Institución educativa "Estado de Bielorrusia

academia agrícola"

Departamento de Matemáticas Superiores

Pautas

sobre el estudio del tema "Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden" por estudiantes del departamento de contabilidad de la forma de educación por correspondencia (NISPO)

Gorki, 2013

Ecuaciones diferenciales lineales

segundo orden con constantecoeficientes

1. Ecuaciones diferenciales homogéneas lineales

Ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes se llama una ecuación de la forma

aquellos. una ecuación que contiene la función deseada y sus derivadas solo hasta el primer grado y no contiene sus productos. en esta ecuacion Y
son algunos números, y la función
dado en algún intervalo
.

Si
en el intervalo
, entonces la ecuación (1) toma la forma

, (2)

y llamó homogéneo lineal . De lo contrario, la ecuación (1) se llama lineal no homogéneo .

Considere la función compleja

, (3)

Dónde
Y
son funciones reales. Si la función (3) es una solución compleja de la ecuación (2), entonces la parte real
, y la parte imaginaria
soluciones
tomados por separado son soluciones de la misma ecuación homogénea. Así, cualquier solución compleja de la ecuación (2) genera dos soluciones reales de esta ecuación.

Las soluciones de una ecuación lineal homogénea tienen las siguientes propiedades:

Si es una solución a la ecuación (2), entonces la función
, Dónde CON- una constante arbitraria, también será una solución a la ecuación (2);

Si Y son soluciones de la ecuación (2), entonces la función
también será una solución a la ecuación (2);

Si Y son soluciones de la ecuación (2), entonces su combinación lineal
también será una solución a la ecuación (2), donde Y
son constantes arbitrarias.

Funciones
Y
llamado linealmente dependiente en el intervalo
si hay esos numeros Y
, que no son iguales a cero al mismo tiempo, que en este intervalo la igualdad

Si la igualdad (4) se cumple sólo cuando
Y
, entonces las funciones
Y
llamado independiente linealmente en el intervalo
.

Ejemplo 1 . Funciones
Y
son linealmente dependientes, ya que
a lo largo de la recta numérica entera. En este ejemplo
.

Ejemplo 2 . Funciones
Y
son linealmente independientes en cualquier intervalo, ya que la igualdad
posible sólo si y
, Y
.

1. Construcción de una solución general de una lineal homogénea

ecuaciones

Para encontrar una solución general a la ecuación (2), necesitas encontrar dos de sus soluciones linealmente independientes Y . Combinación lineal de estas soluciones.
, Dónde Y
son constantes arbitrarias, y darán la solución general de una ecuación lineal homogénea.

Las soluciones linealmente independientes de la ecuación (2) se buscarán en la forma

, (5)

Dónde - algún número. Entonces
,
. Sustituyamos estas expresiones en la ecuación (2):

O
.

Porque
, Eso
. Entonces la función
será una solución a la ecuación (2) si satisfará la ecuación

. (6)

La ecuación (6) se llama Ecuación característica para la ecuación (2). Esta ecuación es una ecuación cuadrática algebraica.

Dejar Y son las raíces de esta ecuación. Pueden ser reales y diferentes, o complejos, o reales e iguales. Consideremos estos casos.

Deja que las raíces Y Las ecuaciones características son reales y distintas. Entonces las soluciones de la ecuación (2) serán las funciones
Y
. Estas soluciones son linealmente independientes, ya que la igualdad
sólo se puede realizar cuando
, Y
. Por lo tanto, la solución general de la ecuación (2) tiene la forma

,

Dónde Y
son constantes arbitrarias.

Ejemplo 3
.

Solución . La ecuación característica para este diferencial será
. Resolviendo esta ecuación cuadrática, encontramos sus raíces
Y
. Funciones
Y
son soluciones de la ecuación diferencial. La solución general de esta ecuación tiene la forma
.

Número complejo se llama expresión de la forma
, Dónde Y son números reales y
se llama unidad imaginaria. Si
, entonces el número
se llama puramente imaginario. Si
, entonces el número
se identifica con un número real .

