Prilikom rješavanja problema pokretnih objekata u velikom broju slučajeva se zanemaruju njihove prostorne dimenzije, uvodeći pojam materijalne tačke. Za drugu vrstu problema, u kojoj se razmatraju tijela koja miruju ili rotiraju, važno je poznavati njihove parametre i tačke primjene vanjskih sila. U ovom slučaju govorimo o momentu sile u odnosu na os rotacije. Pogledajmo ovo pitanje u članku.
Koncept momenta sile
Prije nego što ga dovedemo u odnosu na fiksnu osu rotacije, potrebno je objasniti o kojoj je pojavi riječ. Ispod je crtež koji prikazuje ključ dužine d, na njegov kraj je primijenjena sila F. Lako je zamisliti da će rezultat njegovog utjecaja biti okretanje ključa u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i odvrtanje matice.
Prema definiciji, moment sile je proizvod kraka (u ovom slučaju d) i sile (F), odnosno možemo napisati sljedeći izraz: M = d*F. Odmah treba napomenuti da je gornja formula napisana u skalarnom obliku, odnosno omogućava vam da izračunate apsolutnu vrijednost momenta M. Kao što se može vidjeti iz formule, jedinica mjerenja razmatrane vrijednosti je njutn po metru (N*m).
- vektorska količina
Kao što je gore navedeno, trenutak M je zapravo vektor. Da biste pojasnili ovu izjavu, razmotrite drugu brojku.
Ovdje vidimo polugu dužine L, koja je fiksirana na os (prikazano strelicom). Na njegov kraj pod uglom Φ djeluje sila F. Nije teško zamisliti da će ta sila uzrokovati podizanje poluge. Formula za trenutak u vektorskom obliku u ovom slučaju će biti napisana na sljedeći način: M¯ = L¯*F¯, ovdje traka iznad simbola znači da je dotična veličina vektor. Treba pojasniti da je L¯ usmjerena od ose rotacije do tačke primjene sile F¯.
Dati izraz je unakrsni proizvod. Njegov rezultujući vektor (M¯) bit će usmjeren okomito na ravan koju formiraju L¯ i F¯. Postoji nekoliko pravila (desna ruka, gimlet) za određivanje smjera trenutka M¯. Kako ih ne biste zapamtili i da se ne biste zabunili u redoslijedu množenja vektora L¯ i F¯ (smjer M¯ ovisi o tome), trebali biste zapamtiti jednu jednostavnu stvar: moment sile će biti usmjeren u takvom način na koji ako se gleda sa kraja njegovog vektora, tada će sila koja djeluje F ¯ rotirati polugu u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Ovaj pravac trenutka se konvencionalno uzima kao pozitivan. Ako se sistem rotira u smjeru kazaljke na satu, tada rezultirajući moment sile ima negativnu vrijednost.
Dakle, u razmatranom slučaju sa polugom L, vrijednost M¯ je usmjerena prema gore (od slike do čitača).
U skalarnom obliku, formula za trenutak će biti napisana kao: M = L*F*sin(180-Φ) ili M = L*F*sin(Φ) (sin(180-Φ) = sin(Φ)) . Prema definiciji sinusa, možemo napisati jednakost: M = d*F, gdje je d = L*sin(Φ) (vidi sliku i odgovarajući pravougli trokut). Poslednja formula je slična onoj datoj u prethodnom paragrafu.
Gornji proračuni pokazuju kako se radi sa vektorskim i skalarnim vrijednostima momenta kako bi se izbjegle greške.
Fizičko značenje veličine M¯
Pošto su dva slučaja o kojima smo govorili u prethodnim paragrafima povezana sa rotacionim kretanjem, možemo pretpostaviti šta je značenje momenta sile. Ako je sila koja djeluje na materijalnu tačku mjera povećanja brzine linearnog kretanja potonje, tada je moment sile mjera njene rotacijske sposobnosti u odnosu na sistem koji se razmatra.
