ชุดตัวเลขธรรมชาติ จำนวนเต็ม

ตัวเลขสำหรับนับสิ่งของและตอบคำถาม “กี่ชิ้น” ("เท่าไหร่

ลูกบอล?", "แอปเปิ้ลกี่ลูก", "ทหารกี่คน?") เรียกว่าเป็นธรรมชาติ

หากคุณเขียนตามลำดับจากจำนวนน้อยที่สุดไปหามากที่สุด คุณจะได้ชุดตัวเลขธรรมชาติ:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 99, 100, 101, …, 999, 1000, 1001 …

ชุดตัวเลขธรรมชาติเริ่มต้นด้วยหมายเลข 1

จำนวนธรรมชาติถัดไปแต่ละตัวจะมากกว่าจำนวนก่อนหน้า 1

ชุดตัวเลขธรรมชาตินั้นไม่มีที่สิ้นสุด

ตัวเลขอาจเป็นเลขคู่หรือคี่ก็ได้เลขคู่หารด้วยสองลงตัว แต่เลขคี่หารด้วยสองไม่ลงตัว

อนุกรมเลขคี่:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, 99, 101, …, 999, 1001, 1003 …

อนุกรมของเลขคู่:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 98, 100, …, 998, 1000, 1002 …

ในอนุกรมธรรมชาติ เลขคี่และเลขคู่สลับกัน:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …, 99, 100, …, 999, 1000 …

วิธีเปรียบเทียบจำนวนธรรมชาติ

เมื่อเปรียบเทียบจำนวนธรรมชาติสองตัว จำนวนที่อยู่ทางขวาในชุดข้อมูลธรรมชาติจะมากกว่า:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

ดังนั้น เจ็ดจึงมากกว่าสาม และห้าก็มากกว่าหนึ่ง

ในทางคณิตศาสตร์ คำว่า “น้อยกว่า” เขียนโดยใช้เครื่องหมาย “<», а для записи слова «больше» - знак « > ».

มุมแหลมของสัญลักษณ์มากกว่าและน้อยกว่าจะชี้ไปที่ตัวเลขที่เล็กกว่าของทั้งสองเสมอ

รายการ 7 > 3 อ่านว่า “เจ็ดส่วนสาม”

รายการ 3< 7 читается как «три меньше семи».

รายการ 5 > 1 อ่านว่า “ห้าต่อหนึ่ง”

รายการ 1< 5 читается как «один меньше пяти».

คำว่า "เท่ากัน" ในทางคณิตศาสตร์จะถูกแทนที่ด้วยเครื่องหมาย "=":

เมื่อตัวเลขมีขนาดใหญ่ เป็นการยากที่จะบอกได้ทันทีว่าอันไหนอยู่ทางขวาในชุดธรรมชาติ

เมื่อเปรียบเทียบจำนวนธรรมชาติสองตัวกับจำนวนหลักต่างกัน จำนวนที่มีหลักมากที่สุดจะมากกว่า

เช่น 233,000< 1 000 000, потому что в пер­вом числе шесть цифр, а во втором - семь.

ตัวเลขธรรมชาติหลายหลักที่มีจำนวนหลักเท่ากันจะถูกเปรียบเทียบในระดับบิต โดยเริ่มจากหลักที่มีนัยสำคัญที่สุด

ขั้นแรก ให้เปรียบเทียบหน่วยของหลักที่มีนัยสำคัญที่สุด จากนั้นจึงเปรียบเทียบหน่วยถัดไป หลักถัดไป และอื่นๆ ตัวอย่างเช่น ลองเปรียบเทียบตัวเลข 5401 และ 5430:

5401 = 5 พัน 4 ร้อย 0 สิบ 1 หน่วย

5430 = 5 พัน 4 ร้อย 3 สิบ 0 หน่วย

เทียบหน่วยหลักพัน. แทนที่หน่วยหลักพันของเลข 5401 มี 5 หน่วย แทนที่หน่วยหลักพันของเลข 5430 มี 5 หน่วย เมื่อเปรียบเทียบหน่วยหลักพันแล้ว ยังไม่สามารถบอกได้ว่าจำนวนใดจะมากกว่ากัน

เทียบกันเป็นร้อย.. ในหลักร้อยของหมายเลข 5401 มี 4 หน่วย ในหลักร้อยหมายเลข 5430 ก็มี 4 หน่วยเช่นกัน เราจะต้องเปรียบเทียบต่อไป

เทียบหลักสิบ.. ในหลักสิบของหมายเลข 5401 มี 0 หน่วย ในหลักสิบของหมายเลข 5430 มี 3 หน่วย

เมื่อเปรียบเทียบ เราได้ 0< 3, поэтому 5401 < 5430.

