Deljenje je jedna od četiri osnovne matematičke operacije (sabiranje, oduzimanje, množenje). Deljenje je, kao i druge operacije, važno ne samo u matematici, već iu svakodnevnom životu. Na primjer, vi kao cijeli razred (25 ljudi) donirate novac i kupite poklon za nastavnika, ali ne potrošite sve, ostat će kusur. Stoga ćete morati podijeliti promjenu na sve. Operacija podjele dolazi u igru kako bi vam pomogla u rješavanju ovog problema.
Divizija je zanimljiva operacija, kao što ćemo vidjeti u ovom članku!
Dijeljenje brojeva
Dakle, malo teorije, a onda praksa! Šta je podjela? Podjela je razbijanje nečega na jednake dijelove. Odnosno, to može biti vrećica slatkiša koju treba podijeliti na jednake dijelove. Na primjer, u vrećici je 9 bombona, a osoba koja želi da ih primi je tri. Zatim morate podijeliti ovih 9 bombona na tri osobe.
Piše se ovako: 9:3, odgovor će biti broj 3. To jest, dijeljenje broja 9 sa brojem 3 pokazuje broj tri broja sadržana u broju 9. Obrnuta radnja, provjera, bit će množenje. 3*3=9. zar ne? Apsolutno.
Pogledajmo primjer 12:6. Prvo, dajmo naziv svakoj komponenti primjera. 12 – dividenda, tj. broj koji se može podijeliti na dijelove. 6 je djelitelj, ovo je broj dijelova na koje se dijeli dividenda. I rezultat će biti broj koji se zove "količnik".
Podijelimo 12 sa 6, odgovor će biti broj 2. Rješenje možete provjeriti množenjem: 2*6=12. Ispostavilo se da je broj 6 sadržan 2 puta u broju 12.
Podjela s ostatkom
Šta je dijeljenje s ostatkom? Ovo je ista podjela, samo što rezultat nije paran broj, kao što je prikazano gore.
Na primjer, podijelimo 17 sa 5. Pošto je najveći broj djeljiv sa 5 do 17 15, onda će odgovor biti 3, a ostatak 2, a piše se ovako: 17:5 = 3(2).
Na primjer, 22:7. Na isti način određujemo maksimalni broj djeljiv sa 7 na 22. Ovaj broj je 21. Odgovor će tada biti: 3, a ostatak 1. I piše: 22:7 = 3 (1).
Podjela na 3 i 9
Poseban slučaj dijeljenja bi bio dijeljenje brojem 3 i brojem 9. Ako želite saznati da li je broj djeljiv sa 3 ili 9 bez ostatka, trebat će vam:
Pronađite zbir cifara dividende.
Podijelite sa 3 ili 9 (u zavisnosti od toga šta vam treba).
Ako se odgovor dobije bez ostatka, tada će se broj podijeliti bez ostatka.
Na primjer, broj 18. Zbir cifara je 1+8 = 9. Zbir cifara je djeljiv sa 3 i 9. Broj 18:9=2, 18:3=6. Podijeljeno bez ostatka.
Na primjer, broj 63. Zbir cifara je 6+3 = 9. Deljiv i sa 9 i sa 3. 63:9 = 7 i 63:3 = 21. Takve operacije se izvode sa bilo kojim brojem da bi se saznalo da li je djeljiv sa ostatkom sa 3 ili 9, ili ne.
Množenje i dijeljenje
Množenje i dijeljenje su suprotne operacije. Množenje se može koristiti kao test za dijeljenje, a dijeljenje se može koristiti kao test za množenje. Možete saznati više o množenju i savladati operaciju u našem članku o množenju. Koji detaljno opisuje množenje i kako to ispravno uraditi. Tamo ćete naći i tablicu množenja i primjere za obuku.
Evo primjera provjere dijeljenja i množenja. Recimo da je primjer 6*4. Odgovor: 24. Zatim provjerimo odgovor deljenjem: 24:4=6, 24:6=4. Ispravno je odlučeno. U ovom slučaju, provjera se vrši dijeljenjem odgovora jednim od faktora.
