Prirodni nizovi brojeva. Integers

Brojevi namijenjeni brojanju predmeta i odgovaranju na pitanje "koliko?" ("Koliko

lopte?", "Koliko jabuka?", "Koliko vojnika?"), nazivaju se prirodnim.

Ako ih zapišete redom, od najmanjeg broja do najvećeg, dobićete prirodan niz brojeva:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 99, 100, 101, …, 999, 1000, 1001 …

Prirodni niz brojeva počinje brojem 1.

Svaki sljedeći prirodan broj je za 1 veći od prethodnog.

Prirodni niz brojeva je beskonačan.

Brojevi mogu biti parni ili neparni. Parni brojevi su djeljivi sa dva, ali neparni brojevi nisu djeljivi sa dva.

Niz neparnih brojeva:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, 99, 101, …, 999, 1001, 1003 …

Niz parnih brojeva:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 98, 100, …, 998, 1000, 1002 …

U prirodnom nizu izmjenjuju se neparni i parni brojevi:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …, 99, 100, …, 999, 1000 …

Kako porediti prirodne brojeve

Kada se porede dva prirodna broja, veći je onaj desno u prirodnom nizu:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

Dakle, sedam je više od tri, a pet je više od jednog.

U matematici se riječ "manje" piše znakom "<», а для записи слова «больше» - знак « > ».

Oštar ugao simbola veće od i manje od uvijek pokazuje prema manjem od dva broja.

Unos 7 > 3 čita se kao "sedam preko tri".

Ulaz 3< 7 читается как «три меньше семи».

Unos 5 > 1 čita se kao "pet na jedan".

Ulaz 1< 5 читается как «один меньше пяти».

Riječ "jednako" u matematici zamjenjuje se znakom "=":

Kada su brojevi veliki, teško je odmah reći koji je desno u prirodnom nizu.

Kada se porede dva prirodna broja sa različitim brojem cifara, veći je onaj sa najviše cifara.

Na primjer, 233.000< 1 000 000, потому что в пер­вом числе шесть цифр, а во втором - семь.

Višecifreni prirodni brojevi sa istim brojem cifara upoređuju se po bitovima, počevši od najznačajnije znamenke.

Prvo se upoređuju jedinice najznačajnije cifre, zatim sljedeće, sljedeće itd. Na primjer, uporedimo brojeve 5401 i 5430:

5401 = 5 hiljada 4 stotine 0 desetica 1 jedinica;

5430 = 5 hiljada 4 stotine 3 desetice 0 jedinica.

Poređenje jedinica hiljada. Na mjestu jedinica hiljada broja 5401 nalazi se 5 jedinica, na mjestu jedinica hiljada broja 5430 nalazi se 5 jedinica. Upoređujući jedinice hiljada, još uvijek je nemoguće reći koji je broj veći.

Upoređujući stotine. Na mjestu stotina broja 5401 nalaze se 4 jedinice, na mjestu stotina broj 5430 također je 4 jedinice. Moramo nastaviti poređenje.

Poređenje desetica. Na mjestu desetica broja 5401 nalazi se 0 jedinica, na mjestu desetica broja 5430 nalaze se 3 jedinice.

Upoređujući, dobijamo 0< 3, поэтому 5401 < 5430.

Brojevi se mogu poredati u opadajućem ili rastućem redosledu.

Ako je u zapisu od nekoliko prirodnih brojeva svaki sljedeći broj manji od prethodnog, onda se kaže da su brojevi zapisani u opadajućem redoslijedu.

Zapišimo brojeve 5, 22, 13, 800 u opadajućem redoslijedu.

Nađimo veći broj. Broj 5 je jednocifreni broj, 13 i 22 su dvocifreni brojevi, 800 je trocifreni i samim tim najveći. Prvo pišemo 800.

Od dvocifrenih brojeva 13 i 22 veći je 22. Iza broja 800 upisujemo broj 22, a zatim 13.

Najmanji broj je jednocifreni broj 5. Zapisujemo ga zadnji.

800, 22, 13, 5 - bilježenje ovih brojeva u opadajućem redoslijedu.

