Determinación del momento de inercia de cuerpos por el método de oscilación
Un péndulo físico es un cuerpo rígido capaz de oscilar alrededor de un eje que se encuentra sobre su centro de masa. Tal "dispositivo" es muy útil. Entonces, con su ayuda, la aceleración de la gravedad se determina de manera muy simple y con un alto grado de precisión. Además, un péndulo físico le permite determinar los momentos de inercia de varios cuerpos sólidos.
Las pequeñas oscilaciones de un péndulo alrededor de su eje son sus pequeños giros en direcciones opuestas, por lo que comprender las oscilaciones de un péndulo físico es comprender la mecánica de rotación. La mecánica de la rotación tiene una estrecha analogía con la mecánica del movimiento de traslación. La analogía se manifiesta en los conceptos básicos de la mecánica, sus ideas y leyes, y como resultado, en fórmulas y ecuaciones, que es conveniente presentar en forma de una "tabla de analogías", que debe comprenderse firmemente:
I. Cinemática
Movimiento de traslación Movimiento de rotación
II. Dinámica
Ley básica de la dinámica (ecuación del movimiento)
| a=F/metro | ε =M/Iz |
Vemos que han aparecido tres nuevas cantidades con nombres intrincados en la dinámica de rotación: momento de fuerza, momento de inercia, momento de impulso (también conocido como momento angular, él es momento de rotación !). Que el lector no tenga dolor de cabeza por tales nombres; surgieron como resultado de malentendidos terminológicos de siglos pasados, con el agregado de la insuficiencia de la traducción de lenguas extranjeras; es bastante inútil profundizar en el significado de estos nombres. Solo necesitan ser recordados. Para el momento angular, este malentendido alcanza un máximo: hasta tres nombres. Afortunadamente, uno de ellos resultó ser decente. momento de rotación , que simplemente refleja su analogía con la cantidad correspondiente de movimiento de traslación: el impulso habitual.
Expliquemos el momento de fuerza. METRO y momento de inercia es .
Momento de poder. Tome un cuerpo rígido fijo en un eje. Apliquémosle una fuerza en algún punto, y dejemos que la línea de acción de la fuerza se cruce con el eje de rotación. Tal fuerza doblará el eje de rotación o arrancará el eje de su fortificación junto con el cuerpo, nada más.
Cambiemos un poco la experiencia: movamos la línea de acción de la misma fuerza desde el eje una distancia yo. El efecto tendrá un efecto inmediato: el cuerpo comenzará a girar con facilidad. La fuerza adquiere la capacidad de girar el cuerpo. Este la capacidad de una fuerza para girar se llama el "momento de fuerza" . La experiencia cotidiana dice que la capacidad de una fuerza para hacer girar un cuerpo depende no solo de la fuerza, sino también de " hombros de fuerza" yo(la distancia más corta desde la línea de acción de la fuerza hasta el eje de rotación). Eventualmente el valor del momento de la fuerza es igual al producto de la fuerza y el brazo:
Momento de inercia sobre el eje.. Como ya se señaló en la “tabla de analogías”, momento de inercia (¡ignora el nombre abstruso!) – cantidad que caracteriza la inercia del cuerpo durante la rotación. Considere dos trompos que son completamente idénticos en forma y tamaño, pero con masas notablemente diferentes, por ejemplo, aluminio y plomo. Fácilmente encontraremos que es mucho más fácil girar hasta cierta velocidad (¡y luego detenerse!) una peonza de aluminio es mucho más fácil que una de plomo. Esto significa que la inercia del cuerpo durante su rotación es proporcional a la masa.
Además, si tuviéramos la oportunidad de aplanar fuertemente cualquier parte superior, moviendo una parte significativa de su masa lo más lejos posible del eje de rotación, convirtiéndola en un disco, inmediatamente encontraríamos que girar (y detenerse) se volvió notablemente más difícil, en comparación con cuando era compacto. Esto significa que la inercia del cuerpo durante la rotación depende no solo de la masa, sino también del grado de separación de sus partes del eje de rotación.
