पेंडुलम दोलन सूत्र की जड़ता का क्षण। पेंडुलम की जड़ता के क्षण को मापना

दोलन विधि द्वारा पिंडों की जड़ता के क्षण का निर्धारण

एक भौतिक पेंडुलम एक कठोर पिंड है जो अपने द्रव्यमान केंद्र के ऊपर स्थित अक्ष के चारों ओर दोलन करने में सक्षम है। यह "डिवाइस" बहुत उपयोगी साबित होती है। इसलिए, इसकी मदद से, गुरुत्वाकर्षण का त्वरण बहुत सरलता से और बड़ी सटीकता के साथ निर्धारित किया जाता है। इसके अलावा, एक भौतिक पेंडुलम आपको विभिन्न ठोस निकायों की जड़ता के क्षणों को निर्धारित करने की अनुमति देता है।

एक अक्ष के चारों ओर एक पेंडुलम के छोटे दोलन विपरीत दिशाओं में इसके छोटे घूर्णन हैं, इसलिए भौतिक पेंडुलम के दोलनों को समझने के लिए घूर्णन के यांत्रिकी को समझना है। घूर्णन की यांत्रिकी का स्थानांतरीय गति की यांत्रिकी के साथ घनिष्ठ सादृश्य है। सादृश्य यांत्रिकी की बुनियादी अवधारणाओं, उसके विचारों और कानूनों में प्रकट होता है, और परिणामस्वरूप - सूत्रों और समीकरणों में, जिसे आसानी से "उपमाओं की तालिका" के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जिसे दृढ़ता से समझा जाना चाहिए:

I. किनेमेटिक्स

अनुवाद संबंधी गति घूर्णी गति

द्वितीय. गतिकी

गतिकी का मूल नियम (गति का समीकरण)

ए=एफ/एम

ε =एम/आई जेड

हम देखते हैं कि जटिल नामों वाली तीन नई मात्राएँ घूर्णन की गतिशीलता में प्रकट हुई हैं: बल का क्षण, जड़ता का क्षण, आवेग का क्षण (उर्फ कोनेदार गति उर्फ घूर्णी आवेग !). ऐसे नामों को लेकर पाठक को सिरदर्द न हो; वे विदेशी भाषाओं से अनुवाद की अपर्याप्तता के साथ, पिछली शताब्दियों की शब्दावली संबंधी गलतफहमियों के परिणामस्वरूप प्रकट हुए; इन नामों के अर्थ में गहराई से जाना पूरी तरह से बेकार है। आपको बस उन्हें याद रखने की जरूरत है।आवेग के क्षण में, यह ग़लतफ़हमी अधिकतम तक पहुँच जाती है - तीन नामों तक। सौभाग्य से, उनमें से एक सभ्य निकला - घूर्णी आवेग , जो बस अनुवादात्मक गति के संगत परिमाण - साधारण आवेग के अनुरूप है।

आइए हम बल के क्षण की व्याख्या करें एमऔर जड़ता का क्षण इज़ .

शक्ति का क्षण. आइए एक अक्ष पर स्थिर एक कठोर पिंड लें। आइए हम किसी बिंदु पर इस पर बल लगाएं और बल की क्रिया रेखा को घूर्णन अक्ष को काटने दें। ऐसा बल या तो घूर्णन की धुरी को मोड़ देगा या शरीर के साथ-साथ धुरी को उसकी मजबूती से अलग कर देगा, इससे अधिक कुछ नहीं।

आइए प्रयोग को थोड़ा बदलें - आइए समान बल की क्रिया रेखा को अक्ष से कुछ दूरी पर स्थानांतरित करें एल. प्रभाव तुरंत महसूस होगा: शरीर आसानी से मुड़ना शुरू कर देगा। बल ने शरीर को मोड़ने की क्षमता हासिल कर ली। यह किसी बल की मुड़ने की क्षमता को "बल का क्षण" कहा जाता है . रोज़मर्रा का अनुभव हमें बताता है कि किसी बल की किसी पिंड को मोड़ने की क्षमता न केवल ताकत पर निर्भर करती है, बल्कि "" पर भी निर्भर करती है। ताकत का कंधा" एल(बल की क्रिया रेखा से घूर्णन अक्ष तक की न्यूनतम दूरी)। अंततः बल के क्षण का परिमाण बल और भुजा के गुणनफल के बराबर होता है:

अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण. जैसा कि पहले ही "उपमाओं की तालिका" में उल्लेख किया गया है, निष्क्रियता के पल (चतुर नाम पर ध्यान न दें!) - घूर्णन के दौरान किसी पिंड की जड़ता को दर्शाने वाली मात्रा। आइए दो शीर्षों पर विचार करें जो आकार और आकार में पूरी तरह से समान हैं, लेकिन स्पष्ट रूप से भिन्न द्रव्यमान, जैसे एल्यूमीनियम और सीसा, के साथ। हम आसानी से पाएंगे कि एल्युमीनियम टॉप को एक निश्चित गति तक घुमाना (और फिर उसे रोकना भी!) लेड टॉप की तुलना में बहुत आसान है। इसका मतलब यह है कि घूर्णन के दौरान किसी पिंड की जड़ता उसके द्रव्यमान के समानुपाती होती है।

इसके अलावा, अगर हमें किसी भी शीर्ष को बहुत अधिक समतल करने, उसके द्रव्यमान के एक महत्वपूर्ण हिस्से को घूर्णन की धुरी से यथासंभव दूर ले जाने, उसे एक डिस्क में बदलने का अवसर मिला, तो हमें तुरंत पता चलेगा कि इसे घुमाना काफी कठिन हो गया है ( और इसे रोकें), जब यह कॉम्पैक्ट था तब की तुलना में। इसका मतलब यह है कि घूर्णन के दौरान किसी पिंड की जड़ता न केवल द्रव्यमान पर निर्भर करती है, बल्कि घूर्णन की धुरी से उसके हिस्सों के हटने की डिग्री पर भी निर्भर करती है।

z अक्ष के सापेक्ष दूरी r पर स्थित द्रव्यमान m के एक भौतिक बिंदु की जड़ता का क्षण(चावल . 1), घूर्णन अक्ष से दूरी के वर्ग द्वारा इसके द्रव्यमान के गुणनफल के बराबर एक मात्रा है