Ako je u zapisu od nekoliko prirodnih brojeva svaki sljedeći broj veći od prethodnog, onda se kaže da su brojevi zapisani rastućim redoslijedom.

Kako napisati brojeve 15, 2, 31, 278, 298 u rastućem redoslijedu?

Među brojevima 15, 2, 31, 278, 298 naći ćemo manji.

Ovo je jednocifreni broj 2. Zapišimo ga na prvo mjesto.

Od dvocifrenih brojeva 15 i 31 odaberite manji - 15, napišite ga na drugom mjestu, a nakon njega - 31.

Od trocifrenih brojeva, 278 je najmanji, pišemo ga iza broja 31, a zadnji broj 298.

2, 15, 21, 278, 298 - pisanje ovih brojeva uzlaznim redoslijedom

Integers– brojevi koji se koriste za brojanje objekata . Bilo koji prirodan broj može se napisati pomoću desetice brojevi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ova vrsta broja se zove decimalni

Niz svih prirodnih brojeva se zove prirodno pored .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Najviše mala prirodni broj je jedan (1). U prirodnom nizu svaki sljedeći broj je za 1 veći od prethodnog. Prirodne serije beskrajno, u njemu nema najvećeg broja.

Značenje cifre zavisi od njenog mesta u zapisu brojeva. Na primjer, broj 4 znači: 4 jedinice ako je na posljednjem mjestu u zapisu brojeva (na mjestu jedinica); 4 deset, ako je na pretposlednjem mjestu (na desetici); 4 stotine, ako je na trećem mjestu s kraja (V stotine mesta).

Broj 0 znači nepostojanje jedinica ove kategorije u decimalnom zapisu broja. Služi i za označavanje broja “ nula" Ovaj broj znači "nema". Rezultat 0:3 na fudbalskoj utakmici znači da prvi tim protivniku nije postigao nijedan gol.

Zero ne uključuju na prirodne brojeve. I zaista, brojanje predmeta nikada ne počinje od nule.

Ako se zapis prirodnog broja sastoji od jednog znaka – jedna cifra, onda se zove nedvosmisleno. One. nedvosmislenoprirodni broj– prirodni broj čiji se zapis sastoji od jednog znaka – jedna cifra. Na primjer, brojevi 1, 6, 8 su jednocifreni.

Dvocifrenaprirodni broj– prirodni broj, čiji se zapis sastoji od dva znaka – dvije cifre.

Na primjer, brojevi 12, 47, 24, 99 su dvocifreni brojevi.

Takođe, na osnovu broja znakova u datom broju, oni daju imena drugim brojevima:

brojevi 326, 532, 893 – trocifreni;

brojevi 1126, 4268, 9999 – četvorocifreni itd.

Dvocifrene, trocifrene, četvorocifrene, petocifrene itd. pozivaju se brojevi višecifrenih brojeva .

Za čitanje višecifrenih brojeva, oni su podijeljeni, počevši s desne strane, u grupe od po tri cifre (krajnja lijeva grupa može se sastojati od jedne ili dvije cifre). Ove grupe se zovu casovi.

Milion– ovo je hiljadu hiljada (1000 hiljada), piše 1 milion ili 1.000.000.

Milijardu- to je 1000 miliona. Zapisano je kao 1 milijarda ili 1.000.000.000.

Prve tri cifre na desnoj strani čine klasu jedinica, sljedeće tri – klasu hiljada, zatim slijede klase miliona, milijardi itd. (Sl. 1).

Rice. 1. Klasa miliona, klasa hiljada i klasa jedinica (s lijeva na desno)

Broj 15389000286 upisan je u mrežu bitova (slika 2).

Rice. 2. Bitna mreža: broj 15 milijardi 389 miliona 286

Ovaj broj ima 286 jedinica u klasi jedinica, nula jedinica u klasi hiljada, 389 jedinica u klasi miliona i 15 jedinica u klasi milijardi.

