¿Cómo encontrar una solución particular de DE aproximadamente usando una serie?

Continuando con el estudio de las aplicaciones prácticas de la teoría de series, consideremos otro problema común, cuyo nombre se ve en el título. Y, para no sentirse como una cortadora de césped durante la lección, comprendamos de inmediato la esencia de la tarea. Tres preguntas y tres respuestas:

¿Qué encontrar? Solución parcial de una ecuación diferencial. Una pista entre líneas susurra que en este punto es deseable al menos entender lo que ecuación diferencial y cuál es su decisión.

¿CÓMO se requiere esta decisión? Aproximadamente - con la ayuda de una serie.

Y la tercera pregunta legítima: ¿por qué cerrar? Ya cubrí esta pregunta en clase. Métodos de Euler y Runge-Kutta, pero no está de más repetir. Siendo un partidario de los detalles, volveré a lo más simple. ecuación diferencial. Durante la primera lección sobre diffuras, encontramos su solución general (el conjunto de exponenciales) y una solución particular correspondiente a la condición inicial. Un gráfico de función es la línea más común que es fácil de dibujar en un dibujo.

Pero ese es un caso elemental. En la práctica, hay una gran cantidad de ecuaciones diferenciales que no se pueden resolver analíticamente con exactitud (al menos en las formas conocidas hoy en día). En otras palabras, no importa cómo tuerzas esa ecuación, no será posible integrarla. Y el problema es que puede existir una solución general (una familia de líneas en un plano). Y luego los métodos de las matemáticas computacionales vienen al rescate.

¡Conoce nuestra alegría!

Una tarea típica se formula de la siguiente manera:

… , satisfaciendo la condición inicial , en forma de tres (raramente cuatro o cinco) miembros distintos de cero Serie Taylor.

La solución particular deseada se expande en una serie dada de acuerdo con la conocida fórmula:

Lo único es que aquí en lugar de la letra "ef" se usa "y" (simplemente sucedió).

La idea y el significado también son familiares.: para algunos difusores y bajo algunas condiciones (no entraremos en teoría) construido la serie de potencias convergerá a la solución particular deseada. Es decir, cuantos más miembros de la serie consideremos, con mayor precisión la gráfica del polinomio correspondiente se aproximará a la gráfica de la función.

Cabe señalar que lo anterior se aplica también a los casos más simples. Realicemos un estudio infantil simple en la misma olla:

Ejemplo 1

Encuentre una solución aproximadamente particular de la ecuación diferencial que satisfaga la condición inicial en la forma de los primeros cuatro términos distintos de cero de la serie de Taylor.

Solución: bajo las condiciones de este problema, por lo tanto, la fórmula general de Taylor se transforma en un caso especial expansiones en la serie Maclaurin:

Mirando un poco hacia adelante, diré que en tareas prácticas esta serie particular, más compacta, es mucho más común.

Registre ambas fórmulas de trabajo en su libro de referencia.

Tratemos con los valores. Es conveniente numerar las etapas de la solución:

0) En el paso cero, escribimos el valor, que siempre se conoce a partir de la condición. En el cuaderno, es recomendable rodear con un círculo los resultados finales de los puntos para que se vean claramente y no se pierdan en la solución. Por cuestiones técnicas me conviene más resaltarlas en negrita. Además, tenga en cuenta que este valor no es igual a cero! Después de todo, de acuerdo con la condición, se requiere encontrar cuatro distinto de cero miembros de la serie.

1) Calcular. Para hacer esto, sustituimos el valor conocido en el lado derecho de la ecuación original en lugar de la "y":

2) Calcular. Primero encontramos segunda derivada:

Sustituimos en el lado derecho el valor encontrado en el párrafo anterior:

Ya tenemos tres términos distintos de cero de la expansión, necesitamos uno más:

Ejemplo 2

Encuentre una solución particular aproximada de la ecuación diferencial , que satisface la condición inicial en forma de los tres primeros términos distintos de cero de la serie de Taylor.

Solución comienza con la frase estándar:

En este problema, por lo tanto:

Ahora encontramos secuencialmente los valores, hasta que se obtienen tres distinto de cero resultado. Si tienes suerte, serán diferentes de cero. es un caso ideal con una cantidad mínima de trabajo.

Desglosemos las soluciones:

0) Por condición . Aquí está el primer éxito.

1) Calcular. Primero, resolvemos la ecuación original con respecto a la primera derivada, es decir, expresamos . Sustituye los valores conocidos en el lado derecho:

Se ha recibido un bagel y esto no es bueno, porque nos interesa distinto de cero valores. Sin embargo, cero también el resultado, que no olvidemos de rodear o resaltar de alguna otra manera.

2) Encuentra la segunda derivada y sustituye los valores conocidos en el lado derecho:

El segundo no es cero.

3) Encuentra - la derivada de la segunda derivada:

En general, la tarea recuerda un poco al Cuento del nabo, cuando un abuelo, una abuela y una nieta piden ayuda a un insecto, un gato, etc. De hecho, cada derivado posterior se expresa a través de sus "predecesores".

Sustituye los valores conocidos en el lado derecho:

Tercer valor distinto de cero. Sacó el nabo.

Cuidadosa y cuidadosamente sustituimos los números "grasos" en nuestra fórmula:

Respuesta: la expansión aproximada deseada de la solución particular:

En el ejemplo considerado, solo había un cero en el segundo lugar, y esto no es tan malo. En el caso general, los ceros pueden aparecer tantos como quieras y en cualquier lugar. Repito, es muy importante destacarlos junto con resultados distintos de cero, para no confundirse en las sustituciones en la etapa final.

