Movimiento de rotación del cuerpo. Ley del movimiento de rotación

Rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo (eje de rotación) su movimiento se llama tal, en el que los puntos del cuerpo que se encuentran sobre el eje de rotación permanecen inmóviles durante todo el tiempo del movimiento.

Sea el eje de rotación el eje , que puede tener cualquier dirección en el espacio. Una dirección del eje se toma como positiva (Fig. 28).

A través del eje de rotación dibujamos un plano fijo y uno móvil, sujetos a un cuerpo giratorio. Que ambos planos coincidan en el momento inicial del tiempo. Entonces, en el momento del tiempo, la posición del plano móvil y el propio cuerpo giratorio pueden determinarse por el ángulo diedro entre los planos y el ángulo lineal correspondiente entre las líneas ubicadas en estos planos y perpendiculares al eje de rotación. El ángulo se llama ángulo de rotación del cuerpo.

La posición del cuerpo en relación con el sistema de referencia elegido se determina completamente en cualquier momento si se da la ecuación

donde es cualquier función del tiempo dos veces diferenciable. Esta ecuación se llama la ecuación de rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo.

Un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo tiene un grado de libertad, ya que su posición se determina configurando solo un parámetro: el ángulo.

Un ángulo se considera positivo si se traza en sentido antihorario y negativo en la dirección opuesta cuando se ve desde la dirección positiva del eje. Las trayectorias de los puntos del cuerpo durante su rotación alrededor de un eje fijo son círculos ubicados en planos perpendiculares al eje de rotación.

Para caracterizar el movimiento de rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo, presentamos los conceptos de velocidad angular y aceleración angular. Velocidad angular algebraica del cuerpo. en cualquier momento del tiempo, la primera derivada temporal del ángulo de rotación en ese momento se llama, es decir, . Es positivo cuando el cuerpo gira en el sentido contrario a las agujas del reloj, ya que el ángulo de giro aumenta con el tiempo, y negativo cuando el cuerpo gira en el sentido de las agujas del reloj, porque el ángulo de giro disminuye.

El módulo de velocidad angular se denota por . Entonces

aceleración angular algebraica del cuerpo se llama la primera derivada temporal de la velocidad algebraica, es decir la segunda derivada del ángulo de rotación. Denotamos el módulo de aceleración angular, entonces

Si en , entonces la velocidad angular algebraica aumenta con el tiempo y, por lo tanto, el cuerpo gira aceleradamente en el momento de tiempo considerado en la dirección positiva (en sentido antihorario). En y , el cuerpo gira rápidamente en dirección negativa. Si en , entonces tenemos una rotación lenta en la dirección positiva. En y la rotación lenta está en la dirección negativa.

traslacional Se llama movimiento de un cuerpo rígido a tal movimiento en el que cualquier línea recta, invariablemente asociada con este cuerpo, permanece paralela a su posición inicial.

Teorema. En el movimiento de traslación de un cuerpo rígido, todos sus puntos describen las mismas trayectorias y en cualquier momento tienen velocidades y aceleraciones iguales en magnitud y dirección.

Prueba. Pase por dos puntos y , segmento de cuerpo en movimiento traslacional
y considere el movimiento de este segmento en la posición
. Al mismo tiempo, el punto describe la trayectoria
, y el punto – trayectoria
(Figura 56).

Teniendo en cuenta que el segmento
se mueve paralelo a sí mismo, y su longitud no cambia, se puede establecer que las trayectorias de los puntos Y será lo mismo. Por tanto, la primera parte del teorema queda demostrada. Determinaremos la posición de los puntos. Y de forma vectorial con respecto al origen fijo . Al mismo tiempo, estos radios - vectores dependen de
. Porque. ni la longitud ni la dirección del segmento
no cambia cuando el cuerpo se mueve, entonces el vector

. Se procede a la determinación de las velocidades según la dependencia (24):

, obtenemos
.

Se procede a la determinación de aceleraciones según dependencia (26):

, obtenemos
.

Del teorema probado se sigue que el movimiento de traslación de un cuerpo estará completamente determinado si se conoce el movimiento de uno solo de algunos puntos. Por tanto, el estudio del movimiento de traslación de un cuerpo rígido se reduce al estudio del movimiento de uno de sus puntos, es decir al problema de la cinemática puntual.

Tema 11. Movimiento de rotación de un cuerpo rígido

rotacional Es un movimiento de un cuerpo rígido en el que dos de sus puntos permanecen inmóviles durante todo el tiempo del movimiento. La recta que pasa por estos dos puntos fijos se llama eje de rotación.

Cada punto del cuerpo que no se encuentra sobre el eje de rotación, durante tal movimiento, describe un círculo, cuyo plano es perpendicular al eje de rotación, y su centro se encuentra sobre este eje.

Dibujamos a través del eje de rotación un plano fijo I y un plano móvil II, invariablemente conectados con el cuerpo y girando con él (Fig. 57). La posición del plano II y, en consecuencia, de todo el cuerpo, con respecto al plano I en el espacio, está completamente determinada por el ángulo . Cuando un cuerpo gira alrededor de un eje este ángulo es una función del tiempo continua y de un solo valor. Por lo tanto, conociendo la ley de cambio de este ángulo con el tiempo, podemos determinar la posición del cuerpo en el espacio:

- ley de rotación del cuerpo. (43)

En este caso supondremos que el ángulo contado desde el plano fijo en el sentido contrario a las agujas del reloj cuando se ve desde el extremo positivo del eje . Dado que la posición de un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo está determinada por un parámetro, se dice que dicho cuerpo tiene un grado de libertad.