मैं z = श्री 2(2)

किसी मनमाने पिंड का जड़त्व आघूर्ण क्या है (चित्र 2)? अनुभव से पता चलता है कि यह उन हिस्सों की जड़ता के क्षणों के योग के बराबर है जिनमें किसी भी शरीर को विभाजित किया जा सकता है। उल्लेखनीय है कि जड़त्व आघूर्ण का परिमाण संपूर्ण को भागों में विभाजित करने की विधि पर निर्भर नहीं करता (इस गुण को योगात्मकता कहा जाता है; यह प्रयोगशाला कार्य के परिणामों की जाँच के लिए हमारे लिए उपयोगी है)। शरीर को बहुत छोटे, लगभग बिंदु द्रव्यमानों में तोड़ना डीएम आई, जिनमें से प्रत्येक घूर्णन अक्ष से कुछ दूरी पर स्थित है आर मैं, जड़ता के क्षण की संवेदनशीलता और परिभाषा (2) को ध्यान में रखते हुए इज़भौतिक बिंदु, हम सामान्य अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं अक्ष के सापेक्ष एक मनमाने पिंड की जड़ता का क्षणजेडभौतिक बिंदुओं की जड़ता के क्षणों के योग के रूप में जिसमें शरीर विभाजित है:

(3)

जब सीमा पर डीएम आईसख्ती से भौतिक बिंदुओं में परिवर्तित हो जाते हैं, योग (3) को शरीर की मात्रा पर एक अभिन्न तक कम कर दिया जाता है, और सरल (नियमित) आकार के निकायों के लिए इसकी सटीक गणना की जाती है (नियमित आकार के निकायों की जड़ता के क्षणों की तालिका हो सकती है) सामान्य भौतिकी पर संदर्भ पुस्तकों और पाठ्यपुस्तकों में पाया जाता है)। आइए निष्कर्ष में एक उपयोगी सूत्र पर ध्यान दें, जिसे स्टीनर के प्रमेय के रूप में जाना जाता है, जो किसी को एक मनमाना अक्ष के सापेक्ष किसी पिंड की जड़ता के क्षण को खोजने की अनुमति देता है। जेड, यदि शरीर की जड़ता का क्षण ज्ञात हो मैं सीजड़त्व के केंद्र से गुजरने वाली एक धुरी के बारे में सी (द्रव्यमान का केंद्र उर्फ, गुरुत्वाकर्षण का केंद्र उर्फ) और इस अक्ष के समानांतर:

मैं z =मैं सी+ मा 2, (4)

यहाँ एम- शरीर का भार, ए– अक्षों के बीच की दूरी.

अब हम एक भौतिक लोलक के दोलनों पर विचार करने के लिए तैयार हैं (चित्र 3)। यदि आप इसे एक छोटे कोण से संतुलन स्थिति से विचलित करते हैं φ और अपने आप पर छोड़ दिया जाए, तो यह "छोटे" कंपन बनाना शुरू कर देगा। दोलनों का वर्णन करने के लिए हम भौतिक समस्याओं को हल करने की मुख्य विधियों में से एक का उपयोग करेंगे - गति के समीकरण की विधि.

घूर्णी गतिकी में गति का समीकरण पहले से ही "उपमाओं की तालिका" में लिखा हुआ है; यह घूर्णन गतिकी के मूल नियम को दर्शाता है: यदि कोई बाहरी बल किसी पिंड पर कार्य करता है, जिससे बल का क्षण उत्पन्न होता है, तो शरीर घूमता है, और इसका कोणीय त्वरण बल के क्षण के समानुपाती होता है और इसकी जड़ता के क्षण के व्युत्क्रमानुपाती होता है:

(5)

हम मान लेंगे कि गुरुत्वाकर्षण, हमारी समस्या का एकमात्र बल, पेंडुलम के द्रव्यमान के केंद्र पर लागू होता है (यह तकनीक सैद्धांतिक यांत्रिकी में सख्ती से उचित है)। यह बल घूर्णन अक्ष के सापेक्ष एक क्षण के बराबर बनाता है

एम = -पीएल = - पा पापφ = - एमजीए पापφ ≈ - एमजीएφ(6)

यहां यह ध्यान में रखा गया है कि पेंडुलम के छोटे विचलन के लिए, कोण की ज्या को उसके तर्क (रेडियन में व्यक्त) से बदला जा सकता है पापφ ≈φ. ऋण चिह्न इंगित करता है कि जब पेंडुलम को वामावर्त कोण φ द्वारा विक्षेपित किया जाता है, तो गुरुत्वाकर्षण का एक क्षण उत्पन्न होता है जो पेंडुलम को दक्षिणावर्त घुमाता है, अर्थात। इसे संतुलन स्थिति में लौटाएँ।

समीकरण (5) में वांछित मात्रा इज़. यह कोणीय त्वरण को समझने के लिए बना हुआ है। विक्षेपण कोण φ (कोणीय पथ!) समय पर निर्भर करता है, और कोणीय त्वरण हमेशा समय के संबंध में कोणीय पथ का दूसरा व्युत्पन्न होता है ("उपमाओं की तालिका" देखें)।

प्रयोगशाला कार्य संख्या 1.2 के लिए पद्धति संबंधी निर्देश

किसी भौतिक की जड़ता के क्षण का निर्धारण

लंगर

कार्य का उद्देश्य: भौतिक पेंडुलम की जड़ता के क्षण को निर्धारित करना और घूर्णन की धुरी के सापेक्ष पेंडुलम के द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति पर जड़ता के क्षण की निर्भरता का अध्ययन करना।

उपकरण और सहायक उपकरण: ब्रैकेट पर भौतिक पेंडुलम, स्टॉपवॉच, स्टैंड पर प्रिज्म, स्केल रूलर।