Ili je naveden primjer za podjelu 56:8. Odgovor: 7. Tada će test biti 8*7=56. zar ne? Da. U ovom slučaju, test se izvodi množenjem odgovora sa djeliteljem.
Divizija 3 klasa
U trećem razredu tek počinju da prolaze kroz podjelu. Stoga učenici trećeg razreda rješavaju najjednostavnije probleme:
Problem 1. Radnik fabrike dobio je zadatak da ubaci 56 kolača u 8 pakovanja. Koliko torti treba staviti u svako pakovanje da bi se u svakom napravila ista količina?
Problem 2. U novogodišnjoj noći u školi, deci u odeljenju od 15 učenika podeljeno je 75 bombona. Koliko bombona treba da dobije svako dete?
Problem 3. Roma, Saša i Miša ubrali su 27 jabuka sa stabla jabuke. Koliko će jabuka dobiti svaka osoba ako ih treba podijeliti na jednake dijelove?
Problem 4. Četiri prijatelja su kupila 58 kolačića. Ali onda su shvatili da ih ne mogu ravnopravno podijeliti. Koliko dodatnih kolačića djeca trebaju kupiti da bi svako dobila 15?
Divizija 4. razred
Podjela u četvrtom razredu je ozbiljnija nego u trećem. Svi proračuni se vrše metodom dijeljenja stupcima, a brojevi uključeni u podjelu nisu mali. Šta je duga podjela? Odgovor možete pronaći u nastavku:
Podjela kolone
Šta je duga podjela? Ovo je metoda koja vam omogućava da pronađete odgovor na dijeljenje velikih brojeva. Ako se prosti brojevi poput 16 i 4 mogu podijeliti, a odgovor je jasan - 4. Tada 512:8 nije lako za dijete u njegovom umu. A naš je zadatak da govorimo o tehnici rješavanja takvih primjera.
Pogledajmo primjer, 512:8.
1 korak. Zapišimo dividendu i djelitelj na sljedeći način:
Količnik će na kraju biti zapisan pod djeliteljem, a izračuni pod dividendom.
Korak 2. Počinjemo dijeliti s lijeva na desno. Prvo uzimamo broj 5: 
Korak 3. Broj 5 je manji od broja 8, što znači da neće biti moguće podijeliti. Stoga uzimamo drugu cifru dividende:
Sada je 51 veće od 8. Ovo je nepotpun kvocijent.
Korak 4. Stavili smo tačku ispod djelitelja.
Korak 5. Nakon 51 je još jedan broj 2, što znači da će u odgovoru biti još jedan broj, tj. količnik je dvocifreni broj. Stavimo drugu tačku:
Korak 6. Počinjemo operaciju divizije. Najveći broj djeljiv sa 8 bez ostatka do 51 je 48. Dijeljenjem 48 sa 8 dobijamo 6. Napišite broj 6 umjesto prve tačke ispod djelitelja:
Korak 7. Zatim upišite broj tačno ispod broja 51 i stavite znak "-":
Korak 8. Zatim oduzimamo 48 od 51 i dobijemo odgovor 3.
* 9 koraka*. Skinemo broj 2 i upišemo ga pored broja 3:
Korak 10 Dobiveni broj 32 podijelimo sa 8 i dobijemo drugu cifru odgovora – 4.
Dakle, odgovor je 64, bez ostatka. Ako bismo podijelili broj 513, onda bi ostatak bio jedan.
Podjela tri cifre
Dijeljenje trocifrenih brojeva vrši se metodom dugog dijeljenja, što je objašnjeno u gornjem primjeru. Primjer samo trocifrenog broja.
