Rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo. Movimiento de rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo Rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje

Cinemática de cuerpo rígido

A diferencia de la cinemática de un punto, en la cinemática de cuerpos rígidos se resuelven dos tareas principales:

Fijar el movimiento y determinar las características cinemáticas del cuerpo en su conjunto;

Determinación de las características cinemáticas de los puntos del cuerpo.

Los métodos para establecer y determinar las características cinemáticas dependen de los tipos de movimiento de los cuerpos.

En este manual se consideran tres tipos de movimiento: de traslación, de rotación alrededor de un eje fijo y movimiento plano-paralelo de un cuerpo rígido.

Movimiento de traslación de un cuerpo rígido.

Traslacional es un movimiento en el que una línea recta trazada a través de dos puntos del cuerpo permanece paralela a su posición original (Fig. 2.8).

Teorema demostrado: en el movimiento de traslación, todos los puntos del cuerpo se mueven a lo largo de las mismas trayectorias y en cada momento tienen la misma velocidad y aceleración en valor absoluto y dirección (Fig. 2.8).

Conclusión: El movimiento de traslación de un cuerpo rígido está determinado por el movimiento de cualquiera de sus puntos, y por tanto, la tarea y estudio de su movimiento se reduce a la cinemática de un punto.

Arroz. 2.8 figura 2.9

Movimiento de rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo.

Rotacional alrededor de un eje fijo es el movimiento de un cuerpo rígido, en el cual dos puntos pertenecientes al cuerpo permanecen estacionarios durante todo el tiempo del movimiento.

La posición del cuerpo está determinada por el ángulo de rotación (Fig. 2.9). La unidad de medida de un ángulo son los radianes. (Un radián es el ángulo central de un círculo cuya longitud de arco es igual al radio, el ángulo completo del círculo contiene 2 radianes).

La ley del movimiento de rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo = (t). La velocidad angular y la aceleración angular del cuerpo se determinarán por el método de diferenciación

Velocidad angular, rad/s; (2.10)

Aceleración angular, rad/s 2 (2,11)

Cuando un cuerpo gira alrededor de un eje fijo, sus puntos que no se encuentran en el eje de rotación se mueven a lo largo de círculos centrados en el eje de rotación.

Si cortamos el cuerpo por un plano perpendicular al eje, elegimos un punto en el eje de rotación CON y punto arbitrario METRO, entonces punto METRO describirá alrededor del punto CON círculo de radio R(Figura 2.9). Durante dt ocurre una rotación elemental a través de un ángulo, mientras que el punto METRO se moverá a lo largo de la trayectoria por una distancia.Vamos a determinar el módulo de velocidad lineal:

punto de aceleración METRO para una trayectoria conocida está determinada por sus componentes, véase (2.8)

Sustituyendo la expresión (2.12) en las fórmulas, obtenemos:

donde: - aceleración tangencial,

Aceleración normal.

Movimiento plano-paralelo de un cuerpo rígido

Plano-paralelo es el movimiento de un cuerpo rígido, en el que todos sus puntos se mueven en planos paralelos a un plano fijo (Fig. 2.10). Para estudiar el movimiento de un cuerpo, es suficiente estudiar el movimiento de una sección S este cuerpo por un plano paralelo al plano fijo. Movimiento de sección S en su plano puede considerarse como uno complejo, constituido por dos movimientos elementales: a) de traslación y de rotación; b) rotacional con respecto al centro móvil (instantáneo).

En la primera variante el movimiento de la sección puede estar dado por las ecuaciones de movimiento de uno de sus puntos (el polo) y la rotación de la sección alrededor del polo (Fig. 2.11). Cualquier punto de la sección puede tomarse como polo.

Arroz. 2.10 figura 2.11

Las ecuaciones de movimiento se escribirán como:

X un = X A (t)

Y A = Y A (t) (2.14)

A = A (t)

Las características cinemáticas del poste se determinan a partir de las ecuaciones de su movimiento.

La velocidad de cualquier punto de una figura plana que se mueve en su propio plano es la suma de la velocidad del polo (elegido arbitrariamente en la sección del punto A) y la velocidad de rotación alrededor del polo (rotación del punto EN alrededor del punto A).

La aceleración de un punto de una figura plana en movimiento es la suma de la aceleración del poste en relación con el marco de referencia fijo y la aceleración debida al movimiento de rotación alrededor del poste.

En la segunda variante el movimiento de la sección se considera rotacional alrededor del centro móvil (instantáneo) PAG(Figura 1.12). En este caso, la velocidad de cualquier punto B de la sección estará determinada por la fórmula para el movimiento de rotación

Velocidad angular alrededor del centro instantáneo R se puede determinar si se conoce la velocidad de cualquier punto de la sección, por ejemplo, el punto A.

Figura 2.12

La posición del centro instantáneo de rotación se puede determinar en base a las siguientes propiedades:

El vector de velocidad del punto es perpendicular al radio;

El módulo de velocidad de un punto es proporcional a la distancia del punto al centro de rotación ( V=R) ;

La velocidad en el centro de rotación es cero.

Consideremos algunos casos de determinación de la posición del centro instantáneo.

1. Se conocen las direcciones de las velocidades de dos puntos de una figura plana (figura 2.13). Dibujemos líneas de radios. El centro instantáneo de rotación P está ubicado en la intersección de las perpendiculares trazadas a los vectores de velocidad.