Aquí tienes, un bagel en primer lugar:

Ejemplo 3

Encuentre una solución particular aproximada de la ecuación diferencial , correspondiente a la condición inicial , en la forma de los tres primeros términos distintos de cero de la serie de Taylor.

Un ejemplo de una tarea al final de la lección. Es posible que los puntos del algoritmo no estén numerados (dejando, por ejemplo, líneas vacías entre los pasos), pero recomiendo que los principiantes se adhieran a una plantilla estricta.

La tarea en consideración requiere una mayor atención: si comete un error en cualquier paso, ¡todo lo demás también estará mal! Por lo tanto, tu mente despejada debería funcionar como un reloj. ay, esto no es integrales o difusores, que se resuelven de forma fiable incluso en estado de fatiga, ya que permiten realizar una comprobación eficiente.

En la práctica, es mucho más común Expansión de la serie Maclaurin:

Ejemplo 4

Solución: en principio, puedes escribir inmediatamente Descomposición de Maclaurina, pero es más académico comenzar con el caso general:

El desarrollo de una solución particular de una ecuación diferencial bajo la condición inicial tiene la forma:

En este caso, por lo tanto:

0) Por condición .

Bueno, que hacer…. Esperemos que haya menos ceros.

1) Calcular. La primera derivada ya está lista para usar. Sustituye los valores:

2) Encuentra la segunda derivada:

Y pongámoslo en:

¡Las cosas fueron rápidamente!

3) Encuentra . Escribiré con gran detalle:

Tenga en cuenta que las reglas algebraicas habituales se aplican a las derivadas: reducir términos similares en el último paso y escribir el producto como un grado: (ibíd.).

Sustituir en todo lo que se adquiera por exceso de trabajo:

Nacen tres valores distintos de cero.

Sustituimos los números "gordos" en la fórmula de Maclaurin, obteniendo así una expansión aproximada de la solución particular:

Respuesta:

Para una solución independiente:

Ejemplo 5

Representar una solución aproximadamente particular de la ED correspondiente a una condición inicial dada como la suma de los tres primeros términos distintos de cero de una serie de potencias.

Ejemplo de diseño al final de la lección.

Como puede ver, el problema con la expansión parcial en Serie Maclaurin resultó ser aún más difícil que el caso general. La complejidad de la tarea considerada, como acabamos de ver, radica no tanto en la descomposición en sí misma, sino en las dificultades de diferenciación. Además, a veces hay que encontrar 5-6 derivadas (o incluso más), lo que aumenta el riesgo de error. Y al final de la lección, ofrezco un par de tareas de mayor complejidad:

Ejemplo 6

Resolver la ecuación diferencial aproximadamente expandiendo la solución particular en la serie de Maclaurin, restringiéndonos a los tres primeros términos distintos de cero de la serie

Solución: tenemos una diferencia de segundo orden, pero esto prácticamente no cambia las cosas. De acuerdo con la condición, se nos invitó de inmediato a utilizar la serie Maclaurin, que no dejaremos de utilizar. Escribamos la expansión familiar, tomando más términos para cada bombero:

El algoritmo funciona exactamente igual:

0) – por condición.

1) - por condición.

2) Resolvamos la ecuación original con respecto a la segunda derivada: .

Y sustituyamos:

Primer valor distinto de cero

Hacemos clic en derivados y realizamos sustituciones:

Sustituto y:

Sustituto :

El segundo valor distinto de cero.

5) – en el camino damos derivados similares.

Sustituto :

Sustituto :

Finalmente. Sin embargo, sucede aún peor.

Por lo tanto, la expansión aproximada de la solución particular deseada es:

Con la ayuda de series de potencias es posible integrar ecuaciones diferenciales.

Considere una ecuación diferencial lineal de la forma:

Si todos los coeficientes y el lado derecho de esta ecuación se expanden en series de potencias que convergen en algún intervalo, entonces existe una solución para esta ecuación en una pequeña vecindad del punto cero que satisface las condiciones iniciales.

Esta solución se puede representar como una serie de potencias:

Para encontrar la solución, queda por determinar las constantes desconocidas C i .

esta tarea esta resuelta método de comparación de coeficientes inciertos. Sustituimos la expresión escrita por la función deseada en la ecuación diferencial original, mientras realizamos todas las acciones necesarias con series de potencias (derivación, suma, resta, multiplicación, etc.)

Luego igualamos los coeficientes a las mismas potencias X en los lados izquierdo y derecho de la ecuación. Como resultado, teniendo en cuenta las condiciones iniciales, obtenemos un sistema de ecuaciones, a partir del cual determinamos sucesivamente los coeficientes C i .

Tenga en cuenta que este método también es aplicable a ecuaciones diferenciales no lineales.

Ejemplo. Encuentre una solución a la ecuación
con condiciones iniciales y(0)=1, y’(0)=0.

Buscaremos la solución de la ecuación en la forma

Sustituimos las expresiones obtenidas en la ecuación original:

De aquí obtenemos:

………………

Obtenemos sustituyendo las condiciones iniciales en las expresiones de la función deseada y su primera derivada:

Finalmente obtenemos:

Total:

Hay otro método para resolver ecuaciones diferenciales usando series. lleva el nombre método de diferenciación sucesiva.

Consideremos el mismo ejemplo. Buscaremos la solución de la ecuación diferencial en forma de desarrollo de la función desconocida en la serie de Maclaurin.

Si las condiciones iniciales dadas y(0)=1, y’(0)=0 sustituimos en la ecuación diferencial original, obtenemos que

A continuación, escribimos la ecuación diferencial en la forma
y lo diferenciaremos secuencialmente con respecto a X.

