Rotacija krutog tijela oko fiksne ose. Rotacijsko kretanje krutog tijela oko fiksne ose Rotacija krutog tijela oko ose

Kinematika krutog tijela

Za razliku od kinematike tačke, u kinematici krutih tijela rješavaju se dva glavna zadatka:

Određivanje kretanja i određivanje kinematičkih karakteristika tijela u cjelini;

Određivanje kinematičkih karakteristika tjelesnih tačaka.

Metode za postavljanje i određivanje kinematičkih karakteristika zavise od vrste kretanja tijela.

U ovom priručniku razmatraju se tri tipa kretanja: translacijsko, rotacijsko oko fiksne ose i ravno-paralelno kretanje krutog tijela.

Translacijsko kretanje krutog tijela

Translacijsko je kretanje u kojem prava linija povučena kroz dvije tačke tijela ostaje paralelna svom prvobitnom položaju (slika 2.8).

Dokazana teorema: u translatornom kretanju, sve tačke tela kreću se duž istih putanja i u svakom trenutku imaju istu brzinu i ubrzanje u apsolutnoj vrednosti i pravcu (slika 2.8).

zaključak: Translacijsko kretanje krutog tijela određeno je kretanjem bilo koje njegove tačke, pa se stoga zadatak i proučavanje njegovog kretanja svodi na kinematiku tačke.

Rice. 2.8 Sl. 2.9

Rotacijsko kretanje krutog tijela oko fiksne ose.

Rotacija oko fiksne ose je kretanje krutog tela, pri čemu dve tačke koje pripadaju telu ostaju nepokretne tokom čitavog vremena kretanja.

Položaj tijela je određen uglom rotacije (slika 2.9). Jedinica mjere za ugao je radijani. (Radijan je središnji ugao kruga čija je dužina luka jednaka poluprečniku, puni ugao kruga sadrži 2 radijana.)

Zakon rotacionog kretanja tijela oko fiksne ose = (t). Ugaona brzina i kutno ubrzanje tijela odredit će se metodom diferencijacije

Ugaona brzina, rad/s; (2.10)

Kutno ubrzanje, rad/s 2 (2.11)

Kada se tijelo rotira oko fiksne ose, njegove točke koje ne leže na osi rotacije kreću se po kružnicama koje su centrirane na osi rotacije.

Ako tijelo presečemo ravninom koja je okomita na osu, odaberite tačku na osi rotacije WITH i proizvoljna tačka M, onda pokažite Mće opisati oko tačke WITH krug radijusa R(Sl. 2.9). Tokom dt dolazi do elementarne rotacije kroz ugao, dok tačka Mće se kretati duž putanje za određenu udaljenost Definirajte modul linearne brzine:

tačka ubrzanje M jer je poznata putanja određena njenim komponentama, vidi (2.8)

Zamjenom izraza (2.12) u formule dobijamo:

gdje je: - tangencijalno ubrzanje,

Normalno ubrzanje.

Ravnoparalelno kretanje krutog tijela

Ravnoparalelno je kretanje krutog tijela, u kojem se sve njegove tačke kreću u ravnima paralelnim s jednom fiksnom ravninom (slika 2.10). Za proučavanje kretanja tijela dovoljno je proučiti kretanje jednog dijela S ovo tijelo ravninom koja je paralelna fiksnoj ravni. Pokret sekcije S u svojoj ravni može se smatrati kompleksnim, koji se sastoji od dva elementarna kretanja: a) translacionog i rotacionog; b) rotacijski u odnosu na mobilni (trenutni) centar.

U prvoj varijanti kretanje presjeka može se dati jednačinama kretanja jedne od njegovih tačaka (pola) i rotacije presjeka oko pola (slika 2.11). Bilo koja tačka preseka može se uzeti kao stub.

Rice. 2.10 Sl. 2.11

Jednačine kretanja će biti zapisane kao:

X A = X A (t)

Y A = Y A (t) (2.14)

A = A (t)

Kinematske karakteristike pola određuju se iz jednačina njegovog kretanja.

Brzina bilo koje tačke ravne figure koja se kreće u svojoj ravni je zbir brzine pola (proizvoljno odabranog u presjeku tačke A) i brzinu rotacije oko pola (rotacija tačke IN oko tačke A).

Ubrzanje tačke ravne figure koja se kreće je zbir ubrzanja pola u odnosu na fiksni referentni okvir i ubrzanja zbog rotacionog kretanja oko pola.

U drugoj varijanti kretanje sekcije se smatra rotacijskim oko pokretnog (trenutnog) centra P(Sl. 1.12). U ovom slučaju, brzina bilo koje tačke B presjeka bit će određena formulom za rotacijsko kretanje

Ugaona brzina oko trenutnog centra R može se odrediti ako je poznata brzina bilo koje tačke odsjeka, na primjer, tačke A.

Sl.2.12

Položaj trenutnog centra rotacije može se odrediti na osnovu sljedećih svojstava:

Vektor brzine tačke je okomit na radijus;

Modul brzine tačke je proporcionalan udaljenosti od tačke do centra rotacije ( V=R) ;

Brzina u centru rotacije je nula.

Razmotrimo neke slučajeve određivanja položaja trenutnog centra.

1. Smjerovi brzina dviju tačaka ravne figure su poznati (slika 2.13). Nacrtajmo linije radijusa. Trenutni centar rotacije P nalazi se na presjeku okomica povučenih na vektore brzina.

