तार्किक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की विधियाँ। लॉजिक्स

कंप्यूटर विज्ञान परीक्षा के अनुभाग ए और बी में कुछ समस्याओं को कैसे हल करें

अध्याय 3। तर्क. तर्क कार्य. समीकरण हल करना

बड़ी संख्या में एकीकृत राज्य परीक्षा की समस्याएं प्रस्तावात्मक तर्क के लिए समर्पित हैं। उनमें से अधिकांश को हल करने के लिए, प्रस्ताव तर्क के बुनियादी नियमों को जानना, एक और दो चर के तार्किक कार्यों की सत्य तालिकाओं का ज्ञान पर्याप्त है। मैं प्रस्तावात्मक तर्क के बुनियादी नियम बताऊंगा।

1. विच्छेद और संयोजन की क्रमपरिवर्तनशीलता:
   ए ˅ बी ≡ बी ˅ ए
   a^b ≡ b^a
2. विच्छेद और समुच्चय के संबंध में वितरणात्मक नियम:
   a ˅ (b^с) ≡ (a ˅ b) ^(a ˅ с)
   ए ^ (बी ˅ सी) ≡ (ए ^ बी) ˅ (ए ^ सी)
3. निषेध का निषेध:
   ¬(¬a) ≡ ए
4. स्थिरता:
   a ^ ¬а ≡ असत्य
5. विशेष तीसरा:
   एक ˅ ¬а ≡ सत्य
6. डी मॉर्गन के नियम:
   ¬(a ˅ b) ≡ ¬a ˄ ¬b
   ¬(a ˄ b) ≡ ¬a ˅ ¬b
7. सरलीकरण:
   ए ˄ ए ≡ ए
   ए ˅ ए ≡ ए
   ए ˄ सत्य ≡ ए
   एक ˄ असत्य ≡ असत्य
8. अवशोषण:
   ए ˄ (ए ˅ बी) ≡ ए
   ए ˅ (ए ˄ बी) ≡ ए
9. निहितार्थ का प्रतिस्थापन
   ए → बी ≡ ¬ए ˅ बी
10. पहचान का प्रतिस्थापन
    a ≡ b ≡(a ˄ b) ˅ (¬a ˄ ¬b)

तार्किक कार्यों का प्रतिनिधित्व

n चरों का कोई भी तार्किक कार्य - F(x 1, x 2, ... x n) को सत्य तालिका द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। ऐसी तालिका में चरों के 2n सेट होते हैं, जिनमें से प्रत्येक के लिए इस सेट पर एक फ़ंक्शन का मान निर्दिष्ट होता है। यह विधि तब अच्छी होती है जब चरों की संख्या अपेक्षाकृत कम हो। पहले से ही n > 5 के लिए प्रतिनिधित्व खराब दिखाई देता है।

दूसरा तरीका ज्ञात काफी सरल फ़ंक्शंस का उपयोग करके किसी फ़ार्मूले द्वारा फ़ंक्शन को परिभाषित करना है। फ़ंक्शंस की एक प्रणाली (एफ 1, एफ 2, ... एफ के) को पूर्ण कहा जाता है यदि किसी तार्किक फ़ंक्शन को केवल फ़ंक्शंस वाले सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।

फ़ंक्शंस की प्रणाली (¬, ˄, ˅) पूरी हो गई है। नियम 9 और 10 उदाहरण हैं जो प्रदर्शित करते हैं कि निषेध, संयोजन और विच्छेदन के माध्यम से निहितार्थ और पहचान कैसे व्यक्त की जाती है।

वास्तव में, दो कार्यों की एक प्रणाली - निषेध और संयोजन या निषेध और विच्छेदन - भी पूर्ण है। डी मॉर्गन के नियम उन विचारों का अनुसरण करते हैं जो किसी को निषेध और विच्छेद के माध्यम से एक संयोजन को व्यक्त करने की अनुमति देते हैं और, तदनुसार, निषेध और संयोजन के माध्यम से एक विच्छेदन को व्यक्त करने की अनुमति देते हैं:

(ए ˅ बी) ≡ ¬(¬ए ˄ ¬बी)
(ए ˄ बी) ≡ ¬(¬ए ˅ ¬बी)

