Kako približno pomoću serije pronaći određeno rješenje DE?

Nastavljajući proučavanje praktične primjene teorije serija, razmotrimo još jedan uobičajeni problem, čiji naziv vidite u naslovu. I, kako se ne bismo osjećali kao kosilica tokom lekcije, odmah shvatimo suštinu zadatka. Tri pitanja i tri odgovora:

Šta pronaći? Parcijalno rješenje diferencijalne jednadžbe. Nagovještaj između redova šapuće da je u ovom trenutku poželjno barem razumjeti šta diferencijalna jednadžba i kakva je njegova odluka.

KAKO je potrebna ova odluka? Otprilike - uz pomoć serije.

I treće legitimno pitanje: zašto blizu? Već sam obradio ovo pitanje na času. Euler i Runge-Kutta metode, ali ne škodi ponoviti. Budući da sam pristalica specifičnosti, vratit ću se na najjednostavnije diferencijalna jednadžba. Na prvom predavanju o difurasima pronašli smo njegovo opšte rešenje (skup eksponencijala) i posebno rešenje koje odgovara početnom uslovu. Funkcijski graf je najčešća linija koju je lako nacrtati na crtežu.

Ali to je elementaran slučaj. U praksi postoji veliki broj diferencijalnih jednadžbi koje su analitički tačno nerješive (barem na danas poznate načine). Drugim riječima, kako god izvrtali takvu jednačinu, neće je biti moguće integrirati. A kvaka je u tome opće rješenje (familija linija u ravni) može postojati. I tada u pomoć priskaču metode računske matematike.

Upoznajte našu radost!

Tipičan zadatak je formuliran na sljedeći način:

… , koji zadovoljava početni uslov , u obliku tri (rijetko četiri ili pet) različiti od nule članovi Taylor serija.

Željeno određeno rješenje se proširuje u datu seriju prema dobro poznatoj formuli:

Jedino što se ovdje umjesto slova “ef” koristi “y” (tako se dogodilo).

Ideja i značenje su takođe poznati: za neke difurante i pod nekim uslovima (nećemo ulaziti u teoriju) konstruisano redovi snaga će se konvergirati do željenog konkretnog rješenja. Odnosno, što više članova serije razmatramo, to će graf odgovarajućeg polinoma tačnije aproksimirati graf funkcije.

Treba napomenuti da se gore navedeno odnosi i na najjednostavnije slučajeve. Provedimo jednostavnu dječju studiju na istom loncu:

Primjer 1

Naći približno određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet u obliku prva četiri člana Taylorovog reda različita od nule.

Rješenje: u uslovima ovog problema, dakle, opšta Taylor formula se transformiše u poseban slučaj proširenja u Maclaurin seriji:

Gledajući malo unaprijed, reći ću da je u praktičnim zadacima ova posebna, kompaktnija serija mnogo češća.

Zabilježite obje radne formule u svoju referentnu knjigu.

Hajde da se pozabavimo vrednostima. Pogodno je numerisati faze rješenja:

0) Na nultom koraku upisujemo vrijednost , koja je uvijek poznata iz uvjeta. U bilježnici je preporučljivo zaokružiti konačne rezultate bodova tako da su jasno vidljivi i da se ne izgube u odluci. Iz tehničkih razloga, zgodnije mi je da ih istaknem podebljanim slovima. osim toga, imajte na umu da ova vrijednost nije jednaka nuli! Uostalom, prema uslovu, potrebno je pronaći četiri ne-nulačlanovi serije.

1) Izračunajte . Da bismo to učinili, zamjenjujemo poznatu vrijednost na desnoj strani originalne jednadžbe umjesto "y":

2) Izračunajte . Prvo nađemo drugi derivat:

Na desnoj strani zamjenjujemo vrijednost pronađenu u prethodnom paragrafu:

Već imamo tri različita od nule člana ekspanzije, potreban nam je još jedan:

Primjer 2

Naći približno određeno rješenje diferencijalne jednadžbe , koji zadovoljava početni uslov u obliku prva tri različita od nule člana Tejlorovog reda.

Rješenje počinje standardnom frazom:

U ovom problemu, dakle:

Sada uzastopno pronalazimo vrijednosti - dok se ne dobiju tri ne-nula rezultat. Ako budete imali sreće, oni će biti drugačiji od nule je idealan slučaj sa minimalnom količinom posla.

Hajde da raščlanimo rješenja:

0) Po uslovu. Evo prvog uspjeha.

1) Izračunajte . Prvo rješavamo originalnu jednačinu u odnosu na prvi izvod, odnosno izražavamo . Zamijenite poznate vrijednosti u desnu stranu:

Primljen je đevrek i to nije dobro, jer nas zanima ne-nula vrijednosti. Međutim, nula takođe rezultat, koje ne zaboravljamo zaokružiti ili istaknuti na neki drugi način.

2) Pronađite drugi izvod i zamijenite poznate vrijednosti u desnu stranu:

Drugi nije nula.

3) Nađi - izvod drugog izvoda:

Generalno, zadatak pomalo podsjeća na priču o repi, kada djed, baka i unuka u pomoć zovu bubu, mačku itd. Zaista, svaki sljedeći derivat je izražen kroz svoje "prethodnike".

Zamijenite poznate vrijednosti u desnu stranu:

Treća vrijednost različita od nule. Izvukao repu.

Pažljivo i pažljivo zamjenjujemo "masne" brojeve u našu formulu:

Odgovori: željena približna ekspanzija određenog rješenja:

U razmatranom primjeru na drugom mjestu je bila samo jedna nula, i to nije tako loše. U opštem slučaju, nule se mogu pojaviti koliko god želite i bilo gdje. Ponavljam, jako je važno istaknuti ih uz rezultate koji nisu nula, kako se ne bi zbunili u zamjenama u završnoj fazi.

Izvolite - pecivo na prvom mjestu:

Primjer 3

Naći približno određeno rješenje diferencijalne jednadžbe , koje odgovara početnom uvjetu , u obliku prva tri različita od nule člana Taylorovog reda.

Primjer zadatka na kraju lekcije. Tačke algoritma možda neće biti numerisane (ostavljajući, na primjer, prazne linije između koraka), ali preporučujem početnicima da se pridržavaju strogog predloška.

