สำหรับเวกเตอร์ และ กำหนดโดยพิกัด , ผลิตภัณฑ์ผสมคำนวณโดยสูตร:

ใช้ผลิตภัณฑ์ผสม: 1) เพื่อคำนวณปริมาตรของจัตุรมุขและรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ และ ตามสูตร: ; 2) เป็นเงื่อนไขสำหรับการเปรียบเทียบของเวกเตอร์ และ : และ coplanar

หัวข้อที่ 5 เส้นตรงและระนาบ

เวกเตอร์เส้นปกติ เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ที่ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดจะถูกเรียก เวกเตอร์ทิศทางตรง , เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ขนานกับเส้นที่กำหนดจะถูกเรียก

ตรง บนพื้นผิว

1) - สมการทั่วไป เส้นตรง ซึ่งคือเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรง

2) - สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด

3) สมการบัญญัติ );

4)

5) - สมการเส้น มีความลาดชัน , คือจุดที่เส้นผ่าน; () - มุมที่เส้นทำกับแกน - ความยาวของส่วน (พร้อมเครื่องหมาย ) ตัดด้วยเส้นตรงบนแกน (เครื่องหมาย “ ” หากส่วนนั้นถูกตัดในส่วนบวกของแกน และ “ ” หากเป็นส่วนลบ)

6) - สมการเส้นตรง ในการตัด โดยที่ และ คือความยาวของเซ็กเมนต์ (พร้อมเครื่องหมาย ) ตัดเป็นเส้นตรงบนแกนพิกัดและ (เครื่องหมาย “ ” หากส่วนนั้นถูกตัดในส่วนบวกของแกนและ " ” หากเป็นค่าลบ ).

ระยะทางจากจุดไปยังเส้น กำหนดโดยสมการทั่วไปบนระนาบ พบได้จากสูตร:

มุม , ( )ระหว่างเส้นตรง และ จากสมการทั่วไปหรือสมการที่มีความชัน หาได้จากสูตรใดสูตรหนึ่งต่อไปนี้

เพื่อ .

เพื่อ

พิกัดจุดตัดของเส้น และพบเป็นคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น: หรือ .

เวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ที่ตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดจะถูกเรียก

เครื่องบิน ในระบบพิกัดสามารถกำหนดได้โดยสมการประเภทใดประเภทหนึ่งต่อไปนี้:

1) - สมการทั่วไป ระนาบ โดยที่เวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบอยู่ที่ไหน

2) - สมการของระนาบที่ผ่านจุดตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด ;

3) - สมการระนาบที่ผ่านสามจุด และ ;

4) - สมการระนาบ ในการตัด โดยที่ , และ คือความยาวของเซ็กเมนต์ (โดยมีเครื่องหมาย ) ตัดโดยระนาบบนแกนพิกัด , และ (เครื่องหมาย “ ” หากส่วนนั้นถูกตัดในส่วนบวกของแกน และ “ ” หากเป็นค่าลบ หนึ่ง).

ระยะทางจากจุดไปยังเครื่องบิน กำหนดโดยสมการทั่วไป พบโดยสูตร:

มุม ,( )ระหว่างเครื่องบิน และ จากสมการทั่วไป หาได้จากสูตร:

ตรง ในที่ว่าง ในระบบพิกัดสามารถกำหนดได้โดยสมการประเภทใดประเภทหนึ่งต่อไปนี้:

1) - สมการทั่วไป เส้นตรง เป็นเส้นตัดของระนาบสองระนาบ โดยที่ และ เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ และ;

2) - สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดขนานกับเวกเตอร์ที่กำหนด ( สมการบัญญัติ );

3) - สมการเส้นตรงผ่านจุดที่กำหนดสองจุด ;

4) - สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดขนานกับเวกเตอร์ที่กำหนด ( สมการพาราเมทริก );

มุม , ( ) ระหว่างเส้นตรง และ ในที่ว่าง กำหนดโดยสมการบัญญัติ พบโดยสูตร:

พิกัดจุดตัดของเส้น , กำหนดโดยสมการพาราเมทริก และเครื่องบิน กำหนดโดยสมการทั่วไป พบเป็นคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น: .

มุม , ( ) ระหว่างเส้น กำหนดโดยสมการบัญญัติ และเครื่องบิน , กำหนดโดยสมการทั่วไปจะพบโดยสูตร: .

หัวข้อที่ 6 เส้นโค้งของลำดับที่สอง

เส้นโค้งพีชคณิตของลำดับที่สองในระบบพิกัดเรียกว่าเส้นโค้ง สมการทั่วไป ซึ่งดูเหมือนว่า:

โดยที่ตัวเลข - ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน มีการจำแนกประเภทของเส้นโค้งอันดับสองดังต่อไปนี้: 1) ถ้า แล้วสมการทั่วไปจะกำหนดเส้นโค้ง แบบวงรี (วงกลม (สำหรับ ), วงรี (สำหรับ ), เซตว่าง, จุด); 2) ถ้า แล้ว - โค้ง แบบไฮเปอร์โบลิก (ไฮเปอร์โบลา, เส้นตัดกันคู่หนึ่ง); 3) ถ้า แล้ว - โค้ง ประเภทพาราโบลา(พาราโบลา, เซตว่าง, เส้น, เส้นคู่ขนาน). วงกลม วงรี ไฮเพอร์โบลา และพาราโบลา เรียกว่า เส้นโค้งที่ไม่เสื่อมของลำดับที่สอง

สมการทั่วไป โดยที่ ซึ่งกำหนดเส้นโค้งที่ไม่เสื่อมลง (วงกลม วงรี ไฮเพอร์โบลา พาราโบลา) สามารถถูกลดขนาดลงได้เสมอ (โดยใช้วิธีการเลือกกำลังสองเต็ม) เป็นสมการประเภทใดประเภทหนึ่งต่อไปนี้:

1a) -สมการวงกลมที่มีศูนย์กลางที่จุดและรัศมี (รูปที่ 5)

1b)- สมการวงรีที่มีศูนย์กลางที่จุดและแกนสมมาตรขนานกับแกนพิกัด ตัวเลขและ - เรียกว่า ครึ่งแกนของวงรี สี่เหลี่ยมหลักของวงรี จุดยอดของวงรี .

ในการสร้างวงรีในระบบพิกัด: 1) ทำเครื่องหมายจุดศูนย์กลางของวงรี 2) เราวาดผ่านจุดศูนย์กลางด้วยเส้นประตามแกนสมมาตรของวงรี 3) เราสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้าหลักของวงรีด้วยเส้นประที่มีจุดศูนย์กลางและด้านขนานกับแกนสมมาตร 4) เราวาดวงรีด้วยเส้นทึบโดยจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมผืนผ้าหลักเพื่อให้วงรีแตะด้านข้างที่จุดยอดของวงรีเท่านั้น (รูปที่ 6)

ในทำนองเดียวกันวงกลมถูกสร้างขึ้นซึ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้าหลักที่มีด้าน (รูปที่ 5)

รูปที่ 5 รูปที่ 6

2) - สมการไฮเปอร์โบลา (เรียกว่า ผัน) มีศูนย์กลางที่จุดหนึ่งและแกนสมมาตรขนานกับแกนพิกัด ตัวเลขและ - เรียกว่า กึ่งแกนของไฮเปอร์โบลา ; สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านขนานกับแกนสมมาตรและอยู่กึ่งกลางที่จุด - สี่เหลี่ยมหลักของไฮเปอร์โบลา จุดตัดของสี่เหลี่ยมหลักที่มีแกนสมมาตร - จุดยอดของไฮเปอร์โบลา เส้นตรงผ่านจุดยอดตรงข้ามของสี่เหลี่ยมหลัก - เส้นกำกับของไฮเปอร์โบลา .