Después de sustituir los valores obtenidos, obtenemos:

Criterio de Cauchy.

(condiciones necesarias y suficientes para la convergencia de la serie)

Para que la secuencia
era convergente, es necesario y suficiente que para cualquier
había un númeronorte, que ennorte > nortey cualquierapag> 0, donde p es un número entero, se cumpliría la siguiente desigualdad:

.

Prueba. (necesidad)

Dejar
, entonces para cualquier número
existe un número N tal que la desigualdad

se realiza para n>N. Para n>N y cualquier entero p>0, la desigualdad también se cumple
. Considerando ambas desigualdades, obtenemos:

La necesidad ha sido probada. No consideraremos la prueba de suficiencia.

Formulemos el criterio de Cauchy para la serie.

Para un numero
era convergente necesario y suficiente que para cualquier
había un númeronortetal que ennorte> nortey cualquierapag>0 satisfaría la desigualdad

.

Sin embargo, en la práctica, no es muy conveniente utilizar directamente el criterio de Cauchy. Por lo tanto, por regla general, se utilizan criterios de convergencia más simples:

Consecuencia. Si F(X) Y  (X) son funciones continuas en el intervalo (a, b] y
entonces las integrales
Y
se comportan igual en términos de convergencia.

serie de potencias.

Con la ayuda de series de potencias es posible integrar ecuaciones diferenciales.

Considere una ecuación diferencial lineal de la forma:

Si todos los coeficientes y el lado derecho de esta ecuación se expanden en series de potencias que convergen en algún intervalo, entonces existe una solución para esta ecuación en una pequeña vecindad del punto cero que satisface las condiciones iniciales.

Esta solución se puede representar como una serie de potencias:

Para encontrar la solución, queda por determinar las constantes desconocidas c yo.

esta tarea esta resuelta método de comparación de coeficientes inciertos. Sustituimos la expresión escrita por la función deseada en la ecuación diferencial original, mientras realizamos todas las acciones necesarias con series de potencias (derivación, suma, resta, multiplicación, etc.)

Luego igualamos los coeficientes a las mismas potencias X en los lados izquierdo y derecho de la ecuación. Como resultado, teniendo en cuenta las condiciones iniciales, obtenemos un sistema de ecuaciones, a partir del cual determinamos sucesivamente los coeficientes c yo.

Tenga en cuenta que este método también es aplicable a ecuaciones diferenciales no lineales.

Ejemplo. Encuentre una solución a la ecuación con condiciones iniciales y(0)=1, y'(0)=0.

Buscaremos la solución de la ecuación en la forma

Sustituimos las expresiones obtenidas en la ecuación original:

De aquí obtenemos:

………………

Obtenemos sustituyendo las condiciones iniciales en las expresiones de la función deseada y su primera derivada:

Finalmente obtenemos:

Hay otro método para resolver ecuaciones diferenciales usando series. lleva el nombre método de diferenciación sucesiva.

Consideremos el mismo ejemplo. Buscaremos la solución de la ecuación diferencial en forma de desarrollo de la función desconocida en la serie de Maclaurin.

Si las condiciones iniciales dadas y(0)=1, y'(0)=0 sustituimos en la ecuación diferencial original, obtenemos que

Después de sustituir los valores obtenidos, obtenemos:

Series de Fourier.

(Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830) - matemático francés)

serie trigonométrica.

Definición. serie trigonométrica llamada serie de la forma:

o, en resumen,

Numeros reales un yo, b yo se llaman los coeficientes de la serie trigonométrica.

Si una serie del tipo presentado arriba converge, entonces su suma es una función periódica con un período de 2p, porque funciones de pecado nx y porque nx también funciones periódicas con periodo 2p.

Deje que la serie trigonométrica converja uniformemente en el intervalo [-p; p] y, en consecuencia, sobre cualquier segmento debido a la periodicidad, y su suma es igual a f(x).

Determinemos los coeficientes de esta serie.

Para resolver este problema, usamos las siguientes igualdades:

La validez de estas igualdades se deriva de la aplicación de fórmulas trigonométricas al integrando. Ver Integración de funciones trigonométricas para más detalles.

Porque función f(x) continua en el segmento [-p; p], entonces hay una integral

Este resultado se obtiene como resultado del hecho de que .

De aquí obtenemos:

De manera similar, multiplicamos la expresión de la expansión de la función en una serie por sen nx e integrar de -p a p.

Obtenemos:

Expresión para coeficiente un 0 es un caso especial para expresar los coeficientes un.

Así, si la función f(x)– cualquier función periódica de período 2p, continua en el intervalo [-p; p] o que tiene un número finito de puntos de discontinuidad de primer tipo en este segmento, entonces los coeficientes

existen y se llaman Coeficientes de Fourier para la función f(x).

Definición. Cerca de Fourier para la función f(x) se llama serie trigonométrica cuyos coeficientes son los coeficientes de Fourier. Si la serie de Fourier de la función f(x) converge a él en todos sus puntos de continuidad, entonces decimos que la función f(x) se expande en una serie de Fourier.

Criterios suficientes para la descomposición en una serie de Fourier.

Teorema. (Teorema de Dirichlet) Si la función f(x) tiene periodo 2p y en el intervalo

[-p;p] es continua o tiene un número finito de puntos de discontinuidad de primera especie, y el segmento

[-p;p] se puede dividir en un número finito de segmentos para que dentro de cada uno de ellos la función f(x) sea monótona, entonces la serie de Fourier para la función f(x) converge para todos los valores de x, y en los puntos de continuidad de la función f(x) su suma es igual a f(x), y en los puntos de discontinuidad su suma es igual a , es decir la media aritmética de los valores límite a la izquierda y a la derecha. En este caso, la serie de Fourier de la función f(x) converge uniformemente en cualquier segmento que pertenezca al intervalo de continuidad de la función f(x).