सिद्धांत के तत्व

किसी स्थिर स्थिति (संतुलन स्थिति) के सापेक्ष किसी पिंड का आवधिक विस्थापन कहलाता हैदोलनशील गतिया सरल कंपन. सामान्य तौर पर दोलन संबंधी गतिविधियां जटिल शारीरिक प्रक्रियाओं का प्रतिनिधित्व करती हैं। कंपन का अध्ययन कई व्यावहारिक विषयों (ध्वनिकी, मशीन सिद्धांत, भूकंप विज्ञान, आदि) के आधार के रूप में कार्य करता है।

दोलन का सबसे सरल प्रकार हार्मोनिक दोलन गति है। किसी पिंड का हार्मोनिक कंपन तब होता है जब उस पर कोई बल लगाया जाता है जो विस्थापन के समानुपाती होता है, अर्थात।. इस बल को अर्ध-लोचदार या पुनर्स्थापन कहा जाता है। पुनर्स्थापना बल की प्रकृति भिन्न हो सकती है (लोचदार बल, गुरुत्वाकर्षण, आदि) हार्मोनिक गति के साथ, पथ की निर्भरता (विस्थापन)) समय से साइन या कोसाइन फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त:

कहाँ संतुलन स्थिति (आयाम) से शरीर का अधिकतम विस्थापन,

वृत्ताकार या चक्रीय आवृत्ति,

एक पूर्ण दोलन का समय (अवधि),

दोलन का प्रारंभिक चरण.

हार्मोनिक दोलन करने वाले शरीर का त्वरण विस्थापन के समानुपाती होता है और हमेशा संतुलन की ओर निर्देशित होता है, अर्थात। समय ऑफसेट के प्रत्येक क्षण के लिएऔर त्वरण विपरीत संकेत हैं:

. (1)

यदि ऊर्ध्वाधर स्थिति (संतुलन स्थिति) से विचलन के कोण छोटे हैं, तो गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव के तहत पेंडुलम द्वारा हार्मोनिक दोलन किए जाते हैं।

पेंडुलम सरल या जटिल हो सकते हैं। एक लंबे धागे पर लटका हुआ छोटा पिंड (भौतिक बिंदु), जिसके तनाव और वजन की उपेक्षा की जा सकती है, सरल या कहलाता हैगणितीय पेंडुलम. मनमाना आकार का एक ठोस पिंड, एक क्षैतिज अक्ष पर स्थिर होता है जो गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से नहीं गुजरता है, एक जटिल याभौतिक पेंडुलम.

किसी भी ठोस पिंड को द्रव्यमान के साथ निरंतर जुड़े भौतिक बिंदुओं के संग्रह के रूप में माना जा सकता है, , . . ., , इसलिए एक भौतिक पेंडुलम की जड़ता के क्षण को उसके सभी भौतिक बिंदुओं की जड़ता के क्षणों के योग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

, (2)

जहां आर उनमें से प्रत्येक से घूर्णन अक्ष की दूरी।

व्यवहार में, सूत्र (2) का उपयोग करना संभव नहीं है, इसलिए, भौतिक पेंडुलम की जड़ता के क्षण को निर्धारित करने के लिए, हम घूर्णी गति की गतिशीलता के नियम का उपयोग करके इसके दोलनों का वर्णन करेंगे।

भौतिक पेंडुलम पर दो बल कार्य करते हैं: पेंडुलम के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र (बिंदु) पर लागू गुरुत्वाकर्षण बल), और समर्थन प्रतिक्रिया बल उस बिंदु पर लगाया जाता है जहां पेंडुलम जुड़ा होता है, जहां रोटेशन की धुरी गुजरती है।

जब एक भौतिक लोलक अपनी संतुलन स्थिति से एक कोण से विचलित हो जाता है(चित्र 1) गुरुत्वाकर्षण एक टॉर्क बनाएगा, जिसके प्रभाव में कंपन शुरू हो जाएगा।

चावल। 1

गुरुत्वाकर्षण का क्षण कोणीय त्वरण निर्धारित करता है.

यदि हम घूर्णन अक्ष से दूरी को निरूपित करते हैंगुरुत्वाकर्षण के केंद्र तकके माध्यम से , फिर गुरुत्वाकर्षण का क्षणइस प्रकार व्यक्त किया जाएगा:

या छोटे कोणों पर

, (3)

कहाँ गुरुत्वाकर्षण भुजा,पेंडुलम द्रव्यमान, किसी पिंड के मुक्त रूप से गिरने का त्वरण। "-" को बल के क्षण की पुनर्स्थापना प्रकृति द्वारा समझाया गया है। यह पेंडुलम के विक्षेपण कोण के विपरीत दिशा में निर्देशित होता है।

जब एक पेंडुलम दोलन करता है, तो इसका गुरुत्वाकर्षण केंद्र एक वृत्त के चाप के साथ चलता है, इसलिए इसकी गति को घूर्णी गति की गतिशीलता के नियम का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। इसे इस रूप में लिखा जाएगा:

, (4)

कहाँ घूर्णन की धुरी के बारे में शरीर की जड़ता का क्षण.

समीकरण (4) में मान प्रतिस्थापित करना(3) और इसे कोणीय त्वरण के संबंध में हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं

, (5)

समीकरण (5) समीकरण (1) से केवल इस मायने में भिन्न है कि इसमें रैखिक के बजाय कोणीय मात्राएँ शामिल हैं।

समीकरण (1) और (5) की तुलना से यह निष्कर्ष निकलता हैया , जिससे हमें भौतिक लोलक के दोलन की अवधि का सूत्र प्राप्त होता है:

. (6)

एक भौतिक पेंडुलम (5) के दोलन की अवधि के सूत्र से हम इसकी जड़ता का क्षण पाते हैं:

, (7)

कहाँ पेंडुलम के दोलन की अवधि.

यह अभिव्यक्ति एक भौतिक पेंडुलम की जड़ता के क्षण को निर्धारित करने के लिए एक गणना सूत्र है।

प्रायोगिक विधि और स्थापना का विवरण

इस कार्य में भौतिक पेंडुलम में एक स्टील की छड़ O होती हैडी , जिस पर एक विशाल बेलनाकार शरीर बी स्क्रू से जुड़ा हुआ है (चित्र 2)। जब समर्थन स्क्रू जारी किए जाते हैं, तो बॉडी बी को रॉड के साथ ले जाया जा सकता है और इसलिए, पेंडुलम के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति बदल जाती है।

पेंडुलम को निलंबित करने के लिए, एक विशेष ब्रैकेट का उपयोग करें जिस बिंदु पर पेंडुलम को निलंबित कर दिया गया है.