2. Se conocen las velocidades de los puntos A y B, y los vectores y son paralelos entre sí, y la recta AB perpendicular (Fig. 2. 14). En este caso, el centro instantáneo de rotación se encuentra en la línea AB. Para encontrarlo, trazamos una línea de proporcionalidad de velocidades basada en la dependencia V=R.

3. El cuerpo rueda sin resbalar sobre la superficie fija de otro cuerpo (figura 2.15). El punto de contacto de los cuerpos en este momento tiene velocidad cero, mientras que las velocidades de otros puntos del cuerpo no son iguales a cero. El punto tangente P será el centro instantáneo de rotación.

Arroz. 2.13 figura 2.14 figura 2.15

Además de las opciones consideradas, la velocidad de un punto de sección se puede determinar en base al teorema de las proyecciones de las velocidades de dos puntos de un cuerpo rígido.

Teorema: las proyecciones de las velocidades de dos puntos de un cuerpo rígido sobre una línea recta trazada a través de estos puntos son iguales e igualmente dirigidas.

Prueba: Distancia AB no puede cambiar, por lo tanto

V Y porque no puede ser más o menos V En cos (Fig. 2.16).

Arroz. 2.16

Conclusión: V. A porque = V EN porque (2.19)

Movimiento de punto complejo

En los párrafos anteriores se consideró el movimiento de un punto relativo a un marco de referencia fijo, el llamado movimiento absoluto. En la práctica, existen problemas en los que se conoce el movimiento de un punto con respecto a un sistema de coordenadas, el cual se mueve con respecto a un sistema fijo. En este caso, se requiere determinar las características cinemáticas del punto en relación con el sistema fijo.

Es costumbre llamar: el movimiento de un punto relativo a un sistema en movimiento - relativo, el movimiento del punto junto con el sistema de movimiento - portátil, el movimiento de un punto relativo a un sistema fijo - absoluto. En consecuencia, las velocidades y aceleraciones se denominan:

Relativo - figurativo; -absoluto.

De acuerdo con el teorema de la suma de velocidades, la velocidad absoluta de un punto es igual a la suma vectorial de las velocidades relativas y de traslación (Fig.).

El valor absoluto de la velocidad está determinado por la ley de los cosenos.

Figura 2.17

La aceleración según la regla del paralelogramo está determinada por solo en movimiento de traslación

Con el movimiento portátil no traslacional, aparece un tercer componente de aceleración, llamado rotatorio o Coriolis.

La aceleración de Coriolis es numéricamente igual a

donde es el ángulo entre los vectores y

Es conveniente determinar la dirección del vector aceleración de Coriolis según N.E. Zhukovsky: proyecte el vector en un plano perpendicular al eje de rotación de traslación, gire la proyección 90 grados en la dirección de rotación de traslación. La dirección resultante corresponderá a la dirección de la aceleración de Coriolis.

Preguntas para el autocontrol en la sección.

1. ¿Cuáles son las principales tareas de la cinemática? Nombra las características cinemáticas.

2. Nombre los métodos para especificar el movimiento de un punto y determinar las características cinemáticas.

3. Dar una definición de movimiento de traslación, rotación alrededor de un eje fijo, plano-paralelo de un cuerpo.

4. ¿Cómo se especifica el movimiento de un cuerpo rígido durante el movimiento de traslación, rotación alrededor de un eje fijo y plano-paralelo del cuerpo, y cómo se determina la velocidad y la aceleración de un punto durante estos movimientos del cuerpo?

traslacional Se llama movimiento de un cuerpo rígido a tal movimiento en el que cualquier línea recta, invariablemente asociada con este cuerpo, permanece paralela a su posición inicial.

Teorema. En el movimiento de traslación de un cuerpo rígido, todos sus puntos describen las mismas trayectorias y en cualquier momento tienen velocidades y aceleraciones iguales en magnitud y dirección.

Prueba. Pase por dos puntos y , segmento de cuerpo en movimiento traslacional
y considere el movimiento de este segmento en la posición
. Al mismo tiempo, el punto describe la trayectoria
, y el punto – trayectoria
(Figura 56).

Teniendo en cuenta que el segmento
se mueve paralelo a sí mismo, y su longitud no cambia, se puede establecer que las trayectorias de los puntos Y será lo mismo. Por tanto, la primera parte del teorema queda demostrada. Determinaremos la posición de los puntos. Y de forma vectorial con respecto al origen fijo . Al mismo tiempo, estos radios - vectores dependen de
. Porque. ni la longitud ni la dirección del segmento
no cambia cuando el cuerpo se mueve, entonces el vector

. Se procede a la determinación de las velocidades según la dependencia (24):

, obtenemos
.

Se procede a la determinación de aceleraciones según dependencia (26):

, obtenemos
.

Del teorema probado se sigue que el movimiento de traslación de un cuerpo estará completamente determinado si se conoce el movimiento de uno solo de algunos puntos. Por tanto, el estudio del movimiento de traslación de un cuerpo rígido se reduce al estudio del movimiento de uno de sus puntos, es decir al problema de la cinemática puntual.

Tema 11. Movimiento de rotación de un cuerpo rígido

rotacional Es un movimiento de un cuerpo rígido en el que dos de sus puntos permanecen inmóviles durante todo el tiempo del movimiento. La recta que pasa por estos dos puntos fijos se llama eje de rotación.

