Upotreba jednačina je široko rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim proračunima, izgradnji objekata, pa čak i u sportu. Čovjek je koristio jednačine u drevnim vremenima, a od tada se njihova upotreba samo povećava. Rješenja ove vrste jednačina mogu se izvoditi prema opštoj šemi za rješavanje jednačina viših stupnjeva. Ove vrste jednadžbi imaju rješenja u radikalima zahvaljujući Ferrari metodi, koja omogućava da se rješenja svedu na kubnu jednadžbu. Međutim, u većini slučajeva, faktoringom polinoma, možete brzo pronaći rješenje jednadžbe.
Pretpostavimo da nam je data binomna jednačina četvrtog stepena:
Razložimo polinom na faktore:
Određujemo korijene prvog kvadratnog trinoma:
Određujemo korijene drugog trinoma:
Kao rezultat toga, originalna jednadžba ima četiri kompleksna korijena:
Gdje mogu riješiti jednačine 4. stepena na mreži?
Jednačinu možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatni online rješavač će vam omogućiti da riješite online jednadžbe bilo koje složenosti za nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je jednostavno unijeti svoje podatke u rješavač. Također možete pogledati video upute i saznati kako riješiti jednačinu na našoj web stranici, a ako imate pitanja, možete ih postaviti u našoj VKontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, mi ćemo vam uvijek rado pomoći.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0
Prvo morate pronaći jedan korijen koristeći metodu odabira. Obično je to djelitelj slobodnog člana. U ovom slučaju, djelitelji broja 12 su ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Počnimo da ih zamjenjujemo jednu po jednu:
1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ broj 1
-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ broj -1 nije korijen polinoma
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ broj 2 je korijen polinoma
Pronašli smo 1 od korijena polinoma. Koren polinoma je 2, što znači da originalni polinom mora biti djeljiv sa x - 2. Da bismo izvršili podjelu polinoma, koristimo Hornerovu shemu:
| 2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
| 2 |
Koeficijenti originalnog polinoma su prikazani u gornjem redu. Korijen koji smo pronašli nalazi se u prvoj ćeliji drugog reda 2. Drugi red sadrži koeficijente polinoma koji je rezultat dijeljenja. Računaju se ovako:
| U drugu ćeliju drugog reda upisujemo broj 2, jednostavnim pomicanjem iz odgovarajuće ćelije prvog reda. | ||||||||||||
| 2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
| 2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
| 2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
| 2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
Posljednji broj je ostatak dijeljenja. Ako je jednako 0, onda smo sve ispravno izračunali.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)
Ali ovo nije kraj. Možete pokušati proširiti polinom na isti način 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.
Opet tražimo korijen među djeliteljima slobodnog člana. Brojevi djelitelji -6 su ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ broj 1 nije korijen polinoma
-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ broj -1 nije korijen polinoma
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ broj 2 nije korijen polinoma
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ broj -2 je korijen polinoma
Upišimo pronađeni korijen u našu Horner shemu i počnimo popunjavati prazne ćelije:
| U drugu ćeliju trećeg reda upisujemo broj 2, jednostavnim pomicanjem iz odgovarajuće ćelije drugog reda. | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
Stoga smo faktorirali originalni polinom:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)
Polinom 2x 2 + 5x - 3 takođe može biti faktorizovana. Da biste to učinili, možete riješiti kvadratnu jednačinu kroz diskriminantu, ili možete potražiti korijen među djeliteljima broja -3. Na ovaj ili onaj način, doći ćemo do zaključka da je korijen ovog polinoma broj -3
| U drugu ćeliju četvrtog reda upisujemo broj 2, jednostavnim pomicanjem iz odgovarajuće ćelije trećeg reda. | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
Stoga smo originalni polinom dekomponirali na linearne faktore.
Ciljevi:
- Sistematizovati i generalizovati znanja i vještine na temu: Rješenja jednačina trećeg i četvrtog stepena.
- Produbite svoje znanje ispunjavanjem niza zadataka, od kojih su neki nepoznati ni po vrsti ni po načinu rješavanja.
- Formiranje interesovanja za matematiku kroz izučavanje novih poglavlja matematike, negovanje grafičke kulture kroz izradu grafova jednačina.
Vrsta lekcije: kombinovani.