Velocidad angular

El cambio en el ángulo de rotación del cuerpo con el tiempo se llama ángulo velocidad del cuerpo y denotado
(omega):

.(44)

La velocidad angular, como la velocidad lineal, es una cantidad vectorial, y este vector construido sobre el eje de rotación del cuerpo. Está dirigido a lo largo del eje de rotación en esa dirección de modo que, mirando desde su extremo hasta su comienzo, se puede ver la rotación del cuerpo en sentido antihorario (Fig. 58). El módulo de este vector está determinado por la dependencia (44). Punto de aplicación en el eje se puede elegir arbitrariamente, ya que el vector se puede trasladar a lo largo de su línea de acción. Si denotamos el orto-vector del eje de rotación a través de , entonces obtenemos la expresión vectorial de la velocidad angular:

. (45)

Aceleración angular

La tasa de cambio en la velocidad angular de un cuerpo con el tiempo se llama aceleración angular cuerpos y se denota (épsilon):

. (46)

La aceleración angular es una cantidad vectorial, y este vector construido sobre el eje de rotación del cuerpo. Está dirigido a lo largo del eje de rotación en esa dirección, de modo que, mirando desde su extremo hasta su comienzo, se puede ver la dirección de rotación del épsilon en el sentido contrario a las agujas del reloj (Fig. 58). El módulo de este vector está determinado por la dependencia (46). Punto de aplicación en el eje se puede elegir arbitrariamente, ya que el vector se puede trasladar a lo largo de su línea de acción.

Si denotamos el orto-vector del eje de rotación a través de , entonces obtenemos la expresión vectorial de la aceleración angular:

. (47)

Si la velocidad angular y la aceleración son del mismo signo, entonces el cuerpo gira acelerado, y si es diferente - despacio. Un ejemplo de rotación lenta se muestra en la fig. 58.

Considere casos especiales de movimiento de rotación.

1. Rotación uniforme:

,
.

,
,
,

,
. (48)

2. Rotación de variables iguales:

.

,
,
,
,
,
,
,
,

,
,
.(49)

Relación entre parámetros lineales y angulares

Considere el movimiento de un punto arbitrario
cuerpo giratorio. En este caso, la trayectoria del punto será un círculo, radio
, ubicado en un plano perpendicular al eje de rotación (Fig. 59, A).

Supongamos que en ese momento el punto está en posición
. Supongamos que el cuerpo gira en la dirección positiva, es decir en la dirección del ángulo creciente . en el momento
el punto tomará posición
. Denota el arco
. Por lo tanto, durante un período de tiempo
el punto ha pasado el camino
. Su velocidad promedio , y cuando
,
. Pero, de la Fig. 59, b, está claro que
. Entonces. Finalmente obtenemos

. (50)

Aquí - velocidad lineal del punto
. Como se obtuvo anteriormente, esta velocidad está dirigida tangencialmente a la trayectoria en un punto dado, es decir tangente al círculo.

Así, el módulo de velocidad lineal (circunferencial) de un punto de un cuerpo en rotación es igual al producto del valor absoluto de la velocidad angular por la distancia de este punto al eje de rotación.

Ahora conectemos los componentes lineales de la aceleración del punto con los parámetros angulares.

,
. (51)

El módulo de aceleración tangencial de un punto de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo es igual al producto de la aceleración angular del cuerpo por la distancia de este punto al eje de rotación.

,
. (52)

El módulo de aceleración normal de un punto de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo es igual al producto del cuadrado de la velocidad angular del cuerpo por la distancia de este punto al eje de rotación.

Entonces la expresión para la aceleración total del punto toma la forma

. (53)

Direcciones vectoriales ,,se muestra en la figura 59, V.

movimiento plano Un cuerpo rígido es un movimiento en el que todos los puntos del cuerpo se mueven paralelos a un plano fijo. Ejemplos de tal movimiento:

El movimiento de cualquier cuerpo cuya base se desliza a lo largo de un plano fijo dado;

Rueda rodando a lo largo de una sección recta de la vía (carril).

Obtenemos las ecuaciones del movimiento plano. Para hacer esto, considere una figura plana que se mueve en el plano de la hoja (Fig. 60). Referimos este movimiento a un sistema de coordenadas fijo
, y con la figura misma asociaremos un sistema de coordenadas en movimiento
, que se mueve con él.

Obviamente, la posición de una figura en movimiento en un plano fijo está determinada por la posición de los ejes en movimiento
relativo a ejes fijos
. Esta posición está determinada por la posición del origen móvil. , es decir. coordenadas ,y ángulo de rotación , un sistema de coordenadas móvil con respecto al fijo, que se contará a partir del eje en sentido antihorario.

En consecuencia, el movimiento de una figura plana en su plano estará completamente determinado si se conocen los valores para cada instante de tiempo ,,, es decir. ecuaciones de la forma:

,
,
. (54)

Las ecuaciones (54) son ecuaciones de movimiento plano de un cuerpo rígido, ya que si se conocen estas funciones, entonces para cada momento de tiempo es posible encontrar a partir de estas ecuaciones, respectivamente ,,, es decir. determinar la posición de la figura en movimiento en un momento dado.

Considere casos especiales:

1.

, entonces el movimiento del cuerpo será de traslación, ya que los ejes móviles se desplazan permaneciendo paralelos a su posición inicial.

2.

,

. Con este movimiento, solo cambia el ángulo de rotación. , es decir. el cuerpo rotará alrededor de un eje que pasa perpendicular al plano de la figura a través del punto .