ตัวเลขสามารถจัดเรียงจากมากไปน้อยหรือจากน้อยไปมาก

ถ้าบันทึกจำนวนธรรมชาติหลายจำนวน แต่ละจำนวนถัดไปน้อยกว่าจำนวนก่อนหน้า ให้เขียนจำนวนดังกล่าวโดยเรียงจากมากไปน้อย

ลองเขียนตัวเลข 5, 22, 13, 800 ตามลำดับจากมากไปน้อย

ลองหาจำนวนที่มากกว่ากัน ตัวเลข 5 เป็นตัวเลขหลักเดียว 13 และ 22 เป็นตัวเลขสองหลัก 800 เป็นตัวเลขสามหลักจึงใหญ่ที่สุด เราเขียน 800 ไว้ตั้งแต่แรก.

จากตัวเลขสองหลัก 13 และ 22 ที่มากกว่าคือ 22 หลังจากตัวเลข 800 เราจะเขียนตัวเลข 22 และ 13

จำนวนที่น้อยที่สุดคือเลข 5 หลักเดียว เราเขียนไว้ท้ายสุด

800, 22, 13, 5 - บันทึกตัวเลขเหล่านี้จากมากไปน้อย

ถ้าในบันทึกจำนวนธรรมชาติหลายจำนวน แต่ละจำนวนถัดไปมากกว่าจำนวนก่อนหน้า ถือว่าตัวเลขนั้นเขียนโดยเรียงจากน้อยไปหามาก

จะเขียนตัวเลข 15, 2, 31, 278, 298 จากน้อยไปมากได้อย่างไร?

ในบรรดาตัวเลข 15, 2, 31, 278, 298 เราจะพบอันที่เล็กกว่า

นี่คือเลข 2 หลักตัวเดียว มาเขียนมันกันก่อน.

จากตัวเลขสองหลัก 15 และ 31 ให้เลือกอันที่เล็กกว่า - 15 เขียนในตำแหน่งที่สองและหลังจากนั้น - 31

ในบรรดาตัวเลขสามหลัก 278 เป็นตัวเลขที่เล็กที่สุด เราเขียนไว้หลังตัวเลข 31 และตัวสุดท้ายเราเขียนตัวเลข 298

2, 15, 21, 278, 298 - การเขียนตัวเลขเหล่านี้จากน้อยไปหามาก

จำนวนเต็ม– ตัวเลขที่ใช้ในการนับวัตถุ . จำนวนธรรมชาติใดๆ สามารถเขียนได้โดยใช้สิบ ตัวเลข: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ตัวเลขชนิดนี้เรียกว่า ทศนิยม

ลำดับของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดเรียกว่า เป็นธรรมชาติอยู่ข้างๆ .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

ที่สุด เล็กจำนวนธรรมชาติคือหนึ่ง (1) ในชุดข้อมูลทั่วไป แต่ละหมายเลขถัดไปจะมากกว่าหมายเลขก่อนหน้า 1 ซีรีย์ธรรมชาติ ไม่มีที่สิ้นสุด,ไม่มีจำนวนที่ใหญ่ที่สุดในนั้น

ความหมายของตัวเลขขึ้นอยู่กับตำแหน่งของตัวเลขในบันทึกตัวเลข ตัวอย่างเช่น หมายเลข 4 หมายถึง: 4 หน่วย หากอยู่ตำแหน่งสุดท้ายในบันทึกตัวเลข (ในหน่วยสถานที่); 4 สิบ,ถ้าเธออยู่อันดับสองรองสุดท้าย (ในหลักสิบ); 4 หลายร้อยถ้าเธออยู่ในอันดับที่สามนับจากสุดท้าย (วี หลายร้อยแห่ง)

