शरीर की घूर्णी गति. घूर्णी गति का नियम

एक निश्चित अक्ष (रोटेशन की धुरी) के चारों ओर एक कठोर शरीर का घूमनाइसकी गति ऐसी कहलाती है, जिसमें गति के पूरे समय के दौरान घूर्णन अक्ष पर पड़े पिंड के बिंदु गतिहीन रहते हैं।

माना कि घूर्णन की धुरी वह धुरी है, जिसकी अंतरिक्ष में कोई भी दिशा हो सकती है। अक्ष की एक दिशा धनात्मक मानी जाती है (चित्र 28)।

घूर्णन की धुरी के माध्यम से हम एक निश्चित विमान और एक गतिशील विमान खींचते हैं, जो एक घूमते हुए पिंड से जुड़ा होता है। माना कि समय के प्रारंभिक क्षण में दोनों तल संपाती होते हैं। फिर समय के क्षण में गतिशील विमान और घूमने वाले पिंड की स्थिति को विमानों के बीच के डायहेड्रल कोण और इन विमानों में स्थित रेखाओं के बीच संबंधित रैखिक कोण और घूर्णन की धुरी के लंबवत द्वारा निर्धारित किया जा सकता है। कोण कहा जाता है शरीर के घूमने का कोण.

यदि समीकरण दिया गया है तो चुने हुए संदर्भ प्रणाली के सापेक्ष शरीर की स्थिति किसी भी समय पूरी तरह से निर्धारित होती है

समय का कोई भी दो बार भिन्न कार्य कहां है। इस समीकरण को कहा जाता है एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक कठोर पिंड के घूमने का समीकरण.

एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले शरीर में स्वतंत्रता की एक डिग्री होती है, क्योंकि इसकी स्थिति केवल एक पैरामीटर - कोण निर्धारित करके निर्धारित की जाती है।

यदि किसी कोण को वामावर्त दिशा में प्लॉट किया जाता है तो उसे सकारात्मक माना जाता है, और अक्ष की सकारात्मक दिशा से देखने पर उसे विपरीत दिशा में नकारात्मक माना जाता है। एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने के दौरान शरीर के बिंदुओं के प्रक्षेपवक्र घूर्णन के अक्ष के लंबवत विमानों में स्थित वृत्त होते हैं।

एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक कठोर पिंड की घूर्णी गति को चिह्नित करने के लिए, हम कोणीय वेग और कोणीय त्वरण की अवधारणाओं का परिचय देते हैं। शरीर का बीजगणितीय कोणीय वेगसमय के किसी भी क्षण में, इस क्षण में घूर्णन कोण का पहला समय व्युत्पन्न कहा जाता है, अर्थात। . जब शरीर वामावर्त घूमता है तो यह सकारात्मक होता है, क्योंकि समय के साथ घूर्णन का कोण बढ़ता है, और जब शरीर दक्षिणावर्त घूमता है तो यह नकारात्मक होता है, क्योंकि घूर्णन का कोण कम हो जाता है।

कोणीय वेग के मापांक को द्वारा निरूपित किया जाता है। तब

शरीर का बीजगणितीय कोणीय त्वरणबीजगणितीय गति का प्रथम बार व्युत्पन्न कहा जाता है, अर्थात। घूर्णन कोण का दूसरा व्युत्पन्न। फिर, हम कोणीय त्वरण के मापांक को निरूपित करते हैं

यदि पर, तो बीजगणितीय कोणीय वेग समय के साथ बढ़ता है और इसलिए, शरीर सकारात्मक दिशा (वामावर्त) में समय के विचारित क्षण में तेजी से घूमता है। और पर, शरीर तेजी से नकारात्मक दिशा में घूमता है। यदि पर, तो हमारे पास सकारात्मक दिशा में धीमी गति से घूर्णन है। पर और धीमी गति से घूमना नकारात्मक दिशा में है।

अनुवादकीयकिसी कठोर पिंड की ऐसी गति कहलाती है जिसमें इस पिंड से जुड़ी कोई भी सीधी रेखा अपनी प्रारंभिक स्थिति के समानांतर रहती है।

प्रमेय. किसी कठोर पिंड की अनुवादात्मक गति में, इसके सभी बिंदु समान प्रक्षेप पथ का वर्णन करते हैं और किसी भी क्षण में परिमाण और दिशा में समान वेग और त्वरण होते हैं।

सबूत। दो बिंदुओं से गुजरें और , अनुवादात्मक रूप से गतिमान शरीर खंड
और स्थिति में इस खंड की गति पर विचार करें
. उसी समय, बिंदु प्रक्षेप पथ का वर्णन करता है
, और बात - प्रक्षेपवक्र
(चित्र 56)।

उस खंड को ध्यान में रखते हुए
स्वयं के समानांतर चलता है, और इसकी लंबाई नहीं बदलती है, यह स्थापित किया जा सकता है कि बिंदुओं का प्रक्षेप पथ और एक ही हो जाएगा। अतः, प्रमेय का पहला भाग सिद्ध होता है। हम बिंदुओं की स्थिति निर्धारित करेंगे और निश्चित मूल के संबंध में सदिश तरीके से . साथ ही, ये त्रिज्या-सदिश पर निर्भर हैं
. क्योंकि। न तो खंड की लंबाई और न ही दिशा
जब शरीर चलता है तो वेक्टर नहीं बदलता है

. हम निर्भरता के अनुसार वेगों के निर्धारण के लिए आगे बढ़ते हैं (24):

, हम पाते हैं
.

हम निर्भरता के अनुसार त्वरण के निर्धारण के लिए आगे बढ़ते हैं (26):

, हम पाते हैं
.

सिद्ध प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी पिंड की अनुवादात्मक गति पूरी तरह से निर्धारित होगी यदि कुछ बिंदुओं में से केवल एक की गति ज्ञात हो। इसलिए, किसी कठोर पिंड की स्थानांतरीय गति का अध्ययन उसके किसी एक बिंदु की गति के अध्ययन तक सीमित हो जाता है, अर्थात। बिंदु गतिकी की समस्या के लिए.

विषय 11. एक कठोर पिंड की घूर्णी गति

घुमानेवालाकिसी कठोर पिंड की ऐसी गति है जिसमें उसके दो बिंदु गति के पूरे समय तक गतिहीन रहते हैं। इन दो निश्चित बिंदुओं से होकर गुजरने वाली रेखा कहलाती है अक्ष.

पिंड का प्रत्येक बिंदु जो घूर्णन की धुरी पर स्थित नहीं होता है, ऐसे आंदोलन के दौरान, एक वृत्त का वर्णन करता है, जिसका तल घूर्णन की धुरी के लंबवत होता है, और इसका केंद्र इस धुरी पर स्थित होता है।

हम घूर्णन अक्ष के माध्यम से एक निश्चित विमान I और एक गतिशील विमान II खींचते हैं, जो हमेशा शरीर से जुड़ा होता है और इसके साथ घूमता है (चित्र 57)। विमान II की स्थिति, और, तदनुसार, अंतरिक्ष में विमान I के संबंध में, पूरे शरीर की स्थिति, पूरी तरह से कोण द्वारा निर्धारित होती है . जब कोई पिंड किसी अक्ष के चारों ओर घूमता है यह कोण समय का एक सतत और एकल-मान वाला फलन है। इसलिए, समय के साथ इस कोण के परिवर्तन के नियम को जानकर, हम अंतरिक्ष में पिंड की स्थिति निर्धारित कर सकते हैं:

- शरीर के घूमने का नियम. (43)