Descomposición del movimiento de una figura plana en traslacional y rotacional

Considere dos posiciones consecutivas Y
ocupado por el cuerpo a veces Y
(Figura 61). cuerpo fuera de posicion en posición
se puede transferir de la siguiente manera. Primero movamos el cuerpo progresivamente. Al mismo tiempo, el segmento
se mueve paralelo a sí mismo a la posición
, y luego demos vuelta cuerpo alrededor de un punto (polo) en la esquina
hasta que los puntos coincidan Y .

Por eso, cualquier movimiento plano se puede representar como la suma del movimiento de traslación junto con el polo elegido y el movimiento de rotación, sobre este polo.

Consideremos los métodos por los cuales es posible determinar las velocidades de los puntos de un cuerpo que realiza un movimiento plano.

1. Método de polos. Este método se basa en la descomposición resultante del movimiento plano en traslación y rotación. La velocidad de cualquier punto de una figura plana se puede representar como dos componentes: traslacional, con una velocidad igual a la velocidad de un punto elegido arbitrariamente -postes , y rotacional alrededor de este polo.

Considere un cuerpo plano (Fig. 62). Las ecuaciones de movimiento son:
,
,
.

Determinamos a partir de estas ecuaciones la velocidad del punto (como con el método de ajuste de coordenadas)

,
,
.

Entonces la velocidad del punto - el valor es conocido. Tomamos este punto como un polo y determinamos la velocidad de un punto arbitrario
cuerpo.

Velocidad
estará compuesto por el componente traslacional , al moverse junto con el punto y rotacional
, cuando se gira el punto
relativo al punto . Velocidad de punto mover al punto
paralelo a sí mismo, ya que en el movimiento de traslación las velocidades de todos los puntos son iguales tanto en magnitud como en dirección. Velocidad
determinado por la dependencia (50)
, y este vector está dirigido perpendicularmente al radio
en la dirección de rotación
. Vector
estará dirigido a lo largo de la diagonal de un paralelogramo construido sobre los vectores Y
, y su módulo está determinado por la dependencia:

, .(55)

2. El teorema de las proyecciones de las velocidades de dos puntos del cuerpo.

Las proyecciones de las velocidades de dos puntos de un cuerpo rígido sobre la línea recta que une estos puntos son iguales entre sí.

Considere dos puntos del cuerpo. Y (Figura 63). Tomando un punto por polo, determine la dirección por dependencia (55):
. Proyectamos esta igualdad vectorial sobre la recta
y considerando que
perpendicular
, obtenemos

3. Centro instantáneo de velocidades.

Centro instantáneo de velocidades(MCS) es un punto cuya velocidad en un momento dado es cero.

Demostremos que si el cuerpo no se mueve hacia adelante, entonces tal punto existe en cada momento del tiempo y, además, es único. Deja en el momento puntos Y cuerpos yacen en la sección , tiene velocidades Y , no paralelos entre sí (Fig. 64). Entonces el punto
, situada en la intersección de las perpendiculares a los vectores Y , y habrá un MCS, ya que
.

En efecto, si asumimos que
, entonces por el teorema (56), el vector
debe ser perpendicular
Y
, lo cual es imposible. Se puede ver del mismo teorema que ningún otro punto de sección en este momento no puede tener una velocidad igual a cero.

Aplicando el método del polo
- polo, determinar la velocidad del punto (55): desde
,
. (57)

Se puede obtener un resultado similar para cualquier otro punto del cuerpo. Por tanto, la velocidad de cualquier punto del cuerpo es igual a su velocidad de rotación relativa al MCS:

,
,
, es decir. las velocidades de los puntos del cuerpo son proporcionales a sus distancias al MCS.

De los tres métodos considerados para determinar las velocidades de los puntos de una figura plana, se puede ver que el MCS es preferible, ya que aquí la velocidad se determina inmediatamente tanto en valor absoluto como en la dirección de una componente. Sin embargo, este método puede usarse si conocemos o podemos determinar la posición del MCS para el cuerpo.

Determinación de la posición del MCS

1. Si conocemos para una posición dada del cuerpo las direcciones de las velocidades de dos puntos del cuerpo, entonces el MCC será el punto de intersección de las perpendiculares a estos vectores de velocidad.

2. Las velocidades de dos puntos del cuerpo son antiparalelas (Fig. 65, A). En este caso, la perpendicular a las velocidades será común, es decir El MCC está ubicado en algún lugar de esta perpendicular. Para determinar la posición del MCC, es necesario conectar los extremos de los vectores de velocidad. El punto de intersección de esta recta con la perpendicular será el MCS deseado. En este caso, el MCS se encuentra entre estos dos puntos.

3. Las velocidades de dos puntos del cuerpo son paralelas, pero no iguales en magnitud (Fig. 65, b). El procedimiento para obtener una MDS es similar al descrito en el párrafo 2.

d) Las velocidades de dos puntos son iguales tanto en magnitud como en dirección (Fig. 65, V). Obtenemos el caso del movimiento de traslación instantáneo, en el que las velocidades de todos los puntos del cuerpo son iguales. Por lo tanto, la velocidad angular del cuerpo en esta posición es cero:

4. Defina el MCC para una rueda que rueda sin deslizarse sobre una superficie fija (Fig. 65, GRAMO). Dado que el movimiento ocurre sin deslizamiento, entonces en el punto de contacto de la rueda con la superficie, la velocidad será la misma e igual a cero, ya que la superficie está estacionaria. Por tanto, el punto de contacto de la rueda con una superficie fija será el MCC.

Determinación de aceleraciones de puntos de una figura plana

Al determinar las aceleraciones de los puntos de una figura plana, se puede trazar una analogía con los métodos para determinar las velocidades.