La función f(x) para la cual se satisfacen las condiciones del teorema de Dirichlet se llama por partes monótono en el segmento [-p;p].

Teorema. Si la función f(x) tiene un periodo de 2p, además, f(x) y su derivada f'(x) son funciones continuas sobre el segmento [-p;p] o tienen un número finito de puntos de discontinuidad del primer tipo en este segmento, entonces la serie La función de Fourier f(x) converge para todos los valores de x, y en los puntos de continuidad su suma es igual a f(x), y en los puntos de discontinuidad es igual a . En este caso, la serie de Fourier de la función f(x) converge uniformemente en cualquier segmento que pertenezca al intervalo de continuidad de la función f(x).

Una función que satisface las condiciones de este teorema se llama por partes suave en el segmento [-p;p].

Expansión de Fourier de una función no periódica.

El problema de expandir una función no periódica a una serie de Fourier no difiere en principio de la expansión a una serie de Fourier de una función periódica.

digamos la función f(x) se da en un segmento y es monótona por partes en este segmento. Considere una función monótona por partes periódica arbitraria f 1 (x) con un período 2Т ³ ïb-aï, coincidiendo con la función f(x) sobre el segmento .

a - 2T a a b a+2T a + 4T x

Entonces la función f(x) ha sido complementado. Ahora la función f 1 (x) se expande en una serie de Fourier. La suma de esta serie en todos los puntos del segmento coincide con la función f(x), aquellos. podemos suponer que la función f(x) expandido en una serie de Fourier en el segmento.

Así, si la función f(x) está dada en un segmento igual a 2p, no difiere en nada del desarrollo en serie de una función periódica. Si el segmento en el que se da la función es menor que 2p, entonces la función se extiende al intervalo (b, a + 2p) para que se conserven las condiciones de expansión de Fourier.

En términos generales, en este caso, la extensión de la función dada a un segmento (intervalo) de longitud 2p se puede hacer de infinitas maneras, por lo que las sumas de las series resultantes serán diferentes, pero coincidirán con las dadas. función f(x) en el segmento.

Series de Fourier para funciones pares e impares.

Observamos las siguientes propiedades de las funciones pares e impares:

2) El producto de dos funciones pares e impares es una función par.

3) El producto de funciones pares e impares es una función impar.

La validez de estas propiedades se puede probar fácilmente con base en la definición de funciones pares e impares.

Si f(x) es una función periódica par con periodo 2p que satisface las condiciones de expansión de Fourier, entonces podemos escribir:

Así, para una función par, la serie de Fourier se escribe:

De manera similar, obtenemos una expansión en una serie de Fourier para una función impar:

Ejemplo. Expandir en una serie de Fourier una función periódica de periodo T = 2p en el intervalo [-p;p].

La función dada es impar, por lo tanto, estamos buscando los coeficientes de Fourier en la forma:

Definición. Cerca de Fourier en un sistema ortogonal de funciones j 1 (x), j 2 (x), …,jn(x) es una serie de la forma:

cuyos coeficientes están determinados por la fórmula:

Dónde f(x)= - la suma de una serie que converge uniformemente en un segmento en un sistema ortogonal de funciones. f(x)- cualquier función que es continua o tiene un número finito de puntos de discontinuidad de primera clase en el intervalo.

En el caso de un sistema ortonormal de funciones, los coeficientes se determinan:

Al utilizar la versión para PC de “ Curso de matemáticas superiores” es posible ejecutar un programa que expande una función arbitraria en una serie de Fourier.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN Y CIENCIA DE LA REPÚBLICA DE KAZAJSTÁN

Universidad Estatal de Kazajstán del Norte

a ellos. M. Kozybáyeva

Facultad de Tecnología de la Información

Departamento de Matemáticas"

Curso defendido

calificado como "_____________"

"___"___________ Año 2013

cabeza departamento ____________

A. Tajigitov

CURSO trabajo en matemáticas

"INTEGRACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

CON LA AYUDA DE POWER SERIES»

JEFE Valeeva M.B. ___________

Petropávlovsk 2013

AҢDAPTA

Berilgen kurstyk zhұmysta katarlarmen zhane diferenciales tendemelermen baylanysty theorylyk suraқtar karastyrylgan. Diferenciales endemenin integraldauynyn mysaldary zhane mangaz katarlardyn kömegimen karastyrylgan.

ANOTACIÓN

En este trabajo de curso, se consideran cuestiones teóricas relacionadas con series y ecuaciones diferenciales. Se consideran ejemplos de integración de ecuaciones diferenciales con la ayuda de series de potencias.

el trabajo dado se consideran cuestiones teóricas que están relacionadas con las series y ecuaciones diferenciales. Se consideran ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales de integración utilizando series de potencias.

INTRODUCCIÓN

CONCEPTOS BÁSICOS RELACIONADOS CON SERIES Y ECUACIONES DIFERENCIALES

1 Filas. Conceptos básicos. Criterio necesario para la convergencia

2 series de potencia. Propiedades de la serie de potencias

3 series de Taylor. Serie Maclaurin

4 ecuaciones diferenciales

5 Integración de ecuaciones diferenciales usando series

EJEMPLOS DE USO DE SERIES DE POTENCIA EN INTEGRACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

1 Ecuación de Airy

2 ecuación de Bessel

3 ejemplos de integración

4 ejemplos de integración en Maple

CONCLUSIÓN

INTRODUCCIÓN

El término "ecuación diferencial" se debe a Leibniz (1676, publicado en 1684). El inicio de la investigación sobre ecuaciones diferenciales se remonta a la época de Leibniz y Newton, en cuyas obras se estudiaron los primeros problemas que condujeron a tales ecuaciones. Leibniz, Newton y los hermanos J. e I. Bernoulli desarrollaron métodos para integrar ecuaciones diferenciales ordinarias. Como método universal se utilizaron desarrollos de las integrales de ecuaciones diferenciales en series de potencias.