Número se llama la parte real del número complejo, y - la parte imaginaria. Si dos números complejos difieren entre sí solo en el signo de la parte imaginaria, entonces se llaman conjugados:
,
.

Ejemplo 4 . Resolver una ecuación cuadrática
.

Solución . Ecuación discriminante
. Entonces . Asimismo,
. Por lo tanto, esta ecuación cuadrática tiene raíces complejas conjugadas.

Deje que las raíces de la ecuación característica sean complejas, es decir
,
, Dónde
. Las soluciones a la ecuación (2) se pueden escribir como
,
o
,
. Según las fórmulas de Euler

,
.

Entonces , . Como se sabe, si una función compleja es una solución de una ecuación lineal homogénea, entonces las soluciones de esta ecuación son tanto la parte real como la imaginaria de esta función. Así, las soluciones de la ecuación (2) serán las funciones
Y
. Desde la igualdad

solo se puede realizar si
Y
, entonces estas soluciones son linealmente independientes. Por lo tanto, la solución general de la ecuación (2) tiene la forma

Dónde Y
son constantes arbitrarias.

Ejemplo 5 . Encuentre la solución general de la ecuación diferencial
.

Solución . La ecuacion
es característica para el diferencial dado. Lo resolvemos y obtenemos raíces complejas.
,
. Funciones
Y
son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial. La solución general de esta ecuación tiene la forma .

Deje que las raíces de la ecuación característica sean reales e iguales, es decir
. Entonces las soluciones de la ecuación (2) son las funciones
Y
. Estas soluciones son linealmente independientes, ya que la expresión puede ser idénticamente igual a cero solo cuando
Y
. Por lo tanto, la solución general de la ecuación (2) tiene la forma
.

Ejemplo 6 . Encuentre la solución general de la ecuación diferencial
.

Solución . Ecuación característica
tiene raíces iguales
. En este caso, las soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial son las funciones
Y
. La solución general tiene la forma
.

Las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes tienen la forma

donde p y q son números reales. Veamos ejemplos de cómo se resuelven ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes.

La solución de una ecuación diferencial lineal homogénea homogénea de segundo orden depende de las raíces de la ecuación característica. La ecuación característica es la ecuación k²+pk+q=0.

1) Si las raíces de la ecuación característica son números reales diferentes:

entonces la solución general de una ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden con coeficientes constantes tiene la forma

2) Si las raíces de la ecuación característica son números reales iguales

(por ejemplo, con un discriminante igual a cero), entonces la solución general de una ecuación diferencial homogénea de segundo orden es

3) Si las raíces de la ecuación característica son números complejos

(por ejemplo, con un discriminante igual a un número negativo), entonces la solución general de una ecuación diferencial homogénea de segundo orden se escribe como

Ejemplos de resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas lineales de segundo orden con coeficientes constantes

Encuentre soluciones generales de ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden:

Hacemos la ecuación característica: k²-7k+12=0. Su discriminante es D=b²-4ac=1>0, por lo que las raíces son números reales distintos.

Por tanto, la solución general de esta ED homogénea de segundo orden es

Componemos y resolvemos la ecuación característica:

Las raíces son reales y distintas. Por lo tanto tenemos la solución general de esta ecuación diferencial homogénea:

En este caso, la ecuación característica

Las raíces son distintas y reales. Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial homogénea de segundo orden es aquí

Ecuación característica

Como las raíces son reales e iguales, escribimos la solución general para esta ecuación diferencial como

La ecuación característica está aquí.

Dado que el discriminante es un número negativo, las raíces de la ecuación característica son números complejos.

La solución general de esta ecuación diferencial homogénea de segundo orden es

Ecuación característica

A partir de aquí encontramos la solución general de esta dif. ecuaciones:

Ejemplos de autoevaluación.

