Gráfico de aceleración tangencial. Aceleración tangencial y normal

Y por qué es necesario. Ya sabemos qué es un marco de referencia, la relatividad del movimiento y un punto material. Bueno, ¡es hora de seguir adelante! Aquí revisaremos los conceptos básicos de la cinemática, reuniremos las fórmulas más útiles sobre los conceptos básicos de la cinemática y daremos un ejemplo práctico para resolver el problema.

Resolvamos el siguiente problema: Un punto se mueve en un círculo con un radio de 4 metros. La ley de su movimiento se expresa mediante la ecuación S=A+Bt^2. A=8m, B=-2m/s^2. ¿En qué momento la aceleración normal de un punto es igual a 9 m/s^2? Encuentre la velocidad, la aceleración tangencial y total del punto para este momento en el tiempo.

Solución: sabemos que para encontrar la velocidad, necesitamos tomar la primera derivada de la ley del movimiento, y la aceleración normal es igual al cuadrado privado de la velocidad y el radio del círculo a lo largo del cual se mueve el punto . Armados con este conocimiento, encontramos los valores deseados.

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Se dan las fórmulas básicas de la cinemática de un punto material, su derivación y presentación de la teoría.

Contenido

Ver también: Un ejemplo de resolución del problema (método de coordenadas para especificar el movimiento de un punto)

Fórmulas básicas para la cinemática de un punto material

Presentamos las fórmulas básicas para la cinemática de un punto material. Después de eso, damos su derivación y presentación de la teoría.

Radio vector de un punto material M en un sistema de coordenadas rectangular Oxyz :
,
donde son vectores unitarios (ortos) en la dirección de los ejes x, y, z.

Velocidad de punto:
;
.
.
Vector unitario en la dirección de la tangente a la trayectoria del punto:
.

Aceleración de puntos:
;
;
;
; ;

Aceleración tangencial (tangencial):
;
;
.

Aceleración normal:
;
;
.

Vector unitario dirigido hacia el centro de curvatura de la trayectoria del punto (a lo largo de la normal principal):
.

.

Vector de radio y trayectoria de punto

Considere el movimiento de un punto material M . Elegimos un sistema de coordenadas rectangulares fijo Oxyz centrado en algún punto fijo O . Entonces la posición del punto M está determinada únicamente por sus coordenadas (x, y, z). Estas coordenadas son componentes del radio vector del punto material.

El radio vector del punto M es el vector trazado desde el origen del sistema de coordenadas fijo O hasta el punto M .
,
donde son los vectores unitarios en la dirección de los ejes x, y, z.

A medida que el punto se mueve, las coordenadas cambian con el tiempo. Es decir, son funciones del tiempo. Entonces el sistema de ecuaciones
(1)
puede verse como una ecuación de una curva dada por ecuaciones paramétricas. Tal curva es la trayectoria de un punto.

La trayectoria de un punto material es la línea a lo largo de la cual se mueve el punto.

Si el punto se mueve en un plano, puede elegir los ejes y los sistemas de coordenadas para que se encuentren en este plano. Entonces la trayectoria está determinada por dos ecuaciones

En algunos casos, el tiempo se puede excluir de estas ecuaciones. Entonces la ecuación de la trayectoria tendrá una dependencia de la forma:
,
donde es alguna función. Esta dependencia contiene solo variables y . No contiene un parámetro.

Velocidad del punto de material

La velocidad de un punto material es la derivada temporal de su radio vector.

De acuerdo con la definición de velocidad y la definición de la derivada:

Las derivadas del tiempo, en mecánica, se denotan con un punto sobre el símbolo. Sustituya aquí la expresión por el radio vector:
,
donde hemos indicado explícitamente la dependencia de las coordenadas en el tiempo. Obtenemos:

,
Dónde
,
,

- proyecciones de velocidad en los ejes de coordenadas. Se obtienen diferenciando con respecto al tiempo las componentes del radio vector
.

De este modo
.
Módulo de velocidad:
.

tangente al camino

Desde un punto de vista matemático, el sistema de ecuaciones (1) puede considerarse como la ecuación de una recta (curva) dada por ecuaciones paramétricas. El tiempo, en esta consideración, juega el papel de un parámetro. A partir del curso del análisis matemático, se sabe que el vector de dirección de la tangente a esta curva tiene los siguientes componentes:
.
Pero estos son los componentes del vector de velocidad puntual. Eso es la velocidad del punto material se dirige tangencialmente a la trayectoria.