2. Brzine tačaka A i B su poznate, a vektori i su međusobno paralelni, a prava AB okomito (sl. 2. 14). U ovom slučaju, trenutni centar rotacije leži na liniji AB. Da bismo ga pronašli, povlačimo liniju proporcionalnosti brzina na osnovu zavisnosti V=R.

3. Tijelo se kotrlja bez klizanja po fiksnoj površini drugog tijela (slika 2.15). Tačka dodira tijela u ovom trenutku ima brzinu nula, dok brzine ostalih tačaka tijela nisu jednake nuli. Tačka tangente P će biti trenutno središte rotacije.

Rice. 2.13 Sl. 2.14 Sl. 2.15

Pored razmatranih opcija, brzina tačke preseka može se odrediti na osnovu teoreme o projekcijama brzina dve tačke krutog tela.

Teorema: projekcije brzina dviju tačaka krutog tijela na pravu liniju povučenu kroz ove tačke su jednake i jednako usmjerene.

Dokaz: udaljenost AB ne može se promeniti, dakle

V A cos ne može biti više ili manje V U cos (slika 2.16).

Rice. 2.16

Zaključak: V A cos = V IN cos. (2.19)

Složeno kretanje tačke

U prethodnim paragrafima razmatrano je kretanje tačke u odnosu na fiksni referentni okvir, takozvano apsolutno kretanje. U praksi postoje problemi u kojima je poznato kretanje tačke u odnosu na koordinatni sistem, koja se kreće u odnosu na fiksni sistem. U tom slučaju je potrebno odrediti kinematičke karakteristike tačke u odnosu na fiksni sistem.

Uobičajeno je da se zove: kretanje tačke u odnosu na sistem koji se kreće - relativno, kretanje tačke zajedno sa pokretnim sistemom - prenosiv, kretanje tačke u odnosu na fiksni sistem - apsolutno. Prema tome, brzine i ubrzanja se nazivaju:

- figurativni; -apsolutno.

Prema teoremi sabiranja brzina, apsolutna brzina tačke jednaka je vektorskom zbroju relativne i translacijske brzine (Sl.).

Apsolutna vrijednost brzine određena je zakonom kosinusa

Sl.2.17

Ubrzanje prema pravilu paralelograma određuje se pomoću samo u translatornom kretanju

Kod netranslacionog prijenosnog kretanja pojavljuje se treća komponenta ubrzanja, nazvana rotacijski ili Coriolis.

Coriolisovo ubrzanje je numerički jednako

gdje je ugao između vektora i

Pogodno je odrediti smjer Coriolisovog vektora ubrzanja prema N.E. Žukovski: projektirati vektor na ravan okomitu na osu translacijske rotacije, rotirati projekciju za 90 stepeni u smjeru translacijske rotacije. Dobiveni smjer će odgovarati smjeru Coriolisovog ubrzanja.

Pitanja za samokontrolu u odjeljku

1. Koji su glavni zadaci kinematike? Navedite kinematičke karakteristike.

2. Imenujte metode za određivanje kretanja tačke i određivanje kinematičkih karakteristika.

3. Dajte definiciju translacijskog, rotacijskog oko fiksne ose, ravno-paralelnog kretanja tijela.

4. Kako se određuje kretanje krutog tijela pri translacijskom, rotacijskom oko fiksne ose i ravnoparalelnom kretanju tijela i kako se određuje brzina i ubrzanje tačke pri tim kretanjima tijela?

Translational naziva se takvo kretanje krutog tijela u kojem svaka prava linija, koja je uvijek povezana s ovim tijelom, ostaje paralelna sa svojim početnim položajem.

Teorema. U translatornom kretanju krutog tijela, sve njegove točke opisuju iste putanje i u svakom trenutku imaju jednake brzine i ubrzanja po veličini i smjeru.

Dokaz. Proći kroz dvije tačke i , translatorno pokretni segment tijela
i razmotrite kretanje ovog segmenta u poziciji
. Istovremeno, poenta opisuje putanju
, i poenta - putanja
(Sl. 56).

S obzirom da segment
kreće se paralelno sa sobom, a njegova dužina se ne mijenja, može se ustanoviti da trajektorije tačaka I biće isti. Dakle, prvi dio teoreme je dokazan. Odredićemo položaj tačaka I na vektorski način u odnosu na fiksno ishodište . Istovremeno, ovi radijusi - vektori zavise od
. Jer. ni dužina ni pravac segmenta
se ne mijenja kada se tijelo kreće, tada vektor

. Nastavljamo sa određivanjem brzina prema zavisnosti (24):

, dobijamo
.

Nastavljamo sa određivanjem ubrzanja prema zavisnosti (26):

, dobijamo
.

Iz dokazane teoreme slijedi da će translacijsko kretanje tijela biti potpuno određeno ako je poznato kretanje samo jedne od nekih tačaka. Stoga se proučavanje translacijskog kretanja krutog tijela svodi na proučavanje kretanja jedne od njegovih tačaka, tj. na problem kinematike tačaka.

Tema 11. Rotacijsko kretanje krutog tijela

rotacijski je takvo kretanje krutog tijela u kojem dvije njegove tačke ostaju nepomične za cijelo vrijeme kretanja. Prava koja prolazi kroz ove dvije fiksne tačke naziva se osa rotacije.