Cada punto del cuerpo que no se encuentra sobre el eje de rotación, durante tal movimiento, describe un círculo, cuyo plano es perpendicular al eje de rotación, y su centro se encuentra sobre este eje.

Dibujamos a través del eje de rotación un plano fijo I y un plano móvil II, invariablemente conectados con el cuerpo y girando con él (Fig. 57). La posición del plano II y, en consecuencia, de todo el cuerpo, con respecto al plano I en el espacio, está completamente determinada por el ángulo . Cuando un cuerpo gira alrededor de un eje este ángulo es una función del tiempo continua y de un solo valor. Por lo tanto, conociendo la ley de cambio de este ángulo con el tiempo, podemos determinar la posición del cuerpo en el espacio:

- ley de rotación del cuerpo. (43)

En este caso supondremos que el ángulo contado desde el plano fijo en el sentido contrario a las agujas del reloj cuando se ve desde el extremo positivo del eje . Dado que la posición de un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo está determinada por un parámetro, se dice que dicho cuerpo tiene un grado de libertad.

Velocidad angular

El cambio en el ángulo de rotación del cuerpo con el tiempo se llama ángulo velocidad del cuerpo y denotado
(omega):

.(44)

La velocidad angular, como la velocidad lineal, es una cantidad vectorial, y este vector construido sobre el eje de rotación del cuerpo. Está dirigido a lo largo del eje de rotación en esa dirección de modo que, mirando desde su extremo hasta su comienzo, se puede ver la rotación del cuerpo en sentido antihorario (Fig. 58). El módulo de este vector está determinado por la dependencia (44). Punto de aplicación en el eje se puede elegir arbitrariamente, ya que el vector se puede trasladar a lo largo de su línea de acción. Si denotamos el orto-vector del eje de rotación a través de , entonces obtenemos la expresión vectorial de la velocidad angular:

. (45)

Aceleración angular

La tasa de cambio en la velocidad angular de un cuerpo con el tiempo se llama aceleración angular cuerpos y se denota (épsilon):

. (46)

La aceleración angular es una cantidad vectorial, y este vector construido sobre el eje de rotación del cuerpo. Está dirigido a lo largo del eje de rotación en esa dirección, de modo que, mirando desde su extremo hasta su comienzo, se puede ver la dirección de rotación del épsilon en el sentido contrario a las agujas del reloj (Fig. 58). El módulo de este vector está determinado por la dependencia (46). Punto de aplicación en el eje se puede elegir arbitrariamente, ya que el vector se puede trasladar a lo largo de su línea de acción.

Si denotamos el orto-vector del eje de rotación a través de , entonces obtenemos la expresión vectorial de la aceleración angular:

. (47)

Si la velocidad angular y la aceleración son del mismo signo, entonces el cuerpo gira acelerado, y si es diferente - despacio. Un ejemplo de rotación lenta se muestra en la fig. 58.

Considere casos especiales de movimiento de rotación.

1. Rotación uniforme:

,
.

,
,
,

,
. (48)

2. Rotación de variables iguales:

.

,
,
,
,
,
,
,
,

,
,
.(49)

Relación entre parámetros lineales y angulares

Considere el movimiento de un punto arbitrario
cuerpo giratorio. En este caso, la trayectoria del punto será un círculo, radio
, ubicado en un plano perpendicular al eje de rotación (Fig. 59, A).

Supongamos que en ese momento el punto está en posición
. Supongamos que el cuerpo gira en la dirección positiva, es decir en la dirección del ángulo creciente . en el momento
el punto tomará posición
. Denota el arco
. Por lo tanto, durante un período de tiempo
el punto ha pasado el camino
. Su velocidad promedio , y cuando
,
. Pero, de la Fig. 59, b, está claro que
. Entonces. Finalmente obtenemos

. (50)

Aquí - velocidad lineal del punto
. Como se obtuvo anteriormente, esta velocidad está dirigida tangencialmente a la trayectoria en un punto dado, es decir tangente al círculo.

Así, el módulo de velocidad lineal (circunferencial) de un punto de un cuerpo en rotación es igual al producto del valor absoluto de la velocidad angular por la distancia de este punto al eje de rotación.

Ahora conectemos los componentes lineales de la aceleración del punto con los parámetros angulares.

,
. (51)

El módulo de aceleración tangencial de un punto de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo es igual al producto de la aceleración angular del cuerpo por la distancia de este punto al eje de rotación.

,
. (52)

El módulo de aceleración normal de un punto de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo es igual al producto del cuadrado de la velocidad angular del cuerpo por la distancia de este punto al eje de rotación.

Entonces la expresión para la aceleración total del punto toma la forma

. (53)

Direcciones vectoriales ,,se muestra en la figura 59, V.

movimiento plano Un cuerpo rígido es un movimiento en el que todos los puntos del cuerpo se mueven paralelos a un plano fijo. Ejemplos de tal movimiento:

El movimiento de cualquier cuerpo cuya base se desliza a lo largo de un plano fijo dado;

Rueda rodando a lo largo de una sección recta de la vía (carril).

Obtenemos las ecuaciones del movimiento plano. Para hacer esto, considere una figura plana que se mueve en el plano de la hoja (Fig. 60). Referimos este movimiento a un sistema de coordenadas fijo
, y con la figura misma asociaremos un sistema de coordenadas en movimiento
, que se mueve con él.