Oprema: grafički projektor.
Vidljivost: tabela "Vieteova teorema".
Tokom nastave
1. Usmeno brojanje
a) Koliki je ostatak kada se polinom p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 podijeli binomom x-a?
b) Koliko korijena može imati kubna jednačina?
c) Kako rješavamo jednačine trećeg i četvrtog stepena?
d) Ako je b paran broj u kvadratnoj jednačini, kolika je onda vrijednost D i x 1; x 2
2. Samostalni rad (u grupama)
Napišite jednačinu ako su korijeni poznati (odgovori na zadatke su kodirani) koristi se "Vietina teorema"
1 grupa
Korijeni: x 1 = 1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = 6
Napravite jednačinu:
B=1 -2-3+6=2; b=-2
c=-2-3+6+6-12-18= -23; c= -23
d=6-12+36-18=12; d= -12
e=1(-2)(-3)6=36
x 4 -2 x 3 - 23 x 2 - 12 x + 36 = 0(ovu jednačinu tada rješava grupa 2 na ploči)
Rješenje . Tražimo cijele korijene među djeliteljima broja 36.
r = ±1;±2;±3;±4;±6…
p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Broj 1 zadovoljava jednačinu, stoga je =1 korijen jednačine. Prema Hornerovoj šemi
p 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36
p 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2
p 2 (x) = x 2 -3x -18=0
x 3 =-3, x 4 =6
Odgovor: 1;-2;-3;6 zbir korijena 2 (P)
2. grupa
Korijeni: x 1 = -1; x 2 = x 3 =2; x 4 =5
Napravite jednačinu:
B=-1+2+2+5-8; b= -8
c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15
D=-4-10+20-10= -4; d=4
e=2(-1)2*5=-20;e=-20
8+15+4x-20=0 (grupa 3 rješava ovu jednačinu na ploči)
r = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.
p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8
r 4 (-1)=1+8+15-4-20=0
p 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20
p 3 (2) = 8 -36+48 -20=0
p 2 (x) = x 2 -7x +10 = 0 x 1 = 2; x 2 =5
Odgovor: -1;2;2;5 zbir korijena 8(P)
3 grupa
Korijeni: x 1 = -1; x 2 =1; x 3 = -2; x 4 =3
Napravite jednačinu:
V=-1+1-2+3=1;V=-1
s=-1+2-3-2+3-6=-7;s=-7
D=2+6-3-6=-1; d=1
e=-1*1*(-2)*3=6
x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(grupa 4 rješava ovu jednačinu kasnije na ploči)
Rješenje. Tražimo cijele korijene među djeliteljima broja 6.
r = ±1;±2;±3;±6
p 4 (1)=1-1-7+1+6=0
p 3 (x) = x 3 - 7x -6
r 3 (-1) = -1+7-6=0
p 2 (x) = x 2 - x -6 = 0; x 1 = -2; x 2 =3
Odgovor: -1;1;-2;3 Zbir korijena 1(O)
4 grupa
Korijeni: x 1 = -2; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -3
Napravite jednačinu:
B=-2-2-3+3=-4; b=4
c=4+6-6+6-6-9=-5; s=-5
D=-12+12+18+18=36; d=-36
e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36
x 4 +4x 3 – 5x 2 – 36x -36 = 0(ovu jednačinu tada rješava grupa 5 na ploči)
Rješenje. Tražimo cijele korijene među djeliteljima broja -36
r = ±1;±2;±3…
p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72
p 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0
p 3 (x) = x 3 +2x 2 -9x-18 = 0
p 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0
p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3
Odgovor: -2; -2; -3; 3 Zbir korijena-4 (F)
5 grupa
Korijeni: x 1 = -1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -4
Napišite jednačinu
x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(ovu jednačinu tada rješava grupa 6 na ploči)
Rješenje . Tražimo cijele korijene među djeliteljima broja 24.
r = ±1;±2;±3
p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0
p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O
p 2 (x) = x 2 + 7x+ 12 = 0
Odgovor: -1;-2;-3;-4 zbroj-10 (I)
6 grupa
Korijeni: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 = -3; x 4 = 8
Napišite jednačinu
B=1+1-3+8=7;b=-7
c=1 -3+8-3+8-24= -13
D=-3-24+8-24= -43; d=43
x 4 - 7x 3- 13x 2 + 43x - 24 = 0 (ovu jednačinu tada rješava grupa 1 na ploči)
Rješenje . Tražimo cijele korijene među djeliteljima broja -24.