Dajemo jasan primjer. Svaka osoba otvara vrata držeći ručicu. To se također može učiniti guranjem vrata u području ručke. Zašto ga niko ne otvori guranjem u predjelu šarki? Vrlo je jednostavno: što je sila bliže šarkama, to je teže otvoriti vrata i obrnuto. Zaključak prethodne rečenice slijedi iz formule za trenutak (M = d*F), koja pokazuje da su pri M = const vrijednosti d i F obrnuto povezane.
Moment sile - količina aditiva
U svim gore navedenim slučajevima, postojala je samo jedna aktivna snaga. Kod rješavanja stvarnih problema situacija je mnogo složenija. Tipično, sistemi koji rotiraju ili su u ravnoteži podložni su nekoliko torzionih sila, od kojih svaka stvara svoj vlastiti moment. U ovom slučaju rješavanje problema se svodi na pronalaženje ukupnog momenta sila u odnosu na os rotacije.
Ukupni moment se nalazi uobičajenim zbrojem pojedinačnih momenata za svaku silu, međutim, ne zaboravite da koristite ispravan predznak za svaku od njih.
Primjer rješenja problema
Za konsolidaciju stečenog znanja predlaže se rješavanje sljedećeg problema: potrebno je izračunati ukupan moment sile za sistem prikazan na donjoj slici.
Vidimo da na polugu dužine 7 m djeluju tri sile (F1, F2, F3), koje imaju različite točke primjene u odnosu na os rotacije. Budući da je smjer sila okomit na polugu, nema potrebe za korištenjem vektorskog izraza za moment torzije. Možete izračunati ukupni moment M koristeći skalarnu formulu i ne zaboravljajući postaviti željeni predznak. Budući da sile F1 i F3 teže rotiranju poluge u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a F2 - u smjeru kazaljke na satu, okretni moment za prvi će biti pozitivan, a za drugi negativan. Imamo: M = F1*7-F2*5+F3*3 = 140-50+75 = 165 N*m. Odnosno, ukupni trenutak je pozitivan i usmjeren prema gore (prema čitaocu).
Moment sile oko ose je trenutak projekcije sile na ravan okomitu na osu, u odnosu na tačku presjeka ose s ovom ravninom
Trenutak oko ose je pozitivan ako sila teži da rotira ravan okomitu na osu suprotno od kazaljke na satu kada gleda prema osi.
Moment sile oko ose je 0 u dva slučaja:
Ako je sila paralelna sa osom
Ako sila prelazi osu
Ako linija djelovanja i osa leže u istoj ravni, tada je moment sile oko ose jednak 0.
27. Odnos između momenta sile oko ose i vektorskog momenta sile oko tačke.
Mz(F)=Mo(F)*cosαMoment sile u odnosu na osu jednak je projekciji vektora momenta sile u odnosu na tačku ose na ovu osu.
28. Glavna teorema statike o dovođenju sistema sila u dato središte (Poinsotova teorema). Glavni vektor i glavni moment sistema sila.
U opštem slučaju, bilo koji prostorni sistem sila može se zamijeniti ekvivalentnim sistemom koji se sastoji od jedne sile primijenjene u nekoj tački tijela (centar redukcije) i jednake glavnom vektoru ovog sistema sila i jednog para sila. , čiji je moment jednak glavnom momentu svih sila u odnosu na odabrani centar adukcije.
Glavni vektor sistema sila zove se vektor R, jednako vektorskom zbiru ovih sila:
R = F 1 + F 2 + ... + F n= F i.
Za ravan sistem sila, njegov glavni vektor leži u ravni djelovanja ovih sila.
Glavna tačka sistema snaga u odnosu na centar O naziva se vektor L O, jednako zbroju vektorskih momenata ovih sila u odnosu na tačku O:
L O= M O( F 1) + M O( F 2) + ... + M O( F n) = M O( F i).
Vector R ne zavisi od izbora centra O i vektora L Kada se položaj centra promijeni, O se generalno može promijeniti.
Poinsotova teorema: proizvoljan prostorni sistem sila može se zamijeniti jednom silom sa glavnim vektorom sistema sila i parom sila sa glavnim momentom bez narušavanja stanja krutog tijela. Glavni vektor je geometrijski zbir svih sila koje djeluju na čvrsto tijelo i nalazi se u ravni djelovanja sila. Glavni vektor se razmatra kroz njegove projekcije na koordinatne ose.