เลข 0 หมายความว่า. ไม่มีหน่วยประเภทนี้ในรูปแบบทศนิยมของตัวเลข นอกจากนี้ ยังทำหน้าที่กำหนดตัวเลขด้วย” ศูนย์" ตัวเลขนี้หมายถึง "ไม่มี" คะแนน 0:3 ในการแข่งขันฟุตบอลหมายความว่าทีมชุดแรกไม่ได้ทำประตูกับคู่ต่อสู้สักประตูเดียว

ศูนย์ ไม่รวมให้เป็นจำนวนธรรมชาติ และแท้จริงแล้ว การนับสิ่งของไม่เคยเริ่มต้นจากศูนย์

ถ้าสัญกรณ์ของจำนวนธรรมชาติมีเครื่องหมายเดียว – เลขตัวเดียวก็เรียกว่า ไม่คลุมเครือเหล่านั้น. ไม่คลุมเครือจำนวนธรรมชาติ– จำนวนธรรมชาติ สัญกรณ์ประกอบด้วยเครื่องหมายเดียว – หนึ่งหลัก เช่น ตัวเลข 1, 6, 8 เป็นเลขหลักเดียว

เลขคู่จำนวนธรรมชาติ– จำนวนธรรมชาติ สัญลักษณ์ประกอบด้วยอักขระสองตัว – สองหลัก

เช่น ตัวเลข 12, 47, 24, 99 เป็นตัวเลขสองหลัก

นอกจากนี้ ตามจำนวนอักขระในหมายเลขที่กำหนด จะมีการตั้งชื่อให้กับหมายเลขอื่น:

หมายเลข 326, 532, 893 – สามหลัก;

หมายเลข 1126, 4268, 9999 – สี่หลักฯลฯ

สองหลัก สามหลัก สี่หลัก ห้าหลัก ฯลฯ มีการเรียกหมายเลข ตัวเลขหลายหลัก .

หากต้องการอ่านตัวเลขหลายหลัก ให้แบ่งเริ่มจากด้านขวาเป็นกลุ่มๆ ละ 3 หลัก (กลุ่มซ้ายสุดอาจประกอบด้วยหนึ่งหรือสองหลัก) กลุ่มเหล่านี้เรียกว่า ชั้นเรียน

ล้าน– นี่คือหนึ่งพัน (1,000,000) เขียนไว้ 1 ล้านหรือ 1,000,000

พันล้าน- นั่นคือ 1,000 ล้าน มันเขียนเป็น 1 พันล้านหรือ 1,000,000,000

ตัวเลขสามหลักแรกทางด้านขวาประกอบขึ้นเป็นคลาสของหน่วย ส่วนสามหลักถัดไปคือคลาสหลักพัน จากนั้นมาเป็นคลาสของล้าน พันล้าน ฯลฯ (รูปที่ 1)

ข้าว. 1. คลาสล้าน คลาสนับพัน และคลาสหน่วย (จากซ้ายไปขวา)

หมายเลข 15389000286 เขียนอยู่ในตารางบิต (รูปที่ 2)

ข้าว. 2. บิตกริด: หมายเลข 15 พันล้าน 389 ล้าน 286

จำนวนนี้มี 286 หน่วยในระดับหน่วย, ศูนย์หน่วยในระดับพัน, 389 หน่วยในระดับล้าน และ 15 หน่วยในระดับพันล้าน

วางศูนย์

มีสองวิธีในการกำหนดจำนวนธรรมชาติ:

• การนับ (การนับ)รายการ ( อันดับแรก, ที่สอง, ที่สาม, ที่สี่, ที่ห้า…);
• ตัวเลขธรรมชาติ คือ ตัวเลขที่เกิดขึ้นเมื่อใด การกำหนดปริมาณรายการ ( 0 รายการ, 1 รายการ, 2 รายการ, 3 รายการ, 4 รายการ, 5 รายการ…).