ในการสร้างไฮเปอร์โบลาในระบบพิกัด: 1) ทำเครื่องหมายจุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลา 2) เราวาดผ่านจุดศูนย์กลางด้วยเส้นประในแกนสมมาตรของไฮเพอร์โบลา 3) เราสร้างสี่เหลี่ยมหลักของไฮเพอร์โบลาด้วยเส้นประที่มีจุดศูนย์กลางและด้านข้างและขนานกับแกนสมมาตร 4) เราวาดเส้นตรงผ่านจุดยอดตรงข้ามของสี่เหลี่ยมผืนผ้าหลักด้วยเส้นประซึ่งเป็นเส้นกำกับของไฮเพอร์โบลาซึ่งกิ่งก้านของไฮเพอร์โบลาเข้าใกล้อย่างไม่มีกำหนดในระยะทางที่ไม่มีที่สิ้นสุดจากจุดกำเนิดโดยไม่ต้องข้าม 5) เราพรรณนาถึงกิ่งก้านของไฮเปอร์โบลา (รูปที่ 7) หรือไฮเปอร์โบลา (รูปที่ 8) ด้วยเส้นทึบ

รูปที่ 7 รูปที่ 8

3a)- สมการพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุดหนึ่งและแกนสมมาตรขนานกับแกนพิกัด (รูปที่ 9)

3b)- สมการพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุดหนึ่งและแกนสมมาตรขนานกับแกนพิกัด (รูปที่ 10)

ในการสร้างพาราโบลาในระบบพิกัด: 1) ทำเครื่องหมายด้านบนของพาราโบลา 2) เราวาดผ่านจุดยอดด้วยเส้นประแกนสมมาตรของพาราโบลา 3) เราวาดภาพพาราโบลาด้วยเส้นทึบซึ่งชี้ไปที่กิ่งก้านโดยคำนึงถึงเครื่องหมายของพารามิเตอร์พาราโบลา: ใน - ในทิศทางบวกของแกนพิกัดขนานกับแกนสมมาตรของพาราโบลา (รูปที่ 9a และ 10a); ใน - ในด้านลบของแกนพิกัด (รูปที่ 9b และ 10b) .

ข้าว. รูปที่ 9a 9b

ข้าว. รูปที่ 10a 10b

หัวข้อที่ 7 ชุด ชุดเลข. การทำงาน.

ภายใต้ มากมาย เข้าใจชุดของวัตถุที่มีลักษณะใด ๆ แยกออกจากกันและสามารถคิดได้ทั้งหมด วัตถุที่ประกอบเป็นเซตเรียกว่า องค์ประกอบ . ชุดสามารถเป็นอนันต์ได้ (ประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนอนันต์), ขอบเขต (ประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนจำกัด), ว่าง (ไม่มีองค์ประกอบ) ชุดแสดงโดย และองค์ประกอบโดย ชุดว่างจะแสดงด้วย

ตั้งสาย เซตย่อย ตั้งค่าหากองค์ประกอบทั้งหมดของชุดเป็นของชุดและเขียน ตั้งและเรียก เท่ากัน หากประกอบด้วยองค์ประกอบเดียวกันและเขียน สองชุดและจะเท่ากันก็ต่อเมื่อ และ เท่านั้น

ตั้งสาย สากล (ภายในกรอบของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์นี้) , ถ้าองค์ประกอบของมันเป็นวัตถุทั้งหมดที่พิจารณาในทฤษฎีนี้

สามารถตั้งค่าได้หลายอย่าง: 1) การแจงนับองค์ประกอบทั้งหมด ตัวอย่างเช่น (สำหรับชุดจำกัด); 2) โดยการตั้งกฎเพื่อกำหนดว่าองค์ประกอบของชุดสากลเป็นของชุดที่กำหนดหรือไม่: .

สมาคม

ข้าม เซตและเรียกว่าเซต

ความแตกต่าง เซตและเรียกว่าเซต

เสริม ชุด (ถึงชุดสากล) เรียกว่าชุด

ทั้งสองชุดและเรียกว่า เทียบเท่า และเขียน ~ ถ้าสามารถสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างองค์ประกอบของชุดเหล่านี้ได้ ชุดเรียกว่า นับได้ หากเทียบเท่ากับเซตของจำนวนธรรมชาติ : ~ เซตว่างตามนิยามแล้วนับได้

แนวคิดเรื่องคาร์ดินาลิตี้ของเซตเกิดขึ้นเมื่อเซตถูกเปรียบเทียบด้วยจำนวนขององค์ประกอบที่พวกมันมีอยู่ คาร์ดินาลลิตี้ของเซตแสดงโดย คาร์ดินาลิตี้ของเซตจำกัดคือจำนวนขององค์ประกอบ

เซตเทียบเท่ามีคาร์ดินาลลิตี้เหมือนกัน ชุดเรียกว่า นับไม่ได้ ถ้าคาร์ดินัลลิตี้ของมันมากกว่าคาร์ดินาลลิตี้ของเซต

ถูกต้อง (จริง) ตัวเลข เรียกว่า เศษส่วนทศนิยมอนันต์ นำด้วยเครื่องหมาย "+" หรือ "" จำนวนจริงระบุด้วยจุดบนเส้นจำนวน โมดูล (ค่าสัมบูรณ์) ของจำนวนจริงเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ:

ชุดเรียกว่า ตัวเลข ถ้าองค์ประกอบของมันเป็นจำนวนจริง ตัวเลข เป็นระยะ ชุดตัวเลขเรียกว่า: , , , , , , , , .

เซตของจุดทั้งหมดบนเส้นจำนวนที่เป็นไปตามเงื่อนไข โดยที่ เป็นจำนวนน้อยตามอำเภอใจ เรียกว่า -ละแวกบ้าน (หรือเพียงแค่บริเวณใกล้เคียง) ของจุดและแสดงด้วย . เซตของจุดทั้งหมดตามเงื่อนไข ซึ่งเป็นจำนวนมากโดยพลการ เรียกว่า - ละแวกบ้าน (หรือเพียงแค่บริเวณใกล้เคียง) ของอินฟินิตี้และแสดงโดย .