Obviamente, la posición de una figura en movimiento en un plano fijo está determinada por la posición de los ejes en movimiento
relativo a ejes fijos
. Esta posición está determinada por la posición del origen móvil. , es decir. coordenadas ,y ángulo de rotación , un sistema de coordenadas móvil con respecto al fijo, que se contará a partir del eje en sentido antihorario.

En consecuencia, el movimiento de una figura plana en su plano estará completamente determinado si se conocen los valores para cada instante de tiempo ,,, es decir. ecuaciones de la forma:

,
,
. (54)

Las ecuaciones (54) son ecuaciones de movimiento plano de un cuerpo rígido, ya que si se conocen estas funciones, entonces para cada momento de tiempo es posible encontrar a partir de estas ecuaciones, respectivamente ,,, es decir. determinar la posición de la figura en movimiento en un momento dado.

Considere casos especiales:

1.

, entonces el movimiento del cuerpo será de traslación, ya que los ejes móviles se desplazan permaneciendo paralelos a su posición inicial.

2.

,

. Con este movimiento, solo cambia el ángulo de rotación. , es decir. el cuerpo rotará alrededor de un eje que pasa perpendicular al plano de la figura a través del punto .

Descomposición del movimiento de una figura plana en traslacional y rotacional

Considere dos posiciones consecutivas Y
ocupado por el cuerpo a veces Y
(Figura 61). cuerpo fuera de posicion en posición
se puede transferir de la siguiente manera. Primero movamos el cuerpo progresivamente. Al mismo tiempo, el segmento
se mueve paralelo a sí mismo a la posición
, y luego demos vuelta cuerpo alrededor de un punto (polo) en la esquina
hasta que los puntos coincidan Y .

Por eso, cualquier movimiento plano se puede representar como la suma del movimiento de traslación junto con el polo elegido y el movimiento de rotación, sobre este polo.

Consideremos los métodos por los cuales es posible determinar las velocidades de los puntos de un cuerpo que realiza un movimiento plano.

1. Método de polos. Este método se basa en la descomposición resultante del movimiento plano en traslación y rotación. La velocidad de cualquier punto de una figura plana se puede representar como dos componentes: traslacional, con una velocidad igual a la velocidad de un punto elegido arbitrariamente -postes , y rotacional alrededor de este polo.

Considere un cuerpo plano (Fig. 62). Las ecuaciones de movimiento son:
,
,
.

Determinamos a partir de estas ecuaciones la velocidad del punto (como con el método de ajuste de coordenadas)

,
,
.

Entonces la velocidad del punto - el valor es conocido. Tomamos este punto como un polo y determinamos la velocidad de un punto arbitrario
cuerpo.

Velocidad
estará compuesto por el componente traslacional , al moverse junto con el punto y rotacional
, cuando se gira el punto
relativo al punto . Velocidad de punto mover al punto
paralelo a sí mismo, ya que en el movimiento de traslación las velocidades de todos los puntos son iguales tanto en magnitud como en dirección. Velocidad
determinado por la dependencia (50)
, y este vector está dirigido perpendicularmente al radio
en la dirección de rotación
. Vector
estará dirigido a lo largo de la diagonal de un paralelogramo construido sobre los vectores Y
, y su módulo está determinado por la dependencia:

, .(55)

2. El teorema de las proyecciones de las velocidades de dos puntos del cuerpo.

Las proyecciones de las velocidades de dos puntos de un cuerpo rígido sobre la línea recta que une estos puntos son iguales entre sí.

Considere dos puntos del cuerpo. Y (Figura 63). Tomando un punto por polo, determine la dirección por dependencia (55):
. Proyectamos esta igualdad vectorial sobre la recta
y considerando que
perpendicular
, obtenemos

3. Centro instantáneo de velocidades.

Centro instantáneo de velocidades(MCS) es un punto cuya velocidad en un momento dado es cero.

Demostremos que si el cuerpo no se mueve hacia adelante, entonces tal punto existe en cada momento del tiempo y, además, es único. Deja en el momento puntos Y cuerpos yacen en la sección , tiene velocidades Y , no paralelos entre sí (Fig. 64). Entonces el punto
, situada en la intersección de las perpendiculares a los vectores Y , y habrá un MCS, ya que
.

En efecto, si asumimos que
, entonces por el teorema (56), el vector
debe ser perpendicular
Y
, lo cual es imposible. Se puede ver del mismo teorema que ningún otro punto de sección en este momento no puede tener una velocidad igual a cero.

Aplicando el método del polo
- polo, determinar la velocidad del punto (55): desde
,
. (57)

Se puede obtener un resultado similar para cualquier otro punto del cuerpo. Por tanto, la velocidad de cualquier punto del cuerpo es igual a su velocidad de rotación relativa al MCS:

,
,
, es decir. las velocidades de los puntos del cuerpo son proporcionales a sus distancias al MCS.

De los tres métodos considerados para determinar las velocidades de los puntos de una figura plana, se puede ver que el MCS es preferible, ya que aquí la velocidad se determina inmediatamente tanto en valor absoluto como en la dirección de una componente. Sin embargo, este método puede usarse si conocemos o podemos determinar la posición del MCS para el cuerpo.