Momento de inercia de un punto material de masa m, situado a una distancia r relativa al eje z(arroz . 1), es un valor igual al producto de su masa por el cuadrado de la distancia al eje de rotación
Iz = señor 2(2)
¿Y cuál es el momento de inercia de un cuerpo arbitrario (Fig. 2)? La experiencia demuestra que es igual a la suma de los momentos de inercia de las partes en que se puede dividir cualquier cuerpo. Es notable que el valor del momento de inercia no depende de la forma en que el todo se divide en partes (esta propiedad se llama aditividad; nos sirve para verificar los resultados del trabajo de laboratorio). Romper el cuerpo en masas muy pequeñas, casi puntuales. Dm yo, cada uno de los cuales está separado del eje de rotación a una distancia yo, teniendo en cuenta la aditividad del momento de inercia y la definición (2) para es punto material, obtenemos la expresión general momento de inercia de un cuerpo arbitrario sobre el eje Z en forma de la suma de los momentos de inercia de los puntos materiales en que se divide el cuerpo:
(3)
En el límite cuando Dm yo se convierten estrictamente en puntos materiales, la suma (3) se reduce a una integral sobre el volumen del cuerpo, y para cuerpos de forma simple (regular), se calcula exactamente (una tabla de los momentos de inercia de cuerpos de una forma regular se puede encontrar en libros de referencia y libros de texto sobre física general). En conclusión, observamos una fórmula útil, conocida como el teorema de Steiner, que permite encontrar el momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje arbitrario. Z si se conoce el momento de inercia del cuerpo ic relativo al eje que pasa por el centro de inercia C (también es el centro de masa, también es el centro de gravedad) y paralelo a este eje:
yo z = yo c+ mamá 2, (4)
Aquí metro- masa corporal, a- la distancia entre los ejes.
Ahora estamos listos para considerar las oscilaciones de un péndulo físico (Fig. 3). Si lo desviamos de la posición de equilibrio en un pequeño ángulo φ y déjalo solo, comenzará a hacer "pequeñas" vibraciones. Para describir las oscilaciones, utilizaremos uno de los principales métodos para resolver problemas físicos: método de la ecuación de movimiento.
La ecuación de movimiento en dinámica rotacional ya está escrita en la "tabla de analogías"; refleja la ley básica de la dinámica de rotación: si una fuerza externa actúa sobre el cuerpo, provocando la aparición de un momento de fuerza, entonces el cuerpo gira y su aceleración angular es proporcional al momento de fuerza e inversamente proporcional a su momento de inercia:
(5)
Supondremos que la fuerza de gravedad, la única fuerza en nuestro problema, se aplica al centro de masa del péndulo (en mecánica teórica, esta técnica está estrictamente fundamentada). Esta fuerza crea un momento relativo al eje de rotación, igual a
M = -Pl = - Pa senφ = - mga senφ ≈ - mgaφ(6)
Aquí se tiene en cuenta que para pequeñas desviaciones del péndulo se puede sustituir el seno del ángulo por su argumento (expresado en radianes) senφ ≈φ. El signo menos indica que cuando el péndulo se desvía un ángulo φ en el sentido contrario a las agujas del reloj, surge un momento de gravedad que tiende a girar el péndulo en el sentido de las agujas del reloj, es decir devolverlo a su posición de equilibrio.
En la ecuación (5), el valor deseado es. Queda por descifrar la aceleración angular. Ángulo de desviación φ (¡trayectoria angular!) Depende del tiempo, y la aceleración angular es siempre la segunda derivada temporal de la trayectoria angular (ver "tabla de analogías").
INSTRUCCIONES METODOLÓGICAS PARA EL TRABAJO DE LABORATORIO No. 1.2
DETERMINACIÓN DEL MOMENTO DE INERCIA DE UN FÍSICO
PÉNDULO
OBJETIVO DEL TRABAJO: determinar el momento de inercia de un péndulo físico e investigar la dependencia del momento de inercia de la posición del centro de masa del péndulo con respecto al eje de rotación.
INSTRUMENTOS Y ACCESORIOS: un péndulo físico en un soporte, un cronómetro, un prisma en un soporte, una regla de escala.
ELEMENTOS DE LA TEORIA
Los desplazamientos periódicos del cuerpo con respecto a alguna posición estable (posición de equilibrio) se denominanmovimiento oscilante o fluctuaciones simples. Los movimientos oscilatorios en el caso general son procesos físicos complejos. La doctrina de las vibraciones sirve como base para una serie de disciplinas aplicadas (acústica, teoría de máquinas, sismología, etc.).