Ahora, la introducción generalizada de métodos computacionales en la ciencia, asociada con la aparición de herramientas informáticas de alto poder, requiere una reevaluación de la importancia de varias ramas de las matemáticas y, en particular, secciones de la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. En la actualidad, ha crecido la importancia de los métodos para el estudio cualitativo de las soluciones de ecuaciones diferenciales, así como de los métodos para la búsqueda aproximada de soluciones.

Las soluciones de muchas ecuaciones diferenciales no se expresan en funciones elementales o cuadraturas. En estos casos, se utilizan métodos aproximados de integración de ecuaciones diferenciales. Uno de esos métodos es representar la solución de una ecuación como una serie de potencias; la suma de un número finito de términos en esta serie será aproximadamente igual a la solución deseada. Esto determina la relevancia del tema de investigación elegido.

El propósito de este trabajo: mostrar la aplicación del método de series de potencias en la integración de ecuaciones diferenciales.

El objeto de investigación es el proceso de integración de ecuaciones diferenciales por el método de series de potencias.

El tema de estudio son las formas, métodos y medios de integración de ecuaciones diferenciales por series de potencias.

De acuerdo con el objetivo, podemos formular las principales tareas de este trabajo:

Considere los conceptos básicos asociados con series y ecuaciones diferenciales.

Analizar el método de integración de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias.

Aplicar el método de series de potencias para resolver diversos problemas.

La estructura del trabajo: portada, formulario de asignación de trabajo, resumen, contenido, introducción, parte principal, conclusión, lista de referencias.

La parte principal del trabajo consta de dos capítulos. El primer capítulo revela los conceptos de serie, serie de potencias, serie de Taylor, ecuaciones diferenciales. En el segundo capítulo, se consideran ejemplos de integración de ecuaciones diferenciales por series de potencias.

Para estudiar la parte teórica del trabajo, se utilizaron materiales de literatura educativa y publicaciones periódicas indicadas en la lista de literatura utilizada.

Alcance del trabajo: 26 páginas.

1. CONCEPTOS BÁSICOS RELACIONADOS CON SERIES Y ECUACIONES DIFERENCIALES

1.1 Filas. Conceptos básicos. Criterio necesario para la convergencia

En aplicaciones matemáticas, así como en la resolución de algunos problemas de economía, estadística y otras áreas, se consideran sumas con un número infinito de términos. Aquí definimos lo que se entiende por tales cantidades.

Sea dada una sucesión de números infinitos. Una serie numérica o simplemente una serie es una expresión (suma) de la forma

,(1.1)

los números se denominan miembros de la serie, - común o n-ésimo miembro de la serie.

Para establecer la serie (1.1) es suficiente establecer la función del argumento natural para calcular el n-ésimo miembro de la serie por su número

Ejemplo 1.1. Dejar . Fila

(1.2)

llamada serie armónica.

A partir de los términos de la serie (1.1) formamos una secuencia numérica de sumas parciales Dónde - la suma de los primeros términos de la serie, que se denomina suma parcial n-ésima, es decir

(1.3)

Secuencia numérica con un aumento ilimitado en el número puede:

) tienen un límite finito;

) no tienen un límite finito (el límite no existe o es igual a infinito).

Una serie (1.1) se llama convergente si la secuencia de sus sumas parciales (1.3) tiene un límite finito, es decir

En este caso, el número se llama suma de la serie (1.1) y se escribe

Se dice que una serie (1.1) es divergente si la secuencia de sus sumas parciales no tiene un límite finito. No se asigna ninguna suma a las series divergentes.

Así, el problema de encontrar la suma de la serie convergente (1.1) equivale a calcular el límite de la sucesión de sus sumas parciales.

La demostración del teorema se sigue del hecho de que , y si

S es la suma de la serie (1.1), entonces

La condición (1.4) es una condición necesaria pero no suficiente para que la serie converja. Es decir, si el término común de la serie tiende a cero en , esto no significa que la serie converge. Por ejemplo, para la serie armónica (1.2)

sin embargo, diverge.

Consecuencia (Un criterio suficiente para la divergencia de la serie): si el término común de la serie no tiende a cero, entonces esta serie diverge.

Ejemplo 1.2. Investigar para series de convergencia

Para esta serie Por lo tanto, esta serie diverge.

1.1

1.2 Serie de potencias. Propiedades de la serie de potencias

Las series de potencias son un caso especial de las series funcionales.

Una serie de potencias es una serie funcional de la forma

aquí - números reales constantes, llamados coeficientes de la serie de potencias;

Algún número constante;

Una variable que toma valores del conjunto de números reales.

En , la serie de potencias (1.5) toma la forma

(1.6)

Una serie de potencias (1.5) se denomina serie en potencias de diferencia serie (1.6) - una serie en potencias Si se le da un valor a una variable, entonces la serie de potencias (1.5) (o (1.6)) se convierte en una serie numérica que puede converger o divergir.

La región de convergencia de una serie de potencias es el conjunto de aquellos valores para los cuales converge la serie de potencias.