विरोधाभासी रूप से, केवल एक फ़ंक्शन से युक्त प्रणाली पूर्ण होती है। दो द्विआधारी कार्य हैं - एंटीकंजंक्शन और एंटीडिसजंक्शन, जिसे पीयर्स एरो और शेफ़र स्ट्रोक कहा जाता है, जो एक खोखले सिस्टम का प्रतिनिधित्व करता है।

प्रोग्रामिंग भाषाओं के मूल कार्यों में आमतौर पर पहचान, निषेध, संयोजन और विच्छेदन शामिल होते हैं। एकीकृत राज्य परीक्षा की समस्याओं में, इन कार्यों के साथ-साथ, निहितार्थ भी अक्सर पाए जाते हैं।

आइए तार्किक कार्यों से जुड़ी कुछ सरल समस्याओं पर नजर डालें।

समस्या 15:

सत्य तालिका का एक अंश दिया गया है। दिए गए तीन कार्यों में से कौन सा इस खंड से मेल खाता है?

एक्स 1	एक्स 2	एक्स 3	एक्स 4	एफ
1	1	0	0	1
0	1	1	1	1
1	0	0	1	0

1. (एक्स 1 → एक्स 2) ˄ ¬ एक्स 3 ˅ एक्स 4
2. (¬ एक्स 1 ˄ एक्स 2) ˅ (¬ एक्स 3 ˄ एक्स 4)
3. ¬ X 1 ˅ X 2 ˅ (X 3 ˄ X 4)

फंक्शन नंबर 3.

समस्या को हल करने के लिए, आपको बुनियादी कार्यों की सत्य तालिकाओं को जानना होगा और संचालन की प्राथमिकताओं को याद रखना होगा। मैं आपको याद दिला दूं कि संयोजन (तार्किक गुणन) की प्राथमिकता अधिक होती है और इसे वियोजन (तार्किक जोड़) से पहले निष्पादित किया जाता है। गणना के दौरान, यह नोटिस करना आसान है कि तीसरे सेट में संख्या 1 और 2 वाले फ़ंक्शन का मान 1 है और इस कारण से यह खंड के अनुरूप नहीं है।

समस्या 16:

दी गई संख्याओं में से कौन सी संख्या इस शर्त को पूरा करती है:

(अंक, सबसे महत्वपूर्ण अंक से शुरू होकर, अवरोही क्रम में हैं) → (संख्या - सम) ˄ (निम्न अंक - सम) ˄ (उच्च अंक - विषम)

यदि ऐसी कई संख्याएँ हैं, तो सबसे बड़ी संख्या दर्शाएँ।

1. 13579
2. 97531
3. 24678
4. 15386

अंक संख्या 4 से शर्त पूरी होती है।

पहली दो संख्याएँ शर्त को पूरा नहीं करतीं क्योंकि सबसे निचला अंक विषम है। शर्तों का एक संयोजन गलत है यदि संयोजन का एक पद गलत है। तीसरे नंबर के लिए, उच्चतम अंक की शर्त पूरी नहीं हुई है। चौथे नंबर के लिए, संख्या के निम्न और उच्च अंक पर लगाई गई शर्तें पूरी होती हैं। संयोजन का पहला पद भी सत्य है, क्योंकि यदि इसका आधार गलत है तो निहितार्थ सत्य है, जो कि यहाँ मामला है।

समस्या 17: दो गवाहों ने निम्नलिखित गवाही दी:

पहला गवाह: यदि A दोषी है, तो B और भी अधिक दोषी है, और C निर्दोष है।

दूसरा गवाह: दो दोषी हैं. और बचे हुए लोगों में से एक निश्चित रूप से दोषी और दोषी है, लेकिन मैं यह नहीं कह सकता कि वास्तव में कौन है।

गवाही से ए, बी और सी के अपराध के बारे में क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है?

उत्तर: गवाही से यह पता चलता है कि ए और बी दोषी हैं, और सी निर्दोष है।

समाधान: बेशक, उत्तर सामान्य ज्ञान के आधार पर दिया जा सकता है। लेकिन आइए देखें कि इसे सख्ती से और औपचारिक रूप से कैसे किया जा सकता है।

सबसे पहली चीज़ जो करने की ज़रूरत है वह है बयानों को औपचारिक बनाना। आइए तीन तार्किक चर - ए, बी और सी का परिचय दें, जिनमें से प्रत्येक का मान सत्य (1) है यदि संबंधित संदिग्ध दोषी है। फिर पहले गवाह की गवाही सूत्र द्वारा दी जाती है:

ए → (बी ˄ ¬सी)

दूसरे गवाह की गवाही सूत्र द्वारा दी गई है:

ए ˄ ((बी ˄ ¬सी) ˅ (¬बी ˄ सी))

दोनों गवाहों की गवाही को सत्य माना जाता है और यह संबंधित सूत्रों के संयोजन का प्रतिनिधित्व करता है।

आइए इन रीडिंग के लिए एक सत्य तालिका बनाएं:

ए	बी	सी	एफ 1	एफ 2	एफ 1 ˄ एफ 2
0	0	0	1	0	0
0	0	1	1	0	0
0	1	0	1	0	0
0	1	1	1	0	0
1	0	0	0	0	0
1	0	1	0	1	0
1	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	0

सारांश साक्ष्य केवल एक मामले में सत्य है, जिससे स्पष्ट उत्तर मिलता है - ए और बी दोषी हैं, और सी निर्दोष है।

इस तालिका के विश्लेषण से यह भी पता चलता है कि दूसरे गवाह की गवाही अधिक जानकारीपूर्ण है। उसकी गवाही की सच्चाई से, केवल दो संभावित विकल्प मिलते हैं: ए और बी दोषी हैं, और सी निर्दोष है, या ए और सी दोषी हैं, और बी निर्दोष है। पहले गवाह की गवाही कम जानकारीपूर्ण है - उसकी गवाही के अनुरूप 5 अलग-अलग विकल्प हैं। दोनों गवाहों की गवाही मिलकर संदिग्धों के अपराध के बारे में स्पष्ट उत्तर देती है।

तार्किक समीकरण और समीकरणों की प्रणाली

मान लीजिए F(x 1, x 2, …x n) n चरों का एक तार्किक फलन है। तार्किक समीकरण इस प्रकार दिखता है:

एफ(एक्स 1, एक्स 2, …एक्स एन) = सी,

स्थिरांक C का मान 1 या 0 है।

एक तार्किक समीकरण में 0 से 2 n तक विभिन्न समाधान हो सकते हैं। यदि C, 1 के बराबर है, तो समाधान सत्य तालिका से चर के वे सभी सेट हैं जिनके लिए फ़ंक्शन F मान सत्य (1) लेता है। शेष सेट शून्य के बराबर C वाले समीकरण के समाधान हैं। आप हमेशा केवल निम्न प्रकार के समीकरणों पर विचार कर सकते हैं:

एफ(एक्स 1 , एक्स 2 , …एक्स एन) = 1

दरअसल, समीकरण दिया जाए:

एफ(एक्स 1 , एक्स 2 , …एक्स एन) = 0

इस मामले में, हम समतुल्य समीकरण पर जा सकते हैं:

¬F(x 1 , x 2 , …x n) = 1

K तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

एफ 1 (एक्स 1, एक्स 2, …एक्स एन) = 1

एफ 2 (एक्स 1, एक्स 2, …एक्स एन) = 1

एफ के (एक्स 1 , एक्स 2 , …एक्स एन) = 1

किसी सिस्टम का समाधान चरों का एक सेट होता है जिस पर सिस्टम के सभी समीकरण संतुष्ट होते हैं। तार्किक कार्यों के संदर्भ में, तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान प्राप्त करने के लिए, किसी को एक सेट ढूंढना चाहिए जिस पर तार्किक फ़ंक्शन Ф सत्य है, जो मूल कार्यों F के संयोजन का प्रतिनिधित्व करता है:

एफ = एफ 1 ˄ एफ 2 ˄ … एफ के

यदि चरों की संख्या छोटी है, उदाहरण के लिए, 5 से कम, तो फ़ंक्शन Ф के लिए एक सत्य तालिका बनाना मुश्किल नहीं है, जो हमें यह कहने की अनुमति देती है कि सिस्टम में कितने समाधान हैं और समाधान प्रदान करने वाले सेट कौन से हैं।

तार्किक समीकरणों की प्रणाली का समाधान खोजने पर कुछ यूएसई समस्याओं में, चर की संख्या 10 तक पहुंच जाती है। तब सत्य तालिका का निर्माण लगभग असंभव कार्य हो जाता है। समस्या के समाधान के लिए एक अलग दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। समीकरणों की एक मनमानी प्रणाली के लिए, गणना के अलावा कोई सामान्य विधि नहीं है जो ऐसी समस्याओं को हल करने की अनुमति देती है।