Todo esto se puede demostrar directamente. Deje que en el momento del tiempo el punto esté en posición con el radio vector (ver figura). Y en el momento del tiempo, en una posición con un radio vector. Dibuja una línea recta a través de los puntos. Por definición, una tangente es una recta a la que tiende la recta cuando .
Introduzcamos la notación:
;
;
.
Entonces el vector se dirige a lo largo de la línea recta.

Al tender, la recta tiende a la tangente, y el vector tiende a la velocidad del punto en el momento del tiempo:
.
Como el vector está dirigido a lo largo de la línea recta y la línea recta está en , entonces el vector de velocidad está dirigido a lo largo de la tangente.
Es decir, el vector de velocidad del punto material se dirige a lo largo de la tangente a la trayectoria.

vamos a presentar vector de dirección de tangente de longitud unitaria:
.
Demostremos que la longitud de este vector es igual a uno. De hecho, porque
, Eso:
.

Entonces el vector de velocidad puntual se puede representar como:
.

Aceleración del punto material

La aceleración de un punto material es la derivada de su velocidad con respecto al tiempo.

De forma similar al anterior, obtenemos las componentes de aceleración (proyecciones de aceleración en los ejes de coordenadas):
;
;
;
.
Módulo de aceleración:
.

Aceleraciones tangenciales (tangenciales) y normales

Ahora considere la cuestión de la dirección del vector aceleración con respecto a la trayectoria. Para ello, aplica la fórmula:
.
Diferenciarlo con respecto al tiempo usando la regla de diferenciación de productos:
.

El vector está dirigido tangencialmente a la trayectoria. ¿En qué dirección está dirigida su derivada temporal?

Para responder a esta pregunta, usamos el hecho de que la longitud del vector es constante e igual a uno. Entonces el cuadrado de su longitud también es igual a uno:
.
Aquí y debajo, dos vectores entre paréntesis denotan el producto escalar de vectores. Derive la última ecuación con respecto al tiempo:
;
;
.
Dado que el producto escalar de los vectores y es igual a cero, estos vectores son perpendiculares entre sí. Como el vector es tangente a la trayectoria, el vector es perpendicular a la tangente.

La primera componente se denomina aceleración tangencial o tangencial:
.
La segunda componente se llama aceleración normal:
.
Entonces la aceleración total es:
(2) .
Esta fórmula es una descomposición de la aceleración en dos componentes mutuamente perpendiculares: tangente a la trayectoria y perpendicular a la tangente.

Desde entonces
(3) .

Aceleración tangencial (tangencial)

Multiplica ambos lados de la ecuación. (2) escalar a:
.
Porque entonces . Entonces
;
.
Aquí ponemos:
.
De aquí se deduce que la aceleración tangencial es igual a la proyección de la aceleración total sobre la dirección de la tangente a la trayectoria o, lo que es lo mismo, sobre la dirección de la velocidad del punto.

La aceleración tangencial (tangencial) de un punto material es la proyección de su aceleración total en la dirección de la tangente a la trayectoria (o en la dirección de la velocidad).

El símbolo denota el vector de aceleración tangencial dirigido a lo largo de la tangente a la trayectoria. Entonces es un valor escalar igual a la proyección de la aceleración total en la dirección de la tangente. Puede ser tanto positivo como negativo.

Sustituyendo , tenemos:
.

Sustituir en la fórmula:
.
Entonces:
.
Es decir, la aceleración tangencial es igual a la derivada temporal del módulo de la velocidad del punto. De este modo, aceleración tangencial conduce a un cambio en el valor absoluto de la velocidad del punto. A medida que aumenta la velocidad, la aceleración tangencial es positiva (o dirigida a lo largo de la velocidad). A medida que la velocidad disminuye, la aceleración tangencial es negativa (u opuesta a la velocidad).

Ahora examinemos el vector.