p 4 (1)=1-7-13+43-24=0
p 3 (1)=1-6-19+24=0
p 2 (x)= x 2 -5x - 24 = 0
x 3 =-3, x 4 =8
Odgovor: 1;1;-3;8 zbir 7 (L)
3. Rješavanje jednadžbi s parametrom
1. Riješite jednačinu x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; ako je jedan od korijena jednak (-1)
Odgovor napišite rastućim redoslijedom
R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0
x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0
Po uslovu x 1 = - 1; D=1+15=16
P 2 (x) = x 2 +2x-15 = 0
x 2 = -1-4 = -5;
x 3 = -1 + 4 = 3;
Odgovor: - 1; -5; 3
Uzlazno: -5;-1;3. (b N S)
2. Naći sve korijene polinoma x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6, ako su ostaci od njegove podjele na binome x-1 i x +2 jednaki.
Rješenje: R=P 3 (1) = P 3 (-2)
P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a
P 3 (-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a
x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18
x 2 (x-3)-6(x-3) = 0
(x-3)(x 2 -6) = 0
3) a=0, x 2 -0*x 2 +0 = 0; x 2 =0; x 4 =0
a=0; x=0; x=1
a>0; x=1; x=a ± √a
2. Napišite jednačinu
1 grupa. Korijeni: -4; -2; 1; 7;
2. grupa. Korijeni: -3; -2; 1; 2;
3 grupa. Korijeni: -1; 2; 6; 10;
4 grupa. Korijeni: -3; 2; 2; 5;
5 grupa. Korijeni: -5; -2; 2; 4;
6 grupa. Korijeni: -8; -2; 6; 7.
U opštem slučaju, rješenje jednadžbe četvrtog stupnja provodi se korištenjem metoda za rješavanje jednačina za više stupnjeve, na primjer, Ferrarijeva metoda ili korištenjem Hornerove sheme. Ali neke jednačine 4. stepena imaju jednostavnije rješenje.
Postoji nekoliko posebnih vrsta jednadžbi četvrtog stepena, metode za rješavanje kojih ćete naučiti u nastavku:
- Bikvadratna jednačina $ax^4+bx^2+c=0$;
- Recipročne jednačine oblika $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$;
- Jednačine oblika $ax^4+b=0$.
Rješavanje bikvadratnih jednačina četvrtog stepena
Bikvadratne jednadžbe $ax^4+bx^2+c=0$ svode se na kvadratne jednačine zamjenom varijable $x^2$ novom, na primjer, $y$. Nakon zamjene, nova rezultirajuća jednačina se rješava, a zatim se vrijednost pronađene varijable zamjenjuje u jednačinu $x^2=y$. Rezultat rješenja će biti korijeni jednadžbe $x^2=y$.
Primjer 1
Riješite jednačinu $x(x-1)(x-2)(x-3)=24$:
Proširimo zagrade u polinomu:
$(x^2-3x)(x^2-3x+2)=24$
U ovom obliku postaje očigledno da možemo izabrati izraz $y=x^2-3x$ kao novu varijablu; zamijenimo ga:
$y\cdot (y+2)=24$
Sada riješimo dvije kvadratne jednačine $x^2-3x=-4$ i $x^2-3x=-6$.
Korijeni prve jednadžbe su $x_1(1,2)=4;-1$, druga nema rješenja.
Rješavanje recipročnih jednačina 4. stepena
Ove jednadžbe oblika $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ ponavljaju sa svojim koeficijentima za članove nižeg reda koeficijente za polinome sa višim stupnjevima. Da biste riješili takvu jednačinu, prvo je podijelite sa $x^2$:
$ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0|:x^2$
$ax^2+bx+c+\frac(b)(x) + \frac(a)(x^2)=0$
$a(x^2+\frac(1)(x^2))+b(x+\frac(1)(x)) + c=0$
Zatim zamijenite $(x+\frac(1)(x))$ novom varijablu, zatim $(x^2+\frac(1)(x^2))=y^2-2$, nakon zamjene dobijamo sljedeći kvadrat jednadžbe:
$a(y^2-2)+by+c=0$
Nakon ovoga tražimo korijene jednadžbi $x+\frac(1)(x)=y_1$ i $x+\frac(1)(x)=y_2$.
