Esquemas en diferencias para problemas hiperbólicos. Métodos numéricos para resolver ecuaciones en derivadas parciales de tipo hiperbólico (usando como ejemplo la ecuación de transporte) El mejor esquema en diferencias para una ecuación de tipo hiperbólico

Considere el problema de Cauchy para una ecuación de la forma

en el que la tasa de transferencia v podría ser una función X. Para la ecuación (6.1), se puede proponer un conjunto de esquemas de diferencias que difieren en el orden de aproximación, la forma en que se representan las derivadas, etc. Primero detengámonos en los esquemas de diferencias explícitas, en los que cada ecuación del sistema contiene solo una cantidad desconocida)", lo que permite calcular secuencialmente los valores de la solución en una nueva capa de tiempo.

Se sabe que la propiedad más importante que deben tener los esquemas de diferencias explícitas es la estabilidad, la capacidad del esquema de no acumular perturbaciones computacionales. La estabilidad del esquema es un requisito necesario para asegurar la convergencia de la solución en diferencias a la solución exacta. Para una ecuación hiperbólica, el análisis de estabilidad generalmente se realiza con respecto a los datos iniciales en función del espectro de valores propios del operador de transición a una nueva capa de tiempo, en función de los cuales se seleccionan los esquemas de diferencias aceptables para los cálculos. Por lo tanto, el esquema de diferencias simétricas

tiene una condición de estabilidad muy estricta (t 2 vh) y no se usa para algoritmos prácticos. Esquemas de diferencia

son condicionalmente estables. Para asegurar su estabilidad es necesario, en primer lugar, cumplir la condición de Courant Friedrichs-Levy (CFL):

y en segundo lugar, el uso de diferencias contra la corriente, es decir. aplicación del esquema (6.3) para V> 0 y (6.4) para v0.

Esquema explícito con diferencias contra corriente. Si aplicamos selectivamente los dos esquemas anteriores, es decir, con v >> 0 esquema (6.3), y para v

será indiferente a la dirección de la velocidad y estable bajo la condición v/h^ 1. Es fácil ver que las diferencias unilaterales en este esquema se llevan hacia el flujo (se dice que el esquema tiene la propiedad mpanenopmuenoemu). Esquemas)" de este tipo se denominan contra el viento o esquema con diferencias contra corriente.

En el caso de una ecuación con una tasa de transferencia constante, no hay problemas para construir un esquema de diferencia contra el viento. Se selecciona la diferencia correspondiente al signo de la tasa de transferencia, que se utiliza en todos los nodos del dominio computacional. La condición (6.5) impone una restricción sobre la proporción de pasos de cuadrícula computacional. Usualmente, para un paso de espacio dado, la relación (6.5) determina el paso de tiempo admisible m h/v.

Pero si la tasa de transferencia es función de la coordenada (o del tiempo), entonces la elección del tipo de aproximación por diferencia debe realizarse en base al análisis del signo de la tasa de transferencia, por ejemplo, utilizando un operador condicional. Excepto goth, con velocidad de transferencia variable v = v(x) la condición de estabilidad debe comprobarse para todos los nodos de la red y, a partir de este conjunto de valores de paso de tiempo, debe elegirse el mínimo: t min,; h/vj.

Courant y otros (1952) propusieron un método interesante para construir un esquema contra el viento que no usaba un operador condicional. Es importante tener en cuenta que esta no es solo una técnica formal, sino un enfoque que contiene ideas profundas, sobre la base de las cuales uno puede comparar y encontrar una correspondencia entre los esquemas de diferencia simétricos y contra el viento (asímétricos). La idea de dividir operadores de esquemas de diferencias se acerca a esto.

Representamos la tasa de transferencia como la suma de sus componentes positivos y negativos:

Esto permitirá representar al operador de transferencia como la suma de dos operadores:

Ahora cada uno de los operadores tiene un coeficiente de signo constante, lo que permite aplicarle la aproximación por diferencia de barlovento. Tenga en cuenta que el esquema de diferencia de contraflujo para aproximar términos convectivos se usa ampliamente en varios problemas de dinámica de fluidos computacional. A menudo se usa la siguiente notación del algoritmo computacional según el esquema (6.6):

Si ahora llevamos a cabo transformaciones elementales en el lado derecho de (6.7) y destacamos la derivada en diferencia simétrica, entonces este esquema se puede representar como

Se puede concluir que el esquema de diferencia contra el viento (6.7) es equivalente al simétrico (6.2), el cual tiene un aditivo disipativo que asegura la estabilidad condicional del esquema.

El esquema de Lax. Este esquema se introdujo en la práctica de la computación en los albores del desarrollo de la dinámica computacional de gases. II si bien se encontraron referencias a un esquema de este tipo en los trabajos de varios autores, la opinión pública lo asocia con el nombre del matemático estadounidense Lax (Lax, P.D.), quien publicó una serie de trabajos sobre diversos aspectos de la teoría de la diferencia esquemas en los años 50. Aplicado a la ecuación de transporte (6.1), este esquema tiene la forma

La peculiaridad del esquema es que, para asegurar su estabilidad en la aproximación de la derivada temporal, el valor de la función de cuadrícula en el nodo (r, PAG) se reemplaza por la mitad de la suma de los valores en los nodos vecinos de la misma capa de tiempo. Esta operación asegura la estabilidad condicional del esquema de diferencias bajo la aproximación central de la derivada espacial (cuando se cumple la condición de Courant-Friedrichs-Levy v/h ^ 1).

Aunque aquí la derivada con respecto a X se presenta con el segundo orden de aproximación, el esquema tiene una disipación significativa debido a la representación específica de la derivada del tiempo. Esto se ve claramente en la primera aproximación diferencial:

El coeficiente del lado derecho frente a la segunda derivada se puede interpretar como el coeficiente de viscosidad del esquema. Después de transformaciones simples, esta cantidad se puede representar como

por donde A denotado por el número de Courant. Muchas propiedades de este esquema se pueden determinar a partir de la aproximación diferencial:

• - el esquema se vuelve no disipativo cuando el número de Courant es igual a uno;
• - el esquema no es sensible a la dirección del flujo;

cuando el número de Courant es menor que uno, la viscosidad del circuito tiene un efecto estabilizador (coeficiente de difusión positivo), cuando el número de Courant es mayor que uno, el coeficiente de viscosidad del circuito se vuelve negativo, lo que conduce a un agravamiento del proceso de difusión y, en última instancia, , a la pérdida de estabilidad computacional del circuito;

A medida que disminuye el paso de tiempo, aumentan las propiedades disipativas del esquema.

Entre estas características, hay aquellas que reducen significativamente las ventajas del esquema. Sin embargo, la simplicidad del algoritmo es a menudo la base para su uso en los pasos iniciales (depuración) de la construcción de programas computacionales. Además, el esquema de Lax, como veremos a continuación, es un componente de algoritmos eficientes de varios pasos en los que se realiza un paso preliminar (paso de predicción) con su ayuda.

Esquemas de segundo orden. Los esquemas de diferencia discutidos anteriormente eran esquemas de primer orden (con respecto a la variable espacial o temporal). Al construir esquemas de segundo orden, es necesario proporcionar un mayor orden de aproximación tanto en términos de variables espaciales como temporales. Considere varios esquemas de este tipo.

Esquema de salto. El esquema de segundo orden, tanto en la variable espacial como en el tiempo, del tipo más simple se puede representar como

Este circuito se llama circuito escalonado, pero es mejor conocido como "pídola"(esquema de salto de rana). El esquema tiene tres capas y construye una solución a partir de las dos capas de tiempo anteriores. Por lo tanto, al usarlo, surgen problemas con el inicio de los cálculos, que deben realizarse por algún otro método.

Esquema de Lax-Wendroff. Uno de los esquemas más famosos de este tipo es el esquema central, llamado por el nombre de sus autores, esquema de Lax-Wendroff. Ha ocupado un cierto nicho en la teoría de esquemas de diferencia para ecuaciones hiperbólicas, muchas ideas muy productivas están asociadas con él, pero su principal ventaja es que puede generalizarse fácilmente y transferirse al caso de problemas más complejos: problemas de gas compresible. flujo descrito por sistemas de ecuaciones cuasilineales, donde ha sido una de las principales herramientas informáticas durante bastante tiempo.

Es útil estudiar las características de este esquema mediante el ejemplo de su aplicación a una ecuación de transporte de la forma (6.1). Para construir un esquema de segundo orden, escribimos la fórmula de Taylor:

que consideraremos junto con la ecuación original (6.1) Esta ecuación se usará para reemplazar las derivadas temporales en la expansión con las espaciales. Esto es posible, ya que la primera derivada se expresa directamente de (6.1): du/dt = -vdu/dx. La segunda derivada también se encuentra fácilmente a partir de la siguiente cadena de relaciones:

Tenga en cuenta que esta representación es precisa solo a una tasa de transferencia constante: v= constante De lo contrario, es aproximado, sin embargo, si la tasa de transferencia v(x) es una función suficientemente suave, se puede utilizar para transformaciones de relaciones de diferencia que son de naturaleza local.

Sustituyendo las expresiones por las derivadas obtenidas usando la ecuación diferencial original en la fórmula de Taylor anterior, obtenemos la relación

y reemplazando las derivadas espaciales con relaciones en diferencias finitas de segundo orden, obtenemos (después de algunas transformaciones simples) el esquema en diferencias

llamado el esquema Lax Wendroff. Este esquema se introdujo en la práctica de la informática junto con otros en una serie de artículos publicados por Laks y Vsndroff en 1960-1964.

Una versión de dos pasos del esquema Lax-Wendroff. Posteriormente, Richtmeier propuso una versión original en dos pasos del esquema que, debido a su facilidad de implementación, fue uno de los principales algoritmos computacionales en dinámica de gases durante mucho tiempo. Tomemos esta opción.

En el primer medio paso, calculamos el valor intermedio de la solución utilizando un esquema Lax simple de primer orden. Asignamos un superíndice a este valor intermedio n+ 1/2 y tenga en cuenta que también se utiliza el paso de medio tiempo. Aplicando este esquema, obtenemos los valores de la solución en la capa de tiempo intermedia: t = tn+l / 2 . Tenga en cuenta que debido al uso del esquema Lax, en el que no hay un nodo central en la capa inferior, la solución también se reproduce en la capa intermedia en el sistema de puntos semienteros.

Escribamos las relaciones de diferencia para dos huecos vecinos:

El segundo medio paso es calcular la solución en una nueva capa de tiempo PAG+ 1 basado en un esquema con diferencias centrales tanto en el espacio como en el tiempo: el esquema de "cruz". Para calcular las derivadas espaciales, se utilizan los valores de la solución en la capa intermedia en el sistema de puntos semienteros, la solución en sí se restituye en el mismo sistema de puntos en el que se determinó al principio de los tiempos. paso:

Las relaciones (6.12) y (6.13) juntas determinan el esquema de Lax-Weidroff de dos pasos. En su primera etapa, se cumplen las condiciones de estabilidad. Esta etapa a veces se llama vaticinador. La segunda etapa asegura que se cumpla con la precisión requerida y se llama corrector Los métodos predictor-corrector se utilizan a menudo en matemáticas computacionales, y la etapa correctora puede incluir un bloque iterativo.