Da bi se dovele sile u dato središte koje se primenjuju u nekoj tački čvrstog tela, potrebno je: 1) preneti silu paralelnu sebi na dato središte bez promene modula sile; 2) na dato središte primijeniti par sila čiji je vektorski moment jednak vektorskom momentu prenesene sile u odnosu na novi centar; ovaj par se naziva vezani par.
Ovisnost glavnog trenutka o izboru centra redukcije. Glavni moment oko novog centra redukcije jednak je geometrijskom zbroju glavnog momenta oko starog centra redukcije i vektorskog proizvoda radijus vektora koji glavnim vektorom povezuje novo središte redukcije sa starim.
29 Posebni slučajevi redukcije prostornog sistema snaga
|
Vrijednosti glavnog vektora i glavnog momenta |
Rezultat kastinga |
|
|
|
Sistem sila se svodi na par sila čiji je moment jednak glavnom momentu (glavni moment sistema sila ne zavisi od izbora centra redukcije O). |
|
|
|
Sistem sila se svodi na rezultantu jednaku prolasku kroz centar O. |
|
|
|
Sistem sila je sveden na rezultantu jednaku glavnom vektoru i paralelnu s njim i smještenu na udaljenosti od njega. Položaj linije djelovanja rezultante mora biti takav da se smjer njenog momenta u odnosu na centar redukcije O poklapa sa smjerom u odnosu na centar O. |
|
|
|
Sistem sila je sveden na dina (motorni vijak) - kombinaciju sile i para sila koje leže u ravni okomitoj na ovu silu. |
|
|
|
Sistem sila primijenjenih na čvrsto tijelo je uravnotežen. |
, a vektori nisu okomiti
30. Svođenje na dinamiku. U mehanici se dinamikom naziva takav skup sila i parova sila () koje djeluju na čvrsto tijelo, u kojem je sila okomita na ravninu djelovanja para sila. Koristeći vektorski moment para sila, dinamizam možemo definirati i kao kombinaciju sile i para čija je sila paralelna vektorskom momentu para sila.
Jednačina centralne spiralne ose Pretpostavimo da se u centru redukcije, uzetom kao ishodište koordinata, dobije glavni vektor sa projekcijama na koordinatne ose i glavni moment sa projekcijama.Kada se sistem sila dovede u centar redukcije O 1 (sl. . 30), dobija se dina sa glavnim vektorom i glavnim momentom, vektorima i kao formiranjem liname. su paralelni i stoga se mogu razlikovati samo u skalarnom faktoru k 0. Imamo, pošto su glavni momenti i zadovoljavaju relaciju
Moment sile oko ose je trenutak projekcije sile na ravan okomitu na osu, u odnosu na tačku presjeka ose s ovom ravninom
Trenutak oko ose je pozitivan ako sila teži da rotira ravan okomitu na osu suprotno od kazaljke na satu kada gleda prema osi.
Moment sile oko ose je 0 u dva slučaja:
Ako je sila paralelna sa osom
Ako sila prelazi osu
Ako linija djelovanja i osa leže u istoj ravni, tada je moment sile oko ose jednak 0.
27. Odnos između momenta sile oko ose i vektorskog momenta sile oko tačke.
Mz(F)=Mo(F)*cosαMoment sile u odnosu na osu jednak je projekciji vektora momenta sile u odnosu na tačku ose na ovu osu.
28. Glavna teorema statike o dovođenju sistema sila u dato središte (Poinsotova teorema). Glavni vektor i glavni moment sistema sila.
U opštem slučaju, bilo koji prostorni sistem sila može se zamijeniti ekvivalentnim sistemom koji se sastoji od jedne sile primijenjene u nekoj tački tijela (centar redukcije) i jednake glavnom vektoru ovog sistema sila i jednog para sila. , čiji je moment jednak glavnom momentu svih sila u odnosu na odabrani centar adukcije.
Glavni vektor sistema sila zove se vektor R, jednako vektorskom zbiru ovih sila:
R = F 1 + F 2 + ... + F n= F i.
Za ravan sistem sila, njegov glavni vektor leži u ravni djelovanja ovih sila.