Mesto nula

Postoje dva pristupa definiranju prirodnih brojeva:

• brojanje (numeracija) stavke ( prvo, sekunda, treće, četvrto, peti…);
• prirodni brojevi su brojevi koji nastaju kada oznaka količine stavke ( 0 predmeta, 1 stavka, 2 stavke, 3 stavke, 4 stavke, 5 predmeta…).

U prvom slučaju, niz prirodnih brojeva počinje od jedan, u drugom - od nule. Ne postoji konsenzus među većinom matematičara o tome da li je prvi ili drugi pristup poželjniji (tj. treba li nulu smatrati prirodnim brojem ili ne). Ogromna većina ruskih izvora tradicionalno usvaja prvi pristup. Drugi pristup je, na primjer, uzet u radovima Nicolasa Bourbakija, gdje su prirodni brojevi definirani kao kardinaliteti konačnih skupova. Prisutnost nule olakšava formuliranje i dokazivanje mnogih teorema u aritmetici prirodnih brojeva, tako da prvi pristup uvodi koristan koncept prošireni prirodni raspon uključujući nulu.

Skup svih prirodnih brojeva obično se označava simbolom. Međunarodni standardi ISO 31-11 (1992) i ISO 80000-2 (2009) uspostavljaju sljedeće oznake:

U ruskim izvorima ovaj standard se još ne poštuje - u njima je simbol N (\displaystyle \mathbb (N) ) označava prirodne brojeve bez nule, a prošireni prirodni niz je označen N 0 , Z + , Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0),\mathbb (Z) _(+),\mathbb (Z) _(\geqslant 0)) itd.

Aksiomi koji nam omogućavaju da odredimo skup prirodnih brojeva

Peanovi aksiomi za prirodne brojeve

Gomila N (\displaystyle \mathbb (N) )će se zvati skup prirodnih brojeva ako je neki element fiksan 1 (jedinica), funkcija S (\displaystyle S) sa domenom definicije N (\displaystyle \mathbb (N) ), nazvana funkcija praćenja ( S: N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) )), a ispunjeni su sljedeći uslovi:

1. element jedan pripada ovom skupu ( 1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) )), odnosno prirodan broj;
2. broj koji slijedi nakon prirodnog broja je također prirodan broj (ako je , onda S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\in \mathbb (N) ) ili, kraće rečeno, S: N → N (\displaystyle S\dvotočka \mathbb (N) \to \mathbb (N) ));
3. ne slijedi nijedan prirodan broj ( ∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \nexists x\in \mathbb (N) \ (S(x)=1)));
4. ako je prirodan broj a (\displaystyle a) odmah slijedi kao prirodan broj b (\displaystyle b), i za prirodan broj c (\displaystyle c), To b (\displaystyle b) I c (\displaystyle c) je isti broj (ako S (b) = a (\displaystyle S(b)=a) I S (c) = a (\displaystyle S(c)=a), To b = c (\displaystyle b=c));
5. (aksiom indukcije) ako bilo koja rečenica (izjava) P (\displaystyle P) dokazano za prirodne brojeve n = 1 (\displaystyle n=1) (indukciona baza) i ako iz pretpostavke da je istina za drugi prirodan broj n (\displaystyle n), proizilazi da je tačno za sljedeće n (\displaystyle n) prirodni broj ( induktivna hipoteza), onda je ova rečenica tačna za sve prirodne brojeve (neka P(n) (\displaystyle P(n))- neki jednomjesni (unarni) predikat čiji je parametar prirodan broj n (\displaystyle n). Onda ako P (1) (\displaystyle P(1)) I ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))), To ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).

Navedeni aksiomi odražavaju naše intuitivno razumijevanje prirodnog niza i brojevne prave.

Osnovna činjenica je da ovi aksiomi u suštini jedinstveno definišu prirodne brojeve (kategorička priroda Peanoovog sistema aksioma). Naime, može se dokazati (vidi, kao i kratak dokaz) da ako (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S)) I (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ((\tilda (\mathbb (N) )),(\tilda (1)),(\tilda (S))))- dva modela za Peano aksiomski sistem, onda su oni nužno izomorfni, odnosno postoji invertibilno preslikavanje (bijekcija) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) ))) takav da f (1) = 1 ~ (\displaystyle f(1)=(\tilda (1))) I f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f(x))) za sve x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ).

Stoga je dovoljno popraviti kao N (\displaystyle \mathbb (N) ) bilo koji određeni model skupa prirodnih brojeva.

Ponekad se, posebno u stranoj i prevodnoj literaturi, u prvoj i trećoj Peanovoj aksiomi jedan zamenjuje nulom. U ovom slučaju, nula se smatra prirodnim brojem. Kada se definira kroz klase skupova equipower, nula je po definiciji prirodan broj. Bilo bi neprirodno to namjerno odbaciti. Osim toga, to bi značajno zakomplikovalo dalju konstrukciju i primjenu teorije, budući da u većini konstrukcija nula, kao i prazan skup, nije nešto zasebno. Još jedna prednost tretiranja nule kao prirodnog broja je to što ona N (\displaystyle \mathbb (N) ) formira monoid. Kao što je već spomenuto, u ruskoj literaturi tradicionalno je nula isključena sa liste prirodnih brojeva.

Teorijska definicija prirodnih brojeva (Frege-Russell definicija)

Tako se i prirodni brojevi uvode na osnovu koncepta skupa, prema dva pravila:

Brojevi definisani na ovaj način nazivaju se redni.

Opišimo prvih nekoliko rednih brojeva i odgovarajućih prirodnih brojeva:

Veličina skupa prirodnih brojeva

Veličinu beskonačnog skupa karakteriše koncept "kardinalnosti skupa", koji je generalizacija broja elemenata konačnog skupa na beskonačne skupove. Po veličini (to jest, kardinalnosti), skup prirodnih brojeva je veći od bilo kojeg konačnog skupa, ali manji od bilo kojeg intervala, na primjer, intervala (0 , 1) (\displaystyle (0,1)). Skup prirodnih brojeva ima istu kardinalnost kao skup racionalnih brojeva. Skup iste kardinalnosti kao skup prirodnih brojeva naziva se prebrojiv skup. Dakle, skup termina bilo kojeg niza je prebrojiv. Istovremeno, postoji niz u kojem se svaki prirodni broj pojavljuje beskonačan broj puta, budući da se skup prirodnih brojeva može predstaviti kao prebrojiva unija disjunktnih prebrojivih skupova (npr. N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\ bigcup \limits _(n=0)^(\infty )(2n+1)2^(k)\desno))).

Operacije nad prirodnim brojevima

Zatvorene operacije (operacije koje ne izvode rezultat iz skupa prirodnih brojeva) nad prirodnim brojevima uključuju sljedeće aritmetičke operacije:

Uz to, razmatraju se još dvije operacije (sa formalne tačke gledišta, one nisu operacije nad prirodnim brojevima, jer nisu definirane za svima parovi brojeva (ponekad postoje, ponekad ne)):

Treba napomenuti da su operacije sabiranja i množenja fundamentalne. Konkretno, prsten cijelih brojeva je precizno definiran kroz binarne operacije sabiranja i množenja.

Osnovna svojstva

• Komutativnost sabiranja:

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a).

• Komutativnost množenja:

a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a).

• Asocijativnost sabiranja:

(a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)).

• Asocijativnost množenja:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)).

• Distributivnost množenja u odnosu na sabiranje:

( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a) \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(slučajevi))).

Algebarska struktura

Sabiranje pretvara skup prirodnih brojeva u polugrupu sa jedinicom, a ulogu jedinice ima 0 . Množenje takođe pretvara skup prirodnih brojeva u polugrupu sa identitetom, pri čemu je element identiteta 1 . Koristeći zatvaranja u odnosu na operacije sabiranja-oduzimanja i množenja-dijeljenja, dobiju se grupe cijelih brojeva Z (\displaystyle \mathbb (Z) ) i racionalne pozitivne brojeve Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q)_(+)^(*)) respektivno.

Najjednostavniji broj je prirodni broj. Koriste se u svakodnevnom životu za brojanje objekata, tj. da izračuna njihov broj i redosled.

Šta je prirodan broj: prirodni brojevi imenuje brojeve na koje ste navikli brojeći stavke ili naznačiti serijski broj bilo koje stavke od svih homogenih stavke.

Integers- ovo su brojevi koji počinju od jedan. Nastaju prirodno prilikom brojanja.Na primjer, 1,2,3,4,5... -prvi prirodni brojevi.

Najmanji prirodni broj- jedan. Ne postoji najveći prirodni broj. Prilikom brojanja Nula se ne koristi, pa je nula prirodan broj.

Serija prirodnih brojeva je niz svih prirodnih brojeva. Pisanje prirodnih brojeva:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

U prirodnom nizu svaki broj je veći od prethodnog.

Koliko brojeva ima u prirodnom nizu? Prirodni niz je beskonačan; najveći prirodni broj ne postoji.

Decimala jer 10 jedinica bilo koje cifre formira 1 jedinicu najviše cifre. Pozitivno tako kako značenje cifre zavisi od njenog mesta u broju, tj. iz kategorije u kojoj je napisano.

Klase prirodnih brojeva.

Bilo koji prirodni broj može se napisati pomoću 10 arapskih brojeva:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Za čitanje prirodnih brojeva, oni su podijeljeni, počevši s desne strane, u grupe od po 3 cifre. 3 prvo brojevi sa desne strane su klasa jedinica, sledeća 3 su klasa hiljada, zatim klase miliona, milijardi iitd. Svaka od cifara klase naziva se svojimpražnjenje.

Poređenje prirodnih brojeva.

Od 2 prirodna broja, manji je broj koji se ranije poziva pri brojanju. Na primjer, broj 7 manje 11 (napisano ovako:7 < 11 ). Kada je jedan broj veći od drugog, piše se ovako:386 > 99 .

Tabela cifara i klasa brojeva.

Jedinica 1. klase	1. znamenka jedinice 2. cifre desetice 3. mjesto stotine
2. klase hiljada	1. znamenka jedinice hiljada 2. cifra desetine hiljada 3. kategorija stotine hiljada
Milioni treće klase	1. znamenka jedinice miliona 2. kategorija desetine miliona 3. kategorija stotine miliona
4. klase milijarde	1. znamenka jedinice milijarde 2. kategorija desetine milijardi 3. kategorija stotine milijardi

Brojevi od 5. razreda i više smatraju se velikim brojevima. Jedinice 5. klase su trilioni, 6. klase klasa - kvadrilioni, 7. klasa - kvintilioni, 8. klasa - sekstiljoni, 9. klasa - eptillions. Osnovna svojstva prirodnih brojeva. Komutativnost sabiranja . a + b = b + a Komutativnost množenja. ab = ba Asocijativnost sabiranja. (a + b) + c = a + (b + c) Asocijativnost množenja. Distributivnost množenja u odnosu na sabiranje: Operacije nad prirodnim brojevima. 4. Deljenje prirodnih brojeva je inverzna operacija množenja. Ako b ∙ c = a, To Formule za deljenje: a: 1 = a a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (A∙ b) : c = (a:c) ∙ b (A∙ b) : c = (b:c) ∙ a Numerički izrazi i numeričke jednakosti. Zapis u kojem su brojevi povezani znakovima akcije je numerički izraz. Na primjer, 10∙3+4; (60-2∙5):10. Zapisi u kojima su 2 numerička izraza kombinovana sa znakom jednakosti su numeričke jednakosti. Jednakost ima lijevu i desnu stranu. Redoslijed izvođenja aritmetičkih operacija. Sabiranje i oduzimanje brojeva su operacije prvog stepena, dok su množenje i deljenje operacije drugog stepena. Kada se numerički izraz sastoji od radnji samo jednog stepena, one se izvode uzastopno s lijeva na desno. Kada se izrazi sastoje od radnji samo prvog i drugog stepena, tada se radnje izvode prve drugog stepena, a zatim - radnje prvog stepena. Kada u izrazu postoje zagrade, prvo se izvode radnje u zagradama. Na primjer, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.