Zadatak koji se razmatra zahtijeva povećanu pažnju - ako pogriješite u bilo kojem koraku, onda će i sve ostalo biti pogrešno! Stoga bi vaša bistra glava trebala raditi kao sat. Avaj, ovo nije integrali ili difuzori, koji se pouzdano rješavaju čak iu zamornom stanju, jer vam omogućavaju efikasnu provjeru.

U praksi je mnogo češći Proširenje Maclaurin serije:

Primjer 4

Rješenje: u principu možete odmah napisati Maclaurinova dekompozicija, ali je akademskije početi s općim slučajem:

Proširivanje određenog rješenja diferencijalne jednadžbe pod početnim uvjetom ima oblik:

U ovom slučaju, dakle:

0) Po uslovu.

Pa šta da se radi… Nadajmo se da će nula biti manje.

1) Izračunajte . Prvi derivat je već spreman za upotrebu. Zamijenite vrijednosti:

2) Pronađite drugi izvod:

I stavimo ga:

Stvari su išle brzo!

3) Pronađite . Pisaću veoma detaljno:

Imajte na umu da se uobičajena algebarska pravila primjenjuju na derivate: smanjivanje sličnih pojmova u posljednjem koraku i zapisivanje proizvoda kao stepena: (ibid.).

Zamjena u svemu što se stekne prekomjernim radom:

Rađaju se tri vrijednosti različite od nule.

Zamjenjujemo "debele" brojeve u Maclaurinovu formulu, čime dobivamo približnu ekspanziju određenog rješenja:

Odgovori:

Za samostalno rješenje:

Primjer 5

Predstavite približno određeno rješenje DE koje odgovara datom početnom uvjetu kao zbir prva tri člana potencijskog niza različita od nule.

Uzorak dizajna na kraju lekcije.

Kao što vidite, problem sa djelomičnim proširenjem u Maclaurin serija ispostavilo se da je to još teže od opšteg slučaja. Složenost zadatka koji se razmatra, kao što smo upravo vidjeli, ne leži toliko u samoj dekompoziciji, koliko u poteškoćama diferencijacije. Štaviše, ponekad morate pronaći 5-6 derivata (ili čak više), što povećava rizik od greške. I na kraju lekcije, nudim nekoliko zadataka povećane složenosti:

Primjer 6

Riješite diferencijalnu jednadžbu približno tako što ćemo proširiti određeno rješenje u Maclaurinov red, ograničavajući se na prva tri člana niza koji nisu nula

Rješenje: imamo difuziju drugog reda, ali to praktično ne mijenja stvari. Prema uslovu, odmah smo pozvani da koristimo Maclaurin seriju, koju nećemo propustiti iskoristiti. Zapišimo poznato proširenje, uzimajući više pojmova za svakog vatrogasca:

Algoritam radi potpuno isto:

0) – po uslovu.

1) - po uslovu.

2) Riješimo originalnu jednačinu s obzirom na drugi izvod: .

I zamenimo:

Prva vrijednost različita od nule

Kliknemo na derivate i izvršimo zamjene:

Zamjena i :

Zamjena:

Druga vrijednost različita od nule.

5) – usput dajemo slične derivate.

Zamjena:

Zamjena:

Konačno. Međutim, dešava se i gore.

Dakle, približna ekspanzija željenog određenog rješenja je:

Uz pomoć redova stepena moguće je integrisati diferencijalne jednadžbe.

Razmotrimo linearnu diferencijalnu jednačinu oblika:

Ako se svi koeficijenti i desna strana ove jednačine prošire u redove stepena koji konvergiraju u nekom intervalu, tada postoji rješenje ove jednačine u nekom malom susjedstvu nulte tačke koje zadovoljava početne uslove.

Ovo rješenje se može predstaviti kao niz snaga:

Da bi se pronašlo rješenje, ostaje odrediti nepoznate konstante c i .

Ovaj zadatak je riješen metoda poređenja neizvjesnih koeficijenata. Zamjenjujemo pisani izraz za željenu funkciju u originalnu diferencijalnu jednačinu, dok izvodimo sve potrebne radnje sa stepenom redova (diferencijacija, sabiranje, oduzimanje, množenje itd.)

Zatim izjednačavamo koeficijente na istim stepenima X na lijevoj i desnoj strani jednačine. Kao rezultat toga, uzimajući u obzir početne uslove, dobijamo sistem jednačina iz kojeg sukcesivno određujemo koeficijente c i .

Imajte na umu da je ova metoda primjenjiva i na nelinearne diferencijalne jednadžbe.

Primjer. Pronađite rješenje jednačine
sa početnim uslovima y(0)=1, y’(0)=0.

Rješenje jednačine tražit ćemo u obliku

Dobijene izraze zamjenjujemo u originalnu jednačinu:

Odavde dobijamo:

………………

Dobijamo zamjenom početnih uslova u izraze za željenu funkciju i njen prvi izvod:

Konačno dobijamo:

Ukupno:

Postoji još jedna metoda za rješavanje diferencijalnih jednadžbi pomoću serija. Nosi ime metoda uzastopne diferencijacije.

Razmotrimo isti primjer. Rješenje diferencijalne jednadžbe tražit ćemo u obliku proširenja nepoznate funkcije u Maclaurinov red.

Ako su dati početni uslovi y(0)=1, y’(0)=0 zamijenimo u originalnu diferencijalnu jednadžbu, to ćemo dobiti

Zatim zapisujemo diferencijalnu jednačinu u obliku
i mi ćemo ga sekvencijalno razlikovati u odnosu na X.

Nakon zamjene dobijenih vrijednosti dobijamo:

Cauchy kriterij.

(neophodni i dovoljni uslovi za konvergenciju niza)

U cilju redosleda
bio konvergentan, potrebno je i dovoljno da za bilo koje
postojao je brojN, koji un > Ni bilo kojistr> 0, gdje je p cijeli broj, vrijedi sljedeća nejednakost:

.

Dokaz. (nužnost)

Neka
, zatim za bilo koji broj
postoji broj N takav da je nejednakost

se izvodi za n>N. Za n>N i bilo koji cijeli broj p>0, nejednakost također vrijedi
. Uzimajući u obzir obje nejednakosti, dobijamo:

Potreba je dokazana. Nećemo razmatrati dokaz dovoljnosti.

