Obrazovna ustanova „Beloruska država

poljoprivredna akademija"

Odsjek za višu matematiku

Smjernice

izučavati temu „Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda“ studenata računovodstvenog fakulteta dopisnog obrazovanja (NISPO)

Gorki, 2013

Linearne diferencijalne jednadžbe

drugog reda sa konstantamakoeficijenti

1. Linearne homogene diferencijalne jednadžbe

Linearna diferencijalna jednadžba drugog reda sa konstantnim koeficijentima naziva jednačina oblika

one. jednadžba koja sadrži željenu funkciju i njene derivate samo do prvog stepena i ne sadrži njihove proizvode. U ovoj jednačini I
- neki brojevi i funkcija
dati u određenom intervalu
.

Ako
na intervalu
, tada će jednačina (1) poprimiti oblik

, (2)

i zove se linearno homogeno . Inače, jednačina (1) se zove linearno nehomogeno .

Razmotrite složenu funkciju

, (3)

Gdje
I
- stvarne funkcije. Ako je funkcija (3) kompleksno rješenje jednadžbe (2), onda je realni dio
, i imaginarni dio
rješenja
odvojeno su rješenja iste homogene jednadžbe. Dakle, svako kompleksno rješenje jednačine (2) generiše dva realna rješenja ove jednačine.

Rješenja homogene linearne jednadžbe imaju sljedeća svojstva:

Ako je rješenje jednadžbe (2), zatim funkcija
, Gdje WITH– proizvoljna konstanta će također biti rješenje jednačine (2);

Ako I postoje rješenja jednadžbe (2), zatim funkcije
će također biti rješenje jednačine (2);

Ako I postoje rješenja jednadžbe (2), zatim njihova linearna kombinacija
također će biti rješenje jednačine (2), gdje je I
– proizvoljne konstante.

Funkcije
I
su pozvani linearno zavisna na intervalu
, ako takvi brojevi postoje I
, nije jednako nuli u isto vrijeme, da je na ovom intervalu jednakost

Ako se jednakost (4) javlja samo kada
I
, zatim funkcije
I
su pozvani linearno nezavisna na intervalu
.

Primjer 1 . Funkcije
I
su linearno zavisne, pošto
na cijeloj brojevnoj pravoj. U ovom primjeru
.

Primjer 2 . Funkcije
I
su linearno nezavisne od bilo kojeg intervala, budući da je jednakost
moguće je samo u slučaju kada
, And
.

1. Konstrukcija općeg rješenja linearne homogene

jednačine

Da biste pronašli opće rješenje jednačine (2), potrebno je pronaći dva njena linearno nezavisna rješenja I . Linearna kombinacija ovih rješenja
, Gdje I
su proizvoljne konstante, i daće opšte rešenje linearne homogene jednačine.

Tražit ćemo linearno nezavisna rješenja jednačine (2) u obliku

, (5)

Gdje – određeni broj. Onda
,
. Zamijenimo ove izraze u jednačinu (2):

Or
.

Jer
, To
. Dakle, funkcija
će biti rješenje jednačine (2) ako će zadovoljiti jednačinu

. (6)

Jednačina (6) se zove karakteristična jednačina za jednačinu (2). Ova jednačina je algebarska kvadratna jednačina.

Neka I postoje korijeni ove jednačine. Oni mogu biti ili stvarni i različiti, ili složeni, ili stvarni i jednaki. Hajde da razmotrimo ove slučajeve.

Pustite korenje I karakteristične jednačine su realne i različite. Tada će rješenja jednadžbe (2) biti funkcije
I
. Ova rješenja su linearno nezavisna, budući da je jednakost
može se izvesti samo kada
, And
. Stoga, opće rješenje jednačine (2) ima oblik

,

Gdje I
- proizvoljne konstante.

Primjer 3
.

Rješenje . Karakteristična jednačina za ovaj diferencijal će biti
. Nakon što smo riješili ovu kvadratnu jednačinu, nalazimo njene korijene
I
. Funkcije
I
su rješenja diferencijalne jednadžbe. Opšte rješenje ove jednačine je
.

Kompleksni broj nazvan izrazom forme
, Gdje I su realni brojevi, i
nazvana imaginarna jedinica. Ako
, zatim broj
naziva se čisto imaginarnim. Ako
, zatim broj
identificira se sa stvarnim brojem .