ปริมาณที่มีค่าตัวเลขเท่ากันเรียกว่า คงที่. ปริมาณที่ใช้ค่าตัวเลขต่างกันเรียกว่า ตัวแปร. การทำงาน กฎถูกเรียกตามที่แต่ละหมายเลขได้รับมอบหมายหนึ่งหมายเลขที่กำหนดไว้อย่างดีและเขียน ชุดเรียกว่า โดเมนของคำจำกัดความ ฟังก์ชั่น, - มากมาย (หรือภูมิภาค ) ค่า ฟังก์ชั่น, - การโต้แย้ง , - ค่าฟังก์ชัน . วิธีที่พบบ่อยที่สุดในการระบุฟังก์ชันคือวิธีการวิเคราะห์ ซึ่งระบุฟังก์ชันด้วยสูตร โดเมนธรรมชาติ ฟังก์ชั่นคือชุดของค่าของอาร์กิวเมนต์ที่สูตรนี้สมเหตุสมผล กราฟฟังก์ชัน ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม คือเซตของจุดทุกจุดของระนาบที่มีพิกัด , .

ฟังก์ชันนี้เรียกว่า สม่ำเสมอ บนชุด ซึ่งสมมาตรกับจุด ถ้าทุกคนตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้: และ แปลก ถ้าตรงตามเงื่อนไข มิฉะนั้นฟังก์ชัน ปริทัศน์หรือ ไม่เท่ากันหรือคี่ .

ฟังก์ชันนี้เรียกว่า วารสาร ในชุดถ้ามีตัวเลข ( ระยะเวลาการทำงาน ) เพื่อให้เงื่อนไขต่อไปนี้เป็นที่พอใจสำหรับทุกคน: . จำนวนที่น้อยที่สุดเรียกว่าช่วงเวลาหลัก

ฟังก์ชันนี้เรียกว่า เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ (ข้างแรม ) ในชุดหากค่าที่มากกว่าของอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าที่มากกว่า (เล็กกว่า) ของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ถูก จำกัด ในชุดหากมีตัวเลขที่ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้ทั้งหมด: . มิฉะนั้น ฟังก์ชันคือ ไม่ จำกัด .

ย้อนกลับ ในการทำงาน , , ฟังก์ชั่นดังกล่าวเรียกว่า ซึ่งถูกกำหนดไว้ในชุดและแต่ละ

ตรงกันว่า. การหาฟังก์ชันผกผันกับฟังก์ชัน , คุณต้องแก้สมการ ค่อนข้าง. ถ้าฟังก์ชัน , เป็นโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัดใน จากนั้นจะมีอินเวอร์สเสมอและหากฟังก์ชันเพิ่มขึ้น (ลดลง) ฟังก์ชันผกผันก็จะเพิ่มขึ้น (ลดลง)

ฟังก์ชันที่แสดงเป็น , โดยที่ เป็นฟังก์ชันบางอย่างที่โดเมนของนิยามฟังก์ชันประกอบด้วยชุดค่าทั้งหมดของฟังก์ชัน เรียกว่า ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน อาร์กิวเมนต์อิสระ ตัวแปรนี้เรียกว่าอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง ฟังก์ชันเชิงซ้อนเรียกอีกอย่างว่าองค์ประกอบของฟังก์ชัน และ และเขียนว่า:

ระดับประถมศึกษาขั้นพื้นฐาน ฟังก์ชั่นคือ: พลัง การทำงาน , สาธิต การทำงาน ( , ), ลอการิทึม การทำงาน ( , ), ตรีโกณมิติ ฟังก์ชั่น , , , , ตรีโกณมิติผกผัน ฟังก์ชั่น , , , . ประถม เรียกว่าฟังก์ชันที่ได้รับจากฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐานด้วยจำนวนจำกัดของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และองค์ประกอบ

หากให้กราฟของฟังก์ชัน การสร้างกราฟของฟังก์ชันจะลดลงเป็นชุดของการเปลี่ยนแปลง (กะ การบีบอัด หรือการยืด การแสดง) ของกราฟ:

1) 2) การแปลงจะแสดงกราฟแบบสมมาตรเกี่ยวกับแกน 3) การแปลงจะเปลี่ยนกราฟไปตามแกนตามหน่วย ( - ไปทางขวา - ไปทางซ้าย); 4) การแปลงจะเลื่อนแผนภูมิไปตามแกนตามหน่วย ( - ขึ้น - ลง); 5) กราฟการเปลี่ยนแปลงตามแนวแกนยืดออกตามเวลา ถ้า หรือบีบอัดในเวลา ถ้า ; 6) การแปลงกราฟตามแนวแกนจะบีบอัดด้วยปัจจัยหนึ่งถ้าหรือยืดด้วยปัจจัยถ้า

ลำดับของการแปลงเมื่อวางแผนกราฟฟังก์ชันสามารถแสดงเป็นสัญลักษณ์ได้ดังนี้:

บันทึก. เมื่อทำการแปลง โปรดจำไว้ว่าจำนวนการเลื่อนตามแกนนั้นกำหนดโดยค่าคงที่ที่เพิ่มไปยังอาร์กิวเมนต์โดยตรง ไม่ใช่อาร์กิวเมนต์

กราฟของฟังก์ชันคือพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ ซึ่งกิ่งก้านจะชี้ขึ้นถ้าหรือลงถ้า กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น-เศษส่วนเป็นไฮเปอร์โบลาที่มีศูนย์กลางที่จุด ซึ่งเส้นกำกับผ่านจุดศูนย์กลางขนานกับแกนพิกัด ,สนองสภาพ. เรียกว่า.

ในบทนี้ เราจะดูการดำเนินการเพิ่มเติมอีกสองรายการกับเวกเตอร์: ผลคูณของเวกเตอร์และ ผลคูณของเวกเตอร์ (ลิงค์ด่วนสำหรับคนที่ต้องการ). ไม่เป็นไรบางครั้งมันก็เกิดขึ้นเพื่อความสุขที่สมบูรณ์นอกเหนือจาก ผลคูณดอทของเวกเตอร์มีความจำเป็นมากขึ้นเรื่อยๆ นั่นคือการเสพติดเวกเตอร์ บางคนอาจรู้สึกว่าเรากำลังเข้าสู่ป่าของเรขาคณิตวิเคราะห์ นี่ไม่เป็นความจริง. ในส่วนนี้ของคณิตศาสตร์ชั้นสูง โดยทั่วไปมีฟืนเพียงเล็กน้อย ยกเว้นอาจเพียงพอสำหรับพิน็อกคิโอ อันที่จริง เนื้อหานั้นธรรมดามากและเรียบง่าย - ยากกว่าเดิมมาก ผลิตภัณฑ์สเกลาร์แม้ว่าจะมีงานทั่วไปน้อยลงก็ตาม สิ่งสำคัญในเรขาคณิตวิเคราะห์ อย่างที่หลายคนเห็นหรือเคยเห็นมาแล้วคือต้องไม่พลาดการคำนวณ ทำซ้ำเหมือนมนต์สะกดแล้วคุณจะมีความสุข =)

หากเวกเตอร์เป็นประกายระยิบระยับในที่ห่างไกล เช่น ฟ้าแลบบนขอบฟ้า ไม่เป็นไร เริ่มด้วยบทเรียน เวกเตอร์สำหรับหุ่นเพื่อฟื้นฟูหรือเรียนรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์อีกครั้ง ผู้อ่านที่เตรียมพร้อมมากขึ้นสามารถทำความคุ้นเคยกับข้อมูลแบบคัดเลือกได้ ฉันพยายามรวบรวมตัวอย่างที่สมบูรณ์ที่สุดที่มักพบใน ฝึกงาน

อะไรจะทำให้คุณมีความสุข? เมื่อฉันยังเด็ก ฉันสามารถเล่นปาหี่ได้สองหรือสามลูก มันทำงานได้ดี ตอนนี้ไม่จำเป็นต้องเล่นกลเลยเพราะเราจะพิจารณา เวกเตอร์อวกาศเท่านั้นและเวกเตอร์แบบแบนที่มีสองพิกัดจะถูกละไว้ ทำไม นี่คือสาเหตุที่การกระทำเหล่านี้เกิดขึ้น - เวกเตอร์และผลคูณผสมของเวกเตอร์ถูกกำหนดและทำงานในพื้นที่สามมิติ ง่ายขึ้นแล้ว!