Formulirajmo Cauchyjev kriterij za seriju.

U redu za broj
bila konvergentna neophodna i dovoljna da za bilo
postojao je brojNtakav da nan> Ni bilo kojistr>0 bi zadovoljilo nejednakost

.

Međutim, u praksi nije baš zgodno koristiti Cauchyjev kriterij direktno. Stoga se u pravilu koriste jednostavniji kriteriji konvergencije:

Posljedica. Ako f(x) I  (X) su kontinuirane funkcije na intervalu (a, b] i
zatim integrali
I
ponašaju se isto u smislu konvergencije.

power series.

Uz pomoć redova stepena moguće je integrisati diferencijalne jednadžbe.

Razmotrimo linearnu diferencijalnu jednačinu oblika:

Ako se svi koeficijenti i desna strana ove jednačine prošire u redove stepena koji konvergiraju u nekom intervalu, tada postoji rješenje ove jednačine u nekom malom susjedstvu nulte tačke koje zadovoljava početne uslove.

Ovo rješenje se može predstaviti kao niz snaga:

Da bi se pronašlo rješenje, ostaje odrediti nepoznate konstante c i.

Ovaj zadatak je riješen metoda poređenja neizvjesnih koeficijenata. Zamjenjujemo pisani izraz za željenu funkciju u originalnu diferencijalnu jednačinu, dok izvodimo sve potrebne radnje sa stepenom redova (diferencijacija, sabiranje, oduzimanje, množenje itd.)

Zatim izjednačavamo koeficijente na istim stepenima X na lijevoj i desnoj strani jednačine. Kao rezultat toga, uzimajući u obzir početne uslove, dobijamo sistem jednačina iz kojeg sukcesivno određujemo koeficijente c i.

Imajte na umu da je ova metoda primjenjiva i na nelinearne diferencijalne jednadžbe.

Primjer. Naći rješenje jednačine sa početnim uslovima y(0)=1, y'(0)=0.

Rješenje jednačine tražit ćemo u obliku

Dobijene izraze zamjenjujemo u originalnu jednačinu:

Odavde dobijamo:

………………

Dobijamo zamjenom početnih uslova u izraze za željenu funkciju i njen prvi izvod:

Konačno dobijamo:

Postoji još jedna metoda za rješavanje diferencijalnih jednadžbi pomoću serija. Nosi ime metoda uzastopne diferencijacije.

Razmotrimo isti primjer. Rješenje diferencijalne jednadžbe tražit ćemo u obliku proširenja nepoznate funkcije u Maclaurinov red.

Ako su dati početni uslovi y(0)=1, y'(0)=0 zamijenimo u originalnu diferencijalnu jednadžbu, to ćemo dobiti

Nakon zamjene dobijenih vrijednosti dobijamo:

Fourierova serija.

(Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830) - francuski matematičar)

trigonometrijske serije.

Definicija. trigonometrijske serije nazvan nizom oblika:

ili, ukratko,

Realni brojevi a i , b i nazivaju se koeficijenti trigonometrijskog niza.

Ako niz gore prikazanog tipa konvergira, tada je njegov zbir periodična funkcija s periodom od 2p, jer funkcije grijeha nx i cos nx također periodične funkcije sa periodom 2p.

Neka trigonometrijski redovi konvergiraju jednoliko na intervalu [-p; p] i, prema tome, na bilo kojem segmentu zbog periodičnosti, a njegov zbir je jednak f(x).

Odredimo koeficijente ove serije.

Za rješavanje ovog problema koristimo sljedeće jednakosti:

Valjanost ovih jednakosti proizilazi iz primjene trigonometrijskih formula na integrand. Pogledajte Integracija trigonometrijskih funkcija za detalje.

Jer funkcija f(x) kontinuirano na segmentu [-p; p], onda postoji integral

Ovaj rezultat je dobiven kao rezultat činjenice da .

Odavde dobijamo:

Slično, izraz proširenja funkcije u nizu množimo sa sin nx i integrirati od -p do p.

Dobijamo:

Izraz za koeficijent a 0 je poseban slučaj za izražavanje koeficijenata a n.

Dakle, ako je funkcija f(x)– bilo koja periodična funkcija perioda 2p, kontinuirana na intervalu [-p; p] ili imaju konačan broj tačaka diskontinuiteta prve vrste na ovom segmentu, tada koeficijenti

postoje i zovu se Fourierovi koeficijenti za funkciju f(x).

Definicija. Blizu Fouriera za funkciju f(x) se naziva trigonometrijski niz čiji su koeficijenti Fourierovi koeficijenti. Ako je Fourierov red funkcije f(x) konvergira mu u svim svojim tačkama kontinuiteta, onda kažemo da je funkcija f(x)širi u Fourierov niz.

Dovoljni kriterijumi za razgradljivost u Fourierovom nizu.

Teorema. (Dirichletova teorema) Ako funkcija f(x) ima period 2p i na segmentu

[-p;p] je kontinuiran ili ima konačan broj tačaka diskontinuiteta prve vrste, a segment

[-p;p] se može podijeliti na konačan broj segmenata tako da unutar svakog od njih funkcija f(x) bude monotona, tada Fourierov red za funkciju f(x) konvergira za sve vrijednosti x, a u tačkama kontinuiteta funkcije f(x) njen zbir je jednak f(x), a u tačkama diskontinuiteta njen zbir je jednak , tj. aritmetička sredina graničnih vrijednosti lijevo i desno. U ovom slučaju, Fourierov red funkcije f(x) ravnomjerno konvergira na bilo kojem segmentu koji pripada intervalu kontinuiteta funkcije f(x).

Poziva se funkcija f(x) za koju su ispunjeni uslovi Dirichletove teoreme po komadima monotono na segmentu [-p;p].

Teorema. Ako funkcija f(x) ima period od 2p, osim toga, f(x) i njen izvod f'(x) su kontinuirane funkcije na segmentu [-p;p] ili imaju konačan broj diskontinuiteta točaka prva vrsta na ovom segmentu, zatim serija Fourierova funkcija f(x) konvergira za sve vrijednosti x, a u tačkama kontinuiteta njen zbir je jednak f(x), a u tačkama diskontinuiteta jednak je do . U ovom slučaju, Fourierov red funkcije f(x) ravnomjerno konvergira na bilo kojem segmentu koji pripada intervalu kontinuiteta funkcije f(x).

