El uso de ecuaciones está muy extendido en nuestras vidas. Se utilizan en muchos cálculos, construcción de estructuras e incluso deportes. Las ecuaciones han sido utilizadas por el hombre desde la antigüedad y desde entonces su uso no ha hecho más que aumentar. Las soluciones de este tipo de ecuaciones se pueden realizar de acuerdo con el esquema general para resolver ecuaciones de grados superiores. Ecuaciones de este tipo tienen solución en radicales gracias al método de Ferrari, que permite reducir las soluciones a una ecuación cúbica. Sin embargo, en la mayoría de los casos, al factorizar un polinomio, es posible encontrar rápidamente una solución a la ecuación.
Supongamos que nos dan una ecuación binomial de cuarto grado:
Factoricemos \ en factores polinómicos:
Determinamos las raíces del primer trinomio cuadrado:
Determinamos las raíces del segundo trinomio:
Como resultado, la ecuación original tiene cuatro raíces complejas:
¿Dónde puedo resolver ecuaciones de cuarto grado en línea?
Puede resolver la ecuación en nuestro sitio web https: // sitio. El solucionador en línea gratuito le permitirá resolver una ecuación en línea de cualquier complejidad en segundos. Todo lo que tiene que hacer es ingresar sus datos en el solucionador. También puede ver las instrucciones en video y aprender a resolver la ecuación en nuestro sitio web. Y si tiene alguna pregunta, puede hacerla en nuestro grupo Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Únase a nuestro grupo, siempre estamos felices de ayudarlo.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0
Primero necesita usar el método de selección para encontrar una raíz. Suele ser el divisor del término libre. En este caso, los divisores del número 12 son ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Comencemos sustituyéndolos a su vez:
1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ número 1
-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ número -1 no es raíz de un polinomio
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ número 2 es la raiz del polinomio
Hemos encontrado 1 de las raíces del polinomio. La raíz del polinomio es 2, lo que significa que el polinomio original debe ser divisible por x - 2. Para realizar la división de polinomios utilizamos el esquema de Horner:
| 2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
| 2 |
La línea superior contiene los coeficientes del polinomio original. En la primera celda de la segunda fila, ponemos la raíz que encontramos 2. La segunda línea contiene los coeficientes del polinomio, que se obtendrán como resultado de la división. Cuentan así:
| En la segunda celda de la segunda fila, escribe el número 2, simplemente moviéndolo desde la celda correspondiente de la primera fila. | ||||||||||||
| 2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
| 2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
| 2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
| 2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
El último número es el resto de la división. Si es igual a 0, entonces contamos todo correctamente.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)
Pero, este no es el final. Puedes intentar expandir el polinomio de la misma manera 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.
Nuevamente buscamos la raíz entre los divisores del término libre. Divisores de números -6 son ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ número 1 no es raíz de un polinomio
-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ número -1 no es raíz de un polinomio
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ número 2 no es raíz de un polinomio
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ número -2 es la raiz del polinomio
Escribamos la raíz encontrada en nuestro esquema de Horner y comencemos a llenar las celdas vacías:
| En la segunda celda de la tercera fila, escribe el número 2, simplemente moviéndolo desde la celda correspondiente de la segunda fila. | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
Así, factorizamos el polinomio original:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)
Polinomio 2x 2 + 5x - 3 también se puede factorizar. Para ello, puedes resolver la ecuación cuadrática a través del discriminante, o puedes buscar la raíz entre los divisores del número -3. De una forma u otra, llegaremos a la conclusión de que la raíz de este polinomio es el número -3
| En la segunda celda de la cuarta fila, escribe el número 2, simplemente transfiriéndolo desde la celda correspondiente de la tercera fila. | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
Por lo tanto, descomponemos el polinomio original en factores lineales.
Objetivos:
- Sistematizar y generalizar conocimientos y habilidades sobre el tema: Soluciones de ecuaciones de tercer y cuarto grado.
- Profundizar en el conocimiento mediante la realización de una serie de tareas, algunas de las cuales no son conocidas ni en su tipo ni en la forma de resolverlas.
- Formación de interés por las matemáticas a través del estudio de nuevos capítulos de las matemáticas, educación de la cultura gráfica a través de la construcción de gráficas de ecuaciones.
tipo de lección: combinado.
Equipo: proyector gráfico.