Considere el vector unitario de la tangente a la trayectoria. Situamos su origen en el origen del sistema de coordenadas. Entonces el final del vector estará en una esfera de radio unidad. Al mover un punto material, el extremo del vector se moverá a lo largo de esta esfera. Es decir, girará en torno a su origen. Sea la velocidad angular instantánea de rotación del vector en el tiempo . Entonces su derivada es la velocidad de movimiento del extremo del vector. Está dirigido perpendicularmente al vector. Apliquemos la fórmula para el movimiento de rotación. Módulo vectorial:
.

Ahora considere la posición del punto para dos tiempos de cierre. Supongamos que en el momento del tiempo el punto está en la posición, y en el momento del tiempo, en la posición. Sean y vectores unitarios dirigidos tangencialmente a la trayectoria en estos puntos. A través de los puntos y dibujar planos perpendiculares a los vectores y . Sea una recta formada por la intersección de estos planos. Coloque una perpendicular desde un punto a una línea. Si las posiciones de los puntos y son lo suficientemente cercanas, entonces el movimiento del punto puede considerarse como una rotación a lo largo de un círculo de radio alrededor del eje, que será el eje instantáneo de rotación del punto material. Como los vectores y son perpendiculares a los planos y , el ángulo entre estos planos es igual al ángulo entre los vectores y . Entonces la velocidad instantánea de rotación del punto alrededor del eje es igual a la velocidad instantánea de rotación del vector:
.
Aquí, es la distancia entre los puntos y .

Así, encontramos el módulo de la derivada temporal del vector:
.
Como señalamos anteriormente, el vector es perpendicular al vector. Se puede ver del razonamiento anterior que está dirigido hacia el centro instantáneo de curvatura de la trayectoria. Esta dirección se llama normal principal.

Aceleración normal

Aceleración normal

dirigida a lo largo del vector. Como vimos, este vector está dirigido perpendicularmente a la tangente, hacia el centro instantáneo de curvatura de la trayectoria.
Sea un vector unitario dirigido desde un punto material al centro instantáneo de curvatura de la trayectoria (a lo largo de la normal principal). Entonces
;
.
Dado que ambos vectores y tienen la misma dirección, hacia el centro de curvatura de la trayectoria, entonces
.

De la fórmula (2) tenemos:
(4) .
De la fórmula (3) Encuentre el módulo de aceleración normal:
.

Multiplica ambos lados de la ecuación. (2) escalar a:
(2) .
.
Porque entonces . Entonces
;
.
Esto muestra que el módulo de la aceleración normal es igual a la proyección de la aceleración total en la dirección de la normal principal.

La aceleración normal de un punto material es la proyección de su aceleración total sobre la dirección perpendicular a la tangente a la trayectoria.

Sustituyamos. Entonces
.
Es decir, la aceleración normal provoca un cambio en la dirección de la velocidad del punto y está relacionada con el radio de curvatura de la trayectoria.

A partir de aquí se puede encontrar el radio de curvatura de la trayectoria:
.

Finalmente, observamos que la fórmula (4) puede reescribirse de la siguiente forma:
.
Aquí aplicamos la fórmula para el producto cruz de tres vectores:
,
en el que enmarcaron
.

Así que tenemos:
;
.
Igualemos los módulos de las partes izquierda y derecha:
.
Pero los vectores y son mutuamente perpendiculares. Es por eso
.
Entonces
.
Esta es una fórmula bien conocida de la geometría diferencial para la curvatura de una curva.

Ver también:

Cinemática de un punto, cinemática de un cuerpo rígido, movimiento de traslación, movimiento de rotación, movimiento plano-paralelo, teorema de proyección de velocidad, centro instantáneo de velocidades, determinación de velocidad y aceleraciones de puntos de un cuerpo plano, movimiento complejo de un punto

Contenido

Cinemática de cuerpo rígido

Para determinar de forma única la posición de un cuerpo rígido, debe especificar tres coordenadas (x A , y A , z A ) uno de los puntos A del cuerpo y tres ángulos de rotación. Así, la posición de un cuerpo rígido está determinada por seis coordenadas. Es decir, un cuerpo rígido tiene seis grados de libertad.