Funkcija koja zadovoljava uslove ove teoreme naziva se glatka u komadima na segmentu [-p;p].

Fourierova ekspanzija neperiodične funkcije.

Problem proširenja neperiodične funkcije u Fourierov red se u principu ne razlikuje od proširenja u Fourierov red periodične funkcije.

Recimo funkciju f(x) je dato na segmentu i na ovom segmentu je monotono po komadima. Razmotrimo proizvoljnu periodičnu monotonu funkciju po komadima f 1 (x) sa tačkom 2T ³ ïb-aï, koji se poklapa sa funkcijom f(x) na segmentu .

a - 2T a a b a+2T a + 4T x

Dakle, funkcija f(x) je dopunjena. Sada funkcija f 1 (x)širi u Fourierov niz. Zbir ovog niza u svim tačkama segmenta poklapa se sa funkcijom f(x), one. možemo pretpostaviti da je funkcija f(x) proširen u Fourierov niz na intervalu .

Dakle, ako je funkcija f(x) data na segmentu jednakom 2p, ona se ni po čemu ne razlikuje od proširenja u niz periodične funkcije. Ako je interval na kojem je data funkcija manji od 2p, tada se funkcija proširuje na interval (b, a + 2p) tako da su sačuvani uvjeti Fourierove ekspanzije.

Uopšteno govoreći, u ovom slučaju, proširenje date funkcije na segment (interval) dužine 2p može se izvršiti na beskonačan broj načina, tako da će sumi rezultirajućih nizova biti različiti, ali će se poklapati sa datim funkcija f(x) na segmentu .

Fourierov red za parne i neparne funkcije.

Zapažamo sljedeća svojstva parnih i neparnih funkcija:

2) Proizvod dvije parne i neparne funkcije je parna funkcija.

3) Proizvod parnih i neparnih funkcija je neparna funkcija.

Validnost ovih svojstava može se lako dokazati na osnovu definicije parnih i neparnih funkcija.

Ako je f(x) parna periodična funkcija s periodom 2p koja zadovoljava uvjete Fourierove ekspanzije, tada možemo napisati:

Dakle, za parnu funkciju, Fourierov red je napisan:

Slično, dobijamo proširenje u Fourierov red za neparnu funkciju:

Primjer. Proširite u Fourierov red periodičnu funkciju s periodom T = 2p na intervalu [-p;p].

Zadata funkcija je neparna, stoga tražimo Fourierove koeficijente u obliku:

Definicija. Blizu Fourier-a u ortogonalnom sistemu funkcija j 1 (x), j 2 (x), …,jn(x) je niz oblika:

čiji su koeficijenti određeni formulom:

Gdje f(x)= - zbir niza koji uniformno konvergira na segmentu u ortogonalnom sistemu funkcija. f(x) - bilo koja funkcija koja je kontinuirana ili ima konačan broj točaka diskontinuiteta prve vrste na intervalu .

U slučaju ortonormalnog sistema funkcija određuju se koeficijenti:

Kada koristite PC verziju “ Kurs više matematike” moguće je pokrenuti program koji proširuje proizvoljnu funkciju u Fourierov niz.

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE REPUBLIKE KAZAHSTAN

Državni univerzitet Sjevernog Kazahstana

njima. M. Kozybayeva

Fakultet informacionih tehnologija

Katedra za "matematiku"

Odbranjeni predmeti

ocjenjen "_____________"

"___"___________ godina 2013

glava odjel ____________

A. Tajigitov

PREDMETNI rad iz matematike

„INTEGRACIJA DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA

UZ POMOĆ POWER SERIJE»

ŠEF Valeeva M.B. ___________

Petropavlovsk 2013

AҢDAPTA

Berilgen kurstyk zhұmysta katarlarmen zhane diferencijali tendemelermen baylanysty theorylyk suraқtar karastyrylgan. Diferencijali endemenin integraldauynyn mysaldary zhane mangaz katarlardyn kömegimen karastyrylgan.

ANOTATION

U ovom predmetnom radu razmatraju se teorijska pitanja vezana za redove i diferencijalne jednadžbe. Razmatraju se primjeri integracije diferencijalnih jednadžbi uz pomoć redova stepena.

dati rad se smatraju teorijskim pitanjima koja se odnose na redove i diferencijalne jednadžbe. Razmatraju se primjeri integracionih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi pomoću nizova stepena.

UVOD

OSNOVNI POJMOVI U VEZI SREDOVA I DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA

1 reda. Osnovni koncepti. Neophodan kriterijum za konvergenciju

2 Power series. Svojstva niza snaga

3 Taylor serija. Maclaurin serija

4 Diferencijalne jednadžbe

5 Integracija diferencijalnih jednadžbi pomoću serija

PRIMJERI KORIŠĆENJA REDOVA PO POTENCI U INTEGRACIJI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA

1 Airy jednadžba

2 Beselova jednačina

3 Primjeri integracije

4 Primjeri integracije u Mapleu

ZAKLJUČAK

UVOD

Izraz "diferencijalna jednačina" duguje Leibnizu (1676, objavljen 1684). Početak istraživanja diferencijalnih jednačina datira još iz vremena Leibniza i Newtona, u čijim su radovima proučavani prvi problemi koji su doveli do takvih jednačina. Leibniz, Newton i braća J. i I. Bernoulli razvili su metode za integraciju običnih diferencijalnih jednačina. Kao univerzalna metoda korištena su proširenja integrala diferencijalnih jednadžbi u redove stepena.

Sada široko rasprostranjeno uvođenje računskih metoda u nauku, povezano s pojavom moćnih računarskih alata, zahtijeva ponovnu procjenu značaja različitih grana matematike, a posebno dijelova teorije običnih diferencijalnih jednačina. Danas je sve veći značaj metoda za kvalitativno proučavanje rješenja diferencijalnih jednačina, kao i metoda za približno pronalaženje rješenja.

Rješenja mnogih diferencijalnih jednadžbi nisu izražena u elementarnim funkcijama ili kvadraturama. U tim slučajevima se koriste aproksimativne metode integracije diferencijalnih jednadžbi. Jedna takva metoda je predstavljanje rješenja jednadžbe kao niz stepena; zbir konačnog broja članova u ovom nizu će biti približno jednak željenom rješenju. Ovo određuje relevantnost odabrane teme istraživanja.

Svrha ovog rada: prikazati primjenu metode stepena redova u integraciji diferencijalnih jednadžbi.

Predmet istraživanja je proces integracije diferencijalnih jednadžbi metodom stepena redova.

Predmet istraživanja su oblici, metode i sredstva integracije diferencijalnih jednadžbi po stepenu niza.

U skladu s ciljem, možemo formulirati glavne zadatke ovog rada:

Razmotrite osnovne koncepte povezane sa serijama i diferencijalnim jednadžbama.

Analizirati metodu integracije diferencijalnih jednadžbi koristeći redove stepena.

Primijeniti metodu potencijskog reda za rješavanje raznih problema.

Struktura rada: naslovna strana, obrazac zadatka, sažetak, sadržaj, uvod, glavni dio, zaključak, lista literature.

Glavni dio rada sastoji se od dva poglavlja. Prvo poglavlje otkriva koncepte redova, nizova stepena, Taylorovog reda, diferencijalnih jednadžbi. U drugom poglavlju razmatraju se primjeri integracije diferencijalnih jednadžbi po stepenu niza.

Za proučavanje teorijskog dijela rada korišteni su materijali iz nastavne literature i periodike koji su navedeni u popisu korištene literature.

Obim rada: 26 str.

1. OSNOVNI POJMOVI KOJI SE ODNOSE NA REDOVNE I DIFERENCIJALNE JEDNAČINE

1.1 Redovi. Osnovni koncepti. Neophodan kriterijum za konvergenciju

U matematičkim aplikacijama, kao iu rješavanju nekih problema iz ekonomije, statistike i drugih oblasti, razmatraju se zbirovi sa beskonačnim brojem pojmova. Ovdje definiramo šta se podrazumijeva pod takvim iznosima.

Neka je dat beskonačan niz brojeva. Brojčani niz ili jednostavno niz je izraz (zbir) oblika

,(1.1)

brojevi se nazivaju članovi niza, - zajednički ili n-ti član niza.

Za postavljanje niza (1.1) dovoljno je postaviti funkciju prirodnog argumenta za izračunavanje n-tog člana niza po njegovom broju

Primjer 1.1. Neka . Red

(1.2)

naziva se harmonijski niz.

Od članova serije (1.1) formiramo numerički niz parcijalnih suma Gdje - zbir prvih članova niza, koji se naziva n-ti parcijalni zbir, tj.

(1.3)

Numerički niz uz neograničeno povećanje broja može:

) imaju konačan limit;

) nemaju konačnu granicu (granica ne postoji ili je jednaka beskonačnosti).

Niz (1.1) se naziva konvergentnim ako niz njegovih parcijalnih suma (1.3) ima konačan limit, tj.

U ovom slučaju, broj se naziva zbir niza (1.1) i zapisuje se

Za niz (1.1) se kaže da je divergentan ako niz njegovih parcijalnih suma nema konačan limit. Divergentnom nizu se ne pripisuje zbir.

Dakle, problem nalaženja zbira konvergentnog niza (1.1) je ekvivalentan izračunavanju granice niza njegovih parcijalnih suma.

Dokaz teoreme slijedi iz činjenice da , i ako

S je onda zbir serije (1.1).

Uslov (1.4) je neophodan, ali ne i dovoljan uslov da bi red konvergirao. To jest, ako zajednički član niza teži nuli na , onda to ne znači da niz konvergira. Na primjer, za harmonijski niz (1.2)

međutim, razlikuje se.

Posljedica (dovoljan kriterij za divergenciju niza): ako zajednički član serije ne teži nuli, tada se ovaj niz divergira.

Primjer 1.2. Istražite nizove konvergencije

Za ovu seriju Stoga se ova serija razlikuje.

1.1

1.2 Serija snage. Svojstva niza snaga

Snažni redovi su poseban slučaj funkcionalnih serija.

Potencijski niz je funkcionalni niz oblika

ovdje - konstantni realni brojevi, koji se nazivaju koeficijenti stepena reda;

Neki konstantni broj;

Varijabla koja uzima vrijednosti iz skupa realnih brojeva.

Na , niz stepena (1.5) poprima oblik

(1.6)

Niz stepena (1.5) naziva se niz stepena razlike (1.6) - niz stepena Ako se promenljivoj dodeli bilo koja vrednost, tada se niz stepena (1.5) (ili (1.6)) pretvara u numerički niz koji mogu konvergirati ili divergirati.

Područje konvergencije stupnja niza je skup onih vrijednosti za koje se niz stepena konvergira.

Teorema 1.2 (Abelov teorem): ako se niz stepena (1.6) konvergira za tada konvergira apsolutno za sve vrijednosti koje zadovoljavaju nejednakost, ako se niz (1.6) divergira za tada divergira za sve vrijednosti koje zadovoljavaju nejednakost

Abelov teorem daje jasnu predstavu o strukturi područja konvergencije stupnja.

Teorema 1.3: Područje konvergencije niza stepena (1.6) poklapa se sa jednim od sljedećih intervala:

) ; 2) ; 3) ; 4) ,

gdje je neki nenegativni realni broj ili

Broj se naziva radijus konvergencije, interval se naziva interval konvergencije stepena reda (1.6).

Ako je tada interval konvergencije cijela realna os

Ako se tada interval konvergencije degenerira u tačku

Napomena: ako je interval konvergencije za niz stepena (1.2), onda je interval konvergencije za niz stepena (1.5).