Teorema 1.2 (Teorema de Abel): si la serie de potencias (1.6) converge para entonces converge absolutamente para todos los valores que satisfacen la desigualdad, si la serie (1.6) diverge para entonces diverge para todos los valores que satisfacen la desigualdad

El teorema de Abel da una idea clara de la estructura de la región de convergencia de una serie de potencias.

Teorema 1.3: La región de convergencia de la serie de potencias (1.6) coincide con uno de los siguientes intervalos:

) ; 2) ; 3) ; 4) ,

donde es algún número real no negativo o

El número se llama radio de convergencia, el intervalo se llama intervalo de convergencia de la serie de potencias (1.6).

Si entonces el intervalo de convergencia es todo el eje real

Si entonces el intervalo de convergencia degenera en un punto

Nota: si es el intervalo de convergencia de la serie de potencias (1.2), entonces es el intervalo de convergencia de la serie de potencias (1.5).

Del Teorema 1.3 se sigue que, para encontrar prácticamente la región de convergencia de la serie de potencias (1.6), basta encontrar su radio de convergencia y aclarar la cuestión de la convergencia de esta serie en los extremos del intervalo de convergencia , es decir., en y

El radio de convergencia de una serie de potencias se puede encontrar usando una de las siguientes fórmulas:

fórmula de d'Alembert:

Fórmula de Cauchy:

Ejemplo 1.3. Encuentra el radio de convergencia, el intervalo de convergencia y el área de convergencia de una serie de potencias

Encuentre el radio de convergencia de esta serie por la fórmula

En nuestro caso

Por lo tanto, el intervalo de convergencia de esta serie tiene la forma

Estudiemos la convergencia de la serie en los extremos del intervalo de convergencia.

que diverge como una serie armónica.

Cuando la serie de potencias se convierte en una serie de números

.

Esta es una serie alterna, cuyos términos decrecen en valor absoluto y

Por lo tanto, según la prueba de Leibniz, esta serie de números converge.

Así, el intervalo es la región de convergencia de una serie de potencias dada.

La serie de potencias (1.6) es una función definida en el intervalo de convergencia, es decir

Estas son algunas propiedades de la función.

Propiedad 1. La función es continua en cualquier segmento perteneciente al intervalo de convergencia

Propiedad 2. La función es derivable en un intervalo y su derivada se puede encontrar por diferenciación término por término de la serie (1.6), es decir

para todos

Propiedad 3. La integral indefinida de una función para todos puede obtenerse mediante la integración término por término de la serie (1.6), es decir

para todos

Cabe señalar que cuando la diferenciación e integración término a término de una serie de potencias, su radio de convergencia no cambia, sin embargo, su convergencia en los extremos del intervalo puede cambiar.

Las propiedades anteriores también son válidas para series de potencias (1.5).

Ejemplo 1.4. Considere la serie de potencias

La región de convergencia de esta serie, como se muestra en el ejemplo 1.3, es el intervalo

Vamos a diferenciar esta serie término a término:

(1.7)

Estudiemos el comportamiento de esta serie en los extremos del intervalo de convergencia.

Esta serie numérica diverge, ya que no se cumple el criterio necesario de convergencia

que no existe.

Para , la serie de potencias (1.7) se convierte en una serie numérica

que también diverge porque no se cumple el criterio de convergencia requerido.

Por tanto, la región de convergencia de la serie de potencias obtenida por diferenciación término a término de la serie de potencias original ha cambiado y coincide con el intervalo .

1.3 Serie de Taylor. Serie Maclaurin

Sea una función infinitamente diferenciable en una vecindad de un punto, es decir tiene derivadas de cualquier orden. La serie de Taylor de una función en un punto se llama serie de potencias.

(1.8)

En el caso particular de , la serie (1.8) se denomina serie de Maclaurin:

Surge la pregunta: ¿En qué casos la serie de Taylor para una función diferenciada un número infinito de veces en una vecindad de un punto coincide con la función ?

Hay casos en que la serie de Taylor de la función converge, pero su suma no es igual a

Demos una condición suficiente para la convergencia de la serie de Taylor de una función a esta función.

Teorema 1.4: si en el intervalo la función tiene derivadas de cualquier orden y todas ellas están limitadas por el mismo número en valor absoluto, es decir entonces la serie de Taylor de esta función converge a para cualquiera de este intervalo aquellos. hay una igualdad

Para aclarar el cumplimiento de esta igualdad en los extremos del intervalo de convergencia, se requieren estudios separados.

Cabe señalar que si una función se expande en una serie de potencias, entonces esta serie es la serie de Taylor (Maclaurin) de esta función, y esta expansión es única.

1.4 Ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n para una función de un argumento es una relación de la forma

donde es una función dada de sus argumentos.

En el nombre de esta clase de ecuaciones matemáticas, el término "diferencial" enfatiza que incluyen derivadas (funciones formadas como resultado de la diferenciación); el término - "ordinario" dice que la función deseada depende de un solo argumento real.

Una ecuación diferencial ordinaria puede no contener explícitamente el argumento de la función deseada y cualquiera de sus derivadas, pero la derivada más alta debe incluirse en la ecuación de orden n.

Por ejemplo,

A) - ecuación de primer orden;

B) es una ecuación de tercer orden.

Al escribir ecuaciones diferenciales ordinarias, a menudo se usa la notación de derivadas a través de diferenciales:

EN) - ecuación de segundo orden;

GRAMO) - una ecuación de primer orden que, después de dividir por la forma equivalente de establecer la ecuación:

Una función se llama solución de una ecuación diferencial ordinaria si, al sustituirla, se convierte en una identidad.