Visibilidad: tabla "Teorema de Vieta".
durante las clases
1. Cuenta mental
a) ¿Cuál es el resto de la división del polinomio p n (x) \u003d a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 por el binomio x-a?
b) ¿Cuántas raíces puede tener una ecuación cúbica?
c) ¿Con qué ayuda resolvemos la ecuación de tercer y cuarto grado?
d) Si b es un número par en la ecuación cuadrática, entonces ¿cuál es D y x 1, x 2
2. Trabajo independiente (en grupos)
Hacer una ecuación si se conocen las raíces (las respuestas a las tareas están codificadas) Usar el "Teorema de Vieta"
1 grupo
Raíces: x 1 = 1; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; ×4 = 6
Escribe una ecuación:
B=1 -2-3+6=2; b=-2
c=-2-3+6+6-12-18=-23; c= -23
d=6-12+36-18=12; d=-12
e=1(-2)(-3)6=36
x4-2x3 - 23x2 - 12x + 36 = 0(esta ecuación luego la resuelve el grupo 2 en la pizarra)
Solución . Buscamos raíces enteras entre los divisores del número 36.
p = ±1; ±2; ±3; ±4; ±6…
p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 El número 1 satisface la ecuación, por lo tanto =1 es la raíz de la ecuación. esquema de horner
p 3 (x) = x 3 -x 2 -24x -36
p 3 (-2) \u003d -8 -4 +48 -36 \u003d 0, x 2 \u003d -2
p 2 (x) \u003d x 2 -3x -18 \u003d 0
x 3 \u003d -3, x 4 \u003d 6
Respuesta: 1; -2; -3; 6 la suma de las raíces 2 (P)
2 grupo
Raíces: x 1 \u003d -1; x2 = x3 =2; x 4 \u003d 5
Escribe una ecuación:
B=-1+2+2+5-8; b=-8
c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15
D=-4-10+20-10=-4; re=4
e=2(-1)2*5=-20;e=-20
8 + 15 + 4x-20 \u003d 0 (el grupo 3 resuelve esta ecuación en la pizarra)
p = ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20.
p 4 (1) = 1-8 + 15 + 4-20 = -8
p4 (-1)=1+8+15-4-20=0
p 3 (x) \u003d x 3 -9x 2 + 24x -20
p 3 (2) \u003d 8 -36 + 48 -20 \u003d 0
p 2 (x) \u003d x 2 -7x + 10 \u003d 0 x 1 \u003d 2; x 2 \u003d 5
Respuesta: -1;2;2;5 suma de raíces 8(P)
3 grupo
Raíces: x 1 \u003d -1; x2 = 1; x 3 \u003d -2; x 4 \u003d 3
Escribe una ecuación:
B=-1+1-2+3=1;b=-1
s=-1+2-3-2+3-6=-7;s=-7
D=2+6-3-6=-1; re=1
e=-1*1*(-2)*3=6
x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(esta ecuación se resuelve más adelante en la pizarra por el grupo 4)
Solución. Buscamos raíces enteras entre los divisores del número 6.
p = ±1, ±2, ±3, ±6
p 4 (1) = 1-1-7 + 1 + 6 = 0
p 3 (x) = x 3 - 7x -6
p 3 (-1) \u003d -1 + 7-6 \u003d 0
p2(x) = x2 -x -6=0; x 1 \u003d -2; x 2 \u003d 3
Respuesta: -1; 1; -2; 3 La suma de las raíces 1 (O)
4 grupo
Raíces: x 1 = -2; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x4 = -3
Escribe una ecuación:
B=-2-2-3+3=-4; b=4
c=4+6-6+6-6-9=-5; c=-5
D=-12+12+18+18=36; d=-36
e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36
x 4+4x 3 - 5x 2 - 36x -36 = 0(esta ecuación se resuelve luego por el grupo 5 en la pizarra)
Solución. Buscamos raíces enteras entre los divisores del número -36
p = ±1; ±2; ±3…
p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72
p 4 (-2) \u003d 16 -32 -20 + 72 -36 \u003d 0
p 3 (x) \u003d x 3 + 2x 2 -9x-18 \u003d 0
p 3 (-2) \u003d -8 + 8 + 18-18 \u003d 0
p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3
Respuesta: -2; -2; -3; 3 Suma de raíces-4 (F)
5 grupo
Raíces: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x4 = -4
escribir una ecuacion
x4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(esta ecuación luego es resuelta por el sexto grupo en el tablero)
Solución . Buscamos raíces enteras entre los divisores del número 24.
p = ±1, ±2, ±3
p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
p 3 (x) \u003d x- 3 + 9x 2 + 26x + 24 \u003d 0
p 3 (-2) \u003d -8 + 36-52 + 24 \u003d O
p 2 (x) \u003d x 2 + 7x + 12 \u003d 0
Respuesta: -1; -2; -3; -4 suma-10 (I)
6 grupo
Raíces: x 1 = 1; x2 = 1; x 3 \u003d -3; ×4 = 8
escribir una ecuacion
B=1+1-3+8=7;b=-7
c=1 -3+8-3+8-24= -13
D=-3-24+8-24=-43; re=43
x 4 - 7x 3- 13x 2 + 43X - 24 = 0 (esta ecuación es luego resuelta por 1 grupo en el pizarrón)
Solución . Estamos buscando raíces enteras entre los divisores del número -24.
p 4 (1) = 1-7-13 + 43-24 = 0
p 3 (1) = 1-6-19 + 24 = 0
p 2 (x) \u003d x 2 -5x - 24 \u003d 0
x 3 \u003d -3, x 4 \u003d 8
Respuesta: 1; 1; -3; 8 suma 7 (L)
3. Solución de ecuaciones con un parámetro
1. Resuelva la ecuación x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; si una de las raices es (-1)
Responde en orden ascendente
R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0
x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0
Por condición x 1 = - 1; D=1+15=16
P 2 (x) \u003d x 2 + 2x-15 \u003d 0
x2 \u003d -1-4 \u003d -5;
x 3 \u003d -1 + 4 \u003d 3;
Respuesta: - 1, -5; 3
En orden ascendente: -5;-1;3. (b n s)
2. Hallar todas las raíces del polinomio x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6, si los restos de su división en binomios x-1 y x + 2 son iguales.
Solución: R \u003d R 3 (1) \u003d R 3 (-2)
P 3 (1) \u003d 1-3 + a- 2a + 6 \u003d 4-a
P 3 (-2) \u003d -8-12-2a-2a + 6 \u003d -14-4a
x 3 -3x 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -3x 2 -6x + 18
x2 (x-3)-6(x-3) = 0
(x-3)(x2-6) = 0
3) a \u003d 0, x 2 -0 * x 2 +0 \u003d 0; x2 = 0; x 4 \u003d 0
a=0; x=0; x=1
a>0; x=1; x=a ± √a
2. Escribe una ecuación
1 grupo. Raíces: -4; -2; 1; 7;
2 grupo. Raíces: -3; -2; 1; 2;
3 grupo. Raíces: -1; 2; 6; 10;
4 grupo. Raíces: -3; 2; 2; 5;
5 grupo. Raíces: -5; -2; 2; 4;
6 grupo. Raíces: -8; -2; 6; 7.
En el caso general, la solución de una ecuación de cuarto grado se realiza utilizando métodos de resolución de ecuaciones de grados superiores, por ejemplo, el método de Ferrari o utilizando el esquema de Horner. Pero algunas ecuaciones de cuarto grado tienen una solución más sencilla.
Hay varios tipos especiales de ecuaciones de cuarto grado, que aprenderá a resolver a continuación:
- Ecuación bicuadrática $ax^4+bx^2+c=0$;
- Devolver ecuaciones de la forma $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$;
- Ecuaciones de la forma $ax^4+b=0$.
Solución de ecuaciones bicuadráticas de cuarto grado
Las ecuaciones bicuadráticas $ax^4+bx^2+c=0$ se reducen a cuadráticas reemplazando la variable $x^2$ por una nueva, por ejemplo, con $y$. Después del reemplazo, la nueva ecuación resultante se resuelve y luego el valor de la variable encontrada se sustituye en la ecuación $x^2=y$. El resultado de la solución serán las raíces de la ecuación $x^2=y$.
Ejemplo 1
Resuelve la ecuación $x(x-1)(x-2)(x-3)=24$:
Expandamos los corchetes en el polinomio:
$(x^2-3x)(x^2-3x+2)=24$
De esta forma, se vuelve obvio que la expresión $y=x^2-3x$ se puede elegir como una nueva variable, sustituyémosla:
$y \cdot (y+2)=24$
Ahora resolvemos dos ecuaciones cuadráticas $x^2-3x=-4$ y $x^2-3x=-6$.