Se puede demostrar fácilmente que, excluyendo los valores intermedios de (6.13), con la ayuda de las relaciones (6.12) llegamos a la versión básica del esquema de un solo paso. En cuanto al orden de aproximación y estabilidad, ambas opciones son equivalentes, pero la de dos pasos es más conveniente para los cálculos, por lo que el nombre de este esquema de diferencias suele ir asociado a ella. La versión de dos pasos es especialmente conveniente para usar cuando se construyen esquemas de diferencias para problemas más complejos, en particular, para sistemas de ecuaciones cuasilineales de dinámica de gases no estacionarios.

Monotonicidad de la solución en esquemas de segundo orden. El último término del lado derecho de (6.11) tiene una forma diferente a la de los términos disipativos de los esquemas de primer orden (6.8) y (6.10). En este caso, proporciona la supresión del error asociado con la aproximación de primer orden de la derivada temporal. Así, este esquema es un esquema de segundo orden tanto en el tiempo como en el espacio. Su primera aproximación diferencial ya no contendrá un término disipativo, sino que contendrá una componente de dispersión con una tercera derivada, que es la causa de los errores de fase en el circuito. Se puede esperar que este esquema ensucie ligeramente la solución, pero pueden aparecer oscilaciones no físicas causadas por la dispersión en la región de su cambio brusco.

Un esquema de diferencia que convierte una solución que tiene la forma de una función monótona de la coordenada longitudinal en una solución monótona se llama esquema de diferencias monótonas. Según esta definición, el esquema de Lax-Weidroff no es monotónico.

S.K. Godunov estableció el teorema de la monotonicidad, que ocupa uno de los lugares centrales en la teoría de los esquemas de diferencias. Según este teorema, para una ecuación lineal de la forma (6.1), no existen esquemas monótonos con un orden mayor que el primero.

La pérdida de monotonicidad del esquema de diferencias es típica hasta cierto punto para todos los esquemas de mayor orden de aproximación. Para superar la no monotonicidad de la solución numérica de esquemas de alto orden, el llamado híbrido esquemas de diferencia Pertenecen a la clase de los no lineales; con base en el análisis del comportamiento de la solución, cambian a esquemas monotónicos de primer orden en áreas donde los errores de fase son especialmente pronunciados, y regresan a esquemas de alto orden en áreas de suavizado. cambio en la solución.

El esquema de McCormack. También es un esquema de segundo orden de dos pasos, indiferente a la dirección del flujo. Es más conveniente demostrarlo en la forma conservativa de la ecuación de transporte:

El esquema consta de dos pasos sucesivos:

En la primera etapa (6.15) encuentre el valor preliminar de la solución sch en los nodos de la cuadrícula en base a un esquema de diferencia unilateral. De acuerdo con la solución encontrada de esta manera, se calculan los valores preliminares de los flujos /r Además, sobre la base de esquemas unidireccionales que tienen la dirección opuesta (6.16), la solución se determina en la siguiente capa de tiempo.

Este algoritmo permite varias modificaciones, se adapta bien a la resolución tanto de sistemas cuasilineales como de problemas hiperbólicos multidimensionales. En la década de 1970, este esquema fue uno de los principales esquemas de diferenciación de las calculadoras extranjeras (principalmente estadounidenses), pero en la actualidad ha sido reemplazado por otros más modernos basados ​​en las ideas de hibridación.

Tamaño: píxeles

Iniciar impresión desde la página:

transcripción

2 MINISTERIO DE EDUCACIÓN Y CIENCIA DE LA FEDERACIÓN DE RUSIA UNIVERSIDAD ESTATAL DE NOVOSIBIRSK Facultad de Mecánica y Matemáticas Departamento de Modelado Matemático G. S. Khakimzyanov, S. G. Cherny MÉTODOS DE CÁLCULO Parte 4. Métodos numéricos para resolver problemas de ecuaciones de tipo hiperbólico Libro de texto Novosibirsk 014

3 LBC V.193 UDC X 16 Revisor Ph.D. Phys.-Math. Ciencias A. S. Lebedev La publicación fue preparada en el marco del Programa para el Desarrollo de la Institución Educativa Estatal de Educación Profesional Superior "Universidad Estatal de Novosibirsk" durante años. X 16 Khakimzyanov, G. S. Métodos computacionales: a las 4 en punto: libro de texto. asignación / G. S. Khakimzyanov, S. G. Cherny; Novosib. estado un-t. Novosibirsk: RIC NGU, 014. Parte 4: Métodos numéricos para resolver problemas de ecuaciones de tipo hiperbólico. 07 pág. ISBN El libro de texto corresponde al programa del curso de conferencias "Métodos de Computación", que se lee en la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad Estatal de Novosibirsk. En su cuarta parte, se esbozan los fundamentos de los métodos numéricos para la resolución de problemas con valores iniciales en la frontera para ecuaciones de tipo hiperbólico, se formulan problemas para seminarios, se dan ejemplos de pruebas y tareas para ejercicios prácticos en computadora. El manual está destinado a estudiantes y docentes de especialidades matemáticas de instituciones de educación superior. ISBN BBC V.193 UDC c Universidad Estatal de Novosibirsk, 014 c G. S. Khakimzyanov, S. G. Cherny, 014

4 CONTENIDO Prefacio Esquemas para la ecuación de transporte lineal Propiedad de monotonicidad de los esquemas en diferencia Construcción de esquemas monótonos basados ​​en el método de aproximación diferencial Esquemas para la ecuación de transporte no lineal Esquemas en una rejilla adaptativa para la ecuación de transporte Esquemas en diferencia para la ecuación de vibraciones de cuerda Esquemas en diferencia para un sistema hiperbólico de ecuaciones con coeficientes constantes Esquemas de diferencia para sistemas de ecuaciones no lineales de aguas poco profundas Esquemas de diferencia para problemas de dinámica de gases Trabajo de prueba sobre el tema "Investigación de esquemas de diferencia para la ecuación de transporte" Tareas para el trabajo de laboratorio Respuestas, instrucciones, soluciones Lista bibliográfica

5 Prefacio En la cuarta parte del manual, se describen los fundamentos de los métodos numéricos para resolver problemas con valores iniciales en la frontera para ecuaciones de tipo hiperbólico, se formulan tareas sobre este tema para seminarios, tareas para ejercicios prácticos en una computadora y un ejemplo de se les da una prueba. Las cuestiones teóricas se plantean de forma bastante breve. Para un estudio más profundo de los temas en consideración, recomendamos consultar el libro de texto de S. K. Godunov y V. S. Ryabenky, así como los libros de G. I. Marchuk, A. A. Samarsky, A. A. Samarsky y A. V. Gulin , A. A. Samarsky y E. S. Nikolaev, B. L. Rozhdestvensky y N. N. Yanenko y libros de texto publicados en NSU. Las conferencias tratan temas teóricos relacionados con el estudio de esquemas de diferencias finitas únicamente. Como ejemplos, se consideran esquemas para una ecuación de transporte lineal, una ecuación escalar no lineal de primer orden, una ecuación de segundo orden que describe vibraciones de cuerdas, un sistema de ecuaciones lineal de primer orden, un sistema de ecuaciones de aguas poco profundas no lineales y ecuaciones de dinámica de gases. . Cada párrafo va acompañado de tareas que deben resolverse en los seminarios. Muchos problemas se proporcionan con instrucciones y soluciones detalladas. Se pueden encontrar materiales adicionales para los seminarios en los libros de problemas. El manual proporciona ejemplos de tareas para ejercicios prácticos en clases de computación, da recomendaciones sobre cómo completar tareas y discute temas relacionados con el desarrollo de programas y la presentación de resultados. Se pueden tomar tareas adicionales de los materiales didácticos. La cuarta parte del manual tiene una numeración continua independiente de párrafos y figuras y una lista bibliográfica independiente. Dentro de los párrafos para fórmulas y enunciados (lemas y teoremas), se utiliza una numeración de dos índices, por ejemplo 4. 4.) del manual "escribimos" de acuerdo con la fórmula (1.4.)", en lugar de "por el teorema 8.3 del manual" "por el teorema.8.3". Los autores expresan su profundo agradecimiento al revisor Alexander Stepanovich Lebedev por sus valiosos consejos y comentarios críticos, que contribuyeron a la mejora de este libro de texto. 4

6 1. Esquemas de la ecuación de transporte lineal 1.1. Algunos datos de la teoría de los sistemas hiperbólicos. Considere el problema de Cauchy para un sistema lineal de ecuaciones diferenciales de primer orden u t + A u = f(x, t),< x <, 0 < t T, x u(x, 0) = u 0 (x), < x <. (1.1) Здесь u = (u 1,..., u m) T m-мерная вектор-функция переменных x, t, A вещественная m m матрица с элементами a i (x, t). Определение. Систему уравнений (1.1) будем называть гиперболической в некоторой области переменных (x, t), если в каждой точке этой области собственные значения λ 1, λ,..., λ m матрицы A вещественны и различны. Определение. Интегральная кривая x = x k (t) обыкновенного дифференциального уравнения dx dt = λ k(x, t) (1.) называется k-ой характеристикой системы уравнений (1.1). Предполагается, что элементы матрицы A обладают гладкостью, достаточной для того, чтобы через каждую точку плоскости (x, t) проходила единственная характеристика, отвечающая собственному значению λ k. Характеристики, проведенные через точку (x, t) (t >0) en la dirección del tiempo decreciente t, cruce el eje Ox en m puntos diferentes. Ordenemos los valores propios del sistema hiperbólico (1.1) (λ 1 (x, t)< λ (x, t) <... < λ m (x, t)) и через обозначим отрезок оси Ox, ограниченный точками пересечения этой оси с m-ой и первой характеристиками. Определение. Областью зависимости точки (x, t) для системы уравнений (1.1) называется множество точек верхней полуплоскости, ограниченное крайними характеристиками x = x m (t), x = x 1 (t) и отрезком . Область зависимости точки (x, t) изображена на рис. 1, а. Решение u системы (1.1) в точке (x, t) будет зависеть только от значений u 0 (x) на 5

7 segmento. Por lo tanto, si los datos iniciales fuera del intervalo se cambian por otros, entonces la solución en el punto (x, t) no cambiará. Definición. El área de influencia del punto (x 0, 0) es el conjunto de puntos (x, t) del semiplano superior, acotados por las características extremas del sistema (1.1) que emergen de (x 0, 0 ), es decir, las características correspondientes a los valores propios λ 1 y λ m. El área de influencia del punto (x 0, 0) se muestra en la fig. 1b. Si los datos iniciales cambian solo en el punto (x 0, 0), entonces la solución del sistema hiperbólico cambiará solo en los puntos (x, t) pertenecientes al área de influencia del punto (x 0, 0). Supongamos ahora que en lugar del problema de Cauchy (1.1), necesitamos resolver el problema del valor límite inicial en el segmento . Luego, además de las condiciones iniciales, es necesario establecer las condiciones de contorno. El número de condiciones de contorno en cada uno de los límites está determinado por el número de características incluidas dentro del área. Por ejemplo, si las características m 0 ingresan a través del límite izquierdo x = 0, es decir, los valores propios m 0 λ k son positivos en x = 0, entonces las condiciones límite m 0 deben especificarse en este límite. Si en el límite x = l el número de valores propios negativos es igual a m l y, en consecuencia, exactamente m l características ingresan al dominio a través del límite derecho, entonces m l condiciones de límite deben especificarse en este límite. Dado que los valores propios dependen del tiempo, la cantidad de condiciones de contorno en cada uno de los límites puede cambiar con el tiempo. t dx dt = metro λ metro (x,t) dx dt = λ 1 t dx dt =λ 1 dx dt = metro λ x l un x r x (x 0.0) segundo x 1. Características del sistema de ecuaciones (1.1), limitando las áreas de dependencia del punto (x, t) (a) y la influencia del punto (x 0, 0) (b) 6