Podjela razlomaka
Dijeljenje razlomaka nije tako teško kao što se čini na prvi pogled. Na primjer, (2/3):(1/4). Metoda ove podjele je prilično jednostavna. 2/3 je dividenda, 1/4 je djelitelj. Znak dijeljenja (:) možete zamijeniti množenjem ( ), ali da biste to učinili morate zamijeniti brojnik i imenilac djelitelja. To jest, dobijamo: (2/3)(4/1), (2/3)*4, ovo je jednako 8/3 ili 2 cela broja i 2/3. Dajemo još jedan primer, sa ilustracijom za bolje razumevanje. Uzmimo u obzir razlomke (4/7): (2/5):
Kao u prethodnom primjeru, obrnemo djelitelj 2/5 i dobijemo 5/2, zamjenjujući dijeljenje množenjem. Tada dobijamo (4/7)*(5/2). Napravimo smanjenje i odgovorimo: 10/7, a zatim izvadimo cijeli dio: 1 cijeli i 3/7.
Podjela brojeva na klase
Zamislimo broj 148951784296 i podijelimo ga na tri cifre: 148 951 784 296. Dakle, s desna na lijevo: 296 je klasa jedinica, 784 je klasa hiljada, 951 je klasa miliona, 148 je klasa milijardi. Zauzvrat, u svakoj klasi 3 cifre imaju svoju cifru. S desna na lijevo: prva znamenka su jedinice, druga znamenka su desetice, treća su stotine. Na primjer, klasa jedinica je 296, 6 je jedinica, 9 je desetica, 2 je stotine.
Podjela prirodnih brojeva
Podjela prirodnih brojeva je najjednostavnija podjela opisana u ovom članku. Može biti sa ili bez ostatka. Delitelj i dividenda mogu biti bilo koji nerazlomak, cijeli brojevi. 
Prijavite se na kurs "Ubrzajte mentalnu aritmetiku, A NE mentalnu aritmetiku" da naučite kako brzo i ispravno sabirati, oduzimati, množiti, dijeliti, kvadratirati brojeve, pa čak i izvlačiti korijene. Za 30 dana naučit ćete kako koristiti jednostavne trikove za pojednostavljenje aritmetičkih operacija. Svaka lekcija sadrži nove tehnike, jasne primjere i korisne zadatke.
Prezentacija divizije
Prezentacija je još jedan način za vizualizaciju teme podjele. Ispod ćemo pronaći link do odlične prezentacije koja dobro objašnjava kako se dijeli, šta je dijeljenje, što su dividenda, djelitelj i količnik. Ne gubite vrijeme, već konsolidirajte svoje znanje!
Primjeri za podjelu
Lagani nivo
Prosječan nivo
Težak nivo
Igre za razvoj mentalne aritmetike
Posebne obrazovne igre razvijene uz učešće ruskih naučnika iz Skolkova pomoći će poboljšanju mentalnih aritmetičkih vještina u zanimljivom obliku igre.
Igra "Pogodi operaciju"
Igra “Pogodi operaciju” razvija mišljenje i pamćenje. Glavna poenta igre je odabrati matematički znak da bi jednakost bila istinita. Primjeri su dati na ekranu, pažljivo pogledajte i stavite traženi znak “+” ili “-” kako bi jednakost bila tačna. Znakovi “+” i “-” nalaze se na dnu slike, odaberite željeni znak i kliknite na željeno dugme. Ako ste tačno odgovorili, osvajate bodove i nastavljate igru.
Igra "Pojednostavljenje"
Igra “Pojednostavljenje” razvija mišljenje i pamćenje. Glavna suština igre je brzo izvođenje matematičke operacije. Učenik je nacrtan na ekranu na tabli i data je matematička operacija; učenik treba da izračuna ovaj primjer i napiše odgovor. Ispod su tri odgovora, izbrojite i kliknite na broj koji vam je potreban pomoću miša. Ako ste tačno odgovorili, osvajate bodove i nastavljate igru.