ในกรณีแรก ชุดของจำนวนธรรมชาติจะเริ่มต้นจากหนึ่ง ในวินาทีที่สอง - จากศูนย์ นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ไม่มีความเห็นเป็นเอกฉันท์ว่าแนวทางที่หนึ่งหรือสองนั้นดีกว่า (นั่นคือ เลขศูนย์ควรถือเป็นจำนวนธรรมชาติหรือไม่) แหล่งข้อมูลของรัสเซียส่วนใหญ่อย่างท่วมท้นนำแนวทางแรกมาใช้ตามธรรมเนียม แนวทางที่สอง ตัวอย่างเช่น ใช้ในผลงานของนิโคลัส บูร์บากี โดยที่จำนวนธรรมชาติถูกกำหนดให้เป็นจำนวนเชิงการนับของเซตจำกัด การมีศูนย์ทำให้ง่ายต่อการกำหนดและพิสูจน์ทฤษฎีบทต่างๆ ในเลขคณิตจำนวนธรรมชาติ ดังนั้นแนวทางแรกจึงแนะนำแนวคิดที่เป็นประโยชน์ ขยายขอบเขตธรรมชาติออกไปรวมถึงศูนย์ด้วย

เซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดมักจะใช้สัญลักษณ์แทน มาตรฐานสากล ISO 31-11 (1992) และ ISO 80000-2 (2009) กำหนดการกำหนดดังต่อไปนี้:

ในแหล่งที่มาของรัสเซียยังไม่ได้ปฏิบัติตามมาตรฐานนี้ - ในสัญลักษณ์เหล่านั้น N (\displaystyle \mathbb (N) )หมายถึงจำนวนธรรมชาติที่ไม่มีศูนย์ และอนุกรมธรรมชาติแบบขยายจะแสดงแทน N 0 , Z + , Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0),\mathbb (Z) _(+),\mathbb (Z) _(\geqslant 0))ฯลฯ

สัจพจน์ที่ช่วยให้เราสามารถกำหนดเซตของจำนวนธรรมชาติได้

สัจพจน์ของ Peano สำหรับจำนวนธรรมชาติ

พวงของ N (\displaystyle \mathbb (N) )จะเรียกว่าเซตของจำนวนธรรมชาติหากมีองค์ประกอบใดองค์ประกอบหนึ่งคงที่ 1 (หน่วย) ฟังก์ชัน เอส (\displaystyle S)ด้วยขอบเขตของคำจำกัดความ N (\displaystyle \mathbb (N) )เรียกว่าฟังก์ชัน follow ( S: N (\displaystyle S\โคลอน \mathbb (N) )) และตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

1. องค์ประกอบที่ 1 เป็นของชุดนี้ ( 1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) )) นั่นคือเป็นจำนวนธรรมชาติ
2. จำนวนที่อยู่หลังจำนวนธรรมชาติก็เป็นจำนวนธรรมชาติด้วย (ถ้า แล้ว S (x) ∈ N (\รูปแบบการแสดงผล S(x)\in \mathbb (N) )หรือเรียกสั้น ๆ ว่า S: N → N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) \to \mathbb (N) ));
3. ไม่เป็นไปตามจำนวนธรรมชาติใด ๆ ( ∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \nexists x\in \mathbb (N) \ (S(x)=1)));
4. ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติ ก (\displaystyle ก)ตามด้วยจำนวนธรรมชาติทันที ข (\displaystyle b)และสำหรับจำนวนธรรมชาติ ค (\displaystyle c), ที่ ข (\displaystyle b)และ ค (\displaystyle c)เป็นตัวเลขเดียวกัน (ถ้า S (b) = a (\displaystyle S(b)=a)และ S (c) = a (\displaystyle S(c)=a), ที่ b = c (\displaystyle b=c));
5. (สัจพจน์ของการอุปนัย) ถ้าประโยคใด ๆ (คำสั่ง) P (\displaystyle P)พิสูจน์แล้วสำหรับจำนวนธรรมชาติ n = 1 (\displaystyle n=1) (ฐานการเหนี่ยวนำ) และถ้าจากการสันนิษฐานว่าเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติอีกจำนวนหนึ่ง n (\displaystyle n)เป็นไปตามความเป็นจริงดังต่อไปนี้ n (\displaystyle n)จำนวนธรรมชาติ ( สมมติฐานอุปนัย) ดังนั้น ประโยคนี้จึงเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด (let P(n) (\displaystyle P(n))- ภาคแสดงจุดเดียว (เอกภาค) บางภาคที่มีพารามิเตอร์เป็นจำนวนธรรมชาติ n (\displaystyle n). แล้วถ้า P (1) (\รูปแบบการแสดงผล P(1))และ ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\ลูกศรขวา P(S(n)))), ที่ ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).

สัจพจน์ที่แสดงไว้สะท้อนความเข้าใจตามสัญชาตญาณของเราเกี่ยวกับอนุกรมธรรมชาติและเส้นจำนวน

ข้อเท็จจริงพื้นฐานก็คือสัจพจน์เหล่านี้กำหนดจำนวนธรรมชาติโดยเฉพาะ (ลักษณะการจัดหมวดหมู่ของระบบสัจพจน์ของพีอาโน) กล่าวคือสามารถพิสูจน์ได้ (ดูพร้อมทั้งหลักฐานสั้นๆ) ว่าถ้า (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S))และ (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ((\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S))))- สองแบบจำลองสำหรับระบบสัจพจน์ของ Peano ดังนั้นพวกมันจึงจำเป็นต้องมี isomorphic นั่นคือมีการแมปแบบกลับด้าน (bijection) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) )))ดังนั้น f (1) = 1 ~ (\displaystyle f(1)=(\tilde (1)))และ f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f(x)))สำหรับทุกอย่าง x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ).

ดังนั้นก็เพียงพอแล้วที่จะแก้ไขเช่น N (\displaystyle \mathbb (N) )เซตของจำนวนธรรมชาติแบบเฉพาะเจาะจงแบบใดแบบหนึ่ง

บางครั้ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งในวรรณกรรมต่างประเทศและวรรณกรรมแปล ในสัจพจน์ของ Peano ตัวแรกและตัวที่สามจะถูกแทนที่ด้วยศูนย์ ในกรณีนี้ ศูนย์จะถือเป็นจำนวนธรรมชาติ เมื่อกำหนดผ่านคลาสของชุดกำลังอุปกรณ์ ศูนย์จะเป็นจำนวนธรรมชาติตามคำจำกัดความ การจงใจปฏิเสธจะเป็นเรื่องผิดธรรมชาติ นอกจากนี้ สิ่งนี้จะทำให้การสร้างและการประยุกต์ทฤษฎีต่อไปมีความซับซ้อนมากขึ้น เนื่องจากในการก่อสร้างส่วนใหญ่ 0 เช่นเซตว่าง ไม่ได้เป็นสิ่งที่แยกจากกัน ข้อดีอีกประการหนึ่งของการปฏิบัติต่อศูนย์ในฐานะจำนวนธรรมชาติก็คือ N (\displaystyle \mathbb (N) )ก่อตัวเป็นโมโนด์ ดังที่ได้กล่าวไปแล้วในวรรณคดีรัสเซียตามเนื้อผ้าศูนย์จะไม่รวมอยู่ในรายการตัวเลขธรรมชาติ

นิยามเซตทฤษฎีของจำนวนธรรมชาติ (คำจำกัดความแบบเฟรจ-รัสเซล)

ดังนั้น จำนวนธรรมชาติจึงถูกนำมาใช้ตามแนวคิดของเซตตามกฎสองข้อ:

ตัวเลขที่กำหนดในลักษณะนี้เรียกว่าลำดับ

ให้เราอธิบายเลขลำดับสองสามตัวแรกและจำนวนธรรมชาติที่สอดคล้องกัน:

ขนาดของเซตของจำนวนธรรมชาติ

ขนาดของเซตอนันต์มีลักษณะเฉพาะโดยแนวคิด "ภาวะเชิงการนับของเซต" ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของจำนวนองค์ประกอบของเซตจำกัดจนถึงเซตอนันต์ ในขนาด (นั่นคือ ภาวะเชิงการนับ) เซตของจำนวนธรรมชาติจะมีขนาดใหญ่กว่าเซตจำกัดใดๆ แต่เล็กกว่าช่วงใดๆ เช่น ช่วง (0 , 1) (\displaystyle (0,1)). เซตของจำนวนธรรมชาติมีภาวะเชิงการนับเท่ากับเซตของจำนวนตรรกยะ เซตที่มีจำนวนเชิงการนับเดียวกันกับเซตของจำนวนธรรมชาติเรียกว่าเซตนับได้ ดังนั้นเซตของเงื่อนไขของลำดับใดๆ จึงสามารถนับได้ ในเวลาเดียวกัน มีลำดับที่จำนวนธรรมชาติแต่ละตัวปรากฏเป็นจำนวนอนันต์ เนื่องจากเซตของจำนวนธรรมชาติสามารถแสดงเป็นชุดนับได้ของเซตนับได้ที่ไม่ร่วม (ตัวอย่างเช่น N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\ ถ้วยใหญ่ \ลิมิต _(n=0)^(\infty )(2n+1)2^(k)\right))).