8 Considere ahora el sistema hiperbólico homogéneo de ecuaciones (1.1) con coeficientes constantes. Para una matriz A constante, sus vectores propios y valores propios son constantes, es decir, no dependen de x y t. Sea l k el k-ésimo vector propio izquierdo de la matriz A correspondiente a su valor propio λ k: l k A = λ k l k (k = 1,..., m). Multiplique el sistema (1.1) desde la izquierda por el vector l k: o donde l k u t + l ka u x = 0. Esta ecuación se puede escribir de la siguiente manera: l k u t + λ k l k u x s ​​k t + λ s k k x = 0, = 0, (1.3) s k = l k tu, k = 1,...m. (1.4) La solución s k (x, t) de la ecuación (1.3) se transfiere a lo largo de la característica sin cambios y por lo tanto se calcula para t > 0 a partir del valor inicial s k en el punto de intersección de la k-ésima característica con el eje Ox: s k (x, t) = s k ( x λ k t, 0). (1.5) Las funciones s k se denominan invariantes de Riemann. 1. Modelo lineal de aguas poco profundas. El modelo matemático más simple dentro del cual se puede describir el movimiento de un fluido con ondas superficiales es el modelo lineal de aguas poco profundas: η t + u 0 = 0, (1.6) x u t + g η = 0, (1.7) x η(x , 0) = η 0 (x), u(x, 0) = u 0 (x), (1.8) , η 0 (x) y u 0 (x) elevación y velocidad en el tiempo inicial t = 0, 0 = profundidad constante de la piscina, g = aceleración constante de caída libre. 7

9 El sistema de ecuaciones (1.6), (1.7) se puede escribir como un sistema homogéneo (1.1) con matriz A y vector solución u: A = (0 0 g 0) (η, u = u). (1.9) La matriz A tiene dos valores propios reales diferentes λ 1 = c 0, λ = c 0 = g 0, (1.10) por lo tanto el sistema de ecuaciones (1.6), (1.7) es de tipo hiperbólico. Las ecuaciones características (1.) toman la siguiente forma: dx dt = c 0, dx dt = c 0, (1.11) por lo tanto, las características son líneas rectas. Las características que pasan por el punto (x, t), t > 0, cortan el eje Ox en los puntos x l y x r, donde x l = x c 0 t, x r = x + c 0 t. (1.1) Los vectores propios izquierdos de la matriz A correspondientes a los valores propios (1.10) vienen dados por las fórmulas l 1 = (c 0, 0), l = (c 0, 0). (1.13) y 0 η y= (x,t) l x y=- 0 variables dependientes iniciales viene dada por las fórmulas r = c 0 η 0 u, s = c 0 η + 0 u, (1.14) 8

10 de donde η = r + s c 0, u = s r 0. (1.15) De la fórmula (1.5), teniendo en cuenta las igualdades (1.14), obtenemos fórmulas para resolver el problema de Cauchy en los invariantes r(x, t) = r (x λ 1 t, 0) = r(x + c 0 t, 0) = c 0 η 0 (x r) 0 tu 0 (x r), (1.16) s(x, t) = s(x λ t, 0) = s(x c 0 t, 0) = c 0 η 0 (x l) + 0 tu 0 (x l). (1.17) Finalmente, utilizando las relaciones (1.15), obtenemos la solución exacta del problema de Cauchy (1.6), (1.7), (1.8) η(x, t) = η 0(x l) + η 0 (x r) + 0 u0( x l) u 0 (x r), c 0 u(x, t) = u 0(x l) + u 0 (x r) + c 0 η0(x l) η 0 (x r). 0 (1.18) Al resolver el problema del valor límite inicial que se está considerando, es necesario establecer una condición en cada extremo del segmento. Supongamos, por ejemplo, que las paredes de la piscina son impermeables al líquido, lo que significa que la velocidad del líquido en estas paredes es igual a cero: u(0, t) = u(l, t) = 0 (1.19) sobre el movimiento de un fluido con ondas superficiales en una cuenca acotada: encontrar una solución η(x, t), u(x, t) continua en una región cerrada D = del siguiente problema con valores de contorno iniciales η t + tu 0 x = 0, tu t + gramo η = 0, 0< x < l, 0 < t T, x u(0, t) = u(l, t) = 0, 0 t T, η(x, 0) = η 0 (x), u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l. (1.0) 1.3. Линейное уравнение переноса. Итак, если матрица A однородной гиперболической системы уравнений (1.1) постоянна, то такую систему можно свести к системе уравнений в инвариантах Римана, 9

11, las ecuaciones de los invariantes de Riemann no dependen entre sí y cada una de ellas tiene la forma u t + au x = 0, a = const. (1.1) Esta ecuación es la ecuación hiperbólica más simple y se denomina ecuación de transporte lineal. Esta ecuación se puede utilizar para estudiar las propiedades de los esquemas de diferencia utilizados para resolver sistemas hiperbólicos de ecuaciones. Considere para la ecuación de transporte lineal (1.1) el problema de Cauchy u t + au x = 0,< x <, 0 < t T, u(x, 0) = u 0 (x), < x <. (1.) Характеристика x = x(t) уравнения (1.1) определяется уравнением dx dt = a, (1.3) т. е. является прямой с наклоном a к оси Ot. Следовательно, точное решение задачи Коши определяется по формуле u(x, t) = u 0 (x at). (1.4) График точного решения в момент времени t получается переносом графика начальной функции на величину at (в положительном направлении оси Ox, если a >0 y viceversa). Para la ecuación de transporte con un coeficiente constante a, también es fácil escribir la solución exacta para el problema del valor límite inicial. Sea, por ejemplo, a = const > 0. Entonces el siguiente problema de valor límite inicial u t + au x = 0, 0 está bien planteado< x l, 0 < t T, u(0, t) = µ 0 (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l, u 0 (0) = µ 0 (0). (1.5) Легко проверить, что если u 0 (x) и µ 0 (t) дифференцируемые функции, то решение задачи (1.5) определяется формулой u(x, t) = { u0 (x at) при t x/a, µ 0 (t x/a) при t x/a. (1.6) 1.4. Явная противопоточная схема. Перейдем теперь к изучению конечно-разностных схем решения линейного уравнения переноса. 10

12 Comencemos con un esquema explícito con diferencias aguas arriba (esquema aguas arriba) para el problema de valor de frontera inicial u t + au x = f(x, t), 0< x l, 0 < t T, a = const >0, u(0, t) = µ 0 (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l, u 0 (0) = µ 0 (0). (1.7) En lo que sigue, consideraremos únicamente cuadrículas uniformes que cubren el dominio cerrado D = . Construyamos el siguiente esquema de diferencias u n + a un un 1 = f n, = 1,..., N, u n 0 = µ n 0, n = 0,..., M, u 0 = u 0(x) , = 0 ,..., N, (1.8) problema de aproximación (1.7) de orden O(+). Como antes, este esquema se puede escribir en forma de operador L u = f. El nombre del esquema contra el viento se debe al hecho de que si consideramos la ecuación de transporte como una ecuación modelo para un sistema de ecuaciones que describen el flujo de un líquido o gas, e identificamos el coeficiente a con la velocidad del fluido, entonces en un positivo velocidad, es decir, a > 0, en el esquema se toman derivadas de diferencia izquierda usando el nodo x 1 ubicado aguas arriba de la "corriente" (ubicado aguas arriba). Introduzcamos normas uniformes en el espacio de las funciones de cuadrícula U y el espacio de los lados derechos F: donde f F (= max u U max n u n C = max 0 N un, = max n un C, (1.9)) µn 0, (u 0) C, max f n n C, (1.30) f n C = max 1 N f n normas uniformes en la capa t = t n. Usando el principio del máximo, podemos probar la siguiente afirmación. Teorema 1.1. Cumplimiento de la condición a 1 (1,31) 11

13 es suficiente para la estabilidad del esquema contra el viento (1.8) en la norma uniforme. Prueba. Sea x un nodo de cuadrícula con el número 1 N. Reescribamos la ecuación en diferencias del circuito en este nodo = (1 r)u n + ru n 1 + f n, donde r = a/. De las condiciones del teorema se deduce que 1 r 0, por lo que la siguiente estimación (1 r) u n +r u n 1 + f n (1 r) u n C +r u n C + f n C u n C + max m f m C será válida. el nodo límite, tenemos la siguiente estimación 0 = µ n+1 0 max m µm 0. Por lo tanto, el máximo de los lados izquierdos de estas desigualdades no puede exceder el máximo de los dos números en los lados derechos de estos desigualdades: (C max max m) µm 0, u n C + max f m m C, y este es el principio del máximo. Hemos encontrado que, bajo la condición (1.31), el esquema (1.8) satisface el principio máximo. Por lo tanto (ver Teorema 3.1.1) será estable en la norma uniforme en los datos iniciales, condiciones de contorno y en el lado derecho. La misma condición (1.31) es también una condición necesaria para la estabilidad del esquema (1.8), que se deriva del criterio espectral de estabilidad de Neumann. Demostrémoslo. Tomemos el armónico u n = λ n e iφ (1.3) y sustituyámoslo en la ecuación en diferencias homogénea. Como resultado, para el factor de transición obtenemos la ecuación Por lo tanto, λ = 1 r (1 e iφ) = 1 r(1 cos φ) ir sen φ. λ = 1 r(1 cos φ) + r (1 cos φ) + r sen φ = 1

14 = 1 r(1 cos φ) [ r(1 cos φ) r(1 + cos φ)] = 1 r(1 cos φ)(1 r). Deje que los pasos y en el esquema (1.8) estén relacionados por el paso al límite r = a = const. (1.33) Entonces los autovalores λ (φ) no dependen, por lo que la necesaria condición de estabilidad de Neumann se reduce al requisito o λ (φ) 1, φ R. (1.34) r(1 cos φ)(1 r) 0, φ R. (1.35) Obviamente, esta desigualdad es equivalente para a > 0 a la condición (1.31). Así, la condición (1.31) para a > 0 es una condición necesaria y suficiente para la estabilidad del esquema contra el viento en la norma uniforme. Tenga en cuenta que para un< 0 схема (1.8) абсолютно неустойчива, поскольку в этом случае нарушается неравенство (1.34) (см. задачу 1.1). Какую же схему следует использовать при a < 0, когда поток распространяется справа налево? Отметим, что в этом случае корректной будет такая начально-краевая задача u t + au x = f(x, t), 0 x < l, 0 < t T, a = const < 0, u(l, t) = µ l (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l, u 0 (l) = µ l (l). (1.36) Для этой задачи возьмем следующую противопоточную схему u n + a un +1 un = f n, = 0,..., N 1, u n N = µn l, n = 0,..., M, u 0 = u 0(x), = 0,..., N, (1.37) которая аппроксимирует дифференциальную задачу (1.36) с порядком O(+). Используя принцип максимума и спектральный признак Неймана, можно показать, что схема (1.37) при a < 0 будет устойчива при выполнении условия a 1. С другой стороны, при a >El esquema 0 (1.37) será absolutamente inestable (ver problema 1). 13