चावल। 2

चावल। 3

पेंडुलम के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र ज्ञात करने के लिए (बिंदु)) एक विशेष प्रिज्म है जो एक स्थिर स्टैंड (कुर्सी के किनारे) पर लगा होता है। पेंडुलम को इस प्रिज्म के किनारे पर क्षैतिज रूप से रखा गया है और संतुलन को देखते हुए, एक स्थिति पाई जाती है जिसमें पेंडुलम के दाएं और बाएं हिस्सों पर अभिनय करने वाले गुरुत्वाकर्षण के क्षण बराबर होंगे (चित्र 3)। इस स्थिति में, पेंडुलम का गुरुत्वाकर्षण केंद्र आधार के विपरीत छड़ में स्थित होगा। दूरीस्केल बार का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है।

कार्य के निष्पादन की प्रक्रिया

1. पेंडुलम (छड़ और भार) का कुल द्रव्यमान किलोग्राम में निर्धारित करें।
2. भार बी को मजबूत करना छड़ी के अंत में, किसी समर्थन पर एक बिंदु की स्थिति निर्धारित करेंऔर दूरी मापेंआर स्केल शासक.
3. पेंडुलम को ब्रैकेट पर लटकाकर, इसे एक छोटे कोण से संतुलन स्थिति से विक्षेपित करें (छड़ का अंत 6-8 सेमी की दूरी पर पीछे हट जाता है) और इसे छोड़ दें। 3-4 पूर्ण घुमावों को छोड़ने के बाद, स्टॉपवॉच को उस समय चालू करें जब पेंडुलम अपने अधिकतम विचलन तक पहुंच जाए। समय निर्धारित करेंपेंडुलम के 3050 पूर्ण घुमाव ().
4. पैराग्राफ 3 में वर्णित ऑपरेशन को 3 बार दोहराएं और प्राप्त आंकड़ों का उपयोग करके, पेंडुलम के दोलन की अवधि का औसत मूल्य निर्धारित करेंभार की किसी निश्चित स्थिति पर।
5. भार को छड़ के अनुदिश ले जाएँ6-7 सेमी तक और वर्णित निर्धारण कार्यों को दोहराएंऔर भार की एक नई स्थिति परबी।
6. यदि माप के साथ भार की ऐसी गति 3-5 बार की जाती है तो कार्य समाप्त हो जाता है।
7. प्राप्त प्रायोगिक डेटा को सूत्र (7) में प्रतिस्थापित किया जाता है और पेंडुलम की जड़ता के क्षणों की गणना रोटेशन के अक्ष से गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की विभिन्न दूरी पर इकाइयों की एसआई प्रणाली में की जाती है।
8. माप और गणना के परिणाम तालिका में दर्ज किए गए हैं:

	किलोग्राम					किग्रा मी 2	किग्रा मी 2	किग्रा मी 2	किग्रा मी 2
	किलोग्राम					किग्रा मी 2	किग्रा मी 2	किग्रा मी 2	किग्रा मी 2
	किलोग्राम					किग्रा मी 2	किग्रा मी 2	किग्रा मी 2	किग्रा मी 2

1. जड़ता के क्षणों के परिणाम मानक रूप में (अंतराल के रूप में) दर्ज किए जाते हैं।
2. तालिका के परिणामों के आधार पर, एक भौतिक पेंडुलम की जड़ता के क्षण की उसके गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति पर निर्भरता के बारे में निष्कर्ष निकाला जाता है।

नियंत्रण प्रश्न

1. किस कंपन को मुक्त कहा जाता है?
2. किस कंपन को हार्मोनिक कहा जाता है?
3. मुक्त हार्मोनिक दोलनों का समीकरण लिखिए।
4. दोलनों की आवृत्ति, उनकी अवधि और आयाम क्या है?
5. हार्मोनिक दोलनों की कौन सी विशेषताएँ समय के साथ नहीं बदलती हैं?
6. दोलनों की कौन सी विशेषताएँ समय के हार्मोनिक कार्य हैं?
7. किसी भौतिक बिंदु की जड़ता के क्षण और किसी पिंड की जड़ता के क्षण को परिभाषित करें।
8. भौतिक पेंडुलम को परिभाषित करें। किसी भौतिक लोलक का जड़त्व आघूर्ण छड़ पर बेलन की स्थिति पर कैसे निर्भर करता है?
9. मुझे 2 दो! बल के क्षण का निर्धारण (गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से घूर्णन अक्ष तक की दूरी और बल की भुजा के माध्यम से)। बल के क्षण की दिशा कैसे निर्धारित करें?
10. घूर्णी गति के लिए गतिशीलता का मूल नियम लिखिएपाना स्पष्टीकरण के साथ एक भौतिक पेंडुलम के दोलन की अवधि के लिए सूत्र(अतिरिक्त साहित्य का उपयोग करें)।

कार्य का लक्ष्य:अनुवादात्मक और घूर्णी गति की गतिशीलता के नियमों का अध्ययन, मैक्सवेल पेंडुलम की जड़ता के क्षण का प्रयोगात्मक निर्धारण।

उपकरण और सहायक उपकरण:मैक्सवेल पेंडुलम, विनिमेय रिंग, इलेक्ट्रिक मिलीसेकंड घड़ी, मिलीमीटर स्केल।

प्रायोगिक पद्धति एवं तकनीक

मैक्सवेल का पेंडुलम एक विशाल डिस्क या पहिया है, जिसकी धुरी के सिरों पर दो डोरियाँ जुड़ी होती हैं; इन डोरियों के सिरों द्वारा लोलक को सहारे से लटकाया जाता है।

यदि डोरियों को धुरी के चारों ओर घुमाया जाए और फिर पेंडुलम को छोड़ दिया जाए, तो गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में डोरियां खुल जाएंगी और पेंडुलम त्वरण के साथ गिर जाएगा ए. निम्नतम स्थिति में गिरने के बाद, जिसमें डोरियाँ पूरी तरह से खुल जाती हैं, पहिया जड़ता से उसी दिशा में घूमेगा, धुरी के चारों ओर डोरियाँ घाव हो जाएंगी, जिसके परिणामस्वरूप पेंडुलम ऊपर उठ जाएगा।

आइए मैक्सवेल के पेंडुलम की गति का वर्णन करने के लिए गतिशीलता और गतिक समीकरणों के नियमों को लागू करें। पेंडुलम दो गतियों में शामिल होता है: त्वरण के साथ द्रव्यमान के केंद्र की सीधी गति एऔर द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर कोणीय त्वरण ई के साथ घूर्णी गति। गुरुत्वाकर्षण बल लोलक पर कार्य करता है एमजीऔर धागा तनाव टी.