El tipo más simple de vibración es el movimiento vibratorio armónico. Las oscilaciones armónicas de un cuerpo surgen cuando sobre él actúa una fuerza proporcional al desplazamiento, es decir. Esta fuerza se llama cuasi-elástica o restauradora. La naturaleza de la fuerza restauradora puede ser diferente (fuerza de elasticidad, gravedad, etc.) En el caso de movimiento armónico, la dependencia de la trayectoria (desplazamiento) de vez expresado por la función seno o coseno:
Dónde desplazamiento máximo del cuerpo desde la posición de equilibrio (amplitud),
frecuencia circular o cíclica,
Tiempo de una oscilación completa (período),
fase de oscilación inicial.
La aceleración de un cuerpo que realiza oscilaciones armónicas es proporcional al desplazamiento y siempre está dirigida hacia el equilibrio, es decir para cada punto en el tiempo compensado y aceleración tienen signos opuestos:
. (1)
Las oscilaciones armónicas se realizan mediante péndulos bajo la acción de la gravedad, si los ángulos de desviación de la posición vertical (posición de equilibrio) son pequeños.
Los péndulos son simples y complejos. Un cuerpo de pequeño tamaño (punto material), suspendido de un hilo largo, cuya tensión y peso pueden despreciarse, se llama simple opéndulo matemático. Un cuerpo rígido de forma arbitraria, montado sobre un eje horizontal que no pasa por el centro de gravedad, es un complejo opéndulo físico.
Cualquier cuerpo rígido se puede considerar como una colección de puntos materiales invariablemente conectados con masas, , . . ., , por lo que el momento de inercia de un péndulo físico se puede definir como la suma de los momentos de inercia de todos sus puntos materiales:
, (2)
donde r distancia de cada uno de ellos al eje de rotación.
En la práctica, no es posible usar la fórmula (2), por lo tanto, para determinar el momento de inercia de un péndulo físico, describimos sus oscilaciones usando la ley de la dinámica del movimiento rotacional.
Dos fuerzas actúan sobre un péndulo físico: la fuerza de gravedad aplicada al centro de gravedad del péndulo (punto), y la fuerza de reacción del soporte aplicada en el lugar donde está sujeto el péndulo, por donde pasa el eje de rotación.
Cuando el péndulo físico se desvía de la posición de equilibrio en un ángulo(Fig. 1) la gravedad creará un par, bajo cuya influencia comenzarán las oscilaciones.
Arroz. 1
El momento de la gravedad determina la aceleración angular..
Si denotamos la distancia desde el eje de rotaciónal centro de gravedad a través de , entonces el momento de gravedad se expresaría así:
o en ángulos pequeños
, (3)
Dónde brazo de gravedad, masa del péndulo, aceleración de caída libre. "-" se explica por la naturaleza restauradora del momento de fuerza. Su dirección es opuesta al ángulo de desviación del péndulo.
Cuando el péndulo oscila, su centro de gravedad se mueve a lo largo del arco de un círculo, por lo que su movimiento puede describirse utilizando la ley de la dinámica del movimiento de rotación. Se escribirá en la forma:
, (4)
Dónde momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotacion.
Sustituyendo en la ecuación (4) el valor(3) y resolviéndola con respecto a la aceleración angular, obtenemos
, (5)
La ecuación (5) difiere de la ecuación (1) solo en que incluye cantidades angulares en lugar de lineales.
De la comparación de las ecuaciones (1) y (5) se deduce que o , de donde se obtiene la fórmula para el período de oscilación de un péndulo físico:
. (6)
A partir de la fórmula del periodo de oscilación de un péndulo físico (5), encontramos su momento de inercia:
, (7)
Dónde el periodo de oscilación del péndulo.
Esta expresión es una fórmula de cálculo para determinar el momento de inercia de un péndulo físico.
TÉCNICA EXPERIMENTAL Y DESCRIPCIÓN DE LA INSTALACIÓN
El péndulo físico en este trabajo consiste en una barra de acero O D , en el que se sujeta con tornillos un cuerpo cilíndrico masivo B (Fig. 2). Cuando se sueltan los tornillos de soporte, el cuerpo B se puede mover a lo largo de la barra y, en consecuencia, se puede cambiar la posición del centro de gravedad del péndulo.
Para suspender el péndulo, se utiliza un soporte especial, en el que se suspende el péndulo en el punto.