1. Método de polos. Así como en la determinación de velocidades, tomamos como polo un punto arbitrario del cuerpo, cuya aceleración conocemos, o podemos determinarla. Entonces la aceleración de cualquier punto de una figura plana es igual a la suma de las aceleraciones del polo y la aceleración en el movimiento de rotación alrededor de este polo:

Al mismo tiempo, el componente
determina la aceleración de un punto mientras gira alrededor del polo . Al girar, la trayectoria del punto será curvilínea, lo que significa
(Figura 66).

Entonces la dependencia (58) toma la forma
. (59)

Teniendo en cuenta las dependencias (51) y (52), obtenemos
,
.

2. Centro instantáneo de aceleración.

Centro de aceleración instantánea(MCC) es un punto cuya aceleración en un momento dado es cero.

Demostremos que tal punto existe en cualquier momento dado. Tomamos un punto como polo , cuya aceleración
sabemos. Encontrar un ángulo , acostado dentro
, y cumpliendo la condición
. Si
, Eso
y viceversa, es decir esquina se deposita en la dirección . Aparte del punto en un angulo al vector
segmento de línea
(Figura 67). El punto obtenido por tales construcciones
será MCU.

De hecho, la aceleración de un punto
igual a la suma de las aceleraciones
postes y aceleración
en rotación alrededor del polo :
.

,
. Entonces
. Por otro lado, la aceleración
formas con la dirección del segmento
esquina
, que satisface la condición
. El signo menos se coloca delante de la tangente del ángulo. , ya que la rotación
relativo al polo en sentido antihorario y el ángulo
se deposita en el sentido de las agujas del reloj. Entonces
.

Por eso,
y luego
.

Casos especiales de determinación del MCC

1.
. Entonces
y, por lo tanto, la MCU no existe. En este caso, el cuerpo se mueve hacia adelante, es decir, las velocidades y aceleraciones de todos los puntos del cuerpo son iguales.

2.
. Entonces
,
. Esto significa que la MCU se encuentra en la intersección de las líneas de acción de las aceleraciones de los puntos del cuerpo (Fig. 68, A).

3.
. Entonces,
,
. Esto significa que el MCC se encuentra en la intersección de las perpendiculares a las aceleraciones de los puntos del cuerpo (Fig. 68, b).

4.
. Entonces
,

. Esto significa que la MCU se encuentra en la intersección de los rayos dibujados con las aceleraciones de los puntos del cuerpo en un ángulo (fig. 68, V).

De los casos especiales considerados, podemos concluir: si tomamos el punto
por polo, entonces la aceleración de cualquier punto de una figura plana está determinada por la aceleración en el movimiento de rotación alrededor del MCC:

. (60)

Movimiento de puntos complicado Se denomina movimiento a tal movimiento en el que el punto participa simultáneamente en dos o más movimientos. Con tal movimiento, la posición del punto se determina con respecto al móvil y con respecto a los sistemas de referencia fijos.

El movimiento de un punto relativo a un marco de referencia en movimiento se llama movimiento relativo de un punto . Denotemos los parámetros del movimiento relativo
.

El movimiento de aquel punto del marco de referencia móvil, con el cual el punto móvil coincide en un momento dado con respecto al marco de referencia fijo, se denomina punto de movimiento . Denotemos los parámetros del movimiento portátil.
.

El movimiento de un punto relativo a un marco fijo de referencia se llama absoluto (complejo) punto de movimiento . Denotemos los parámetros del movimiento absoluto
.

Como ejemplo de un movimiento complejo, podemos considerar el movimiento de una persona en un vehículo en movimiento (tranvía). En este caso, el movimiento de una persona está relacionado con un sistema de coordenadas en movimiento, un tranvía, y con un sistema de coordenadas fijo, la tierra (carretera). Entonces, según las definiciones anteriores, el movimiento de una persona con respecto al tranvía es relativo, el movimiento junto con el tranvía con respecto al suelo es figurativo y el movimiento de una persona con respecto al suelo es absoluto.

Determinaremos la posición del punto.
radios - vectores relativos al movimiento
e inmóvil
sistemas de coordenadas (Fig. 69). Introduzcamos la notación: - radio vector que define la posición del punto
en relación con el sistema de coordenadas en movimiento
,
;- radio vector que determina la posición del origen del sistema de coordenadas en movimiento (puntos ) (puntos );- radio - un vector que define la posición de un punto
relativo al sistema de coordenadas fijo
;
,.

Obtengamos condiciones (restricciones) correspondientes a movimientos relativos, figurativos y absolutos.

1. Al considerar el movimiento relativo, supondremos que el punto
se mueve en relación con el sistema de coordenadas en movimiento
, y el propio sistema de coordenadas en movimiento
relativo al sistema de coordenadas fijo
no se mueve.

Entonces las coordenadas del punto
cambiará en movimiento relativo, y los orto-vectores del sistema de coordenadas en movimiento no cambiarán de dirección:

,

,

.

2. Al considerar el movimiento portátil, supondremos que las coordenadas del punto
con respecto al sistema de coordenadas en movimiento son fijos, y el punto se mueve con el sistema de coordenadas en movimiento
relativamente inmóvil
:

,

,

,.

3. Con movimiento absoluto, el punto también se mueve relativamente
y junto con el sistema de coordenadas
relativamente inmóvil
:

Entonces las expresiones para las velocidades, teniendo en cuenta (27), tienen la forma

,
,

Comparando estas dependencias, obtenemos una expresión para la velocidad absoluta:
. (61)

Hemos obtenido un teorema sobre la suma de las velocidades de un punto en un movimiento complejo: la velocidad absoluta de un punto es igual a la suma geométrica de las componentes relativa y portátil de la velocidad.