Slična metoda se koristi za rješavanje recipročnih jednačina oblika $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$.
Primjer 2
Riješite jednačinu:
$3x^4-2x^3-9x^2-4x+12=0$
Ova jednačina je recipročna jednačina oblika $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$. Stoga, cijelu jednačinu dijelimo sa $x^2$:
$3x^2-2x-9 \cdot \frac(2 \cdot 2)(x)+3 \cdot (\frac(2)(x))^2=0$
$3(x^2+\frac(4)(x^2))-2(x+\frac(2)(x)-9=0$
Zamijenimo izraz $x+\frac(2)(x)$: $3(y^2-4)-2y-9=0$
Izračunajmo korijene ove jednadžbe, oni su jednaki $y_1=3$ i $y_2=-\frac(7)(3)$.
Shodno tome, sada je potrebno riješiti dvije jednačine $x+\frac(2)(x)=3$ i $x+\frac(2)(x)=-\frac(7)(3)$. Rješenje prve jednačine je $x_1=1, x_2=2$, druga jednačina nema korijena.
Stoga su korijeni originalne jednadžbe $x_1=1, x_2=2$.
Jednačine oblika $ax^4+b=0$
Korijeni jednadžbe ovog tipa nalaze se korištenjem skraćenih formula za množenje.
2. Jednačina Ako jednačina uključuje slovo, onda se jednakost naziva jednačina.
Jednačina može biti tačna za neke vrijednosti ovog slova
i netačno za njegova druga značenja.
Na primjer, jednadžba x + 6 = 7
tačno za x = 1
i netačno za x = 2.
3.
Ekvivalentne jednačine Linearna jednačina je ax + by + c = 0.
Na primjer: 5x – 4y + 6 = 0.
Izrazimo y:
⇒ 4y = 5x + 6 ⇒ y =
| 5x+6 |
| 4 |
⇒ y = 1,25x + 1,5.
Rezultirajuća jednačina, ekvivalentna prvoj, ima oblik
y = kx + m,
gdje je: x - nezavisna varijabla (argument);
y - zavisna varijabla (funkcija);
k i m su koeficijenti (parametri).
4 Ekvivalentne jednačine
Dve jednačine se nazivaju ekvivalentan (ekvivalentan), ako se skupovi svih njihovih rješenja poklapaju ili oba nemaju rješenja i označavaju .
5/Jednačina prvog stepena.
Jednačina prvog stepena može se svesti na oblik:
ax+b = 0,
Gdje x– varijabilna, a I b– neki brojevi, i a ≠ 0.
Odavde je lako izvesti vrijednost x:
b
x = – -
a
Ovo je smisao x je korijen jednadžbe.
Jednačine prvog stepena imaju jedan koren.
Jednačina drugog stepena.
Jednačina drugog stepena može se svesti na oblik:
ax 2 + bx + c = 0,
Gdje x– varijabilna, a, b, c– neki brojevi, i a ≠ 0.
Broj korijena jednadžbe drugog stepena zavisi od diskriminanta:
Ako je D > 0, onda jednačina ima dva korijena;
Ako je D = 0, onda jednačina ima jedan korijen;
Ako je D< 0, то уравнение корней не имеет.
Jednačina drugog stepena ne može imati više od dva korena.
(o tome šta je diskriminant i kako pronaći korene jednačine, pogledajte odeljke „Formula za korene kvadratne jednačine. Diskriminant” i „Drugi način rešavanja kvadratne jednačine”).
Jednačina trećeg stepena.
Jednačina trećeg stepena može se svesti na oblik:
sjekira 3 + bx 2 + cx + d = 0,
Gdje x– varijabilna, a b c d– neki brojevi, i a ≠ 0.
Jednačina trećeg stepena ne može imati više od tri korijena.
Jednačina četvrtog stepena.
Jednačina četvrtog stepena može se svesti na oblik:
sjekira 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0,
Gdje x– varijabilna, a, b, c, d, e– neki brojevi, i a ≠ 0.