Determinación de la posición del MCS

1. Si conocemos para una posición dada del cuerpo las direcciones de las velocidades de dos puntos del cuerpo, entonces el MCC será el punto de intersección de las perpendiculares a estos vectores de velocidad.

2. Las velocidades de dos puntos del cuerpo son antiparalelas (Fig. 65, A). En este caso, la perpendicular a las velocidades será común, es decir El MCC está ubicado en algún lugar de esta perpendicular. Para determinar la posición del MCC, es necesario conectar los extremos de los vectores de velocidad. El punto de intersección de esta recta con la perpendicular será el MCS deseado. En este caso, el MCS se encuentra entre estos dos puntos.

3. Las velocidades de dos puntos del cuerpo son paralelas, pero no iguales en magnitud (Fig. 65, b). El procedimiento para obtener una MDS es similar al descrito en el párrafo 2.

d) Las velocidades de dos puntos son iguales tanto en magnitud como en dirección (Fig. 65, V). Obtenemos el caso del movimiento de traslación instantáneo, en el que las velocidades de todos los puntos del cuerpo son iguales. Por lo tanto, la velocidad angular del cuerpo en esta posición es cero:

4. Defina el MCC para una rueda que rueda sin deslizarse sobre una superficie fija (Fig. 65, GRAMO). Dado que el movimiento ocurre sin deslizamiento, entonces en el punto de contacto de la rueda con la superficie, la velocidad será la misma e igual a cero, ya que la superficie está estacionaria. Por tanto, el punto de contacto de la rueda con una superficie fija será el MCC.

Determinación de aceleraciones de puntos de una figura plana

Al determinar las aceleraciones de los puntos de una figura plana, se puede trazar una analogía con los métodos para determinar las velocidades.

1. Método de polos. Así como en la determinación de velocidades, tomamos como polo un punto arbitrario del cuerpo, cuya aceleración conocemos, o podemos determinarla. Entonces la aceleración de cualquier punto de una figura plana es igual a la suma de las aceleraciones del polo y la aceleración en el movimiento de rotación alrededor de este polo:

Al mismo tiempo, el componente
determina la aceleración de un punto mientras gira alrededor del polo . Al girar, la trayectoria del punto será curvilínea, lo que significa
(Figura 66).

Entonces la dependencia (58) toma la forma
. (59)

Teniendo en cuenta las dependencias (51) y (52), obtenemos
,
.

2. Centro instantáneo de aceleración.

Centro de aceleración instantánea(MCC) es un punto cuya aceleración en un momento dado es cero.

Demostremos que tal punto existe en cualquier momento dado. Tomamos un punto como polo , cuya aceleración
sabemos. Encontrar un ángulo , acostado dentro
, y cumpliendo la condición
. Si
, Eso
y viceversa, es decir esquina se deposita en la dirección . Aparte del punto en un angulo al vector
segmento de línea
(Figura 67). El punto obtenido por tales construcciones
será MCU.

De hecho, la aceleración de un punto
igual a la suma de las aceleraciones
postes y aceleración
en rotación alrededor del polo :
.

,
. Entonces
. Por otro lado, la aceleración
formas con la dirección del segmento
esquina
, que satisface la condición
. El signo menos se coloca delante de la tangente del ángulo. , ya que la rotación
relativo al polo en sentido antihorario y el ángulo
se deposita en el sentido de las agujas del reloj. Entonces
.

Por eso,
y luego
.

Casos especiales de determinación del MCC

1.
. Entonces
y, por lo tanto, la MCU no existe. En este caso, el cuerpo se mueve hacia adelante, es decir, las velocidades y aceleraciones de todos los puntos del cuerpo son iguales.

2.
. Entonces
,
. Esto significa que la MCU se encuentra en la intersección de las líneas de acción de las aceleraciones de los puntos del cuerpo (Fig. 68, A).

3.
. Entonces,
,
. Esto significa que el MCC se encuentra en la intersección de las perpendiculares a las aceleraciones de los puntos del cuerpo (Fig. 68, b).

4.
. Entonces
,

. Esto significa que la MCU se encuentra en la intersección de los rayos dibujados con las aceleraciones de los puntos del cuerpo en un ángulo (fig. 68, V).

De los casos especiales considerados, podemos concluir: si tomamos el punto
por polo, entonces la aceleración de cualquier punto de una figura plana está determinada por la aceleración en el movimiento de rotación alrededor del MCC:

. (60)

Movimiento de puntos complicado Se denomina movimiento a tal movimiento en el que el punto participa simultáneamente en dos o más movimientos. Con tal movimiento, la posición del punto se determina con respecto al móvil y con respecto a los sistemas de referencia fijos.

El movimiento de un punto relativo a un marco de referencia en movimiento se llama movimiento relativo de un punto . Denotemos los parámetros del movimiento relativo
.

El movimiento de aquel punto del marco de referencia móvil, con el cual el punto móvil coincide en un momento dado con respecto al marco de referencia fijo, se denomina punto de movimiento . Denotemos los parámetros del movimiento portátil.
.

El movimiento de un punto relativo a un marco fijo de referencia se llama absoluto (complejo) punto de movimiento . Denotemos los parámetros del movimiento absoluto
.