Ecuación diferencial lineal de segundo orden se llama una ecuación de la forma

y"" + pag(X)y" + q(X)y = F(X) ,

Dónde y es la función a encontrar, y pag(X) , q(X) Y F(X) son funciones continuas en algún intervalo ( un, b) .

Si el lado derecho de la ecuación es cero ( F(X) = 0 ), entonces la ecuación se llama ecuación homogénea lineal . La parte práctica de esta lección se dedicará principalmente a tales ecuaciones. Si el lado derecho de la ecuación no es igual a cero ( F(X) ≠ 0 ), entonces la ecuación se llama .

En las tareas, estamos obligados a resolver la ecuación con respecto a y"" :

y"" = −pag(X)y" − q(X)y + F(X) .

Las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden tienen una solución única Problemas de Cauchy .

Ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden y su solución

Considere una ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden:

y"" + pag(X)y" + q(X)y = 0 .

Si y1 (X) Y y2 (X) son soluciones particulares de esta ecuación, entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas:

1) y1 (X) + y 2 (X) - es también una solución a esta ecuación;

2) Cy1 (X) , Dónde C- una constante arbitraria (constante), también es una solución a esta ecuación.

De estos dos enunciados se deduce que la función

C1 y 1 (X) + C 2 y 2 (X)

es también una solución a esta ecuación.

Surge una pregunta justa: ¿es esta solución solución general de una ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden , es decir, una solución en la que, para varios valores C1 Y C2 ¿Es posible obtener todas las soluciones posibles de la ecuación?

La respuesta a esta pregunta es: puede, pero bajo ciertas condiciones. Este condición sobre qué propiedades deben tener las soluciones particulares y1 (X) Y y2 (X) .

Y esta condición se llama condición de independencia lineal de las soluciones particulares.

Teorema. Función C1 y 1 (X) + C 2 y 2 (X) es una solución general de una ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden si las funciones y1 (X) Y y2 (X) son linealmente independientes.

Definición. Funciones y1 (X) Y y2 (X) se denominan linealmente independientes si su relación es una constante distinta de cero:

y1 (X)/y 2 (X) = k ; k = constante ; k ≠ 0 .

Sin embargo, establecer por definición si estas funciones son linealmente independientes suele ser muy difícil. Hay una manera de establecer la independencia lineal usando el determinante de Wronsky W(X) :

Si el determinante de Wronsky no es igual a cero, entonces las soluciones son linealmente independientes . Si el determinante de Wronsky es igual a cero, entonces las soluciones son linealmente dependientes.

Ejemplo 1 Encuentra la solución general de una ecuación diferencial homogénea lineal.

Solución. Integramos dos veces y, como es fácil ver, para que la diferencia de la segunda derivada de la función y la función misma sea igual a cero, las soluciones deben estar asociadas a un exponente cuya derivada sea igual a sí misma. Es decir, las soluciones privadas son y .

Dado que el determinante de Vronsky

no es igual a cero, entonces estas soluciones son linealmente independientes. Por lo tanto, la solución general de esta ecuación se puede escribir como

.

Ecuaciones diferenciales homogéneas lineales de segundo orden con coeficientes constantes: teoría y práctica

Ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden con coeficientes constantes se llama una ecuación de la forma

y"" + py" + qy = 0 ,

Dónde pag Y q son valores constantes.

El hecho de que se trata de una ecuación de segundo orden se indica por la presencia de la segunda derivada de la función deseada, y su homogeneidad se indica mediante cero en el lado derecho. Las cantidades ya mencionadas anteriormente se llaman coeficientes constantes.

A resolver una ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden con coeficientes constantes , primero debes resolver la llamada ecuación característica de la forma

k² + pq + q = 0 ,

que, como puede verse, es una ecuación cuadrática ordinaria.

Dependiendo de la solución de la ecuación característica, son posibles tres opciones diferentes solución de una ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden con coeficientes constantes , que ahora analizaremos. Para total certeza, supondremos que todas las soluciones particulares han sido probadas por el determinante de Vronsky y en todos los casos no es igual a cero. Los que dudan, sin embargo, pueden comprobarlo por sí mismos.