Igra "Brzo dodavanje"
Igra "Brzo dodavanje" razvija mišljenje i pamćenje. Glavna suština igre je odabrati brojeve čiji je zbir jednak datom broju. U ovoj igri se daje matrica od jedan do šesnaest. Iznad matrice je zapisan dati broj; potrebno je odabrati brojeve u matrici tako da zbir ovih cifara bude jednak datom broju. Ako ste tačno odgovorili, osvajate bodove i nastavljate igru.
Igra vizualne geometrije
Igra "Vizuelna geometrija" razvija mišljenje i pamćenje. Glavna suština igre je brzo izbrojati broj zasjenjenih objekata i odabrati ga sa liste odgovora. U ovoj igri, plavi kvadrati se prikazuju na ekranu nekoliko sekundi, morate ih brzo prebrojati, a zatim se zatvaraju. Ispod tabele su upisana četiri broja, potrebno je odabrati jedan tačan broj i kliknuti na njega mišem. Ako ste tačno odgovorili, osvajate bodove i nastavljate igru.
Igra "Kasica-prasica"
Igra Kasica-prasica razvija razmišljanje i pamćenje. Glavna suština igre je da odaberete koja kasica-prasica ima više novca.U ovoj igri postoje četiri kasice-prasice, potrebno je izbrojati koja kasica-prasica ima najviše novca i pokazati ovu kasicu-prasicu mišem. Ako ste tačno odgovorili, osvajate bodove i nastavljate igru.
Igra "Brzo dodavanje ponovnog punjenja"
Igra “Fast add reboot” razvija razmišljanje, pamćenje i pažnju. Glavna poenta igre je odabrati tačne članove, čiji će zbir biti jednak datom broju. U ovoj igri, na ekranu su data tri broja i zadatak, dodajte broj, ekran pokazuje koji broj treba dodati. Od tri broja birate željene brojeve i pritiskate ih. Ako ste tačno odgovorili, osvajate bodove i nastavljate igru.
Razvoj fenomenalne mentalne aritmetike
Pogledali smo samo vrh ledenog brijega, da bismo bolje razumjeli matematiku - prijavite se za naš kurs: Ubrzavanje mentalne aritmetike - NE mentalne aritmetike.
Na kursu ćete ne samo naučiti desetine tehnika za pojednostavljeno i brzo množenje, sabiranje, množenje, dijeljenje i računanje postotaka, već ćete ih uvježbati u posebnim zadacima i edukativnim igrama! Mentalna aritmetika također zahtijeva puno pažnje i koncentracije, koji se aktivno treniraju prilikom rješavanja zanimljivih zadataka.
Brzo čitanje za 30 dana
Povećajte brzinu čitanja za 2-3 puta u 30 dana. Od 150-200 do 300-600 riječi u minuti ili od 400 do 800-1200 riječi u minuti. Kurs koristi tradicionalne vježbe za razvoj brzog čitanja, tehnike koje ubrzavaju rad mozga, metode za progresivno povećanje brzine čitanja, psihologiju brzog čitanja i pitanja polaznika kursa. Pogodno za djecu i odrasle koji čitaju do 5000 riječi u minuti.
Tajne kondicije mozga, treninga pamćenja, pažnje, razmišljanja, brojanja
Mozak, kao i tijelo, treba kondiciju. Fizičke vježbe jačaju tijelo, mentalne vježbe razvijaju mozak. 30 dana korisnih vježbi i edukativnih igara za razvoj pamćenja, koncentracije, inteligencije i brzog čitanja ojačat će mozak, pretvarajući ga u tvrd orah.
Novac i način razmišljanja milionera
Zašto postoje problemi sa novcem? U ovom kursu ćemo detaljno odgovoriti na ovo pitanje, pogledati duboko u problem i razmotriti naš odnos s novcem sa psihološke, ekonomske i emocionalne tačke gledišta. Sa kursa ćete naučiti šta trebate učiniti da riješite sve svoje finansijske probleme, počnete štedjeti novac i uložiti ga u budućnost.