इस मामले में, हम मान लेंगे कि कोण अक्ष के धनात्मक सिरे से देखने पर स्थिर तल से वामावर्त दिशा में गिना जाता है . चूँकि एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले पिंड की स्थिति एक पैरामीटर द्वारा निर्धारित की जाती है, इसलिए ऐसा कहा जाता है कि ऐसे पिंड में स्वतंत्रता की एक डिग्री होती है।

कोणीय वेग

समय के साथ पिंड के घूर्णन कोण में परिवर्तन को कोणीय कहा जाता है शरीर की गति और निरूपित किया गया
(ओमेगा):

.(44)

कोणीय वेग, रैखिक वेग की तरह, एक सदिश राशि है, और यह सदिश है शरीर के घूर्णन की धुरी पर निर्मित। इसे घूर्णन अक्ष के अनुदिश उस दिशा में निर्देशित किया जाता है ताकि, इसके अंत से आरंभ तक देखने पर, कोई शरीर के घूर्णन को वामावर्त दिशा में देख सके (चित्र 58)। इस वेक्टर का मापांक निर्भरता (44) द्वारा निर्धारित होता है। आवेदन बिंदु अक्ष पर मनमाने ढंग से चुना जा सकता है, क्योंकि वेक्टर को उसकी क्रिया की रेखा के साथ अनुवादित किया जा सकता है। यदि हम घूर्णन अक्ष के ऑर्थो-वेक्टर को निरूपित करते हैं , तो हमें कोणीय वेग की सदिश अभिव्यक्ति मिलती है:

. (45)

कोणीय त्वरण

समय के साथ किसी पिंड के कोणीय वेग में परिवर्तन की दर कहलाती है कोणीय त्वरण निकायों और निरूपित किया गया है (एप्सिलॉन):

. (46)

कोणीय त्वरण एक सदिश राशि है, और यह सदिश है शरीर के घूर्णन की धुरी पर निर्मित। इसे उस दिशा में घूर्णन की धुरी के साथ निर्देशित किया जाता है, ताकि, इसके अंत से इसकी शुरुआत तक देखने पर, कोई व्यक्ति एप्सिलॉन के घूर्णन की दिशा को वामावर्त (चित्र 58) देख सके। इस वेक्टर का मापांक निर्भरता (46) द्वारा निर्धारित होता है। आवेदन बिंदु अक्ष पर मनमाने ढंग से चुना जा सकता है, क्योंकि वेक्टर को उसकी क्रिया की रेखा के साथ अनुवादित किया जा सकता है।

यदि हम घूर्णन अक्ष के ऑर्थो-वेक्टर को निरूपित करते हैं , तो हमें कोणीय त्वरण की सदिश अभिव्यक्ति मिलती है:

. (47)

यदि कोणीय वेग और त्वरण एक ही चिह्न के हों तो पिंड घूमता है ACCELERATED, और यदि भिन्न हो - धीरे से. धीमी गति से घूमने का एक उदाहरण चित्र में दिखाया गया है। 58.

घूर्णी गति के विशेष मामलों पर विचार करें।

1. एकसमान घूर्णन:

,
.

,
,
,

,
. (48)

2. समान-चर घूर्णन:

.

,
,
,
,
,
,
,
,

,
,
.(49)

रैखिक और कोणीय मापदंडों के बीच संबंध

एक मनमाने बिंदु की गति पर विचार करें
घूमता हुआ शरीर. इस स्थिति में, बिंदु का प्रक्षेपवक्र एक वृत्त, त्रिज्या होगा
, घूर्णन अक्ष के लंबवत समतल में स्थित (चित्र 59, ए).

आइए उस समय यह मान लें बिंदु स्थिति में है
. आइए मान लें कि शरीर सकारात्मक दिशा में घूमता है, यानी। बढ़ते कोण की दिशा में . समय के बिंदु पर
बिंदु स्थिति ले लेगा
. चाप को निरूपित करें
. इसलिए, समय के साथ
बात बहुत आगे निकल चुकी है
. उसकी औसत गति , और जब
,
. लेकिन, चित्र से. 59, बी, यह स्पष्ट है कि
. तब। अंततः हम पाते हैं

. (50)

यहाँ - बिंदु की रैखिक गति
. जैसा कि पहले प्राप्त किया गया था, यह वेग किसी दिए गए बिंदु पर प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होता है, अर्थात। वृत्त की स्पर्शरेखा.

इस प्रकार, घूमते हुए पिंड के एक बिंदु के रैखिक (परिधि) वेग का मापांक इस बिंदु से घूर्णन अक्ष तक की दूरी के कोणीय वेग के निरपेक्ष मान के गुणनफल के बराबर होता है।

आइए अब बिंदु के त्वरण के रैखिक घटकों को कोणीय मापदंडों से जोड़ें।

,
. (51)

एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले कठोर शरीर के एक बिंदु के स्पर्शरेखीय त्वरण का मॉड्यूल इस बिंदु से रोटेशन की धुरी तक की दूरी से शरीर के कोणीय त्वरण के उत्पाद के बराबर है।

,
. (52)

एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले कठोर पिंड के एक बिंदु के सामान्य त्वरण का मापांक पिंड के कोणीय वेग के वर्ग और इस बिंदु से घूर्णन अक्ष तक की दूरी के गुणनफल के बराबर होता है।

तब बिंदु के कुल त्वरण के लिए अभिव्यक्ति का रूप ले लेता है

. (53)

वेक्टर दिशाएँ ,,चित्र 59 में दिखाया गया है, वी.

सपाट गतिकठोर पिंड एक ऐसी गति है जिसमें शरीर के सभी बिंदु किसी निश्चित तल के समानांतर चलते हैं। ऐसे आंदोलन के उदाहरण:

किसी भी पिंड की गति जिसका आधार किसी दिए गए निश्चित विमान के साथ स्लाइड करता है;

पहिया ट्रैक (रेल) के सीधे खंड पर घूम रहा है।

हमें समतल गति के समीकरण प्राप्त होते हैं। ऐसा करने के लिए, शीट के तल में घूमती हुई एक सपाट आकृति पर विचार करें (चित्र 60)। हम इस गति को एक निश्चित समन्वय प्रणाली से संदर्भित करते हैं
, और चित्र के साथ ही हम एक गतिमान समन्वय प्रणाली को जोड़ देंगे
, जो इसके साथ चलता है।

जाहिर है, एक निश्चित तल पर गतिमान आकृति की स्थिति गतिमान अक्षों की स्थिति से निर्धारित होती है
स्थिर अक्षों के सापेक्ष
. यह स्थिति गतिशील मूल की स्थिति से निर्धारित होती है , अर्थात। COORDINATES ,और घूर्णन का कोण , स्थिर समन्वय प्रणाली के सापेक्ष एक गतिशील समन्वय प्रणाली, जिसे अक्ष से गिना जाएगा वामावर्त दिशा में.

नतीजतन, यदि समय के प्रत्येक क्षण के लिए मान ज्ञात हो तो उसके तल में एक सपाट आकृति की गति पूरी तरह से निर्धारित हो जाएगी ,,, अर्थात। प्रपत्र के समीकरण:

,
,
. (54)

समीकरण (54) एक कठोर पिंड की समतल गति के समीकरण हैं, क्योंकि यदि ये कार्य ज्ञात हैं, तो समय के प्रत्येक क्षण के लिए क्रमशः इन समीकरणों से पता लगाना संभव है ,,, अर्थात। किसी निश्चित समय पर गतिमान आकृति की स्थिति निर्धारित करें।

विशेष मामलों पर विचार करें:

1.

, तो शरीर की गति अनुवादात्मक होगी, क्योंकि गतिशील कुल्हाड़ियाँ अपनी प्रारंभिक स्थिति के समानांतर रहते हुए चलती हैं।

2.

