह मुक्त पद का विभाजक होता है। इस मामले में, संख्या के भाजक 12 हैं ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.आइए उन्हें एक-एक करके प्रतिस्थापित करना शुरू करें:

1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ संख्या 1

-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ संख्या -1 बहुपद का मूल नहीं है

2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ संख्या 2 बहुपद का मूल है

हमें बहुपद का 1 मूल मिला है। बहुपद का मूल है 2, जिसका अर्थ है कि मूल बहुपद को विभाज्य होना चाहिए एक्स - 2. बहुपदों का विभाजन करने के लिए, हम हॉर्नर की योजना का उपयोग करते हैं:

	2	5	-11	-20	12
2

मूल बहुपद के गुणांक शीर्ष पंक्ति में प्रदर्शित होते हैं। हमें जो रूट मिला वह दूसरी पंक्ति के पहले सेल में रखा गया है 2. दूसरी पंक्ति में विभाजन से उत्पन्न बहुपद के गुणांक शामिल हैं। उनकी गणना इस प्रकार की जाती है:

2 5 -11 -20 12 2 2	दूसरी पंक्ति के दूसरे सेल में हम संख्या लिखते हैं 2, बस इसे पहली पंक्ति के संबंधित सेल से ले जाकर।
2 5 -11 -20 12 2 2 9	2 ∙ 2 + 5 = 9
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7	2 ∙ 9 - 11 = 7
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6	2 ∙ 7 - 20 = -6
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0	2 ∙ (-6) + 12 = 0

अंतिम संख्या भाग का शेष भाग है। यदि यह 0 के बराबर है, तो हमने सब कुछ सही ढंग से गणना की है।

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)

लेकिन ये अंत नहीं है. आप इसी प्रकार बहुपद का विस्तार करने का प्रयास कर सकते हैं 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.

फिर से हम मुक्त पद के विभाजकों के बीच एक मूल की तलाश कर रहे हैं। संख्या विभाजक -6 हैं ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ संख्या 1 बहुपद का मूल नहीं है

-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ संख्या -1 बहुपद का मूल नहीं है

2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ संख्या 2 बहुपद का मूल नहीं है

-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ संख्या -2 बहुपद का मूल है

आइए पाए गए रूट को हमारी हॉर्नर योजना में लिखें और खाली कोशिकाओं को भरना शुरू करें:

2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2	तीसरी पंक्ति के दूसरे सेल में हम संख्या लिखते हैं 2, बस इसे दूसरी पंक्ति के संबंधित सेल से ले जाकर।
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5	-2 ∙ 2 + 9 = 5
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3	-2 ∙ 5 + 7 = -3
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0	-2 ∙ (-3) - 6 = 0

इस प्रकार, हमने मूल बहुपद का गुणनखंड किया:

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)

बहुपद 2x 2 + 5x - 3गुणनखंडित भी किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आप विवेचक के माध्यम से द्विघात समीकरण को हल कर सकते हैं, या आप संख्या के विभाजकों के बीच मूल की तलाश कर सकते हैं -3. किसी भी तरह, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचेंगे कि इस बहुपद का मूल संख्या है -3

2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2	चौथी पंक्ति के दूसरे सेल में हम संख्या लिखते हैं 2, बस इसे तीसरी पंक्ति के संबंधित सेल से ले जाकर।
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1	-3 ∙ 2 + 5 = -1
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1 0	-3 ∙ (-1) - 3 = 0

इस प्रकार, हमने मूल बहुपद को रैखिक गुणनखंडों में विघटित कर दिया।

लक्ष्य:

1. विषय पर ज्ञान और कौशल को व्यवस्थित और सामान्यीकृत करें: तीसरी और चौथी डिग्री के समीकरणों का समाधान।
2. कई कार्यों को पूरा करके अपने ज्ञान को गहरा करें, जिनमें से कुछ प्रकार या समाधान की विधि से अपरिचित हैं।
3. गणित के नए अध्यायों के अध्ययन के माध्यम से गणित में रुचि पैदा करना, समीकरणों के ग्राफ के निर्माण के माध्यम से ग्राफिक संस्कृति का पोषण करना।

पाठ का प्रकार: संयुक्त.

उपकरण:ग्राफिक प्रोजेक्टर.

दृश्यता:तालिका "वियत की प्रमेय"।

कक्षाओं के दौरान

1. मौखिक गिनती

a) बहुपद p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 को द्विपद x-a से विभाजित करने पर शेषफल क्या होता है?

ख) एक घन समीकरण के कितने मूल हो सकते हैं?

ग) हम तीसरी और चौथी डिग्री के समीकरणों को कैसे हल करते हैं?

d) यदि द्विघात समीकरण में b एक सम संख्या है, तो D और x 1; x 2 का मान क्या है

2. स्वतंत्र कार्य (समूहों में)

यदि मूल ज्ञात हैं तो एक समीकरण लिखें (कार्यों के उत्तर कोडित हैं) "विएटा के प्रमेय" का उपयोग किया जाता है

1 समूह

जड़ें: x 1 = 1; एक्स 2 = -2; एक्स 3 = -3; x 4 = 6

एक समीकरण बनाएं:

बी=1 -2-3+6=2; बी=-2

c=-2-3+6+6-12-18= -23; सी= -23

d=6-12+36-18=12; डी= -12

e=1(-2)(-3)6=36

एक्स 4 -2 x 3 - 23x 2 - 12 x + 36 = 0(फिर इस समीकरण को बोर्ड पर समूह 2 द्वारा हल किया जाता है)

समाधान . हम संख्या 36 के विभाजकों के बीच पूर्ण मूलों की तलाश करते हैं।

р = ±1;±2;±3;±4;±6...

p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 संख्या 1 समीकरण को संतुष्ट करती है, इसलिए =1 समीकरण का मूल है। हॉर्नर की योजना के अनुसार

पी 3 (एक्स) = एक्स 3 - एक्स 2 -24x -36

पी 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, एक्स 2 = -2

पी 2 (एक्स) = एक्स 2 -3x -18=0

x 3 =-3, x 4 =6

उत्तर: 1;-2;-3;6 मूलों का योग 2 (पी)

दूसरा समूह

जड़ें: x 1 = -1; एक्स 2 = एक्स 3 =2; x 4 =5

एक समीकरण बनाएं:

बी=-1+2+2+5-8; बी= -8

c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; सी=15

डी=-4-10+20-10= -4; घ=4

e=2(-1)2*5=-20;e=-20

8+15+4x-20=0 (समूह 3 बोर्ड पर इस समीकरण को हल करता है)

р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.

पी 4 (1)=1-8+15+4-20=-8

р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0

पी 3 (एक्स) = एक्स 3 -9एक्स 2 +24एक्स -20

पी 3 (2) = 8 -36+48 -20=0

पी 2 (एक्स) = एक्स 2 -7एक्स +10 = 0 एक्स 1 = 2; एक्स 2 =5

उत्तर: -1;2;2;5 मूलों का योग 8(P)

3 समूह

जड़ें: x 1 = -1; एक्स 2 =1; एक्स 3 = -2; x 4 =3

एक समीकरण बनाएं:

В=-1+1-2+3=1;В=-1

с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7

डी=2+6-3-6=-1; घ=1

e=-1*1*(-2)*3=6

एक्स 4 - एक्स 3- 7एक्स 2 + एक्स + 6 = 0(समूह 4 इस समीकरण को बाद में बोर्ड पर हल करता है)

समाधान। हम संख्या 6 के विभाजकों के बीच पूर्ण मूलों की तलाश करते हैं।

р = ±1;±2;±3;±6

पी 4 (1)=1-1-7+1+6=0

पी 3 (एक्स) = एक्स 3 - 7एक्स -6

р 3 (-1) = -1+7-6=0

पी 2 (एक्स) = एक्स 2 - एक्स -6 = 0; एक्स 1 = -2; एक्स 2 =3

उत्तर: -1;1;-2;3 जड़ों का योग 1(O)

4 समूह

जड़ें: x 1 = -2; एक्स 2 = -2; एक्स 3 = -3; x 4 = -3

एक समीकरण बनाएं:

बी=-2-2-3+3=-4; बी=4

c=4+6-6+6-6-9=-5; सी=-5

डी=-12+12+18+18=36; डी=-36

e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36

एक्स 4+4x 3 – 5x 2 – 36x -36 = 0(फिर इस समीकरण को बोर्ड पर समूह 5 द्वारा हल किया जाता है)

समाधान। हम संख्या -36 के विभाजकों के बीच पूर्ण मूलों की तलाश करते हैं

р = ±1;±2;±3…

पी(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72

पी 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0

पी 3 (एक्स) = एक्स 3 +2एक्स 2 -9एक्स-18 = 0

पी 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0

पी 2 (एक्स) = एक्स 2 -9 = 0; x=±3

उत्तर:-2; -2; -3; 3 जड़ों का योग-4 (एफ)

5 समूह

जड़ें: x 1 = -1; एक्स 2 = -2; एक्स 3 = -3; x 4 = -4

एक समीकरण लिखें

एक्स 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(फिर इस समीकरण को बोर्ड पर समूह 6 द्वारा हल किया जाता है)

समाधान . हम संख्या 24 के विभाजकों के बीच पूर्ण मूलों की तलाश करते हैं।

р = ±1;±2;±3

पी 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

पी 3 (एक्स) = एक्स- 3 + 9एक्स 2 + 26एक्स+ 24 = 0

पी 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = ओ

पी 2 (एक्स) = एक्स 2 + 7एक्स+ 12 = 0

उत्तर: -1;-2;-3;-4 योग-10 (I)

6 समूह

जड़ें: x 1 = 1; एक्स 2 = 1; एक्स 3 = -3; x 4 = 8

एक समीकरण लिखें

बी=1+1-3+8=7;बी=-7

c=1 -3+8-3+8-24= -13

डी=-3-24+8-24= -43; घ=43

x 4 - 7x 3- 13x 2 + 43एक्स - 24 = 0 (फिर इस समीकरण को बोर्ड पर समूह 1 द्वारा हल किया जाता है)

समाधान . हम संख्या -24 के विभाजकों के बीच पूर्ण मूलों की तलाश करते हैं।

पी 4 (1)=1-7-13+43-24=0

पी 3 (1)=1-6-19+24=0

पी 2 (एक्स)= एक्स 2 -5एक्स - 24 = 0

x 3 =-3, x 4 =8

उत्तर: 1;1;-3;8 योग 7 (एल)

3. एक पैरामीटर के साथ समीकरणों को हल करना

1. समीकरण x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0 को हल करें; यदि जड़ों में से एक (-1) के बराबर है

उत्तर को बढ़ते क्रम में लिखें

आर=पी 3 (-1)=-1+3-एम-15=0

x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0

शर्त के अनुसार x 1 = - 1; डी=1+15=16

पी 2 (एक्स) = एक्स 2 +2x-15 = 0

एक्स 2 = -1-4 = -5;

एक्स 3 = -1 + 4 = 3;

उत्तर:-1;-5; 3

आरोही क्रम में: -5;-1;3. (बी एन एस)

2. बहुपद x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6 के सभी मूल ज्ञात कीजिए, यदि इसके द्विपद x-1 और x +2 में विभाजन से प्राप्त शेषफल बराबर हैं।

समाधान: आर=पी 3 (1) = पी 3 (-2)

पी 3 (1) = 1-3 + ए- 2ए + 6 = 4-ए

पी 3 (-2) = -8-12-2ए-2ए + 6 = -14-4ए

x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18

x 2 (x-3)-6(x-3) = 0

(x-3)(x 2 -6) = 0

3) a=0, x 2 -0*x 2 +0 = 0; एक्स 2 =0; x 4 =0

ए=0; एक्स=0; एक्स=1

ए>0; एक्स=1; x=a ± √a

2. एक समीकरण लिखें

1 समूह. जड़ें:-4; -2; 1; 7;

दूसरा समूह. जड़ें: -3; -2; 1; 2;

3 समूह. जड़ें: -1; 2; 6; 10;

4 समूह. जड़ें: -3; 2; 2; 5;

5 समूह. जड़ें: -5; -2; 2; 4;

6 समूह. जड़ें:-8; -2; 6; 7.

सामान्य स्थिति में, चौथे-डिग्री समीकरण का समाधान उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के तरीकों का उपयोग करके किया जाता है, उदाहरण के लिए, फेरारी विधि या हॉर्नर योजना का उपयोग करना। लेकिन कुछ चौथी डिग्री समीकरणों का समाधान सरल है।

कई विशेष प्रकार के चतुर्थ-डिग्री समीकरण हैं, जिन्हें हल करने की विधियाँ आप नीचे सीखेंगे:

• द्विघात समीकरण $ax^4+bx^2+c=0$;
• $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ के रूप के पारस्परिक समीकरण;
• $ax^4+b=0$ के रूप के समीकरण।

चौथी डिग्री के द्विघात समीकरणों को हल करना

द्विघात समीकरण $ax^4+bx^2+c=0$ को चर $x^2$ को एक नए से प्रतिस्थापित करके द्विघात समीकरण में बदल दिया जाता है, उदाहरण के लिए, $y$। प्रतिस्थापन के बाद, नया परिणामी समीकरण हल किया जाता है, और फिर पाए गए चर का मान समीकरण $x^2=y$ में प्रतिस्थापित किया जाता है। समाधान का परिणाम समीकरण $x^2=y$ का मूल होगा।

उदाहरण 1

समीकरण $x(x-1)(x-2)(x-3)=24$ को हल करें:

आइए बहुपद में कोष्ठकों का विस्तार करें:

$(x^2-3x)(x^2-3x+2)=24$

इस रूप में, यह स्पष्ट हो जाता है कि हम अभिव्यक्ति $y=x^2-3x$ को एक नए चर के रूप में चुन सकते हैं; आइए इसे प्रतिस्थापित करें:

$y\cdot (y+2)=24$

आइए अब दो द्विघात समीकरण $x^2-3x=-4$ और $x^2-3x=-6$ को हल करें।

पहले समीकरण की जड़ें $x_1(1,2)=4;-1$ हैं, दूसरे का कोई समाधान नहीं है।

घात 4 के व्युत्क्रम समीकरणों को हल करना

$ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ के रूप के ये समीकरण निचले क्रम के पदों के लिए अपने गुणांक के साथ उच्च डिग्री वाले बहुपदों के गुणांक को दोहराते हैं। ऐसे समीकरण को हल करने के लिए, पहले इसे $x^2$ से विभाजित करें:

$ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0|:x^2$

$ax^2+bx+c+\frac(b)(x) + \frac(a)(x^2)=0$

$a(x^2+\frac(1)(x^2))+b(x+\frac(1)(x)) + c=0$

फिर $(x+\frac(1)(x))$ को एक नए वेरिएबल से बदलें, फिर $(x^2+\frac(1)(x^2))=y^2-2$, प्रतिस्थापन के बाद हमें मिलता है निम्नलिखित वर्ग समीकरण:

$a(y^2-2)+by+c=0$

इसके बाद, हम समीकरण $x+\frac(1)(x)=y_1$ और $x+\frac(1)(x)=y_2$ के मूलों की तलाश करते हैं।

$ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$ के रूप के पारस्परिक समीकरणों को हल करने के लिए एक समान विधि का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण 2

प्रश्न हल करें:

$3x^4-2x^3-9x^2-4x+12=0$

यह समीकरण $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$ के रूप का एक पारस्परिक समीकरण है। इसलिए, हम पूरे समीकरण को $x^2$ से विभाजित करते हैं:

$3x^2-2x-9 \cdot \frac(2 \cdot 2)(x)+3 \cdot (\frac(2)(x))^2=0$

$3(x^2+\frac(4)(x^2))-2(x+\frac(2)(x)-9=0$

आइए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें $x+\frac(2)(x)$: $3(y^2-4)-2y-9=0$

आइए इस समीकरण की जड़ों की गणना करें, वे $y_1=3$ और $y_2=-\frac(7)(3)$ के बराबर हैं।

तदनुसार, अब दो समीकरणों $x+\frac(2)(x)=3$ और $x+\frac(2)(x)=-\frac(7)(3)$ को हल करना आवश्यक है। पहले समीकरण का हल $x_1=1, x_2=2$ है, दूसरे समीकरण का कोई मूल नहीं है।

इसलिए, मूल समीकरण की जड़ें $x_1=1, x_2=2$ हैं।

$ax^4+b=0$ के रूप के समीकरण

इस प्रकार के समीकरण के मूल संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके पाए जाते हैं।

2. समीकरण यदि किसी समानता में एक अक्षर शामिल हो तो वह समानता समीकरण कहलाती है।
इस अक्षर के कुछ मानों के लिए समीकरण सत्य हो सकता है
और इसके अन्य अर्थों के लिए गलत है।

उदाहरण के लिए, समीकरण x + 6 = 7
x = 1 के लिए सत्य है
और x = 2 के लिए असत्य।

3. समतुल्य समीकरण रैखिक समीकरण ax + by + c = 0 है।
उदाहरण के लिए: 5x – 4y + 6 = 0.
आइए व्यक्त करें y:
⇒ 4y = 5x + 6 ⇒ y =

5x+6

4

⇒ y = 1.25x + 1.5.
परिणामी समीकरण, पहले वाले के समतुल्य, का रूप है
वाई = केएक्स + एम,
कहा पे: एक्स - स्वतंत्र चर (तर्क);
y - आश्रित चर (फ़ंक्शन);
k और m गुणांक (पैरामीटर) हैं।

4 समतुल्य समीकरण

दो समीकरण कहलाते हैं समकक्ष (समकक्ष), यदि उनके सभी समाधानों का सेट मेल खाता है या उन दोनों का कोई समाधान नहीं है और निरूपित करें।

5/पहली डिग्री का समीकरण.

प्रथम डिग्री समीकरण को इस रूप में घटाया जा सकता है:

कुल्हाड़ी+बी = 0,

कहाँ एक्स- चर, एऔर बी– कुछ संख्याएँ, और ए ≠ 0.

यहां से मूल्य निकालना आसान है एक्स:

बी
एक्स = - -
ए

यही मतलब है एक्ससमीकरण का मूल है.

प्रथम डिग्री के समीकरणों का एक मूल होता है।

दूसरी डिग्री का समीकरण.

दूसरे डिग्री समीकरण को इस रूप में घटाया जा सकता है:

कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0,

कहाँ एक्स- चर, ए, बी, सी– कुछ संख्याएँ, और ए ≠ 0.

दूसरी डिग्री समीकरण की जड़ों की संख्या विभेदक पर निर्भर करती है:

यदि D > 0, तो समीकरण के दो मूल हैं;

यदि D = 0 है, तो समीकरण का एक मूल है;

यदि डी< 0, то уравнение корней не имеет.

दूसरी डिग्री के समीकरण में दो से अधिक मूल नहीं हो सकते।

(विवेचक क्या है और किसी समीकरण के मूल कैसे खोजें, इसके बारे में "द्विघात समीकरण के मूलों का सूत्र। विवेचक" और "द्विघात समीकरण को हल करने का दूसरा तरीका" अनुभाग देखें)।

तीसरी डिग्री का समीकरण.

तृतीय डिग्री समीकरण को इस रूप में घटाया जा सकता है:

कुल्हाड़ी 3 + बीएक्स 2 + सीएक्स + डी = 0,

कहाँ एक्स- चर, ए बी सी डी– कुछ संख्याएँ, और ए ≠ 0.

तीसरी डिग्री के समीकरण में तीन से अधिक मूल नहीं हो सकते।

चौथी डिग्री का समीकरण.

चौथी डिग्री के समीकरण को इस रूप में घटाया जा सकता है:

कुल्हाड़ी 4 + बीएक्स 3 + सीएक्स 2 + डीएक्स + ई = 0,

कहाँ एक्स- चर, ए, बी, सी, डी, ई– कुछ संख्याएँ, और ए ≠ 0.

तीसरी डिग्री के समीकरण में चार से अधिक मूल नहीं हो सकते।

सारांश:

1) पाँचवें, छठे आदि का समीकरण। उपरोक्त आरेख का अनुसरण करके डिग्री आसानी से स्वतंत्र रूप से प्राप्त की जा सकती है;

2) समीकरण एन- डिग्री से अधिक कुछ नहीं हो सकता एनजड़ें.

6/एक चर वाला समीकरण एक समानता है जिसमें केवल एक चर होता है। किसी समीकरण का मूल (या समाधान) उस चर का मान है जिस पर समीकरण वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल जाता है।

1. 8/-11/रैखिक समीकरणों की प्रणालियाँ: मूल अवधारणाएँरैखिक समीकरणों की प्रणाली.

रैखिक समीकरणों की असंगत और अनिश्चित प्रणाली। रैखिक समीकरणों का सेट। रैखिक समीकरणों का सुसंगत और असंगत सेट।

रैखिक समीकरणों की प्रणालीका एक संघ है एनरैखिक समीकरण, जिनमें से प्रत्येक में शामिल हैं कचर। इसे इस प्रकार लिखा गया है:

कई लोग, जब पहली बार उच्च बीजगणित का सामना करते हैं, तो गलती से मानते हैं कि समीकरणों की संख्या आवश्यक रूप से चर की संख्या के साथ मेल खाना चाहिए। स्कूली बीजगणित में यह आमतौर पर होता है, लेकिन उच्च बीजगणित के लिए यह आम तौर पर सच नहीं है।

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करनासंख्याओं का एक क्रम है ( क 1 , क 2 , ..., के एन), जो सिस्टम के प्रत्येक समीकरण का समाधान है, अर्थात। इस समीकरण में चरों के स्थान पर प्रतिस्थापित करते समय एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एनसही संख्यात्मक समानता देता है.

तदनुसार, समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने का अर्थ है इसके सभी समाधानों का सेट ढूंढना या यह साबित करना कि यह सेट खाली है। चूँकि समीकरणों की संख्या और अज्ञातों की संख्या मेल नहीं खा सकती है, तीन मामले संभव हैं:

1. सिस्टम असंगत है, अर्थात सभी समाधानों का सेट खाली है. यह एक दुर्लभ मामला है जिसका आसानी से पता लगाया जा सकता है, भले ही सिस्टम को हल करने के लिए किसी भी विधि का उपयोग किया जाए।

2. प्रणाली सुसंगत और परिभाषित है, अर्थात। बिल्कुल एक ही समाधान है. क्लासिक संस्करण, जो स्कूल के समय से प्रसिद्ध है।

3. प्रणाली सुसंगत और अपरिभाषित है, अर्थात। इसके अपरिमित रूप से अनेक समाधान हैं। यह सबसे कठिन विकल्प है. यह इंगित करना पर्याप्त नहीं है कि "सिस्टम में समाधानों का एक अनंत सेट है" - यह वर्णन करना आवश्यक है कि यह सेट कैसे संरचित है।

चर एक्स मैंबुलाया अनुमति है, यदि इसे सिस्टम के केवल एक समीकरण में शामिल किया गया है, और 1 के गुणांक के साथ। दूसरे शब्दों में, शेष समीकरणों में चर का गुणांक एक्स मैंशून्य के बराबर होना चाहिए.

यदि हम प्रत्येक समीकरण में एक अनुमत चर का चयन करते हैं, तो हमें समीकरणों की संपूर्ण प्रणाली के लिए अनुमत चर का एक सेट प्राप्त होता है। इस रूप में लिखी गई प्रणाली को भी हल किया हुआ कहा जाएगा। सामान्यतया, एक ही मूल प्रणाली को अलग-अलग अनुमत प्रणाली में परिवर्तित किया जा सकता है, लेकिन फिलहाल हम इस बारे में चिंतित नहीं हैं। यहां अनुमत प्रणालियों के उदाहरण दिए गए हैं:

दोनों प्रणालियाँ परिवर्तनशील-समाधान वाली हैं एक्स 1 , एक्स 3 और एक्स 4 . हालाँकि, उसी सफलता के साथ यह तर्क दिया जा सकता है कि दूसरी प्रणाली को अपेक्षाकृत अनुमति दी गई है एक्स 1 , एक्स 3 और एक्स 5 . यह प्रपत्र में अंतिम समीकरण को फिर से लिखने के लिए पर्याप्त है एक्स 5 = एक्स 4 .

आइए अब एक अधिक सामान्य मामले पर विचार करें। हमें सब कुछ मिले कचर, जिनमें से आरअनुमति दी जाती है। तब दो स्थितियाँ संभव हैं:

1. अनुमत चरों की संख्या आरचरों की कुल संख्या के बराबर क: आर = क. हम सिस्टम से प्राप्त करते हैं कजिन समीकरणों में आर = कअनुमत चर. ऐसी व्यवस्था संयुक्त एवं निश्चित होती है, क्योंकि एक्स 1 = बी 1 , एक्स 2 = बी 2 , ..., एक्स क = बी के;

2. अनुमत चरों की संख्या आरचरों की कुल संख्या से कम क: आर < क. बाकी का ( क − आर) चर को मुक्त कहा जाता है - वे कोई भी मान ले सकते हैं, जिससे अनुमत चर की गणना आसानी से की जा सकती है।

तो, उपरोक्त प्रणालियों में चर एक्स 2 , एक्स 5 , एक्स 6 (पहली प्रणाली के लिए) और एक्स 2 , एक्स 5 (दूसरे के लिए) निःशुल्क हैं। जब मुक्त चर होते हैं तो मामले को प्रमेय के रूप में बेहतर ढंग से तैयार किया जाता है:

कृपया ध्यान दें: यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण बिंदु है! इस पर निर्भर करते हुए कि आप परिणामी प्रणाली को कैसे लिखते हैं, समान चर को या तो अनुमति दी जा सकती है या मुक्त किया जा सकता है। अधिकांश उच्चतर गणित शिक्षक चरों को शब्दकोषीय क्रम में लिखने की सलाह देते हैं, अर्थात्। आरोही सूचकांक. हालाँकि, आप इस सलाह का पालन करने के लिए बाध्य नहीं हैं।

प्रमेय. यदि सिस्टम से है एनसमीकरण चर एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स आर- अनुमति, और एक्स आर + 1 , एक्स आर + 2 , ..., एक्स क- मुफ़्त, फिर:

1. यदि आप मुक्त चर के मान निर्धारित करते हैं ( एक्स आर + 1 = टी आर + 1 , एक्स आर + 2 = टी आर + 2 , ..., एक्स क = टी), और फिर मान ज्ञात करें एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स आर, हमें समाधानों में से एक मिलता है।

2. यदि दो समाधानों में मुक्त चर के मान मेल खाते हैं, तो अनुमत चर के मान भी मेल खाते हैं, अर्थात। समाधान समान हैं.

इस प्रमेय का क्या अर्थ है? समीकरणों की एक हल की गई प्रणाली के सभी समाधान प्राप्त करने के लिए, मुक्त चर को अलग करना पर्याप्त है। फिर, मुक्त चरों को अलग-अलग मान निर्दिष्ट करके, हम तैयार समाधान प्राप्त करेंगे। बस इतना ही - इस तरह आप सिस्टम के सभी समाधान प्राप्त कर सकते हैं। कोई अन्य समाधान नहीं हैं.