Poznavanje psihologije novca i načina rada s njim čini osobu milionerom. 80% ljudi uzima sve više kredita kako im prihod raste, postajući još siromašniji. S druge strane, milioneri koji su sami napravili će ponovo zaraditi milione za 3-5 godina ako počnu od nule. Ovaj kurs vas uči kako pravilno raspodijeliti prihode i smanjiti troškove, motivira vas na učenje i postizanje ciljeva, uči vas kako uložiti novac i prepoznati prevaru.
Opet sjedim ovdje noću... Odlučio sam da napišem svoje mišljenje o sada popularnom pitanju: jedan ili devet?
Mislim da je iz gornje slike već jasno o čemu govorimo. Znak množenja se izostavlja ispred zagrada, i... kako računati?
Pogledajmo sa dvije pozicije.
1) Znak množenja je jednostavno izostavljen. Tada početni izraz izgleda ovako: 
.
Podijelimo šest sa dva, pomnožimo sa zbirom jedan i dva i (sve je super, dušo) dobijemo devet. Odgovor – 9. Sve izgleda lepo, ali...
2) Znak množenja nije jednostavno izostavljen. Kako nije lako? Ali jednostavno ne možete to pustiti. Dakle, evo nekih informacija koje su izgleda preuzete iz udžbenika za sedmi razred (originalni izvor nije pronađen, ali sam ga proguglao u priručniku nekog matematičkog liceja):
Slučajevi mogućeg izostavljanja znaka množenja: 1) između slovnih faktora; 2) između brojčanog i slovnog množitelja; 3) između množitelja i zagrade; 4) između izraza u zagradama.
Šta ovo znači za nas? A činjenica je da ako je znak množenja izostavljen kao što je opisano u prethodnom paragrafu, onda su to pogriješili, jer dva u primjeru nije faktor ispred zagrade, već jednostavno jedan od tri faktora (ako smo razmotriti dijeljenje kao poseban slučaj množenja). Zbog toga, Ako to je ispravno izostavljeno, onda imamo 
.
I to je slučaj ako je gore navedeno pravilo apsolutno tačno. Ali bez konkretnog izvora (navodi se da je riječ o školskom udžbeniku) ne možete računati da će biti tačan. U školskoj matematici postoje mnogi zahtjevi koji se ponekad zanemaruju čak i na odsjecima visokog obrazovanja.
Štaviše, ovo pravilo može se pokazati nepotpunim: što ako u takvoj situaciji ne možete izostaviti znak između zagrade i množitelja? Da sam ja izmišljao pravila, to bih uradio. Kontroverzna situacija? Dodajte još jedan par zagrada! Biće sasvim jasno i svima razumljivo.
U svoje lično ime reći ću da nakon podjele dio doživljavam kao nešto cjelinu, tj. zagrada sa množiteljem, ovo mi izgleda sasvim prirodno. Zašto dolazi do spora? Mnogi ljudi se sjećaju da “znak množenja uvijek možete izostaviti”. Ali to nije istina. 2 pomnoženo sa 3 nije 23, već proizvod varijabli c, o I s neće uvek biti ispravno shvaćeno.
Na prvi pogled postaje jasno da je osoba koja je rekla da je odgovor 1 jednostavno zaboravila na proceduru, bila je zbunjena odsustvom znaka množenja. Ovdje me to donekle podsjeća na zagonetku o nogama u prostoriji (gdje je pitanje koliko nogu životinja ima u sobi. U prolazu se spominje da postoji i krevet. Ako je čovjek zaboravio na noge krevet, gubitnik je, ako ih je izbrojao, onda suviše naivčina, jer to nisu noge, nego noge. Ako brojiš noge životinja onda si i ti sisa jer imaju šape. Ukratko, bez obzira od odgovora, osoba je naivčina i stavlja žirafu na svoj avatar). A pošto su njegovi postupci (koji su nam se u početku tako činili) bili pogrešni, onda je naše obrazovanje sranje i sve to. Ali ako kopate dublje, postavlja se pitanje - koliko? Ako naiđete na ovako nešto u stvarnom životu na važnom mjestu, onda, bez obzira na tačan odgovor, morate ozbiljno razgovarati sa osobom koja je napisala ovaj izraz i nije razjasnila na šta je mislio.