परीक्षा में प्रस्तावित समस्याओं में, समाधान आमतौर पर समीकरणों की प्रणाली की बारीकियों को ध्यान में रखने पर आधारित होता है। मैं दोहराता हूं, चर के एक सेट के लिए सभी विकल्पों को आज़माने के अलावा, समस्या को हल करने का कोई सामान्य तरीका नहीं है। समाधान सिस्टम की विशिष्टताओं के आधार पर बनाया जाना चाहिए। तर्क के ज्ञात नियमों का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली का प्रारंभिक सरलीकरण करना अक्सर उपयोगी होता है। इस समस्या के समाधान के लिए एक अन्य उपयोगी तकनीक इस प्रकार है। हमें सभी सेटों में रुचि नहीं है, बल्कि केवल उन सेटों में रुचि है जिन पर फ़ंक्शन Ф का मान 1 है। एक पूर्ण सत्य तालिका बनाने के बजाय, हम इसका एनालॉग - एक बाइनरी निर्णय वृक्ष बनाएंगे। इस वृक्ष की प्रत्येक शाखा एक समाधान से मेल खाती है और एक सेट निर्दिष्ट करती है जिस पर फ़ंक्शन Ф का मान 1 है। निर्णय वृक्ष में शाखाओं की संख्या समीकरणों की प्रणाली के समाधानों की संख्या से मेल खाती है।

मैं कई समस्याओं के उदाहरणों का उपयोग करके समझाऊंगा कि बाइनरी निर्णय वृक्ष क्या है और इसे कैसे बनाया जाता है।

समस्या 18

तार्किक चर x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो दो समीकरणों की प्रणाली को संतुष्ट करते हैं?

उत्तर: सिस्टम में 36 अलग-अलग समाधान हैं।

समाधान: समीकरणों की प्रणाली में दो समीकरण शामिल हैं। आइए 5 चरों के आधार पर पहले समीकरण के समाधानों की संख्या ज्ञात करें - x 1, x 2, ...x 5। पहले समीकरण को बदले में 5 समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में माना जा सकता है। जैसा कि दिखाया गया है, समीकरणों की प्रणाली वास्तव में तार्किक कार्यों के संयोजन का प्रतिनिधित्व करती है। इसका विपरीत भी सत्य है: स्थितियों के संयोजन को समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में माना जा सकता है।

आइए निहितार्थ (x1→ x2) के लिए एक निर्णय वृक्ष बनाएं - संयोजन का पहला पद, जिसे पहला समीकरण माना जा सकता है। इस पेड़ का चित्रमय प्रतिनिधित्व इस प्रकार दिखता है:

समीकरण में चरों की संख्या के अनुसार पेड़ में दो स्तर होते हैं। पहला स्तर पहले चर X 1 का वर्णन करता है। इस स्तर की दो शाखाएँ इस चर के संभावित मानों को दर्शाती हैं - 1 और 0. दूसरे स्तर पर, पेड़ की शाखाएँ चर X 2 के केवल उन संभावित मानों को दर्शाती हैं जिनके लिए समीकरण सत्य है। चूँकि समीकरण एक निहितार्थ निर्दिष्ट करता है, एक शाखा जिस पर X 1 का मान 1 है, आवश्यक है कि उस शाखा पर X 2 का मान 1 हो। एक शाखा जिस पर X 1 का मान 0 है, वह X 2 के मानों वाली दो शाखाएँ उत्पन्न करती है। 0 और 1 के बराबर निर्मित वृक्ष तीन समाधानों को परिभाषित करता है, जिस पर निहितार्थ X 1 → X 2 मान 1 लेता है। प्रत्येक शाखा पर, समीकरण का समाधान देते हुए, चर मानों का एक संबंधित सेट लिखा जाता है।

ये सेट हैं: ((1, 1), (0, 1), (0, 0))