Broj naziva se realni dio kompleksnog broja, i - imaginarni dio. Ako se dva kompleksna broja razlikuju jedan od drugog samo po predznaku imaginarnog dijela, onda se nazivaju konjugiranim:
,
.

Primjer 4 . Riješi kvadratnu jednačinu
.

Rješenje . Diskriminantna jednačina
. Onda . Isto tako,
. Dakle, ova kvadratna jednadžba ima konjugirane kompleksne korijene.

Neka su korijeni karakteristične jednadžbe složeni, tj.
,
, Gdje
. Rješenja jednačine (2) mogu se napisati u obliku
,
ili
,
. Prema Ojlerovim formulama

,
.

Zatim , . Kao što je poznato, ako je kompleksna funkcija rješenje linearne homogene jednadžbe, tada su rješenja ove jednadžbe i stvarni i imaginarni dijelovi ove funkcije. Dakle, rješenja jednadžbe (2) će biti funkcije
I
. Od jednakosti

može se izvršiti samo ako
I
, tada su ova rješenja linearno nezavisna. Stoga, opće rješenje jednačine (2) ima oblik

Gdje I
- proizvoljne konstante.

Primjer 5 . Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe
.

Rješenje . Jednačina
je karakterističan za dati diferencijal. Hajde da to riješimo i dobijemo složene korijene
,
. Funkcije
I
su linearno nezavisna rješenja diferencijalne jednadžbe. Opće rješenje ove jednačine ima oblik .

Neka su korijeni karakteristične jednadžbe realni i jednaki, tj.
. Tada su rješenja jednadžbe (2) funkcije
I
. Ova rješenja su linearno nezavisna, jer izraz može biti identično jednak nuli samo kada
I
. Stoga, opće rješenje jednačine (2) ima oblik
.

Primjer 6 . Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe
.

Rješenje . Karakteristična jednačina
ima jednake korene
. U ovom slučaju, linearno nezavisna rješenja diferencijalne jednadžbe su funkcije
I
. Opšte rješenje ima oblik
.

Homogene linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima imaju oblik

gdje su p i q realni brojevi. Pogledajmo primjere kako se rješavaju homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima.

Rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda ovisi o korijenima karakteristične jednadžbe. Karakteristična jednačina je jednačina k²+pk+q=0.

1) Ako su korijeni karakteristične jednadžbe različiti realni brojevi:

tada opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima ima oblik

2) Ako su korijeni karakteristične jednadžbe jednaki realni brojevi

(na primjer, s diskriminantom jednakim nuli), tada je opće rješenje homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda

3) Ako su korijeni karakteristične jednadžbe kompleksni brojevi

(na primjer, s diskriminantom jednakom negativnom broju), tada se opće rješenje homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda zapisuje u obliku

Primjeri rješavanja linearnih homogenih diferencijalnih jednadžbi drugog reda sa konstantnim koeficijentima

Naći opća rješenja homogenih diferencijalnih jednadžbi drugog reda:

Sastavljamo karakterističnu jednačinu: k²-7k+12=0. Njegov diskriminant je D=b²-4ac=1>0, tako da su korijeni različiti realni brojevi.

Dakle, opšte rješenje ovog homogenog DE 2. reda je

Sastavimo i riješimo karakterističnu jednačinu:

Korijeni su stvarni i različiti. Stoga imamo opće rješenje ove homogene diferencijalne jednadžbe:

U ovom slučaju, karakteristična jednačina

Korijeni su različiti i valjani. Stoga je ovdje opće rješenje homogene diferencijalne jednadžbe 2. reda

Karakteristična jednačina

Pošto su korijeni realni i jednaki, za ovu diferencijalnu jednačinu opće rješenje zapisujemo kao

Karakteristična jednačina je ovdje

Budući da je diskriminant negativan broj, korijeni karakteristične jednadžbe su kompleksni brojevi.

Opšte rješenje ove homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda ima oblik

Karakteristična jednačina

Odavde nalazimo opće rješenje za ovaj diferencijal. jednadžbe:

Primjeri za samotestiranje.

Linearna diferencijalna jednadžba drugog reda naziva jednačina oblika

y"" + str(x)y" + q(x)y = f(x) ,

Gdje y je funkcija koju treba pronaći, i str(x) , q(x) I f(x) - kontinuirane funkcije na određenom intervalu ( a, b) .