Da, sjećam se u nekom udžbeniku iz ekonomije (slabo smo predavali ovaj predmet, a priručnici su bili slabi) bila je formula slova sa istim problemom. Znak podjele na desnoj strani je dovoljno velik izraz. Tada sam sumnjao u to, ali na kraju sam našao pravu formulu. Da, nakon dijeljenja sve je moralo biti imenilac. Ali tu je definitivno bilo pogrešno. Ljudi, ne pišite pravilno, ali jasno :)
Kako podijeliti decimale prirodnim brojevima? Pogledajmo pravilo i njegovu primjenu koristeći primjere.
Da biste decimalni razlomak podijelili prirodnim brojem, trebate:
1) podijeliti decimalni razlomak brojem, zanemarujući zarez;
2) kada je podjela cijelog dijela završena, stavite zarez u količnik.
Primjeri.
Podijelite decimale:
Da biste podijelili decimalni razlomak prirodnim brojem, podijelite ne obraćajući pažnju na zarez. 5 nije djeljivo sa 6, pa stavljamo nulu u količnik. Podjela cijelog dijela je završena, u količnik stavljamo zarez. Skidamo nulu. Podijelite 50 sa 6. Uzmite 8. 6∙8=48. Od 50 oduzimamo 48, ostatak je 2. Oduzimamo 4. Podijelimo 24 sa 6. Dobijamo 4. Ostatak je nula, što znači da je podjela završena: 5,04: 6 = 0,84.
2) 19,26: 18
Podijelite decimalni razlomak prirodnim brojem, zanemarujući zarez. Podijelite 19 sa 18. Uzmite po 1. Podjela cijelog dijela je završena, stavite zarez u količnik. Od 19 oduzimamo 18. Ostatak je 1. Oduzimamo 2. 12 nije deljivo sa 18, a u količniku upisujemo nulu. Skidamo 6. Podijelimo 126 sa 18, dobijamo 7. Podjela je završena: 19,26: 18 = 1,07.
Podijelite 86 sa 25. Uzmite po 3. 25∙3=75. Od 86 oduzimamo 75. Ostatak je 11. Podjela cijelog dijela je završena, u količnik stavljamo zarez. Skidamo 5. Uzimamo po 4. 25∙4=100. Od 115 oduzimamo 100. Ostatak je 15. Uklanjamo nulu. Podijelimo 150 sa 25. Dobijamo 6. Podjela je završena: 86,5: 25 = 3,46.
4) 0,1547: 17
Nula nije djeljiva sa 17; nulu upisujemo u količnik. Podjela cijelog dijela je završena, u količnik stavljamo zarez. Skidamo 1. 1 nije djeljivo sa 17, pišemo nulu u količniku. Skidamo 5. 15 nije djeljivo sa 17, pišemo nulu u količniku. Uzimamo 4. Podijelimo 154 sa 17. Uzimamo po 9. 17∙9=153. Od 154 oduzimamo 153. Ostatak je 1. Oduzimamo 7. Podijelimo 17 sa 17. Dobijamo 1. Dijeljenje je završeno: 0,1547: 17 = 0,0091.
5) Decimalni razlomak se može dobiti i dijeljenjem dva prirodna broja.
Prilikom dijeljenja 17 sa 4 uzimamo po 4. Podjela cijelog dijela je završena, u količniku stavljamo zarez. 4∙4=16. Od 17 oduzimamo 16. Ostatak je 1. Uklanjamo nulu. Podijelite 10 sa 4. Uzmite po 2. 4∙2=8. Od 10 oduzimamo 8. Ostatak je 2. Uklanjamo nulu. Podijelite 20 sa 4. Uzmite po 5. Podjela je završena: 17: 4 = 4,25.
I još par primjera dijeljenja decimala prirodnim brojevima:
