Rotaciono kretanje tela. Zakon rotacionog kretanja

Rotacija krutog tijela oko fiksne ose (os rotacije) Naziva se takvo kretanje u kojem tačke tijela koje leže na osi rotacije ostaju nepomične za cijelo vrijeme kretanja.

Neka je osa rotacije os koja može imati bilo koji smjer u prostoru. Jedan smjer ose uzima se kao pozitivan (slika 28).

Kroz os rotacije povlačimo nepokretnu i pokretnu ravan povezane sa rotirajućim tijelom. Neka se u početnom trenutku obe ravni poklapaju. Tada se u trenutku vremena položaj ravnine koja se kreće i samog rotirajućeg tijela može odrediti diedralnim kutom između ravnina i odgovarajućim linearnim kutom između pravih linija koje se nalaze u tim ravninama i okomito na os rotacije. Ugao se zove ugao rotacije tela.

Položaj tijela u odnosu na odabrani referentni sistem u potpunosti je određen u bilo kojem trenutku ako je data jednačina

gdje je bilo koja dvostruko diferencibilna funkcija vremena. Ova jednačina se zove jednadžba rotacije krutog tijela oko fiksne ose.

Tijelo koje rotira oko fiksne ose ima jedan stupanj slobode, jer se njegov položaj određuje specificiranjem samo jednog parametra - kuta.

Ugao se smatra pozitivnim ako je nacrtan u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a negativnim u suprotnom smjeru kada se gleda iz pozitivnog smjera ose. Putanja tačaka tijela za vrijeme njegove rotacije oko fiksne ose su kružnice koje se nalaze u ravninama okomitim na os rotacije.

Da bismo okarakterizirali rotacijsko kretanje krutog tijela oko fiksne ose, uvodimo koncepte ugaone brzine i ugaonog ubrzanja. Algebarska ugaona brzina tijela u bilo kom trenutku naziva se prvim izvodom u odnosu na vrijeme ugla rotacije u ovom trenutku, tj. . Pozitivna je veličina kada se tijelo rotira u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, jer se ugao rotacije povećava s vremenom, a negativan kada se tijelo rotira u smjeru kazaljke na satu, jer se ugao rotacije smanjuje.

Modul ugaone brzine je označen sa . Onda

Algebarsko ugaono ubrzanje tijela naziva se prvim izvodom u odnosu na vrijeme algebarske brzine, tj. drugi izvod ugla rotacije. Modul ugaonog ubrzanja označavamo sa , Tada

Ako je na , tada se algebarska kutna brzina povećava s vremenom i, stoga, tijelo se brzo rotira u ovom trenutku u pozitivnom smjeru (u suprotnom smjeru kazaljke na satu). Na i , tijelo se brzo rotira u negativnom smjeru. Ako je na , tada imamo sporu rotaciju u pozitivnom smjeru. Kada i spora rotacija se javlja u negativnom smjeru.

Progresivna je kretanje krutog tijela u kojem svaka ravna linija koja je uvijek povezana s ovim tijelom ostaje paralelna sa svojim početnim položajem.

Teorema. Za vrijeme translacijskog kretanja krutog tijela, sve njegove točke opisuju identične putanje i u svakom trenutku imaju jednaku brzinu i ubrzanje po veličini i smjeru.

Dokaz. Provucimo kroz dvije tačke i , linearno pokretni segment tijela
i razmotrite kretanje ovog segmenta u poziciji
. Istovremeno, poenta opisuje putanju
, i tačka - putanja
(Sl. 56).

S obzirom da segment
kreće se paralelno sa sobom, a njegova dužina se ne mijenja, može se ustanoviti da trajektorije tačaka I biće isti. To znači da je prvi dio teoreme dokazan. Odredićemo položaj tačaka I vektorska metoda u odnosu na fiksno ishodište . Štaviše, ovi radijusi - vektori su zavisni
. Jer. ni dužina ni pravac segmenta
se ne mijenja kada se tijelo kreće, tada vektor

. Pređimo na određivanje brzina pomoću zavisnosti (24):

, dobijamo
.

Prijeđimo na određivanje ubrzanja pomoću zavisnosti (26):

, dobijamo
.

Iz dokazane teoreme slijedi da će translacijsko kretanje tijela biti potpuno određeno ako je poznato kretanje samo jedne tačke. Stoga se proučavanje translacionog kretanja krutog tijela svodi na proučavanje kretanja jedne njegove tačke, tj. na problem kinematike tačke.

Tema 11. Rotacijsko kretanje krutog tijela

Rotacijski To je kretanje krutog tijela u kojem dvije njegove tačke ostaju nepomične tijekom cijelog kretanja. U ovom slučaju naziva se prava linija koja prolazi kroz ove dvije fiksne tačke osa rotacije.

Pri tom kretanju svaka tačka tijela koja ne leži na osi rotacije opisuje kružnicu čija je ravan okomita na os rotacije, a centar joj leži na ovoj osi.

Kroz os rotacije povlačimo nepokretnu ravan I i pokretnu ravan II, koja je uvek povezana sa telom i rotira sa njim (slika 57). Položaj ravni II, a samim tim i cijelog tijela, u odnosu na ravan I u prostoru, u potpunosti je određen uglom . Kada se tijelo rotira oko ose ovaj ugao je kontinuirana i nedvosmislena funkcija vremena. Dakle, poznavajući zakon promjene ovog ugla tokom vremena, možemo odrediti položaj tijela u prostoru:

- zakon rotacionog kretanja tela. (43)

U ovom slučaju, pretpostavićemo da je ugao mjereno iz fiksne ravnine u smjeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu, gledano s pozitivnog kraja ose . Pošto je položaj tijela koje rotira oko fiksne ose određen jednim parametrom, kaže se da takvo tijelo ima jedan stepen slobode.