Las raíces de la primera ecuación son $x_1(1,2)=4;-1$, la segunda no tiene solución.
Solución de ecuaciones recíprocas de 4° grado
Estas ecuaciones de la forma $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ repiten con sus coeficientes en términos más bajos los coeficientes en polinomios con grados más altos. Para resolver tal ecuación, primero divídela entre $x^2$:
$ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0|:x^2$
$ax^2+bx+c+\frac(b)(x) + \frac(a)(x^2)=0$
$a(x^2+\frac(1)(x^2))+b(x+\frac(1)(x)) + c=0$
Luego reemplaza $(x+\frac(1)(x))$ con una nueva variable, luego $(x^2+\frac(1)(x^2))=y^2-2$, después de la sustitución obtenemos el siguiente cuadrado de la ecuación:
$a(y^2-2)+por+c=0$
Después de eso, buscamos las raíces de las ecuaciones $x+\frac(1)(x)=y_1$ y $x+\frac(1)(x)=y_2$.
Las ecuaciones recurrentes de la forma $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$ se resuelven con un método similar.
Ejemplo 2
Resuelve la ecuación:
$3x^4-2x^3-9x^2-4x+12=0$
Esta ecuación es una ecuación recíproca de la forma $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$. Por lo tanto, dividimos toda la ecuación por $x^2$:
$3x^2-2x-9 \cdot \frac(2 \cdot 2)(x)+3 \cdot (\frac(2)(x))^2=0$
$3(x^2+\frac(4)(x^2))-2(x+\frac(2)(x)-9=0$
Reemplacemos la expresión $x+\frac(2)(x)$: $3(y^2-4)-2y-9=0$
Calculemos las raíces de esta ecuación, son iguales a $y_1=3$ y $y_2=-\frac(7)(3)$.
En consecuencia, ahora es necesario resolver dos ecuaciones $x+\frac(2)(x)=3$ y $x+\frac(2)(x)=-\frac(7)(3)$. La solución de la primera ecuación es $x_1=1, x_2=2$, la segunda ecuación no tiene raíces.
Por lo tanto, las raíces de la ecuación original son $x_1=1, x_2=2$.
Ecuaciones de la forma $ax^4+b=0$
Las raíces de una ecuación de este tipo se encuentran usando las fórmulas de la multiplicación abreviada.
2. Ecuación Si se incluye una letra en la igualdad, entonces la igualdad se llama ecuación.
La ecuación puede ser cierta para algunos valores de esta letra
e incorrecto para otros valores.
Por ejemplo, la ecuación x + 6 = 7
cierto para x = 1
y falso para x = 2 .
3.
Ecuaciones equivalentes La ecuación lineal tiene la forma ax + by + c = 0 .
Por ejemplo: 5x - 4y + 6 = 0 .
Expresar y:
⇒ 4y = 5x + 6 ⇒ y =
| 5x+6 |
| 4 |
⇒ y = 1,25x + 1,5 .
La ecuación resultante, que es equivalente a la primera, tiene la forma
y = kx + m ,
donde: x - variable independiente (argumento);
y - variable dependiente (función);
k y m - coeficientes (parámetros).
4 Ecuaciones equivalentes
Las dos ecuaciones se llaman equivalente (equivalente) si los conjuntos de todas sus soluciones coinciden o ambos no tienen solución y se denota .
5/Ecuación de primer grado.
La ecuación de primer grado se puede reducir a la forma:
hacha+b = 0,
Dónde X- variable, a Y b son algunos números y a ≠ 0.
A partir de aquí es fácil deducir el valor X:
b
x = - -
a
Este valor X es la raíz de la ecuación.
Las ecuaciones de primer grado tienen una raíz.
Ecuación de segundo grado.
La ecuación de segundo grado se puede reducir a la forma:
ax2 + bx + c = 0,
Dónde X- variable, a B C son algunos números y a ≠ 0.
El número de raíces de la ecuación de segundo grado depende del discriminante:
Si D > 0, entonces la ecuación tiene dos raíces;
Si D = 0, entonces la ecuación tiene una raíz;
Si D< 0, то уравнение корней не имеет.
Una ecuación de segundo grado no puede tener más de dos raíces.