Glavna tačka sistema snaga u odnosu na centar O naziva se vektor L O, jednako zbroju vektorskih momenata ovih sila u odnosu na tačku O:
L O= M O( F 1) + M O( F 2) + ... + M O( F n) = M O( F i).
Vector R ne zavisi od izbora centra O i vektora L Kada se položaj centra promijeni, O se generalno može promijeniti.
Poinsotova teorema: proizvoljan prostorni sistem sila može se zamijeniti jednom silom sa glavnim vektorom sistema sila i parom sila sa glavnim momentom bez narušavanja stanja krutog tijela. Glavni vektor je geometrijski zbir svih sila koje djeluju na čvrsto tijelo i nalazi se u ravni djelovanja sila. Glavni vektor se razmatra kroz njegove projekcije na koordinatne ose.
Da bi se dovele sile u dato središte koje se primenjuju u nekoj tački čvrstog tela, potrebno je: 1) preneti silu paralelnu sebi na dato središte bez promene modula sile; 2) na dato središte primijeniti par sila čiji je vektorski moment jednak vektorskom momentu prenesene sile u odnosu na novi centar; ovaj par se naziva vezani par.
Ovisnost glavnog trenutka o izboru centra redukcije. Glavni moment oko novog centra redukcije jednak je geometrijskom zbroju glavnog momenta oko starog centra redukcije i vektorskog proizvoda radijus vektora koji glavnim vektorom povezuje novo središte redukcije sa starim.
29 Posebni slučajevi redukcije prostornog sistema snaga
|
Vrijednosti glavnog vektora i glavnog momenta |
Rezultat kastinga |
|
|
|
Sistem sila se svodi na par sila čiji je moment jednak glavnom momentu (glavni moment sistema sila ne zavisi od izbora centra redukcije O). |
|
|
|
Sistem sila se svodi na rezultantu jednaku prolasku kroz centar O. |
|
|
|
Sistem sila je sveden na rezultantu jednaku glavnom vektoru i paralelnu s njim i smještenu na udaljenosti od njega. Položaj linije djelovanja rezultante mora biti takav da se smjer njenog momenta u odnosu na centar redukcije O poklapa sa smjerom u odnosu na centar O. |
|
|
|
Sistem sila je sveden na dina (motorni vijak) - kombinaciju sile i para sila koje leže u ravni okomitoj na ovu silu. |
|
|
|
Sistem sila primijenjenih na čvrsto tijelo je uravnotežen. |
, a vektori nisu okomiti
30. Svođenje na dinamiku. U mehanici se dinamikom naziva takav skup sila i parova sila () koje djeluju na čvrsto tijelo, u kojem je sila okomita na ravninu djelovanja para sila. Koristeći vektorski moment para sila, dinamizam možemo definirati i kao kombinaciju sile i para čija je sila paralelna vektorskom momentu para sila.
Jednačina centralne spiralne ose Pretpostavimo da se u centru redukcije, uzetom kao ishodište koordinata, dobije glavni vektor sa projekcijama na koordinatne ose i glavni moment sa projekcijama.Kada se sistem sila dovede u centar redukcije O 1 (sl. . 30), dobija se dina sa glavnim vektorom i glavnim momentom, vektorima i kao formiranjem liname. su paralelni i stoga se mogu razlikovati samo u skalarnom faktoru k 0. Imamo, pošto su glavni momenti i zadovoljavaju relaciju
Zamena, dobijamo
Označimo koordinate tačke O 1 u kojoj se dobija dinamika sa x, y, z. Tada su projekcije vektora na koordinatne ose jednake koordinatama x, y, z. S obzirom na to, (*) se može izraziti u obliku
gdje ja. j ,k su jedinični vektori koordinatnih osa, a vektorski proizvod * je predstavljen determinantom. Vektorska jednačina (**) je ekvivalentna tri skalarne, koje se nakon odbacivanja mogu predstaviti kao
Rezultirajuće linearne jednadžbe za koordinate x, y, z su jednačine prave linije - centralne spiralne ose. Shodno tome, postoji prava linija u čijim se tačkama sistem sila svodi na dinamiku.