ในการดำเนินการนี้ เช่นเดียวกับในผลิตภัณฑ์สเกลาร์ สองเวกเตอร์. ปล่อยให้มันเป็นตัวอักษรที่ไม่มีวันเสื่อมสลาย

การกระทำนั้นเอง หมายถึง ด้วยวิธีดังต่อไปนี้: . มีตัวเลือกอื่นๆ แต่ฉันเคยใช้แทนผลคูณของเวกเตอร์ด้วยวิธีนี้ ในวงเล็บเหลี่ยมที่มีกากบาท

และทันที คำถาม: ถ้าอยู่ใน ผลคูณดอทของเวกเตอร์เวกเตอร์สองตัวเกี่ยวข้องกัน และเวกเตอร์สองตัวนี้ถูกคูณด้วย แล้ว อะไรคือความแตกต่าง? ความแตกต่างที่ชัดเจน อย่างแรกเลย ในผลลัพธ์:

ผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์คือ NUMBER:

ผลคูณของเวกเตอร์คือ VECTOR: นั่นคือ เราคูณเวกเตอร์แล้วได้เวกเตอร์อีกครั้ง สโมสรปิด. อันที่จริงแล้วจึงเป็นชื่อของการดำเนินการ ในวรรณคดีการศึกษาต่างๆ การกำหนดอาจแตกต่างกันไป ฉันจะใช้จดหมาย

คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ข้าม

ขั้นแรกจะมีคำจำกัดความพร้อมรูปภาพแล้วแสดงความคิดเห็น

คำนิยาม: ข้ามผลิตภัณฑ์ ไม่ใช่ collinearเวกเตอร์ , ตามลำดับนี้เรียกว่าเวกเตอร์ ความยาวซึ่งเป็นตัวเลข เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานสร้างขึ้นจากเวกเตอร์เหล่านี้ เวกเตอร์ ตั้งฉากกับเวกเตอร์และถูกชี้นำเพื่อให้พื้นฐานมีทิศทางที่ถูกต้อง:

เราวิเคราะห์คำจำกัดความโดยกระดูก มีสิ่งที่น่าสนใจมากมาย!

ดังนั้น เราสามารถเน้นจุดสำคัญต่อไปนี้:

1) Source vectors ระบุด้วยลูกศรสีแดงตามคำจำกัดความ ไม่ใช่ collinear. มันจะเป็นการเหมาะสมที่จะพิจารณากรณีของเวกเตอร์คอลลิเนียร์ในภายหลัง

2) ถ่ายเวกเตอร์ อย่างเข้มงวด: – "a" คูณด้วย "be"ไม่ใช่ "เป็น" ถึง "a" ผลของการคูณเวกเตอร์คือ VECTOR ซึ่งแสดงเป็นสีน้ำเงิน หากเวกเตอร์คูณในลำดับที่กลับกัน เราก็จะได้เวกเตอร์ยาวเท่ากันและมีทิศตรงข้าม (สีแดงเข้ม) นั่นคือ ความเท่าเทียมกัน .

3) ตอนนี้ มาทำความคุ้นเคยกับความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์กัน นี่เป็นจุดที่สำคัญมาก! LENGTH ของเวกเตอร์สีน้ำเงิน (และด้วยเหตุนี้ เวกเตอร์สีแดงเข้ม ) เป็นตัวเลขเท่ากับ AREA ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ ในรูป สี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เป็นสีดำ

บันทึก : ภาพวาดเป็นแผนผัง และแน่นอน ความยาวระบุของผลิตภัณฑ์กากบาทไม่เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เราจำหนึ่งในสูตรทางเรขาคณิต: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของด้านประชิดและไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน. ดังนั้น จากที่กล่าวข้างต้น สูตรสำหรับคำนวณ LENGTH ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จึงใช้ได้:

ฉันเน้นว่าในสูตรที่เรากำลังพูดถึง LENGTH ของเวกเตอร์ ไม่ใช่เกี่ยวกับเวกเตอร์เอง ความหมายในทางปฏิบัติคืออะไร? และความหมายก็คือในปัญหาของเรขาคณิตวิเคราะห์ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานมักพบผ่านแนวคิดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

เราได้สูตรสำคัญที่สอง เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (เส้นประสีแดง) แบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากัน ดังนั้น พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ (การแรเงาสีแดง) สามารถพบได้โดยสูตร:

4) ข้อเท็จจริงที่สำคัญไม่แพ้กันก็คือเวกเตอร์นั้นตั้งฉากกับเวกเตอร์ นั่นคือ . แน่นอน เวกเตอร์ที่กำกับทิศทางตรงกันข้าม (ลูกศรสีแดงเข้ม) ก็ตั้งฉากกับเวกเตอร์ดั้งเดิมเช่นกัน

5) เวกเตอร์ถูกกำกับเพื่อให้ พื้นฐานมันมี ขวาปฐมนิเทศ. ในบทเรียนเกี่ยวกับ เปลี่ยนไปสู่พื้นฐานใหม่ฉันได้พูดในรายละเอียดเกี่ยวกับ การวางแนวเครื่องบินและตอนนี้เราจะหาว่าการวางแนวของอวกาศคืออะไร ฉันจะอธิบายด้วยนิ้วของคุณ มือขวา. รวมจิต นิ้วชี้ด้วยเวกเตอร์และ นิ้วกลางด้วยเวกเตอร์ นิ้วนางกับนิ้วก้อยกดลงบนฝ่ามือของคุณ ผลที่ตามมา นิ้วหัวแม่มือ- ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะค้นหา นี่เป็นพื้นฐานที่ถูกต้อง (อยู่ในรูป) ตอนนี้สลับเวกเตอร์ ( นิ้วชี้และนิ้วกลาง) ในบางสถานที่นิ้วหัวแม่มือจะหันไปรอบ ๆ และผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะมองลงมาแล้ว นี่เป็นพื้นฐานที่เน้นด้านขวา บางทีคุณอาจมีคำถาม: การวางแนวด้านซ้ายเป็นพื้นฐานอะไร? "กำหนด" นิ้วเดียวกัน มือซ้าย vectors และรับฐานซ้ายและการวางแนวช่องว่างซ้าย (ในกรณีนี้ นิ้วโป้งจะอยู่ในทิศทางของเวกเตอร์ล่าง). พูดเปรียบเปรยฐานเหล่านี้ "บิด" หรือปรับพื้นที่ในทิศทางที่ต่างกัน และแนวคิดนี้ไม่ควรถูกมองว่าเป็นเรื่องไกลตัวหรือเป็นนามธรรม เช่น กระจกธรรมดาที่สุดจะเปลี่ยนทิศทางของอวกาศ และหากคุณ "ดึงวัตถุที่สะท้อนออกจากกระจก" โดยทั่วไปแล้วจะไม่สามารถทำได้ ผสมผสานกับ "ต้นฉบับ" อ้อ เอาสามนิ้วไปส่องกระจกแล้ววิเคราะห์ภาพสะท้อน ;-)