Ako je desna strana jednadžbe nula ( f(x) = 0), tada se jednačina zove linearna homogena jednačina . Praktični dio ove lekcije uglavnom će biti posvećen takvim jednačinama. Ako desna strana jednačine nije jednaka nuli ( f(x) ≠ 0), tada se jednačina naziva .

U zadacima od nas se traži da riješimo jednačinu za y"" :

y"" = −str(x)y" − q(x)y + f(x) .

Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda imaju jedinstveno rješenje Cauchy problemi .

Linearna homogena diferencijalna jednadžba drugog reda i njeno rješenje

Razmotrimo linearnu homogenu diferencijalnu jednačinu drugog reda:

y"" + str(x)y" + q(x)y = 0 .

Ako y1 (x) I y2 (x) su posebna rješenja ove jednadžbe, tada su tačne sljedeće tvrdnje:

1) y1 (x) + y 2 (x) - je također rješenje ove jednačine;

2) Cy1 (x) , Gdje C- proizvoljna konstanta (konstanta), također je rješenje ove jednačine.

Iz ove dvije izjave slijedi da je funkcija

C1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x)

je također rješenje ove jednačine.

Postavlja se pošteno pitanje: da li je ovo rešenje opšte rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda , odnosno takvo rješenje u kojem za različite vrijednosti C1 I C2 Da li je moguće dobiti sva moguća rješenja jednačine?

Odgovor na ovo pitanje je: možda, ali pod određenim uslovima. Ovo uslov o tome koja svojstva pojedina rješenja trebaju imati y1 (x) I y2 (x) .

I ovaj uslov se naziva uslovom linearne nezavisnosti parcijalnih rešenja.

Teorema. Funkcija C1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) je opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda ako su funkcije y1 (x) I y2 (x) linearno nezavisna.

Definicija. Funkcije y1 (x) I y2 (x) nazivaju se linearno nezavisnim ako je njihov omjer konstanta različita od nule:

y1 (x)/y 2 (x) = k ; k = konst ; k ≠ 0 .

Međutim, utvrđivanje po definiciji da li su ove funkcije linearno nezavisne je često vrlo naporno. Postoji način da se uspostavi linearna nezavisnost pomoću determinante Wronskog W(x) :

Ako determinanta Wronskog nije jednaka nuli, tada su rješenja linearno nezavisna . Ako je determinanta Wronskog nula, tada su rješenja linearno zavisna.

Primjer 1. Naći opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe.

Rješenje. Integriramo dva puta i, kao što je lako vidjeti, da bi razlika između drugog izvoda funkcije i same funkcije bila jednaka nuli, rješenja moraju biti povezana s eksponencijalom čiji je izvod jednak sam sebi. To jest, parcijalna rješenja su i .

Od determinante Wronskog

nije jednako nuli, tada su ova rješenja linearno nezavisna. Stoga se opšte rješenje ove jednačine može zapisati kao

.

Linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima: teorija i praksa

Linearna homogena diferencijalna jednadžba drugog reda sa konstantnim koeficijentima naziva jednačina oblika

y"" + py" + qy = 0 ,

Gdje str I q- konstantne vrijednosti.

Na činjenicu da se radi o jednačini drugog reda ukazuje prisustvo drugog izvoda željene funkcije, a njenu homogenost označava nula na desnoj strani. Gore navedene vrijednosti nazivaju se konstantnim koeficijentom.

To riješiti linearnu homogenu diferencijalnu jednačinu drugog reda sa konstantnim koeficijentima , prvo morate riješiti takozvanu karakterističnu jednačinu oblika

k² + pq + q = 0 ,

koja je, kao što se može vidjeti, obična kvadratna jednačina.

U zavisnosti od rješenja karakteristične jednadžbe, moguće su tri različite opcije rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima , koje ćemo sada analizirati. Radi potpune određenosti, pretpostavit ćemo da su sva pojedinačna rješenja testirana determinantom Wronskog i ona nije jednaka nuli u svim slučajevima. Sumnjači to, međutim, mogu sami provjeriti.

Korijeni karakteristične jednadžbe su stvarni i različiti

Drugim riječima, . U ovom slučaju rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima ima oblik

.