Razmotrimo kako se to određuje moment sile oko ose. Težnja za snagom rotirati tijelo oko fiksne ose zavisi od količine snaga, ona tilt I udaljenost od ose.
Iz iskustva je poznato da sile prolazeći kroz osu i snaga, paralelne ose, NE MOŽE IZAZVATI ROTACIJU TIJELA oko ove ose. Pogledajmo sliku.
Ni snage R 1 , čija linija djelovanja krstovi osa Oz , niti snage R 2 , paralelno osovine, neće moći da se okrenu tijelo okolo ovu osovinu.
Za rotacijski efekat sile u odnosu na fiksnu osu, uvodi se koncept moment sile oko ose M z(R) . Rotacijski efekat sile oko ose i izražava se svojim trenutkom.
Pustite da u nekom trenutku deluje na telo besplatno sila R , ne paralelno os rotacije Oz I ne ukrštaju se ovu osovinu. Hajde da nacrtamo avion H , okomito sjekire Oz I prolazeći kroz početak vektora sile. Proširimo datu silu R u dvije komponente: R 1 , koji se nalazi u avionu H , And R 2 , paralelno sa osom Oz .
Komponenta R 2 , paralelno sjekire Oz moment oko ove ose ne stvara. Komponenta R 1 , glumeći u avionu H , stvara trenutak u odnosu na osu Oz ili, što je isto, u odnosu na stvar O . moment sile R 1 izmjereno proizvod modula same sile i dužine A okomito, pao sa tačke O na pravcu ove sile, tj.
U izrazu momenat sila u odnosu na osu ulazi ne svu moć, ali samo ona komponenta, ležati u avionu okomito osa rotacije.
Potpiši Trenutak je, u pravilu, određen smjerom rotacije tijela: (+) prilikom kretanja u smjeru kazaljke na satu, (-) prilikom kretanja protiv u smjeru kazaljke na satu (uslovno pravilo). Prilikom određivanja predznaka trenutka, posmatrač svakako mora biti sa strane pozitivno pravci osi. Na slici iznad moment sile R u odnosu na osu Oz pozitivno, budući da za posmatrača koji gleda iz pozitivnog smjera ose ( gore), čini se da tijelo pod utjecajem date sile rotira oko ose u smjeru kazaljke na satu.
Na slici ispod moment sile R u odnosu na osu Oz - magnituda negativan.
Razmotrimo poseban slučaj.
U posebnom slučaju moment sile R , koji se nalazi u avionu H , u odnosu na osu Oz , okomita na ovu ravan, bit će određena proizvodom ukupne veličine sile R na njenom ramenu l u odnosu na tačku preseka ose Oz i avioni H
U članku ćemo govoriti o momentu sile na tačku i os, definicijama, crtežima i grafovima, koja jedinica mjerenja momenta sile, rada i sile u rotacionom kretanju, kao i primjerima i problemima.
Trenutak snage predstavlja vektor fizičke veličine jednak proizvodu vektora snaga ramena(radijus vektor čestice) i snagu, djelujući na tačku. Poluga sile je vektor koji povezuje tačku kroz koju prolazi osa rotacije krutog tijela sa tačkom na koju se primjenjuje sila.
gdje je: r krak sile, F sila primijenjena na tijelo.
Vektorski smjer trenutne sile uvijek okomito na ravan definiranu vektorima r i F.
Glavna tačka- svaki sistem sila na ravni u odnosu na prihvaćeni pol naziva se algebarski moment momenta svih sila ovog sistema u odnosu na ovaj pol.
U rotacijskim kretanjima nisu važne samo fizičke veličine, već i kako se one nalaze u odnosu na os rotacije, tj. momente. Već znamo da u rotacionom kretanju nije važna samo masa, već i. U slučaju sile, njena efikasnost u pokretanju ubrzanja određena je načinom na koji se sila primjenjuje na os rotacije.
Odnos između sile i načina na koji se primjenjuje opisuje TRENUTAK MOĆI. Moment sile je vektorski proizvod kraka sile R na vektor sile F:
Kao u svakom vektorskom proizvodu, tako i ovdje
Dakle, sila neće uticati na rotaciju kada je ugao između vektora sila F i poluga R jednako 0 o ili 180 o. Kakav je učinak primjene momenta sile M?
