Eksponent se koristi da bi se olakšalo pisanje operacije množenja broja samim sobom. Na primjer, umjesto pisanja, možete pisati 4 5 (\displaystyle 4^(5))(objašnjenje takvog prijelaza je dato u prvom dijelu ovog članka). Moći olakšavaju pisanje dugih ili složenih izraza ili jednačina; također, potencije se lako dodaju i oduzimaju, što rezultira pojednostavljenjem izraza ili jednačine (na primjer, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).
Bilješka: ako trebate riješiti eksponencijalnu jednačinu (u takvoj jednadžbi nepoznata je u eksponentu), pročitajte.
Koraci
Rješavanje jednostavnih problema s moćima
- Provjerite svoj odgovor na Google-u. Pomoću tastera "^" na tastaturi računara unesite izraz u pretraživač, koji će odmah prikazati tačan odgovor (i eventualno predložiti slične izraze za proučavanje).
-
Potencije možete sabirati i oduzimati samo ako imaju istu osnovu. Ako trebate zbrajati stepene s istim bazama i eksponentima, tada operaciju sabiranja možete zamijeniti operacijom množenja. Na primjer, s obzirom na izraz 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Zapamtite da je diploma 4 5 (\displaystyle 4^(5)) može se predstaviti kao 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); dakle, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(gdje je 1 +1 =2). Odnosno, prebrojite broj sličnih stepeni, a zatim pomnožite takav stepen i ovaj broj. U našem primjeru podignite 4 na peti stepen, a zatim pomnožite rezultat sa 2. Zapamtite da se operacija sabiranja može zamijeniti operacijom množenja, na primjer, 3 + 3 = 2∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Evo drugih primjera:
Prilikom množenja stepena sa istom osnovom, njihovi eksponenti se sabiraju (osnova se ne mijenja). Na primjer, s obzirom na izraz x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). U ovom slučaju, samo trebate dodati indikatore, ostavljajući bazu nepromijenjenom. dakle, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Evo vizuelnog objašnjenja ovog pravila:
Kada se stepen podiže na stepen, eksponenti se množe. Na primjer, s obzirom na diplomu (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5)). Pošto se eksponenti množe, onda (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Značenje ovog pravila je da množite snagu (x 2) (\displaystyle (x^(2))) na sebe pet puta. Volim ovo:
Eksponent sa negativnim eksponentom treba pretvoriti u razlomak (u inverzni stepen). Nije važno ako ne znate šta je recipročnost. Ako vam je dat stepen sa negativnim eksponentom, na primjer, 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), upišite ovaj stepen u nazivnik razlomka (stavite 1 u brojilac), a eksponent učinite pozitivnim. U našem primjeru: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Evo drugih primjera:
Prilikom dijeljenja potencija sa istom osnovom, njihovi eksponenti se oduzimaju (baza se ne mijenja). Operacija dijeljenja je suprotna operaciji množenja. Na primjer, s obzirom na izraz 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Oduzmite eksponent u nazivniku od eksponenta u brojniku (ne mijenjajte bazu). dakle, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .
Ispod su neki izrazi koji će vam pomoći da naučite kako riješiti probleme sa napajanjem. Gore navedeni izrazi pokrivaju materijal predstavljen u ovom dijelu. Da vidite odgovor, samo označite prazan prostor iza znaka jednakosti.
Pomnožite bazu eksponenta samu po sebi broj puta jednak eksponentu. Ako trebate ručno riješiti problem s eksponentima, prepišite eksponent kao operaciju množenja, gdje se baza eksponenta množi sama sa sobom. Na primjer, s obzirom na diplomu 3 4 (\displaystyle 3^(4)). U ovom slučaju, osnova stepena 3 mora se pomnožiti sama sa sobom 4 puta: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Evo drugih primjera:
Prvo, pomnožite prva dva broja. Na primjer, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Ne brinite - proces izračunavanja nije tako komplikovan kao što se čini na prvi pogled. Prvo pomnožite prve dvije četvorke, a zatim ih zamijenite rezultatom. Volim ovo:
Pomnožite rezultat (16 u našem primjeru) sljedećim brojem. Svaki sljedeći rezultat će se proporcionalno povećavati. U našem primjeru, pomnožite 16 sa 4. Ovako:
Riješite sljedeće probleme. Provjerite svoj odgovor pomoću kalkulatora.