,

. इस गति से केवल घूर्णन का कोण बदलता है। , अर्थात। शरीर बिंदु के माध्यम से आकृति के तल के लंबवत गुजरने वाली धुरी के चारों ओर घूमेगा .

एक सपाट आकृति की गति का अनुवादात्मक और घूर्णी में विघटन

लगातार दो स्थितियों पर विचार करें और
कभी-कभी शरीर पर कब्जा कर लिया जाता है और
(चित्र 61)। शरीर स्थिति से बाहर स्थिति में
निम्नानुसार स्थानांतरित किया जा सकता है। आइए पहले शरीर को हिलाएँ उत्तरोत्तर. उसी समय, खंड
स्थिति में स्वयं के समानांतर चलता है
, और तब चलो मुड़ेंएक बिंदु (ध्रुव) के चारों ओर का शरीर कोने पर
जब तक अंक मेल नहीं खाते और .

इस तरह, किसी भी समतलीय गति को चुने हुए ध्रुव और घूर्णी गति के साथ अनुवादात्मक गति के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, इस पोल के बारे में

आइए उन तरीकों पर विचार करें जिनके द्वारा समतल गति कर रहे किसी पिंड के बिंदुओं के वेग को निर्धारित करना संभव है।

1. ध्रुव विधि. यह विधि समतल गति के अनुवादात्मक और घूर्णी में परिणामी अपघटन पर आधारित है। एक समतल आकृति के किसी भी बिंदु की गति को दो घटकों के रूप में दर्शाया जा सकता है: अनुवादात्मक, मनमाने ढंग से चुने गए बिंदु की गति के बराबर गति के साथ -डंडे , और इस ध्रुव के चारों ओर घूर्णनशील है।

एक सपाट पिंड पर विचार करें (चित्र 62)। गति के समीकरण हैं:
,
,
.

हम इन समीकरणों से बिंदु की गति निर्धारित करते हैं (सेटिंग की समन्वय विधि के साथ)

,
,
.

तो बिंदु गति - मूल्य ज्ञात है. हम इस बिंदु को एक ध्रुव के रूप में लेते हैं और एक मनमाने बिंदु की गति निर्धारित करते हैं
शरीर।

रफ़्तार
ट्रांसलेशनल घटक से बना होगा , बिंदु के साथ चलते समय , और घूर्णी
, जब बिंदु घुमाया जाता है
बिंदु के सापेक्ष . बिंदु गति बिंदु पर ले जाएँ
स्वयं के समानांतर, क्योंकि स्थानांतरीय गति में सभी बिंदुओं के वेग परिमाण और दिशा दोनों में समान होते हैं। रफ़्तार
निर्भरता द्वारा निर्धारित (50)
, और यह वेक्टर त्रिज्या के लंबवत निर्देशित है
घूर्णन की दिशा में
. वेक्टर
सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के अनुदिश निर्देशित किया जाएगा और
, और इसका मॉड्यूल निर्भरता द्वारा निर्धारित किया जाता है:

, .(55)

2. शरीर के दो बिंदुओं के वेग के प्रक्षेपण पर प्रमेय।

इन बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा पर एक कठोर पिंड के दो बिंदुओं के वेग के प्रक्षेपण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

शरीर के दो बिंदुओं पर विचार करें और (चित्र 63)। एक बिंदु ले रहा हूँ प्रति पोल, दिशा निर्धारित करें निर्भरता द्वारा (55):
. हम इस सदिश समानता को रेखा पर प्रक्षेपित करते हैं
और उस पर विचार कर रहे हैं
सीधा
, हम पाते हैं

3. गति का तात्क्षणिक केंद्र.

गति का तत्काल केंद्र(MCS) एक बिंदु है जिसकी गति किसी निश्चित समय पर शून्य होती है।

आइए हम दिखाएं कि यदि शरीर आगे नहीं बढ़ता है, तो ऐसा बिंदु समय के प्रत्येक क्षण में मौजूद होता है और इसके अलावा, अद्वितीय होता है। फिलहाल चलो अंक और खंड-खंड में पड़े शव , गति है और , एक दूसरे के समानांतर नहीं (चित्र 64)। फिर बात
, सदिशों के लंबवत् के प्रतिच्छेदन पर स्थित है और , और तब से एक एमसीएस होगा
.

वास्तव में, यदि हम ऐसा मान लें
, फिर प्रमेय (56) द्वारा, सदिश
लंबवत होना चाहिए
और
, जो असंभव है. उसी प्रमेय से यह देखा जा सकता है कि कोई अन्य खंड बिंदु नहीं है इस समय इसकी गति शून्य के बराबर नहीं हो सकती।

पोल विधि लागू करना
- ध्रुव, बिंदु की गति निर्धारित करें (55): से
,
. (57)

शरीर के किसी अन्य बिंदु के लिए भी ऐसा ही परिणाम प्राप्त किया जा सकता है। इसलिए, शरीर के किसी भी बिंदु की गति MCS के सापेक्ष उसकी घूर्णी गति के बराबर होती है:

,
,
, अर्थात। शरीर के बिंदुओं का वेग एमसीएस से उनकी दूरी के समानुपाती होता है।

एक सपाट आकृति के बिंदुओं के वेग को निर्धारित करने के लिए विचार की गई तीन विधियों से, यह देखा जा सकता है कि एमसीएस बेहतर है, क्योंकि यहां गति तुरंत निरपेक्ष मूल्य और एक घटक की दिशा दोनों में निर्धारित की जाती है। हालाँकि, इस पद्धति का उपयोग किया जा सकता है यदि हम जानते हैं या हम शरीर के लिए एमसीएस की स्थिति निर्धारित कर सकते हैं।

एमसीएस की स्थिति का निर्धारण

1. यदि हम शरीर की दी गई स्थिति के लिए शरीर के दो बिंदुओं के वेगों की दिशा जानते हैं, तो एमसीसी इन वेग वैक्टरों के लंबवत के चौराहे का बिंदु होगा।

2. शरीर के दो बिंदुओं की गति प्रतिसमानांतर है (चित्र 65, ए). इस मामले में, वेगों का लंबवत् उभयनिष्ठ होगा, अर्थात। एमसीसी इसी लम्बवत् पर कहीं स्थित है। एमसीसी की स्थिति निर्धारित करने के लिए, वेग वैक्टर के सिरों को जोड़ना आवश्यक है। लम्ब के साथ इस रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु वांछित MCS होगा। इस मामले में, एमसीएस इन दो बिंदुओं के बीच स्थित है।

3. पिंड के दो बिंदुओं की गति समानांतर हैं, लेकिन परिमाण में समान नहीं हैं (चित्र 65, बी). एमडीएस प्राप्त करने की प्रक्रिया पैराग्राफ 2 में वर्णित प्रक्रिया के समान है।

d) दो बिंदुओं की गति परिमाण और दिशा दोनों में समान है (चित्र 65, वी). हमें तात्कालिक अनुवादात्मक गति का मामला मिलता है, जिसमें शरीर के सभी बिंदुओं की गति समान होती है। इसलिए, इस स्थिति में शरीर का कोणीय वेग शून्य है:

4. एक निश्चित सतह पर फिसले बिना घूमने वाले पहिये के लिए एमसीसी को परिभाषित करें (चित्र 65, जी). चूँकि गति बिना फिसलन के होती है, तो सतह के साथ पहिया के संपर्क के बिंदु पर, गति समान और शून्य के बराबर होगी, क्योंकि सतह स्थिर है। इसलिए, एक निश्चित सतह के साथ पहिये का संपर्क बिंदु एमसीसी होगा।

एक समतल आकृति के बिंदुओं के त्वरण का निर्धारण

एक सपाट आकृति के बिंदुओं के त्वरण का निर्धारण करते समय, वेग निर्धारित करने के तरीकों के साथ एक सादृश्य का पता लगाया जा सकता है।

1. ध्रुव विधि. जैसे वेग निर्धारित करने में, हम ध्रुव के रूप में शरीर का एक मनमाना बिंदु लेते हैं, जिसका त्वरण हम जानते हैं, या हम इसे निर्धारित कर सकते हैं। तब किसी समतल आकृति के किसी भी बिंदु का त्वरण ध्रुव के त्वरण और इस ध्रुव के चारों ओर घूर्णी गति में त्वरण के योग के बराबर होता है:

उसी समय, घटक
किसी बिंदु का त्वरण निर्धारित करता है जैसे यह ध्रुव के चारों ओर घूमता है . घूमते समय, बिंदु का प्रक्षेपवक्र वक्ररेखीय होगा, जिसका अर्थ है
(चित्र 66)।

तब निर्भरता (58) का रूप ले लेती है
. (59)

निर्भरता (51) और (52) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं
,
.

