Al resolver problemas de objetos en movimiento, en algunos casos se desprecian sus dimensiones espaciales, introduciendo el concepto de punto material. Para otro tipo de problemas, en los que se consideran cuerpos en reposo o en rotación, es importante conocer sus parámetros y los puntos de aplicación de fuerzas externas. En este caso, estamos hablando del momento de las fuerzas con respecto al eje de rotación. Consideremos este problema en el artículo.
El concepto de momento de fuerza.
Antes de generar un eje fijo de rotación, es necesario aclarar de qué fenómeno se hablará. A continuación se muestra una figura que muestra una llave de longitud d, en su extremo se aplica una fuerza F. Es fácil imaginar que el resultado de su acción será la rotación de la llave en sentido antihorario y desenroscar la tuerca.
Según la definición, el momento de la fuerza es relativamente el producto del hombro (d en este caso) y la fuerza (F), es decir, se puede escribir la siguiente expresión: M = d * F. Debe notarse de inmediato que la fórmula anterior está escrita en forma escalar, es decir, le permite calcular el valor absoluto del momento M. Como se puede ver en la fórmula, la unidad de medida de la cantidad considerada es newton por metro (N*m).
- cantidad vectorial
Como se discutió anteriormente, el momento M es en realidad un vector. Para aclarar esta afirmación, considere otra figura.
Aquí vemos una palanca de longitud L, que está fija en el eje (que se muestra con la flecha). Se aplica una fuerza F en su extremo con un ángulo Φ. No es difícil imaginar que esta fuerza hará que la palanca se eleve. La fórmula para el momento en forma vectorial en este caso se escribirá de la siguiente manera: M¯ = L¯*F¯, aquí la línea sobre el símbolo significa que la cantidad en cuestión es un vector. Cabe aclarar que L¯ está dirigido desde el eje de giro hasta el punto de aplicación de la fuerza F¯.
La expresión anterior es un producto vectorial. Su vector resultante (M¯) será perpendicular al plano formado por L¯ y F¯. Para determinar la dirección del momento M¯, existen varias reglas (mano derecha, gimlet). Para no memorizarlos y no confundirse en el orden de multiplicación de los vectores L¯ y F¯ (la dirección de M¯ depende de ello), debe recordar una cosa simple: el momento de la fuerza estará dirigido en tal de manera que si miras desde el final de su vector, entonces la fuerza actuante F ¯ hará girar la palanca en sentido contrario a las manecillas del reloj. Esta dirección del momento se toma condicionalmente como positiva. Si el sistema gira en el sentido de las agujas del reloj, el momento resultante de las fuerzas tiene un valor negativo.
Así, en el caso considerado con la palanca L, el valor de M¯ se dirige hacia arriba (de la figura al lector).
En forma escalar, la fórmula para el momento se escribe como: M = L*F*sin(180-Φ) o M = L*F*sin(Φ) (sin(180-Φ) = sin(Φ)). Según la definición de seno, podemos escribir la igualdad: M = d*F, donde d = L*sin(Φ) (ver la figura y el triángulo rectángulo correspondiente). La última fórmula es similar a la dada en el párrafo anterior.
Los cálculos anteriores demuestran cómo trabajar con cantidades vectoriales y escalares de momentos de fuerzas para evitar errores.
El significado físico de M¯
Dado que los dos casos considerados en los párrafos anteriores están asociados con el movimiento de rotación, uno puede adivinar qué significado tiene el momento de la fuerza. Si la fuerza que actúa sobre un punto material es una medida del aumento de la velocidad del desplazamiento lineal de este último, entonces el momento de la fuerza es una medida de su capacidad de rotación en relación con el sistema considerado.
Tomemos un ejemplo ilustrativo. Cualquier persona abre la puerta sujetando su manilla. También se puede hacer empujando la puerta en la zona del tirador. ¿Por qué nadie lo abre empujando el área de la bisagra? Muy simple: cuanto más cerca se aplica la fuerza a las bisagras, más difícil es abrir la puerta, y viceversa. La derivación de la oración anterior se sigue de la fórmula para el momento (M = d*F), que muestra que cuando M = const, las cantidades d y F están inversamente relacionadas.