आइए निम्नलिखित समीकरण, निम्नलिखित निहितार्थ X 2 → X 3 को जोड़कर निर्णय वृक्ष का निर्माण जारी रखें। हमारी समीकरण प्रणाली की विशिष्टता यह है कि प्रणाली का प्रत्येक नया समीकरण पिछले समीकरण से एक चर का उपयोग करता है, एक नया चर जोड़ता है। चूंकि वेरिएबल X 2 का मान पहले से ही पेड़ में है, तो सभी शाखाओं पर जहां वेरिएबल X 2 का मान 1 है, वेरिएबल X 3 का मान भी 1 होगा। ऐसी शाखाओं के लिए, पेड़ का निर्माण अगले स्तर तक जारी रहता है, लेकिन नई शाखाएँ प्रकट नहीं होती हैं। एकल शाखा जहां चर मूल पहला समीकरण:

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1
6 समाधान हैं. इस समीकरण के लिए संपूर्ण निर्णय वृक्ष इस प्रकार दिखता है:

हमारे सिस्टम का दूसरा समीकरण पहले के समान है:

(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1

अंतर केवल इतना है कि समीकरण Y चर का उपयोग करता है। इस समीकरण के भी 6 समाधान हैं। चूँकि चर X i के प्रत्येक समाधान को चर Y j के प्रत्येक समाधान के साथ जोड़ा जा सकता है, समाधानों की कुल संख्या 36 है।

कृपया ध्यान दें कि निर्मित निर्णय वृक्ष न केवल समाधानों की संख्या (शाखाओं की संख्या के अनुसार) देता है, बल्कि वृक्ष की प्रत्येक शाखा पर स्वयं लिखे गए समाधान भी देता है।

समस्या 19

तार्किक चर x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो नीचे सूचीबद्ध सभी शर्तों को पूरा करते हैं?

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1
(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1
(x1→ y1) = 1

यह कार्य पिछले कार्य का एक संशोधन है. अंतर यह है कि एक और समीकरण जोड़ा जाता है जो चर X और Y से संबंधित होता है।

समीकरण ​1. जब X 1 0 के बराबर होता है, तो Y 1 का कोई भी मान हो सकता है, 0 और 1 दोनों। इसलिए, X 1 के साथ 0 के बराबर प्रत्येक सेट, और ऐसे 5 सेट हैं, Y चर वाले सभी 6 सेटों से मेल खाते हैं। इसलिए, समाधानों की कुल संख्या 31 है।

समस्या 20

(¬X 1 ˅ X 2) ˄ (¬X 2 ˅ X 3) ˄ (¬X 3 ˅ X 4) ˄ (¬X 4 ˅

समाधान: बुनियादी तुल्यताओं को याद रखते हुए, हम अपना समीकरण इस प्रकार लिखते हैं:

(एक्स 1 → एक्स 2) ˄ (एक्स 2 → एक्स 3) ˄ (एक्स 3 → एक्स 4) ˄ (एक्स 4 → एक्स 5) ˄ (एक्स 5 → एक्स 1) = 1

निहितार्थों की चक्रीय श्रृंखला का अर्थ है कि चर समान हैं, इसलिए हमारा समीकरण समीकरण के बराबर है:

एक्स 1 ≡ एक्स 2 ≡ एक्स 3 ≡ एक्स 4 ≡ एक्स 5 = 1

इस समीकरण के दो समाधान हैं जब सभी X i या तो 1 या 0 हैं।

समस्या 21

(एक्स 1 → एक्स 2) ˄ (एक्स 2 → एक्स 3) ˄ (एक्स 3 → एक्स 4) ˄ (एक्स 4 → एक्स 2) ˄ (एक्स 4 → एक्स 5) = 1

समाधान: समस्या 20 की तरह, हम चक्रीय निहितार्थ से पहचान की ओर बढ़ते हैं, समीकरण को इस रूप में फिर से लिखते हैं:

(एक्स 1 → एक्स 2) ˄ (एक्स 2 ≡ एक्स 3 ≡ एक्स 4) ˄ (एक्स 4 → एक्स 5) = 1

आइए इस समीकरण के लिए एक निर्णय वृक्ष बनाएं:

समस्या 22

निम्नलिखित समीकरण प्रणाली के कितने समाधान हैं?