द्रव्यमान के केंद्र की गति के समीकरण के अनुसार, जो न्यूटन के दूसरे नियम से मेल खाता है, हमारे पास है:

. (1)

पेंडुलम धागे के तनाव बल के प्रभाव में एक घूर्णी गति करता है टी. फ्लाईव्हील पर लागू गुरुत्वाकर्षण का क्षण शून्य है, क्योंकि इस बल की क्रिया रेखा घूर्णन अक्ष से होकर गुजरती है। आइए हम घूर्णी गति की गतिशीलता के मूल नियम को लागू करें:

कहाँ जे- पेंडुलम की जड़ता का क्षण, ई - इसका कोणीय त्वरण, - बल का क्षण टी, - शाफ़्ट त्रिज्या, डी- शाफ्ट परिधि।

पेंडुलम का त्वरण संबंध द्वारा कोणीय त्वरण से संबंधित है

समान रूप से त्वरित गति के साथ

आइए जड़त्व आघूर्ण के संबंध में समीकरणों (1) - (4) की प्रणाली को हल करें।

(3) से हम व्यक्त करते हैं, (1) से और (2) में स्थानापन्न करें:

,

जहां से पहिये की जड़ता का क्षण अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है:

इस पर विचार करते हुए कि (4) और के अनुसार, हम अंततः प्राप्त करते हैं:

(5)

इस कार्य में उपयोग किए गए इंस्टॉलेशन में एक लंबवत स्टैंड होता है जहां दो ब्रैकेट जुड़े होते हैं: ऊपरी 1 और निचला 2. ऊपरी ब्रैकेट एक इलेक्ट्रोमैग्नेट और बाइफ़िलर सस्पेंशन 4 को जोड़ने के लिए एक डिवाइस 3 से सुसज्जित है। पेंडुलम एक डिस्क 5 है जिस पर माउंट किया गया है एक अक्ष 6 बाइफ़िलर निलंबन निलंबन पर निलंबित है

बदली जाने योग्य रिंग 7 डिस्क 5 से जुड़ी होती हैं। बदली जाने वाली रिंग वाला पेंडुलम एक इलेक्ट्रोमैग्नेट का उपयोग करके ऊपरी प्रारंभिक स्थिति में तय किया जाता है। ऊर्ध्वाधर स्टैंड 8 पर 0 - 420 मिमी की सीमा के साथ एक मिलीमीटर स्केल है। फोटोसेंसर 9 एक डिजिटल टाइम डिस्प्ले के साथ मिलीसेकंड घड़ी 10 में विद्युत संकेतों को आउटपुट करता है।

कार्य - आदेश

1. काम के लिए लोलक तैयार करें। ऐसा करने के लिए, बाइफ़िलर सस्पेंशन की आवश्यक लंबाई निर्धारित करने के लिए डिवाइस 3 का उपयोग करें ताकि बदली जाने योग्य पेंडुलम रिंग का कटा हुआ किनारा फोटोसेंसर 9 के ऑप्टिकल अक्ष से 4-5 मिमी नीचे हो।

इस मामले में, पेंडुलम की धुरी को क्षैतिज स्थिति लेनी चाहिए।

2. फोटोसेंसर को मिलीसेकंड घड़ी पर इनपुट कनेक्टर से कनेक्ट करें।

3. ऑपरेशन के लिए मिलीसेकंड घड़ी तैयार करें:

मिलीसेकंड घड़ी के पावर कॉर्ड में प्लग लगाएं;

मिलीसेकंड घड़ी के सामने पैनल पर नेटवर्क बटन दबाएं, और डिजिटल संकेतक और फोटोइलेक्ट्रिक सेंसर लाइट जलनी चाहिए;

मिलीसेकंड घड़ी के फ्रंट पैनल पर रीसेट बटन दबाएं।

4. पेंडुलम को घुमाएं और विद्युत चुम्बक का उपयोग करके इसे ऊपरी स्थिति में स्थिर करें। यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि धागा धुरी के चारों ओर बारी-बारी से घाव करता रहे।

5. मिलीसेकंड घड़ी पर START बटन दबाएँ। इस मामले में, विद्युत चुंबक और पेंडुलम डी-एनर्जेटिक हो जाते हैं, पेंडुलम चलना शुरू हो जाता है और उलटी गिनती शुरू हो जाती है। जिस समय पेंडुलम फोटोसेंसर के ऑप्टिकल अक्ष को पार करता है, समय की गिनती बंद हो जाती है।

6. समय निर्धारित करें टीमिलीसेकंड घड़ी का उपयोग करके पेंडुलम की गति।

7. मिलीमीटर पैमाने पर, ब्रैकेट 2 के संकेतक का उपयोग करके, पेंडुलम द्वारा तय की गई दूरी निर्धारित करें एच.

8. गिरावट की ऊंचाई को बदले बिना एक ही रिंग के साथ पांच प्रयोग करें।

माप तालिका

एम, जी	डी, मिमी	डी डी सी. मिमी	टी, साथ	डी टी सी, साथ	एच, सेमी	डी ज सी, सेमी	जीएम/एस 2

9. कैलीपर का उपयोग करके, एकल व्यास माप लें डीकुल्हाड़ियाँ

10. माप उपकरणों के माप परिणाम और त्रुटियां तालिका में दर्ज करें।

11. माप परिणामों का गणितीय प्रसंस्करण करें, पेंडुलम की जड़ता का क्षण ज्ञात करें जेऔर इसकी त्रुटि डी जे.