Momento de fuerza - cantidad aditiva
En todos los casos considerados anteriormente, solo había una fuerza actuante. Al resolver problemas reales, la situación es mucho más complicada. Por lo general, los sistemas que giran o están en equilibrio están sujetos a varias fuerzas de torsión, cada una de las cuales crea su propio momento. En este caso, la solución de problemas se reduce a encontrar el momento total de las fuerzas con respecto al eje de rotación.
El momento total se encuentra por la suma habitual de los momentos individuales de cada fuerza, sin embargo, recuerda usar el signo correcto para cada una de ellas.
Ejemplo de solucion de problema
Para consolidar los conocimientos adquiridos, se propone resolver el siguiente problema: es necesario calcular el momento de fuerza total para el sistema que se muestra en la siguiente figura.
Vemos que tres fuerzas (F1, F2, F3) actúan sobre una palanca de 7 m de largo y tienen diferentes puntos de aplicación con respecto al eje de rotación. Dado que la dirección de las fuerzas es perpendicular a la palanca, no es necesario utilizar una expresión vectorial para el momento de torsión. Es posible calcular el momento total M utilizando una fórmula escalar y recordando establecer el signo deseado. Dado que las fuerzas F1 y F3 tienden a girar la palanca en el sentido contrario a las agujas del reloj, y F2 en el sentido de las agujas del reloj, el momento de rotación para el primero será positivo y para el segundo, negativo. Tenemos: M \u003d F1 * 7-F2 * 5 + F3 * 3 \u003d 140-50 + 75 \u003d 165 N * m. Es decir, el momento total es positivo y dirigido hacia arriba (hacia el lector).
Momento de fuerza sobre el eje es el momento de la proyección de una fuerza sobre un plano perpendicular al eje, relativo al punto de intersección del eje con este plano
El momento alrededor de un eje es positivo si la fuerza tiende a girar un plano perpendicular al eje en sentido antihorario cuando se mira hacia el eje.
El momento de fuerza con respecto al eje es 0 en dos casos:
Si la fuerza es paralela al eje
Si la fuerza cruza el eje
Si la línea de acción y el eje se encuentran en el mismo plano, entonces el momento de fuerza con respecto al eje es 0.
27. La relación entre el momento de fuerza con respecto a un eje y el vector momento de fuerza con respecto a un punto.
Mz(F)=Mo(F)*cosαEl momento de la fuerza, relativo al eje, es igual a la proyección del vector del momento de las fuerzas, relativo al punto del eje, sobre este eje.
28. El principal teorema de la estática acerca de llevar el sistema de fuerzas a un centro dado (teorema de Poinsot). Vector principal y momento principal del sistema de fuerzas.
Cualquier sistema espacial de fuerzas en el caso general puede ser reemplazado por un sistema equivalente consistente en una fuerza aplicada en algún punto del cuerpo (centro de reducción) e igual al vector principal de este sistema de fuerzas, y un par de fuerzas, cuyo momento es igual al momento principal de todas las fuerzas en relación con el centro de referencia seleccionado.
El vector principal del sistema de fuerzas. llamado vector R igual a la suma vectorial de estas fuerzas:
R = F 1 + F 2 + ... + F n= F i .
Para un sistema plano de fuerzas, su principal vector se encuentra en el plano de acción de estas fuerzas.
El momento principal del sistema de fuerzas. sobre el centro O se llama vector L O , igual a la suma de los momentos vectoriales de estas fuerzas con respecto al punto O:
L O= METRO O( F 1) + METRO O( F 2) + ... + METRO O( F n) = METRO O( F i).
Vector R no depende de la elección del centro O, y el vector L O al cambiar la posición del centro O generalmente puede cambiar.
Teorema de Poinsot: Un sistema de fuerzas espacial arbitrario puede ser reemplazado por una fuerza con el vector principal del sistema de fuerzas y un par de fuerzas con el momento principal sin perturbar el estado del cuerpo rígido. El vector principal es la suma geométrica de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido y se encuentra en el plano de acción de las fuerzas. El vector principal se considera a través de sus proyecciones sobre los ejes de coordenadas.