Koristimo Newtonov Drugi zakon kretanja i odnos između užeta i ugaone brzine v = Rω u skalarnom obliku, vrijede kada su vektori R I ω okomito jedno na drugo
Množenjem obe strane jednačine sa R, dobijamo
Pošto je mR 2 = I, zaključujemo da
Navedena zavisnost vrijedi i za slučaj materijalnog tijela. Imajte na umu da dok vanjska sila daje linearno ubrzanje a, moment vanjske sile daje kutno ubrzanje ε.
Jedinica mjerenja momenta sile
Glavna mjera momenta sile u koordinatama SI sistema je: [M]=N m
U GHS: [M]=din cm
Rad i sila u rotacionom kretanju
Rad u linearnom kretanju određen je općim izrazom,
ali u rotacionom kretanju,
i shodno tome
Na osnovu svojstava mješovitog proizvoda tri vektora možemo pisati
Stoga smo dobili izraz za rad u rotacionom kretanju:
Snaga u rotacionom kretanju:
Nađi trenutak snage, djelujući na tijelo u situacijama prikazanim na slikama ispod. Pretpostavimo da je r = 1m i F = 2N.
A) pošto je ugao između vektora r i F 90°, tada je sin(a)=1:
M = r F = 1m 2N = 2N m
b) jer je ugao između vektora r i F 0°, pa sin(a)=0:
M = 0
da usmjereno sila ne mogu dati poen rotaciono kretanje.
c) pošto je ugao između vektora r i F 30°, tada je sin(a)=0,5:
M = 0,5 r F = 1 N m.
Dakle, usmjerena sila će uzrokovati rotacija tela, međutim, njegov učinak će biti manji nego u slučaju a).
Moment sile oko ose
Pretpostavimo da su podaci tačka O(stup) i snaga P. U tački O uzimamo ishodište pravougaonog koordinatnog sistema. Trenutak snage R u odnosu na polove O predstavlja vektor M iz (R), (slika ispod) .
Bilo koja tačka A on line P
ima koordinate (xo, yo, zo).
Vektor sile P
ima koordinate Px, Py, Pz.
Kombinovana tačka A (xo, yo, zo) sa početkom sistema dobijamo vektor str. Koordinate vektora sile P
u odnosu na pol O označeno simbolima Mx, My, Mz.
Ove koordinate se mogu izračunati kao minimumi date determinante, gdje je ( i, j, k) - jedinični vektori na koordinatnoj osi (opcije): i, j, k
Nakon rješavanja determinante, koordinate trenutka će biti jednake:
Vektorske koordinate momenta Mo (P) nazivaju se momenti sile oko odgovarajuće ose. Na primjer, moment sile P u odnosu na osu Oz okružuje šablon:
Mz = Pyxo - Pxyo
Ovaj uzorak se tumači geometrijski kao što je prikazano na slici ispod.
Na osnovu ovog tumačenja, moment sile oko ose Oz može se definisati kao moment projekcije sile P
okomito na osu Oz u odnosu na tačku prodora ove ravni od strane ose. Projekcija sile P
je naznačeno okomito na osu Pxy
, i tačku penetracije u ravninu Oxy- osa OS simbol O.
Iz gornje definicije momenta sile oko ose proizilazi da je moment sile oko ose jednak nuli kada su sila i os jednake, u istoj ravni (kada je sila paralelna sa osi ili kada sila siječe osu).
Koristeći formule na Mx, My, Mz,
možemo izračunati vrijednost momenta sile P
u odnosu na tačku O i odrediti uglove sadržane između vektora M
i sistemske ose:
Ako moć leži u Oxy avion, To zo = 0 i Pz = 0 (pogledajte sliku ispod).
Trenutak snage P
u odnosu na tačku (pol) O je:
Mx = 0,
moj = 0,
Mo (P) = Mz = Pyxo - Pxyo.
Oznaka obrtnog momenta:
plus (+) - rotacija sile oko ose O u smjeru kazaljke na satu,
minus (-) — rotacija sile oko ose O u smeru suprotnom od kazaljke na satu.