15 Así, hemos construido dos esquemas explícitos condicionalmente estables con diferencias aguas arriba para la ecuación de transporte con un coeficiente constante a u n u n + a un un 1 + a un +1 un Son estables bajo la desigualdad = f n, si a > 0, = fn, si un< 0. (1.38) a 1. (1.39) Во внутренних узлах сетки противопоточную схему (1.38) можно записать в виде одного уравнения u n + a + a u n un 1 + a a u n +1 un = f n. (1.40) Аналогично выглядит явная противопоточная схема и в случае знакопеременного коэффициента a(x, t). Например, если на границах отрезка выполнены условия a(0, t) >0, a(l, t)< 0, 0 t T, то получим такую противопоточную схему где u n + a + un un 1 + a un +1 un = f n, = 1,..., N 1, u n 0 = µ n 0, u n N = µ n l, n = 0,..., M, (1.41) u 0 = u 0 (x), = 0,..., N, a + = an + a n, a = an a n, (1.4) которая аппроксимирует с порядком O(+) начально-краевую задачу u t + a(x, t)u x = f(x, t), 0 < x < l, 0 < t T, u(0, t) = µ 0 (t), u(l, t) = µ l (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l. (1.43) 14

16 Con la ayuda del principio del máximo, se puede probar (ver problema 1.10) que para la estabilidad del esquema contra el viento (1.41) con un coeficiente variable a(x, t) es suficiente satisfacer la condición max a(x, t) 1. (1.44) x,t 1.5 . El esquema de Lax. Además, para simplificar la presentación, consideraremos el problema de valor en la frontera inicial (1.7) con la ecuación de transporte homogénea u t + au x = 0. (1.45) En el esquema de Lax, la ecuación en diferencia que aproxima la ecuación de transporte (1.45) es escrito como 0.5 (u n +1 + ) un 1 + a un +1 un 1 = 0, = 1,..., N 1. (1.46) Para el error de aproximación local, tenemos la expresión ψ n, = u tt u xx +..., por tanto, para = O( ) el esquema de Lax no aproximará la ecuación de transporte, pero bajo la ley de paso al límite r = a = const (1.47) se aproximará con el orden O(+ ). Por lo tanto, la aproximación tiene lugar solo para una cierta conexión entre los pasos y, es decir, el esquema de Lax pertenece a la clase de esquemas de aproximación condicional. Para el factor de transición, obtenemos la fórmula λ(φ) = cos φ ir sin φ. Por lo tanto, bajo la ley de paso al límite (1.47), la condición necesaria para la estabilidad del esquema de Lax es el cumplimiento de la desigualdad r 1, es decir, a 1. (1.48) 15

17 1.6. Diagrama de Lax Wendroff. Las ecuaciones en diferencias de este esquema se ven así: u +1/ 0.5 (u n +1 +) un + a un +1 un = 0, / u n + a u +1/ (1.49) u 1/ = 0. Esquema de Lax Wendroff se refiere a la familia de esquemas de dos pasos. En este esquema, primero, en los nodos semienteros x +1/ = x +/, las cantidades auxiliares u +1/ relacionadas con el tiempo t n + / se calculan de acuerdo con el esquema de Lax. Luego, en el segundo paso, los valores de la función de cuadrícula deseada se calculan en la (n + 1) capa de tiempo. Para estudiar la aproximación y la estabilidad de los esquemas de dos pasos, las cantidades auxiliares u se excluyen preliminarmente del esquema. Como resultado de la eliminación, obtenemos el esquema de un paso de Lax Wendroff u n + a un +1 un 1 = a un +1 un + un 1, (1.50) que, como es fácil de comprobar, aproxima el transporte ecuación (1.45) con el segundo orden en u. Para el factor de transición, tenemos la siguiente expresión λ = 1 ir sen φ r sen φ. Por lo tanto, la condición de estabilidad necesaria λ 1 será equivalente al cumplimiento de la desigualdad (1 r sen φ) + r sen φ 1, o 1 4r sen φ + 4r4 sen 4 φ + 4r sen φ (1 sen φ) 1. Esta última desigualdad es equivalente a la condición r 1. Así, la condición necesaria para la estabilidad del esquema Lax Wendroff coincide con la condición necesaria (1.48) para la estabilidad del esquema Lax Disipación y dispersión. Junto con la ecuación de transporte u t + au x = 0, a = const (1.51) 16

18 considere dos ecuaciones más u t + au x = µu xx, µ = const > 0, (1.5) u t + au x + νu xxx = 0, ν = const. (1.53) Sea la función inicial en el problema de Cauchy para estas ecuaciones representada como una serie de Fourier u(x, 0) = m b m e imx. (1.54) Buscaremos la solución de cada una de estas ecuaciones por el método de separación de variables u(x, t) = b m λ t e imx = b m u m (x, t), (1.55) m m donde u m (x, t) es un armónico con número de onda m u m (x , t) = λ t e imx, (1.56) λ debe determinarse. Las partes real e imaginaria del armónico son ondas m, cuya longitud l está relacionada con el número de onda mediante la fórmula l = π m. (1.57) Dado que las ecuaciones (1.51) (1.53) son lineales, el comportamiento de cada uno de los armónicos puede considerarse de forma independiente. Sustituyendo el armónico por el número de onda m en la ecuación de transporte (1.51), obtenemos ln(λ) + aim = 0 λ = e aim. Por lo tanto, si el armónico (1.56) es una solución de la ecuación de transporte, entonces tiene la forma Denotando ξ = x at, obtenemos um (x, t) = e im (x at). (1.58) tu metro (x, t) = e imξ = um (ξ, 0). (1.59) 17

19 Así, en cualquier momento t > 0, el armónico u m se obtiene desplazando el armónico inicial en at. Por tanto, la ecuación de transporte describe el movimiento de las ondas m, que, independientemente de su longitud, se propagan a una velocidad constante v m = a sin distorsionar su forma. Es fácil comprobar que el armónico (1.56) es una solución a la segunda ecuación (1.5) si ln(λ) + aim = µm o λ = e aim e µm, es decir, el armónico en este caso tiene la forma u m ( x, t) = e µmt e im(xat). En consecuencia, para todos los armónicos, la amplitud de onda decae (disipación de onda). Como m = π/l, las ondas cortas decaen más rápido que las largas. La velocidad v m de propagación de la onda no depende de la longitud de onda y sigue siendo igual a a. El término µu xx con la segunda derivada de la solución es responsable de la disipación de la onda. Finalmente, sustituyendo el armónico en la ecuación (1.53) se obtiene ln(λ) + aim + ν(im) 3 = 0, o de donde obtenemos que λ = e im(a νm), u m (x, t) = e im( x (a νm)t). Así, la tercera ecuación describe el movimiento ondulatorio sin cambiar su amplitud (sin disipación). Pero la velocidad de su propagación depende de la longitud de onda v m = a νm. (1.60) Esta fórmula muestra que las ondas de diferentes longitudes se propagan con diferentes velocidades (las ondas se dispersan). La velocidad de propagación de las perturbaciones de onda corta (m grande) sufre cambios más significativos. El término νu xxx con la tercera derivada de la solución es responsable de la dispersión de la onda. 18

20 Habiendo considerado el comportamiento de los armónicos individuales, ahora podemos predecir el comportamiento cualitativo de la solución (1.55) del problema de Cauchy para estas ecuaciones. Sea, por ejemplo, que la función inicial u(x, 0) tenga la forma de un escalón ( 1, x 0, u(x, 0) = (1.61) 0, x > 0 y a > 0. La expansión de tal una función en la serie de Fourier (1.54) contendrá todo el conjunto de armónicos.La solución del problema de Cauchy para la ecuación de transporte (1.51) se representa en la forma la solución del problema es el perfil inicial que se mueve con velocidad a. u(x, t) = m b m e µmt e im(x at) = m b m e µmt e imξ (1.63) del problema de Cauchy para la ecuación (1.5) con un término disipativo en el que las ondas cortas son intensas u(x, t) = m b m e im (x (a νm)t) (1.64) del problema de Cauchy para la ecuación (1.53), en la que ondas de diferentes longitudes se mueven a diferentes velocidades, tiene un carácter no monótono, oscilante De acuerdo con la fórmula (1.60), para ν > 0, las ondas de pequeña longitud tendrán una velocidad menor que las ondas de gran longitud, y para ν< 0 наоборот. Поэтому осцилляции будут отставать от основного решения (описываемого первыми гармониками) при ν >0 y, en consecuencia, avance como ν< Дифференциальное приближение разностной схемы. Вернемся к численному решению задачи Коши для уравнения переноса (1.51). В качестве начального профиля возьмем ступеньку { 1, x x0, u(x, 0) = (1.65) 0, x >X 0 19

21 y realizamos el cálculo según el esquema explícito contra el viento u n + a un un 1 = 0, a = const > 0. (1.66) Como resultado, obtenemos una solución en forma de escalón difuminado (Fig. 3) , es decir, la solución será cualitativamente la misma que y la solución de la ecuación (1.5) con un término disipativo. ¿Qué pasa? Después de todo, queríamos resolver la ecuación de transporte, en la que no existe un término disipativo. El punto es que buscábamos numéricamente una solución no a la ecuación de transporte, sino a una solución a un esquema de diferencia. Por lo tanto, las propiedades de las soluciones de la ecuación diferencial que se está aproximando y la ecuación en diferencia que se aproxima pueden no coincidir. Entonces, ¿cómo predecir las propiedades de la solución de la ecuación en diferencias? y x 30 Fig. Fig. 3. Gráficas de la solución exacta (líneas punteadas) y solución numérica (líneas continuas) obtenidas usando el esquema contra el viento (1.66) en los puntos de tiempo t = 1 (1); t=8(); t = 15 (3). a = 1; x0 = 10; a/ = 0.5 Esto se puede hacer usando el método de aproximación diferencial, que ahora revisaremos brevemente. La esencia de este método es reemplazar la ecuación en diferencias original con una ecuación diferencial especial que tiene todas las propiedades de la ecuación en diferencias en estudio. Por lo tanto, en lugar de estudiar la ecuación en diferencias, se investiga esta ecuación diferencial, que en muchos casos es mucho más fácil de hacer. La obtención de una ecuación diferencial correspondiente a una ecuación en diferencia comienza con la escritura de esta ecuación en diferencia en la forma del llamado esquema diferencial teórico, en el que los operadores diferenciales actúan en el mismo espacio funcional que los operadores diferenciales a los que aproximan. Por ejemplo, la ecuación de diferencia (1.66) se escribe como la siguiente diferencia teórica 0