Como ejemplo de un movimiento complejo, podemos considerar el movimiento de una persona en un vehículo en movimiento (tranvía). En este caso, el movimiento de una persona está relacionado con un sistema de coordenadas en movimiento, un tranvía, y con un sistema de coordenadas fijo, la tierra (carretera). Entonces, según las definiciones anteriores, el movimiento de una persona con respecto al tranvía es relativo, el movimiento junto con el tranvía con respecto al suelo es figurativo y el movimiento de una persona con respecto al suelo es absoluto.

Determinaremos la posición del punto.
radios - vectores relativos al movimiento
e inmóvil
sistemas de coordenadas (Fig. 69). Introduzcamos la notación: - radio vector que define la posición del punto
en relación con el sistema de coordenadas en movimiento
,
;- radio vector que determina la posición del origen del sistema de coordenadas en movimiento (puntos ) (puntos );- radio - un vector que define la posición de un punto
relativo al sistema de coordenadas fijo
;
,.

Obtengamos condiciones (restricciones) correspondientes a movimientos relativos, figurativos y absolutos.

1. Al considerar el movimiento relativo, supondremos que el punto
se mueve en relación con el sistema de coordenadas en movimiento
, y el propio sistema de coordenadas en movimiento
relativo al sistema de coordenadas fijo
no se mueve.

Entonces las coordenadas del punto
cambiará en movimiento relativo, y los orto-vectores del sistema de coordenadas en movimiento no cambiarán de dirección:

,

,

.

2. Al considerar el movimiento portátil, supondremos que las coordenadas del punto
con respecto al sistema de coordenadas en movimiento son fijos, y el punto se mueve con el sistema de coordenadas en movimiento
relativamente inmóvil
:

,

,

,.

3. Con movimiento absoluto, el punto también se mueve relativamente
y junto con el sistema de coordenadas
relativamente inmóvil
:

Entonces las expresiones para las velocidades, teniendo en cuenta (27), tienen la forma

,
,

Comparando estas dependencias, obtenemos una expresión para la velocidad absoluta:
. (61)

Hemos obtenido un teorema sobre la suma de las velocidades de un punto en un movimiento complejo: la velocidad absoluta de un punto es igual a la suma geométrica de las componentes relativa y portátil de la velocidad.

Usando la dependencia (31), obtenemos expresiones para aceleraciones:

,

Comparando estas dependencias, obtenemos una expresión para la aceleración absoluta:
.

Se encontró que la aceleración absoluta de un punto no es igual a la suma geométrica de las componentes relativas y portátiles de las aceleraciones. Definamos la componente de aceleración absoluta, que está entre paréntesis, para casos especiales.

1. Movimiento de traslación del punto
. En este caso, los ejes del sistema de coordenadas en movimiento
se mueven todo el tiempo paralelos a ellos mismos, entonces.

,

,

,
,
,
, Entonces
. Finalmente obtenemos

. (62)

Si el movimiento portátil del punto es de traslación, entonces la aceleración absoluta del punto es igual a la suma geométrica de las componentes relativa y portátil de la aceleración.

2. El movimiento portátil del punto no es traslacional. Entonces, en este caso, el sistema de coordenadas en movimiento
gira alrededor del eje instantáneo de rotación con velocidad angular (Figura 70). Denote el punto al final del vector a través de . Luego, usando el método vectorial de especificar (15), obtenemos el vector velocidad de este punto
.

Por otro lado,
. Igualando las partes derechas de estas igualdades vectoriales, obtenemos:
. Procediendo de manera similar, para el resto de los vectores vectoriales, obtenemos:
,
.

En el caso general, la aceleración absoluta de un punto es igual a la suma geométrica de las componentes relativas y portátiles de la aceleración más dos veces el producto vectorial del vector de la velocidad angular del movimiento portátil por el vector de la velocidad lineal de el movimiento relativo.

El producto vectorial duplicado del vector de la velocidad angular del movimiento portátil por el vector de la velocidad lineal del movimiento relativo se llama Aceleración de Coriolis y denotado

. (64)

La aceleración de Coriolis caracteriza el cambio en la velocidad relativa en el movimiento portátil y el cambio en la velocidad portátil en el movimiento relativo.

reenviado
según la regla del producto vectorial. El vector aceleración de Coriolis siempre está dirigido perpendicularmente al plano formado por los vectores Y , de modo que, mirando desde el final del vector
, ver turno A , a través del ángulo más pequeño, en sentido antihorario.

El módulo de aceleración de Coriolis es igual a.

Cuerpo absolutamente rígido cuerpo cuyas partes no cambian durante el movimiento.

Movimiento de traslación de un cuerpo rígido. - este es su movimiento, en el que toda línea recta, rígidamente unida al cuerpo, se mueve, permaneciendo paralela a su dirección original.

En el movimiento de traslación de un cuerpo rígido, todos sus puntos se mueven de la misma manera en un corto tiempo dt, el radio vector de estos puntos cambia en la misma cantidad. En consecuencia, en cada momento del tiempo, las velocidades de todos sus puntos son iguales e iguales. Por lo tanto, la cinemática del movimiento de traslación considerado de un cuerpo rígido se reduce al estudio del movimiento de cualquiera de sus puntos. Por lo general, considere el movimiento del centro de inercia de un cuerpo rígido que se mueve libremente en el espacio.