Usando la dependencia (31), obtenemos expresiones para aceleraciones:

,

Comparando estas dependencias, obtenemos una expresión para la aceleración absoluta:
.

Se encontró que la aceleración absoluta de un punto no es igual a la suma geométrica de las componentes relativas y portátiles de las aceleraciones. Definamos la componente de aceleración absoluta, que está entre paréntesis, para casos especiales.

1. Movimiento de traslación del punto
. En este caso, los ejes del sistema de coordenadas en movimiento
se mueven todo el tiempo paralelos a ellos mismos, entonces.

,

,

,
,
,
, Entonces
. Finalmente obtenemos

. (62)

Si el movimiento portátil del punto es de traslación, entonces la aceleración absoluta del punto es igual a la suma geométrica de las componentes relativa y portátil de la aceleración.

2. El movimiento portátil del punto no es traslacional. Entonces, en este caso, el sistema de coordenadas en movimiento
gira alrededor del eje instantáneo de rotación con velocidad angular (Figura 70). Denote el punto al final del vector a través de . Luego, usando el método vectorial de especificar (15), obtenemos el vector velocidad de este punto
.

Por otro lado,
. Igualando las partes derechas de estas igualdades vectoriales, obtenemos:
. Procediendo de manera similar, para el resto de los vectores vectoriales, obtenemos:
,
.

En el caso general, la aceleración absoluta de un punto es igual a la suma geométrica de las componentes relativas y portátiles de la aceleración más dos veces el producto vectorial del vector de la velocidad angular del movimiento portátil por el vector de la velocidad lineal de el movimiento relativo.

El producto vectorial duplicado del vector de la velocidad angular del movimiento portátil por el vector de la velocidad lineal del movimiento relativo se llama Aceleración de Coriolis y denotado

. (64)

La aceleración de Coriolis caracteriza el cambio en la velocidad relativa en el movimiento portátil y el cambio en la velocidad portátil en el movimiento relativo.

reenviado
según la regla del producto vectorial. El vector aceleración de Coriolis siempre está dirigido perpendicularmente al plano formado por los vectores Y , de modo que, mirando desde el final del vector
, ver turno A , a través del ángulo más pequeño, en sentido antihorario.

El módulo de aceleración de Coriolis es igual a.

Este artículo describe una sección importante de la física: "Cinemática y dinámica del movimiento de rotación".

Conceptos básicos de la cinemática del movimiento de rotación

El movimiento de rotación de un punto material alrededor de un eje fijo es tal movimiento, cuya trayectoria es un círculo ubicado en un plano perpendicular al eje, y su centro se encuentra en el eje de rotación.

El movimiento de rotación de un cuerpo rígido es un movimiento en el que todos los puntos del cuerpo se mueven a lo largo de círculos concéntricos (cuyos centros se encuentran en el mismo eje) de acuerdo con la regla para el movimiento de rotación de un punto material.

Deje que un cuerpo rígido arbitrario T realice rotaciones alrededor del eje O, que es perpendicular al plano de la figura. Elijamos un punto M en el cuerpo dado, durante la rotación, este punto describirá un círculo alrededor del eje O con un radio r.

Después de algún tiempo, el radio girará respecto a su posición original en un ángulo Δφ.

La dirección del tornillo derecho (en el sentido de las agujas del reloj) se toma como la dirección de rotación positiva. El cambio en el ángulo de rotación con el tiempo se denomina ecuación del movimiento de rotación de un cuerpo rígido:

φ = φ(t).

Si φ se mide en radianes (1 rad es el ángulo correspondiente a un arco de longitud igual a su radio), entonces la longitud del arco circular ΔS, por el que pasará el punto material M en el tiempo Δt, es igual a:

∆S = ∆φr.

Los elementos principales de la cinemática del movimiento de rotación uniforme.

Una medida del movimiento de un punto material en un corto período de tiempo. dt sirve como un vector de rotación elemental dφ.

La velocidad angular de un punto o cuerpo material es una cantidad física, que está determinada por la relación entre el vector de rotación elemental y la duración de esta rotación. La dirección del vector se puede determinar mediante la regla del tornillo derecho a lo largo del eje O. En forma escalar:

ω = dφ/dt.

Si ω = dφ/dt = constante, entonces tal movimiento se llama movimiento de rotación uniforme. Con él, la velocidad angular está determinada por la fórmula

ω = φ/t.

Según la fórmula preliminar, la dimensión de la velocidad angular

[ω] = 1 rad/s.

El movimiento de rotación uniforme de un cuerpo se puede describir mediante un período de rotación. El período de rotación T es una cantidad física que determina el tiempo durante el cual el cuerpo alrededor del eje de rotación realiza una revolución completa ([T] = 1 s). Si en la fórmula para la velocidad angular tomamos t = T, φ = 2 π (una revolución completa de radio r), entonces

ω = 2π/T,

Por lo tanto, el período de rotación se define de la siguiente manera:

T = 2π/ω.

El número de revoluciones que da un cuerpo por unidad de tiempo se denomina frecuencia de rotación ν, que es igual a:

v = 1/T.

Unidades de frecuencia: [ν] \u003d 1 / c \u003d 1 c -1 \u003d 1 Hz.

Comparando las fórmulas de la velocidad angular y la frecuencia de rotación, obtenemos una expresión que relaciona estas cantidades:

ω = 2πν.

Los elementos principales de la cinemática del movimiento de rotación no uniforme.

El movimiento de rotación desigual de un cuerpo rígido o un punto material alrededor de un eje fijo caracteriza su velocidad angular, que cambia con el tiempo.