Iz teoreme 1.3 slijedi da je, da bi se praktično pronašlo područje konvergencije niza stepena (1.6), dovoljno pronaći njegov radijus konvergencije i razjasniti pitanje konvergencije ovog niza na krajevima intervala konvergencije , tj. at and

Radijus konvergencije niza stepena može se pronaći pomoću jedne od sljedećih formula:

d'Alembertova formula:

Cauchy formula:

Primjer 1.3. Pronađite radijus konvergencije, interval konvergencije i površinu konvergencije niza stepena

Pronađite polumjer konvergencije ovog niza po formuli

U našem slučaju

Stoga interval konvergencije ovog niza ima oblik

Proučimo konvergenciju niza na krajevima intervala konvergencije.

koji divergira kao harmonijski niz.

Kada se niz stepena pretvori u niz brojeva

.

Ovo je naizmjenični niz, čiji članovi smanjuju apsolutnu vrijednost i

Prema tome, prema Leibniz testu, ovaj brojni niz konvergira.

Dakle, interval je oblast konvergencije datog niza stepena.

Red stepena (1.6) je funkcija definisana u intervalu konvergencije, tj.

Evo nekih svojstava funkcije

Svojstvo 1. Funkcija je kontinuirana na bilo kojem segmentu koji pripada intervalu konvergencije

Svojstvo 2. Funkcija je diferencibilna na intervalu i njen izvod se može naći diferenciranjem niza (1.6) po članu, tj.

za sve

Svojstvo 3. Neodređeni integral funkcije za sve može se dobiti počlanom integracijom niza (1.6), tj.

za sve

Treba napomenuti da se pri diferencijaciji po članu i integraciji stepena niza, njegov radijus konvergencije ne mijenja, ali se njegova konvergencija na krajevima intervala može promijeniti.

Navedena svojstva vrijede i za redove stepena (1.5).

Primjer 1.4. Razmotrimo redove snage

Područje konvergencije ovog niza, kao što je prikazano u primjeru 1.3, je interval

Razlikujemo ovu seriju pojam po pojam:

(1.7)

Proučimo ponašanje ove serije na krajevima intervala konvergencije.

Ovaj brojčani niz divergira, jer nije zadovoljen nužni kriterij konvergencije

koji ne postoji.

Za , niz stepena (1.7) prelazi u numerički niz

koji takođe divergira jer traženi kriterijum konvergencije nije zadovoljen.

Posljedično, područje konvergencije redova stepena dobijenih diferencijacijom po članu originalnog niza stepena se promijenilo i poklapa se s intervalom .

1.3 Taylor serija. Maclaurin serija

Neka je funkcija beskonačno diferencibilna u susjedstvu točke, tj. ima derivate bilo kojeg reda. Taylorov red funkcije u nekoj tački naziva se niz stepena

(1.8)

U posebnom slučaju , niz (1.8) se naziva Maclaurinov red:

Postavlja se pitanje: U kojim slučajevima se Taylorov red za funkciju diferenciranu beskonačan broj puta u susjedstvu tačke poklapa sa funkcijom?

Postoje slučajevi kada Taylorov red funkcije konvergira, ali njegov zbir nije jednak

Dajmo dovoljan uslov za konvergenciju Taylorovog reda funkcije ovoj funkciji.

Teorema 1.4: ako je u intervalu funkcija ima derivate bilo kojeg reda i svi su ograničeni istim brojem u apsolutnoj vrijednosti, tj. tada Taylorov red ove funkcije konvergira na za bilo koji od ovih intervala one. postoji jednakost

Da bi se razjasnilo ispunjenje ove jednakosti na krajevima intervala konvergencije, potrebne su odvojene studije.

Treba napomenuti da ako se funkcija proširi u niz stepena, onda je ovaj niz Taylorov (Maclaurin) niz ove funkcije, a ovo proširenje je jedinstveno.

1.4 Diferencijalne jednadžbe

Obična diferencijalna jednadžba n-tog reda za funkciju argumenta je relacija oblika

gdje je data funkcija njegovih argumenata.

U nazivu ove klase matematičkih jednadžbi, izraz "diferencijalni" naglašava da one uključuju derivate (funkcije nastale kao rezultat diferencijacije); izraz - "običan" kaže da željena funkcija zavisi samo od jednog realnog argumenta.

Obična diferencijalna jednadžba ne mora eksplicitno sadržavati argument željene funkcije i bilo kojeg od njenih izvoda, ali najviši izvod mora biti uključen u jednačinu n-og reda.

Na primjer,

A) - jednačina prvog reda;

B) je jednačina trećeg reda.

Prilikom pisanja običnih diferencijalnih jednadžbi često se koristi notacija derivacija kroz diferencijale:

IN) - jednačina drugog reda;

G) - jednačina prvog reda koja, nakon dijeljenja s ekvivalentnim oblikom postavljanja jednačine:

Funkcija se naziva rješenjem obične diferencijalne jednadžbe ako, kada se u nju unese, postane identitet.

Pronaći jednom ili drugom metodom, na primjer, selekcijom, jednu funkciju koja zadovoljava jednačinu ne znači i riješiti je. Riješiti običnu diferencijalnu jednadžbu znači pronaći sve funkcije koje formiraju identitet kada se zamijene u jednadžbu. Za jednačinu (1.10) porodica takvih funkcija se formira pomoću proizvoljnih konstanti i naziva se općim rješenjem obične diferencijalne jednadžbe n-tog reda, a broj konstanti se poklapa sa redoslijedom jednadžbe: integral jednadžbe (1.10 ).

Postavljanjem nekih dopuštenih vrijednosti za sve proizvoljne konstante u općem rješenju ili u općem integralu, dobijamo određenu funkciju koja više ne sadrži proizvoljne konstante. Ova funkcija se naziva posebno rješenje ili određeni integral jednačine (1.10). Za pronalaženje vrijednosti proizvoljnih konstanti, a time i konkretnog rješenja, koriste se različiti dodatni uvjeti za jednadžbu (1.10). Na primjer, takozvani početni uslovi za:

Na desnoj strani početnih uslova (1.11) date su numeričke vrijednosti funkcije i izvoda, a ukupan broj početnih uslova jednak je broju proizvoljnih konstanti koje se određuju.

Zadatak pronalaženja određenog rješenja jednačine (1.10) prema početnim uvjetima naziva se Cauchyjev problem.