Svaka tačka tijela koja ne leži na osi rotacije, pri takvom kretanju opisuje kružnicu čija je ravan okomita na os rotacije, a centar joj leži na ovoj osi.

Kroz os rotacije povlačimo nepokretnu ravan I i pokretnu ravan II, koja je uvek povezana sa telom i rotira sa njim (Sl. 57). Položaj ravni II, a samim tim i cijelog tijela, u odnosu na ravan I u prostoru, u potpunosti je određen uglom . Kada se tijelo rotira oko ose ovaj ugao je kontinuirana i jednovrijedna funkcija vremena. Dakle, poznavajući zakon promjene ovog ugla tokom vremena, možemo odrediti položaj tijela u prostoru:

- zakon rotacije tela. (43)

U ovom slučaju, pretpostavićemo da je ugao računa se od fiksne ravnine u smjeru suprotnom od kazaljke na satu kada se gleda s pozitivnog kraja ose . Budući da je položaj tijela koje rotira oko fiksne ose određen jednim parametrom, kaže se da takvo tijelo ima jedan stepen slobode.

Ugaona brzina

Promjena ugla rotacije tijela tokom vremena naziva se ugaona telesna brzina i označeno
(omega):

.(44)

Ugaona brzina, kao i linearna brzina, je vektorska veličina i ovaj vektor izgrađena na osi rotacije tela. Usmjeren je duž ose rotacije u tom smjeru tako da se, gledajući od njegovog kraja prema njegovom početku, vidi rotacija tijela u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (sl. 58). Modul ovog vektora je određen zavisnošću (44). Tačka aplikacije na osi se može birati proizvoljno, budući da se vektor može translirati duž njegove linije djelovanja. Ako označimo orto-vektor osi rotacije kroz , tada dobijamo vektorski izraz ugaone brzine:

. (45)

Kutno ubrzanje

Brzina promjene ugaone brzine tijela tokom vremena naziva se ugaono ubrzanje tijela i označava se (epsilon):

. (46)

Kutno ubrzanje je vektorska veličina i ovaj vektor izgrađena na osi rotacije tela. Usmjeren je duž ose rotacije u tom smjeru, tako da se, gledajući od njegovog kraja prema njegovom početku, vidi smjer rotacije ipsilona u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (sl. 58). Modul ovog vektora je određen zavisnošću (46). Tačka aplikacije na osi se može birati proizvoljno, budući da se vektor može translirati duž njegove linije djelovanja.

Ako označimo orto-vektor osi rotacije kroz , tada dobijamo vektorski izraz ugaonog ubrzanja:

. (47)

Ako su ugaona brzina i ubrzanje istog predznaka, tada se tijelo rotira ubrzano, a ako je drugačije - polako. Primjer spore rotacije prikazan je na sl. 58.

Razmotrimo posebne slučajeve rotacijskog kretanja.

1. Ravnomjerna rotacija:

,
.

,
,
,

,
. (48)

2. Jednako-varijabilna rotacija:

.

,
,
,
,
,
,
,
,

,
,
.(49)

Odnos linearnih i ugaonih parametara

Razmotrimo kretanje proizvoljne tačke
rotirajuće telo. U ovom slučaju, putanja tačke će biti kružnica, radijus
, koji se nalazi u ravni okomitoj na os rotacije (Sl. 59, A).

Pretpostavimo to u to vrijeme tačka je na poziciji
. Pretpostavimo da se tijelo rotira u pozitivnom smjeru, tj. u pravcu povećanja ugla . U trenutku
tačka će zauzeti poziciju
. Označite luk
. Stoga, tokom određenog vremenskog perioda
tačka je prešla put
. Njena prosečna brzina , i kada
,
. Ali, sa Sl. 59, b, to je jasno
. Onda. Konačno dobijamo

. (50)

Evo - linearna brzina tačke
. Kao što je ranije dobijeno, ova brzina je usmjerena tangencijalno na putanju u datoj tački, tj. tangenta na kružnicu.

Dakle, modul linearne (obodne) brzine tačke rotirajućeg tela jednak je proizvodu apsolutne vrednosti ugaone brzine na rastojanje od ove tačke do ose rotacije.

Sada povežimo linearne komponente ubrzanja tačke sa ugaonim parametrima.

,
. (51)

Modul tangencijalnog ubrzanja tačke krutog tijela koje se okreće oko fiksne ose jednak je proizvodu kutnog ubrzanja tijela na udaljenosti od ove točke do ose rotacije.

,
. (52)

Modul normalnog ubrzanja tačke krutog tijela koja rotira oko fiksne ose jednak je umnošku kvadrata ugaone brzine tijela i udaljenosti od ove točke do ose rotacije.

Tada izraz za ukupno ubrzanje tačke poprima oblik

. (53)

Vektorski smjerovi ,,prikazano na slici 59, V.

ravno kretanje Kruto tijelo je takvo kretanje u kojem se sve tačke tijela kreću paralelno s nekom fiksnom ravninom. Primjeri takvih kretanja:

Kretanje bilo kojeg tijela čija osnova klizi duž date fiksne ravni;

Točak koji se kotrlja duž pravog dijela staze (šine).