Na kalkulatoru potražite ključ s oznakom "exp" ili " x n (\displaystyle x^(n)) ", ili "^". Ovim tasterom ćete podići broj na stepen. Praktično je nemoguće ručno izračunati stepen sa velikim eksponentom (na primjer, stepen 9 15 (\displaystyle 9^(15))), ali kalkulator se lako može nositi s ovim zadatkom. U Windows 7, standardni kalkulator se može prebaciti u inženjerski način rada; da biste to učinili, kliknite na "Prikaz" -\u003e "Inženjering". Da biste se prebacili na normalni način rada, kliknite na "Prikaz" -\u003e "Normalno".
Zbrajanje, oduzimanje, množenje potencija
Rješavanje zadataka s razlomačnim eksponentima
Stepen sa razlomkom eksponenta (na primjer, x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) ) se pretvara u operaciju ekstrakcije korijena. U našem primjeru: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Nije bitno koji je broj u nazivniku razlomka. Na primjer, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) je četvrti korijen od "x" x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .
U ovom članku ćemo razumjeti šta je stepen of. Ovdje ćemo dati definicije stepena broja, uz detaljno razmatranje svih mogućih eksponenta stepena, počevši od prirodnog eksponenta, završavajući sa iracionalnim. U materijalu ćete pronaći mnogo primjera stupnjeva koji pokrivaju sve suptilnosti koje se pojavljuju.
Navigacija po stranici.
Stepen sa prirodnim eksponentom, kvadrat broja, kocka broja
Počnimo sa . Gledajući unaprijed, recimo da je definicija stepena a sa prirodnim eksponentom n data za a , koji ćemo nazvati osnova stepena, i n , koje ćemo nazvati eksponent. Također imajte na umu da se stepen s prirodnim indikatorom određuje kroz proizvod, tako da da biste razumjeli materijal u nastavku, morate imati ideju o množenju brojeva.
Definicija.
Potencija broja a sa prirodnim eksponentom n je izraz oblika a n , čija je vrijednost jednaka proizvodu n faktora, od kojih je svaki jednak a , odnosno, .
Konkretno, stepen broja a sa eksponentom 1 je sam broj a, odnosno a 1 =a.
Odmah je vrijedno spomenuti pravila za čitanje diploma. Univerzalni način čitanja unosa a n je: "a na stepen n". U nekim slučajevima su prihvatljive i takve opcije: "a na n-ti stepen" i "n-ti stepen broja a". Na primjer, uzmimo stepen 8 12, ovo je "osam na stepen od dvanaest", ili "osam na dvanaesti stepen", ili "dvanaesti stepen od osam".
Drugi stepen broja, kao i treći stepen broja, imaju svoja imena. Drugi stepen broja se zove kvadrat broja, na primjer, 7 2 se čita kao "sedam na kvadrat" ili "kvadrat broja sedam". Treći stepen broja se zove broj kocke, na primjer, 5 3 se može pročitati kao "pet kocki" ili reći "kocka broja 5".
Vrijeme je da donesete primjeri stupnjeva sa fizičkim pokazateljima. Počnimo sa stepenom 5 7 , gdje je 5 osnova stepena, a 7 eksponent. Navedimo još jedan primjer: 4,32 je baza, a prirodni broj 9 je eksponent (4,32) 9 .
Imajte na umu da je u posljednjem primjeru osnova stepena 4.32 napisana u zagradama: da bismo izbjegli neslaganja, u zagradama ćemo uzeti sve baze stepena koje se razlikuju od prirodnih brojeva. Kao primjer dajemo sljedeće stepene sa prirodnim pokazateljima 
, njihove baze nisu prirodni brojevi, pa se pišu u zagradama. Pa, radi potpune jasnoće u ovom trenutku, pokazaćemo razliku sadržanu u zapisima oblika (−2) 3 i −2 3 . Izraz (−2) 3 je stepen −2 sa prirodnim eksponentom 3, a izraz −2 3 (može se napisati kao −(2 3) ) odgovara broju, vrijednosti stepena 2 3 .