การดำเนินการกับจำนวนธรรมชาติ

การดำเนินการแบบปิด (การดำเนินการที่ไม่ได้รับผลลัพธ์จากชุดของจำนวนธรรมชาติ) กับจำนวนธรรมชาติรวมถึงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ต่อไปนี้:

นอกจากนี้ ยังมีการพิจารณาการดำเนินการอีกสองรายการ (จากมุมมองที่เป็นทางการ การดำเนินการดังกล่าวไม่ใช่การดำเนินการกับจำนวนธรรมชาติ เนื่องจากไม่ได้กำหนดไว้สำหรับ ทุกคนคู่ตัวเลข (บางทีก็มี บางทีไม่มี)):

ควรสังเกตว่าการดำเนินการบวกและการคูณเป็นพื้นฐาน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง วงแหวนของจำนวนเต็มถูกกำหนดอย่างแม่นยำผ่านการดำเนินการไบนารีของการบวกและการคูณ

คุณสมบัติพื้นฐาน

• การสับเปลี่ยนของการบวก:

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a).

• การสับเปลี่ยนของการคูณ:

a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a).

• การเชื่อมโยงเพิ่มเติม:

(a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)).

• การเชื่อมโยงการคูณ:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)).

• การกระจายตัวของการคูณสัมพันธ์กับการบวก:

( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(กรณี))).

โครงสร้างพีชคณิต

การบวกจะเปลี่ยนเซตของจำนวนธรรมชาติให้กลายเป็นเซมิกรุ๊ปที่มีหน่วย โดยบทบาทของหน่วยจะมีบทบาท 0 . การคูณยังเปลี่ยนเซตของจำนวนธรรมชาติให้กลายเป็นกลุ่มกึ่งที่มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว โดยมีองค์ประกอบเอกลักษณ์อยู่ 1 . การใช้การปิดที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการบวก-ลบและการคูณ-หาร จะได้กลุ่มของจำนวนเต็ม Z (\displaystyle \mathbb (Z) )และจำนวนบวกตรรกยะ Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q)_(+)^(*))ตามลำดับ

จำนวนที่ง่ายที่สุดคือ จำนวนธรรมชาติ. ใช้ในชีวิตประจำวันเพื่อการนับ วัตถุเช่น เพื่อคำนวณจำนวนและลำดับ

จำนวนธรรมชาติคืออะไร: ตัวเลขธรรมชาติตั้งชื่อหมายเลขที่ใช้ การนับรายการหรือระบุหมายเลขลำดับของรายการใด ๆ จากที่เป็นเนื้อเดียวกันทั้งหมดรายการ

จำนวนเต็ม- นี่คือตัวเลขที่เริ่มต้นจากหนึ่ง พวกมันถูกสร้างขึ้นตามธรรมชาติเมื่อทำการนับเช่น 1,2,3,4,5... -จำนวนธรรมชาติตัวแรก

จำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุด- หนึ่ง. ไม่มีจำนวนธรรมชาติใดที่ยิ่งใหญ่ที่สุด เมื่อนับเลขแล้ว ไม่ได้ใช้ศูนย์ ดังนั้น 0 จึงเป็นจำนวนธรรมชาติ

อนุกรมจำนวนธรรมชาติคือลำดับของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด การเขียนจำนวนธรรมชาติ:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

ในชุดข้อมูลทั่วไป แต่ละหมายเลขจะมากกว่าตัวเลขก่อนหน้าทีละตัว

อนุกรมธรรมชาติมีกี่จำนวน? อนุกรมธรรมชาติไม่มีที่สิ้นสุด ไม่มีจำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุด

ทศนิยมตั้งแต่ 10 หน่วยของหลักใดๆ จะกลายเป็น 1 หน่วยของหลักสูงสุด ตามตำแหน่งแล้ว ความหมายของตัวเลขขึ้นอยู่กับตำแหน่งของตัวเลขเช่น จากหมวดที่เขียน

คลาสของจำนวนธรรมชาติ

จำนวนธรรมชาติใดๆ สามารถเขียนได้โดยใช้เลขอารบิค 10 ตัว:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

การอ่านจำนวนธรรมชาติจะแบ่งเป็นกลุ่มๆ ละ 3 หลัก โดยเริ่มจากด้านขวา 3 ก่อน ตัวเลขทางขวาคือคลาสของหน่วย 3 ถัดมาคือคลาสหลักพัน ตามด้วยคลาสล้าน พันล้าน และฯลฯ ตัวเลขของชั้นเรียนแต่ละหลักเรียกว่ามันปล่อย.