Raíces de la ecuación característica - reales y diferentes

En otras palabras, . En este caso, la solución de una ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden con coeficientes constantes tiene la forma

.

Ejemplo 2. Resolver una ecuación diferencial homogénea lineal

.

Ejemplo 3. Resolver una ecuación diferencial homogénea lineal

.

Solución. La ecuación característica tiene la forma , sus raíces y son reales y diferentes. Las correspondientes soluciones particulares de la ecuación: y . La solución general de esta ecuación diferencial tiene la forma

.

Raíces de la ecuación característica - reales e iguales

Eso es, . En este caso, la solución de una ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden con coeficientes constantes tiene la forma

.

Ejemplo 4. Resolver una ecuación diferencial homogénea lineal

.

Solución. Ecuación característica tiene raíces iguales. Las correspondientes soluciones particulares de la ecuación: y . La solución general de esta ecuación diferencial tiene la forma

Ejemplo 5. Resolver una ecuación diferencial homogénea lineal

.

Solución. La ecuación característica tiene raíces iguales. Las correspondientes soluciones particulares de la ecuación: y . La solución general de esta ecuación diferencial tiene la forma

En este artículo, analizaremos los principios para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas lineales de segundo orden con coeficientes constantes, donde p y q son números reales arbitrarios. Primero, detengámonos en la teoría, luego apliquemos los resultados obtenidos en la resolución de ejemplos y problemas.

Si encuentra términos desconocidos, consulte la sección de definiciones y conceptos de la teoría de ecuaciones diferenciales.

Formulemos un teorema que indique de qué forma encontrar la solución general de LODE.

Teorema.

La solución general de una ecuación diferencial homogénea lineal con coeficientes continuos en el intervalo de integración X está determinada por una combinación lineal , Dónde son soluciones parciales linealmente independientes de LODE en X y son constantes arbitrarias.

Así, la solución general de una ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden con coeficientes constantes tiene la forma y 0 =C 1 ⋅y 1 +C 2 ⋅y 2 constantes arbitrarias. Queda por aprender cómo encontrar soluciones particulares y 1 e y 2 .

Euler sugirió buscar soluciones particulares en la forma .

Si tomamos un LODE de segundo orden con coeficientes constantes como una solución particular, entonces al sustituir esta solución en la ecuación, deberíamos obtener la identidad:

Así que tenemos el llamado Ecuación característica ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden con coeficientes constantes. Las soluciones k 1 y k 2 de esta ecuación característica también determinan soluciones particulares de nuestro LODE de segundo orden con coeficientes constantes.

Dependiendo de los coeficientes p y q, las raíces de la ecuación característica pueden ser:

En el primer caso las soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial original son y , la solución general de LODE de segundo orden con coeficientes constantes es .

Las funciones y son de hecho linealmente independientes, ya que el determinante de Wronsky es distinto de cero para cualquier x real para .

En el segundo caso una solución particular es la función . Como se toma la segunda solución particular . Demostremos cuál es de hecho una solución particular de LODE de segundo orden con coeficientes constantes y demostremos la independencia lineal de y 1 e y 2 .

Dado que k 1 \u003d k 0 y k 2 \u003d k 0 son las mismas raíces de la ecuación característica, entonces tiene la forma. Por lo tanto, es la ecuación diferencial homogénea lineal original. Sustituir en él y asegurarse de que la ecuación se convierte en una identidad:

Por lo tanto, es una solución particular de la ecuación original.

Demostremos la independencia lineal de las funciones y . Para hacer esto, calculamos el determinante de Wronsky y nos aseguramos de que sea distinto de cero.

Conclusión: las soluciones parciales linealmente independientes de LODE de segundo orden con coeficientes constantes son y , y la solución general está en .