Arroz. 2
Arroz. 3
Para encontrar el centro de gravedad del péndulo (punto) es un prisma especial montado en un soporte estable (el borde de una silla). El péndulo se coloca horizontalmente en el borde de este prisma y, observando el equilibrio, se encuentra una posición en la que los momentos de gravedad que actúan sobre las partes derecha e izquierda del péndulo serán iguales (Fig. 3). En esta posición, el centro de gravedad del péndulo estará situado en la varilla contra el fulcro. Distanciadeterminado usando una barra de escala.
PROCEDIMIENTO DE TRABAJO
- Determine la masa total del péndulo (varilla y carga) en kilogramos.
- Habiendo reforzado la carga B al final de la varilla, determinar la posición de un punto sobre algún soportey medir la distancia r regla de escala
- Cuelgue el péndulo en el soporte, desvíelo de la posición de equilibrio en un pequeño ángulo (el extremo de la barra se retrae a una distancia de 6-8 cm) y suéltelo. Habiendo perdido 3-4 oscilaciones completas, el cronómetro se inicia en el momento en que el péndulo alcanza su desviación máxima. determinar el tiempo3050 oscilaciones completas del péndulo ().
- Repetir la operación descrita en el apartado 3 3 veces más y, a partir de los datos obtenidos, determinar el valor medio del periodo de oscilación del péndulo.en esta posición de la carga.
- Mover la carga a lo largo de la barra.por 6-7 cm y repita las operaciones descritas para determinar Y con nueva posición de carga b.
- El trabajo termina si tales movimientos de la carga con las medidas correspondientes se realizan de 3 a 5 veces.
- Los datos experimentales obtenidos se sustituyen en la fórmula (7) y los momentos de inercia del péndulo se calculan en el sistema de unidades SI a diferentes distancias del centro de gravedad al eje de rotación.
- Los resultados de las mediciones y los cálculos se registran en la tabla:
|
Kg |
kg·m2 |
kg m 2 |
kg m 2 |
kg m 2 |
|||||
|
Kg |
kg·m2 |
kg m 2 |
kg m 2 |
kg m 2 |
|||||
|
Kg |
kg·m2 |
kg m 2 |
kg m 2 |
kg m 2 |
|||||
- Los resultados de los momentos de inercia se escriben en forma estándar (en forma de intervalos).
- Con base en los resultados de la tabla, se llega a una conclusión sobre la dependencia del momento de inercia de un péndulo físico en la posición de su centro de gravedad.
PREGUNTAS DE CONTROL
- ¿Qué vibraciones se llaman libres?
- ¿Qué vibraciones se llaman armónicas?
- Escriba la ecuación de las oscilaciones armónicas libres.
- ¿Cuál es la frecuencia de las oscilaciones, su período y amplitud?
- ¿Qué características de las oscilaciones armónicas no cambian con el tiempo?
- ¿Qué características de oscilación son funciones armónicas del tiempo?
- Defina el momento de inercia de un punto material y el momento de inercia de un cuerpo.
- Defina un péndulo físico. ¿Cómo depende el momento de inercia de un péndulo físico de la posición del cilindro sobre la barra?
- ¡Dale 2! determinación del momento de la fuerza (a través de la distancia desde el centro de gravedad al eje de rotación ya través del brazo de la fuerza). ¿Cómo determinar la dirección del momento de la fuerza?
- Escriba la ley básica de la dinámica para el movimiento de rotación y conseguir fórmula para el período de oscilación de un péndulo físico con explicaciones adjuntas(utilice literatura adicional).
Objetivo del trabajo: estudio de las leyes de la dinámica del movimiento de traslación y rotación, determinación experimental del momento de inercia del péndulo de Maxwell.
Instrumentos y accesorios: Péndulo Maxwell, anillos intercambiables, reloj eléctrico de milisegundos, escala milimétrica.
Metodología y técnica del experimento.
El péndulo de Maxwell es un disco o rueda masivo con dos cuerdas unidas a los extremos del eje; por los extremos de estas cuerdas, el péndulo está suspendido de un soporte.
Si las cuerdas se enrollan alrededor del eje y luego se suelta el péndulo, entonces, bajo la acción de la gravedad, las cuerdas se desenrollarán y el péndulo descenderá con aceleración. A. Habiendo descendido a la posición más baja, en la que las cuerdas están completamente desenrolladas, la rueda girará por inercia en la misma dirección, las cuerdas se enrollarán alrededor del eje, como resultado de lo cual el péndulo se elevará.