...ดีแค่ไหนที่รู้ตอนนี้ ไปทางขวาและซ้ายพื้นฐานเพราะคำพูดของอาจารย์บางคนเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงการปฐมนิเทศแย่มาก =)

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์คอลลิเนียร์

คำจำกัดความได้รับการพิจารณาอย่างละเอียดแล้ว ยังต้องค้นหาว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเวกเตอร์อยู่ในแนวราบ หากเวกเตอร์เป็นแบบ collinear ก็สามารถวางบนเส้นตรงเส้นเดียวและสี่เหลี่ยมด้านขนานของเราจะ "พับ" เป็นเส้นตรงเส้นเดียว พื้นที่ดังกล่าวตามที่นักคณิตศาสตร์กล่าวว่า เสื่อมโทรมสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นศูนย์ ตามมาจากสูตร - ไซน์ของศูนย์หรือ 180 องศาเท่ากับศูนย์ซึ่งหมายความว่าพื้นที่เป็นศูนย์

ดังนั้น ถ้า , แล้ว และ . โปรดทราบว่าผลคูณไขว้นั้นเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ แต่ในทางปฏิบัติสิ่งนี้มักถูกละเลยและเขียนว่ามีค่าเท่ากับศูนย์เช่นกัน

กรณีพิเศษคือผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์และตัวมันเอง:

เมื่อใช้ผลคูณไขว้ คุณสามารถตรวจสอบความสอดคล้องกันของเวกเตอร์สามมิติได้ และเราจะวิเคราะห์ปัญหานี้ด้วย

อาจจำเป็นต้องแก้ตัวอย่างในทางปฏิบัติ ตารางตรีโกณมิติเพื่อหาค่าของไซน์จากมัน

เรามาเริ่มจุดไฟกันเถอะ:

ตัวอย่างที่ 1

ก) จงหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ if

b) ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์ if

วิธีการแก้: ไม่ นี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด ฉันตั้งใจทำให้ข้อมูลเริ่มต้นในรายการเงื่อนไขเหมือนกัน เพราะการออกแบบโซลูชั่นจะแตกต่างออกไป!

ก) ตามเงื่อนไขจะต้องหา ความยาวเวกเตอร์ (ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์) ตามสูตรที่สอดคล้องกัน:

ตอบ:

เนื่องจากถูกถามถึงความยาว ดังนั้นในคำตอบ เราจึงระบุขนาด - หน่วย

ข) ตามเงื่อนไข ต้องหา สี่เหลี่ยมสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้มีค่าเท่ากับความยาวของผลคูณ:

ตอบ:

โปรดทราบว่าในคำตอบเกี่ยวกับผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ไม่มีการพูดคุยเลย เราถูกถามเกี่ยวกับ พื้นที่รูปตามลำดับ มิติคือหน่วยสี่เหลี่ยม

เรามักจะพิจารณาว่าสิ่งที่จำเป็นจะต้องพบโดยเงื่อนไขเสมอ และจากสิ่งนี้ เรากำหนด แจ่มใสคำตอบ. อาจดูเหมือนเป็นตัวอักษร แต่มีอาจารย์เพียงพอในหมู่ครู และงานที่มีโอกาสดีจะถูกส่งกลับเพื่อแก้ไข แม้ว่านี่จะไม่ใช่ nitpick ที่เครียดเป็นพิเศษ - หากคำตอบไม่ถูกต้อง ผู้คนจะรู้สึกว่าบุคคลนั้นไม่เข้าใจสิ่งง่ายๆ และ / หรือไม่ได้เจาะลึกถึงแก่นแท้ของงาน ช่วงเวลานี้ควรอยู่ภายใต้การควบคุมเสมอ แก้ปัญหาใดๆ ในวิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูง และในวิชาอื่นๆ ด้วย

ตัวอักษรตัวใหญ่ "en" หายไปไหน? โดยหลักการแล้ว มันอาจจะติดอยู่กับวิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติม แต่ฉันไม่ได้ทำเพื่อย่อให้สั้นลง ฉันหวังว่าทุกคนจะเข้าใจสิ่งนั้นและเป็นการกำหนดสิ่งเดียวกัน

ตัวอย่างยอดนิยมสำหรับโซลูชันที่ต้องทำด้วยตัวเอง:

ตัวอย่าง 2

หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นจากเวกเตอร์ if

สูตรการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมผ่านผลิตภัณฑ์เวกเตอร์นั้นอยู่ในความคิดเห็นของคำจำกัดความ คำตอบและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ในทางปฏิบัติ งานนี้เป็นเรื่องธรรมดามาก โดยทั่วไปแล้วรูปสามเหลี่ยมสามารถถูกทรมานได้

เพื่อแก้ปัญหาอื่นๆ เราต้องการ:

สมบัติของผลคูณของเวกเตอร์

เราได้พิจารณาคุณสมบัติบางอย่างของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์แล้ว อย่างไรก็ตาม ฉันจะรวมคุณสมบัติเหล่านี้ไว้ในรายการนี้

สำหรับเวกเตอร์ที่กำหนดเองและจำนวนใด ๆ คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริง:

1) ในแหล่งข้อมูลอื่น รายการนี้มักจะไม่แยกแยะคุณสมบัติ แต่มีความสำคัญมากในทางปฏิบัติ ปล่อยให้มันเป็นไป

2) - คุณสมบัติยังกล่าวถึงข้างต้นบางครั้งเรียกว่า สารต้านการเปลี่ยนแปลง. กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลำดับของเวกเตอร์มีความสำคัญ

3) - การรวมกันหรือ สมาคมกฎหมายผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ค่าคงที่สามารถเอาออกจากลิมิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ได้อย่างง่ายดาย จริงๆ แล้วพวกเขากำลังทำอะไรอยู่ที่นั่น?