Ugaona brzina

Promjena ugla rotacije tijela tokom vremena naziva se ugaona telesna brzina i određen je
(omega):

.(44)

Ugaona brzina, baš kao i linearna brzina, je vektorska veličina i ovaj vektor izgrađena na osi rotacije tela. Usmjeren je duž ose rotacije u tom smjeru tako da se, gledajući od njegovog kraja prema njegovom početku, vidi rotacija tijela u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (sl. 58). Modul ovog vektora je određen zavisnošću (44). Tačka aplikacije na osi se može birati proizvoljno, budući da se vektor može prenijeti duž linije njegovog djelovanja. Ako orth-vektor osi rotacije označimo sa , tada dobijamo vektorski izraz za ugaonu brzinu:

. (45)

Kutno ubrzanje

Brzina promjene ugaone brzine tijela tokom vremena naziva se ugaono ubrzanje tijelo i određen je (epsilon):

. (46)

Kutno ubrzanje je vektorska veličina i ovaj vektor izgrađena na osi rotacije tela. Usmjeren je duž ose rotacije u tom smjeru tako da se, gledajući od njegovog kraja prema njegovom početku, vidi smjer rotacije ipsilona u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (sl. 58). Modul ovog vektora je određen zavisnošću (46). Tačka aplikacije na osi se može birati proizvoljno, budući da se vektor može prenijeti duž linije njegovog djelovanja.

Ako orth-vektor osi rotacije označimo sa , tada dobijamo vektorski izraz za ugaono ubrzanje:

. (47)

Ako su ugaona brzina i ubrzanje istog predznaka, tada se tijelo rotira ubrzano, a ako je drugačije - polako. Primjer spore rotacije prikazan je na sl. 58.

Razmotrimo posebne slučajeve rotacionog kretanja.

1. Ravnomjerna rotacija:

,
.

,
,
,

,
. (48)

2. Jednaka rotacija:

.

,
,
,
,
,
,
,
,

,
,
.(49)

Odnos linearnih i ugaonih parametara

Razmotrimo kretanje proizvoljne tačke
rotirajuće telo. U ovom slučaju, putanja tačke će biti kružnica sa radijusom
, koji se nalazi u ravni okomitoj na os rotacije (Sl. 59, A).

Pretpostavimo da je to u trenutku tačka je na poziciji
. Pretpostavimo da se tijelo rotira u pozitivnom smjeru, tj. u pravcu povećanja ugla . U trenutku
tačka će zauzeti poziciju
. Označimo luk
. Stoga, tokom određenog vremenskog perioda
tačka je prešla put
. Njena prosečna brzina , i kada
,
. Ali, sa Sl. 59, b, to je jasno
. Onda. Konačno dobijamo

. (50)

Evo - linearna brzina tačke
. Kao što je ranije dobijeno, ova brzina je usmjerena tangencijalno na putanju u datoj tački, tj. tangenta na kružnicu.

Dakle, modul linearne (obodne) brzine tačke rotirajućeg tela jednak je proizvodu apsolutne vrednosti ugaone brzine i udaljenosti od ove tačke do ose rotacije.

Sada povežimo linearne komponente ubrzanja tačke sa ugaonim parametrima.

,
. (51)

Modul tangencijalnog ubrzanja tačke krutog tijela koje se okreće oko fiksne ose jednak je proizvodu kutnog ubrzanja tijela i udaljenosti od ove točke do ose rotacije.

,
. (52)

Modul normalnog ubrzanja točke krutog tijela koja se okreće oko fiksne ose jednak je proizvodu kvadrata ugaone brzine tijela i udaljenosti od ove točke do ose rotacije.

Tada izraz za ukupno ubrzanje tačke poprima oblik

. (53)

Vektorski smjerovi ,,prikazano na slici 59, V.

Ravno kretanje krutog tijela je kretanje u kojem se sve tačke tijela kreću paralelno s nekom fiksnom ravninom. Primjeri takvih kretanja:

Kretanje bilo kojeg tijela čija osnova klizi duž date fiksne ravni;

Kotrljanje točka duž pravog dijela kolosijeka (šine).

Dobijamo jednadžbe ravninskog kretanja. Da biste to učinili, razmotrite ravnu figuru koja se kreće u ravnini lista (slika 60). Povežimo ovo kretanje sa fiksnim koordinatnim sistemom
, a sa samom figurom povezujemo pokretni koordinatni sistem
, koji se kreće s njim.

Očigledno je da je položaj pokretne figure na stacionarnoj ravni određen položajem pokretnih osa
u odnosu na fiksne ose
. Ovaj položaj je određen položajem pokretačkog početka , tj. koordinate ,i ugao rotacije , pokretni koordinatni sistem, relativno fiksiran, koji ćemo računati od ose u smjeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu.

Prema tome, kretanje ravne figure u njenoj ravnini će biti potpuno određeno ako su vrijednosti od ,,, tj. jednačine oblika:

,
,
. (54)

Jednačine (54) su jednadžbe gibanja u ravnini krutog tijela, jer ako su ove funkcije poznate, onda je za svaki trenutak vremena moguće pronaći iz ovih jednačina, odnosno ,,, tj. odrediti položaj pokretne figure u datom trenutku.

Razmotrimo posebne slučajeve:

1.

, tada će kretanje tijela biti translatorno, budući da se ose pomiču dok ostaju paralelne sa svojim početnim položajem.

2.

,

. Ovim kretanjem mijenja se samo ugao rotacije , tj. tijelo će se rotirati oko ose koja prolazi okomito na ravan crtanja kroz tačku .