Movimiento de rotación de un cuerpo rígido. - este es un movimiento en el que todos sus puntos se mueven a lo largo de círculos, cuyos centros están fuera del cuerpo . La línea recta se llama eje de rotación del cuerpo.

Velocidad angular- cantidad vectorial que caracteriza la velocidad de rotación del cuerpo; la relación entre el ángulo de rotación y el tiempo durante el cual ocurrió esta rotación; un vector determinado por la primera derivada del ángulo de rotación del cuerpo con respecto al tiempo. El vector de velocidad angular está dirigido a lo largo del eje de rotación según la regla del tornillo derecho. ω=φ/t=2π/T=2πn, donde T es el período de rotación, n es la frecuencia de rotación. ω=lím Δt → 0 Δφ/Δt=dφ/dt.

Aceleración angular es un vector determinado por la primera derivada de la velocidad angular con respecto al tiempo. Cuando el cuerpo gira alrededor de un eje fijo, el vector de aceleración angular se dirige a lo largo del eje de rotación hacia el vector del incremento elemental de la velocidad angular. La segunda derivada del ángulo de rotación con respecto al tiempo. Cuando el cuerpo gira alrededor de un eje fijo, el vector de aceleración angular se dirige a lo largo del eje de rotación hacia el vector del incremento elemental de la velocidad angular. Con movimiento acelerado, el vector ε está codirigido al vector φ, con movimiento lento, es opuesto a él. ε=dω/dt.

Si dω/dt > 0, entonces εω

Si dω/dt< 0, то ε ↓ω

4. El principio de inercia (primera ley de Newton). Sistemas de referencia inercial. El principio de la relatividad.

Primera ley de Newton (ley de la inercia): cualquier punto material (cuerpo) mantiene un estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme hasta que el impacto de otros cuerpos lo hace cambiar de estado

El deseo de un cuerpo de mantener un estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme se llama inercia. Por lo tanto, la primera ley de Newton se llama la ley de la inercia.

La primera ley de Newton establece la existencia de marcos de referencia inerciales.

marco de referencia inercial- este es un sistema de referencia, en relación con el cual un punto material libre, no sujeto a la influencia de otros cuerpos, se mueve uniformemente en línea recta; es un sistema de este tipo que está en reposo o se mueve de manera uniforme y rectilínea en relación con algún otro sistema de inercia.

El principio de la relatividad- una ley física fundamental, según la cual cualquier proceso procede de la misma manera en un sistema material aislado en reposo, y en el mismo sistema en un estado de movimiento rectilíneo uniforme. Los estados de movimiento o reposo se determinan con respecto a un marco de referencia inercial elegido arbitrariamente. El principio de la relatividad subyace a la teoría especial de la relatividad de Einstein.

5. Transformaciones galileanas.

El principio de la relatividad (Galilea): ningún experimento (mecánico, eléctrico, óptico) realizado dentro de un marco de referencia inercial determinado permite saber si este marco está en reposo o se mueve de manera uniforme y rectilínea; todas las leyes de la naturaleza son invariantes con respecto a la transición de un marco de referencia inercial a otro.

Considere dos marcos de referencia: un marco inercial K (con coordenadas x, y, z), que condicionalmente consideraremos fijo, y un marco K' (con coordenadas x', y', z'), que se mueve con respecto a K de manera uniforme y rectilínea con una velocidad U (U = const). Encontremos la conexión entre las coordenadas de un punto A arbitrario en ambos sistemas. r = r'+r0=r'+Ut. (1.)

La ecuación (1.) se puede escribir en proyecciones en los ejes de coordenadas:

y=y'+Uyt; (2.)

z=z'+Uzt; Las ecuaciones (1.) y (2.) se denominan transformaciones de coordenadas galileanas.

Relación entre la energía potencial y la fuerza

Cada punto del campo potencial corresponde, por un lado, a un valor determinado del vector de fuerza que actúa sobre el cuerpo y, por otro lado, a un valor determinado de energía potencial. Por lo tanto, debe haber una cierta relación entre la fuerza y ​​la energía potencial.

Para establecer esta conexión, calculamos el trabajo elemental realizado por las fuerzas de campo durante un pequeño desplazamiento del cuerpo que ocurre a lo largo de una dirección arbitrariamente elegida en el espacio, que denotamos con la letra . este trabajo es

donde es la proyección de la fuerza sobre la dirección .

Dado que en este caso el trabajo se realiza debido al stock de energía potencial, es igual a la pérdida de energía potencial en el segmento del eje:

De las dos últimas expresiones obtenemos

Esta fórmula determina la proyección del vector de fuerza en los ejes de coordenadas. Si se conocen estas proyecciones, entonces se determina el propio vector de fuerza:

en vectores de matemáticas ,

donde a es una función escalar x, y, z, se llama el gradiente de este escalar y se denota con el símbolo . Por lo tanto, la fuerza es igual al gradiente de energía potencial, tomado con el signo opuesto

Este es un movimiento en el que todos los puntos del cuerpo se mueven a lo largo de círculos cuyos centros se encuentran en el eje de rotación.

La posición del cuerpo viene dada por el ángulo diedro  (ángulo de rotación).

 =  (t) - ecuación de movimiento.

Características cinemáticas del cuerpo:

- velocidad angular, s -1 ;

- aceleración angular, s -2 .

Los valores  y  se pueden representar como vectores
, ubicado en el eje de rotación, la dirección del vector es tal que desde su extremo se ve que la rotación del cuerpo se produce en el sentido contrario a las agujas del reloj. Dirección coincide con , Si >acerca de.

PAG posición puntos del cuerpo: M 0 M 1 = S = h.

Velocidad puntos
; donde
.

dónde
;
;
.

Aceleración puntos del cuerpo,
- aceleración rotacional (en punto cinemática - tangencial - ):
- aceleración brusca (en la cinemática del punto - normal - ).

Módulos:
;
;

.

Rotación uniforme y uniforme.

1. Uniforme:  = constante,
;
;
- ecuación de movimiento.

2. Igualmente variable:  = const,
;
;
;
;
- ecuación de movimiento.

2). El accionamiento mecánico consta de una polea 1, una correa 2 y ruedas escalonadas 3 y 4. Encuentre la velocidad de la cremallera 5, así como la aceleración del punto M en el tiempo t 1 = 1 s. Si la velocidad angular de la polea es  1 = 0.2t, s -1; R1 = 15; R3=40; r3 = 5; R4 = 20; r 4 \u003d 8 (en centímetros).

Velocidad de rastrillo

;

;
;
.

Dónde
;
;
, con -1 .

De (1) y (2) obtenemos , ver

Punto de aceleración M .

, s -2 en t 1 = 1 s; a \u003d 34,84 cm / s 2.

3.3 Movimiento plano-paralelo (plano) de un cuerpo rígido

mi aquel movimiento en el que todos los puntos del cuerpo se mueven en planos paralelos a algún plano fijo.

Todos los puntos del cuerpo en cualquier línea recta perpendicular a un plano fijo se mueven de la misma manera. Por tanto, el análisis del movimiento plano de un cuerpo se reduce al estudio del movimiento de una figura plana (sección S) en su plano (xy).

Este movimiento se puede representar como un conjunto de movimientos de traslación junto con algunos arbitrariamente punto elegido a, llamado polo, y movimiento de rotación alrededor del poste.

Ecuaciones de movimiento figura plana

xa \u003d xa (t); y a = y a; j = j(t)

Características cinemáticas ki figura plana:

- velocidad y aceleración del poste; w, e - velocidad angular y aceleración angular (no dependen de la elección del polo).

En ecuación de movimiento de cualquier punto la figura plana (B) se puede obtener proyectando la igualdad vectorial
en los ejes x e y

x 1 B , y 1 B - coordenadas del punto en el sistema de coordenadas asociado con la figura.

Determinación de velocidades puntuales

1). Método analítico.

Conociendo las ecuaciones de movimiento x n = x n (t); y n = y n (t), encontramos
;
;
.

2). Teorema de distribución de velocidades.

D diferenciando la igualdad
, obtenemos
,

- la velocidad del punto B durante la rotación de una figura plana alrededor del polo A;
;

La fórmula para la distribución de velocidades de puntos de una figura plana.
.

CON punto de velocidad M de una rueda que rueda sin patinar

;
.

3). Teorema de proyección de la velocidad.

Las proyecciones de las velocidades de dos puntos del cuerpo sobre el eje que pasa por estos puntos son iguales. Ingeniería Igualdad
en el eje x tenemos

PAG ejemplo

Determine la tasa de flujo de agua v H en el timón del barco, si se conoce (velocidad del centro de gravedad del barco), b y b K (ángulos de deriva).

Solución: .

4). Centro instantáneo de velocidades (MCS).

Las velocidades de los puntos en un movimiento plano de un cuerpo se pueden determinar mediante las fórmulas del movimiento de rotación, utilizando el concepto de MCS.

MCC: un punto asociado con una figura plana, cuya velocidad en un momento dado es cero (v p = 0).

En el caso general, el MCC es el punto de intersección de las perpendiculares a las direcciones de las velocidades de dos puntos de la figura.

Tomando el punto P como un polo, tenemos para un punto arbitrario

, Entonces

Dónde
es la velocidad angular de la figura y
,aquellos. las velocidades de los puntos de una figura plana son proporcionales a sus distancias al MCS.

Posibles casos de encontrar el MCC
			Rodando sin resbalar
		MCS - en el infinito

El caso b corresponde a una distribución traslacional instantánea de velocidades.

1). Para una posición dada del mecanismo, encuentre v B , v C , v D , w 1 , w 2 , w 3 si en el momento v A = 20 cm/s; BC=CD=40cm; CO = 25 cm; R = 20 cm.

Solución MCC para pista de patinaje 1 - punto P 1:

con -1 ;
cm/seg.

Enlace MCS 2 - punto P 2 de la intersección de las perpendiculares a las direcciones de las velocidades de los puntos B y C:

con -1 ;
cm/segundo;
cm/segundo;
con -1 .

2). La carga Q se eleva mediante un tambor escalonado 1, cuya velocidad angular es w 1 = 1 s -1 ; R 1 \u003d 3r 1 \u003d 15 cm; ES || BD Encuentre la velocidad v C del eje del bloque en movimiento 2.

Encuentre las velocidades de los puntos A y B:

v A \u003d v E \u003d w 1 * R 1 \u003d 15 cm / s; v B \u003d v D \u003d w 1 * r 1 \u003d 5 cm / s.

Bloque 2 MCS - punto P. Entonces
, dónde
;
;
cm/seg.