Encontrar por un método u otro, por ejemplo, selección, una función que satisface una ecuación no significa resolverla. Resolver una ecuación diferencial ordinaria significa encontrar todas las funciones que forman una identidad cuando se sustituyen en la ecuación. Para la ecuación (1.10), la familia de tales funciones se forma con la ayuda de constantes arbitrarias y se denomina solución general de una ecuación diferencial ordinaria de orden n, y el número de constantes coincide con el orden de la ecuación: integral de ecuación (1.10).

Al establecer algunos valores admisibles para todas las constantes arbitrarias en la solución general o en la integral general, obtenemos una determinada función que ya no contiene constantes arbitrarias. Esta función se llama solución particular o integral particular de la ecuación (1.10). Para encontrar los valores de las constantes arbitrarias, y por lo tanto la solución particular, se utilizan varias condiciones adicionales a la ecuación (1.10). Por ejemplo, las llamadas condiciones iniciales para:

En el lado derecho de las condiciones iniciales (1.11), se dan los valores numéricos de la función y las derivadas, y el número total de condiciones iniciales es igual al número de constantes arbitrarias que se determinan.

La tarea de encontrar una solución particular a la ecuación (1.10) de acuerdo con las condiciones iniciales se denomina problema de Cauchy.

1.5 Integración de ecuaciones diferenciales usando series

En el caso general, es imposible encontrar una solución exacta a una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de primer orden integrándola. Además, esto no es factible para el sistema ODE. Esta circunstancia motivó la creación de un gran número de métodos aproximados para la resolución de las EDO y sus sistemas. Hay tres grupos de métodos aproximados: analíticos, gráficos y numéricos. Por supuesto, tal clasificación es algo arbitraria. Por ejemplo, el método gráfico de la línea quebrada de Euler subyace en uno de los métodos para resolver numéricamente una ecuación diferencial.

La integración de ODE utilizando series de potencias es un método analítico aproximado, generalmente aplicado a ecuaciones lineales de al menos segundo orden. Por simplicidad, nos limitamos a considerar una EDO lineal homogénea de segundo orden con coeficientes variables

(1.12)

Observación: una clase bastante amplia de funciones se puede representar como

donde son algunas constantes. Esta expresión se llama serie de potencias.

Suponga que las funciones se pueden expandir en series que convergen en el intervalo:

Se cumple el siguiente teorema (omitiendo la demostración, presentamos sólo su formulación).

Teorema 1.5: si las funciones tienen la forma (1.13), entonces cualquier solución de ODE (1.12) se puede representar como una serie de potencias que convergen en:

(1.14)

Este teorema no solo permite representar la solución en forma de serie de potencias, sino que, lo que es más importante, justifica la convergencia de la serie (1.14). Para simplificar, colocamos (1.13) y (1.14) y buscamos una solución para ODE (1.12) en la forma

(1.15)

Sustituyendo (1.15) en (1.12), obtenemos la igualdad

Para que se cumpla (1.16), es necesario que el coeficiente en cada potencia sea igual a cero.

De esta condición obtenemos un sistema infinito de ecuaciones algebraicas lineales

de donde se pueden encontrar sucesivamente si se especifican los valores y (en el caso del problema de Cauchy para ODE (1.12) se incluyen en las condiciones iniciales ).

Si las funciones son racionales, es decir,

donde son polinomios, entonces en la vecindad de puntos donde la solución en forma de serie de potencias puede no existir, y si existe, puede divergir en todas partes, excepto en el punto.Esta circunstancia era conocida incluso por L. Euler, quien consideró la ecuación de primer orden

Esta ecuación es satisfecha por la serie de potencias

Sin embargo, es fácil ver que esta serie diverge para cualquier

La solución de una EDO en forma de serie de potencias divergentes se llama formal.

2. EJEMPLOS DE USO DE SERIES DE POTENCIA EN INTEGRACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Ecuación aireada

Solución de la ecuación de Airy

buscaremos en forma de serie de potencias (1.15). Entonces la igualdad (1.16) toma la forma

El coeficiente at es igual Por tanto, de la igualdad a cero del coeficiente at, encontramos el Coeficiente at igual De aquí

De esta fórmula obtenemos

Del mismo modo, encontramos

Los coeficientes y permanecen indefinidos. Para encontrar el sistema fundamental de soluciones, primero establecemos y luego viceversa. En el primer caso tenemos

y en el segundo

Con base en el Teorema 1.5, estas series convergen en todas partes en la línea real

Las funciones se denominan funciones de Airy. Para valores grandes, el comportamiento asintótico de estas funciones se describe mediante las fórmulas

Las gráficas de estas funciones se muestran en la Figura 1.

Foto 1

Con un aumento ilimitado, los ceros de cualquier solución de la ecuación de Airy convergen indefinidamente, lo cual es evidente a partir de la representación asintótica de estas soluciones, pero no es del todo obvio a partir de la representación de las funciones de Airy en forma de series de potencias convergentes. De ello se deduce que el método de encontrar una solución a una EDO utilizando una serie es, en general, de poca utilidad en la resolución de problemas aplicados, y la propia representación de la solución en forma de serie dificulta el análisis de las propiedades cualitativas de la solución resultante.

2.1 Ecuación de Bessel

Ecuación diferencial lineal con coeficientes variables, que tiene la forma

se llama ecuación de Bessel.