Vector ε que caracteriza la tasa de cambio de la velocidad angular se denomina vector de aceleración angular:

ε = dω/dt.

Si el cuerpo gira, acelerando, eso es dω/dt > 0, el vector tiene una dirección a lo largo del eje en la misma dirección que ω.

Si el movimiento de rotación se ralentiza - dω/dt< 0 , entonces los vectores ε y ω tienen direcciones opuestas.

Comentario. Cuando ocurre un movimiento de rotación desigual, el vector ω puede cambiar no solo en magnitud, sino también en dirección (cuando se gira el eje de rotación).

Relación entre cantidades que caracterizan el movimiento de traslación y rotación

Se sabe que la longitud del arco con el ángulo de rotación del radio y su valor están relacionados por la relación

∆S = ∆φr.

Entonces, la velocidad lineal de un punto material que realiza un movimiento de rotación

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

La aceleración normal de un punto material que realiza un movimiento de traslación rotacional se define como sigue:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Entonces, en forma escalar

a = ω 2 r.

Punto de material acelerado tangencial que realiza un movimiento de rotación

a = εr.

Momento angular de un punto material

El producto vectorial del radio-vector de la trayectoria de un punto material con masa m i y su momento se llama momento angular de este punto alrededor del eje de rotación. La dirección del vector se puede determinar usando la regla del tornillo derecho.

Momento angular de un punto material ( Yo) se dirige perpendicularmente al plano trazado por r i y υ i , y forma con ellos el triple recto de vectores (es decir, al moverse desde el extremo del vector yo A υ i el tornillo derecho mostrará la dirección del vector L i).

En forma escalar

L = metro yo υ yo r yo sin(υ yo , r yo).

Considerando que cuando se mueve en un círculo, el vector de radio y el vector de velocidad lineal para el i-ésimo punto material son mutuamente perpendiculares,

sen(υ yo , r yo) = 1.

Entonces, el momento angular de un punto material para el movimiento de rotación tomará la forma

L = metro yo υ yo r yo .

Momento de la fuerza que actúa sobre el i-ésimo punto material

El producto vectorial del radio-vector, que se dibuja en el punto de aplicación de la fuerza, y esta fuerza se llama el momento de la fuerza que actúa sobre el i-ésimo punto material en relación con el eje de rotación.

En forma escalar

METRO yo = r yo F yo sin(r yo , F yo).

Teniendo en cuenta que r yo sinα = l yo ,METRO yo = l yo F yo .

Valor yo i , igual a la longitud de la perpendicular caída desde el punto de rotación hasta la dirección de la fuerza, se llama el brazo de la fuerza yo.

Dinámica rotacional

La ecuación para la dinámica del movimiento de rotación se escribe de la siguiente manera:

M = dl/dt.

La formulación de la ley es la siguiente: la tasa de cambio del momento angular de un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo es igual al momento resultante alrededor de este eje de todas las fuerzas externas aplicadas al cuerpo.

Momento de cantidad de movimiento y momento de inercia

Se sabe que para el i-ésimo punto material el momento angular en forma escalar viene dado por la fórmula

L yo = metro yo υ yo r yo .

Si en lugar de la velocidad lineal sustituimos su expresión en función de la angular:

υ yo = ωr yo ,

entonces la expresión del momento angular tomará la forma

L yo = metro yo r yo 2 ω.

Valor yo yo = metro yo r yo 2 Se denomina momento de inercia con respecto al eje del i-ésimo punto material de un cuerpo absolutamente rígido que pasa por su centro de masa. Luego escribimos el momento angular del punto material:

L yo = yo yo ω.

Escribimos el momento angular de un cuerpo absolutamente rígido como la suma del momento angular de los puntos materiales que forman este cuerpo:

L = Iω.

Momento de fuerza y ​​momento de inercia

La ley de rotación dice:

M = dl/dt.

Se sabe que el momento angular de un cuerpo se puede representar en términos del momento de inercia:

L = Iω.

M = Idω/dt.

Considerando que la aceleración angular está determinada por la expresión

ε = dω/dt,

obtenemos la fórmula del momento de fuerza, representado a través del momento de inercia:

M = es decir.

Comentario. El momento de la fuerza se considera positivo si la aceleración angular que la provoca es mayor que cero, y viceversa.

el teorema de Steiner. La ley de la suma de momentos de inercia.

Si el eje de rotación del cuerpo no pasa por su centro de masa, entonces su momento de inercia se puede encontrar en relación con este eje utilizando el teorema de Steiner:
yo \u003d yo 0 + ma 2,

Dónde yo 0- el momento inicial de inercia del cuerpo; metro- masa corporal; a- distancia entre ejes.

Si el sistema que gira alrededor del eje fijo consta de norte cuerpos, entonces el momento de inercia total de este tipo de sistema será igual a la suma de los momentos de sus componentes (ley de la suma de momentos de inercia).

rotacional llaman a un movimiento en el que dos puntos conectados con el cuerpo, por lo tanto, y la línea recta que pasa por estos puntos, permanecen inmóviles durante el movimiento (Fig. 2.16). Linea arreglada un b llamado eje de rotación.

Arroz. 2.1B. A la definición del movimiento de rotación del cuerpo.

La posición del cuerpo durante el movimiento de rotación determina el ángulo de rotación φ, rad (ver Fig. 2.16). Al moverse, el ángulo de rotación cambia con el tiempo, es decir, la ley del movimiento de rotación de un cuerpo se define como la ley del cambio en el tiempo del valor del ángulo diedro Φ = φ(/) entre el semiplano fijo A () , que pasa por el eje de rotación, y móvil pág. 1 un semiplano asociado con el cuerpo y que también pasa por el eje de rotación.