प्रश्नों पर नियंत्रण रखें

1. कठोर पिंड की गति के प्रकार. किस प्रकार के आंदोलन को ट्रांसलेशनल कहा जाता है? घूर्णी?

2. स्थानान्तरणीय और घूर्णी गति के दौरान कौन सी मात्राएँ जड़त्व का माप हैं? उन्हें परिभाषित करें.

3. स्टीनर का प्रमेय बताएं।

4. अनुवादात्मक और घूर्णी गति के दौरान कौन सी भौतिक राशियाँ प्रभाव का माप हैं?

5. अनुवादात्मक और घूर्णी गति की गतिशीलता के नियम तैयार करें।

6. अनुवादात्मक और घूर्णी गति के दौरान त्वरण। कोणीय त्वरण। रैखिक और कोणीय गतिक मात्राओं के बीच संबंध.

7. गणना सूत्र व्युत्पन्न करें.

संरक्षण कानून

लैब 3-1

मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी

रूसी संघ के रेलवे (MIIT)

भौतिकी विभाग-2

समूह____________________ को काम पर भर्ती कराया गया____________________

(तिथि, शिक्षक के हस्ताक्षर)

विद्यार्थी ____________________________ कार्य पूर्ण_____________________________

(छात्र का पूरा नाम) (तिथि, शिक्षक के हस्ताक्षर)

अध्यापक____ _ _________________ रिपोर्ट स्वीकृत________________________ (दिनांक, शिक्षक के हस्ताक्षर)

प्रयोगशाला कार्य रिपोर्ट संख्या_______ 5 ____

निःशुल्क कंपन का अध्ययन

भौतिक पेंडुलम

1. कार्य का लक्ष्य:

किसी भौतिक लोलक की जड़ता के क्षण का उसके छोटे दोलनों की अवधि और कम लंबाई से निर्धारण।

2. दीवार ब्रैकेट, भौतिक पेंडुलम के प्रिज्म का समर्थन करने के लिए पैड के साथ.

1 - प्रिज्म 1

2-प्रिज्म 2

3- तराजू से जुड़ा वजन

4 - गतिमान भार।

एम - ब्रैकेट

ए - शारीरिक लंगर

सी, डी - भार

बी1, बी2 - प्रिज्म

d1, d2 - द्रव्यमान के केंद्र से दूरी

3. इस कार्य के लिए बुनियादी सैद्धांतिक सिद्धांत(मौलिक कथन: सूत्र, योजनाबद्ध चित्र):

एक भौतिक पेंडुलम कोई भी पिंड है जो एक क्षैतिज अक्ष के चारों ओर गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में दोलन करता है जो शरीर की जड़ता के केंद्र से नहीं गुजरता है। एक गणितीय पेंडुलम का चयन करना हमेशा संभव होता है जो किसी दिए गए भौतिक पेंडुलम के साथ समकालिक होता है, अर्थात, एक गणितीय पेंडुलम जिसकी दोलन अवधि भौतिक पेंडुलम के दोलन की अवधि के बराबर होती है। ऐसे गणितीय लोलक की लंबाई को भौतिक लोलक की घटी हुई लंबाई कहा जाता है।

आइए हम एक भौतिक पेंडुलम के दोलन की अवधि के लिए सूत्र प्राप्त करें। चित्र में. 4 बिंदु O - घूर्णन के क्षैतिज अक्ष को दर्शाता है, बिंदु B - भौतिक पेंडुलम के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि गुरुत्वाकर्षण के एक समान क्षेत्र में शरीर की जड़ता का केंद्र और उसके गुरुत्वाकर्षण का केंद्र मेल खाता है।

घूर्णन की धुरी के सापेक्ष, गुरुत्वाकर्षण एक बलाघूर्ण बनाता है जो पेंडुलम को उसकी संतुलन स्थिति में लौटाता है। इस क्षण का संख्यात्मक मान संबंध द्वारा निर्धारित होता है

(1)

कहाँ एम- एक भौतिक पेंडुलम का द्रव्यमान, डी- घूर्णन अक्ष से लोलक के गुरुत्वाकर्षण केंद्र तक की न्यूनतम दूरी, पिंड का कोणीय विस्थापन है, जिसे संतुलन स्थिति से मापा जाता है। छोटे कोणीय विस्थापन पर घूर्णन की धुरी पर स्थित एक वेक्टर के रूप में माना जा सकता है, जिसकी दिशा संतुलन स्थिति से शरीर के घूर्णन की दिशा से दाएं पेंच नियम द्वारा निर्दिष्ट स्थिति से संबंधित होती है।

यह ध्यान में रखते हुए कि वेक्टर और प्रतिसमानांतर, घूर्णन की धुरी पर टोक़ और कोणीय विस्थापन के अनुमानों के मूल्यों को विपरीत संकेत दिए जाने चाहिए। तब सूत्र (1) रूप लेगा

. (1ए)

छोटे कोणों पर इसे लिया जा सकता है , यदि रेडियन में व्यक्त किया गया है, और सूत्र (1ए) निम्नानुसार लिखें

. (2)

हम एक निश्चित अक्ष के सापेक्ष किसी पिंड की घूर्णी गति की गतिशीलता के मूल नियम का उपयोग करते हैं, इसे घूर्णन की धुरी पर अनुमानों में लिखते हैं:

(3)

कहाँ जेघूर्णन अक्ष के सापेक्ष पिंड की जड़ता का क्षण है, और कोणीय त्वरण है, और .

सूत्र (2) से बल के क्षण को सूत्र (3) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें पेंडुलम की गति का समीकरण प्राप्त होता है

. (4)

स्थिर गुणांक वाले परिणामी दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का समाधान फॉर्म में लिखा जा सकता है

कहाँ , और और प्रारंभिक स्थितियों द्वारा निर्धारित स्थिरांक हैं।

मात्राएँ और क्रमशः दोलन का आयाम और चरण कहलाते हैं, और ए 0 -पहला भाग। समीकरण (5) हार्मोनिक दोलन गति और मात्रा का समीकरण है डब्ल्यू 0 दोलन की अपनी चक्रीय आवृत्ति। समय बीत जाने के बाद चरण बढ़ता है, और शरीर गति की दिशा बनाए रखते हुए अपनी मूल स्थिति में लौट आता है। परिमाण

टी 0 को दोलन की प्राकृतिक अवधि कहा जाता है। इस प्रकार, भौतिक लोलक के दोलन की अवधि सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है

(6)

यह ज्ञात है कि गणितीय पेंडुलम के दोलन की अवधि को इस रूप में लिखा जाता है

.