Dobijamo jednadžbe ravninskog kretanja. Da biste to učinili, razmotrite ravnu figuru koja se kreće u ravnini lista (slika 60). Ovo kretanje upućujemo na fiksni koordinatni sistem
, a sa samom figurom ćemo povezati pokretni koordinatni sistem
, koji se kreće s njim.

Očigledno je da je položaj pokretne figure na fiksnoj ravni određen položajem pokretnih osa
u odnosu na fiksne ose
. Ovaj položaj je određen položajem pokretačkog početka , tj. koordinate ,i ugao rotacije , pokretni koordinatni sistem u odnosu na fiksni, koji će se računati od ose u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Prema tome, kretanje ravne figure u njenoj ravni biće potpuno određeno ako su vrijednosti poznate za svaki trenutak vremena ,,, tj. jednačine oblika:

,
,
. (54)

Jednačine (54) su jednadžbe gibanja u ravnini krutog tijela, jer ako su ove funkcije poznate, onda je za svaki trenutak vremena moguće pronaći iz ovih jednačina, odnosno ,,, tj. odrediti položaj pokretne figure u datom trenutku.

Razmotrite posebne slučajeve:

1.

, tada će kretanje tijela biti translatorno, budući da se pomične ose kreću, ostajući paralelne sa svojim početnim položajem.

2.

,

. Ovim kretanjem mijenja se samo ugao rotacije. , tj. tijelo će se rotirati oko ose koja prolazi okomito na ravan figure kroz tačku .

Dekompozicija kretanja ravne figure na translaciono i rotaciono

Razmotrite dva uzastopna položaja I
povremeno zauzeti tijelom I
(Sl. 61). telo van položaja u poziciju
može se prenijeti na sljedeći način. Pomerimo prvo telo progresivno. Istovremeno, segment
kreće se paralelno sa sobom u poziciju
, i onda okrenimo se tijelo oko tačke (pola) na uglu
do meča bodova I .

dakle, bilo koje planarno gibanje može se predstaviti kao zbir translacijskog kretanja zajedno s odabranim polom i rotacijskim kretanjem, o ovom stubu.

Razmotrimo metode pomoću kojih je moguće odrediti brzine tačaka tijela koje se kreće u ravnini.

1. Metoda stubova. Ova metoda se zasniva na rezultujućoj dekompoziciji kretanja u ravnini na translaciono i rotaciono. Brzina bilo koje tačke ravne figure može se predstaviti kao dvije komponente: translacijska, sa brzinom jednakom brzini proizvoljno odabrane tačke -stubovi , i rotacijski oko ovog pola.

Zamislite ravno tijelo (slika 62). Jednačine kretanja su:
,
,
.

Iz ovih jednačina određujemo brzinu tačke (kao kod koordinatnog načina postavljanja)

,
,
.

Dakle, brzina tačke - vrijednost je poznata. Uzimamo ovu tačku kao pol i određujemo brzinu proizvoljne tačke
tijelo.

Brzina
će se sastojati od prevodne komponente , kada se kreće zajedno sa točkom , i rotacijski
, kada je točka rotirana
u odnosu na tačku . Tačkasta brzina pređite na tačku
paralelno sa sobom, budući da su u translacionom kretanju brzine svih tačaka jednake i po veličini i po pravcu. Brzina
određeno zavisnošću (50)
, a ovaj vektor je usmjeren okomito na polumjer
u smjeru rotacije
. Vector
će biti usmjerena duž dijagonale paralelograma izgrađenog na vektorima I
, a njegov modul je određen ovisnošću:

, .(55)

2. Teorema o projekcijama brzina dviju tačaka tijela.

Projekcije brzina dviju tačaka krutog tijela na pravu liniju koja spaja ove tačke jednake su jedna drugoj.

Razmotrite dvije tačke tijela I (Sl. 63). Uzimam poen po stupu, odredite smjer prema zavisnosti (55):
. Projektiramo ovu vektorsku jednakost na pravu
i s obzirom na to
okomito
, dobijamo

3. Trenutni centar brzina.

Trenutni centar brzina(MCS) je tačka čija je brzina u datom trenutku nula.

Pokažimo da ako se tijelo ne kreće naprijed, onda takva tačka postoji u svakom trenutku vremena i, štaviše, jedinstvena je. Neka trenutno bodova I tijela koja leže u sekciji , imaju brzine I , nisu paralelne jedna s drugom (Sl. 64). Onda poenta
, koji leži na presjeku okomitih vektora I , i postojaće MCS, pošto
.

Zaista, ako to pretpostavimo
, zatim prema teoremi (56) vektor
mora biti okomito
I
, što je nemoguće. Iz iste teoreme se može vidjeti da nijedna druga tačka nije tačna u ovom trenutku ne može imati brzinu jednaku nuli.

Primjena metode stubova
- stub, odredi brzinu tačke (55): od
,
. (57)

Sličan rezultat se može dobiti za bilo koju drugu tačku tijela. Stoga je brzina bilo koje točke tijela jednaka njegovoj brzini rotacije u odnosu na MCS:

,
,
, tj. Brzine tačaka tela su proporcionalne njihovim udaljenostima od MCS.

Iz tri razmatrane metode za određivanje brzina tačaka ravne figure, može se vidjeti da je MCS poželjniji, jer se ovdje brzina odmah određuje i u apsolutnoj vrijednosti i u smjeru jedne komponente. Međutim, ova metoda se može koristiti ako znamo ili možemo odrediti položaj MCS za tijelo.