Para llevar fuerzas a un centro dado aplicadas en algún punto de un cuerpo rígido, es necesario: 1) transferir la fuerza a sí mismo en paralelo a un centro dado sin cambiar el módulo de fuerza; 2) en un centro dado, aplicar un par de fuerzas, cuyo momento vectorial es igual al momento vectorial de la fuerza transferida del nuevo centro relativo, este par se denomina par adjunto.
Dependencia del momento principal de la elección del centro de reducción. El momento principal relativo al nuevo centro de reducción es igual a la suma geométrica del momento principal relativo al antiguo centro de reducción y el producto vectorial del radio-vector que conecta el nuevo centro de reducción con el antiguo y el vector principal.
29 Casos especiales de reducción del sistema espacial de fuerzas
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Valores de vector principal y momento principal |
Resultado del reparto |
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El sistema de fuerzas se reduce a un par de fuerzas, cuyo momento es igual al momento principal (el momento principal del sistema de fuerzas no depende de la elección del centro de reducción O). |
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El sistema de fuerzas se reduce a una resultante igual a la que pasa por el centro O. |
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El sistema de fuerzas se reduce a una resultante igual al vector principal y paralela a él y separada de él a una distancia. La posición de la línea de acción de la resultante debe ser tal que la dirección de su momento con respecto al centro de reducción O coincida con la dirección con respecto al centro O. |
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El sistema de fuerzas se reduce a una dínamo (tornillo de potencia), una combinación de una fuerza y un par de fuerzas que se encuentran en un plano perpendicular a esta fuerza. |
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El sistema de fuerzas aplicado a un cuerpo rígido está balanceado. |
, y los vectores no son perpendiculares
30. Reducción al dinamismo. En mecánica, una dínamo es un conjunto de fuerzas y un par de fuerzas () que actúan sobre un cuerpo rígido, en el que la fuerza es perpendicular al plano de acción del par de fuerzas. Utilizando el momento vectorial de un par de fuerzas, también se puede definir una dínamo como una combinación de una fuerza y un par cuya fuerza es paralela al momento vectorial de un par de fuerzas.
Ecuación del eje helicoidal central Supongamos que en el centro de reducción, tomado como origen, se obtiene el vector principal con proyecciones sobre los ejes de coordenadas y el momento principal con proyecciones Cuando el sistema de fuerzas se reduce al centro de reducción O 1 (Fig. 30) , se obtiene una dínamo con el vector principal y el momento principal , Vectores y como formando un linam. son paralelos y por lo tanto pueden diferir solo por un factor escalar k 0. Tenemos, ya que .Los momentos principales y , satisfacen la relación
Momento de fuerza sobre el eje es el momento de la proyección de una fuerza sobre un plano perpendicular al eje, relativo al punto de intersección del eje con este plano
El momento alrededor de un eje es positivo si la fuerza tiende a girar un plano perpendicular al eje en sentido antihorario cuando se mira hacia el eje.
El momento de fuerza con respecto al eje es 0 en dos casos:
Si la fuerza es paralela al eje
Si la fuerza cruza el eje
Si la línea de acción y el eje se encuentran en el mismo plano, entonces el momento de fuerza con respecto al eje es 0.
27. La relación entre el momento de fuerza con respecto a un eje y el vector momento de fuerza con respecto a un punto.
Mz(F)=Mo(F)*cosαEl momento de la fuerza, relativo al eje, es igual a la proyección del vector del momento de las fuerzas, relativo al punto del eje, sobre este eje.
28. El principal teorema de la estática acerca de llevar el sistema de fuerzas a un centro dado (teorema de Poinsot). Vector principal y momento principal del sistema de fuerzas.
Cualquier sistema espacial de fuerzas en el caso general puede ser reemplazado por un sistema equivalente consistente en una fuerza aplicada en algún punto del cuerpo (centro de reducción) e igual al vector principal de este sistema de fuerzas, y un par de fuerzas, cuyo momento es igual al momento principal de todas las fuerzas en relación con el centro de referencia seleccionado.
El vector principal del sistema de fuerzas. llamado vector R igual a la suma vectorial de estas fuerzas:
R = F 1 + F 2 + ... + F n= F i .
Para un sistema plano de fuerzas, su principal vector se encuentra en el plano de acción de estas fuerzas.
El momento principal del sistema de fuerzas. sobre el centro O se llama vector L O , igual a la suma de los momentos vectoriales de estas fuerzas con respecto al punto O:
L O= METRO O( F 1) + METRO O( F 2) + ... + METRO O( F n) = METRO O( F i).
Vector R no depende de la elección del centro O, y el vector L O al cambiar la posición del centro O generalmente puede cambiar.
Teorema de Poinsot: Un sistema de fuerzas espacial arbitrario puede ser reemplazado por una fuerza con el vector principal del sistema de fuerzas y un par de fuerzas con el momento principal sin perturbar el estado del cuerpo rígido. El vector principal es la suma geométrica de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido y se encuentra en el plano de acción de las fuerzas. El vector principal se considera a través de sus proyecciones sobre los ejes de coordenadas.
Para llevar fuerzas a un centro dado aplicadas en algún punto de un cuerpo rígido, es necesario: 1) transferir la fuerza a sí mismo en paralelo a un centro dado sin cambiar el módulo de fuerza; 2) en un centro dado, aplicar un par de fuerzas, cuyo momento vectorial es igual al momento vectorial de la fuerza transferida del nuevo centro relativo, este par se denomina par adjunto.
Dependencia del momento principal de la elección del centro de reducción. El momento principal relativo al nuevo centro de reducción es igual a la suma geométrica del momento principal relativo al antiguo centro de reducción y el producto vectorial del radio-vector que conecta el nuevo centro de reducción con el antiguo y el vector principal.
29 Casos especiales de reducción del sistema espacial de fuerzas
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Valores de vector principal y momento principal |
Resultado del reparto |
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El sistema de fuerzas se reduce a un par de fuerzas, cuyo momento es igual al momento principal (el momento principal del sistema de fuerzas no depende de la elección del centro de reducción O). |
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El sistema de fuerzas se reduce a una resultante igual a la que pasa por el centro O. |
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El sistema de fuerzas se reduce a una resultante igual al vector principal y paralela a él y separada de él a una distancia. La posición de la línea de acción de la resultante debe ser tal que la dirección de su momento con respecto al centro de reducción O coincida con la dirección con respecto al centro O. |
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El sistema de fuerzas se reduce a una dínamo (tornillo de potencia), una combinación de una fuerza y un par de fuerzas que se encuentran en un plano perpendicular a esta fuerza. |
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El sistema de fuerzas aplicado a un cuerpo rígido está balanceado. |
, y los vectores no son perpendiculares
30. Reducción al dinamismo. En mecánica, una dínamo es un conjunto de fuerzas y un par de fuerzas () que actúan sobre un cuerpo rígido, en el que la fuerza es perpendicular al plano de acción del par de fuerzas. Utilizando el momento vectorial de un par de fuerzas, también se puede definir una dínamo como una combinación de una fuerza y un par cuya fuerza es paralela al momento vectorial de un par de fuerzas.
Ecuación del eje helicoidal central Supongamos que en el centro de reducción, tomado como origen, se obtiene el vector principal con proyecciones sobre los ejes de coordenadas y el momento principal con proyecciones Cuando el sistema de fuerzas se reduce al centro de reducción O 1 (Fig. 30) , se obtiene una dínamo con el vector principal y el momento principal , Vectores y como formando un linam. son paralelos y por lo tanto pueden diferir solo por un factor escalar k 0. Tenemos, ya que .Los momentos principales y , satisfacen la relación
Sustituyendo, obtenemos
Las coordenadas del punto O 1 en el que se obtiene la dínamo, denotamos x, y, z. Entonces las proyecciones del vector sobre los ejes de coordenadas son iguales a las coordenadas x, y, z. Ante esto, (*) se puede expresar de la forma
donde. j ,k son los vectores unitarios de los ejes de coordenadas, y el producto vectorial * está representado por el determinante. La ecuación vectorial (**) es equivalente a tres ecuaciones escalares, las cuales, después de descartarlas, se pueden representar como
Las ecuaciones lineales resultantes para las coordenadas x, y, z son las ecuaciones de una línea recta: el eje helicoidal central. En consecuencia, hay una línea recta en cuyos puntos el sistema de fuerzas se reduce a una dínamo.
A ver como se determina momento de fuerza alrededor del eje. luchando por la fuerza rotar un cuerpo alrededor de un eje fijo depende de cantidades fuerza, ella inclinación Y distancia entre ejes.
Sabemos por experiencia que las fuerzas pasando por el eje, y la fuerza ejes paralelos, NO PUEDE CAUSAR LA ROTACIÓN DEL CUERPO alrededor de este eje. Miremos la imagen.
Ni fuerza R 1 , cuya línea de acción cruces eje Onz , ni fuerza R 2 , paralelo hachas, no podrá girar cuerpo alrededor este eje.
Para rotacional el efecto de la fuerza relativa a un eje fijo, se introduce el concepto momento de fuerza alrededor del eje mz(R) . efecto rotacional fuerzas sobre el eje y expresado por su momento.
Deja que el cuerpo en algún momento actúe. arbitrario fuerza R , no paralelo ejes de rotacion Onz Y no se cruzan este eje. dibujar un avión H , perpendicular hachas Onz Y pasando por el origen del vector fuerza. Expande la fuerza dada R en dos componentes: R 1 ubicado en el avión H , Y R 2 , paralelo al eje Onz .
Componente R 2 , paralelo hachas Onz momento sobre este eje no crea. Componente R 1 , actuando en el plano H , crea momento sobre el eje Onz o, lo que es lo mismo, con respecto al punto ACERCA DE . momento de fuerza R 1 Medido el producto del módulo de la fuerza en sí y la longitud A perpendicular, bajado del punto ACERCA DE a la dirección de esta fuerza, es decir
en expresión momento fuerzas sobre el eje incluido no todo el poder, pero solo ella componente, acostado en un avión perpendicular eje de rotación.
Firmar el momento según la regla general está determinado por la dirección de rotación del cuerpo: (+) al moverse agujas del reloj, (-) al moverse contra en el sentido de las agujas del reloj (regla condicional). Al determinar el signo del momento, el observador debe estar necesariamente del lado positivo dirección del eje. En la figura anterior, el momento de la fuerza R sobre el eje Onz positivo, ya que para un observador mirando desde el lado de la dirección positiva del eje ( arriba), el cuerpo bajo la acción de una fuerza dada se representa girando alrededor de un eje agujas del reloj.
En la siguiente figura, el momento de fuerza R sobre el eje Onz - magnitud negativo.
Consideremos un caso especial.
En un caso particular, el momento de fuerza R ubicado en el avión H , relativo al eje Onz , perpendicular a este plano, está determinada por el producto de la fuerza total R en su hombro yo con respecto al punto de intersección del eje Onz y avion H
En el artículo hablaremos sobre el momento de fuerza sobre un punto y un eje, definiciones, dibujos y gráficos, qué unidad de medida del momento de fuerza, trabajo y fuerza en movimiento de rotación, así como ejemplos y tareas.
Momento de poder es un vector de cantidad física igual al producto de vectores fuerza del hombro(radio-vector de la partícula) y fortaleza actuando sobre un punto. La palanca de fuerza es un vector que conecta el punto por el que pasa el eje de rotación del cuerpo rígido con el punto sobre el que se aplica la fuerza.
donde: r es el hombro de la fuerza, F es la fuerza aplicada al cuerpo.
dirección vectorial fuerza de momento siempre perpendicular al plano definido por los vectores r y F.
Punto principal- cualquier sistema de fuerzas en el plano con respecto al polo aceptado se llama el momento algebraico del momento de todas las fuerzas de este sistema con respecto a este polo.
En los movimientos de rotación, no sólo son importantes las magnitudes físicas en sí mismas, sino también cómo se ubican respecto al eje de rotación, es decir, su momentos. Ya sabemos que en el movimiento de rotación no solo es importante la masa, sino también. En el caso de una fuerza, su eficacia para desencadenar la aceleración está determinada por la forma en que se aplica la fuerza al eje de rotación.
La relación entre el poder y la forma en que se usa describe MOMENTO DE PODER. El momento de la fuerza es el producto vectorial del brazo de fuerza. R al vector fuerza F:
Como en todo producto vectorial, aquí
Por lo tanto, la fuerza no afectará la rotación cuando el ángulo entre los vectores de fuerza F y palanca R es 0 o 180 o . ¿Cuál es el efecto de aplicar un momento de fuerza METRO?
Usamos la segunda ley de movimiento de Newton y la relación entre la cuerda y la velocidad angular v = Rω en forma escalar son válidos cuando los vectores R Y ω perpendiculares entre sí
Multiplicando ambos lados de la ecuación por R, obtenemos
Como mR 2 = I, concluimos que
La dependencia anterior también es válida para el caso de un cuerpo material. Tenga en cuenta que mientras una fuerza externa da una aceleración lineal a, el momento de la fuerza externa da la aceleración angular ε.
Unidad de momento de fuerza
La principal medida del momento de la fuerza en el sistema de coordenadas SI es: [M]=N m
A CGS: [M]=dyn cm
Trabajo y fuerza en el movimiento de rotación
El trabajo en movimiento lineal se define mediante la expresión general,
pero en rotacion
y consecuentemente
Con base en las propiedades del producto mixto de tres vectores, podemos escribir
Por lo tanto, tenemos una expresión para trabajo rotatorio:
Poder rotatorio:
Encontrar momento de poder, actuando sobre el cuerpo en las situaciones que se muestran en las siguientes figuras. Suponga que r = 1m y F = 2N.
A) como el ángulo entre los vectores r y F es de 90°, entonces sin(a)=1:
METRO = r F = 1m 2N = 2Nm
b) porque el ángulo entre los vectores r y F es 0°, entonces sin(a)=0:
M=0
si direccional fuerza no puedo dar un punto movimiento rotatorio.
C) como el ángulo entre los vectores r y F es de 30°, entonces sin(a)=0.5:
M = 0,5 r F = 1N m.
Así, una fuerza direccional causará rotación del cuerpo, pero su efecto será menor que en el caso a).
Momento de fuerza sobre el eje
Suponga que los datos son un punto O(polo) y poder PAG. En el punto O tomamos el origen del sistema de coordenadas rectangulares. Momento de poder R en relación con los polos O es un vector fuera (R), (imagen debajo) .
Cualquier punto A en línea PAG
tiene coordenadas (xo, yo, zo).
vector de fuerza PAG
tiene coordenadas Px, Py, Pz.
punto de combinación A (xo, yo, zo) con el comienzo del sistema, obtenemos un vector pag. Coordenadas del vector de fuerza PAG
relativo al polo O marcado con símbolos Mx, Mi, Mz.
Estas coordenadas se pueden calcular como los mínimos del determinante dado, donde ( yo, j, k) son vectores unitarios en los ejes de coordenadas (opciones): yo, j, k
Después de resolver el determinante, las coordenadas del momento serán iguales a:
Coordenadas del vector de momento Mes (PAG) se llaman momentos de fuerza con respecto al eje correspondiente. Por ejemplo, momento de fuerza PAG sobre el eje Onz rodea la plantilla:
Mz = Pyxo - Pxyo
Este patrón se interpreta geométricamente como se muestra en la siguiente figura.
Con base en esta interpretación, el momento de fuerza con respecto al eje Onz se puede definir como el momento de proyección de la fuerza PAG
perpendicular al eje Onz con respecto al punto de penetración de este plano por el eje. Proyección de fuerza PAG
en el eje perpendicular se indica Pxy
, y el punto de penetración del plano oxi- eje sistema operativo símbolo Oh
De la definición anterior del momento de fuerza con respecto a un eje, se deduce que el momento de fuerza con respecto a un eje es cero cuando la fuerza y el eje son iguales, en el mismo plano (cuando la fuerza es paralela al eje, o cuando la fuerza cruza el eje).
Uso de fórmulas en Mx, Mi, Mz,
podemos calcular el valor del momento de fuerza PAG
relativo al punto O y determine los ángulos contenidos entre el vector METRO
y ejes del sistema:
Si el poder está en aviones, Eso zo = 0 y pz = 0 (ver imagen abajo).
Momento de poder PAG
en relación al punto (polo) O es:
MX=0,
mi = 0
Mo (P) \u003d Mz \u003d Pyxo - Pxy.
Marca de par:
más (+) - rotación de la fuerza alrededor del eje O en el sentido de las agujas del reloj,
menos (-) - rotación de la fuerza alrededor del eje O en sentido antihorario.