Buscaremos la solución de la ecuación (2.1) en forma de serie de potencias generalizada, es decir productos de algún grado en la serie estepa:

(2.2)

Sustituyendo la serie de potencias generalizada en la ecuación (2.1) e igualando a cero los coeficientes de cada potencia en el lado izquierdo de la ecuación, obtenemos el sistema

Suponiendo que de este sistema encontramos Let Luego de la segunda ecuación del sistema que encontramos y de la ecuación que da los valores 3,5,7,…, concluimos que Para coeficientes con números pares obtenemos las expresiones

Sustituyendo los coeficientes encontrados en la serie (2.2), obtenemos la solución

donde el coeficiente sigue siendo arbitrario.

Porque todos los coeficientes se determinan de manera similar solo en el caso en que no es igual a un número entero. Entonces la solución se puede obtener reemplazando el valor en la solución anterior con:

La serie de potencias resultante converge para todos los valores de , lo que se establece fácilmente sobre la base de la prueba de d'Alembert. Las soluciones y son linealmente independientes, ya que su razón no es constante.

Solución multiplicada por una constante se denomina función de Bessel (o función cilíndrica) del orden de la primera especie y se denota con el símbolo La solución se denota

La elección generalmente aceptada de una constante implica la función gamma, que está determinada por una integral impropia:

En consecuencia, la solución general de la ecuación (2.1) cuando no es igual a un número entero tiene la forma donde y son constantes arbitrarias .

2.2 Ejemplos de integración

En los casos en que la ecuación requiera resolver el problema de Cauchy bajo la condición inicial, se puede buscar la solución mediante la serie de Taylor:

donde y otras derivadas se encuentran por diferenciación sucesiva de la ecuación original y sustitución en el resultado de la diferenciación en lugar de los valores y todas las demás derivadas posteriores encontradas. De manera similar, las ecuaciones de orden superior se pueden integrar utilizando la serie de Taylor.

Ejemplo 2.1. Integre la ecuación aproximadamente usando la serie de Taylor, tomando los primeros seis términos distintos de cero de la expansión.

De la ecuación de condiciones iniciales encontramos Derivando esta ecuación, obtenemos sucesivamente

Configuración y uso de valores secuencialmente encontramos La solución deseada tiene la forma

Ejemplo 2.2. Encuentre los primeros cuatro (que no sean cero) términos de la expansión. Y

Sustituyendo los valores encontrados en series (2.3), obtenemos la solución deseada con la precisión especificada:

2.3 Ejemplos de integración en Maple

Para encontrar soluciones analíticas a ecuaciones diferenciales en Maple, se utiliza el comando dsolve(eq,var,options), donde eq es una ecuación diferencial, var son funciones desconocidas y options son opciones. Los parámetros pueden especificar un método para resolver el problema, por ejemplo, por defecto, se busca una solución analítica: tipo=exacto. Al compilar ecuaciones diferenciales, el comando diff se usa para indicar la derivada, por ejemplo, una ecuación diferencial se escribe como: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

Para encontrar una solución aproximada a una ecuación diferencial en forma de serie de potencias, en el comando dsolve, especifique el parámetro tipo=serie (o simplemente serie) después de las variables. Para especificar el orden de expansión, es decir, el orden del grado en que se realiza la descomposición, antes del comando dsolve, inserte la definición del orden usando el comando Orden:=n.

Si se busca una solución general de una ecuación diferencial en forma de expansión en una serie de potencias, entonces los coeficientes en las potencias de la expansión encontrada contendrán valores desconocidos de la función en cero y sus derivadas, y así sucesivamente. La expresión obtenida en la línea de salida tendrá una forma similar a la expansión de Maclaurin de la solución deseada, pero con diferentes coeficientes en las potencias de . Para aislar una solución particular, se deben establecer las condiciones iniciales, etc., y el número de estas condiciones iniciales debe coincidir con el orden de la ecuación diferencial correspondiente.

La expansión en una serie de potencias es de tipo serie, por lo tanto, para trabajar más con esta serie, se debe convertir a un polinomio usando el comando convert(%,polynom), y luego se debe seleccionar el lado derecho de la expresión resultante con el comando rhs(%).

> cond:=y(0)=1, D(y)(0)=1, (D@@2)(y)(0)=1;

> dsolve((de,cond),y(x));

> y1:=rhs(%):

> dsolve((de,cond),y(x),serie);

Nota: el tipo de solución de una ecuación diferencial en forma de serie es una serie, por lo tanto, para el uso posterior de dicha solución (cálculos o gráficos), debe convertirse en un polinomio usando el comando convertir.

ecuación diferencial número grado

> convert(%,polinomio): y2:=rhs(%):

> p1:=parcela(y1, x=-3..3, espesor=2, color=negro):

> p2:=parcela(y2, x=-3..3, estilo de línea=3, grosor=2, color=negro):

> with(parcelas): display(p1,p2);

La Figura 2 muestra que la mejor aproximación de la solución exacta por una serie de potencias se logra aproximadamente en el intervalo

Figura 2

CONCLUSIÓN

Los objetivos planteados en el trabajo del curso se han alcanzado en su totalidad, se han resuelto las siguientes tareas:

Se definen los conceptos básicos relacionados con series y ecuaciones diferenciales.

Se considera un método para integrar ecuaciones diferenciales con la ayuda de series de potencias.

Problemas resueltos sobre este tema.

En este trabajo de curso, el material ha sido estudiado y sistematizado para su aplicación por parte de los estudiantes durante el estudio independiente del método de integración de ecuaciones diferenciales utilizando series de potencias. Se consideran los conceptos de series y ecuaciones diferenciales. Los cálculos aproximados se realizan mediante series.

La obra puede ser utilizada como material didáctico para estudiantes de especialidades técnicas y matemáticas.

Los resultados del trabajo pueden servir como base para futuras investigaciones.

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