En el caso general, la dependencia de las coordenadas de los puntos de un cuerpo rígido en relación con un sistema de coordenadas fijo se determina mediante fórmulas bastante engorrosas. Sin embargo, las velocidades y aceleraciones de los puntos se determinan de forma muy sencilla. Para hacer esto, necesita conocer la dependencia de las coordenadas en el tiempo de un punto A, elegido arbitrariamente, y el vector de velocidad angular. Derivando con respecto al tiempo, encontramos la velocidad y aceleración del punto A y la aceleración angular del cuerpo:
; ; .
Luego, la velocidad y la aceleración de un punto del cuerpo con un radio vector están determinadas por las fórmulas:
(1) ;
(2) .
Aquí y más abajo, los productos de vectores entre corchetes significan productos vectoriales.

Tenga en cuenta que el vector velocidad angular es el mismo para todos los puntos del cuerpo. No depende de las coordenadas de los puntos del cuerpo. También el vector de aceleración angular es el mismo para todos los puntos del cuerpo.

Ver derivación de fórmulas (1) Y (2) en la página: Velocidad y aceleración de puntos de un cuerpo rígido > > >

Movimiento de traslación de un cuerpo rígido.

En el movimiento de traslación, la velocidad angular es cero. Las velocidades de todos los puntos del cuerpo son iguales. Cualquier línea recta dibujada en el cuerpo se mueve mientras permanece paralela a su dirección inicial. Así, para estudiar el movimiento de un cuerpo rígido durante el movimiento de traslación, es suficiente estudiar el movimiento de cualquier punto de este cuerpo. Mira la sección.

Movimiento uniformemente acelerado

Considere el caso del movimiento uniformemente acelerado. Sea constante e igual a ax la proyección de la aceleración del punto del cuerpo sobre el eje x. Entonces la proyección de la velocidad v x y x - la coordenada de este punto depende del tiempo t según la ley:
v x = v x 0 + una x t;
,
donde v x 0 yx 0 - velocidad y coordenada del punto en el tiempo inicial t = 0 .

Movimiento de rotación de un cuerpo rígido.

Considere un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo. Elegimos un sistema de coordenadas fijo Oxyz centrado en el punto O . Dirijamos el eje z a lo largo del eje de rotación. Consideramos que las coordenadas z de todos los puntos del cuerpo permanecen constantes. Entonces el movimiento ocurre en el plano xy. La velocidad angular ω y la aceleración angular ε están dirigidas a lo largo del eje z:
; .
Sea φ el ángulo de giro del cuerpo, que depende del tiempo t. Derivando con respecto al tiempo, encontramos proyecciones de velocidad angular y aceleración angular en el eje z:
;
.

Considere el movimiento de un punto M, que está ubicado a una distancia r del eje de rotación. La trayectoria del movimiento es un círculo (o un arco de círculo) de radio r.
Velocidad de punto:
v = ω r .
El vector velocidad está dirigido tangencialmente a la trayectoria.
Aceleración tangencial:
un τ = ε r .
La aceleración tangencial también se dirige tangencialmente a la trayectoria.
Aceleración normal:
.
Está dirigido hacia el eje de rotación O.
Aceleración completa:
.
Como los vectores y son perpendiculares entre sí, entonces módulo de aceleración:
.

Movimiento uniformemente acelerado

En el caso de un movimiento uniformemente acelerado, en el que la aceleración angular es constante e igual a ε, la velocidad angular ω y el ángulo de rotación φ cambian con el tiempo t según la ley:
ω = ω 0 + t;
,
donde ω 0 y φ 0 - velocidad angular y ángulo de rotación en el tiempo inicial t = 0 .

Movimiento plano-paralelo de un cuerpo rígido

plano-paralelo o plano llamado movimiento de un cuerpo rígido en el que todos sus puntos se mueven paralelos a algún plano fijo. Elijamos un sistema de coordenadas rectangular Oxyz . Los ejes x e y estarán situados en el plano en el que se mueven los puntos del cuerpo. Entonces todas las coordenadas z de los puntos del cuerpo permanecen constantes, los componentes z de las velocidades y aceleraciones son iguales a cero. Los vectores de velocidad angular y aceleración angular, por el contrario, están dirigidos a lo largo del eje z. Sus componentes x e y son cero.

Las proyecciones de las velocidades de dos puntos de un cuerpo rígido sobre el eje que pasa por estos puntos son iguales entre sí.
v A cos α = v B cos β.

centro instantáneo de velocidad

Centro instantáneo de velocidades Un punto en un plano cuya velocidad es cero en un momento dado se llama figura.