Primjer 2. Riješiti linearnu homogenu diferencijalnu jednačinu

.

Primjer 3. Riješiti linearnu homogenu diferencijalnu jednačinu

.

Rješenje. Karakteristična jednačina ima oblik , svoje korijene i realni su i različiti. Odgovarajuća parcijalna rješenja jednadžbe su: i . Opće rješenje ove diferencijalne jednadžbe ima oblik

.

Korijeni karakteristične jednadžbe su realni i jednaki

To je, . U ovom slučaju rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima ima oblik

.

Primjer 4. Riješiti linearnu homogenu diferencijalnu jednačinu

.

Rješenje. Karakteristična jednačina ima jednake korene. Odgovarajuća parcijalna rješenja jednadžbe su: i . Opće rješenje ove diferencijalne jednadžbe ima oblik

Primjer 5. Riješiti linearnu homogenu diferencijalnu jednačinu

.

Rješenje. Karakteristična jednačina ima jednake korijene. Odgovarajuća parcijalna rješenja jednadžbe su: i . Opće rješenje ove diferencijalne jednadžbe ima oblik

U ovom članku ćemo ispitati principe rješavanja linearnih homogenih diferencijalnih jednadžbi drugog reda sa konstantnim koeficijentima, gdje su p i q proizvoljni realni brojevi. Prvo, fokusirajmo se na teoriju, a zatim primijenimo dobivene rezultate u rješavanju primjera i problema.

Ako naiđete na nepoznate termine, pogledajte odjeljak o definicijama i konceptima teorije diferencijalnih jednadžbi.

Hajde da formulišemo teoremu koja pokazuje u kom obliku pronaći opšte rešenje LOD-a.

Teorema.

Opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe s kontinuiranim koeficijentima na integracijskom intervalu X određeno je linearnom kombinacijom , Gdje su linearno nezavisna parcijalna rješenja LDE na X, i proizvoljne su konstante.

Dakle, opšte rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima ima oblik y 0 =C 1 ⋅y 1 +C 2 ⋅y 2, gdje su y 1 i y 2 parcijalna linearno nezavisna rješenja, a C 1 i C 2 su proizvoljne konstante. Ostaje naučiti kako pronaći parcijalna rješenja y 1 i y 2.

Euler je predložio traženje posebnih rješenja u obliku .

Ako uzmemo parcijalno rješenje LODE drugog reda sa konstantnim koeficijentima, onda kada ovo rješenje zamenimo u jednačinu treba da dobijemo identičnost:

Tako smo dobili tzv karakteristična jednačina linearna homogena diferencijalna jednadžba drugog reda sa konstantnim koeficijentima. Rješenja k 1 i k 2 ove karakteristične jednačine određuju parcijalna rješenja našeg LODE drugog reda sa konstantnim koeficijentima.

Ovisno o koeficijentima p i q, korijeni karakteristične jednadžbe mogu biti:

U prvom slučaju linearno nezavisna parcijalna rješenja originalne diferencijalne jednadžbe su i , opće rješenje LODE drugog reda s konstantnim koeficijentima je .

Funkcije i su zaista linearno nezavisne, budući da je determinanta Wronskog različita od nule za bilo koji realni x za .

U drugom slučaju jedno posebno rješenje je funkcija . Kao drugo posebno rješenje uzimamo . Pokažimo šta je stvarno parcijalno rješenje LODE drugog reda sa konstantnim koeficijentima i dokažemo linearnu nezavisnost y 1 i y 2.

Kako su k 1 = k 0 i k 2 = k 0 isti korijeni karakteristične jednadžbe, ona ima oblik . Dakle, originalna je linearna homogena diferencijalna jednadžba. Zamijenimo ga i uvjerimo se da jednačina postane identitet:

Dakle, to je djelomično rješenje originalne jednačine.

Pokažimo linearnu neovisnost funkcija i . Da bismo to učinili, izračunajmo determinantu Wronskog i uvjerimo se da je različita od nule.

Zaključak: linearno nezavisna parcijalna rješenja LODE drugog reda sa konstantnim koeficijentima su i , a opće rješenje postoji za .