Apliquemos las leyes de la dinámica y las ecuaciones cinemáticas para describir el movimiento del péndulo de Maxwell. El péndulo está involucrado en dos movimientos: movimiento rectilíneo del centro de masa con aceleración A y movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa, con una aceleración angular e. La fuerza de gravedad actúa sobre el péndulo. metrogramo y la tensión del hilo T.
Según la ecuación de movimiento del centro de masas, que coincide en forma con la segunda ley de Newton, tenemos:
. (1)
El péndulo realiza un movimiento de rotación bajo la acción del momento de la fuerza de tensión del hilo. T. El momento de gravedad aplicado al volante es cero, porque la línea de acción de esta fuerza pasa por el eje de rotación. Aplicamos la ley básica de la dinámica del movimiento de rotación:
Dónde j- momento de inercia del péndulo, e - su aceleración angular, - momento de fuerza T, - radio del eje, d- diámetro del eje.
La aceleración del péndulo está relacionada con la aceleración angular por la relación
Con movimiento uniformemente acelerado
Resolvamos el sistema de ecuaciones (1) - (4) con respecto al momento de inercia.
De (3) expresamos , de (1) 
y reemplazamos en (2):
,
de donde el momento de inercia de la rueda está determinado por la expresión: 
Teniendo en cuenta que según (4) , y , finalmente obtenemos:
(5)
El montaje utilizado en este trabajo consiste en un bastidor vertical, donde se fijan dos soportes: superior 1 e inferior 2. El soporte superior está equipado con un electroimán y un dispositivo 3 para sujetar una suspensión bifilar 4. El péndulo es un disco 5 fijo sobre un eje 6 suspendido sobre una suspensión bifilar.
Los anillos reemplazables 7 están unidos al disco 5. El péndulo con anillos reemplazables se fija en la posición inicial superior con la ayuda de un electroimán. En el poste vertical 8, se aplica una escala milimétrica, que tiene límites de 0 - 420 mm. El fotosensor 9 emite señales eléctricas al reloj de milisegundos 10 con una indicación de tiempo digital.
Orden de trabajo
1. Prepare el péndulo para el trabajo. Para hacer esto, use el dispositivo 3 para configurar la longitud requerida de la suspensión bifilar de tal manera que el borde del corte del anillo reemplazable del péndulo esté 4-5 mm por debajo del eje óptico del fotosensor 9.
En este caso, el eje del péndulo debe tomar una posición horizontal.
2. Conecte el fotosensor al conector IN del reloj de milisegundos.
3. Prepare el reloj de milisegundos para el trabajo:
Enchufe el cable de alimentación del reloj de milisegundos;
Presione el botón NETWORK en el panel frontal del reloj de milisegundos, mientras que los indicadores digitales y la luz del sensor fotoeléctrico deben encenderse;
Presione el botón RESET en el panel frontal del reloj de milisegundos.
4. Al girar el péndulo, fíjelo en la posición superior con la ayuda de un electroimán. Es necesario asegurarse de que el hilo se enrolle en el eje vuelta a vuelta.
5. Presione el botón INICIO en el reloj de milisegundos. Al mismo tiempo, el electroimán y el péndulo se desactivan, el péndulo comienza a moverse y comienza la cuenta regresiva. En el momento en que el péndulo cruza el eje óptico del fotosensor, el cómputo del tiempo se detiene.
6. Determina el tiempo t movimiento de péndulo en un reloj de milisegundos.
7. En una escala milimétrica, usando el indicador del soporte 2, determine la distancia recorrida por el péndulo h.
8. Realiza cinco experimentos con el mismo anillo sin cambiar la altura de la caída.
Tabla de medidas
| metro, g | d, mm | D d si. milímetro | t, Con | D t si, Con | h, cm | D h si, cm | gramo m/s 2 |
9. Usa un calibrador para medir el diámetro una vez d hachas
10. Registre los resultados de las mediciones y los errores de los instrumentos de medición en la tabla.
11. Realice el procesamiento matemático de los resultados de la medición, encuentre el momento de inercia del péndulo. j y su error D j.
Preguntas de control
1. Tipos de movimiento de un cuerpo rígido. ¿Qué tipo de movimiento es progresivo? ¿rotacional?
2. ¿Qué cantidades son una medida de la inercia en el movimiento de traslación y rotación? Defínalos.