1.5 Integracija diferencijalnih jednadžbi pomoću serija

U opštem slučaju, nemoguće je pronaći tačno rešenje obične diferencijalne jednadžbe (ODE) prvog reda njenom integracijom. Štaviše, ovo nije izvodljivo za ODE sistem. Ova okolnost je dovela do stvaranja velikog broja približnih metoda za rješavanje ODE-a i njihovih sistema. Postoje tri grupe aproksimativnih metoda: analitičke, grafičke i numeričke. Naravno, takva klasifikacija je donekle proizvoljna. Na primjer, grafička Eulerova metoda izlomljene linije leži u osnovi jedne od metoda za numeričko rješavanje diferencijalne jednadžbe.

Integracija ODE-ova korištenjem nizova stepena je približna analitička metoda, koja se obično primjenjuje na linearne jednačine najmanje drugog reda. Radi jednostavnosti, ograničavamo se na razmatranje linearne homogene ODE drugog reda s promjenjivim koeficijentima

(1.12)

Napomena: prilično široka klasa funkcija može se predstaviti kao

gdje su neke konstante. Ovaj izraz se naziva potencijskim redom.

Pretpostavimo da se funkcije mogu proširiti u nizove koji konvergiraju u intervalu:

Vrijedi sljedeća teorema (izostavljajući dokaz, iznosimo samo njegovu formulaciju).

Teorema 1.5: ako funkcije imaju oblik (1.13), tada se svako rješenje ODE (1.12) može predstaviti kao niz stepena koji konvergira na:

(1.14)

Ova teorema ne samo da omogućava da se rješenje predstavi u obliku stepena reda, već, što je najvažnije, opravdava konvergenciju reda (1.14). Radi jednostavnosti stavljamo (1.13) i (1.14) i tražimo rješenje za ODE (1.12) u obliku

(1.15)

Zamjenom (1.15) u (1.12) dobijamo jednakost

Da bi (1.16) bila zadovoljena, potrebno je da koeficijent na svakoj potenciji bude jednak nuli.

Iz ovog uslova dobijamo beskonačan sistem linearnih algebarskih jednačina

iz kojih se sukcesivno mogu pronaći ako su specificirane vrijednosti i (u slučaju Cauchyjevog problema za ODE (1.12) one su uključene u početne uslove ).

Ako su funkcije racionalne, tj.

gdje su polinomi, onda u blizini tačaka gdje rješenje u obliku stepena niza možda ne postoji, a ako postoji, može divergirati svuda, osim u tački.Ova okolnost je bila poznata čak i L. Euleru, koji je razmatrao jednačinu prvog reda

Ova jednačina je zadovoljena redovima stepena

Međutim, lako je vidjeti da se ova serija razlikuje od bilo kojeg

Rješenje ODE u obliku divergentnog niza stepena naziva se formalno.

2. PRIMJERI UPOTREBE STEPENSKIH REDOVA U INTEGRACIJI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA

Airy equation

Rješenje Airyjeve jednačine

tražićemo u obliku stepena reda (1.15). Tada jednakost (1.16) poprima oblik

Koeficijent at je jednak Dakle, iz jednakosti na nulu koeficijenta at, nalazimo koeficijent na jednak Odavde

Iz ove formule dobijamo

Slično, nalazimo

Koeficijenti i ostaju nedefinisani. Da bismo pronašli osnovni sistem rješenja, prvo postavljamo a zatim obrnuto. U prvom slučaju imamo

iu drugom

Na osnovu teoreme 1.5, ovi redovi su konvergentni svuda na realnoj liniji

Funkcije se zovu Airy funkcije. Za velike vrijednosti, asimptotičko ponašanje ovih funkcija opisuje se formulama

Grafikoni ovih funkcija prikazani su na slici 1.

Slika 1

Uz neograničeno povećanje, nule bilo kojeg rješenja Airyjeve jednadžbe konvergiraju beskonačno, što je vidljivo iz asimptotičkog prikaza ovih rješenja, ali uopće nije očito iz prikaza Airyjevih funkcija u obliku konvergentnih redova potenciranja. Iz toga slijedi da je metoda pronalaženja rješenja ODE pomoću niza, općenito govoreći, od male koristi u rješavanju primijenjenih problema, a sam prikaz rješenja u obliku serije otežava analizu kvalitativnih svojstava rezultirajuće rješenje.

2.1 Beselova jednačina

Linearna diferencijalna jednadžba sa promjenjivim koeficijentima, koja ima oblik

naziva se Beselova jednačina.

Rješenje jednačine (2.1) tražit ćemo u obliku generalizovanog niza stepena, tj. proizvodi određenog stepena stepske serije:

(2.2)

Zamjenom generalizovanog niza stepena u jednačinu (2.1) i izjednačavanjem koeficijenata na svakom stepenu na lijevoj strani jednačine na nulu, dobijamo sistem

Pod pretpostavkom da iz ovog sistema nalazimo Neka onda iz druge jednačine sistema nalazimo i iz jednačine koja daje vrijednosti 3,5,7,..., zaključujemo da za koeficijente sa parnim brojevima dobijamo izraze

Zamjenom pronađenih koeficijenata u niz (2.2) dobijamo rješenje

pri čemu koeficijent ostaje proizvoljan.

Jer svi se koeficijenti određuju na sličan način samo u slučaju kada nije jednako cijelom broju. Tada se rješenje može dobiti zamjenom vrijednosti u prethodnom rješenju sa:

Rezultirajući redovi snaga konvergiraju za sve vrijednosti , što se lako utvrđuje na osnovu d'Alembertovog testa. Rješenja i su linearno nezavisna, jer njihov omjer nije konstantan.

Rješenje pomnoženo konstantom naziva se Besselova funkcija (ili cilindrična funkcija) reda prve vrste i označava se simbolom Rješenje se označava

Općeprihvaćeni izbor konstante uključuje gama funkciju, koja je određena nepravilnim integralom:

Prema tome, opšte rješenje jednačine (2.1) kada nije jednako cijelom broju ima oblik gdje i su proizvoljne konstante .

2.2 Primjeri integracije

U slučajevima kada jednačina zahtijeva rješavanje Cauchyjevog problema pod početnim uvjetom, rješenje se može tražiti korištenjem Taylorovog reda:

gdje se i daljnji derivati ​​nalaze uzastopnim diferenciranjem izvorne jednadžbe i zamjenom u rezultat diferencijacije umjesto vrijednosti i svih ostalih pronađenih naknadnih izvoda. Slično, jednačine višeg reda mogu se integrirati korištenjem Taylorovog reda.