Dekompozicija kretanja ravne figure na translaciono i rotaciono

Razmotrite dva uzastopna položaja I
zauzeto tijelom u trenucima vremena I
(Sl. 61). Telo iz pozicije na poziciju
može se prenijeti na sljedeći način. Pomerimo prvo telo progresivno. U ovom slučaju, segment
kretaće se paralelno sa sobom u poziciju
, i onda okrenimo se tijelo oko tačke (pola) pod uglom
sve dok se tačke ne poklope I .

dakle, bilo koje kretanje u ravnini može se predstaviti kao zbir translacijskog kretanja zajedno sa odabranim polom i rotacijskim kretanjem, u odnosu na ovaj pol.

Razmotrimo metode koje se mogu koristiti za određivanje brzina tačaka tijela koje se kreće u ravnini.

1. Metoda stubova. Ova metoda se zasniva na rezultujućoj dekompoziciji kretanja u ravnini na translaciono i rotaciono. Brzina bilo koje tačke ravne figure može se predstaviti u obliku dvije komponente: translacijske, sa brzinom jednakom brzini proizvoljno odabrane tačke -stubovi , i rotacijski oko ovog pola.

Razmotrimo ravno tijelo (slika 62). Jednačine kretanja su:
,
,
.

Iz ovih jednačina određujemo brzinu tačke (kao sa koordinatnom metodom specificiranja)

,
,
.

Dakle, brzina tačke - količina je poznata. Uzimamo ovu tačku kao pol i određujemo brzinu proizvoljne tačke
tijela.

Brzina
sastojat će se od translacijske komponente , kada se kreće zajedno sa točkom , i rotacijski
, prilikom rotacije tačke
u odnosu na tačku . Tačkasta brzina pređite na tačku
paralelno sa sobom, budući da su tokom translacionog kretanja brzine svih tačaka jednake i po veličini i po pravcu. Brzina
bit će određen ovisnošću (50)
, a ovaj vektor je usmjeren okomito na polumjer
u smjeru rotacije
. Vector
će biti usmjerena duž dijagonale paralelograma izgrađenog na vektorima I
, a njegov modul je određen ovisnošću:

, .(55)

2. Teorema o projekcijama brzina dviju tačaka tijela.

Projekcije brzina dviju tačaka krutog tijela na pravu liniju koja povezuje ove tačke jednake su jedna drugoj.

Razmotrite dvije tačke tijela I (Sl. 63). Uzimam poen iza pola, određujemo pravac zavisno od (55):
. Projektiramo ovu vektorsku jednakost na pravu
i s obzirom na to
okomito
, dobijamo

3. Trenutni centar brzine.

Centar trenutne brzine(MCS) je tačka čija je brzina u datom trenutku nula.

Pokažimo da ako se tijelo ne kreće translacijsko, onda takva tačka postoji u svakom trenutku vremena i, štoviše, jedinstvena je. Neka u trenutku bodova I tijela koja leže u sekciji , imaju brzine I , nisu paralelne jedna s drugom (Sl. 64). Onda pokažite
, koji leži na presjeku okomitih vektora I , i postojaće MCS, pošto
.

Zaista, ako to pretpostavimo
, zatim prema teoremi (56) vektor
mora istovremeno biti okomito
I
, što je nemoguće. Iz iste teoreme jasno je da nijedna druga tačka nije tačna u ovom trenutku ne može imati brzinu jednaku nuli.

Koristeći metodu stubova
- stub, odredi brzinu tačke (55): jer
,
. (57)

Sličan rezultat se može dobiti za bilo koju drugu tačku tijela. Stoga je brzina bilo koje tačke na tijelu jednaka njenoj brzini rotacije u odnosu na MCS:

,
,
, tj. Brzine tačaka tela su proporcionalne njihovoj udaljenosti do MCS.

Iz tri razmatrane metode za određivanje brzina tačaka ravne figure, jasno je da je MCS poželjniji, jer se ovdje brzina odmah određuje i po veličini i u smjeru jedne komponente. Međutim, ova metoda se može koristiti ako znamo ili možemo odrediti položaj MCS za tijelo.

Određivanje položaja MCS-a

1. Ako za dati položaj tijela znamo smjerove brzina dviju tačaka tijela, tada će MCS biti tačka presjeka okomita na ove vektore brzina.

2. Brzine dve tačke tela su antiparalelne (slika 65, A). U ovom slučaju, okomita na brzine će biti uobičajena, tj. MCS se nalazi negdje na ovoj okomici. Za određivanje položaja MCS-a potrebno je povezati krajeve vektora brzina. Tačka presjeka ove linije sa okomom će biti željeni MCS. U ovom slučaju, MCS se nalazi između ove dvije tačke.

3. Brzine dve tačke tela su paralelne, ali nisu jednake po veličini (slika 65, b). Procedura za dobijanje MDS-a je slična onoj opisanoj u paragrafu 2.

d) Brzine dve tačke su jednake i po veličini i po pravcu (Sl. 65, V). Dobijamo slučaj trenutnog translacijskog kretanja, u kojem su brzine svih tačaka tijela jednake. Prema tome, ugaona brzina tijela u ovom položaju je nula:

4. Odredimo MCS za kotrljanje točka bez klizanja po stacionarnoj površini (Sl. 65, G). Pošto se kretanje odvija bez klizanja, u tački kontakta točka sa površinom brzina će biti ista i jednaka nuli, jer površina miruje. Prema tome, tačka kontakta točka sa nepokretnom površinom će biti MCS.

Određivanje ubrzanja tačaka ravne figure

Prilikom određivanja ubrzanja tačaka ravne figure postoji analogija s metodama za određivanje brzina.