Las trayectorias de todos los puntos del cuerpo durante el movimiento de rotación son círculos concéntricos ubicados en planos paralelos con centros en el eje de rotación.

Características cinemáticas del movimiento de rotación del cuerpo. De manera similar a cómo se introdujeron las características cinemáticas para un punto, se introduce un concepto cinemático que caracteriza la tasa de cambio de la función f(c), que determina la posición del cuerpo durante el movimiento de rotación, es decir velocidad angular ω = φ = s/f/s//, dimensión de la velocidad angular [ω] = rad /Con.

En los cálculos técnicos, la expresión de la velocidad angular a menudo se usa con una dimensión diferente, a través del número de revoluciones por minuto: [i] = rpm, y la relación entre PAG y w se puede representar como: w = 27sh/60 = 7sh/30.

En general, la velocidad angular cambia con el tiempo. La medida de la tasa de cambio de la velocidad angular es la aceleración angular e = c/co/c//= co = f, la dimensión de la aceleración angular es [e] = rad/s 2 .

Las características cinemáticas angulares introducidas están completamente determinadas al establecer una función: el ángulo de rotación en función del tiempo.

Características cinemáticas de los puntos del cuerpo durante el movimiento de rotación. Considere un punto METRO cuerpo ubicado a una distancia p del eje de rotación. Este punto se mueve a lo largo de un círculo de radio p (Fig. 2.17).

Arroz. 2.17.

puntos del cuerpo durante su rotación

Longitud de arco M Q M círculo de radio p se define como s= ptp, donde φ es el ángulo de rotación, rad. Si la ley de movimiento del cuerpo se da como φ = φ(r), entonces la ley de movimiento del punto METRO a lo largo de la trayectoria define la fórmula S= rf(7).

Usando las expresiones para características cinemáticas con la forma natural de especificar el movimiento de un punto, obtenemos características cinemáticas para puntos de un cuerpo giratorio: velocidad según la fórmula (2.6)

V= 5 = rf = pco; (2.22)

aceleración tangencial según la expresión (2.12)

i t \u003d K \u003d wor \u003d ep; (2.23)

aceleración normal según la fórmula (2.13)

a„ = Y 2 / p \u003d co 2 p 2 / p \u003d ogr; (2.24)

aceleración total usando la expresión (2.15)

A = -]A + un] = px/e 2 + co 4 . (2.25)

Como característica de la dirección de la aceleración total, se toma p: el ángulo de desviación del vector de aceleración total del radio del círculo descrito por el punto (Fig. 2.18).

De la fig. 2.18 obtenemos

tgjli = aján\u003d re / pco 2 \u003d g / (o 2. (2.26)

Arroz. 2.18.

Tenga en cuenta que todas las características cinemáticas de los puntos de un cuerpo giratorio son proporcionales a las distancias al eje de rotación. Ve-

Sus máscaras se determinan a través de las derivadas de la misma función: el ángulo de rotación.

Expresiones vectoriales para características cinemáticas angulares y lineales. Para una descripción analítica de las características cinemáticas angulares de un cuerpo giratorio, junto con el eje de rotación, se introduce el concepto vector de ángulo de rotación(Fig. 2.19): φ = φ(/)A:, donde A- ir

vector del eje de rotación

1; A= con51 .

El vector φ está dirigido a lo largo de este eje para que pueda verse desde el "extremo"

Rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

Arroz. 2.19.

características en forma vectorial

Si se conoce el vector φ(/), todas las demás características angulares del movimiento de rotación se pueden representar en forma vectorial:

• vector de velocidad angular ω = φ = φ A. La dirección del vector de velocidad angular determina el signo de la derivada del ángulo de rotación;
• vector de aceleración angular є = ω = φ A. La dirección de este vector determina el signo de la derivada de la velocidad angular.

Los vectores co y є introducidos permiten obtener expresiones vectoriales para las características cinemáticas de los puntos (ver Fig. 2.19).

Nótese que el módulo del vector velocidad puntual coincide con el módulo del producto vectorial del vector velocidad angular y el vector radio: |cox GRAMO= sogvipa = sor. Dadas las direcciones de los vectores ω y r y la regla para la dirección del producto vectorial, podemos escribir una expresión para el vector velocidad:

V= co xg.

Del mismo modo, es fácil demostrar que

• ? X
• - por ejemplo, Bipa= єр = en Y

Sosor = co p = i.

(Además, los vectores de estas características cinemáticas coinciden en dirección con los productos vectoriales correspondientes.

Por lo tanto, los vectores de aceleraciones tangenciales y normales se pueden representar como productos vectoriales:

• (2.28)
• (2.29)

una x = z X GRAMO

A= co x v.

y Saveliev.

Con el movimiento de traslación del cuerpo (§ 60 en el libro de texto de E. M. Nikitin), todos sus puntos se mueven a lo largo de las mismas trayectorias y en un momento dado tienen las mismas velocidades y las mismas aceleraciones.

Por lo tanto, el movimiento de traslación del cuerpo lo determina el movimiento de cualquier punto, generalmente el movimiento del centro de gravedad.

Considerando en cualquier problema el movimiento de un carro (problema 147) o una locomotora diesel (problema 141), en realidad consideramos el movimiento de sus centros de gravedad.

El movimiento de rotación de un cuerpo (E. M. Nikitin, § 61) no puede identificarse con el movimiento de ninguno de sus puntos. El eje de cualquier cuerpo giratorio (volante diesel, rotor de motor eléctrico, husillo de máquina, aspas de ventilador, etc.) en el proceso de movimiento ocupa el mismo lugar en el espacio en relación con los cuerpos fijos circundantes.