U trećem slučaju imamo par složenih parcijalnih rješenja LDE i . Opšte rješenje će biti zapisano kao . Ova konkretna rješenja mogu se zamijeniti s dvije realne funkcije i , što odgovara realnom i imaginarnom dijelu. To se može jasno vidjeti ako transformiramo generalno rješenje , koristeći formule iz teorija funkcije kompleksne varijable tip:


gdje su C 3 i C 4 proizvoljne konstante.

Dakle, hajde da sumiramo teoriju.

Algoritam za pronalaženje općeg rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima.

Pogledajmo primjere za svaki slučaj.

Primjer.

Naći opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima .

§ 9. Linearne homogene diferencijalne jednačine drugog reda sa konstantnim koeficijentima

Definicija LODE drugog reda sa konstantnim koeficijentima

Karakteristična jednačina:

Slučaj 1. Diskriminant veći od nule

Slučaj 2. Diskriminant je nula

Slučaj 3. Diskriminant manji od nule

Algoritam za pronalaženje općeg rješenja za LODE drugog reda sa konstantnim koeficijentima

§ 10. Linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima

Određivanje LPDE drugog reda sa konstantnim koeficijentima

Metoda varijacije konstanti

Metoda za rješavanje LNDDE sa posebnom desnom stranom

Teorema o strukturi općeg rješenja LNDE

1. Funkcija r (x) – polinom stepena T

2. Funkcija r (x) – proizvod broja i eksponencijalne funkcije

3. Funkcija r (x) – zbir trigonometrijskih funkcija

Algoritam za pronalaženje općeg rješenja za LPDE sa posebnom desnom stranom

Aplikacija

§ 9. Linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima

Diferencijalna jednačina drugog reda naziva se linearna homogena diferencijalna jednadžba (LODE) sa konstantnim koeficijentima, ako izgleda ovako:

Gdje str I q

Da biste pronašli opće rješenje za LODE, dovoljno je pronaći njegova dva različita parcijalna rješenja i . Tada će opšte rješenje LODE-a imati oblik

Gdje WITH 1 i WITH

Leonard Euler je predložio da se traže posebna rješenja LDE u obliku

Gdje k– određeni broj.

Razlikovanje ove funkcije dvaput i zamjena izraza za at, y" I y" u jednačinu, dobijamo:

Rezultirajuća jednačina se zove karakteristična jednačina LODU. Da biste ga kompajlirali, dovoljno je zamijeniti u originalnoj jednadžbi y", y" I at shodno tome k 2 , k i 1:

Nakon rješavanja karakteristične jednačine, tj. pronašavši korene k 1 i k 2, naći ćemo i posebna rješenja za originalni LODE.

Karakteristična jednačina je kvadratna jednačina, njeni korijeni se nalaze preko diskriminanta

U ovom slučaju moguća su sljedeća tri slučaja.

Slučaj 1. Diskriminant veći od nule , dakle, korijeni k 1 i k 2 važeći i različiti:

k 1¹ k 2

Gdje WITH 1 i WITH 2 – proizvoljne nezavisne konstante.

Slučaj 2. Diskriminant je nula , dakle, korijeni k 1 i k 2 realna i jednaka:

k 1 = k 2 = k

U ovom slučaju, opšte rješenje LODE-a ima oblik

Gdje WITH 1 i WITH 2 – proizvoljne nezavisne konstante.

Slučaj 3. Diskriminant manji od nule . U ovom slučaju, jednadžba nema pravi korijen:

Nema korijena.

U ovom slučaju, opšte rješenje LODE-a ima oblik

Gdje WITH 1 i WITH 2 – proizvoljne nezavisne konstante,

Dakle, pronalaženje općeg rješenja za LODE drugog reda sa konstantnim koeficijentima svodi se na pronalaženje korijena karakteristične jednadžbe i korištenje formula za općenito rješenje jednačine (bez pribjegavanja izračunavanju integrala).

Algoritam za pronalaženje općeg rješenja za LODE drugog reda sa konstantnim koeficijentima:

1. Svesti jednačinu na oblik gdje str I q– neki realni brojevi.

2. Kreirajte karakterističnu jednačinu.

3. Naći diskriminanta karakteristične jednačine.

4. Koristeći formule (vidi tabelu 1), u zavisnosti od predznaka diskriminanta, zapišite opšte rešenje.

Tabela 1

Tabela mogućih općih rješenja