4) - การกระจายหรือ การกระจายกฎหมายผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ไม่มีปัญหากับวงเล็บเปิดเช่นกัน

เพื่อเป็นการสาธิต ให้พิจารณาตัวอย่างสั้นๆ:

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาว่า

วิธีการแก้:ตามเงื่อนไข จะต้องค้นหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์อีกครั้ง มาระบายสีภาพย่อของเรากันเถอะ:

(1) ตามกฎการเชื่อมโยง เรานำค่าคงที่ที่เกินขีดจำกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ออก

(2) เรานำค่าคงที่ออกจากโมดูลในขณะที่โมดูล "กิน" เครื่องหมายลบ ความยาวไม่สามารถเป็นลบได้

(3) สิ่งที่ตามมามีความชัดเจน

ตอบ:

ถึงเวลาที่จะโยนฟืนลงบนกองไฟ:

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นจากเวกเตอร์ if

วิธีการแก้: หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตร . อุปสรรคคือเวกเตอร์ "ce" และ "te" นั้นเป็นตัวแทนของผลรวมของเวกเตอร์ อัลกอริทึมนี้เป็นมาตรฐานและค่อนข้างชวนให้นึกถึงตัวอย่างที่ 3 และ 4 ของบทเรียน ผลิตภัณฑ์ Dot ของเวกเตอร์. แบ่งมันออกเป็นสามขั้นตอนเพื่อความชัดเจน:

1) ในขั้นตอนแรก เราแสดงผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ผ่านผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ อันที่จริง แสดงเวกเตอร์ในรูปของเวกเตอร์. ยังไม่มีคำว่ายาว!

(1) เราแทนที่นิพจน์ของเวกเตอร์

(2) ใช้กฎการกระจาย ให้เปิดวงเล็บตามกฎการคูณพหุนาม

(3) การใช้กฎที่เชื่อมโยงกัน เรานำค่าคงที่ทั้งหมดที่อยู่นอกเหนือผลคูณของเวกเตอร์ออก ด้วยประสบการณ์เพียงเล็กน้อย การกระทำที่ 2 และ 3 สามารถทำได้พร้อมกัน

(4) เทอมแรกและเทอมสุดท้ายมีค่าเท่ากับศูนย์ (เวกเตอร์ศูนย์) เนื่องจากคุณสมบัติที่น่าพอใจ ในระยะที่สอง เราใช้คุณสมบัติต้านการเปลี่ยนแปลงของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

(5) เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน

เป็นผลให้เวกเตอร์แสดงผ่านเวกเตอร์ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นเพื่อให้บรรลุ:

2) ในขั้นตอนที่สอง เราจะหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ที่เราต้องการ การกระทำนี้คล้ายกับตัวอย่างที่ 3:

3) ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่ต้องการ:

ขั้นตอนที่ 2-3 ของการแก้ปัญหาสามารถจัดเรียงเป็นบรรทัดเดียว

ตอบ:

ปัญหาที่พิจารณาเป็นเรื่องปกติในการทดสอบ นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาว่า

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน มาดูกันว่าคุณใส่ใจแค่ไหนเมื่อศึกษาตัวอย่างก่อนหน้านี้ ;-)

ผลคูณของเวกเตอร์ในพิกัด

, กำหนดแบบออร์โธนอร์มอล, แสดงโดยสูตร:

สูตรนั้นง่ายมาก: เราเขียนเวกเตอร์พิกัดในบรรทัดบนสุดของดีเทอร์มีแนนต์ เรา "แพ็ค" พิกัดของเวกเตอร์ลงในบรรทัดที่สองและสาม แล้วใส่ อย่างเข้มงวด- ก่อนอื่นพิกัดของเวกเตอร์ "ve" จากนั้นพิกัดของเวกเตอร์ "double-ve" หากเวกเตอร์จำเป็นต้องคูณในลำดับที่ต่างกัน ก็ควรสลับเส้นด้วย:

ตัวอย่าง 10

ตรวจสอบว่าเวกเตอร์พื้นที่ต่อไปนี้เป็นแบบ collinear หรือไม่:
ก)
ข)

วิธีการแก้: การตรวจสอบตามหนึ่งในการยืนยัน บทเรียนนี้: ถ้าเวกเตอร์เป็นแบบ collinear ผลคูณของเวกเตอร์นั้นจะเป็นศูนย์ (เวกเตอร์ศูนย์): .

ก) ค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

เวกเตอร์จึงไม่ใช่แนวร่วม

b) ค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

ตอบ: a) ไม่ใช่ collinear b)

นี่อาจเป็นข้อมูลพื้นฐานทั้งหมดเกี่ยวกับผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์

ส่วนนี้จะไม่ใหญ่มาก เนื่องจากมีปัญหาเล็กน้อยเมื่อใช้ผลคูณผสมของเวกเตอร์ อันที่จริงแล้ว ทุกอย่างจะอยู่ที่คำจำกัดความ ความหมายทางเรขาคณิต และสูตรการทำงานสองสามสูตร

ผลคูณผสมของเวกเตอร์คือ ผลิตภัณฑ์สามเวกเตอร์:

นี่คือวิธีที่พวกเขาเข้าแถวเหมือนรถไฟและรอ พวกเขาไม่สามารถรอจนกว่าจะคำนวณได้

ขั้นแรกให้คำจำกัดความและรูปภาพอีกครั้ง:

คำนิยาม: สินค้าผสม ไม่ใช่ coplanarเวกเตอร์ , ตามลำดับนี้, ถูกเรียก ปริมาตรของเส้นขนานสร้างขึ้นจากเวกเตอร์เหล่านี้ โดยมีเครื่องหมาย "+" หากฐานถูกต้อง และเครื่องหมาย "-" หากเหลือฐาน

มาวาดรูปกันเถอะ เส้นที่เรามองไม่เห็นนั้นถูกวาดด้วยเส้นประ:

มาดำดิ่งลงไปในคำจำกัดความ:

2) ถ่ายเวกเตอร์ ในลำดับที่แน่นอนนั่นคือ การเรียงสับเปลี่ยนของเวกเตอร์ในผลคูณ อย่างที่คุณอาจเดาได้ ไม่ได้เกิดขึ้นโดยไม่มีผลที่ตามมา

3) ก่อนแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับความหมายทางเรขาคณิต ฉันจะสังเกตข้อเท็จจริงที่ชัดเจนก่อน: ผลคูณผสมของเวกเตอร์คือ NUMBER: . ในวรรณคดีเพื่อการศึกษา การออกแบบอาจแตกต่างกันบ้าง ฉันเคยกำหนดผลิตภัณฑ์แบบผสม และผลลัพธ์ของการคำนวณด้วยตัวอักษร "pe"

ตามคำจำกัดความ สารผสมคือปริมาตรของท่อคู่ขนานสร้างขึ้นจากเวกเตอร์ (รูปวาดด้วยเวกเตอร์สีแดงและเส้นสีดำ) นั่นคือจำนวนเท่ากับปริมาตรของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่กำหนด

บันทึก : ภาพวาดเป็นแผนผัง

4) ไม่ต้องกังวลอีกต่อไปกับแนวคิดของการวางแนวของพื้นฐานและพื้นที่ ความหมายของส่วนสุดท้ายคือสามารถเพิ่มเครื่องหมายลบในระดับเสียงได้ ในแง่ง่ายๆ ผลิตภัณฑ์ผสมสามารถเป็นค่าลบได้:

สูตรสำหรับคำนวณปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์นั้นเป็นไปตามคำจำกัดความโดยตรง

สำหรับเวกเตอร์ และ กำหนดโดยพิกัด ผลิตภัณฑ์ผสมคำนวณโดยสูตร:

ใช้ผลิตภัณฑ์ผสม: 1) เพื่อคำนวณปริมาตรของจัตุรมุขและรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ และ ตามสูตร: ; 2) เป็นเงื่อนไขสำหรับการเปรียบเทียบของเวกเตอร์ และ : และ coplanar

หัวข้อที่ 5 เส้นบนเครื่องบิน

เวกเตอร์เส้นปกติ เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ที่ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดจะถูกเรียก เวกเตอร์ทิศทางตรง , เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ขนานกับเส้นที่กำหนดจะถูกเรียก

ตรง บนพื้นผิว ในระบบพิกัดสามารถกำหนดได้โดยสมการประเภทใดประเภทหนึ่งต่อไปนี้:

1) - สมการทั่วไป เส้นตรง ซึ่งคือเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรง

2) - สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด

3) - สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดขนานกับเวกเตอร์ที่กำหนด ( สมการบัญญัติ );

4) - สมการเส้นตรงผ่านจุดที่กำหนดสองจุด ;

5) - สมการเส้น มีความลาดชัน , คือจุดที่เส้นผ่าน; () - มุมที่เส้นทำกับแกน - ความยาวของส่วน (พร้อมเครื่องหมาย ) ตัดด้วยเส้นตรงบนแกน (เครื่องหมาย “ ” หากส่วนนั้นถูกตัดในส่วนบวกของแกน และ “ ” หากเป็นส่วนลบ)

6) - สมการเส้นตรง ในการตัด โดยที่ และ คือความยาวของเซ็กเมนต์ (พร้อมเครื่องหมาย ) ตัดเป็นเส้นตรงบนแกนพิกัดและ (เครื่องหมาย “ ” หากส่วนนั้นถูกตัดในส่วนบวกของแกนและ " ” หากเป็นค่าลบ ).

ระยะทางจากจุดไปยังเส้น กำหนดโดยสมการทั่วไปบนระนาบ พบได้จากสูตร:

มุม , ( )ระหว่างเส้นตรง และ จากสมการทั่วไปหรือสมการที่มีความชัน หาได้จากสูตรใดสูตรหนึ่งต่อไปนี้

เพื่อ .

เพื่อ

พิกัดจุดตัดของเส้น และพบเป็นคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น: หรือ .

หัวข้อที่ 10. ชุด ชุดเลข. ฟังก์ชั่น.

ภายใต้ มากมาย เข้าใจชุดของวัตถุที่มีลักษณะใด ๆ แยกออกจากกันและสามารถคิดได้ทั้งหมด วัตถุที่ประกอบเป็นเซตเรียกว่า องค์ประกอบ . ชุดสามารถเป็นอนันต์ได้ (ประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนอนันต์), ขอบเขต (ประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนจำกัด), ว่าง (ไม่มีองค์ประกอบ) ชุดแสดงโดย และองค์ประกอบโดย ชุดว่างจะแสดงด้วย

ตั้งสาย เซตย่อย ตั้งค่าหากองค์ประกอบทั้งหมดของชุดเป็นของชุดและเขียน

ตั้งและเรียก เท่ากัน หากประกอบด้วยองค์ประกอบเดียวกันและเขียน สองชุดและจะเท่ากันก็ต่อเมื่อ และ เท่านั้น

ตั้งสาย สากล (ภายในกรอบของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์นี้) , ถ้าองค์ประกอบของมันเป็นวัตถุทั้งหมดที่พิจารณาในทฤษฎีนี้

สามารถตั้งค่าได้หลายอย่าง: 1) การแจงนับองค์ประกอบทั้งหมด ตัวอย่างเช่น (สำหรับชุดจำกัด); 2) โดยการตั้งกฎเพื่อกำหนดว่าองค์ประกอบของชุดสากลเป็นของชุดที่กำหนดหรือไม่: .

สมาคม

ข้าม เซตและเรียกว่าเซต

ความแตกต่าง เซตและเรียกว่าเซต

เสริม ชุด (ถึงชุดสากล) เรียกว่าชุด

ทั้งสองชุดและเรียกว่า เทียบเท่า และเขียน ~ ถ้าสามารถสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างองค์ประกอบของชุดเหล่านี้ได้ ชุดเรียกว่า นับได้ หากเทียบเท่ากับเซตของจำนวนธรรมชาติ : ~ เซตว่างตามนิยามแล้วนับได้

ถูกต้อง (จริง) ตัวเลข เรียกว่า เศษส่วนทศนิยมอนันต์ นำด้วยเครื่องหมาย "+" หรือ "" จำนวนจริงระบุด้วยจุดบนเส้นจำนวน

โมดูล (ค่าสัมบูรณ์) ของจำนวนจริงเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ:

ชุดเรียกว่า ตัวเลข ถ้าองค์ประกอบเป็นจำนวนจริง ตัวเลข เป็นระยะ เรียกว่า เซต

หมายเลข: , , , , , , , , .

เซตของจุดทั้งหมดบนเส้นจำนวนที่เป็นไปตามเงื่อนไข โดยที่ เป็นจำนวนน้อยตามอำเภอใจ เรียกว่า -ละแวกบ้าน (หรือเพียงแค่บริเวณใกล้เคียง) ของจุดและแสดงด้วย . เซตของจุดทั้งหมดตามเงื่อนไข ซึ่งเป็นจำนวนมากโดยพลการ เรียกว่า - ละแวกบ้าน (หรือเพียงแค่บริเวณใกล้เคียง) ของอินฟินิตี้และแสดงโดย .

ปริมาณที่มีค่าตัวเลขเท่ากันเรียกว่า คงที่. ปริมาณที่ใช้ค่าตัวเลขต่างกันเรียกว่า ตัวแปร. การทำงาน กฎถูกเรียกตามที่แต่ละหมายเลขได้รับมอบหมายหนึ่งหมายเลขที่กำหนดไว้อย่างดีและเขียน ชุดเรียกว่า โดเมนของคำจำกัดความ ฟังก์ชั่น, - มากมาย (หรือภูมิภาค ) ค่า ฟังก์ชั่น, - การโต้แย้ง , - ค่าฟังก์ชัน . วิธีที่พบบ่อยที่สุดในการระบุฟังก์ชันคือวิธีการวิเคราะห์ ซึ่งระบุฟังก์ชันด้วยสูตร โดเมนธรรมชาติ ฟังก์ชั่นคือชุดของค่าของอาร์กิวเมนต์ที่สูตรนี้สมเหตุสมผล กราฟฟังก์ชัน ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม คือเซตของจุดทุกจุดของระนาบที่มีพิกัด , .

ฟังก์ชันนี้เรียกว่า สม่ำเสมอ บนชุด ซึ่งสมมาตรกับจุด ถ้าทุกคนตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้: และ แปลก ถ้าตรงตามเงื่อนไข มิฉะนั้น ฟังก์ชันทั่วไปหรือ ไม่เท่ากันหรือคี่ .