22 esquemas u(x, t +) u(x, t) u(x, t) u(x, t) + a = 0. (1.67) La solución de tal esquema es la función u(x, t) de argumentos continuos x y t, mientras que la solución de la ecuación (1.66) es la función de cuadrícula u, definida solo en los nodos de la cuadrícula. Sea una función suficientemente uniforme u(x, t) una solución del esquema diferencial teórico (1.67). Lo sustituimos en este esquema y expresamos u(x, t+) y u(x, t) en términos de los valores de la función y sus derivadas en el punto (x, t) usando la fórmula de Taylor. Como resultado, obtenemos una ecuación diferencial equivalente al esquema de diferencias (1.67) u t + au x + u tt + 6 u ttt a u xx + a 6 u xxx +... = 0. (1.68) Definición. La ecuación diferencial de orden infinito (1.68) obtenida después de expandir la solución u(x, t) del esquema diferencial teórico (1.67) por la fórmula de Taylor se denomina representación diferencial del esquema diferencial (1.66). Algunas propiedades del esquema de diferencias ya pueden estudiarse con la ayuda de esta representación diferencial, pero para nuestros propósitos será más conveniente usar otra forma de representación diferencial, que resulta de la eliminación de todas las derivadas temporales de (1.68) excepto para el que entra en la ecuación aproximada (1.51), m i.e. excepto u t. Mostremos, por ejemplo, cómo eliminar las derivadas temporales en términos de orden u. Para ello, reescribimos la ecuación (1.68) teniendo en cuenta los términos hasta el orden O() y O() u t + au x + u tt + 6 u ttt a u xx + a 6 u xxx = O() (1.69 ) y use la ecuación resultante para encontrar la derivada u t: u t = au x u tt 6 u ttt + a u xx a 6 u xxx + O() (1.70) Sustituimos esta derivada en los términos de la ecuación (1.69) que contienen las derivadas (u t ) t y (u t) tt. Teniendo en cuenta el orden de pequeñez de los coeficientes en las derivadas segunda y tercera con respecto al tiempo, se obtiene que en (u t) t 1

23 basta sustituir la derivada (1.70) calculada con precisión O(+): u t = au x u tt + a u xx + O(+), (1.71) y en (u t) tt con precisión O(+): u t = au x +O(+). (1.7) Como resultado de tal sustitución, la ecuación (1.69) toma la siguiente forma: u t + au x + (au x u tt + a) u xx + t 6 (au x) tt = = a u xx a 6 u xxx + O(), o u t + au x a u tx 4 u ttt + a 4 u txx a 6 u ttx = = a u xx a 6 u xxx + O(). (1.73) Después de sustituir en la ecuación (1.69), realizamos acciones similares con la ecuación (1.73). Ahora necesitamos sustituir la derivada u t, determinada a partir de la ecuación (1.73), en los cuatro términos de la misma ecuación: u t + au x a (au x + a u tx + a u xx) x 4 (au x) tt + + a 4 (au x) xx a 6 (au x) tx = a u xx a 6 u xxx + O(). Luego de reducir otras similares, obtenemos la ecuación u t + au x a 1 u txx + a 4 u ttx = = a (a) (1 r) u xx + a u xxx + O(), 6 (1.74) en la cual, en contraste a (1.69), no hay segundas derivadas. Las derivadas mixtas u txx y u ttx restantes en (1.74) pueden calcularse sobre la base de la igualdad (1.7): u txx = au xxx + O(+), u ttx = a u xxx + O(+). (1.75)

24 Por lo tanto, la representación diferencial (1.74) toma la forma u t + au x = a (1 r)u xx a 6 (r 3r + 1)u xxx + O(). (1.76) Así, nos deshicimos de las derivadas temporales con potencias de y. Pero las derivadas con respecto a t hasta ahora se han mantenido en potencias más altas en el lado derecho de O(). Si continuamos más con el procedimiento descrito, entonces en la representación (1.68) podemos eliminar las derivadas del tiempo hasta un orden arbitrariamente alto. Como resultado, obtenemos una representación diferencial del circuito en la forma o u t + au x = a (1 r)u xx + a 6 (1 r)(r 1)u xxx +... (1.77) u t + au x = k= do k k tu x k . (1.78) Definición. La ecuación de orden infinito (1.78) se denomina forma P de la representación diferencial del esquema de diferencias. Deje que el esquema de diferencia tenga órdenes de aproximación γ 1 y γ en y respectivamente. Definición. La ecuación diferencial obtenida a partir de la forma P de la representación diferencial descartando términos de orden O(γ1+1, γ+1) y superiores se denomina primera aproximación diferencial (p.d.p.) del esquema de diferencias. Para el esquema contra el viento (1.66), la p.d.p. es una ecuación diferencial de segundo orden u t + au x = µu xx, µ = a (1 r), (1.79) que, como vemos, coincide con la ecuación (1.5) con un término disipativo. Por lo tanto, para r 1, nuestro esquema introduce implícitamente la viscosidad (disipación) en la ecuación de transporte aproximada, que se denomina viscosidad aproximada o de esquema. La presencia de una viscosidad de aproximación conduce a la formación de manchas en el paso inicial. Definición. La propiedad de un esquema en diferencia debido a la presencia de derivadas de orden par en su pdp se denomina disipación numérica. 3

25 La forma P de la representación diferencial del esquema de diferencias de Lax Wendroff tiene la forma + νu xxx = 0, ν = a 6 (1 r) (1.80) coincide con la ecuación (1.53) con un término de dispersión. En consecuencia, en r 1, el esquema de Lax Wendroff implícitamente introduce dispersión en la ecuación de transporte aproximada, por lo que la solución del esquema en diferencias puede oscilar (Fig. 4). yfig. Fig. 4. Gráficos de la solución exacta (líneas discontinuas) y solución numérica (líneas sólidas) obtenidas utilizando el esquema de Lax Wendroff en los puntos de tiempo t = 1 (1); t=8(); t = 15 (3). a = 1; x0 = 10; a/ = 0.5 Definición. La propiedad de un esquema de diferencias debido a la presencia de derivadas de orden impar en su pdp se llama dispersión numérica. Resumamos nuestro razonamiento. Para problemas con una solución que varía suavemente, en los que la contribución de los armónicos de alta frecuencia es pequeña, la precisión del esquema de Lax Wendroff es mayor que la del esquema contra el viento. Si resolvemos numéricamente un problema en el que la solución tiene un perfil monótono que cambia bruscamente, la aplicación del esquema contra el viento de primer orden dará un perfil monótono no oscilante, pero fuertemente suavizado. Este es el resultado de la disipación numérica. El esquema de Lax Wendroff, que tiene dispersión numérica, puede dar perfiles no monótonos de la solución numérica en la vecindad de una discontinuidad o un cambio brusco en la solución, distorsionados por oscilaciones no físicas. x4

26 RETOS 1.1. Demuestra que para un< 0 схема (1.8) абсолютно неустойчива. 1.. С помощью спектрального метода Неймана показать, что явная схема для уравнения (1.1) u n + a un +1 un = 0, n = 0,..., M 1, = 0, ±1, ±,... (1.81) при a >0 es absolutamente inestable Usando el método espectral de Neumann, obtenga la condición necesaria para la estabilidad del esquema de tres capas "salto de rana" (esquema con paso a paso, esquema de "salto de rana") para la ecuación (1.1) u n 1 + a un +1 un 1 = 0, n = 1, ..., M 1, = 0, ±1, ±,..., (1.8) si la ley de paso al límite está dada en la forma (1.33) Determinar el orden de aproximación del esquema explícito con diferencia central u n + a un +1 un 1 = 0 , (1.83) construido para la ecuación de transporte (1.1). Usando el método espectral de Neumann, investigue la estabilidad de este esquema si la ley de paso al límite se da en la forma a = const. (1.84) 1.5. Determine el orden de aproximación del esquema mayorante u n + a un +1 un 1 = a un +1 un + un 1, (1.85) construido para la ecuación de transporte (1.1). Usando el método espectral de Neumann, investigue la estabilidad de este esquema si el paso a la ley del límite se da en la forma (1.84). 5

27 1.6. Determine el orden de aproximación del esquema McCormack u un + a un +1 un = 0, 0, 5 (u +) un / + a u u 1 = 0, (1.86) construido para la ecuación de transporte (1.1). Usando el método espectral de Neumann, investigue la estabilidad de este esquema si la ley de transición límite se da en la forma (1.84) Determine el orden de aproximación del esquema contra el viento con pesos u n + σa un (1 σ)a un un 1 = 0 , (1.87) construida para la ecuación de transporte (1.1) con coeficiente a > 0. Usando el método espectral de Neumann, obtenga una condición necesaria para la estabilidad del esquema (1.87) si el paso a la ley límite se da en la forma (1.84 ) Utilizando el principio del máximo, investigue la estabilidad en la norma uniforme del esquema implícito contra el viento u n + a un+1 1 = f n+1, = 1,..., N, u n 0 = µ n 0, n = 0 ,..., M, u 0 = u 0(x), = 0,..., N , (1.88) construida para el problema (1.7) Usando el principio del máximo, encuentre una condición suficiente para la estabilidad en la norma uniforme de un esquema contra el viento con pesos u n + σa un (1 σ)a un un un 1 = f n+1/, u n 0 = µ n 0 , n = 0,..., M, u 0 = u 0(x), = 0,..., N, (1.89) construido para el problema (1.7). Aquí 0 σ 1. 6

28 1.10. Usando el principio del máximo, demuestre que el cumplimiento de la condición (1.44) es suficiente para la estabilidad del esquema contra el viento (1.41) con un coeficiente variable a(x, t) esquema u n + a un+1 1 = 0, (1.90) construida para la ecuación de transporte (1.1) con coeficiente a > 0. Dé una explicación cualitativa del comportamiento de la solución del esquema de diferencia para t > 0, si en el tiempo inicial t = 0 un paso (1.61). Propiedad de monotonicidad de la diferencia esquemas.1. Uno de los requisitos principales para los esquemas en diferencias es que la solución de la ecuación en diferencias debe transmitir las características del comportamiento de la solución de la ecuación diferencial que se está aproximando. Considere, por ejemplo, el problema de Cauchy para la ecuación de transporte lineal u t + au x = 0, a = const > 0,< x <, t >0, (.1) u(x, 0) = u 0 (x). (.) Si u 0 (x) es una función no decreciente (no creciente) de la variable x, entonces para cualquier t > 0 fijo, la solución u(x, t) del problema (.1), (.) también será una función no decreciente (no creciente) de la variable x. Esto se sigue del hecho de que en cualquier momento la solución viene dada por la fórmula u(x, t) = u 0 (x at). (.3) Es natural exigir que la solución del problema de aproximación de esquema en diferencias (.1), (.) también tenga una propiedad similar. Pero resulta que muchos esquemas de diferencias violan la monotonicidad de la solución numérica: en lugar de los perfiles monotónicos esperados, se obtienen soluciones que contienen oscilaciones no físicas (Fig. 4). La razón de su aparición es la dispersión numérica de la diferencia 7