3. Formule el teorema de Steiner.
4. ¿Qué cantidades físicas son la medida de la influencia en el movimiento de traslación y rotación?
5. Formular las leyes de la dinámica del movimiento de traslación y rotación.
6. Aceleración en movimiento de traslación y rotación. aceleración angular. Relación entre cantidades cinemáticas lineales y angulares.
7. Derive la fórmula de cálculo.
Leyes de conservación
Laboratorio 3-1
Universidad estatal de Moscú
Ferrocarriles de la Federación Rusa (MIIT)
Departamento "Física-2"
Grupo ____________________________ Aprobado para trabajar ____________________
(Fecha, firma del maestro)
Estudiante ___________________________ Trabajo realizado ___________________
(Nombre del estudiante) (Fecha, firma del maestro)
Maestro____ _ _________________ Informe aceptado _______________________ (Fecha, firma del maestro)
INFORME DE LABORATORIO №_______ 5 ____
ESTUDIO DE VIBRACIONES LIBRES
PÉNDULO FÍSICO
1. objetivo del trabajo:
Determinación del momento de inercia de un péndulo físico por el período de sus pequeñas oscilaciones y la longitud reducida.
2. Soporte de pared, con cojines para sostener prismas del péndulo físico.
1 - prisma 1
2 - prisma 2
3 - carga fija en la báscula
4 - carga en movimiento.
M - soporte
A - físico péndulo
C, D - cargas
B1, B2 - prismas
d1, d2 – distancia al centro de masa
3. Principales disposiciones teóricas para este trabajo(enunciados fundamentales: fórmulas, dibujos esquemáticos):
Un péndulo físico es cualquier cuerpo que oscila bajo la acción de la gravedad alrededor de un eje horizontal que no pasa por el centro de inercia del cuerpo. Siempre es posible elegir un péndulo matemático que sea sincrónico con uno físico dado, es decir, un péndulo matemático cuyo período de oscilación sea igual al período de oscilación del péndulo físico. La longitud de dicho péndulo matemático se denomina longitud reducida de un péndulo físico.
Derivamos la fórmula para el período de oscilación de un péndulo físico. En la fig. 4 punto O - denota el eje horizontal de rotación, punto B - el centro de gravedad del péndulo físico. Cabe señalar que en un campo uniforme de fuerzas de gravedad, el centro de inercia del cuerpo y su centro de gravedad coinciden.
Sobre el eje de rotación, la gravedad crea un par que tiende a devolver el péndulo a su posición de equilibrio. El valor numérico de este momento está determinado por la relación
(1)
Dónde metro- masa del péndulo físico, d- la distancia más corta desde el eje de rotación hasta el centro de gravedad del péndulo, es el desplazamiento angular del cuerpo, contado desde la posición de equilibrio. En pequeños desplazamientos angulares, el desplazamiento se puede considerar como un vector que se encuentra en el eje de rotación, cuya dirección está relacionada con la dirección de rotación del cuerpo desde la posición de equilibrio hasta la especificada por la regla del tornillo derecho.
Dado que los vectores y antiparalelo, se deben asignar signos opuestos a las proyecciones de par y desplazamiento angular sobre el eje de rotación. Entonces la fórmula (1) toma la forma
. (1a)
En ángulos pequeños, uno puede tomar 
, si se expresa en radianes, y escriba la fórmula (1a) de la siguiente manera
. (2)
Usamos la ley básica de la dinámica del movimiento de rotación de un cuerpo con respecto a un eje fijo, escribiéndola en proyecciones sobre el eje de rotación:
(3)
Dónde j es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación, y es la aceleración angular, y 
.
Sustituyendo en la fórmula (3) el momento de la fuerza de la fórmula (2), obtenemos la ecuación de movimiento del péndulo
. (4)
La solución de la ecuación diferencial de segundo orden obtenida con coeficientes constantes se puede escribir como
Dónde 
, y y son constantes determinadas por las condiciones iniciales.
cantidades y 
se denominan amplitud y fase de la oscilación, respectivamente, y a 0
- fase inicial. La ecuación (5) es la ecuación del movimiento oscilatorio armónico, y el valor w 0
propia frecuencia de oscilación cíclica. Después de que el tiempo ha pasado 
la fase se incrementa y el cuerpo vuelve a su posición original manteniendo la dirección del movimiento. Valor
T 0 se llama período de oscilación natural. Así, el período de oscilación de un péndulo físico está determinado por la fórmula
(6)
Se sabe que el período de oscilación de un péndulo matemático se escribe como
.