Imajte na umu da postoji oznaka za stepen a sa eksponentom n oblika a^n . Štaviše, ako je n viševrijedan prirodan broj, eksponent se uzima u zagrade. Na primjer, 4^9 je još jedna notacija za potenciju 4 9 . A evo još primjera pisanja stupnjeva pomoću simbola “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . U nastavku ćemo uglavnom koristiti zapis stepena oblika a n .
Jedan od problema, obrnuto od eksponencijacije sa prirodnim eksponentom, je problem pronalaženja baze stepena iz poznate vrijednosti stepena i poznatog eksponenta. Ovaj zadatak vodi do .
Poznato je da se skup racionalnih brojeva sastoji od cijelih i razlomačkih brojeva, a svaki razlomak se može predstaviti kao pozitivan ili negativan obični razlomak. Stepen smo definisali celobrojnim eksponentom u prethodnom pasusu, stoga, da bismo završili definiciju stepena sa racionalnim eksponentom, treba da damo značenje stepena broja a sa razlomačnim eksponentom m / n, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj. Hajde da to uradimo.
Razmotrimo stepen sa razlomkom eksponenta oblika . Da bi svojstvo stepena u stepenu ostalo validno, jednakost mora da važi 
. Ako uzmemo u obzir rezultirajuću jednakost i način na koji smo definirali , onda je logično prihvatiti, pod uvjetom da za date m, n i a izraz ima smisla.
Lako je provjeriti da su sva svojstva stepena sa cijelim eksponentom valjana za as (ovo se radi u odjeljku o svojstvima stepena sa racionalnim eksponentom).
Gornje rezonovanje nam omogućava da napravimo sljedeće zaključak: ako za date m, n i a izraz ima smisla, onda je potencija broja a sa razlomnim eksponentom m / n korijen n-tog stepena a na stepen m.
Ova izjava nas približava definiciji stepena sa razlomkom eksponenta. Ostaje samo da se opiše za koje m, n i a izraz ima smisla. U zavisnosti od ograničenja nametnutih na m , n i a, postoje dva glavna pristupa.
Najlakši način da se ograniči a je pretpostaviti a≥0 za pozitivno m i a>0 za negativno m (jer m≤0 nema snagu od 0 m). Tada dobijamo sljedeću definiciju stepena sa razlomkom eksponenta.
Definicija.
Potencija pozitivnog broja a sa razlomanim eksponentom m/n, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj, naziva se korijenom n-tog broja a na stepen m, to jest, .
Dio stepena nule je također definiran uz jedino upozorenje da eksponent mora biti pozitivan.
Definicija.
Potencija nule sa razlomanim pozitivnim eksponentom m/n, gdje je m pozitivan cijeli broj, a n prirodan broj, definira se kao 
.
Kada stepen nije definisan, odnosno stepen broja nula sa razlomačnim negativnim eksponentom nema smisla.
Treba napomenuti da kod takve definicije stepena sa razlomačnim eksponentom postoji jedna nijansa: za neke negativne a i neke m i n izraz ima smisla, te smo ove slučajeve odbacili uvođenjem uslova a≥0 . Na primjer, ima smisla pisati 
ili , i gornja definicija nas tjera da kažemo da stupnjevi s razlomkom eksponenta oblika 
su besmislene, jer baza ne smije biti negativna.
Drugi pristup određivanju stepena sa razlomanim eksponentom m/n je da se odvojeno razmatraju parni i neparni eksponenti korena. Ovaj pristup zahtijeva dodatni uslov: stepen broja a, čiji je eksponent , smatra se stepenom broja a, čiji je eksponent odgovarajući nesvodljivi razlomak (važnost ovog uslova će biti objašnjena u nastavku). To jest, ako je m/n nesvodljiv razlomak, tada se za bilo koji prirodan broj k stepen prvo zamjenjuje sa .