Jednačina trećeg stepena ne može imati više od četiri korijena.
Sažetak:
1) jednačina pete, šeste itd. stepeni se mogu lako izvesti nezavisno prateći gornji dijagram;
2) jednačina n- stepen ne može imati više n korijenje.
6/Jednačina sa jednom promenljivom je jednačina koja sadrži samo jednu varijablu. Korijen (ili rješenje) jednadžbe je vrijednost varijable pri kojoj se jednačina pretvara u pravu numeričku jednakost.
1. 8/-11/Sistemi linearnih jednadžbi: Osnovni pojmovi Sistem linearnih jednačina.
Nekonzistentni i neodređeni sistemi linearnih jednačina. Skup linearnih jednadžbi Konzistentan i nekonzistentan skup linearnih jednadžbi.
Sistem linearnih jednačina je sindikat n linearne jednadžbe, od kojih svaka sadrži k varijable. Napisano je ovako:
Mnogi, kada se prvi put susreću s višom algebrom, pogrešno vjeruju da se broj jednačina nužno mora podudarati s brojem varijabli. U školskoj algebri to se obično dešava, ali za višu algebru to generalno nije tačno.
Rješavanje sistema jednačina je niz brojeva ( k 1 , k 2 , ..., k n), što je rješenje svake jednačine sistema, tj. prilikom zamjene u ovu jednačinu umjesto varijabli x 1 , x 2 , ..., x n daje tačnu brojčanu jednakost.
Prema tome, rješavanje sistema jednačina znači pronalaženje skupa svih njegovih rješenja ili dokazivanje da je ovaj skup prazan. Budući da se broj jednačina i broj nepoznatih možda ne poklapaju, moguća su tri slučaja:
1. Sistem je nekonzistentan, tj. skup svih rješenja je prazan. Prilično rijedak slučaj koji se lako otkriva bez obzira na to kojim se metodom rješava sistem.
2. Sistem je konzistentan i definisan, tj. ima tačno jedno rešenje. Klasična verzija, poznata još od škole.
3. Sistem je konzistentan i nedefinisan, tj. ima beskonačno mnogo rješenja. Ovo je najteža opcija. Nije dovoljno naznačiti da “sistem ima beskonačan skup rješenja” – potrebno je opisati kako je ovaj skup strukturiran.
Varijabilna x i pozvao dozvoljeno, ako je uključen samo u jednu jednačinu sistema, i sa koeficijentom 1. Drugim riječima, u preostalim jednačinama koeficijent varijable x i mora biti jednak nuli.
Ako u svakoj jednačini odaberemo jednu dozvoljenu varijablu, dobićemo skup dozvoljenih varijabli za cijeli sistem jednačina. Sam sistem, napisan u ovom obliku, takođe će se zvati razriješenim. Uopšteno govoreći, jedan te isti izvorni sistem može se svesti na različite dozvoljene, ali nas to za sada ne brine. Evo primjera dozvoljenih sistema:
Oba sistema su varijabilna x 1 , x 3 i x 4 . Međutim, sa istim uspjehom može se tvrditi da je drugi sistem relativno dozvoljen x 1 , x 3 i x 5 . Dovoljno je prepisati poslednju jednačinu u obrascu x 5 = x 4 .
Sada razmotrimo opštiji slučaj. Neka imamo sve k varijable, od kojih r su dozvoljeni. Tada su moguća dva slučaja:
1. Broj dozvoljenih varijabli r jednak ukupnom broju varijabli k: r = k. Sistem dobijamo iz k jednačine u kojima r = k dozvoljene varijable. Takav sistem je zajednički i određen, jer x 1 = b 1 , x 2 = b 2 , ..., x k = b k;
2. Broj dozvoljenih varijabli r manji od ukupnog broja varijabli k: r < k. Ostalo ( k − r) varijable se nazivaju slobodnim - mogu uzeti bilo koje vrijednosti, iz kojih se lako mogu izračunati dozvoljene varijable.
Dakle, u gornjim sistemima varijable x 2 , x 5 , x 6 (za prvi sistem) i x 2 , x 5 (za drugi) su besplatni. Slučaj kada postoje slobodne varijable bolje je formulirati kao teorem:
Imajte na umu: ovo je veoma važna tačka! U zavisnosti od toga kako pišete rezultujući sistem, ista varijabla može biti dozvoljena ili slobodna. Većina nastavnika više matematike preporučuje ispisivanje varijabli leksikografskim redom, tj. rastući indeks. Međutim, niste u obavezi da slijedite ovaj savjet.