Comparando esta fórmula con la fórmula (6), concluimos que el péndulo matemático tendrá el mismo período de oscilación que el físico dado, si la longitud del péndulo matemático
. (7)
Esta es la fórmula para la longitud reducida de un péndulo físico.
El dispositivo utilizado en este trabajo es un soporte de pared sobre el que se montan cojines para los prismas de apoyo de un péndulo físico. Un péndulo matemático está suspendido en el mismo soporte, cuya longitud se puede cambiar enrollando el hilo alrededor del tambor apropiado. El péndulo físico es una barra cilíndrica (Fig. 5), en la que se fijan rígidamente dos prismas 1 y 2. En la barra también hay dos pesos pesados 3 y 4 en forma de lentejas, uno de los cuales (3) está fijo , y el otro puede moverse a lo largo de la escala y fijarlo en la posición correcta. La distancia entre los prismas de apoyo es de 0,730 m La masa del péndulo metro= 10,55 kg (Δ metro=0,01 kg).
DETERMINACIÓN DEL MOMENTO DE INERCIA
PÉNDULO FÍSICO
objetivo del trabajo: familiarización con el péndulo físico y determinación de su momento de inercia respecto al eje de rotación. Estudio de la dependencia del momento de inercia del péndulo con la distribución espacial de la masa.
Instrumentos y accesorios: un péndulo físico con un soporte para su suspensión, un prisma metálico para determinar la posición del centro de gravedad del péndulo, un cronómetro.
Introducción teórica.
Un péndulo físico (Fig. 1) es cualquier cuerpo rígido que, bajo la acción de la gravedad, oscila alrededor de un eje horizontal fijo (O) que no pasa por su centro de gravedad (C). El punto de suspensión del péndulo es el centro de rotación.
Figura 1. péndulo físico
Cuando el péndulo se desvía de la posición de equilibrio en un ángulo , se produce un par creado por la gravedad:
,
Dónde yo- la distancia entre el punto de suspensión y el centro de gravedad del péndulo (el signo menos se debe a que el momento de fuerza METRO tiene una dirección tal que tiende a devolver el péndulo a la posición de equilibrio, es decir disminuir el ángulo ).
Para pequeños ángulos de desviación 
, Entonces
(0)
Por otro lado, el momento de la fuerza restauradora se puede escribir como:
(0)
I es el momento de inercia del pendulo
i- aceleración angular.
De (1) y (2) se puede obtener:
.
denotando 
(0)
obtenemos 
(4)
La ecuación (4) es una ecuación diferencial lineal de segundo orden. Su solución es la expresión 
.
Teniendo en cuenta la ecuación (3), el período de pequeñas oscilaciones de un péndulo físico se puede escribir como:
, (5)
Dónde 
- longitud reducida del péndulo físico
De la fórmula (5) podemos expresar el momento de inercia del péndulo físico sobre el eje de rotación
(6)
Encontrar por medidas metro, yo Y T, es posible calcular el momento de inercia de un péndulo físico relativo a un eje de rotación dado utilizando la fórmula (6).
En este trabajo se utiliza un péndulo físico (Fig. 2), que es una varilla de acero sobre la que se fijan dos lentejas de acero macizas (A 1 y A 2) y prismas de apoyo para suspensión (P 1 y P 2). El momento de inercia de tal péndulo será la suma de los momentos de inercia de la varilla, lentejas y prismas:
,
Dónde I 0 - el momento de inercia de la varilla con respecto al eje que pasa por el centro de gravedad.
(7)
metro calle- masa de la varilla,
yo calle- longitud de la varilla,
d es la distancia desde el centro de gravedad de la varilla hasta el punto de suspensión.
Los momentos de inercia de lentejas y prismas se pueden calcular aproximadamente como para masas puntuales. Entonces el momento de inercia del péndulo se escribe como:
Dónde 
- masas de lentejas A 1 y A 2,
- distancia desde el eje de rotación (punto de suspensión) a las lentejas A 1 y A 2, respectivamente,
- masas de prismas P 1 y P 1,
- distancias desde el eje de rotación a los prismas P 1 y P 2, respectivamente.
Porque según las condiciones del trabajo, solo se mueve una lenteja A 1, entonces solo cambiará el momento de inercia 
Y
(9)
Descripción de la instalación.