Određivanje položaja MCS-a

1. Ako za dati položaj tijela znamo smjerove brzina dviju tačaka tijela, tada će MCC biti tačka presjeka okomita na ove vektore brzina.

2. Brzine dve tačke tela su antiparalelne (Sl. 65, A). U ovom slučaju, okomita na brzine će biti uobičajena, tj. MCC se nalazi negdje na ovoj okomici. Za određivanje položaja MCC-a potrebno je povezati krajeve vektora brzina. Tačka presjeka ove linije sa okomom će biti željeni MCS. U ovom slučaju, MCS se nalazi između ove dvije tačke.

3. Brzine dve tačke tela su paralelne, ali nisu jednake po veličini (Sl. 65, b). Procedura za dobijanje MDS-a je slična onoj opisanoj u paragrafu 2.

d) Brzine dve tačke su jednake i po veličini i po pravcu (Sl. 65, V). Dobijamo slučaj trenutnog translacijskog kretanja, u kojem su brzine svih tačaka tijela jednake. Stoga je ugaona brzina tijela u ovom položaju nula:

4. Definiramo MCC za kotrljanje kotača bez klizanja na fiksnoj površini (Sl. 65, G). Budući da se kretanje odvija bez klizanja, tada će na mjestu kontakta točka s površinom brzina biti ista i jednaka nuli, jer površina miruje. Stoga će točka kontakta točka sa fiksnom površinom biti MCC.

Određivanje ubrzanja tačaka ravne figure

Prilikom određivanja ubrzanja tačaka ravne figure može se pratiti analogija sa metodama za određivanje brzina.

1. Metoda stubova. Baš kao i pri određivanju brzina, za pol uzimamo proizvoljnu tačku tijela čije ubrzanje znamo ili možemo odrediti. Onda ubrzanje bilo koje tačke ravne figure jednako je zbroju ubrzanja pola i ubrzanja rotacionog kretanja oko ovog pola:

Istovremeno, komponenta
određuje ubrzanje tačke dok se okreće oko pola . Prilikom rotacije, putanja tačke će biti krivolinijska, što znači
(Sl. 66).

Tada zavisnost (58) poprima oblik
. (59)

Uzimajući u obzir zavisnosti (51) i (52), dobijamo
,
.

2. Trenutačno središte ubrzanja.

Centar za trenutno ubrzanje(MCC) je tačka čije je ubrzanje u datom trenutku nula.

Pokažimo da takva tačka postoji u bilo kom trenutku. Uzimamo tačku kao motku , čije ubrzanje
mi znamo. Pronalaženje ugla , leži unutra
, i zadovoljavajući uslov
. Ako
, To
i obrnuto, tj. ugao deponuje se u pravcu . Ostavite po strani od tačke pod uglom na vektor
linijski segment
(Sl. 67). Bod dobijen takvim konstrukcijama
će biti MCU.

Zaista, ubrzanje tačke
jednak zbiru ubrzanja
stubovi i ubrzanje
u rotaciji oko pola :
.

,
. Onda
. S druge strane, ubrzanje
formira sa smjerom segmenta
ugao
, što zadovoljava uslov
. Znak minus se stavlja ispred tangente ugla , od rotacije
u odnosu na pol suprotno od kazaljke na satu i ugao
nanosi se u smjeru kazaljke na satu. Onda
.

dakle,
i onda
.

Posebni slučajevi određivanja MCC-a

1.
. Onda
, pa stoga MCU ne postoji. U ovom slučaju tijelo se kreće naprijed, tj. brzine i ubrzanja svih tačaka tela su jednake.

2.
. Onda
,
. To znači da MCU leži na preseku linija delovanja ubrzanja tačaka tela (Sl. 68, A).

3.
. onda,
,
. To znači da MCC leži na presjeku okomica na ubrzanja tačaka tijela (Sl. 68, b).

4.
. Onda
,

. To znači da MCU leži na sjecištu zraka povučenih do ubrzanja tačaka tijela pod kutom (sl.68, V).

Iz razmatranih posebnih slučajeva možemo zaključiti: ako shvatimo poentu
po polu, tada je ubrzanje bilo koje točke ravne figure određeno ubrzanjem rotacijskog kretanja oko MCU-a:

. (60)

Komplikovano kretanje tačke naziva se takvo kretanje u kojem tačka istovremeno učestvuje u dva ili više kretanja. Ovakvim kretanjem, položaj tačke se određuje u odnosu na mobilni i u odnosu na fiksni referentni sistem.

Pomicanje tačke u odnosu na pokretni referentni okvir naziva se relativno kretanje tačke . Označimo parametre relativnog kretanja
.

Kretanje one tačke pokretnog referentnog okvira, s kojom se pokretna tačka poklapa u datom trenutku u odnosu na fiksni referentni sistem, naziva se pomeranje tačke . Označimo parametre prijenosnog pokreta
.

Pomicanje tačke u odnosu na fiksni referentni okvir naziva se apsolutni (složen) pomeranje tačke . Označimo parametre apsolutnog kretanja
.

Kao primjer složenog kretanja možemo uzeti u obzir kretanje osobe u vozilu u pokretu (tramvaju). U ovom slučaju, kretanje osobe je vezano za pokretni koordinatni sistem - tramvaj i za fiksni koordinatni sistem - zemlju (put). Zatim, na osnovu gornjih definicija, kretanje osobe u odnosu na tramvaj je relativno, kretanje zajedno sa tramvajem u odnosu na tlo je figurativno, a kretanje osobe u odnosu na tlo je apsolutno.