29 esquemas discutidos en el párrafo anterior. En esta sección, presentamos las condiciones bajo las cuales el esquema de diferencia preservará la monotonicidad de la solución numérica. Consideremos un esquema de diferencias explícitas arbitrarias = α b α u n + α, (.4) donde α es un número entero, α = α 1, α 1 + 1,..., α, los nodos x + α determinan la plantilla de el esquema. Definición. El esquema de diferencia (.4) se denomina esquema que preserva la monotonicidad de la solución numérica (esquema monótono) si transforma cualquier función monótona u n en una función monótona en la (n + 1)-ésima capa de tiempo, además, con la misma dirección de crecimiento Ejemplo 1. Aproximamos la ecuación (.1) en una cuadrícula uniforme mediante el esquema contra el viento u n + a un un 1 = 0. (.5) Este esquema tiene el primer orden de aproximación en u. Deje que la función de cuadrícula u n en la n-ésima capa de tiempo sea monótona, por ejemplo, una función monótonamente creciente, es decir, u n un 1 para un arbitrario. En este caso, bajo la condición de estabilidad del circuito que tiene la forma aæ 1, donde æ = /, obtenemos + aæ(u n 1 u n) 0. Así, la solución también crece monótonamente en la (n + 1)-ésima capa . Por lo tanto, el esquema contra el viento (con disipación en aæ< 1) является схемой, сохраняющей монотонность. Пример.. Покажем, что схема Лакса Вендроффа (1.49) (не обладающая диссипацией при aæ < 1) не сохраняет монотонность численного решения. Пусть начальная функция для уравнения (.1) имеет вид (1.61) { 1, при x 0, u 0 (x) = 0, при x > 0. 8

30 En consecuencia, la función de cuadrícula inicial ( u 0 1, para 0, = u 0 (x) = 0, para > 0 es monótonamente decreciente. Reescribamos el esquema considerado en la forma de un esquema de un paso (1.50), y luego en forma de esquema (.4) con coeficientes b 1 = a æ + aæ, b 0 = 1 a æ, b 1 = a æ aæ (.6) Entonces es fácil ver que la igualdad 1 se cumple en el primera capa de tiempo, para 1, u 1 b = 1 + b 0, at = 0, b 1, at = 1, 0, at. At aæ< 1 схема устойчива, но b 1 + b 0 >1, es decir, la función de cuadrícula u 1 no es monótonamente decreciente. La monotonicidad de los esquemas para ecuaciones con coeficientes constantes se puede investigar utilizando el siguiente teorema. Teorema.1. Para que el esquema de diferencias (.4) con coeficientes constantes b α permanezca monótono, es necesario y suficiente que las condiciones b α 0 se cumplan para todo α (.7) Demostración. Necesidad. Suponga que el esquema (.4) sigue siendo monótono, pero existe un coeficiente negativo b α0< 0. Возьмем монотонно возрастающую функцию u n = { 0, < α0, 1, α 0. (.8) Тогда u0 n+1 1 = b α u n α b α u n 1+α = α α = b α b α = b α0 < 0, α α 0 α α

31 es decir, la función no es monótonamente creciente y, en consecuencia, el esquema (.4) no conserva la monotonicidad, lo que contradice la suposición original. La contradicción obtenida prueba que todos los coeficientes b α son no negativos. Adecuación. Sean b α 0 y u n una función monótona, por ejemplo, una función monótonamente creciente. Entonces 1 = α b α u n + α α b α u n 1+α = α b α (u n + α u n 1+α) 0, es decir, también una función monótonamente creciente. Así, el esquema (.4) permanece monótono. Volvamos de nuevo a los ejemplos 1 y ., y ahora no asumiremos que a > 0. El esquema contra el viento para la ecuación (.1) con un signo arbitrario del coeficiente a se ve así: donde u n Reescríbalo en la forma ( .4) + a + un un 1 un + = un + un + un un +1 un, un = un un. = 0, (.9) donde = segundo 1 tu norte 1 + segundo 0 tu norte + segundo 1 tu norte +1, (.10) segundo 1 = æa +, segundo 0 = 1 æ un, segundo 1 = æa. Si se cumple la condición de estabilidad a æ 1 (.11), todos estos coeficientes son no negativos. Además, son constantes, por lo tanto, según el Teorema 1, el esquema contra el viento (.9) conserva la monotonicidad de la solución bajo la condición (.11). El esquema de Lax Wendroff es estable bajo la misma condición (.11) que el esquema contra el viento, y se puede escribir en la forma (.10) con coeficientes (.6), de donde se puede ver que bajo la condición a æ< 1 один из 30

32 coeficientes b 1 o b 1 es negativo. Según el Teorema 1, esto implica que el esquema de Lax Wendroff, que tiene una aproximación de segundo orden con respecto a u, no preserva la monotonicidad de la solución numérica. Pero tal vez existan otros esquemas de segundo orden de aproximación, que tengan la propiedad de la monotonicidad. Resulta que no existen tales esquemas. El artículo muestra que para la ecuación de transporte lineal (.1) es imposible construir un esquema monótono con coeficientes constantes de segundo orden de aproximación... Consideremos ahora el esquema (.4) con coeficientes variables b α. ¿Será suficiente la condición (.7) de no negatividad de los coeficientes para que tales esquemas conserven la monotonicidad de la solución numérica? resulta que no Demos un ejemplo correspondiente. Ejemplo 3. Resolvamos el problema de Cauchy para la ecuación u t + a(x)u x = 0, (.1) donde a(x) es una función acotada positiva estrictamente creciente: 0< a(x) < 1 и a >0. Para resolver este problema, tomemos un esquema con coeficientes variables 0, 5 (u n +1 +) un 1 + a u n +1 un 1 = 0, (.13) donde a = a(x), x es un nodo de la rejilla uniforme. El esquema anterior es análogo al esquema de Lax (1.46), que preserva la monotonicidad de la solución numérica (ver Problema 1). Supondremos que la condición æa< 1, (.14) гарантирующее устойчивость схемы (.13) в равномерной норме по начальным данным: C u 0 C. (.15) Запишем схему (.13) в виде (.4): = b 1, u n 1 + b 1, u n +1, (.16) где b 1, = 1 + æa, b 1, = 1 æa, 31

33, los coeficientes b α están provistos de un índice adicional, ya que son coeficientes variables y cambian al pasar de un nodo a otro. Debido a la condición (.14), ambos coeficientes son positivos, pero el esquema (.13) no preserva la monotonicidad de la solución numérica. De hecho, tomando una función monótonamente creciente ( u n 0,< 0, = 1, 0, убеждаемся, что на (n + 1)-м слое по времени имеет место равенство = 0, при < 1, b 1, 1, при = 1, b 1,0, при = 0, 1, при 1. Но b 1, 1 >b 1.0, por lo que la función de cuadrícula es creciente. no es monótono El ejemplo anterior muestra que para esquemas con coeficientes variables se deben usar otros criterios de monotonicidad además del criterio (.7) especificado en el Teorema.1. Teorema.. Deje que los coeficientes del esquema de diferencia = b 1, u n 1 + b 0, u n + b 1, u n +1 (.17) satisfagan la condición en cada nodo x Entonces el cumplimiento de todas las condiciones b 1, + b 0, + b 1 , = 1. (.18) b ±1, 0, b 1, + b 1, 1 1 (.19) es necesario y suficiente para el esquema (.17) con coeficientes variables para preservar la monotonicidad de la solución numérica. Prueba. Escribimos el esquema (.17) con coeficientes variables que satisfacen la condición (.18) de la siguiente forma: = u n b 1, (u n u n 1) + b1, (u n +1 u n). (.0) 3

34 Entonces +1 = un +1 b 1,+1 (u n +1 u n) + b1,+1 (u n + u n +1). Por lo tanto, +1 un+1 = (u n +1 u n) (1 b 1,+1 b 1,) + (+ b 1,+1 u n + u n (+1) + b 1, u n u n) (.1) 1. Necesidad. Sea monótono el esquema (.17). Probemos que sus coeficientes satisfacen las desigualdades (.19). Suponga que esto no es cierto y algunas de las condiciones (.19) no se cumplen en algún nodo x 0, por ejemplo b 1,0< 0. Положим Из (.1) тогда следует u n = { 0, если < 0, 1, если un+1 0 = b 1,0 < 0, т. е. функция не является монотонно возрастающей, что противоречит исходному предположению о монотонности схемы (.17). Аналогично проверяются и остальные неравенства в (.19). Достаточность. Пусть в каждом узле x коэффициенты схемы (.17) удовлетворяют неравенствам (.19) и функция u n является монотонной, например монотонно возрастающей. Тогда из равенства (.1) следует, что функция также будет монотонно возрастающей функцией. Теорема доказана. Нетрудно проверить, что коэффициенты схемы (.16) не удовлетворяют второму из условий (.19) теоремы.3, поэтому эта схема не является схемой, сохраняющей монотонность численного решения. Дадим другую формулировку теоремы.. Теорема.3. Для того чтобы конечно-разностная схема u n + C 1/ un x, 1/ C+ +1/ un x,+1/ = 0, (.) сохраняла монотонность численного решения, необходимо и достаточно выполнение при всех условий где æ = /, u n x,+1/ = un +1 un C ± +1/ 0, C +1/ + C+ +1/ 1 æ, (.3). 33

35 Prueba. El esquema (.) se puede reescribir en la forma (.17), donde b 1, = æc 1/, b 1, = æc + +1/, b 0, = 1 æc 1/ æc+ +1/. Entonces la igualdad (.18) se cumple para los coeficientes b α , y las condiciones (.19) son equivalentes a las condiciones (.3). Comentario. Probamos que el cumplimiento de las desigualdades (.3) es suficiente para que el esquema (.) sea un TVD (Total Variation Deminising Sceme), es decir, un esquema cuya solución u n para cualquier n 0 satisface la condición no creciente para la variación total TV () TV (u n), (.4) donde la variación total de la función de cuadrícula u n se entiende como TV (u n) = u n +1 u n. (.5) En la actualidad, los esquemas TVD y sus diversas modificaciones se utilizan para resolver muchos problemas con soluciones discontinuas. La razón de la gran popularidad de estos métodos es que brindan perfiles de solución no oscilantes, alta resolución en la región de discontinuidades y conservan una alta precisión en regiones de solución uniforme. Los esquemas modernos de TVD de alto orden se basan en ciertos métodos para restaurar (reconstruir) los valores de las funciones en los límites de las celdas a partir de sus valores en los centros de las celdas vecinas. En este caso, la plantilla del circuito es variable y depende del comportamiento de la solución numérica. Los algoritmos de reconstrucción se basan en el uso de limitadores de flujo especiales, que se construyen de tal manera que el circuito con limitadores tiene la propiedad TVD (.4)..3. Monotonización del esquema de Lax Wendroff. Si la función inicial en t = 0 se da en forma de escalón, entonces en las próximas capas de tiempo obtendremos, según el esquema de Lax Wendroff, un escalón distorsionado por oscilaciones (ver Fig. 4). Pero resulta que el esquema de Lax Wendroff se puede modificar para que tenga 34