1. Metoda stubova. Kao što pri određivanju brzina uzimamo kao pol proizvoljnu tačku tijela čije ubrzanje znamo ili možemo odrediti. Onda ubrzanje bilo koje tačke ravne figure jednako je zbroju ubrzanja pola i ubrzanja rotacionog kretanja oko ovog pola:

U ovom slučaju komponenta
određuje ubrzanje tačke dok se okreće oko pola . Prilikom rotacije, putanja tačke će biti krivolinijska, što znači
(Sl. 66).

Tada zavisnost (58) poprima oblik
. (59)

Uzimajući u obzir zavisnosti (51) i (52), dobijamo
,
.

2. Centar za trenutno ubrzanje.

Centar za trenutno ubrzanje(MCU) je tačka čije je ubrzanje u datom trenutku nula.

Pokažimo da u bilo kom trenutku postoji takva tačka. Uzimamo tačku kao motku , čije ubrzanje
mi znamo. Pronalaženje ugla , leži unutra
, i zadovoljavajući uslov
. Ako
, To
i obrnuto, tj. ugao kasni u pravcu . Hajde da odložimo sa tačke pod uglom na vektor
linijski segment
(Sl. 67). Bod dobijen takvim konstrukcijama
postojat će MCU.

Zaista, ubrzanje tačke
jednak zbiru ubrzanja
stubovi i ubrzanje
u rotacionom kretanju oko pola :
.

,
. Onda
. S druge strane, ubrzanje
formira sa smjerom segmenta
ugao
, što zadovoljava uslov
. Ispred tangente ugla stavlja se znak minus , od rotacije
u odnosu na pol suprotno od kazaljke na satu i ugao
deponuje se u smeru kazaljke na satu. Onda
.

dakle,
i onda
.

Posebni slučajevi određivanja MCU

1.
. Onda
, pa stoga MCU ne postoji. U ovom slučaju tijelo se kreće translatorno, tj. brzine i ubrzanja svih tačaka tela su jednake.

2.
. Onda
,
. To znači da MCU leži na preseku linija delovanja ubrzanja tačaka tela (Sl. 68, A).

3.
. onda,
,
. To znači da MCU leži na presjeku okomica na ubrzanja tačaka tijela (Sl. 68, b).

4.
. Onda
,

. To znači da MCU leži na sjecištu zraka povučenih do ubrzanja tačaka tijela pod kutom (Sl. 68, V).

Iz razmatranih posebnih slučajeva možemo zaključiti: ako prihvatimo poentu
izvan pola, tada je ubrzanje bilo koje točke ravne figure određeno ubrzanjem u rotacijskom kretanju oko MCU:

. (60)

Složeno kretanje tačke kretanje u kojem tačka istovremeno učestvuje u dva ili više kretanja naziva se. Ovakvim kretanjem određuje se položaj tačke u odnosu na pokretni i relativno stacionarni referentni sistem.

Pomeranje tačke u odnosu na pokretni referentni okvir se naziva relativno kretanje tačke . Slažemo se da označimo parametre relativnog kretanja
.

Kretanje one tačke pokretnog referentnog sistema sa kojom se pokretna tačka u odnosu na stacionarni referentni sistem trenutno poklapa naziva se prenosivo kretanje tačke . Slažemo se da označimo parametre prijenosnog kretanja
.

Pomicanje tačke u odnosu na fiksni referentni okvir naziva se apsolutni (složen) pomeranje tačke . Slažemo se da označimo parametre apsolutnog kretanja
.

Kao primjer složenog kretanja možemo uzeti u obzir kretanje osobe u vozilu u pokretu (tramvaju). U ovom slučaju, ljudsko kretanje je vezano za pokretni koordinatni sistem - tramvaj i za fiksni koordinatni sistem - zemlja (put). Zatim, na osnovu gore navedenih definicija, kretanje osobe u odnosu na tramvaj je relativno, kretanje zajedno sa tramvajem u odnosu na tlo je prenosivo, a kretanje osobe u odnosu na tlo je apsolutno.

Odredićemo poziciju tačke
radijusi - vektori u odnosu na kretanje
i nepomično
koordinatni sistemi (slika 69). Hajde da uvedemo sljedeću notaciju: - radijus vektor koji definiše poziciju tačke
u odnosu na pokretni koordinatni sistem
,
;- radijus vektor koji određuje poziciju početka pokretnog koordinatnog sistema (tačka ) (tačke );- radijus – vektor koji određuje položaj tačke
u odnosu na fiksni koordinatni sistem
;
,.

Dobijmo uslove (ograničenja) koji odgovaraju relativnim, prenosivim i apsolutnim kretanjima.

1. Kada razmatramo relativno kretanje, pretpostavićemo da je tačka
kreće se u odnosu na pokretni koordinatni sistem
, i sam pokretni koordinatni sistem
u odnosu na fiksni koordinatni sistem
ne pomera se.

Zatim koordinate tačke
će se mijenjati u relativnom kretanju, ali orth-vektori pomičnog koordinatnog sistema neće se mijenjati u smjeru:

,

,

.

2. Kada razmatramo prijenosno kretanje, pretpostavit ćemo da su koordinate tačke
u odnosu na pokretni koordinatni sistem su fiksni, a tačka se kreće zajedno sa pokretnim koordinatnim sistemom
relativno stacionarni
:

,

,

,.

3. Sa apsolutnim kretanjem, tačka se takođe kreće relativno
i zajedno sa koordinatnim sistemom
relativno stacionarni
:

Tada izrazi za brzine, uzimajući u obzir (27), imaju oblik

,
,

Upoređujući ove zavisnosti, dobijamo izraz za apsolutnu brzinu:
. (61)

Dobili smo teoremu o sabiranju brzina tačke u kompleksnom kretanju: apsolutna brzina tačke jednaka je geometrijskom zbiru relativne i prenosive komponente brzine.