ฟังก์ชันนี้เรียกว่า วารสาร ในชุดถ้ามีตัวเลข ( ระยะเวลาการทำงาน ) เพื่อให้เงื่อนไขต่อไปนี้เป็นที่พอใจสำหรับทุกคน: . จำนวนที่น้อยที่สุดเรียกว่าช่วงเวลาหลัก

ฟังก์ชันนี้เรียกว่า เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ (ข้างแรม ) ในชุดหากค่าที่มากกว่าของอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าที่มากกว่า (เล็กกว่า) ของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ถูก จำกัด ในชุดหากมีตัวเลขที่ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้ทั้งหมด: . มิฉะนั้น ฟังก์ชันคือ ไม่ จำกัด .

ย้อนกลับ ในการทำงาน , เป็นฟังก์ชันที่กำหนดไว้ในชุดและกำหนดให้กับแต่ละชุดว่า การหาฟังก์ชันผกผันกับฟังก์ชัน , คุณต้องแก้สมการ ค่อนข้าง. ถ้าฟังก์ชัน , เป็นโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัดใน จากนั้นจะมีอินเวอร์สเสมอและหากฟังก์ชันเพิ่มขึ้น (ลดลง) ฟังก์ชันผกผันก็จะเพิ่มขึ้น (ลดลง)

ฟังก์ชันที่แสดงเป็น , โดยที่ เป็นฟังก์ชันบางอย่างที่โดเมนของนิยามฟังก์ชันประกอบด้วยชุดค่าทั้งหมดของฟังก์ชัน เรียกว่า ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน อาร์กิวเมนต์อิสระ ตัวแปรนี้เรียกว่าอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง ฟังก์ชันเชิงซ้อนเรียกอีกอย่างว่าองค์ประกอบของฟังก์ชัน และ และเขียนว่า:

ระดับประถมศึกษาขั้นพื้นฐาน ฟังก์ชั่นคือ: พลัง การทำงาน , สาธิต การทำงาน ( , ), ลอการิทึม การทำงาน ( , ), ตรีโกณมิติ ฟังก์ชั่น , , , , ตรีโกณมิติผกผัน ฟังก์ชั่น , , , . ประถม เรียกว่าฟังก์ชันที่ได้รับจากฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐานด้วยจำนวนจำกัดของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และองค์ประกอบ

กราฟของฟังก์ชันคือพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ ซึ่งกิ่งก้านจะชี้ขึ้นถ้าหรือลงถ้า

ในบางกรณี เมื่อสร้างกราฟของฟังก์ชัน ขอแนะนำให้แบ่งขอบเขตของคำจำกัดความออกเป็นช่วงที่ไม่ตัดกันหลายๆ ช่วง และสร้างกราฟบนแต่ละรายการตามลำดับ

ชุดจำนวนจริงใด ๆ ที่เรียงลำดับเรียกว่า เลขคณิตจุดมิติ (พิกัด) ช่องว่าง และแสดงหรือในขณะที่ตัวเลขเรียกว่า พิกัด .

อนุญาต และ เป็นชุดของจุดและ . หากแต่ละจุดถูกกำหนดตามกฎบางอย่าง จำนวนจริงที่กำหนดไว้อย่างดี หนึ่งจำนวนแล้วพวกเขาบอกว่าฟังก์ชันตัวเลขของตัวแปรถูกกำหนดในชุดและเขียนหรือสั้น ๆ และในขณะที่เรียก โดเมนของคำจำกัดความ , - ชุดของค่า , - ข้อโต้แย้ง (ตัวแปรอิสระ) ฟังก์ชัน

ฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวมักจะแสดงแทน ฟังก์ชันของตัวแปรสามตัว - โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันคือชุดของจุดบางจุดในระนาบ ฟังก์ชันคือชุดของจุดในอวกาศ

หัวข้อที่ 7 ลำดับตัวเลขและอนุกรม จำกัดลำดับ ขีดจำกัดของฟังก์ชันและความต่อเนื่อง

หากตามกฎเกณฑ์หนึ่ง จำนวนธรรมชาติแต่ละจำนวนเชื่อมโยงกับจำนวนจริงที่กำหนดไว้อย่างดีหนึ่งจำนวน พวกเขาจะกล่าวว่า ลำดับตัวเลข . สั้นๆ แสดงว่า. เบอร์นี้เรียกว่า สมาชิกสามัญของซีเควนซ์ . ลำดับเรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ตามธรรมชาติ ลำดับประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนอนันต์เสมอ ซึ่งบางส่วนอาจเท่ากัน

เบอร์นี้เรียกว่า จำกัดลำดับ และเขียนว่าถ้าจำนวนใดมีตัวเลขที่ทำให้ความไม่เท่าเทียมกันเป็นที่พอใจสำหรับทุกคน

ลำดับที่มีขีดจำกัดเรียกว่า บรรจบกัน , มิฉะนั้น - แตกต่าง .

: 1) ข้างแรม , ถ้า ; 2) เพิ่มขึ้น , ถ้า ; 3) ไม่ลดลง , ถ้า ; 4) ไม่เพิ่มขึ้น , ถ้า . ลำดับข้างต้นทั้งหมดเรียกว่า น่าเบื่อ .

ลำดับนี้เรียกว่า ถูก จำกัด หากมีตัวเลขดังกล่าวครบตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้ . มิฉะนั้น ลำดับคือ ไม่ จำกัด .

ลำดับขอบเขตเสียงเดียวทุกลำดับมีขีดจำกัด ( ทฤษฎีบทไวเออร์สตราส).

ลำดับนี้เรียกว่า น้อยนิด , ถ้า . ลำดับนี้เรียกว่า ใหญ่มาก (มาบรรจบกันเป็นอนันต์) ถ้า .

ตัวเลข เรียกว่าลิมิตของลำดับ โดยที่

ค่าคงที่เรียกว่าหมายเลข nonpeer ลอการิทึมฐานของตัวเลขเรียกว่าลอการิทึมธรรมชาติของตัวเลขและแสดงแทน

นิพจน์ของแบบฟอร์ม โดยที่ลำดับของตัวเลขเรียกว่า ชุดตัวเลข และมีการทำเครื่องหมาย ผลรวมของเทอมแรกของอนุกรมนี้เรียกว่า th ผลรวมบางส่วน แถว.

แถวนั้นเรียกว่า บรรจบกัน หากมีขีดจำกัดและ แตกต่าง หากไม่มีขีดจำกัด เบอร์นี้เรียกว่า ผลรวมของอนุกรมบรรจบกัน , ขณะเขียน

ถ้าอนุกรมมาบรรจบกัน แสดงว่า (เกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของอนุกรม ) . การสนทนาไม่เป็นความจริง

ถ้า แสดงว่าอนุกรมนั้นแตกต่าง ( เกณฑ์ที่เพียงพอสำหรับความแตกต่างของอนุกรม ).

อนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไปเรียกว่าอนุกรมที่มาบรรจบกันที่ และแตกต่างที่

ชุดเรขาคณิต เรียกอนุกรมที่บรรจบกันที่ ขณะที่ผลรวมเท่ากับและแตกต่างที่ หาตัวเลขหรือสัญลักษณ์ (กึ่งเพื่อนบ้านซ้าย กึ่งเพื่อนบ้านขวา) และ