En el tercer caso tenemos un par de soluciones particulares complejas para LODE y . La solución general se escribe como . Estas soluciones particulares pueden ser reemplazadas por dos funciones reales y correspondiente a las partes real e imaginaria. Esto se ve claramente si transformamos la solución general , utilizando fórmulas de teoría de funciones de variable compleja amable :


donde C 3 y C 4 son constantes arbitrarias.

Así que vamos a resumir la teoría.

Algoritmo para encontrar una solución general a una ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden con coeficientes constantes.

Considere ejemplos para cada caso.

Ejemplo.

Encuentre una solución general para una ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden con coeficientes constantes .

§ 9. Ecuaciones diferenciales homogéneas lineales de segundo orden con coeficientes constantes

Determinación de LODE de segundo orden con coeficientes constantes

Ecuación característica:

Caso 1. Discriminante mayor que cero

Caso 2. el discriminante es cero

Caso 3. Discriminante menor que cero

Algoritmo para encontrar una solución general a un LODE de segundo orden con coeficientes constantes

§ 10. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes

Definición de LIDE de segundo orden con coeficientes constantes

Método de variación constante

Método para resolver LIDE con un lado derecho especial

Teorema sobre la estructura de la solución general de LIDE

1. Función r (X) es un polinomio de grado T

2. Función r (X) es el producto de un número y una función exponencial

3. Función r (X) es la suma de funciones trigonométricas

Algoritmo para encontrar una solución general a LIDE con un lado derecho especial

Solicitud

§ 9. Ecuaciones diferenciales homogéneas lineales de segundo orden con coeficientes constantes

La ecuación diferencial de segundo orden se llama ecuación diferencial homogénea lineal (LODE) con coeficientes constantes si se parece a:

Dónde pag Y q

Para encontrar una solución general a la LODE, basta con encontrar dos de sus diferentes soluciones particulares y . Entonces la solución general de la LODE tendrá la forma

Dónde CON 1 y CON

Leonhard Euler propuso buscar soluciones particulares de LODE en la forma

Dónde k- algún número.

Derivando esta función dos veces y sustituyendo las expresiones por en, en" Y en" en la ecuación, obtenemos:

La ecuación resultante se llama Ecuación característica LODU. Para compilarlo, basta con reemplazar en la ecuación original en", en" Y en respectivamente en k 2 , k y 1:

Habiendo resuelto la ecuación característica, es decir encontrando raíces k 1 y k 2, también encontraremos soluciones particulares al LODE original.

La ecuación característica es una ecuación cuadrática, sus raíces se encuentran a través del discriminante

En este caso, son posibles los siguientes tres casos.

Caso 1. Discriminante mayor que cero , de ahí las raíces k 1 y k 2 válidos y diferentes:

k 1¹ k 2

Dónde CON 1 y CON 2 son constantes independientes arbitrarias.

Caso 2. el discriminante es cero , de ahí las raíces k 1 y k 2 reales e iguales:

k 1 = k 2 = k

En este caso, la solución general de la LODE tiene la forma

Dónde CON 1 y CON 2 son constantes independientes arbitrarias.

Caso 3. Discriminante menor que cero . En este caso, la ecuación no tiene raíces reales:

No hay raíces.

En este caso, la solución general de la LODE tiene la forma

Dónde CON 1 y CON 2 son constantes independientes arbitrarias,

Así, encontrar una solución general a un LODE de segundo orden con coeficientes constantes se reduce a encontrar las raíces de la ecuación característica y usar fórmulas para la solución general de la ecuación (sin recurrir al cálculo de integrales).

Algoritmo para encontrar una solución general a un LODE de segundo orden con coeficientes constantes:

1. Lleva la ecuación a la forma , donde pag Y q son algunos numeros reales.

2. Componga una ecuación característica.

3. Encuentra el discriminante de la ecuación característica.

4. Usando las fórmulas (ver Tabla 1), dependiendo del signo del discriminante, escribe la solución general.

tabla 1

Cuadro de posibles soluciones generales