Za paran n i pozitivno m, izraz ima smisla za bilo koje nenegativno a (korijen parnog stepena iz negativnog broja nema smisla), za negativno m, broj a i dalje mora biti različit od nule (inače podjela za nulu će se dogoditi). A za neparan n i pozitivan m, broj a može biti bilo šta (korijen neparnog stepena je definiran za bilo koji realan broj), a za negativan m, broj a mora biti različit od nule (tako da nema dijeljenja sa nula).
Gornje rezonovanje nas dovodi do takve definicije stepena sa razlomkom eksponenta.
Definicija.
Neka je m/n nesvodljivi razlomak, m cijeli broj, a n prirodan broj. Za bilo koji obični razlomak koji se može reducirati, stupanj se zamjenjuje sa . Potencija a sa nesmanjivim frakcijskim eksponentom m / n je za
Hajde da objasnimo zašto se stepen sa svodljivim razlomačnim eksponentom prvo zamenjuje stepenom sa nesvodljivim eksponentom. Kada bismo jednostavno definisali stepen kao , a ne rezervisali se o nesvodljivosti razlomka m / n , tada bismo naišli na situacije slične sljedećoj: budući da je 6/10=3/5 , onda je jednakost 
, Ali 
, A .
može se naći pomoću množenja. Na primjer: 5+5+5+5+5+5=5x6. Za takav izraz kažu da je zbir jednakih članova savijen u proizvod. I obrnuto, ako ovu jednakost čitamo s desna na lijevo, dobićemo da smo proširili zbir jednakih članova. Slično, možete sastaviti proizvod nekoliko jednakih faktora 5x5x5x5x5x5=5 6 .
Odnosno, umjesto da pomnože šest identičnih faktora 5x5x5x5x5x5, pišu 5 6 i kažu "pet na šesti stepen".
Izraz 5 6 je stepen broja, gdje je:
5 - osnova stepena;
6 - eksponent.
Zovu se operacije kojima se proizvod jednakih faktora savija u stepen eksponencijacija.
Općenito, stepen sa osnovom "a" i eksponentom "n" se piše kao
Podići broj a na stepen n znači pronaći proizvod n faktora, od kojih je svaki jednak a
Ako je osnova stepena "a" 1, tada će vrijednost stepena za bilo koji prirodni n biti jednaka 1. Na primjer, 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1
Ako podignete broj "a" povisite na prvi stepen, tada dobijamo sam broj a: a 1 = a
Ako podignete bilo koji broj do nulti stepen, onda kao rezultat proračuna dobijamo jedan. a 0 = 1
Druga i treća potencija broja smatraju se posebnim. Smislili su im imena: drugi stepen se zove kvadrat broja, treći - kocka ovaj broj.
Bilo koji broj se može podići na stepen - pozitivan, negativan ili nula. Međutim, sljedeća pravila se ne koriste:
Kada se pronađe stepen pozitivnog broja, dobija se pozitivan broj.
Kada izračunamo nulu u naturi, dobijamo nulu.
x m h n = x m + n
na primjer: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8
To podijeliti ovlasti sa istom osnovom ne mijenjamo bazu, nego oduzimamo eksponente:
x m / x n \u003d x m - n , Gdje, m > n
na primjer: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6
Prilikom izračunavanja eksponencijacija Osnovicu ne mijenjamo, već eksponente množimo jedan s drugim.
(kod m )n = y m n
na primjer: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6
(X · y) n = x n · m ,
na primjer: (2 3) 3 = 2 n 3 m ,
Prilikom izvođenja proračuna za stepenovanje razlomka podižemo brojilac i imenilac razlomka na dati stepen
(x/y)n = x n / y n
na primjer: (2/5) 3 = (2/5) (2/5) (2/5) = 2 3/5 3 .
Redoslijed izvođenja proračuna pri radu sa izrazima koji sadrže stepen.
Prilikom izračunavanja izraza bez zagrada, ali koji sadrže stepene, prvo se vrši eksponencijacija, zatim operacije množenja i dijeljenja, a tek onda operacije sabiranja i oduzimanja.