Odredićemo poziciju tačke
radijusi - vektori u odnosu na kretanje
i nepomično
koordinatni sistemi (slika 69). Hajde da uvedemo notaciju: - radijus vektor koji definiše poziciju tačke
u odnosu na pokretni koordinatni sistem
,
;- radijus vektor koji određuje poziciju početka pokretnog koordinatnog sistema (tačke ) (poeni );- radijus - vektor koji definiše poziciju tačke
u odnosu na fiksni koordinatni sistem
;
,.

Hajde da dobijemo uslove (ograničenja) koji odgovaraju relativnim, figurativnim i apsolutnim kretanjima.

1. Kada razmatramo relativno kretanje, pretpostavićemo da je tačka
kreće se u odnosu na pokretni koordinatni sistem
, i sam pokretni koordinatni sistem
u odnosu na fiksni koordinatni sistem
ne pomera se.

Zatim koordinate tačke
će se mijenjati u relativnom kretanju, a orto-vektori pomičnog koordinatnog sistema neće se mijenjati u smjeru:

,

,

.

2. Prilikom razmatranja prijenosnog kretanja, pretpostavit ćemo da su koordinate tačke
u odnosu na pokretni koordinatni sistem su fiksirani, a tačka se kreće sa pomičnim koordinatnim sistemom
relativno nepokretan
:

,

,

,.

3. Sa apsolutnim kretanjem, tačka se takođe kreće relativno
i zajedno sa koordinatnim sistemom
relativno nepokretan
:

Tada izrazi za brzine, uzimajući u obzir (27), imaju oblik

,
,

Upoređujući ove zavisnosti, dobijamo izraz za apsolutnu brzinu:
. (61)

Dobili smo teoremu o sabiranju brzina jedne tačke u složenom kretanju: apsolutna brzina tačke jednaka je geometrijskom zbiru relativne i prenosive komponente brzine.

Koristeći zavisnost (31) dobijamo izraze za ubrzanja:

,

Upoređujući ove zavisnosti, dobijamo izraz za apsolutno ubrzanje:
.

Utvrđeno je da apsolutno ubrzanje tačke nije jednako geometrijskom zbroju relativnih i prenosivih komponenti ubrzanja. Definirajmo komponentu apsolutnog ubrzanja, koja je u zagradi, za posebne slučajeve.

1. Translacijsko kretanje tačke
. U ovom slučaju, osi pokretnog koordinatnog sistema
onda se sve vreme kreću paralelno sa sobom.

,

,

,
,
,
, Onda
. Konačno dobijamo

. (62)

Ako je prenosivo kretanje tačke translatorno, tada je apsolutno ubrzanje tačke jednako geometrijskom zbroju relativne i prenosive komponente ubrzanja.

2. Prenosno kretanje tačke nije translaciono. Dakle, u ovom slučaju, pokretni koordinatni sistem
rotira oko trenutne ose rotacije ugaonom brzinom (Sl. 70). Označite tačku na kraju vektora kroz . Zatim, koristeći vektorsku metodu specificiranja (15), dobijamo vektor brzine ove tačke
.

Na drugoj strani,
. Izjednačavajući prave dijelove ovih vektorskih jednakosti, dobijamo:
. Postupajući na sličan način, za ostale vektorske vektore dobijamo:
,
.

U opštem slučaju, apsolutno ubrzanje tačke je jednako geometrijskom zbroju relativne i prenosive komponente ubrzanja plus dvostruki vektorski proizvod vektora ugaone brzine prenosnog kretanja vektorom linearne brzine relativno kretanje.

Udvojeni vektorski proizvod vektora ugaone brzine prenosnog kretanja vektorom linearne brzine relativnog kretanja naziva se Coriolisovo ubrzanje i označeno

. (64)

Coriolisovo ubrzanje karakterizira promjenu relativne brzine u prijenosnom kretanju i promjenu brzine prijenosa u relativnom kretanju.

Proslijeđeno
prema pravilu vektorskog proizvoda. Coriolisov vektor ubrzanja je uvijek usmjeren okomito na ravan koju čine vektori I , tako da, gledajući s kraja vektora
, vidi okret To , kroz najmanji ugao, u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Coriolisov modul ubrzanja je jednak.

Apsolutno kruto tijelo tijelo čiji se dijelovi ne mijenjaju tokom kretanja.

Translacijsko kretanje krutog tijela - to je njegovo kretanje, u kojem se svaka prava linija, kruto povezana s tijelom, kreće, ostajući paralelna svom prvobitnom smjeru.

U translatornom kretanju krutog tijela sve njegove tačke se kreću na isti način za kratko vrijeme dt, poluprečnik vektora ovih tačaka se mijenja za isti iznos. Prema tome, u svakom trenutku vremena, brzine svih njegovih tačaka su iste i jednake. Stoga se kinematika razmatranog translacijskog kretanja krutog tijela svodi na proučavanje kretanja bilo koje njegove točke. Obično razmatramo kretanje centra inercije krutog tijela koje se slobodno kreće u prostoru.