36 TVD-propiedad (.4), y por lo tanto, de acuerdo con el Teorema 3, se convertiría en un esquema que preserva la monotonicidad de la solución numérica. Sin embargo, los coeficientes del circuito modificado ya no serán constantes, pueden depender de la solución en la capa n, es decir, el circuito modificado será no lineal. Considere la ecuación de transporte (.1) en el caso de a = const > 0. El esquema de Lax Wendroff (1.50) se puede reescribir de la siguiente manera: u n +a un x,+1/ + un x, 1/ a () u n x,+ 1/ un x, 1/ = 0, (.6) o u n + au n x, 1/ + a (1 aæ) un x,+1/ un x, 1/ u n = 0, (.7) + au n x , = a (1 aæ) un xx,. (.8) Pdp (1.79) del esquema contra el viento contiene el término disipativo 0, 5a (1 aæ) u xx en el lado derecho, y en la representación (.8) el mismo término disipativo en la forma de diferencia tiene el opuesto firmar. Así, el esquema de Lax Wendroff se representa como un esquema monótono con una diferencia aguas arriba, complementado con el llamado término antidifusión, que elimina el término disipativo en el PDP del esquema contra el viento, convirtiéndolo en el esquema de Lax Wendroff. Disminuyendo el término de antidifusión en los lugares donde pueden aparecer oscilaciones, se puede intentar prevenirlas. Regulamos el término antidifusión en el esquema de Lax Wendroff (.7) usando la función limitadora Φ(ξ) de algún argumento ξ: u n +au n x, 1/ + a (1 aæ) ((Φu n x) +1/ (Φu n x) 1/) = 0. (.9) Si Φ 0, entonces tenemos un esquema contra el viento monótono de primer orden de aproximación. Si Φ 1, entonces obtenemos el esquema de Lax Wendroff de segundo orden de aproximación en soluciones suaves, pero oscilante en soluciones discontinuas. 35

37 En esquema de diferencias (.9) Φ +1/ = Φ(ξ +1/). Como argumento discreto ξ +1/ elegimos el valor u n x, 1/ ξ +1/ = u n para u n x,+1/ 0, x,+1/ (.30) 1 para u n x,+1/ = 0. En la solución oscilante la relación u n x, 1/ /un x,+1/ se vuelve negativa, por lo tanto, para ξ +1/< 0 полагаем, что Φ +1/ = 0. Далее будем считать, что функция Φ = Φ(ξ) непрерывного аргумента ξ также принимает нулевые значения при ξ < 0. Более того, предполагая, что функция-ограничитель является непрерывной, полагаем, что Φ(ξ) 0 при всех ξ 0. Далее рассмотрим случай, когда ξ +1/ >0. Elegimos la función limitadora de tal manera que el esquema satisfaga la condición TVD (.3) y conserve el segundo orden de aproximación en soluciones suaves. Para hacer esto, transformamos el esquema modificado de Lax Wendroff (.9) a la forma (.): o u n + au n x, 1/ + a (1 aæ) ((Φ ξ u n [ + a aæ ((Φ) ξ ) +1/ + 1/ Φ 1/) u n x, 1/ = 0, Φ 1/)] u n x, 1/ = 0. Así, los coeficientes del esquema (.9) escritos como (.) están determinados por las fórmulas [ C + +1 / = 0, C 1/ = a aæ ((Φ))] ξ Φ 1/. +1/ Según el Teorema 3, la condición 0 C 1/ 1 æ (.31) garantizará que el esquema de Lax Wendroff con la función limitadora introducida en él conserve la monotonicidad de la solución numérica. Además, asumimos que la condición de estabilidad para el esquema Lak-36

Se cumple la condición de Wendroff, es decir, aæ 1. Entonces, para que las desigualdades (.31) sean válidas para todo aæ 1, es necesario y suficiente que se cumplan las desigualdades (Φ) ξ +1/ Φ 1/, y para esto basta con exigir que para todas las desigualdades siguientes: (Φ) 0, 0 Φ +1/. ξ +1/ La región en el plano de las variables Φ y ξ, en la que se cumplen estas desigualdades, se muestra en la Fig. 5, a. Si la gráfica de la función Φ = Φ(ξ) se encuentra en esta región, entonces el esquema modificado (.9) preservará la monotonicidad de la solución numérica. Φ Φ= Φ Φ = Φ = ξ Φ = ξ Φ=ξ 1 1 Φ = un ξ segundo ξ 5. y en el área sombreada, el esquema Lax Wendroff modificado (.9) es un esquema TVD; b en el área con doble eclosión, el esquema modificado de Lax Wendroff es un esquema TVD de segundo orden de aproximación, por lo que en lo que sigue se supone que Φ(ξ) = 0 para ξ 0, 0 Φ(ξ) min( , ξ) para ξ > 0. ( .3) Ahora investigamos el orden de aproximación del esquema modificado, suponiendo que la función continua Φ = Φ(ξ) satisface 37

39 a las siguientes restricciones adicionales: Φ(ξ 1) Φ(ξ) L ξ 1 ξ, ξ 1, ξ, (.33) Φ(1) = 1, (.34) es decir, requerimos que la función Φ = Φ (ξ) satisface la condición de Lipschitz con alguna constante L > 0, y la gráfica de esta función pasa por el punto (1, 1). Reescribimos el esquema modificado de Lax Wendroff (.9) como el esquema original de Lax Wendroff (.7) con un término adicional donde u n + au n x, 1/ + a (1 aæ) (u n x,+1/ un x, 1/ ) + + a (1 aæ) Rn = 0, (.35) R n = (Φ +1/ 1) u n x,+1/ (Φ 1/ 1) u n x, 1/. (.36) Sea u = u(x, t) una solución suficientemente suave del problema de Cauchy (.1), (.). Sustituimos esta solución en la expresión (.36), conservando toda la notación anterior, pero teniendo en cuenta que ahora u n x,+1/ = u(x +1, t n) u(x, t n). (.37) Obviamente, si en la n-ésima capa de tiempo la función u(x, t n) es lineal, u(x, t n) = Bx + C, entonces R n 0. Usando las condiciones (.33), (. 34) , es fácil comprobar que para la función cuadrática u(x, t n) = Ax + Bx + C (A 0) la igualdad R n = O() se cumple para todos los nodos de un intervalo numérico arbitrario (α, β) que no contiene un punto extremo x = B/A. En el caso general, la siguiente afirmación es verdadera. Lema.1. Sean satisfechas las condiciones (.33), (.34) y una solución suficientemente uniforme del problema de Cauchy (.1), (.) satisfaga la condición u x (x, t n) 0 x [α, β] en algún intervalo numérico [α, β] . (.38) Entonces R n = O() x (α, β). (.39) 38

Esquemas en diferencias para problemas no lineales. Ecuación de transporte cuasilineal. Para la solución numérica de problemas no lineales en diversas situaciones, se utilizan esquemas tanto lineales como no lineales. Sostenibilidad de los

AGENCIA FEDERAL PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSIDAD ESTATAL DE NOVOSIBIRSK Facultad de Mecánica y Matemáticas G. S. Khakimzyanov, S. G. Cherny MÉTODOS DE CÁLCULO Parte 3. Métodos numéricos para resolver problemas

Teoría de la estabilidad de esquemas en diferencias 1 Estabilidad de la solución del problema de Cauchy con respecto a los datos iniciales y al lado derecho Sea B un espacio de funciones de Banach (es decir, completamente normado) definido en algún dominio

Conceptos básicos de la teoría de la diferencia de esquemas. Ejemplos de construcción de esquemas de diferencia para problemas de valor límite inicial. Una gran cantidad de problemas en física y tecnología conducen a problemas de límite o de límite inicial para lineales.

Ecuaciones diferenciales. 1999. V.35. 6. S.784-792. UDC 517.957 SOLVABILIDAD ÚNICA DEL PROBLEMA DE LÍMITES PARA ECUACIONES ELÍPTICAS CON NO LINEALIDADES Yu. V. Zhernovyi 1. Introducción. Formulación del problema. Mayoría

Aproximación por diferencia del problema del valor límite inicial para la ecuación de oscilación. Explícito (esquema "cruzado") y esquemas de diferencias implícitas. Consideremos varias variantes de la aproximación por diferencia de la ecuación de oscilación lineal:

Capítulo IV. Primeras integrales de sistemas de EDO 1. Primeras integrales de sistemas autónomos de ecuaciones diferenciales ordinarias En esta sección consideraremos sistemas autónomos de la forma f x = f 1 x, f n x C 1

Aproximación por diferencias del problema del valor límite inicial para la ecuación del calor. El concepto de esquema explícito e implícito. 1 Aproximación por diferencias de la ecuación del calor

Teoría de la estabilidad de los esquemas de diferencia 1 Esquemas de operador-diferencia 1.1 Introducción

Ecuaciones de transferencia. Esquemas de cálculo "en ejecución"

Skalko Yury Ivanovich Tsybulin Ivan Shevchenko Alexander Ecuación de onda de segundo orden La ecuación de onda en forma de ecuación de segundo orden se escribe como 2 u t 2 = c2 2 u x 2 + f Completemos la ecuación

MÉTODOS DE CÁLCULO Profesores: prof. B. I. Kvasov, prof. GS Khakimzyanov 5 6 semestres 1. Modelos matemáticos y experimento computacional. Clasificación de ecuaciones de la física matemática. Ejemplos de correcto

Esquemas de diferencias para la ecuación de oscilaciones en el caso multidimensional Para ecuaciones multidimensionales de oscilaciones, es posible componer un análogo del esquema "cruzado" y el esquema implícito. En este caso, el esquema "cruzado" explícito, al igual que en el unidimensional

Métodos básicos de discretización espacial Método de diferencias finitas. Los valores requeridos son los valores de las variables en algunos puntos, nodos de la cuadrícula de diferencias finitas. El error disminuye como N, donde el espaciado de la cuadrícula es

Ecuaciones En álgebra, se consideran dos tipos de igualdades: identidades y ecuaciones. La identidad es una igualdad que se cumple para todos los valores admisibles) de las letras incluidas en ella. Para las identidades, se utilizan signos.

Las formas más sencillas de estudiar los esquemas de diferencia para la estabilidad Recuerde que el esquema de diferencia L h y h = ϕ h (x), x ω h, l h y h = χ h (x), x γ h, que aproxima la frontera o el problema de valor de frontera inicial Lu

CAPÍTULO ESTABILIDAD DE SISTEMAS LINEALES En este capítulo se estudia la estabilidad de la clase más simple de sistemas diferenciales de sistemas lineales, en particular se establece que para sistemas lineales con constantes

Siberian Mathematical Journal enero febrero de 2001. Volumen 42, 1

Capítulo 1 Ecuaciones diferenciales 1.1 El concepto de ecuación diferencial 1.1.1 Problemas que conducen a las ecuaciones diferenciales. En la física clásica, a cada cantidad física se le asigna

CONFERENCIAS 8 9 Teorema S de Hille Yosida 3. Definición y propiedades elementales de los operadores monótonos maximales A lo largo de estas dos conferencias, el símbolo H denota un espacio de Hilbert con un escalar

Agencia Federal para la Educación Institución Educativa Estatal Federal de Educación Profesional Superior UNIVERSIDAD FEDERAL DEL SUR R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Metódico

Universidad Técnica Estatal de Moscú nombrada en honor a N.E. Facultad Bauman de Ciencias Fundamentales Departamento de Modelado Matemático A.N. Kanatnikov, A.P. kryshenko

Módulo Tema Secuencias y series de funciones Propiedades de la convergencia uniforme de secuencias y series Serie de potencias Clase Definiciones de secuencias y series de funciones Uniformemente

Ecuaciones diferenciales de primer orden resueltas con respecto a la derivada Teorema de existencia y unicidad para una solución En el caso general, una ecuación diferencial de primer orden tiene la forma F ()

CAPÍTULO: Método de las diferencias finitas. Clase 5: Estabilidad de esquemas de diferencia (10 diapositivas, 6 figuras) Diapositiva 1: Clasificación de RS por tipos de estabilidad. Según los tipos de estabilidad, se distinguen las siguientes RS: absolutamente

UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL ESTADO DE MOSCÚ DE AVIACIÓN CIVIL V.M. Lyubimov, E. A. Zhukova, VA Ukhova, Yu.A. Shurinov

Lección 9 Linealización de ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales lineales de órdenes superiores Ecuaciones homogéneas propiedades de sus soluciones Propiedades de soluciones de ecuaciones no homogéneas Definición 9 Lineal

AGENCIA FEDERAL PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSIDAD ESTATAL DE CONSTRUCCIÓN DE MOSCÚ Instituto de Educación Fundamental Facultad de Ciencias Generales Departamentos - FOK Oscilaciones de una cuerda infinita. fórmula de d'Alembert.