Para determinar la posición del centro instantáneo de velocidades P de una figura plana, solo necesitas conocer las direcciones de las velocidades y sus dos puntos A y B. Para hacer esto, trazamos una línea recta a través del punto A perpendicular a la dirección de la velocidad. A través del punto B trazamos una línea perpendicular a la dirección de la velocidad. El punto de intersección de estas líneas es el centro instantáneo de velocidades P . Velocidad angular de rotación del cuerpo:
.

Si las velocidades de dos puntos son paralelas entre sí, entonces ω = 0 . Las velocidades de todos los puntos del cuerpo son iguales entre sí (en un momento dado).

Si se conocen la velocidad de cualquier punto A de un cuerpo plano y su velocidad angular ω, entonces la velocidad de un punto arbitrario M está determinada por la fórmula (1) , que se puede representar como la suma de los movimientos de traslación y rotación:
,
donde es la velocidad del movimiento de rotación del punto M con respecto al punto A. Es decir, la velocidad que tendría el punto M al girar sobre una circunferencia de radio |AM| con velocidad angular ω si el punto A fuera fijo.
Módulo de velocidad relativa:
v MA = ω |AM| .
El vector está dirigido tangencialmente a la circunferencia de radio |AM| centrado en el punto A.

La determinación de las aceleraciones de los puntos de un cuerpo plano se realiza mediante la fórmula (2) . La aceleración de cualquier punto M es igual a la suma vectorial de la aceleración de algún punto A y la aceleración del punto M durante la rotación alrededor del punto A, considerando el punto A fijo:
.
se puede descomponer en aceleraciones tangentes y normales:
.
La aceleración tangencial se dirige tangencialmente a la trayectoria. La aceleración normal se dirige del punto M al punto A. Aquí ω y ε son la velocidad angular y la aceleración angular del cuerpo.

Movimiento de punto complejo

Sea O 1 x 1 y 1 z 1- sistema fijo de coordenadas rectangulares. La velocidad y aceleración del punto M en este sistema de coordenadas se llamará velocidad absoluta y aceleración absoluta.

Sea Oxyz un sistema de coordenadas rectangulares en movimiento, digamos, rígidamente conectado a algún cuerpo rígido que se mueve en relación con el marco O 1 x 1 y 1 z 1. La velocidad y aceleración del punto M en el sistema de coordenadas Oxyz se llamará velocidad relativa y aceleración relativa. Sea la velocidad angular de rotación del sistema Oxyz con respecto a O 1 x 1 y 1 z 1.

Consideremos un punto que coincide, en un momento dado, con el punto M y está fijo con respecto al sistema Oxyz (un punto rígidamente conectado a un cuerpo rígido). La velocidad y la aceleración de dicho punto en el sistema de coordenadas O 1 x 1 y 1 z 1 llamaremos velocidad portátil y aceleración portátil.

Teorema de la suma de velocidades

La velocidad absoluta de un punto es igual a la suma vectorial de las velocidades relativa y de traslación:
.

Teorema de la suma de aceleraciones (teorema de Coriolis)

La aceleración absoluta de un punto es igual a la suma vectorial de las aceleraciones relativa, de traslación y de Coriolis:
,
Dónde
- Aceleración de Coriolis.

Referencias:
S. M. Targ, Curso Corto de Mecánica Teórica, Escuela Superior, 2010.

El movimiento de un punto material a lo largo de una trayectoria curvilínea siempre es acelerado, porque incluso si la velocidad no cambia en valor numérico, siempre cambia en dirección.

En el caso general, la aceleración durante el movimiento curvilíneo se puede representar como una suma vectorial de aceleración tangencial (o tangencial) t y aceleración normal norte: =t+n- arroz. 1.4.

La aceleración tangencial caracteriza la tasa de cambio del módulo de velocidad. El valor de esta aceleración será:

La aceleración normal caracteriza la tasa de cambio de velocidad en la dirección. El valor numérico de esta aceleración, donde r- el radio del círculo contiguo, es decir un círculo a través de tres puntos infinitamente cercanos B¢ , A, B acostado en la curva (Fig. 1.5). Vector norte dirigido a lo largo de la normal a la trayectoria al centro de curvatura (el centro del círculo contiguo).