Rotacijsko kretanje krutog tijela - ovo je takvo kretanje u kojem se sve njegove točke kreću po kružnicama čiji su centri izvan tijela . Prava linija se naziva osa rotacije tijela.

Ugaona brzina- vektorska veličina koja karakteriše brzinu rotacije tela; omjer ugla rotacije i vremena tokom kojeg je došlo do ove rotacije; vektor određen prvim izvodom ugla rotacije tijela u odnosu na vrijeme. Vektor ugaone brzine je usmeren duž ose rotacije prema pravilu desnog zavrtnja. ω=φ/t=2π/T=2πn, gdje je T period rotacije, n je frekvencija rotacije. ω=lim Δt → 0 Δφ/Δt=dφ/dt.

Kutno ubrzanje je vektor određen prvim izvodom ugaone brzine u odnosu na vrijeme. Kada se tijelo rotira oko fiksne ose, vektor ugaonog ubrzanja je usmjeren duž ose rotacije prema vektoru elementarnog prirasta ugaone brzine. Drugi izvod ugla rotacije u odnosu na vrijeme. Kada se tijelo rotira oko fiksne ose, vektor ugaonog ubrzanja je usmjeren duž ose rotacije prema vektoru elementarnog prirasta ugaone brzine. Kod ubrzanog kretanja, vektor ε je kousmjeren na vektor φ, kod usporenog kretanja je suprotan njemu. ε=dω/dt.

Ako je dω/dt > 0, onda je εω

Ako je dω/dt< 0, то ε ↓ω

4. Princip inercije (prvi Newtonov zakon). Inercijski referentni sistemi. Princip relativnosti.

Njutnov prvi zakon (zakon inercije): bilo koja materijalna tačka (tijelo) održava stanje mirovanja ili ravnomjernog pravolinijskog kretanja sve dok je udar drugih tijela ne promijeni ovo stanje

Želja tijela za održavanjem stanja mirovanja ili ravnomjernog pravolinijskog kretanja naziva se inercija. Stoga se prvi Newtonov zakon naziva zakon inercije.

Prvi Newtonov zakon navodi postojanje inercijalnih referentnih okvira.

inercijski referentni okvir- ovo je referentni sistem, u odnosu na koji se slobodna materijalna tačka, koja nije podložna utjecaju drugih tijela, kreće ravnomjerno pravolinijski; to je takav sistem koji ili miruje ili se kreće jednoliko i pravolinijski u odnosu na neki drugi inercijski sistem.

Princip relativnosti- osnovni fizički zakon, prema kojem se svaki proces odvija na isti način u izolovanom materijalnom sistemu u mirovanju, au istom sistemu u stanju ravnomernog pravolinijskog kretanja. Stanja kretanja ili mirovanja određuju se s obzirom na proizvoljno odabran inercijski referentni okvir. Princip relativnosti leži u osnovi Ajnštajnove specijalne teorije relativnosti.

5. Galilejeve transformacije.

Princip relativnosti (Galileja): nikakvi eksperimenti (mehanički, električni, optički) koji se izvode unutar datog inercijalnog referentnog okvira ne omogućavaju da se utvrdi da li ovaj okvir miruje ili se kreće ravnomjerno i pravolinijsko; svi zakoni prirode su invarijantni u odnosu na prelazak iz jednog inercijalnog referentnog okvira u drugi.

Razmotrimo dva referentna okvira: inercijski okvir K (sa koordinatama x, y, z), koji ćemo uslovno smatrati fiksnim, i okvir K' (sa koordinatama x', y', z'), koji se kreće u odnosu na K ravnomjerno i pravolinijski brzinom U ( U = const). Nađimo vezu između koordinata proizvoljne tačke A u oba sistema. r = r'+r0=r'+Ut. (1.)

Jednačina (1.) se može napisati u projekcijama na koordinatne osi:

y=y'+Uyt; (2.)

z=z'+Uzt; Jednačine (1.) i (2.) se nazivaju Galilejevim koordinatnim transformacijama.

Odnos potencijalne energije i sile

Svaka tačka potencijalnog polja odgovara, s jedne strane, određenoj vrijednosti vektora sile koja djeluje na tijelo, as druge strane određenoj vrijednosti potencijalne energije. Stoga mora postojati određeni odnos između sile i potencijalne energije.

Da bismo uspostavili ovu vezu, izračunavamo elementarni rad koji obavljaju sile polja pri malom pomaku tijela koji se dešava u proizvoljno odabranom smjeru u prostoru, koji označavamo slovom . Ovo djelo je

gdje je projekcija sile na smjer .

Budući da se u ovom slučaju rad obavlja zbog zaliha potencijalne energije, on je jednak gubitku potencijalne energije na segmentu ose:

Iz zadnja dva izraza dobijamo

Ova formula određuje projekciju vektora sile na koordinatne ose. Ako su ove projekcije poznate, tada se određuje sam vektor sile:

u vektoru matematike ,

gdje je a skalarna funkcija x, y, z, naziva se gradijent ovog skalara i označava se simbolom . Dakle, sila je jednaka gradijentu potencijalne energije, uzetom sa suprotnim predznakom

To je kretanje u kojem se sve točke tijela kreću po kružnicama čiji centri leže na osi rotacije.

Položaj tijela je dat diedarskim uglom  (ugao rotacije).

 =  (t) - jednačina kretanja.