Teorema. Ako je sistem iz n varijable jednačine x 1 , x 2 , ..., x r- dozvoljeno, i x r + 1 , x r + 2 , ..., x k- besplatno, onda:
1. Ako postavite vrijednosti slobodnih varijabli ( x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = tk), a zatim pronađite vrijednosti x 1 , x 2 , ..., x r, dobijamo jedno od rješenja.
2. Ako se u dva rješenja poklapaju vrijednosti slobodnih varijabli, onda se poklapaju i vrijednosti dozvoljenih varijabli, tj. rješenja su jednaka.
Šta je značenje ove teoreme? Da bi se dobila sva rješenja riješenog sistema jednačina, dovoljno je izolovati slobodne varijable. Zatim, dodjeljujući različite vrijednosti slobodnim varijablama, dobit ćemo gotova rješenja. To je sve - na ovaj način možete dobiti sva rješenja sistema. Drugih rješenja nema.
Zaključak: razriješeni sistem jednačina je uvijek konzistentan. Ako je broj jednačina u razriješenom sistemu jednak broju varijabli, sistem će biti definitivan; ako je manji, bit će neodređen.
Formira se nekoliko jednačina Skup jednadžbi
2. 12,13/ Linearna nejednakost./ Stroge i nestroge nejednakosti Šta je nejednakost? Uzima se bilo koja jednačina, znak "=" ("jednako") se zamjenjuje drugim znakom ( > ;≥ ; < ; ≤ ; ≠ ) i dobije se nejednakost.) Jednačina može biti bilo koja: linearna, kvadratna, razlomka, eksponencijalna, trigonometrijska, logaritamska itd. i tako dalje. Prema tome, naše nejednakosti će biti linearne, kvadratne, itd.
Šta trebate znati o ikonama nejednakosti? Nejednakosti sa ikonom više (> ), ili manje (< ) su pozvani stroga. Sa ikonama više ili jednako (≥ ), manje ili jednako (≤ ) su pozvani nije stroga. Ikona nije jednako (≠ ) stoji posebno, ali morate cijelo vrijeme rješavati primjere sa ovom ikonom. A mi ćemo odlučiti.)
Sama ikona nema mnogo uticaja na proces rešavanja. Ali na kraju odluke, pri odabiru konačnog odgovora, značenje ikone se pojavljuje u punoj snazi! To je ono što ćemo vidjeti u nastavku na primjerima. Ima tu nekih šala...
Nejednakosti, kao i jednakosti, postoje vjerni i nevjerni. Ovdje je sve jednostavno, bez trikova. Recimo 5 > 2 je prava nejednakost. 5 < 2 - netačno.
Linearne, kvadratne, frakcijske, eksponencijalne, trigonometrijske i druge nejednakosti rješavaju se na različite načine. Svaka vrsta ima svoju metodu, svoju posebnu tehniku. Ali! Sve ove posebne tehnike se mogu koristiti samo na neki standardni tip nejednakosti. One. nejednakost bilo koje vrste mora prvo pripremiti da koristite svoj metod.
3. 14,16/Osnovna svojstva nejednačina/. Radnje sa dvije nejednakosti.
1) Ako 
2) Svojstvo tranzitivnosti. Ako
3) Ako objema stranama prave nejednakosti dodate isti broj, dobićete pravu nejednakost, tj. Ako
4) Ako prenesemo bilo koji pojam iz jednog dijela prave nejednakosti u drugi, mijenjajući njegov predznak u suprotan, onda ćemo dobiti pravu nejednakost, tj. Ako
5) Ako se obje strane prave nejednakosti pomnože sa istim pozitivnim brojem, dobićete pravu nejednakost. Na primjer, ako
6) Ako se obje strane prave nejednakosti pomnože sa istim negativnim brojem i promijeniti predznak nejednakosti nasuprot tome, rezultat je prava nejednakost. Na primjer, ako
7) Slično pravilima 5) i 6), važe pravila za dijeljenje istim brojem. Ako 