Koristeći zavisnost (31) dobijamo izraze za ubrzanja:

,

Upoređujući ove zavisnosti, dobijamo izraz za apsolutno ubrzanje:
.

Otkrili smo da apsolutno ubrzanje tačke nije jednako geometrijskom zbroju relativne i prenosive komponente ubrzanja. Odredimo apsolutnu komponentu ubrzanja u zagradama za posebne slučajeve.

1. Prijenosno translacijsko kretanje točke
. U ovom slučaju, osi pokretnog koordinatnog sistema
onda se sve vreme kreću paralelno sa sobom.

,

,

,
,
,
, Onda
. Konačno dobijamo

. (62)

Ako je prenosivo kretanje tačke translatorno, tada je apsolutno ubrzanje tačke jednako geometrijskom zbroju relativne i prenosive komponente ubrzanja.

2. Prenosno kretanje tačke nije translaciono. To znači da je u ovom slučaju pokretni koordinatni sistem
rotira oko trenutne ose rotacije ugaonom brzinom (Sl. 70). Označimo tačku na kraju vektora kroz . Zatim, koristeći vektorsku metodu specificiranja (15), dobijamo vektor brzine ove tačke
.

Na drugoj strani,
. Izjednačavajući desne strane ovih vektorskih jednakosti, dobijamo:
. Postupajući na sličan način za preostale jedinične vektore, dobijamo:
,
.

U opštem slučaju, apsolutno ubrzanje tačke je jednako geometrijskom zbroju relativne i translacione komponente ubrzanja plus udvostručeni vektorski proizvod vektora ugaone brzine translacionog kretanja i vektora linearne brzine relativnog kretanja.

Dvostruki vektorski proizvod vektora ugaone brzine prenosnog kretanja i vektora linearne brzine relativnog kretanja naziva se Coriolisovo ubrzanje i određen je

. (64)

Coriolisovo ubrzanje karakterizira promjenu relativne brzine u translacijskom kretanju i promjenu translacijske brzine u relativnom kretanju.

Na čelu
prema pravilu vektorskog proizvoda. Coriolisov vektor ubrzanja je uvijek usmjeren okomito na ravan koju čine vektori I , na takav način da, gledajući s kraja vektora
, vidi skretanje To , kroz najmanji ugao, u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Coriolisov modul ubrzanja je jednak.

Ovaj članak opisuje važan dio fizike - "Kinematika i dinamika rotacijskog kretanja".

Osnovni pojmovi kinematike rotacionog kretanja

Rotacijsko kretanje materijalne tačke oko fiksne ose naziva se takvo kretanje, čija je putanja kružnica koja se nalazi u ravni okomitoj na os, a centar joj leži na osi rotacije.

Rotaciono kretanje krutog tela je kretanje u kome se sve tačke tela kreću po koncentričnim (čiji centri leže na istoj osi) kružnicama u skladu sa pravilom rotacionog kretanja materijalne tačke.

Neka proizvoljno kruto tijelo T rotira oko ose O, koja je okomita na ravan crteža. Odaberimo tačku M na ovom tijelu. Kada se rotira, ova tačka će opisivati ​​kružnicu polumjera oko ose O r.

Nakon nekog vremena, radijus će se rotirati u odnosu na svoju prvobitnu poziciju za ugao Δφ.

Smjer desnog zavrtnja (kazaljke na satu) uzima se kao pozitivan smjer rotacije. Promjena ugla rotacije tokom vremena naziva se jednačina rotacionog kretanja krutog tijela:

φ = φ(t).

Ako se φ mjeri u radijanima (1 rad je ugao koji odgovara luku dužine jednak njegovom poluprečniku), tada je dužina kružnog luka ΔS, kojim će materijalna tačka M proći za vrijeme Δt, jednaka:

ΔS = Δφr.

Osnovni elementi kinematike ravnomernog rotacionog kretanja

Mjera kretanja materijalne tačke u kratkom vremenskom periodu dt služi kao elementarni vektor rotacije dφ.

Ugaona brzina materijalne tačke ili tijela je fizička veličina koja je određena omjerom vektora elementarne rotacije i trajanja ove rotacije. Smjer vektora se može odrediti pravilom desnog vijka duž ose O. U skalarnom obliku:

ω = dφ/dt.

Ako ω = dφ/dt = const, onda se takvo kretanje naziva jednoliko rotaciono kretanje. Uz to, kutna brzina je određena formulom

ω = φ/t.

Prema preliminarnoj formuli, dimenzija ugaone brzine

[ω] = 1 rad/s.

Ujednačeno rotacijsko kretanje tijela može se opisati periodom rotacije. Period rotacije T je fizička veličina koja određuje vrijeme tokom kojeg tijelo napravi jedan puni okret oko ose rotacije ([T] = 1 s). Ako u formuli za ugaonu brzinu uzmemo t = T, φ = 2 π (jedan puni okret polumjera r), tada

ω = 2π/T,

Stoga definiramo period rotacije na sljedeći način:

T = 2π/ω.

Broj okretaja koje tijelo napravi u jedinici vremena naziva se frekvencija rotacije ν, koja je jednaka:

ν = 1/T.

Jedinice frekvencije: [ν]= 1/s = 1 s -1 = 1 Hz.

Upoređujući formule za ugaonu brzinu i frekvenciju rotacije, dobijamo izraz koji povezuje ove veličine:

ω = 2πν.

Osnovni elementi kinematike neravnomjernog rotacionog kretanja

Neravnomjerno rotacijsko kretanje krutog tijela ili materijalne točke oko fiksne ose karakterizira njegova kutna brzina koja se mijenja s vremenom.

Vector ε , koji karakterizira brzinu promjene ugaone brzine, naziva se vektor ugaonog ubrzanja:

ε = dω/dt.