Movimiento de un punto material o movimiento hacia adelante Los cuerpos se caracterizan dependiendo del tiempo. cantidades lineales s (recorrido, distancia), v (velocidad) y a (aceleración) con sus componentes a t y a n .

movimiento de rotación cuerpos en función del tiempo t caracterizar valores angulares: φ (ángulo de rotación en radianes), ω (velocidad angular en rad/s) y ε (aceleración angular en rad/s 2).

La ley del movimiento de rotación de un cuerpo se expresa mediante la ecuación
φ = f(t).

Velocidad angular- el valor que caracteriza la velocidad de rotación del cuerpo, se define en el caso general como la derivada del ángulo de rotación con respecto al tiempo
ω \u003d dφ / dt \u003d f "(t).

Aceleración angular- el valor que caracteriza la tasa de cambio de la velocidad angular, se define como la derivada de la velocidad angular
ε = dω/dt = f"" (t).

Al comenzar a resolver problemas para el movimiento de rotación de un cuerpo, debe tenerse en cuenta que en los cálculos y problemas técnicos, por regla general, el desplazamiento angular no se expresa en radianes φ, sino en revoluciones φ rev.

Por lo tanto, es necesario poder cambiar del número de revoluciones a la medida del desplazamiento angular en radianes y viceversa.

Dado que una revolución completa corresponde a 2π rad, entonces
φ = 2πφ rev y φ rev = φ/(2π).

La velocidad angular en los cálculos técnicos a menudo se mide en revoluciones producidas por minuto (rpm), por lo que debe entenderse claramente que ω rad / s y n rpm expresan el mismo concepto: la velocidad de rotación del cuerpo (velocidad angular) , pero en diferentes unidades, en rad / seg o en rpm.

La transición de una unidad de velocidad angular a otra se realiza según las fórmulas
ω = πn/30 y n = 30ω/π.

Durante el movimiento de rotación del cuerpo, todos sus puntos se mueven a lo largo de círculos, cuyos centros están ubicados en una línea recta fija (el eje del cuerpo en rotación). Al resolver los problemas presentados en este capítulo, es muy importante comprender claramente la relación entre las cantidades angulares φ, ω y ε, que caracterizan el movimiento de rotación del cuerpo, y las cantidades lineales s, v, at y an que caracterizan el movimiento de varios puntos de este cuerpo (Fig. 205).

Si R es la distancia desde el eje geométrico del cuerpo giratorio a cualquier punto A (en la Fig. 205 R = OA), entonces la relación entre φ - el ángulo de rotación del cuerpo y s - la distancia recorrida por el punto de el cuerpo en el mismo tiempo, se expresa de la siguiente manera:
s = φR.

La relación entre la velocidad angular de un cuerpo y la velocidad de un punto en un momento dado se expresa mediante la igualdad
v = ωR.

La aceleración tangencial de un punto depende de la aceleración angular y está determinada por la fórmula
a t = εR.

La aceleración normal de un punto depende de la velocidad angular del cuerpo y está determinada por la dependencia
un norte = ω 2 R.

Al resolver el problema presentado en este capítulo, es necesario comprender claramente que la rotación es el movimiento de un cuerpo rígido, no de un punto. Un solo punto material no gira, sino que se mueve en un círculo: hace un movimiento curvilíneo.

§ 33. Movimiento de rotación uniforme

Si la velocidad angular ω=const, entonces el movimiento de rotación se llama uniforme.

La ecuación de rotación uniforme tiene la forma
φ = φ 0 + ωt.

En un caso particular, cuando el ángulo inicial de rotación φ 0 =0,
φ = ωt.

Velocidad angular de un cuerpo que gira uniformemente
ω = φ/t
también se puede expresar así:
ω = 2π/T,
donde T es el período de rotación del cuerpo; φ=2π - ángulo de rotación para un período.

§ 34. Movimiento de rotación igualmente variable

El movimiento de rotación con velocidad angular variable se denomina no uniforme (ver § 35 a continuación). Si la aceleración angular ε=const, entonces el movimiento de rotación se llama igualmente variable. Así, la rotación igualmente variable del cuerpo es un caso especial de movimiento de rotación no uniforme.

Ecuación de rotación de igual variable
(1) φ = φ 0 + ω 0 t + εt 2 /2
y una ecuación que expresa la velocidad angular del cuerpo en cualquier momento,
(2) ω = ω 0 + εt
representan un conjunto de fórmulas básicas para el movimiento rotacional uniforme del cuerpo.

Estas fórmulas incluyen solo seis cantidades: tres constantes para este problema φ 0 , ω 0 y ε y tres variables φ, ω y t. Por tanto, la condición de cada problema para rotación igualmente variable debe contener al menos cuatro valores dados.

Por conveniencia de resolver algunos problemas, las ecuaciones (1) y (2) pueden usarse para obtener dos fórmulas auxiliares más.

Excluyamos de (1) y (2) la aceleración angular ε:
(3) φ = φ 0 + (ω + ω 0)t/2.

Excluyamos de (1) y (2) el tiempo t:
(4) φ = φ 0 + (ω 2 - ω 0 2)/(2ε).

En el caso particular de la rotación uniformemente acelerada, que parte de un estado de reposo, φ 0 =0 y ω 0 =0. Por lo tanto, las fórmulas principal y auxiliar anteriores toman la siguiente forma:
(5) φ = εt 2 /2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω 2 /(2ε).

§ 35. Movimiento de rotación desigual

Considere un ejemplo de resolución de un problema en el que se da un movimiento de rotación no uniforme de un cuerpo.