(Para obtener información sobre qué es un discriminante y cómo encontrar las raíces de una ecuación, consulte las secciones "Fórmulas para las raíces de una ecuación cuadrática. Discriminante" y "Otra forma de resolver una ecuación cuadrática").
Ecuación de tercer grado.
La ecuación de tercer grado se puede reducir a la forma:
hacha 3 + bx 2 + cx + d = 0,
Dónde X- variable, a B C D son algunos números y a ≠ 0.
Una ecuación de tercer grado no puede tener más de tres raíces.
Ecuación de cuarto grado.
La ecuación de cuarto grado se puede reducir a la forma:
hacha 4 + bx 3 + cx 2 + dx+e = 0,
Dónde X- variable, a B C D e son algunos números y a ≠ 0.
Una ecuación de tercer grado no puede tener más de cuatro raíces.
Generalización:
1) la ecuación de la quinta, sexta, etc. los grados se pueden derivar fácilmente de forma independiente, siguiendo el esquema anterior;
2) ecuación norte-th grado no puede tener más de norte raíces.
6/ Una ecuación con una variable es una ecuación que contiene una sola variable. La raíz (o solución) de una ecuación es el valor de la variable en el que la ecuación se convierte en una verdadera igualdad numérica.
1. 8/-11/Sistemas de ecuaciones lineales: conceptos básicos Sistema de ecuaciones lineales.
Sistemas inconsistentes e indefinidos de ecuaciones lineales. Conjunto de ecuaciones lineales Conjunto de ecuaciones lineales conjuntas e incompatibles.
Sistema de ecuaciones lineales es la unión de norte ecuaciones lineales, cada una de las cuales contiene k variables Está escrito así:
Muchos, cuando se enfrentan por primera vez al álgebra superior, creen erróneamente que el número de ecuaciones necesariamente debe coincidir con el número de variables. En el álgebra escolar, este suele ser el caso, pero para el álgebra superior, en términos generales, no es cierto.
Resolver un sistema de ecuaciones es una secuencia de números ( k 1 , k 2 , ..., kn), que es una solución para cada ecuación del sistema, es decir al sustituir en esta ecuación en lugar de variables X 1 , X 2 , ..., x norte da el valor numérico correcto.
En consecuencia, resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar el conjunto de todas sus soluciones o demostrar que este conjunto está vacío. Dado que el número de ecuaciones y el número de incógnitas pueden no ser los mismos, son posibles tres casos:
1. El sistema es inconsistente, i.e. el conjunto de todas las soluciones está vacío. Un caso bastante raro que se detecta fácilmente independientemente del método para resolver el sistema.
2. El sistema es consistente y definido, es decir tiene exactamente una solución. La versión clásica, muy conocida desde la escuela.
3. El sistema es compatible y no está definido, es decir tiene infinitas soluciones. Esta es la opción más difícil. No es suficiente afirmar que "el sistema tiene un conjunto infinito de soluciones", es necesario describir cómo se organiza este conjunto.
Variable x yo llamado permitido, si está incluida en una sola ecuación del sistema, y con coeficiente 1. Es decir, en las restantes ecuaciones, el coeficiente de la variable x yo debe ser igual a cero.
Si seleccionamos una variable permitida en cada ecuación, obtenemos un conjunto de variables permitidas para todo el sistema de ecuaciones. El sistema en sí, escrito de esta forma, también se llamará permitido. En términos generales, un mismo sistema inicial puede reducirse a diferentes sistemas permitidos, pero esto no nos preocupa ahora. Estos son ejemplos de sistemas permitidos:
Ambos sistemas están permitidos con respecto a las variables. X 1 , X 3 y X 4 . Sin embargo, con el mismo éxito se puede argumentar que el segundo sistema se permite relativamente X 1 , X 3 y X 5 . Basta con reescribir la última ecuación como X 5 = X 4 .
Consideremos ahora un caso más general. déjanos tener todo k variables, de las cuales r están permitidos. Entonces son posibles dos casos:
1. Número de variables permitidas r es igual al número total de variables k: r = k. Obtenemos el sistema de k ecuaciones en las que r = k variables permitidas. Tal sistema es colaborativo y definido, porque X 1 = b 1 , X 2 = b 2 , ..., x k = b k;
2. Número de variables permitidas r menos que el número total de variables k: r < k. El resto ( k − r) las variables se llaman libres: pueden tomar cualquier valor a partir del cual las variables permitidas se calculan fácilmente.