Ako se tijelo rotira, ubrzavajući, tj dω/dt > 0, vektor ima smjer duž ose u istom smjeru kao i ω.

Ako je rotacijski pokret spor - dω/dt< 0 , tada su vektori ε i ω suprotno usmjereni.

Komentar. Kada dođe do neravnomjernog rotacijskog kretanja, vektor ω se može promijeniti ne samo po veličini, već iu smjeru (kada se os rotacije rotira).

Odnos između veličina koje karakteriziraju translacijsko i rotacijsko kretanje

Poznato je da su dužina luka sa uglom rotacije poluprečnika i njegova vrednost povezani relacijom

ΔS = Δφ r.

Zatim linearna brzina materijalne tačke koja vrši rotaciono kretanje

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Normalno ubrzanje materijalne tačke koja vrši rotacijsko translacijsko kretanje definira se na sljedeći način:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Dakle, u skalarnom obliku

a = ω 2 r.

Tangencijalna ubrzana materijalna tačka koja vrši rotaciono kretanje

a = ε r.

Zamah materijalne tačke

Vektorski proizvod radijus vektora putanje materijalne tačke mase m i i njenog momenta se naziva ugaoni moment ove tačke oko ose rotacije. Smjer vektora se može odrediti pomoću pravila desnog zavrtnja.

Zamah materijalne tačke ( L i) je usmjeren okomito na ravan povučenu kroz r i i υ i, i sa njima tvori desnu trojku vektora (tj. kada se kreće od kraja vektora r i To υ i desni vijak će pokazati smjer vektora L i).

U skalarnom obliku

L = m i υ i r i sin(υ i , r i).

S obzirom da su pri kretanju u krug vektor radijusa i vektor linearne brzine za i-tu materijalnu tačku međusobno okomiti,

sin(υ i , r i) = 1.

Tako će ugaoni moment materijalne tačke za rotaciono kretanje poprimiti oblik

L = m i υ i r i .

Moment sile koji djeluje na i-tu materijalnu tačku

Vektorski proizvod radijus vektora, koji je povučen do tačke primjene sile, a ta sila se naziva momentom sile koja djeluje na i-tu materijalnu tačku u odnosu na os rotacije.

U skalarnom obliku

M i = r i F i sin(r i , F i).

S obzirom na to r i sinα = l i ,M i = l i F i .

Magnituda l i, jednaka dužini okomice spuštene od točke rotacije do smjera djelovanja sile, naziva se krak sile F i.

Dinamika rotacionog kretanja

Jednadžba za dinamiku rotacijskog kretanja piše se na sljedeći način:

M = dL/dt.

Formulacija zakona je sljedeća: brzina promjene ugaonog momenta tijela koje rotira oko fiksne ose jednaka je rezultirajućem momentu u odnosu na ovu osu svih vanjskih sila koje se primjenjuju na tijelo.

Moment impulsa i moment inercije

Poznato je da je za i-tu materijalnu tačku ugaoni moment u skalarnom obliku dan formulom

L i = m i υ i r i .

Ako umjesto linearne brzine zamijenimo njen izraz kutnom brzinom:

υ i = ωr i ,

tada će izraz za ugaoni moment poprimiti oblik

L i = m i r i 2 ω.

Magnituda I i = m i r i 2 naziva se moment inercije u odnosu na osu i-te materijalne tačke apsolutno krutog tijela koja prolazi kroz njegovo središte mase. Zatim zapisujemo ugaoni moment materijalne tačke:

L i = I i ω.

Zapisujemo ugaoni moment apsolutno krutog tijela kao zbir ugaonog momenta materijalnih tačaka koje čine ovo tijelo:

L = Iω.

Moment sile i moment inercije

Zakon rotacionog kretanja glasi:

M = dL/dt.

Poznato je da se ugaoni moment tijela može predstaviti kroz moment inercije:

L = Iω.

M = Idω/dt.

S obzirom da je ugaona akceleracija određena izrazom

ε = dω/dt,

dobijamo formulu za moment sile, predstavljen kroz moment inercije:

M = Iε.

Komentar. Moment sile smatra se pozitivnim ako je kutno ubrzanje koje ga uzrokuje veće od nule, i obrnuto.

Steinerova teorema. Zakon sabiranja momenata inercije

Ako os rotacije tijela ne prolazi kroz njegovo središte mase, tada se u odnosu na ovu osu može pronaći njegov moment inercije koristeći Steinerov teorem:
I = I 0 + ma 2,

Gdje I 0- početni moment inercije tijela; m- tjelesna masa; a- rastojanje između osovina.

Ako se sistem koji rotira oko fiksne ose sastoji od n tijela, tada će ukupan moment inercije ovog tipa sistema biti jednak zbiru momenata njegovih komponenti (zakon sabiranja momenata inercije).

Rotacijski nazivaju takvo kretanje u kojem dvije tačke povezane s tijelom, dakle, prava linija koja prolazi kroz ove tačke, ostaju nepomične tokom kretanja (slika 2.16). Fiksna ravna linija A B pozvao osa rotacije.

Rice. 2.1V. Ka definiciji rotacionog kretanja tijela

Položaj tijela pri rotacionom kretanju određuje ugao rotacije φ, rad (vidi sliku 2.16). Prilikom kretanja, ugao rotacije se mijenja tokom vremena, tj. zakon rotacionog kretanja tijela definiran je kao zakon promjene u vremenu vrijednosti diedarskog ugla F = F(/) između fiksne poluravni TO () , prolazeći kroz os rotacije i pokretni n 1 poluravninu spojenu na tijelo i koja također prolazi kroz os rotacije.