निष्कर्ष: समीकरणों की हल की गई प्रणाली हमेशा सुसंगत होती है। यदि किसी हल की गई प्रणाली में समीकरणों की संख्या चरों की संख्या के बराबर है, तो प्रणाली निश्चित होगी; यदि कम है, तो यह अनिश्चित होगी।

कई समीकरण बनते हैं समीकरणों का सेट

2. 12,13/ रैखिक असमानता./ सख्त और गैर-सख्त असमानताएं क्या है असमानता?कोई भी समीकरण लिया जाता है, "=" ("बराबर") चिह्न को दूसरे चिह्न से बदल दिया जाता है ( > ;≥ ; < ; ≤ ; ≠ ) और एक असमानता प्राप्त होती है।) समीकरण कुछ भी हो सकता है: रैखिक, द्विघात, भिन्नात्मक, घातांकीय, त्रिकोणमितीय, लघुगणक, आदि। और इसी तरह। तदनुसार, हमारी असमानताएँ रैखिक, द्विघात आदि होंगी।

असमानता प्रतीकों के बारे में आपको क्या जानने की आवश्यकता है? चिह्न के साथ असमानताएँ अधिक (> ), या कम (< ) कहा जाता है कठोर।चिह्नों के साथ अधिक या बराबर (≥ ), कम या बराबर (≤ ) कहा जाता है सख्त नहीं।आइकन सम नही (≠ ) अलग खड़ा है, लेकिन आपको हर समय इस आइकन के साथ उदाहरण भी हल करने होंगे। और हम निर्णय लेंगे.)

आइकन का स्वयं समाधान प्रक्रिया पर अधिक प्रभाव नहीं पड़ता है। लेकिन निर्णय के अंत में, अंतिम उत्तर चुनते समय, आइकन का अर्थ पूरी ताकत से प्रकट होता है! इसे हम नीचे उदाहरणों में देखेंगे। वहाँ कुछ चुटकुले हैं...

समानताओं की तरह असमानताएँ भी मौजूद हैं वफादार और बेवफा.यहां सब कुछ सरल है, कोई चालाकी नहीं। मान लीजिए 5 > 2 एक सच्ची असमानता है. 5 < 2 - गलत.

रैखिक, द्विघात, भिन्नात्मक, घातांकीय, त्रिकोणमितीय और अन्य असमानताओं को अलग-अलग तरीकों से हल किया जाता है। प्रत्येक प्रकार की अपनी विधि, अपनी विशेष तकनीक होती है। लेकिन! इन सभी विशेष तकनीकों का उपयोग किया जा सकता है केवल कुछ मानक प्रकार की असमानता के लिए।वे। किसी भी प्रकार की असमानता पहले होनी चाहिए तैयार करनाअपनी पद्धति का उपयोग करने के लिए.

3. 14,16/असमानताओं के मूल गुण/. दो असमानताओं वाली क्रियाएँ।

1) यदि

2) परिवर्तनशीलता का गुण। अगर

3) यदि आप वास्तविक असमानता के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ते हैं, तो आपको वास्तविक असमानता प्राप्त होती है, अर्थात। अगर

4) यदि हम किसी पद को वास्तविक असमानता के एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करते हैं, उसके चिह्न को विपरीत में बदलते हैं, तो हमें एक वास्तविक असमानता प्राप्त होती है, अर्थात। अगर

5) यदि किसी सच्ची असमानता के दोनों पक्षों को एक ही धनात्मक संख्या से गुणा किया जाए, तो आपको एक सच्ची असमानता प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, यदि

6) यदि किसी वास्तविक असमानता के दोनों पक्षों को एक ही ऋणात्मक संख्या से गुणा किया जाता है और असमानता चिह्न बदलेंइसके विपरीत, परिणाम एक सच्ची असमानता है। उदाहरण के लिए, यदि

7) नियम 5) और 6 के समान, समान संख्या से विभाजित करने के नियम लागू होते हैं। अगर