Kinematske karakteristike tijela:

- ugaona brzina, s -1 ;

- ugaono ubrzanje, s -2 .

Vrijednosti  i  mogu se predstaviti kao vektori
, koji se nalazi na osi rotacije, smjeru vektora je takav da se sa njegovog kraja vidi da se rotacija tijela odvija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Smjer poklapa se sa , Ako >o.

P pozicija tačke tela: M 0 M 1 = S = h.

Brzina bodova
; pri čemu
.

gdje
;
;
.

Ubrzanje tačke tela,
- rotacijsko ubrzanje (u tački kinematici - tangencijalno - ):
- naglo ubrzanje (u kinematici tačke - normalno - ).

Moduli:
;
;

.

Ujednačena i ujednačena rotacija

1. Uniforma:  = const,
;
;
- jednačina kretanja.

2. Jednako varijabilna:  = const,
;
;
;
;
- jednačina kretanja.

2). Mehanički pogon se sastoji od remenice 1, remena 2 i stepenastih točkova 3 i 4. Odrediti brzinu letve 5, kao i ubrzanje tačke M u trenutku t 1 = 1 s. Ako je ugaona brzina remenice  1 = 0,2t, s -1; R 1 = 15; R3=40; r 3 = 5; R4 = 20; r 4 \u003d 8 (u centimetrima).

Rake speed

;

;
;
.

Gdje
;
;
, sa -1 .

Iz (1) i (2) dobijamo , vidi

Tačka ubrzanja M .

, s -2 pri t 1 = 1 s; a \u003d 34,84 cm / s 2.

3.3 Ravnoparalelno (ravno) kretanje krutog tijela

E ono kretanje u kome se sve tačke tela kreću u ravnima paralelnim nekoj fiksnoj ravni.

Sve tačke tijela na bilo kojoj pravoj liniji okomitoj na fiksnu ravan kreću se na isti način. Stoga se analiza kretanja tijela u ravnini svodi na proučavanje kretanja ravne figure (presjek S) u njenoj ravni (xy).

Ovaj pokret se može predstaviti kao skup translacionih pokreta zajedno sa nekim proizvoljno izabrana tačka a, pozvana pole, i rotacijsko kretanje oko pola.

Jednačine kretanja ravna figura

x a \u003d x a (t); y a = y a; j = j(t)

Kinematske karakteristike ki ravna figura:

- brzina i ubrzanje motke; w, e - ugaona brzina i ugaono ubrzanje (ne zavise od izbora pola).

At jednadžba kretanja bilo koje tačke ravna figura (B) se može dobiti projektovanjem vektorske jednakosti
na x i y osi

x 1 B , y 1 B - koordinate tačke u koordinatnom sistemu povezane sa slikom.

Određivanje brzina tačke

1). Analitička metoda.

Poznavanje jednačina kretanja x n = x n (t); y n = y n (t), nalazimo
;
;
.

2). Teorema raspodjele brzine.

D razlikovanje jednakosti
, dobijamo
,

- brzina tačke B tokom rotacije ravne figure oko pola A;
;

Formula za raspodjelu brzina tačaka ravne figure
.

WITH tačka brzine M točka koji se kotrlja bez klizanja

;
.

3). Teorema projekcije brzine.

Projekcije brzina dvije tačke tijela na osu koja prolazi kroz ove tačke su jednake. Inženjerska jednakost
na x-osi, imamo

P primjer

Odredite brzinu protoka vode v H na kormilu broda, ako je poznata (brzina težišta broda), b i b K (uglovi zanošenja).

Rješenje: .

4). Trenutni centar brzina (MCS).

Brzine tačaka u kretanju tela u ravni mogu se odrediti formulama rotacionog kretanja, koristeći koncept MCS.

MCC - tačka povezana sa ravnom figurom, čija je brzina u datom trenutku nula (v p = 0).

U opštem slučaju, MCC je tačka preseka okomita na smerove brzina dve tačke figure.

Uzimajući tačku P kao pol, imamo za proizvoljnu tačku

, Onda

Gdje
je ugaona brzina figure i
, one. Brzine tačaka ravne figure su proporcionalne njihovim udaljenostima od MCS.

Mogući slučajevi pronalaženja MCC-a
			Kotrljanje bez klizanja
		MCS - u beskonačnosti

Slučaj b odgovara trenutnoj translacijskoj raspodjeli brzina.

1). Za dati položaj mehanizma, naći v B , v C , v D , w 1 , w 2 , w 3 ako je u ovom trenutku v A = 20 cm/s; BC=CD=40cm; OC = 25 cm; R = 20 cm.

MCC rješenje za klizalište 1 - tačka P 1:

sa -1 ;
cm/s.

MCS veza 2 - tačka P 2 presjeka okomita na smjerove brzina tačaka B i C:

sa -1 ;
cm/s;
cm/s;
sa -1.

2). Teret Q se podiže pomoću stepenastog bubnja 1, čija je ugaona brzina w 1 = 1 s -1 ; R 1 = 3r 1 = 15 cm; AE || B.D. Pronađite brzinu v C ose pokretnog bloka 2.

Pronađite brzine tačaka A i B:

v A \u003d v E \u003d w 1 * R 1 = 15 cm / s; v B \u003d v D \u003d w 1 * r 1 = 5 cm / s.

Blok 2 MCS - tačka P. Zatim
, gdje
;
;
cm/s.