Putanja svih tačaka tela tokom rotacionog kretanja su koncentrične kružnice koje se nalaze u paralelnim ravnima sa centrima na osi rotacije.

Kinematske karakteristike rotacionog kretanja tijela. Na isti način na koji su uvedene kinematičke karakteristike za tačku, uvodi se kinematička koncepcija koja karakteriše brzinu promjene funkcije φ(c), koja određuje položaj tijela pri rotacionom kretanju, tj. ugaona brzina co = f = s/f/s//, dimenzija ugaone brzine [co] = rad /Sa.

U tehničkim proračunima često se koristi izraz ugaone brzine sa različitim dimenzijama - u smislu broja obrtaja u minuti: [i] = rpm, i odnosa između P i co se može predstaviti kao: co = 27w/60 = 7w/30.

Općenito, ugaona brzina varira s vremenom. Mjera brzine promjene ugaone brzine je ugaono ubrzanje e = c/co/c//= co = f, dimenzija ugaonog ubrzanja [e] = rad/s 2 .

Uvedene ugaone kinematičke karakteristike u potpunosti su određene specificiranjem jedne funkcije - ugla rotacije u odnosu na vrijeme.

Kinematske karakteristike tačaka tela tokom rotacionog kretanja. Razmotrite poentu M tijelo koje se nalazi na udaljenosti p od ose rotacije. Ova tačka se kreće duž kružnice poluprečnika p (slika 2.17).

Rice. 2.17.

tačke tela tokom njegove rotacije

Dužina luka M Q M krug poluprečnika p je definisan kao s= ptp, gdje je f ugao rotacije, rad. Ako je zakon gibanja tijela dat kao φ = φ(g), onda je zakon gibanja točke M duž putanje je određena formulom S= rf(7).

Koristeći izraze kinematičkih karakteristika sa prirodnom metodom zadavanja kretanja tačke, dobijamo kinematičke karakteristike za tačke rotirajućeg tela: brzina prema formuli (2.6)

V= 5 = rf = rso; (2.22)

tangencijalno ubrzanje prema izrazu (2.12)

i t = K = sor = er; (2.23)

normalno ubrzanje prema formuli (2.13)

a„ = I 2 /r = s 2 r 2 /r = ogr; (2.24)

ukupno ubrzanje pomoću izraza (2.15)

A = -]A + a] = px/e 2 + co 4. (2.25)

Za karakteristiku smjera ukupnog ubrzanja uzima se p - ugao odstupanja vektora ukupnog ubrzanja od polumjera kružnice opisane tačkom (slika 2.18).

Od sl. 2.18 dobijamo

tgjLi = aja n=re/pco 2 =g/(o 2. (2.26)

Rice. 2.18.

Imajte na umu da su sve kinematičke karakteristike tačaka rotirajućeg tijela proporcionalne udaljenostima do ose rotacije. ve-

Njihovi identiteti određuju se kroz derivacije iste funkcije - ugla rotacije.

Vektorski izrazi za ugaone i linearne kinematičke karakteristike. Za analitički opis ugaonih kinematičkih karakteristika rotirajućeg tela, zajedno sa osom rotacije, koncept vektor ugla rotacije(Sl. 2.19): φ = φ(/)A:, gdje To- jedi

vektor osi rotacije

1; To=sop51 .

Vektor f je usmjeren duž ove ose tako da se može vidjeti sa “kraja”

rotacija koja se odvija suprotno od kazaljke na satu.

Rice. 2.19.

karakteristike u vektorskom obliku

Ako je vektor φ(/) poznat, onda se sve ostale ugaone karakteristike rotacionog kretanja mogu predstaviti u vektorskom obliku:

• vektor ugaone brzine co = f = f To. Smjer vektora ugaone brzine određuje predznak derivacije ugla rotacije;
• vektor ugaonog ubrzanja ê = so = F To. Smjer ovog vektora određuje predznak derivacije ugaone brzine.

Uvedeni vektori s i ê nam omogućavaju da dobijemo vektorske izraze za kinematičke karakteristike tačaka (vidi sliku 2.19).

Imajte na umu da se modul vektora brzine tačke poklapa sa modulom vektorskog proizvoda vektora ugaone brzine i vektora radijusa: |cox G= sogvípa = smeće. Uzimajući u obzir smjerove vektora s i r i pravilo za smjer vektorskog proizvoda, možemo napisati izraz za vektor brzine:

V= co xg.

Slično, to je lako pokazati

• ? X
• - egBípa= ê = a t I

Sosor = co p = i.

(Pored toga, vektori ovih kinematičkih karakteristika poklapaju se u smjeru s odgovarajućim vektorskim produktima.

Stoga se tangencijalni i normalni vektori ubrzanja mogu predstaviti kao vektorski produkti:

• (2.28)
• (2.29)

a x = g X G

A= co x V.

I Saveljeva.

Prilikom kretanja tela unapred (§ 60 u udžbeniku E. M. Nikitina), sve njegove tačke se kreću po identičnim putanjama i u svakom trenutku imaju jednake brzine i jednaka ubrzanja.

Stoga je translacijsko kretanje tijela određeno kretanjem bilo koje tačke, obično kretanjem centra gravitacije.

Kada razmatramo kretanje automobila (zadatak 147) ili dizel lokomotive (problem 141) u bilo kojem zadatku, zapravo razmatramo kretanje njihovih centara gravitacije.

Rotaciono kretanje tela (E.M. Nikitin, § 61) ne može se poistovetiti sa kretanjem bilo koje njegove tačke. Osa bilo kog rotirajućeg tela (dizel zamašnjak, rotor elektromotora, vreteno mašine, lopatice ventilatora itd.) pri kretanju zauzima isto mesto u prostoru u odnosu na okolna nepokretna tela.