2. त्वरण का तात्क्षणिक केंद्र।

त्वरित त्वरण केंद्र(MCC) एक बिंदु है जिसका त्वरण किसी निश्चित समय पर शून्य होता है।

आइए हम दिखाएं कि ऐसा बिंदु किसी भी समय मौजूद होता है। हम एक बिंदु को ध्रुव के रूप में लेते हैं , जिसका त्वरण
हम जानते हैं। एक कोण ढूँढना , भीतर पड़ा हुआ
, और शर्त को संतुष्ट करना
. अगर
, वह
और इसके विपरीत, यानी कोना दिशा में जमा किया जाता है . बिंदु से अलग रख दें एक कोण पर वेक्टर के लिए
रेखा खंड
(चित्र 67)। ऐसे निर्माणों से प्राप्त बिंदु
एमसीयू होगा.

दरअसल, एक बिंदु का त्वरण
त्वरणों के योग के बराबर
डंडे और त्वरण
ध्रुव के चारों ओर घूर्णन में :
.

,
. तब
. दूसरी ओर, त्वरण
खंड की दिशा के साथ बनता है
कोना
, जो शर्त को पूरा करता है
. ऋण चिह्न को कोण की स्पर्शरेखा के सामने रखा जाता है , रोटेशन के बाद से
ध्रुव के सापेक्ष वामावर्त, और कोण
दक्षिणावर्त दिशा में जमा किया जाता है। तब
.

इस तरह,
और तब
.

एमसीसी निर्धारित करने के विशेष मामले

1.
. तब
, और, इसलिए, MCU मौजूद नहीं है। इस मामले में, शरीर आगे बढ़ता है, अर्थात। शरीर के सभी बिंदुओं के वेग और त्वरण समान हैं।

2.
. तब
,
. इसका मतलब यह है कि एमसीयू शरीर के बिंदुओं के त्वरण की कार्रवाई की रेखाओं के चौराहे पर स्थित है (चित्र 68, ए).

3.
. तब,
,
. इसका मतलब यह है कि एमसीसी शरीर के बिंदुओं के त्वरण के लंबवत के चौराहे पर स्थित है (चित्र 68, बी).

4.
. तब
,

. इसका मतलब यह है कि एमसीयू एक कोण पर शरीर के बिंदुओं के त्वरण की ओर खींची गई किरणों के प्रतिच्छेदन पर स्थित है (अंजीर.68, वी).

विचारित विशेष मामलों से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं: अगर हम बात को समझें
प्रति ध्रुव, तो एक सपाट आकृति के किसी भी बिंदु का त्वरण एमसीसी के चारों ओर घूर्णी गति में त्वरण द्वारा निर्धारित किया जाता है:

. (60)

जटिल बिंदु आंदोलनगति उस गति को कहते हैं जिसमें एक बिंदु एक साथ दो या दो से अधिक गतियों में भाग लेता है। इस तरह के आंदोलन के साथ, बिंदु की स्थिति मोबाइल के सापेक्ष और निश्चित संदर्भ प्रणालियों के सापेक्ष निर्धारित की जाती है।

गतिशील संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष किसी बिंदु की गति को कहा जाता है किसी बिंदु की सापेक्ष गति . आइए हम सापेक्ष गति के मापदंडों को निरूपित करें
.

गतिमान संदर्भ फ्रेम के उस बिंदु की गति, जिसके साथ गतिमान बिंदु निश्चित संदर्भ फ्रेम के संबंध में एक निश्चित क्षण में मेल खाता है, कहलाती है बिंदु आंदोलन . आइए पोर्टेबल गति के मापदंडों को निरूपित करें
.

किसी निश्चित संदर्भ तंत्र के सापेक्ष किसी बिंदु की गति को कहा जाता है निरपेक्ष (जटिल) बिंदु आंदोलन . आइए हम निरपेक्ष गति के मापदंडों को निरूपित करें
.

एक जटिल गति के उदाहरण के रूप में, हम एक चलती गाड़ी (ट्राम) में एक व्यक्ति की गति पर विचार कर सकते हैं। इस मामले में, किसी व्यक्ति की गति एक चलती समन्वय प्रणाली - एक ट्राम और एक निश्चित समन्वय प्रणाली - पृथ्वी (सड़क) से संबंधित है। फिर, उपरोक्त परिभाषाओं के आधार पर, ट्राम के सापेक्ष किसी व्यक्ति की गति सापेक्ष होती है, जमीन के सापेक्ष ट्राम के साथ गति आलंकारिक होती है, और जमीन के सापेक्ष किसी व्यक्ति की गति निरपेक्ष होती है।

हम बिंदु की स्थिति निर्धारित करेंगे
त्रिज्या - गतिमान के सापेक्ष सदिश
और गतिहीन
समन्वय प्रणाली (चित्र 69)। आइए हम संकेतन का परिचय दें: - बिंदु की स्थिति को परिभाषित करने वाला त्रिज्या वेक्टर
गतिमान समन्वय प्रणाली के सापेक्ष
,
;- त्रिज्या वेक्टर जो गतिमान समन्वय प्रणाली (अंक) की उत्पत्ति की स्थिति निर्धारित करता है ) (अंक );- त्रिज्या - एक वेक्टर जो एक बिंदु की स्थिति को परिभाषित करता है
निश्चित समन्वय प्रणाली के सापेक्ष
;
,.

आइए सापेक्ष, आलंकारिक और निरपेक्ष गतियों के अनुरूप स्थितियाँ (प्रतिबंध) प्राप्त करें।

1. सापेक्ष गति पर विचार करते समय, हम मान लेंगे कि बिंदु
गतिमान समन्वय प्रणाली के सापेक्ष गति करता है
, और स्वयं गतिशील समन्वय प्रणाली
निश्चित समन्वय प्रणाली के सापेक्ष
हिलता नहीं.

फिर बिंदु के निर्देशांक
सापेक्ष गति में परिवर्तन होगा, और गतिमान समन्वय प्रणाली के ऑर्थो-वेक्टर दिशा में नहीं बदलेंगे:

,

,

.

2. पोर्टेबल गति पर विचार करते समय, हम मान लेंगे कि बिंदु के निर्देशांक
चलती समन्वय प्रणाली के संबंध में तय कर रहे हैं, और बिंदु चलती समन्वय प्रणाली के साथ चलता है
अपेक्षाकृत स्थिर
:

,

,

,.