การเปรียบเทียบจำนวนธรรมชาติ

ของจำนวนธรรมชาติ 2 ตัว ยิ่งน้อยกว่าคือจำนวนที่ถูกเรียกก่อนหน้าในการนับ ตัวอย่างเช่น, ตัวเลข 7 น้อย 11 (เขียนไว้ดังนี้:7 < 11 ). เมื่อจำนวนหนึ่งมากกว่าจำนวนที่สอง จะเขียนดังนี้:386 > 99 .

ตารางหลักและประเภทของตัวเลข

หน่วยชั้น 1	หลักที่ 1 ของหน่วย หลักที่ 2 หลักสิบ อันดับที่ 3 หลายร้อย
ชั้น2พัน	หลักที่ 1 ของหน่วยพัน หลักที่ 2 หลักหมื่น ประเภทที่ 3 หลักแสน
ชั้น 3 ล้าน	หลักที่ 1 ของหน่วยล้าน ประเภทที่ 2 หลักสิบล้าน ประเภทที่ 3 หลายร้อยล้าน
ชั้น 4 พันล้าน	หลักที่ 1 หน่วยพันล้าน ประเภทที่ 2 หมื่นล้าน ประเภทที่ 3 แสนล้าน

ตัวเลขตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ขึ้นไป ถือเป็นตัวเลขจำนวนมาก หน่วยของชั้นที่ 5 คือล้านล้าน, ชั้นที่ 6 คลาส - สี่ล้านล้าน ชั้นที่ 7 - ควินทิลเลี่ยน ชั้นที่ 8 - หกล้านล้าน ชั้นที่ 9 -เอทิลเลี่ยน คุณสมบัติพื้นฐานของจำนวนธรรมชาติ การสับเปลี่ยนของการบวก . ก + ข = ข + ก การสับเปลี่ยนของการคูณ เอบี = บา ความเชื่อมโยงของการบวก (ก + ข) + ค = ก + (ข + ค) ความสัมพันธ์ของการคูณ การกระจายตัวของการคูณสัมพันธ์กับการบวก: การดำเนินการกับจำนวนธรรมชาติ 4. การหารจำนวนธรรมชาติเป็นการดำเนินการผกผันของการคูณ ถ้า ข ∙ ค = ก, ที่ สูตรสำหรับการหาร: ก: 1 = ก ก: ก = 1, ก ≠ 0 0: ก = 0, ก ≠ 0 (ก∙ ข) : ค = (a:c) ∙ ข (ก∙ ข) : ค = (b:c) ∙ ก นิพจน์เชิงตัวเลขและความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข สัญลักษณ์ที่ตัวเลขเชื่อมต่อกันด้วยสัญลักษณ์การกระทำคือ นิพจน์เชิงตัวเลข. ตัวอย่างเช่น 10∙3+4; (60-2∙5):10. บันทึกที่มีนิพจน์ตัวเลข 2 รายการรวมกับเครื่องหมายเท่ากับ ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข. ความเท่าเทียมกันมีด้านซ้ายและขวา ลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ การบวกและการลบตัวเลขเป็นการดำเนินการในระดับที่ 1 ในขณะที่การคูณและการหารเป็นการดำเนินการในระดับที่ 2 เมื่อนิพจน์ตัวเลขประกอบด้วยการกระทำเพียงระดับเดียว การกระทำเหล่านั้นจะดำเนินการตามลำดับจากซ้ายไปขวา. เมื่อนิพจน์ประกอบด้วยการกระทำของระดับที่ 1 และ 2 เท่านั้น การดำเนินการนั้นจะถูกดำเนินการก่อน ระดับที่สองจากนั้น - การกระทำของระดับแรก เมื่อมีวงเล็บในนิพจน์ การดำเนินการในวงเล็บจะถูกดำเนินการก่อน ตัวอย่างเช่น 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21