Clase 3 Teorema de existencia y unicidad para una solución a una ecuación escalar Enunciado del problema Resultado principal Considere el problema de Cauchy d f () d =, () =

Métodos para construir esquemas en diferencias Esquemas homogéneos para una ecuación de segundo orden con coeficientes variables

VARIACIÓN Y EXTREMO DE UNA FUNCIONAL AN Clase de Ecuaciones Integrales Blanda y Cálculo de Variaciones Sea dada una funcional V = V , y(x) M E. Fijamos una función y (x) M. Entonces cualquier otra función

Esquemas de diferencias económicas para problemas multidimensionales de física matemática. Esquema de direcciones alternas para el problema de valor límite inicial para la ecuación de calor en un rectángulo. Como ya se muestra

EL CONCEPTO DE UNA FUNCIÓN DERIVADA Tengamos una función definida en un conjunto X y sea un punto X un punto interior, el punto para el cual existe una vecindad de X. Tome cualquier punto y denótelo con se llama

Ecuaciones de tipo hiperbólico. Vibraciones de una cuerda infinita y semi-infinita. Método de Fourier Método de Fourier Ondas estacionarias 4 Tema 4.1 Ecuaciones de tipo hiperbólico. Fluctuaciones de infinito y semi-infinito

Información preliminar sobre la teoría de esquemas en diferencias 1 Fórmulas de suma por partes y fórmulas de diferencia de Green para funciones de cuadrícula

Clase 8 4 Problema de Sturm-Liouville

II ECUACIONES DIFERENCIALES Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Definición Las relaciones en las que las variables desconocidas y sus funciones están bajo el signo de la derivada o diferencial se denominan

Lección 5 5 Teorema de existencia y unicidad para una solución al problema de Cauchy para un sistema normal de ODEs Enunciado del problema El problema de Cauchy para un sistema normal de ODEs x = f (, x), () es encontrar una solución x =

Compilado por VPBelkin 1 Conferencia 1 Función de varias variables 1 Conceptos básicos La dependencia \u003d f (1, n) de una variable en las variables 1, n se llama función de n argumentos 1, n En lo que sigue, consideraremos

Capítulo 4. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Y SUS SISTEMAS

Métodos de resolución de ecuaciones reticulares 1 Métodos directos e iterativos Como resultado de la aproximación por diferencias de problemas de valores en la frontera de la física matemática, se obtienen SLAE cuyas matrices tienen las siguientes propiedades:

Descripción de modelos computacionales equatio Capter Sectio.. Esquemas de diferencias para ecuaciones de tipo parabólico Consideremos primero la ecuación de conducción de calor más simple: u, t uxx cost (.) Fig.. Introduzcamos en el área

MINISTERIO DE EDUCACIÓN Y CIENCIA DE LA FEDERACIÓN DE RUSIA Institución educativa estatal de educación profesional superior "INVESTIGACIÓN NACIONAL DE LA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE TOMSK"

Problema de Cauchy para la ecuación de onda. fórmula de d'Alembert 37, 438, I, II, 385, 439, 445, 37, III, IV, 37, 446.. 37 Encuentre la solución general de la ecuación u tt a u xx..) Paso. Encontrar un cambio de variables Método a través de

INSTRUCCIONES METODOLÓGICAS PARA TAREAS DE CÁLCULO EN EL CURSO DE MATEMÁTICAS SUPERIORES "SERIE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DOBLES INTEGRALES" PARTE III SERIE TEMÁTICA Contenidos Serie Serie numérica Convergencia y divergencia

Departamento de Matemáticas e Informática Elementos de la Matemática Superior Complejo educativo y metodológico para estudiantes de formación profesional secundaria que estudian utilizando tecnologías a distancia Módulo Cálculo diferencial Compilado por:

CAPÍTULO. ESTABILIDAD DE SISTEMAS LINEALES 8 grado con signo +, de lo obtenido se sigue que () π crece de a π. Así, los términos ϕ i() y k () +, es decir, el vector (i) ϕ monótonamente ϕ monótonamente crece como

Universidad Técnica Estatal de Moscú nombrada en honor a N.E. Facultad Bauman de Ciencias Fundamentales Departamento de Modelado Matemático A.N. Kanátnikov,

Capítulo 6 Fundamentos de la teoría de la estabilidad Clase Enunciado del problema Conceptos básicos Se mostró anteriormente que la solución del problema de Cauchy para un sistema normal de ODEs = f, () depende continuamente de las condiciones iniciales en

Capítulo 9. Métodos numéricos. Tema 4. El método de las diferencias de Euler para resolver el problema de Cauchy para ecuaciones diferenciales Problemas diferenciales y de diferencias de Euler. Definición. Problema diferencial de Euler

ECUACIONES DIFERENCIALES Conceptos generales Las ecuaciones diferenciales tienen numerosas y muy diversas aplicaciones en mecánica, física, astronomía, tecnología y en otras ramas de las matemáticas superiores (por ejemplo,

Ecuaciones lineales y no lineales de la física Ecuación de Laplace en sistema de coordenadas polares. Profesor titular del Departamento de VMMF Evgeniy Levchenko 518 Capítulo 5. Ecuaciones de tipo elíptico 25.2. Separación

Clase 3 Estabilidad del equilibrio y movimiento del sistema Cuando consideramos movimientos estacionarios, escribimos las ecuaciones de movimiento perturbado en la forma d dt A Y donde el vector columna es una matriz cuadrada de coeficientes constantes

Serie numérica Secuencia numérica Opr Una secuencia numérica es una función numérica definida en el conjunto de números naturales x - un miembro común de la secuencia x =, x =, x =, x =,

5 Serie de potencias 5 Serie de potencias: definición, dominio de convergencia Las series de funciones de la forma (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) los números se llaman series de potencias Números

Ministerio de Educación de la Federación Rusa MATI - UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL ESTADO DE RUSIA nombrada en honor a K. E. TSIOLKOVSKY Departamento de Matemáticas Superiores V. V. Gorbatsevich K. Yu Osipenko Ecuaciones parciales

Consideremos ahora los esquemas de diferencias más simples para la ecuación de Hopf.

La generalización del esquema de P. Lax al caso de la ecuación de Hopf tiene la forma

Aquí, obviamente, se usa la forma divergente de la ecuación (3.6).

Ejercicios. Considere el esquema de Lax-Wendroff para la ecuación de Hopf. Deje que las condiciones iniciales para el problema de Cauchy se establezcan de la siguiente manera: u(x, 0) = ch - 2 (x) . Entonces la ecuación de Hopf tiene una primera integral: . Compruebe que el esquema anterior es conservador, es decir. en él, la misma ley de conservación se cumple automáticamente a nivel de cuadrícula.

Construya un circuito similar usando forma característica escribiendo la ecuación de Hopf (3.9). ¿Será conservador?

El esquema es condicionalmente estable bajo la condición de Courant (más precisamente, una generalización de la condición de Courant)

Aquí y abajo, como antes en (3.7), f = 0.5u 2 . Se supone que el flujo es suficientemente suave, que aún no ha llegado el momento de la catástrofe del gradiente y que no hay ondas de choque u otras discontinuidades en la solución.

Esquema Courant-Isakson-Ries. Generalización de esquemas IRC al caso cuasilineal (al usar forma divergente ecuaciones) es obvio.

El esquema es estable bajo la condición de Courant.

Generalización Esquemas de Lax-Wendroff(esquema predictor-corrector). Para ecuaciones cuasi-lineales (así como ecuaciones lineales con coeficientes variables, ecuaciones no homogéneas, etc.), el esquema de Lax-Wendroff se vuelve más complejo. Para construirlo, es necesario introducir los llamados puntos semienteros (puntos con índices fraccionarios). En la primera etapa (predictor), los valores en los puntos semienteros se calculan de acuerdo con el esquema anterior, una generalización del esquema de Lax al caso cuasi lineal:

en la segunda etapa (corrector), se utiliza el esquema de "salto" (un esquema de tres capas en una plantilla cruciforme, que no está incluido en la familia (3.8)):

El esquema de Lax-Wendroff pertenece al llamado central esquemas Su patrón es simétrico. En la primera etapa, los valores de la función de cuadrícula se calculan en puntos semienteros de la plantilla en la capa intermedia (t m - 1/2, x m - 1/2), (t n + 1/2, x m + 1/2), en la segunda etapa la solución se calcula en la capa superior en el punto (t n + 1, x m). El esquema es estable bajo la condición de Courant.

Los esquemas de Lax-Wendroff para ecuaciones no homogéneas lineales se construyen de manera similar.

El esquema no central de McCormack(predictor - corrector).

Al igual que el esquema Lax-Wendroff anterior, el esquema McCormack tiene dos etapas. Considere la construcción del esquema de McCormack para ecuación homogénea(3.7). La primera etapa (predictor) tiene la forma

aquellos. se utiliza el esquema "esquina derecha explícita". La segunda etapa es el corrector:

Por lo tanto, el cálculo en la primera etapa según el esquema de "esquina derecha", en la segunda - "esquina izquierda".

Otro esquema de McCormack tiene la forma

Estos esquemas diferenciales se denominan no central. Sus ventajas incluyen la ausencia de índices semienteros, una configuración más simple de las condiciones de contorno. En el caso lineal, los esquemas de McCormack coinciden con el esquema de Lax-Wendroff. Los esquemas tienen el segundo orden de aproximación en ambas variables, los esquemas son estables bajo la condición de Courant.

El esquema de Rusanov(esquema central del tercer orden de precisión).

Para construir el esquema de Rusanov, no solo se introducen puntos semienteros, sino también dos capas de puntos intermedios con índices fraccionarios. La primera etapa del esquema de Rusanov (transición a la capa 1/3) tiene la forma

su segunda etapa es el esquema de "salto de rana"

y la tercera etapa

En la primera etapa, el cálculo se lleva a cabo de acuerdo con el esquema de Lax, en la segunda, de acuerdo con el esquema de "cruz" ("salto"). El último término de la tercera etapa se introduce para asegurar la estabilidad del esquema (un término proporcional a la diferencia de aproximación de la cuarta derivada).

El esquema es condicionalmente estable bajo la condición de Courant y la condición .

no central esquema de calentamiento-cutler-lomax 3er orden de precisión.

Primera etapa:

Segunda fase:

Tercera etapa:

El último término se agrega para la estabilidad del circuito, que es condicionalmente estable bajo las condiciones de Courant.