3. निरपेक्ष गति के साथ बिंदु भी अपेक्षाकृत गति करता है
और समन्वय प्रणाली के साथ
अपेक्षाकृत स्थिर
:

तब (27) को ध्यान में रखते हुए, वेगों के लिए व्यंजकों का रूप होता है

,
,

इन निर्भरताओं की तुलना करने पर, हमें पूर्ण गति के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:
. (61)

हमने एक जटिल गति में एक बिंदु के वेगों के योग पर एक प्रमेय प्राप्त किया है: किसी बिंदु की पूर्ण गति गति के सापेक्ष और पोर्टेबल घटकों के ज्यामितीय योग के बराबर होती है।

निर्भरता (31) का उपयोग करके, हम त्वरण के लिए व्यंजक प्राप्त करते हैं:

,

इन निर्भरताओं की तुलना करने पर, हमें पूर्ण त्वरण के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:
.

यह पाया गया कि एक बिंदु का पूर्ण त्वरण त्वरण के सापेक्ष और पोर्टेबल घटकों के ज्यामितीय योग के बराबर नहीं है। आइए हम पूर्ण त्वरण के घटक को परिभाषित करें, जो विशेष मामलों के लिए कोष्ठक में है।

1. बिंदु का अनुवादात्मक आंदोलन
. इस मामले में, गतिमान समन्वय प्रणाली की कुल्हाड़ियाँ
फिर, हर समय अपने समानांतर चलें।

,

,

,
,
,
, तब
. अंततः हम पाते हैं

. (62)

यदि बिंदु की पोर्टेबल गति अनुवादात्मक है, तो बिंदु का पूर्ण त्वरण त्वरण के सापेक्ष और पोर्टेबल घटकों के ज्यामितीय योग के बराबर है।

2. बिंदु की पोर्टेबल गति गैर-अनुवादात्मक है। तो, इस मामले में, चलती समन्वय प्रणाली
कोणीय वेग के साथ घूर्णन के तात्कालिक अक्ष के चारों ओर घूमता है (चित्र 70)। वेक्टर के अंत में बिंदु को निरूपित करें के माध्यम से . फिर, (15) निर्दिष्ट करने की वेक्टर विधि का उपयोग करके, हम इस बिंदु का वेग वेक्टर प्राप्त करते हैं
.

दूसरी ओर,
. इन सदिश समानताओं के सही भागों की बराबरी करने पर, हमें मिलता है:
. इसी तरह आगे बढ़ते हुए, शेष सदिश सदिशों के लिए, हम पाते हैं:
,
.

सामान्य स्थिति में, किसी बिंदु का पूर्ण त्वरण त्वरण के सापेक्ष और पोर्टेबल घटकों के ज्यामितीय योग के साथ-साथ रैखिक वेग के वेक्टर द्वारा पोर्टेबल आंदोलन के कोणीय वेग के वेक्टर के वेक्टर उत्पाद के दोगुने के बराबर होता है। सापेक्ष गति.

सापेक्ष गति के रैखिक वेग के वेक्टर द्वारा पोर्टेबल गति के कोणीय वेग के वेक्टर के दोगुने वेक्टर उत्पाद को कहा जाता है कोरिओलिस त्वरण और निरूपित किया गया

. (64)

कोरिओलिस त्वरण पोर्टेबल गति में सापेक्ष गति में परिवर्तन और सापेक्ष गति में पोर्टेबल गति में परिवर्तन को दर्शाता है।

अग्रेषित
वेक्टर उत्पाद नियम के अनुसार. कोरिओलिस त्वरण वेक्टर हमेशा वैक्टर द्वारा गठित विमान के लंबवत निर्देशित होता है और , ताकि, वेक्टर के अंत से देख सकें
, बारी देखें को , सबसे छोटे कोण से, वामावर्त।

कोरिओलिस त्वरण मापांक बराबर है।

यह लेख भौतिकी के एक महत्वपूर्ण खंड - "गतिकी और घूर्णी गति की गतिशीलता" का वर्णन करता है।

घूर्णी गति की गतिकी की बुनियादी अवधारणाएँ

किसी निश्चित अक्ष के चारों ओर किसी भौतिक बिंदु की घूर्णी गति एक ऐसी गति है, जिसका प्रक्षेप पथ अक्ष के लंबवत समतल में स्थित एक वृत्त है, और इसका केंद्र घूर्णन अक्ष पर स्थित होता है।

किसी कठोर पिंड की घूर्णी गति एक ऐसी गति है जिसमें पिंड के सभी बिंदु किसी भौतिक बिंदु की घूर्णी गति के नियम के अनुसार संकेंद्रित (जिनके केंद्र एक ही अक्ष पर स्थित होते हैं) वृत्तों के साथ चलते हैं।

मान लीजिए कि एक मनमाना कठोर पिंड T अक्ष O के चारों ओर घूमता है, जो आकृति के तल के लंबवत है। आइए दिए गए पिंड पर एक बिंदु M चुनें। घूर्णन के दौरान, यह बिंदु त्रिज्या के साथ O अक्ष के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करेगा आर.

कुछ समय बाद, त्रिज्या अपनी मूल स्थिति के सापेक्ष एक कोण Δφ से घूमेगी।

दाएँ पेंच की दिशा (घड़ी की दिशा में) को घूर्णन की सकारात्मक दिशा के रूप में लिया जाता है। समय के साथ घूर्णन कोण में परिवर्तन को किसी कठोर पिंड की घूर्णी गति का समीकरण कहा जाता है:

φ = φ(t).

यदि φ को रेडियन में मापा जाता है (1 रेड एक चाप के अनुरूप कोण है जिसकी लंबाई उसकी त्रिज्या के बराबर है), तो वृत्ताकार चाप ΔS की लंबाई, जिसे भौतिक बिंदु M समय Δt में पार करेगा, बराबर है:

∆S = ∆φr.

एकसमान घूर्णी गति की गतिकी के मुख्य तत्व

अल्प समय में किसी भौतिक बिंदु की गति का माप डीटीएक प्राथमिक घूर्णन वेक्टर के रूप में कार्य करता है dφ.

किसी भौतिक बिंदु या पिंड का कोणीय वेग एक भौतिक मात्रा है, जो प्राथमिक घूर्णन वेक्टर के इस घूर्णन की अवधि के अनुपात से निर्धारित होता है। वेक्टर की दिशा O अक्ष के अनुदिश दाएँ पेंच के नियम द्वारा निर्धारित की जा सकती है। अदिश रूप में:

ω = dφ/dt.

अगर ω = dφ/dt = const,तो ऐसी गति को एकसमान घूर्णी गति कहा जाता है। इससे कोणीय वेग सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

ω = φ/t.

प्रारंभिक सूत्र के अनुसार कोणीय वेग का आयाम

[ω] = 1 रेड/सेकेंड।

किसी पिंड की एकसमान घूर्णी गति को घूर्णन की अवधि द्वारा वर्णित किया जा सकता है। घूर्णन अवधि T एक भौतिक मात्रा है जो उस समय को निर्धारित करती है जिसके दौरान घूर्णन अक्ष के चारों ओर पिंड एक पूर्ण क्रांति करता है ([T] = 1 s)। यदि कोणीय वेग के सूत्र में हम t = T, φ = 2 π (त्रिज्या r की पूरी एक परिक्रमा) लेते हैं, तो

ω = 2π/टी,

इसलिए, रोटेशन अवधि को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

टी = 2π/ω.

किसी पिंड द्वारा प्रति इकाई समय में किए गए चक्करों की संख्या को घूर्णन आवृत्ति ν कहा जाता है, जो इसके बराबर है:

ν = 1/टी.

आवृत्ति इकाइयाँ: [ν] = 1 / सी = 1 सी -1 = 1 हर्ट्ज।

कोणीय वेग और घूर्णन आवृत्ति के सूत्रों की तुलना करने पर, हमें इन मात्राओं से संबंधित एक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:

ω = 2πν.

गैर-समान घूर्णी गति की गतिकी के मुख्य तत्व

किसी कठोर पिंड या किसी निश्चित अक्ष के चारों ओर किसी भौतिक बिंदु की असमान घूर्णी गति उसके कोणीय वेग की विशेषता होती है, जो समय के साथ बदलती रहती है।

वेक्टर ε कोणीय वेग में परिवर्तन की दर को दर्शाने को कोणीय त्वरण वेक्टर कहा जाता है:

ε = dω/dt.

यदि शरीर घूमता है, तेजी लाता है, अर्थात dω/dt > 0, वेक्टर की अक्ष के अनुदिश दिशा ω के समान होती है।

यदि घूर्णी गति धीमी हो जाए - dω/dt< 0 , तो सदिश ε और ω विपरीत दिशा में निर्देशित हैं।

टिप्पणी. जब एक असमान घूर्णी गति होती है, तो वेक्टर ω न केवल परिमाण में, बल्कि दिशा में भी बदल सकता है (जब घूर्णन अक्ष घूमता है)।

स्थानान्तरणीय और घूर्णी गति की विशेषता बताने वाली मात्राओं के बीच संबंध

यह ज्ञात है कि चाप की लंबाई त्रिज्या के घूर्णन कोण और उसके मान के संबंध से संबंधित है

∆S = ∆φr.

फिर एक घूर्णी गति करने वाले भौतिक बिंदु का रैखिक वेग

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

किसी भौतिक बिंदु का सामान्य त्वरण जो घूर्णी रूपान्तरणीय गति करता है, उसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

ए = υ 2 /आर = ω 2 आर 2 /आर.

तो, अदिश रूप में

ए = ω 2 आर.

स्पर्शरेखा त्वरित सामग्री बिंदु जो घूर्णी गति करता है

ए = εr.

किसी भौतिक बिंदु का कोणीय क्षण

द्रव्यमान m i वाले किसी भौतिक बिंदु के प्रक्षेपवक्र के त्रिज्या-वेक्टर और उसके संवेग के वेक्टर उत्पाद को घूर्णन अक्ष के बारे में इस बिंदु का कोणीय संवेग कहा जाता है। वेक्टर की दिशा सही पेंच नियम का उपयोग करके निर्धारित की जा सकती है।

किसी भौतिक बिंदु का कोणीय क्षण ( एल मैं) को r i और υ i के माध्यम से खींचे गए विमान के लंबवत निर्देशित किया जाता है, और उनके साथ वैक्टर का सही त्रिक बनाता है (अर्थात, जब वेक्टर के अंत से आगे बढ़ता है आर मैंको υ मैं दायां पेंच वेक्टर की दिशा दिखाऊंगा एलमैं)।

अदिश रूप में

एल = एम आई υ आई आर आई पाप(υ आई , आर आई).

यह ध्यान में रखते हुए कि किसी वृत्त में घूमते समय, त्रिज्या वेक्टर और i-वें भौतिक बिंदु के लिए रैखिक वेग वेक्टर परस्पर लंबवत होते हैं,

पाप(υ मैं , आर मैं) = 1.

तो घूर्णी गति के लिए किसी भौतिक बिंदु का कोणीय संवेग रूप लेगा

एल = एम आई υ आई आर आई .

i-वें भौतिक बिंदु पर कार्य करने वाले बल का क्षण

त्रिज्या-वेक्टर का वेक्टर उत्पाद, जो बल के अनुप्रयोग के बिंदु पर खींचा जाता है, और इस बल को घूर्णन अक्ष के सापेक्ष i-वें भौतिक बिंदु पर कार्य करने वाले बल का क्षण कहा जाता है।

अदिश रूप में

एम आई = आर आई एफ आई सिन(आर आई , एफ आई).

ध्यान में रख कर आर मैं पापα = मैं मैं ,एम आई = एल आई एफ आई।

कीमत एलघूर्णन बिंदु से बल की दिशा पर डाले गए लंब की लंबाई के बराबर, बल की भुजा कहलाती है एफ मैं.

घूर्णी गतिकी

घूर्णी गति की गतिशीलता के लिए समीकरण इस प्रकार लिखा गया है:

एम = डीएल/डीटी.

कानून का सूत्रीकरण इस प्रकार है: एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले शरीर के कोणीय गति में परिवर्तन की दर शरीर पर लागू सभी बाहरी बलों के इस अक्ष के बारे में परिणामी क्षण के बराबर होती है।

संवेग का क्षण और जड़ता का क्षण

यह ज्ञात है कि i-वें भौतिक बिंदु के लिए अदिश रूप में कोणीय गति सूत्र द्वारा दी गई है

एल आई = एम आई υ आई आर आई।

यदि हम रैखिक वेग के स्थान पर इसकी अभिव्यक्ति को कोणीय वेग के रूप में प्रतिस्थापित करें:

υ मैं = ωr मैं ,

तब कोणीय संवेग का व्यंजक रूप लेगा

एल आई = एम आई आर आई 2 ω.

कीमत मैं मैं = मैं मैं 2किसी पूर्णतः कठोर पिंड के द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाले i-वें भौतिक बिंदु की धुरी के परितः जड़त्व आघूर्ण कहलाता है। फिर हम भौतिक बिंदु का कोणीय संवेग लिखते हैं:

एल मैं = मैं मैं ω.

हम एक बिल्कुल कठोर पिंड के कोणीय संवेग को इस पिंड को बनाने वाले भौतिक बिंदुओं के कोणीय संवेग के योग के रूप में लिखते हैं:

एल = मैंω.

बल का क्षण और जड़ता का क्षण

घूर्णन का नियम कहता है:

एम = डीएल/डीटी.

यह ज्ञात है कि किसी पिंड के कोणीय संवेग को जड़त्व आघूर्ण के रूप में दर्शाया जा सकता है:

एल = मैंω.

एम = आईडीω/डीटी।

यह मानते हुए कि कोणीय त्वरण अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है

ε = dω/dt,

हम जड़ता के क्षण के माध्यम से दर्शाए गए बल के क्षण के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

एम = यानी.

टिप्पणी।बल का क्षण सकारात्मक माना जाता है यदि कोणीय त्वरण जिसके कारण यह उत्पन्न होता है शून्य से अधिक है, और इसके विपरीत।

स्टीनर का प्रमेय. जड़ता के क्षणों को जोड़ने का नियम

यदि पिंड का घूर्णन अक्ष उसके द्रव्यमान केंद्र से होकर नहीं गुजरता है, तो स्टीनर के प्रमेय का उपयोग करके इस अक्ष के सापेक्ष इसकी जड़ता का क्षण पाया जा सकता है:
मैं = मैं 0 + मा 2,

कहाँ मैं 0- शरीर की जड़ता का प्रारंभिक क्षण; एम- शरीर का भार; ए- धुरों के बीच की दूरी.

यदि सिस्टम जो निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है, उसमें शामिल है एनपिंड, तो इस प्रकार की प्रणाली की जड़ता का कुल क्षण उसके घटकों के क्षणों के योग (जड़ता के क्षणों के योग का नियम) के बराबर होगा।

घुमानेवालावे ऐसी गति कहते हैं जिसमें शरीर से जुड़े दो बिंदु और इन बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा गति के दौरान गतिहीन रहती है (चित्र 2.16)। स्थिर रेखा ए बीबुलाया अक्ष।

चावल। 2.1बी. शरीर की घूर्णी गति की परिभाषा के लिए

घूर्णी गति के दौरान पिंड की स्थिति घूर्णन के कोण φ, रेड को निर्धारित करती है (चित्र 2.16 देखें)। चलते समय, घूर्णन का कोण समय के साथ बदलता है, अर्थात। किसी पिंड की घूर्णी गति के नियम को निश्चित अर्ध-तल के बीच डायहेड्रल कोण Φ = φ(/) के मान के समय में परिवर्तन के नियम के रूप में परिभाषित किया गया है। को () ,घूर्णन की धुरी से गुज़रने वाला, और गतिशील पी 1शरीर से जुड़ा एक आधा तल और घूर्णन की धुरी से भी गुजर रहा है।

घूर्णी गति के दौरान शरीर के सभी बिंदुओं के प्रक्षेपवक्र घूर्णन की धुरी पर केंद्रों के साथ समानांतर विमानों में स्थित संकेंद्रित वृत्त होते हैं।

शरीर की घूर्णी गति की गतिक विशेषताएँ। इसी तरह एक बिंदु के लिए गतिज विशेषताओं को कैसे पेश किया गया था, एक गतिज अवधारणा पेश की गई है जो फ़ंक्शन एफ (सी) के परिवर्तन की दर को दर्शाती है, जो घूर्णी गति के दौरान शरीर की स्थिति निर्धारित करती है, अर्थात। कोणीय वेग ω = φ = s/f/s//, कोणीय वेग आयाम [ω] = रेड /साथ।

तकनीकी गणना में, कोणीय वेग की अभिव्यक्ति का उपयोग अक्सर एक अलग आयाम के साथ किया जाता है - प्रति मिनट क्रांतियों की संख्या के माध्यम से: [i] = आरपीएम, और के बीच संबंध पीऔर w को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: w = 27sh/60 = 7sh/30।

सामान्य तौर पर, कोणीय वेग समय के साथ बदलता रहता है। कोणीय वेग के परिवर्तन की दर का माप कोणीय त्वरण e = c/co/c//= co = f है, कोणीय त्वरण का आयाम [e] = rad/s 2 है।

शुरू की गई कोणीय गतिक विशेषताएँ पूरी तरह से एक फ़ंक्शन - समय से घूर्णन के कोण - को सेट करके निर्धारित की जाती हैं।

घूर्णी गति के दौरान शरीर के बिंदुओं की गतिज विशेषताएँ। एक बिंदु पर विचार करें एमपिंड घूर्णन अक्ष से दूरी p पर स्थित है। यह बिंदु त्रिज्या p के एक वृत्त के अनुदिश गति करता है (चित्र 2.17)।

चावल। 2.17.

घूर्णन के दौरान शरीर के बिंदु

वक्राकार लंबाई एम क्यू एमत्रिज्या p के वृत्त को इस प्रकार परिभाषित किया गया है एस= पीटीपी, जहां φ घूर्णन का कोण है, रेड। यदि पिंड की गति का नियम φ = φ(r) के रूप में दिया गया है, तो बिंदु की गति का नियम एमप्रक्षेपवक्र के साथ सूत्र परिभाषित करता है एस= आरएफ(7).

किसी बिंदु की गति को निर्दिष्ट करने के प्राकृतिक तरीके के साथ गतिज विशेषताओं की अभिव्यक्तियों का उपयोग करते हुए, हम एक घूमते हुए पिंड के बिंदुओं के लिए गतिज विशेषताएँ प्राप्त करते हैं: सूत्र के अनुसार गति (2.6)

वी= 5 = आरएफ = पीसीओ; (2.22)

अभिव्यक्ति के अनुसार स्पर्शरेखीय त्वरण (2.12)

i t \u003d K \u003d Wor \u003d ep; (2.23)

सूत्र के अनुसार सामान्य त्वरण (2.13)

ए„=और 2 / पी = सीओ 2 पी 2 / पी = ओजीआर; (2.24)

अभिव्यक्ति का उपयोग करके पूर्ण त्वरण (2.15)

ए = -]ए + ए] =पीएक्स/ई 2 + सीओ 4। (2.25)

पूर्ण त्वरण की दिशा की विशेषता के रूप में, पी लिया जाता है - बिंदु द्वारा वर्णित वृत्त की त्रिज्या से पूर्ण त्वरण वेक्टर के विचलन का कोण (छवि 2.18)।

अंजीर से. 2.18 हमें मिलता है

tgjLi = अजान= पुनः / पीसीओ 2 = जी / (ओ 2. (2.26)

चावल। 2.18.

ध्यान दें कि घूमते हुए पिंड के बिंदुओं की सभी गतिक विशेषताएँ घूर्णन अक्ष की दूरियों के समानुपाती होती हैं। वे-

उनके मुखौटे एक ही फ़ंक्शन के डेरिवेटिव के माध्यम से निर्धारित होते हैं - रोटेशन का कोण।

कोणीय और रैखिक गतिज विशेषताओं के लिए वेक्टर अभिव्यक्तियाँ। एक घूर्णन पिंड की कोणीय गतिक विशेषताओं के विश्लेषणात्मक विवरण के लिए, घूर्णन की धुरी के साथ, अवधारणा पेश की गई है घूर्णन कोण वेक्टर(चित्र 2.19): φ = φ(/)ए:, जहां को- जाना

घूर्णन अक्ष का वेक्टर

1; को= con51 .

वेक्टर φ को इस अक्ष के अनुदिश निर्देशित किया गया है ताकि इसे "अंत" से देखा जा सके

वामावर्त रोटेशन।

चावल। 2.19.

सदिश रूप में विशेषताएँ

यदि वेक्टर φ(/) ज्ञात है, तो घूर्णी गति की अन्य सभी कोणीय विशेषताओं को वेक्टर रूप में दर्शाया जा सकता है:

• कोणीय वेग वेक्टर ω = φ = φ को।कोणीय वेग वेक्टर की दिशा घूर्णन कोण के व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करती है;
• कोणीय त्वरण वेक्टर є = ω = φ को।इस वेक्टर की दिशा कोणीय वेग के व्युत्पन्न का संकेत निर्धारित करती है।

प्रस्तुत वैक्टर सह और є बिंदुओं की गतिज विशेषताओं के लिए वेक्टर अभिव्यक्ति प्राप्त करना संभव बनाते हैं (चित्र 2.19 देखें)।

ध्यान दें कि बिंदु वेग वेक्टर का मापांक कोणीय वेग वेक्टर और त्रिज्या वेक्टर के वेक्टर उत्पाद के मापांक के साथ मेल खाता है: |cox जी= सोग्विपा = सोर. वेक्टर ω और r की दिशाओं और क्रॉस उत्पाद की दिशा के नियम को देखते हुए, हम वेग वेक्टर के लिए एक अभिव्यक्ति लिख सकते हैं:

वी= सह xg.

वैसे ही ये दिखाना भी आसान है

• ? एक्स
• - उदाहरण: बिपा= єр = परऔर

सोसर = सीओ पी = आई.

(इसके अलावा, इन गतिज विशेषताओं के सदिश संबंधित सदिश उत्पादों के साथ दिशा में मेल खाते हैं।

इसलिए, स्पर्शरेखा और सामान्य त्वरण के वैक्टर को वेक्टर उत्पादों के रूप में दर्शाया जा सकता है:

• (2.28)
• (2.29)

ए एक्स = जेडएक्स जी

ए= सह एक्स वी

और सेवेलिव।

शरीर की अनुवादात्मक गति (ई. एम. निकितिन द्वारा पाठ्यपुस्तक में § 60) के साथ, इसके सभी बिंदु एक ही प्रक्षेपवक्र के साथ चलते हैं और किसी भी समय उनकी समान गति और समान त्वरण होता है।

इसलिए, शरीर की अनुवादात्मक गति किसी एक बिंदु की गति से निर्धारित होती है, आमतौर पर गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की गति से।

किसी भी समस्या में कार (समस्या 147) या डीजल लोकोमोटिव (समस्या 141) की गति पर विचार करते हुए, हम वास्तव में उनके गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों की गति पर विचार करते हैं।

किसी पिंड की घूर्णी गति (ई. एम. निकितिन, § 61) को उसके किसी भी बिंदु की गति से नहीं पहचाना जा सकता है। गति की प्रक्रिया में किसी भी घूमने वाले पिंड (डीजल फ्लाईव्हील, इलेक्ट्रिक मोटर रोटर, मशीन स्पिंडल, पंखे के ब्लेड, आदि) की धुरी आसपास के स्थिर पिंडों के सापेक्ष अंतरिक्ष में एक ही स्थान पर रहती है।

किसी भौतिक बिंदु की गति या आगे बढ़नासमय के आधार पर शरीरों की विशेषता बताई जाती है रैखिक मात्राएँ s (पथ, दूरी), v (गति) और a (त्वरण) इसके घटकों a t और a n के साथ।

घूर्णी गतिसमय के आधार पर शरीर की विशेषताएँ बताई जाती हैं कोणीय मान: φ (रेडियन में घूर्णन कोण), ω (रेड/एस में कोणीय वेग) और ε (रेड/एस 2 में कोणीय त्वरण)।

किसी पिंड की घूर्णी गति का नियम समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाता है
φ = एफ(टी).

कोणीय वेग- शरीर के घूर्णन की गति को दर्शाने वाला मान, सामान्य मामले में समय के संबंध में घूर्णन के कोण के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है
ω \u003d dφ / dt \u003d f "(t)।

कोणीय त्वरण- कोणीय वेग के परिवर्तन की दर को दर्शाने वाले मान को कोणीय वेग के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है
ε = dω/dt = f"" (t).

किसी पिंड की घूर्णी गति की समस्याओं को हल करना शुरू करते समय, यह ध्यान में रखना चाहिए कि तकनीकी गणना और समस्याओं में, एक नियम के रूप में, कोणीय विस्थापन रेडियंस φ में नहीं, बल्कि क्रांतियों φ रेव में व्यक्त किया जाता है।

इसलिए, क्रांतियों की संख्या से कोणीय विस्थापन के रेडियन माप पर स्विच करने में सक्षम होना आवश्यक है और इसके विपरीत।

चूँकि एक पूर्ण क्रांति 2π रेड से मेल खाती है
φ = 2πφ रेव और φ रेव = φ/(2π)।

तकनीकी गणना में कोणीय वेग को अक्सर प्रति मिनट उत्पन्न क्रांतियों (आरपीएम) में मापा जाता है, इसलिए यह स्पष्ट रूप से समझा जाना चाहिए कि ω रेड / एस और एन आरपीएम एक ही अवधारणा को व्यक्त करते हैं - शरीर के घूमने की गति (कोणीय वेग), लेकिन विभिन्न इकाइयों में - रेड/सेकंड में या आरपीएम में।

कोणीय वेग की एक इकाई से दूसरी इकाई में संक्रमण सूत्रों के अनुसार किया जाता है
ω = πn/30 और n = 30ω/π.

पिंड की घूर्णी गति के दौरान, इसके सभी बिंदु वृत्तों के अनुदिश गति करते हैं, जिनके केंद्र एक निश्चित सीधी रेखा (घूर्णन पिंड की धुरी) पर स्थित होते हैं। इस अध्याय में दी गई समस्याओं को हल करते समय शरीर की घूर्णी गति को दर्शाने वाली कोणीय मात्राओं φ, ω और ε और गति को दर्शाने वाली रैखिक मात्राओं s, v, t और an के बीच संबंध को स्पष्ट रूप से समझना बहुत महत्वपूर्ण है। इस शरीर के विभिन्न बिंदु (चित्र 205)।

यदि R, घूमते हुए पिंड के ज्यामितीय अक्ष से किसी बिंदु A (चित्र 205 R = OA) की दूरी है, तो φ - पिंड के घूर्णन का कोण और s - के बिंदु द्वारा तय की गई दूरी के बीच संबंध है एक ही समय में शरीर को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
एस = φआर.

किसी भी क्षण किसी पिंड के कोणीय वेग और किसी बिंदु के वेग के बीच संबंध समानता द्वारा व्यक्त किया जाता है
वी = ωआर.

किसी बिंदु का स्पर्शरेखीय त्वरण कोणीय त्वरण पर निर्भर करता है और सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है
ए टी = εR.

किसी बिंदु का सामान्य त्वरण पिंड के कोणीय वेग पर निर्भर करता है और निर्भरता से निर्धारित होता है
ए एन = ω 2 आर.

इस अध्याय में दी गई समस्या को हल करते समय यह स्पष्ट रूप से समझना आवश्यक है कि घूर्णन एक कठोर पिंड की गति है, किसी बिंदु की नहीं। एक भी भौतिक बिंदु घूमता नहीं है, बल्कि एक वृत्त में घूमता है - यह एक वक्रीय गति करता है।

§ 33. एकसमान घूर्णी गति

यदि कोणीय वेग ω=const है, तो घूर्णी गति को एकसमान गति कहा जाता है।

एकसमान घूर्णन के समीकरण का रूप है
φ = φ 0 + ωt.

किसी विशेष मामले में, जब घूर्णन का प्रारंभिक कोण φ 0 =0,
φ = ωt.

एक समान रूप से घूमने वाले पिंड का कोणीय वेग
ω = φ/t
इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है:
ω = 2π/टी,
जहां टी शरीर की घूर्णन अवधि है; φ=2π - एक अवधि के लिए घूर्णन कोण।

§ 34. समान रूप से परिवर्तनशील घूर्णी गति

परिवर्तनशील कोणीय वेग के साथ घूर्णी गति को गैर-समान कहा जाता है (नीचे § 35 देखें)। यदि कोणीय त्वरण ε=स्थिरांक हो, तो घूर्णन गति कहलाती है समान रूप से परिवर्तनशील. इस प्रकार, शरीर का समान रूप से परिवर्तनशील घूर्णन गैर-समान घूर्णी गति का एक विशेष मामला है।

समान-चर घूर्णन समीकरण
(1) φ = φ 0 + ω 0 t + εt 2/2
और किसी भी समय पिंड के कोणीय वेग को व्यक्त करने वाला एक समीकरण,
(2) ω = ω 0 + εt
शरीर की घूर्णी एकसमान गति के लिए बुनियादी सूत्रों के एक सेट का प्रतिनिधित्व करते हैं।

इन सूत्रों में केवल छह मात्राएँ शामिल हैं: इस समस्या के लिए तीन स्थिरांक φ 0, ω 0 और ε और तीन चर φ, ω और t। इसलिए, समान रूप से परिवर्तनीय रोटेशन के लिए प्रत्येक समस्या की स्थिति में कम से कम चार दिए गए मान होने चाहिए।

कुछ समस्याओं को हल करने की सुविधा के लिए, दो और सहायक सूत्र प्राप्त करने के लिए समीकरण (1) और (2) का उपयोग किया जा सकता है।

आइए हम (1) और (2) से कोणीय त्वरण ε को हटा दें:
(3) φ = φ 0 + (ω + ω 0)t/2.

आइए हम (1) और (2) से समय t हटा दें:
(4) φ = φ 0 + (ω 2 - ω 0 2)/(2ε).

समान रूप से त्वरित घूर्णन के विशेष मामले में, जो आराम की स्थिति से शुरू हुआ, φ 0 =0 और ω 0 =0। इसलिए, उपरोक्त मुख्य और सहायक सूत्र निम्नलिखित रूप लेते हैं:
(5) φ = εt 2/2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω 2 /(2ε).

§ 35. असमान घूर्णी गति

किसी समस्या को हल करने के एक उदाहरण पर विचार करें जिसमें किसी पिंड की गैर-समान घूर्णी गति दी गई है।