El péndulo físico utilizado en este trabajo (Fig. 2) es una varilla de acero (C), sobre la que se fijan dos lentejas de acero macizas (A 1 y A 2) y prismas de apoyo para suspensión (P 1 y P 2). El péndulo está suspendido en un soporte.
Al mover una de las lentejas, puede cambiar el momento de inercia del péndulo en relación con el punto de suspensión (eje de rotación).
El centro de gravedad del péndulo se determina equilibrando el péndulo en el borde horizontal de un prisma especial (Fig. 3). Sobre la varilla del péndulo, cada 10 mm, se aplican cortes circulares, que sirven para determinar con precisión la distancia desde el centro de gravedad hasta el eje de rotación sin la ayuda de una regla. Se puede lograr un ligero desplazamiento de la lenteja A 1 a lo largo de la varilla para que la distancia yo desde el punto de suspensión hasta el centro de gravedad era igual a un número entero de centímetros, contados a partir de la escala de la varilla.
El orden de la obra.
Determine la posición del centro de gravedad del péndulo.
A 
) Retire el péndulo del soporte e instálelo en posición horizontal sobre un prisma especial P 3 (Fig. 3) para que quede en equilibrio. La posición exacta de equilibrio se alcanza mediante un ligero movimiento de la lenteja A 1 .
Fig. 3. Equilibrio de péndulo
b) En la escala del péndulo, mida yo - distancia desde el punto de suspensión (borde del prisma P 1) al centro de gravedad del péndulo (borde superior del prisma P 3).
c) En la escala del péndulo, mide la distancia 
- desde el punto de suspensión (borde del prisma P 1) hasta la lenteja superior A 1.
2. Determinar el período de oscilación del péndulo físico.
a) Instale el péndulo con un prisma P 1 en el soporte (Fig. 2)
b) Determine el tiempo de completar 50 - 100 oscilaciones del péndulo. Tiempo record t y número norte oscilaciones del péndulo.
c) Determinar el periodo de oscilación del péndulo físico mediante la fórmula:
(10)
3. Retire el péndulo del soporte. Mueva la lenteja A 1 unos centímetros a una nueva posición y repita el experimento. Se deben realizar mediciones para al menos tres posiciones diferentes de la lenteja A 1 con respecto al punto de suspensión.
4. Usando la fórmula (6), calcule el momento de inercia del péndulo físico I op .
5. Calcular el error relativo del momento de inercia para uno de los casos considerados utilizando la fórmula:
. (11)
Valores T Y yo determinada por la clase de precisión de los instrumentos.
6. Encuentra el error absoluto 
para cada caso, tomando el error relativo
igual para todos los casos.
Anota el resultado final en la tabla como
7. Usando la fórmula (8), calcule el momento de inercia del péndulo I teor para cada caso.
8. Compara los resultados I op Y I teor, calculando la relación:
(12)
Saque una conclusión sobre qué tan grande es la discrepancia entre los valores obtenidos y cuáles son las razones de las discrepancias.
Resultados de mediciones y cálculos.
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№ páginas |
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I teor, kg·m2 |
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||||
,
, kg·m2
Cuestiones de control.
¿Qué es un péndulo físico?
¿Cómo se llama la longitud reducida de un péndulo físico?
¿A qué tipo de vibración se le llama armónico?
¿Cuál es el período de oscilación?
Deduzca una fórmula para calcular el período de oscilación de un péndulo físico.
¿Qué es el momento de inercia? ¿Cuál es la aditividad del momento de inercia?
Obtenga una fórmula para calcular el momento de inercia de un péndulo físico.
Literatura
1. Saveliev I. V. Curso de física general: Uchebn. Subsidio para colegios técnicos: en 3 tomos Vol. 1: Mecánica. Física molecular. - 3ra ed., rev. - M.: Nauka, 1986. - 432 p.
2. Detlaf A. A., Yavorsky B. M. Curso de física: Uchebn. asignación para universidades. - M.: Escuela superior, 1989. - 607 p. - artículo decreto: pág. 588-603.
3. Taller de laboratorio en física: Proc. manual para estudiantes de instituciones de educación superior / B. F. Alekseev, K. A. Barsukov, I. A. Voitsekhovskaya y otros; ed. K. A. Barsukov y Yu. I. Ukhanova. - M.: Superior. escuela, 1988. - 351 p.: il.