Ako je potrebno procijeniti izraz koji sadrži zagrade, tada prvo, gore navedenim redoslijedom, radimo proračune u zagradama, a zatim preostale radnje istim redoslijedom s lijeva na desno.
Vrlo široko u praktičnim proračunima, da bi se pojednostavili proračuni, koriste se gotove tablice stupnjeva.
Kako - (ćelije slezene nisu uspjele....) u istoj mjeri kao (supernatanti kulture iz...)
Rusko-engleski rječnik bioloških pojmova. - Novosibirsk: Institut za kliničku imunologiju. IN AND. Seledtsov. 1993-1999.
Pogledajte šta je "u istoj mjeri kao" u drugim rječnicima:
Stepeni slobode- 1. U analizi sistema linearnih jednačina, razlika između broja nezavisnih jednačina i broja nepoznatih. Ako je broj S. s. jednaka nuli, tada sistem ima jedinstveno rješenje. 2. U matematičkoj statistici brojevi koji pokazuju ... ... Ekonomsko-matematički rječnik
Kada je proizvod, bilo da je to meso, riba ili povrće, prošao sve operacije od sečenja do termičke obrade, i kada je jelo skoro gotovo, onda, čak i ako je sve urađeno kako treba, još uvek nema gotov ukus, još uvek nešto nedostaje. Ovo… … Velika enciklopedija kulinarstva
Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Sloboda (značenja). Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Stepeni slobode (značenja). Stepeni slobode karakteristika kretanja mehaničkog sistema. Broj stepeni slobode ... ... Wikipedia
Prilog, čestica i veznik. I. adv. 1. upitno. Označava pitanje okolnosti, slike, načina djelovanja: kako? [Chatsky:] Ah! kako shvatiti igru sudbine? Gribojedov, Jao od pameti. Kako mu je taj kit ušao u džep? Čehov, Stepe...... Mali akademski rječnik
Poimanje istorije kroz kategorije kulture, vrednosno-semantički sadržaj procesnih struktura istorije. U 20. veku pod direktnim i indirektnim uticajem simbolističkog i fenomenološkog. filozofija koncepti ekstrapolirani iz kulture u... Enciklopedija studija kulture
- (Matière, Supstanca, Materie, Stoff, Materija) je suprotstavljen po značenju duhu, sili, obliku, izgledu i praznini. Ovakva negativna definicija, koja potiče iz antike, ne može poslužiti kao osnova za bilo kakve naučne podatke o V. Nauci, međutim ... ...
- ... Wikipedia
Unutar zgrada. O. se uglavnom primjenjuje na objekte namijenjene za boravak ljudi, ali se uređuje i u objektima druge namjene, kao što su: u staklenicima, u prostorijama za životinje (neklimatizovane ili visoke vrijednosti) iu ... ... Enciklopedijski rječnik F.A. Brockhaus i I.A. Efron
Akademski stepen i zvanja je sistem kvalifikacija u nauci i visokom obrazovanju koji omogućava rangiranje naučnih i naučno-pedagoških radnika u pojedinim fazama akademske karijere. Trenutno Ruska Federacija dodjeljuje ... Wikipedia
Ne treba se brkati sa Bhagavad Gitom. Bhagavad Gita kakva jest Bhagavad Gita kakva jest ... Wikipedia
Ekonometrija je nauka koja proučava specifične kvantitativne i kvalitativne odnose između ekonomskih objekata i procesa koristeći matematičke i statističke metode i modele. Definicija predmeta ekonometrije data je u povelji ... ... Wikipedia
Knjige
- Wild. Opasno putovanje kao način da pronađete sebe od Cheryl Straid. O čemu govori ova knjiga Kada život postane crno-beo, kada nema šta da se izgubi, nema cilja, nema budućnosti, nema želje za životom, ljudi se ponekad odlučuju na očajna dela. Izgubiti majku, uništiti brak...
- Kako jesti manje. Prevladavanje ovisnosti o hrani Gillian Riley. Ovisnost o hrani je opasna bolest modernog društva. Hiljade ljudi je pogođeno na ovaj ili onaj način. Ali ako su opasnosti od drugih vrsta ovisnosti - na primjer ovisnosti o nikotinu - aktivno ...