इस सूत्र की तुलना सूत्र (6) से करने पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि एक गणितीय पेंडुलम में दिए गए भौतिक पेंडुलम के समान दोलन अवधि होगी, यदि गणितीय पेंडुलम की लंबाई

. (7)

यह भौतिक लोलक की कम लंबाई का सूत्र है।

इस कार्य में प्रयुक्त उपकरण एक दीवार ब्रैकेट है जिस पर भौतिक पेंडुलम के सहायक प्रिज्म के लिए कुशन लगे होते हैं। एक गणितीय पेंडुलम को उसी ब्रैकेट पर लटका दिया जाता है, जिसकी लंबाई को संबंधित ड्रम पर धागा घुमाकर बदला जा सकता है। भौतिक लोलक एक बेलनाकार छड़ है (चित्र 5), जिस पर दो प्रिज्म 1 और 2 मजबूती से स्थिर हैं। छड़ में दाल के रूप में दो भारी वजन 3 और 4 भी हैं, जिनमें से एक (3) स्थिर है, और दूसरा पैमाने के साथ आगे बढ़ सकता है और वांछित स्थिति में सुरक्षित हो सकता है। सहायक प्रिज्मों के बीच की दूरी 0.730 मीटर है। पेंडुलम द्रव्यमान एम= 10.55 किग्रा (Δ एम=0.01 किग्रा).

जड़ता के क्षण का निर्धारण

भौतिक पेंडुलम

कार्य का लक्ष्य: भौतिक पेंडुलम से परिचित होना और घूर्णन अक्ष के सापेक्ष इसकी जड़ता के क्षण का निर्धारण। द्रव्यमान के स्थानिक वितरण पर एक पेंडुलम की जड़ता के क्षण की निर्भरता का अध्ययन।

उपकरण और सहायक उपकरण: निलंबन के लिए ब्रैकेट वाला एक भौतिक पेंडुलम, पेंडुलम के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति निर्धारित करने के लिए एक धातु प्रिज्म, एक स्टॉपवॉच।

सैद्धांतिक परिचय.

एक भौतिक पेंडुलम (चित्र 1) कोई कठोर पिंड है, जो गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में, एक निश्चित क्षैतिज अक्ष (O) के चारों ओर दोलन करता है जो इसके गुरुत्वाकर्षण के केंद्र (C) से नहीं गुजरता है। पेंडुलम का निलंबन बिंदु घूर्णन का केंद्र है।

चित्र .1। भौतिक पेंडुलम

जब लोलक संतुलन स्थिति से कोण  द्वारा विचलित होता है, तो गुरुत्वाकर्षण द्वारा निर्मित एक बल आघूर्ण उत्पन्न होता है:

,

कहाँ एल- निलंबन बिंदु और पेंडुलम के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के बीच की दूरी (ऋण चिह्न इस तथ्य के कारण है कि बल का क्षण एमइसकी ऐसी दिशा है कि यह पेंडुलम को संतुलन की स्थिति में लौटा देती है, अर्थात। कोण घटाएँ ).

छोटे विक्षेपण कोणों के लिए
, तब

(0)

दूसरी ओर, पुनर्स्थापना बल का क्षण इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(0)

मैं– पेंडुलम की जड़ता का क्षण

मैं- कोणीय त्वरण।

(1) और (2) से हम प्राप्त कर सकते हैं:

.

तय किया
(0)

हम पाते हैं
(4)

समीकरण (4) दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरण है। इसका समाधान अभिव्यक्ति है
.

समीकरण (3) को ध्यान में रखते हुए, भौतिक पेंडुलम के छोटे दोलनों की अवधि को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

, (5)

कहाँ
- भौतिक पेंडुलम की लंबाई कम हो गई

सूत्र (5) से हम घूर्णन अक्ष के सापेक्ष एक भौतिक लोलक की जड़ता के क्षण को व्यक्त कर सकते हैं

(6)

माप द्वारा पता लगाना एम, एलऔर टी, आप घूर्णन के दिए गए अक्ष के सापेक्ष एक भौतिक पेंडुलम की जड़ता के क्षण की गणना करने के लिए सूत्र (6) का उपयोग कर सकते हैं।

इस कार्य में, एक भौतिक पेंडुलम का उपयोग किया जाता है (चित्र 2), जो एक स्टील की छड़ है जिस पर दो विशाल स्टील दालें (ए 1 और ए 2) और निलंबन के लिए समर्थन प्रिज्म (पी 1 और पी 2) तय किए जाते हैं। ऐसे पेंडुलम की जड़ता का क्षण रॉड, दाल और प्रिज्म की जड़ता के क्षणों का योग होगा:

,

कहाँ मैं 0 - गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष छड़ की जड़ता का क्षण।

(7)

एम अनुसूचित जनजाति– छड़ का द्रव्यमान,

एल अनुसूचित जनजाति- छड़ की लंबाई,

डी- छड़ के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से निलंबन बिंदु तक की दूरी।

दालों और प्रिज्मों की जड़ता के क्षणों की गणना लगभग बिंदु द्रव्यमान के रूप में की जा सकती है। तब लोलक का जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार लिखा जाएगा:

कहाँ
- दाल ए 1 और ए 2 का द्रव्यमान,

- घूर्णन अक्ष (निलंबन बिंदु) से क्रमशः दाल ए 1 और ए 2 तक की दूरी,

- प्रिज्मों का द्रव्यमान पी 1 और पी 1,

- घूर्णन अक्ष से क्रमशः प्रिज्म पी 1 और पी 2 की दूरी।

क्योंकि कार्य की शर्तों के अनुसार केवल एक दाल A1 चलती है, तभी जड़त्व आघूर्ण बदलेगा और

(9)

स्थापना का विवरण.