Así, en los sistemas anteriores, las variables X 2 , X 5 , X 6 (para el primer sistema) y X 2 , X 5 (para el segundo) son gratis. El caso cuando hay variables libres se formula mejor como un teorema:
Tenga en cuenta: ¡este es un punto muy importante! Dependiendo de cómo escriba el sistema resultante, la misma variable puede ser tanto permitida como libre. La mayoría de los tutores de matemáticas avanzados recomiendan escribir las variables en orden lexicográfico, es decir, índice ascendente. Sin embargo, no tienes que seguir este consejo en absoluto.
Teorema. Si en el sistema de norte ecuaciones variables X 1 , X 2 , ..., x r- permitido, y x r + 1 , x r + 2 , ..., x k- gratis, entonces:
1. Si establece los valores de las variables libres ( x r + 1 = r + 1 , x r + 2 = r + 2 , ..., x k = t k) y luego encontrar los valores X 1 , X 2 , ..., x r, obtenemos una de las soluciones.
2. Si los valores de las variables libres en dos soluciones coinciden, entonces los valores de las variables permitidas también coinciden, es decir las soluciones son iguales.
¿Cuál es el significado de este teorema? Para obtener todas las soluciones del sistema de ecuaciones permitido, basta con seleccionar las variables libres. Luego, al asignar diferentes valores a las variables libres, obtendremos soluciones listas para usar. Eso es todo: de esta manera puede obtener todas las soluciones del sistema. No hay otras soluciones.
Conclusión: el sistema de ecuaciones permitido es siempre consistente. Si el número de ecuaciones en el sistema permitido es igual al número de variables, el sistema será definido; si es menor, será indefinido.
Se forman varias ecuaciones Conjunto de ecuaciones
2. 12.13/ Desigualdad lineal./ Desigualdades estrictas y no estrictas ¿Qué es ¿desigualdad? Se toma cualquier ecuación, el signo "=" ("igual") se reemplaza por otro icono ( > ;≥ ; < ; ≤ ; ≠ ) y se obtiene una desigualdad.) La ecuación puede ser cualquiera: lineal, cuadrada, fraccionaria, exponencial, trigonométrica, logarítmica, etc. etcétera. En consecuencia, obtendremos desigualdades lineales, cuadradas, etc.
¿Qué necesitas saber sobre los íconos de desigualdad? Desigualdades de iconos más (> ), o menos (< ) son llamados estricto. con iconos más o igual (≥ ), menor o igual (≤ ) son llamados no estricto Icono no es igual (≠ ) es independiente, pero también tiene que resolver ejemplos con dicho ícono todo el tiempo. Y lo haremos.)
El ícono en sí no tiene mucho efecto en el proceso de solución. Pero al final de la solución, al elegir la respuesta final, ¡el significado del ícono aparece con toda su fuerza! Como veremos a continuación, en los ejemplos. Hay algunos chistes...
Las desigualdades, como las igualdades, son fiel e infiel. Aquí todo es simple, sin trucos. digamos 5 > 2 es la desigualdad correcta. 5 < 2 es incorrecto.
Las desigualdades lineales, cuadradas, fraccionarias, exponenciales, trigonométricas y otras se resuelven de diferentes maneras. Cada especie tiene su propia manera, su propia técnica especial. ¡Pero! Todas estas técnicas especiales se pueden aplicar sólo a algún tipo estándar de desigualdad. Aquellos. la desigualdad de cualquier tipo debe primero preparar para usar su método.
3. 14,16/Principales propiedades de las desigualdades/. Acciones con dos desigualdades.
1) Si 
2) Propiedad de transitividad. Si
3) Si sumamos el mismo número a ambas partes de una desigualdad verdadera, entonces obtenemos una desigualdad verdadera, es decir Si
4) Si se traslada cualquier término de una parte de una desigualdad verdadera a otra, cambiando su signo al contrario, se obtendrá una desigualdad verdadera, es decir Si
5) Si ambas partes de una desigualdad verdadera se multiplican por el mismo número positivo, entonces se obtendrá una desigualdad verdadera. Por ejemplo, si
6) Si ambas partes de la desigualdad correcta se multiplican por el mismo número negativo y cambiar el signo de desigualdad al contrario, entonces obtenemos la desigualdad correcta. Por ejemplo, si
7) Similar a las reglas 5) y 6), se aplican las reglas para dividir por el mismo número. Si 