Primjer 2.1. Integrirajte jednačinu približno koristeći Taylorov red, uzimajući prvih šest članova ekspanzije koji nisu nula.

Iz jednačine početnih uslova nalazimo Diferencirajući ovu jednačinu, dobijamo sukcesivno

Postavljanje i korištenje vrijednosti sekvencijalno nalazimo Željeno rješenje ima oblik

Primjer 2.2. Pronađite prva četiri (osim nule) člana ekspanzije. I

Zamjenom pronađenih vrijednosti u niz (2.3) dobijamo željeno rješenje sa navedenom tačnošću:

2.3 Primjeri integracije u Mapleu

Za pronalaženje analitičkih rješenja diferencijalnih jednačina u Mapleu, koristi se naredba dsolve(eq,var,options), gdje je eq diferencijalna jednadžba, var su nepoznate funkcije, a opcije su opcije. Parametri mogu odrediti metodu za rješavanje problema, na primjer, po defaultu se traži analitičko rješenje: type=exact. Prilikom sastavljanja diferencijalnih jednadžbi, naredba diff se koristi za označavanje izvoda, na primjer, diferencijalna jednačina se piše kao: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

Da biste pronašli približno rješenje diferencijalne jednadžbe u obliku stepena niza, u naredbi dsolve navedite parametar type=series (ili jednostavno serija) nakon varijabli. Da bi se odredio redosled širenja, tj. redosled stepena do kojeg se dekompozicija izvodi, pre naredbe dsolve ubacite definiciju redosleda koristeći naredbu Order:=n.

Ako se opće rješenje diferencijalne jednadžbe traži u obliku proširenja u nizu stepena, tada će koeficijenti na potencijama pronađene ekspanzije sadržavati nepoznate vrijednosti funkcije na nuli i njenih derivata, itd. Izraz dobiven u izlaznoj liniji imat će oblik sličan Maclaurinovoj ekspanziji željenog rješenja, ali s različitim koeficijentima na potencijama . Za izolaciju određenog rješenja potrebno je postaviti početne uslove itd., a broj ovih početnih uslova treba da se poklapa sa redoslijedom odgovarajuće diferencijalne jednadžbe.

Proširenje u nizu stepena je serije tipa, stoga, za dalji rad sa ovim nizom, treba ga konvertovati u polinom pomoću naredbe convert(%,polynom), a zatim odabrati desnu stranu rezultirajućeg izraza sa naredbu rhs(%).

> cond:=y(0)=1, D(y)(0)=1, (D@@2)(y)(0)=1;

> dsolve((de,cond),y(x));

> y1:=rhs(%):

> dsolve((de,kond),y(x),serija);

Napomena: tip rješenja diferencijalne jednadžbe u obliku niza je serijski, pa se za daljnju upotrebu takvog rješenja (proračuni ili crtanje) mora konvertirati u polinom pomoću naredbe convert.

stepen diferencijalne jednačine

> pretvoriti(%, polinom): y2:=rhs(%):

> p1:=ploča(y1, x=-3..3, debljina=2, boja=crna):

> p2:=plot(y2, x=-3..3, stil linije=3, debljina=2, boja=crna):

> with(plots): display(p1,p2);

Slika 2 pokazuje da se najbolja aproksimacija tačnog rješenja nizom stepena postiže približno na intervalu

Slika 2

ZAKLJUČAK

Ciljevi postavljeni u nastavnom radu su u potpunosti ostvareni, riješeni su sljedeći zadaci:

Definirani su osnovni pojmovi vezani za redove i diferencijalne jednadžbe.

Razmatrana je metoda za integraciju diferencijalnih jednadžbi uz pomoć nizova stepena.

Riješeni problemi na ovu temu.

U ovom predmetnom radu materijal je proučavan i sistematizovan za njegovu primenu od strane studenata tokom samostalnog proučavanja metode integracije diferencijalnih jednačina korišćenjem redova stepena. Razmatraju se koncepti serija i diferencijalnih jednačina. Približni proračuni se izvode pomoću serija.

Rad se može koristiti kao nastavno sredstvo studentima tehničkih i matematičkih specijalnosti.

Rezultati rada mogu poslužiti kao osnova za dalja istraživanja.

SPISAK KORIŠĆENE LITERATURE

1 Tricomi F. Diferencijalne jednadžbe. Prevod sa engleskog. - M.: Bookinist, 2003. - 352 str.

Vlasova B. A., Zarubin V. C., Kuvyrkin G. N. Približne metode matematičke fizike: Udžbenik za univerzitete. - M.: Izdavačka kuća MSTU im. N. E. Bauman, 2001. - 700 str.

Budak BM Fomin SV Višestruki integrali i serije. - M.: Fizmatlit, 2002. - 512 str.

Demidovich B.P. Zbirka zadataka i vježbi iz matematičke analize. - M.: Izdavačka kuća Moskve. Univerzitet CheRo, 2000. - 624 str.

Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. i dr. Sva viša matematika: Udžbenik. T. 3. - M.: Uvodnik URSS, 2005. - 240 str.

Yablonsky A. I., Kuznetsov A. V., Shilkina E. I. i dr. Viša matematika: Opšti kurs: Udžbenik. - M.: Više. škola, 2000.- 351 str.

Malakhov A. N., Maksyukov N. I., Nikishkin V. A. Viša matematika. - M.: EAOI, 2008. - 315 str.

Markov L. N., Razmyslovich G. P. Viša matematika. Dio 2. Osnove matematičke analize i elementi diferencijalnih jednačina. - M.: Amalfeya, 2003. - 352 str.

Agafonov S. A., German A. D., Muratova T. V. Diferencijalne jednadžbe. - M.: Izdavačka kuća MSTU im. N.E. Bauman, 2004. - 352 str.

Coddington E. A., Levinson N. Teorija običnih diferencijalnih jednadžbi. - M.: Amalfeya, 2001. - 475 str.

Fikhtengolts G. M. Kurs diferencijalnog i integralnog računa. T. 2. - M.: Fizmatlit, 2001. - 810 str.