Kretanje materijalne tačke ili kretanje napred tijela se karakteriziraju ovisno o vremenu linearne veličine s (put, udaljenost), v (brzina) i a (ubrzanje) sa komponentama a t i a n.

Rotacijski pokret tijela u zavisnosti od vremena t karakteriziraju ugaone vrednosti: φ (ugao rotacije u radijanima), ω (ugaona brzina u rad/sec) i ε (ugaono ubrzanje u rad/sec 2).

Zakon rotacionog kretanja tijela izražava se jednačinom
φ = f(t).

Ugaona brzina- veličina koja karakterizira brzinu rotacije tijela definirana je u opštem slučaju kao derivacija ugla rotacije u odnosu na vrijeme
ω = dφ/dt = f" (t).

Kutno ubrzanje- veličina koja karakteriše brzinu promene ugaone brzine je definisana kao derivacija ugaone brzine
ε = dω/dt = f"" (t).

Kada počinjemo rješavati zadatke o rotacionom kretanju tijela, potrebno je imati na umu da se u tehničkim proračunima i problemima ugaoni pomak u pravilu ne izražava u radijanima φ, već u okretajima φ oko.

Stoga je potrebno moći prijeći sa broja okretaja na radijansko mjerenje kutnog pomaka i obrnuto.

Pošto jedna puna revolucija odgovara 2π rad, onda
φ = 2πφ oko i φ oko = φ/(2π).

Ugaona brzina se u tehničkim proračunima vrlo često mjeri u obrtajima proizvedenim u minuti (rpm), pa je potrebno jasno razumjeti da ω rad/sec i n rpm izražavaju isti koncept - brzinu rotacije tijela (kutnu brzinu), ali u različitim jedinicama - u rad/sec ili u rpm.

Prijelaz iz jedne jedinice kutne brzine u drugu vrši se prema formulama
ω = πn/30 i n = 30ω/π.

Kada se tijelo rotira, sve njegove točke se kreću u krugovima, čiji se centri nalaze na jednoj fiksnoj pravoj liniji (osi rotirajućeg tijela). Prilikom rješavanja zadataka datih u ovom poglavlju vrlo je važno jasno razumjeti odnos između ugaonih veličina φ, ω i ε, koje karakteriziraju rotacijsko kretanje tijela, i linearnih veličina s, v, a t i an, koje karakteriziraju kretanje raznih tačaka ovog tela (Sl. 205).

Ako je R rastojanje od geometrijske ose rotirajućeg tela do bilo koje tačke A (na slici 205 R = OA), onda je odnos između φ - ugla rotacije tela i s - udaljenosti koju pređe tačka od tijelo u isto vrijeme izražava se na sljedeći način:
s = φR.

Odnos između ugaone brzine tela i brzine tačke u svakom datom trenutku izražava se jednakošću
v = ωR.

Tangencijalno ubrzanje tačke zavisi od ugaonog ubrzanja i određuje se formulom
a t = εR.

Normalno ubrzanje tačke zavisi od ugaone brzine tela i određeno je odnosom
a n = ω 2 R.

Prilikom rješavanja problema datog u ovom poglavlju, potrebno je jasno razumjeti da je rotacija kretanje krutog tijela, a ne tačke. Pojedinačna materijalna tačka se ne rotira, već se kreće u krug - ona pravi krivolinijsko kretanje.

§ 33. Ravnomerno rotaciono kretanje

Ako je ugaona brzina ω=const, tada se rotacijsko kretanje naziva ravnomjerno.

Jednačina uniformne rotacije ima oblik
φ = φ 0 + ωt.

U konkretnom slučaju kada je početni ugao rotacije φ 0 =0,
φ = ωt.

Ugaona brzina ravnomjerno rotirajućeg tijela
ω = φ/t
može se izraziti ovako:
ω = 2π/T,
gdje je T period rotacije tijela; φ=2π - ugao rotacije za jedan period.

§ 34. Ravnomerno rotaciono kretanje

Rotaciono kretanje sa promenljivom ugaonom brzinom naziva se neravnomerno (videti dole § 35). Ako je kutno ubrzanje ε=const, tada se naziva rotacijsko kretanje podjednako varijabilna. Dakle, ravnomjerna rotacija tijela je poseban slučaj neravnomjernog rotacionog kretanja.

Jednačina jednolične rotacije
(1) φ = φ 0 + ω 0 t + εt 2 /2
i jednadžba koja izražava ugaonu brzinu tijela u bilo kojem trenutku,
(2) ω = ω 0 + εt
predstavljaju skup osnovnih formula za rotaciono ravnomerno kretanje tela.

Ove formule uključuju samo šest veličina: tri konstante za dati problem φ 0, ω 0 i ε i tri varijable φ, ω i t. Prema tome, uslov svakog problema za jednoličnu rotaciju mora sadržavati najmanje četiri specificirane veličine.

Radi lakšeg rješavanja nekih problema, iz jednačina (1) i (2) se mogu dobiti još dvije pomoćne formule.

Isključimo ugaono ubrzanje ε iz (1) i (2):
(3) φ = φ 0 + (ω + ω 0)t/2.

Isključimo vrijeme t iz (1) i (2):
(4) φ = φ 0 + (ω 2 - ω 0 2)/(2ε).

U konkretnom slučaju ravnomjerno ubrzane rotacije koja počinje iz stanja mirovanja, φ 0 =0 i ω 0 =0. Stoga, gornje osnovne i pomoćne formule imaju sljedeći oblik:
(5) φ = εt 2 /2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω 2 /(2ε).

§ 35. Neravnomjerno rotaciono kretanje

Razmotrimo primjer rješavanja problema u kojem je specificirano neujednačeno rotacijsko kretanje tijela.