Valor numérico de la aceleración total

donde es la velocidad angular.

donde es la aceleración angular.

La aceleración angular es numéricamente igual al cambio en la velocidad angular por unidad de tiempo.

Como conclusión, damos una tabla en la que se establece una analogía entre los parámetros cinemáticos lineales y angulares del movimiento.

Fin del trabajo -

Este tema pertenece a:

Curso Corto de Física

Ministerio de Educación y Ciencia de Ucrania Academia Marítima Nacional de Odessa.

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Por ejemplo, un automóvil, al alejarse, aumenta la velocidad de movimiento, es decir, se mueve a un ritmo acelerado. Inicialmente, su velocidad es cero. Partiendo de parado, el coche acelera gradualmente hasta una determinada velocidad. Si se enciende un semáforo en rojo en su camino, el automóvil se detendrá. Pero no se detendrá inmediatamente, sino después de un tiempo. Es decir, su velocidad disminuirá hasta cero: el automóvil se moverá lentamente hasta que se detenga por completo. Sin embargo, en física no existe el término "desaceleración". Si el cuerpo se está moviendo, disminuyendo la velocidad, entonces esta también será la aceleración del cuerpo, solo que con un signo menos (como recordará, la velocidad es una cantidad vectorial).

> es la relación entre el cambio de velocidad y el intervalo de tiempo durante el cual se produjo este cambio. La aceleración media se puede determinar mediante la fórmula:

Arroz. 1.8. Aceleración media. en SI unidad de aceleración es 1 metro por segundo por segundo (o metro por segundo al cuadrado), es decir

Un metro por segundo al cuadrado es igual a la aceleración de un punto que se mueve en línea recta, a la que en un segundo la velocidad de este punto aumenta en 1 m/s. En otras palabras, la aceleración determina cuánto cambia la velocidad de un cuerpo en un segundo. Por ejemplo, si la aceleración es de 5 m / s 2, esto significa que la velocidad del cuerpo aumenta en 5 m / s cada segundo.

Aceleración instantánea de un cuerpo (punto material) en un momento dado es una cantidad física igual al límite al que tiende la aceleración media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. En otras palabras, esta es la aceleración que el cuerpo desarrolla en un período de tiempo muy corto:

Con el movimiento rectilíneo acelerado, la velocidad del cuerpo aumenta en valor absoluto, es decir

V2 > v1

y la dirección del vector aceleración coincide con el vector velocidad

Si el módulo de velocidad del cuerpo disminuye, eso es

V 2< v 1

entonces la dirección del vector aceleración es opuesta a la dirección del vector velocidad En otras palabras, en este caso, desaceleración, mientras que la aceleración será negativa (y< 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Arroz. 1.9. Aceleración instantánea.

Al moverse a lo largo de una trayectoria curvilínea, no solo cambia el módulo de velocidad, sino también su dirección. En este caso, el vector de aceleración se representa como dos componentes (ver la siguiente sección).

Aceleración tangencial (tangencial) es la componente del vector aceleración dirigida a lo largo de la tangente a la trayectoria en un punto dado de la trayectoria. La aceleración tangencial caracteriza el cambio en el módulo de velocidad durante el movimiento curvilíneo.

Arroz. 1.10. aceleración tangencial.

La dirección del vector de aceleración tangencial (ver Fig. 1.10) coincide con la dirección de la velocidad lineal o es opuesta a ella. Es decir, el vector de aceleración tangencial se encuentra en el mismo eje que el círculo tangente, que es la trayectoria del cuerpo.

Aceleración normal

Aceleración normal es un componente del vector de aceleración dirigido a lo largo de la normal a la trayectoria de movimiento en un punto dado de la trayectoria de movimiento del cuerpo. Es decir, el vector de aceleración normal es perpendicular a la velocidad lineal de movimiento (vea la figura 1.10). La aceleración normal caracteriza el cambio de velocidad en la dirección y se denota con la letra El vector de aceleración normal se dirige a lo largo del radio de curvatura de la trayectoria.

Aceleración completa

Aceleración completa en movimiento curvilíneo, consta de aceleraciones tangenciales y normales a lo largo y está determinado por la fórmula:

(según el teorema de Pitágoras para un rectángulo rectangular).