इस कार्य में उपयोग किया जाने वाला भौतिक पेंडुलम (चित्र 2) एक स्टील रॉड (सी) है, जिस पर दो विशाल स्टील दालें (ए 1 और ए 2) और निलंबन के लिए सहायक प्रिज्म (पी 1 और पी 2) जुड़े हुए हैं। पेंडुलम एक ब्रैकेट पर लटका हुआ है।

किसी एक दाल को हिलाकर, आप निलंबन बिंदु (रोटेशन की धुरी) के सापेक्ष पेंडुलम की जड़ता के क्षण को बदल सकते हैं।

पेंडुलम के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र एक विशेष प्रिज्म के क्षैतिज किनारे पर पेंडुलम को संतुलित करके निर्धारित किया जाता है (चित्र 3)। पेंडुलम रॉड पर, हर 10 मिमी पर रिंग खांचे लगाए जाते हैं, जो रूलर की मदद के बिना गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से रोटेशन के अक्ष तक की दूरी को सटीक रूप से निर्धारित करने का काम करते हैं। दाल ए 1 को छड़ी के अनुदिश थोड़ा घुमाकर आप दूरी प्राप्त कर सकते हैं एलनिलंबन के बिंदु से गुरुत्वाकर्षण के केंद्र तक रॉड पर पैमाने पर मापी गई सेंटीमीटर की पूरी संख्या के बराबर थी।

कार्य का क्रम.

पेंडुलम के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति निर्धारित करें।

ए ) पेंडुलम को ब्रैकेट से हटा दें और इसे एक विशेष प्रिज्म पी 3 (चित्र 3) पर क्षैतिज स्थिति में स्थापित करें ताकि यह संतुलन में रहे। मसूर A 1 को थोड़ा सा हिलाने से सटीक संतुलन स्थिति प्राप्त होती है।

चित्र 3. पेंडुलम को संतुलित करना

बी) पेंडुलम पर पैमाने पर मापें एल - निलंबन बिंदु (प्रिज्म किनारा पी 1) से पेंडुलम के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र (प्रिज्म पी 3 का ऊपरी किनारा) तक की दूरी।

ग) पेंडुलम पैमाने का उपयोग करके दूरी मापें - निलंबन बिंदु (प्रिज्म किनारा पी 1) से ऊपरी लेंटिल ए 1 तक।

2. भौतिक पेंडुलम के दोलन की अवधि निर्धारित करें।

ए) ब्रैकेट पर प्रिज्म पी 1 के साथ पेंडुलम स्थापित करें (चित्र 2)

बी) पेंडुलम के पूरे 50 - 100 दोलनों का समय निर्धारित करें। रिकॉर्ड समय टी और संख्या एनपेंडुलम दोलन.

ग) सूत्र का उपयोग करके भौतिक पेंडुलम के दोलन की अवधि निर्धारित करें:

(10)

3. पेंडुलम को ब्रैकेट से हटा दें। दाल ए 1 को कुछ सेंटीमीटर नई स्थिति में ले जाएं और प्रयोग दोहराएं। निलंबन बिंदु के सापेक्ष मसूर ए 1 की कम से कम तीन अलग-अलग स्थितियों के लिए माप किया जाना चाहिए।

4. सूत्र (6) का उपयोग करके भौतिक लोलक के जड़त्व आघूर्ण की गणना करें मैं सेशन .

5. सूत्र का उपयोग करके विचार किए गए मामलों में से एक के लिए जड़ता के क्षण की सापेक्ष त्रुटि की गणना करें:

. (11)

मान  टी और  एलउपकरणों की सटीकता वर्ग द्वारा निर्धारित किया जाता है।

6. पूर्ण त्रुटि ज्ञात कीजिए
प्रत्येक मामले के लिए, सापेक्ष त्रुटि लेते हुए सभी मामलों के लिए समान.

अंतिम परिणाम को प्रपत्र में तालिका में लिखें

7. सूत्र (8) का उपयोग करके लोलक के जड़त्व आघूर्ण की गणना करें मैं लिखितहर अवसर के लिए.

8. प्राप्त परिणामों की तुलना करें मैं सेशन और मैं लिखित, अनुपात की गणना:

(12)

प्राप्त मूल्यों के बीच विसंगति कितनी बड़ी है और विसंगतियों के कारण क्या हैं, इसके बारे में निष्कर्ष निकालें।

माप और गणना के परिणाम

№ पी/पी					,	, किग्रा मी 2	मैं लिखित, किग्रा मी 2

प्रश्नों पर नियंत्रण रखें.

भौतिक पेंडुलम क्या है?

भौतिक लोलक की घटी हुई लंबाई कितनी होती है?

किस कंपन को हार्मोनिक कहा जाता है?

दोलन काल क्या है?

भौतिक पेंडुलम के दोलन की अवधि की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करें।

जड़ता का क्षण क्या है? जड़त्व क्षण की योज्यता क्या है?

भौतिक लोलक के जड़त्व आघूर्ण की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करें।

साहित्य

1. सेवलीव आई.वी. सामान्य भौतिकी का पाठ्यक्रम: पाठ्यपुस्तक। कॉलेजों के लिए मैनुअल: 3 खंडों में। टी.1: यांत्रिकी। आणविक भौतिकी. - तीसरा संस्करण, रेव। - एम.: नौका, 1986. - 432 पी.

2. डेटलाफ ए.ए., यावोर्स्की बी.एम. भौतिकी पाठ्यक्रम: पाठ्यपुस्तक। कॉलेजों के लिए भत्ता. - एम.: हायर स्कूल, 1989. - 607 पी। - विषय डिक्री: पी. 588-603.

3. भौतिकी में प्रयोगशाला कार्यशाला: प्रो. कॉलेज के छात्रों के लिए मैनुअल / बी. एफ. अलेक्सेव, के. ए. बारसुकोव, आई. ए. वोइटसेखोव्स्काया और अन्य; ईडी। के. ए. बारसुकोवा और यू. आई. उखानोवा। – एम.: उच्चतर. स्कूल, 1988. - 351 पी.: बीमार।