((एक्स 1 ≡एक्स 2) ˄ (एक्स 3 ≡एक्स 4)) ˅(¬(एक्स 1 ≡एक्स 2) ¬(एक्स 3 ≡एक्स 4)) = 0

((एक्स 3 ≡एक्स 4) ˄ (एक्स 5 ≡एक्स 6)) ˅(¬(एक्स 3 ≡एक्स 4) ¬(एक्स 5 ≡एक्स 6)) = 0

((एक्स 5 ≡एक्स 6) ˄ (एक्स 7 ≡एक्स 8)) ˅(¬(एक्स 5 ≡एक्स 6) ¬(एक्स 7 ≡एक्स 8)) = 0

((एक्स 7 ≡एक्स 8) ˄ (एक्स 9 ≡एक्स 10)) ˅(¬(एक्स 7 ≡एक्स 8) ¬(एक्स 9 ≡एक्स 10)) = 0

उत्तर: 64

समाधान: आइए चरों में निम्नलिखित परिवर्तन करके 10 चरों से 5 चरों की ओर बढ़ें:

वाई 1 = (एक्स 1 ≡ एक्स 2); वाई 2 = (एक्स 3 ≡ एक्स 4); वाई 3 = (एक्स 5 ≡ एक्स 6); वाई 4 = (एक्स 7 ≡ एक्स 8); वाई 5 = (एक्स 9 ≡ एक्स 10);

तब पहला समीकरण इस प्रकार बनेगा:

(Y 1 ˄ Y 2) ˅ (¬Y 1 ˄ ¬Y 2) = 0

समीकरण को इस प्रकार लिखकर सरल बनाया जा सकता है:

(वाई 1 ≡ वाई 2) = 0

पारंपरिक रूप की ओर बढ़ते हुए, हम सिस्टम को सरलीकरण के बाद इस रूप में लिखते हैं:

¬(Y 1 ≡ Y 2) = 1

¬(Y 2 ≡ Y 3) = 1

¬(Y 3 ≡ Y 4) = 1

¬(Y 4 ≡ Y 5) = 1

इस प्रणाली के लिए निर्णय वृक्ष सरल है और इसमें वैकल्पिक चर मानों वाली दो शाखाएँ हैं:

मूल X चर पर लौटते हुए, ध्यान दें कि Y चर में प्रत्येक मान के लिए X चर में 2 मान हैं, इसलिए Y चर में प्रत्येक समाधान X चर में 2 5 समाधान उत्पन्न करता है। 5 समाधान, अतः समाधानों की कुल संख्या 64 है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, समीकरणों की प्रणाली को हल करने की प्रत्येक समस्या के लिए अपने स्वयं के दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। समीकरणों को सरल बनाने के लिए समतुल्य परिवर्तन करना एक सामान्य तकनीक है। निर्णय वृक्षों का निर्माण करना एक सामान्य तकनीक है। उपयोग किया गया दृष्टिकोण आंशिक रूप से एक सत्य तालिका के निर्माण की याद दिलाता है, जिसकी ख़ासियत यह है कि चर के संभावित मानों के सभी सेटों का निर्माण नहीं किया जाता है, बल्कि केवल उन पर किया जाता है जिन पर फ़ंक्शन मान 1 (सत्य) लेता है। अक्सर प्रस्तावित समस्याओं में पूर्ण निर्णय वृक्ष बनाने की आवश्यकता नहीं होती है, क्योंकि प्रारंभिक चरण में प्रत्येक बाद के स्तर पर नई शाखाओं की उपस्थिति का पैटर्न स्थापित करना संभव है, जैसा कि किया गया था, उदाहरण के लिए, समस्या 18 में .

सामान्य तौर पर, तार्किक समीकरणों की प्रणाली का समाधान खोजने से जुड़ी समस्याएं अच्छे गणितीय अभ्यास हैं।

यदि समस्या को मैन्युअल रूप से हल करना मुश्किल है, तो आप समीकरणों और समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए एक उपयुक्त प्रोग्राम लिखकर कंप्यूटर को समाधान सौंप सकते हैं।

ऐसा प्रोग्राम लिखना कठिन नहीं है। ऐसा कार्यक्रम एकीकृत राज्य परीक्षा में पेश किए गए सभी कार्यों को आसानी से पूरा कर देगा।

अजीब बात है, तार्किक समीकरणों की प्रणालियों का समाधान खोजने का कार्य कंप्यूटर के लिए कठिन है, और यह पता चला है कि कंप्यूटर की अपनी सीमाएँ हैं। जहां वेरिएबल्स की संख्या 20-30 है, वहां कंप्यूटर समस्याओं से आसानी से निपट सकता है, लेकिन बड़े आकार की समस्याओं पर यह लंबे समय तक सोचना शुरू कर देगा। तथ्य यह है कि फ़ंक्शन 2 एन, जो सेटों की संख्या निर्दिष्ट करता है, एक घातांक है जो एन बढ़ने के साथ तेजी से बढ़ता है। इतना तेज़ कि एक साधारण पर्सनल कंप्यूटर एक दिन में 40 वेरिएबल वाले कार्य का सामना नहीं कर सकता।

तार्किक समीकरणों को हल करने के लिए C# भाषा में प्रोग्राम

तार्किक समीकरणों को हल करने के लिए एक प्रोग्राम लिखना कई कारणों से उपयोगी है, यदि केवल इसलिए कि आप इसका उपयोग एकीकृत राज्य परीक्षा परीक्षण समस्याओं के अपने स्वयं के समाधान की शुद्धता की जांच करने के लिए कर सकते हैं। दूसरा कारण यह है कि ऐसा प्रोग्राम प्रोग्रामिंग कार्य का एक उत्कृष्ट उदाहरण है जो एकीकृत राज्य परीक्षा में श्रेणी सी कार्यों की आवश्यकताओं को पूरा करता है।

एक प्रोग्राम बनाने का विचार सरल है - यह परिवर्तनीय मानों के सभी संभावित सेटों की संपूर्ण खोज पर आधारित है। चूँकि किसी दिए गए तार्किक समीकरण या समीकरणों की प्रणाली के लिए चर n की संख्या ज्ञात है, तो सेटों की संख्या भी ज्ञात है - 2 n जिन्हें हल करने की आवश्यकता है। C# भाषा के बुनियादी कार्यों - निषेध, विच्छेदन, संयोजन और पहचान का उपयोग करके, एक प्रोग्राम लिखना मुश्किल नहीं है, जो दिए गए चर के सेट के लिए, तार्किक समीकरण या समीकरणों की प्रणाली के अनुरूप तार्किक फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करता है। .

ऐसे प्रोग्राम में, आपको सेट की संख्या के आधार पर एक लूप बनाना होगा, लूप के शरीर में, सेट की संख्या का उपयोग करके, सेट स्वयं बनाएं, इस सेट पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें, और यदि यह मान 1 है, तो सेट समीकरण का समाधान देता है।

कार्यक्रम को लागू करते समय जो एकमात्र कठिनाई उत्पन्न होती है वह निर्धारित संख्या के आधार पर परिवर्तनीय मानों के सेट को उत्पन्न करने के कार्य से संबंधित होती है। इस समस्या की ख़ूबसूरती यह है कि यह कठिन प्रतीत होने वाला कार्य वास्तव में एक साधारण समस्या में बदल जाता है जो पहले ही कई बार उत्पन्न हो चुकी है। वास्तव में, यह समझने के लिए पर्याप्त है कि संख्या i के अनुरूप चर मानों का सेट, जिसमें शून्य और एक शामिल हैं, संख्या i के द्विआधारी प्रतिनिधित्व का प्रतिनिधित्व करता है। तो सेट संख्या द्वारा परिवर्तनीय मानों का एक सेट प्राप्त करने का जटिल कार्य किसी संख्या को बाइनरी में परिवर्तित करने के परिचित कार्य में कम हो जाता है।

C# में एक फ़ंक्शन इस तरह दिखता है जो हमारी समस्या का समाधान करता है:

///

/// समाधानों की संख्या गिनने का कार्यक्रम

/// तार्किक समीकरण (समीकरणों की प्रणाली)

///

///

/// तार्किक कार्य - विधि,

/// जिसका हस्ताक्षर डीएफ प्रतिनिधि द्वारा निर्दिष्ट किया गया है

///

/// चरों की संख्या

/// समाधानों की संख्या

स्टेटिक इंट सॉल्वइक्वेशंस (डीएफ फन, इंट एन)

बूल सेट = नया बूल[एन];

int m = (int)Math.Pow(2, n); // सेट की संख्या

पूर्णांक पी = 0, क्यू = 0, के = 0;

// सेट की संख्या के आधार पर पूर्ण खोज

(int i = 0; i के लिए)< m; i++)

//अगले सेट का गठन - सेट,

// संख्या i के द्विआधारी प्रतिनिधित्व द्वारा निर्दिष्ट

(int j = 0; j के लिए)< n; j++)

k = (int)Math.Pow(2, j);

// सेट पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें

कार्यक्रम को समझने के लिए, मुझे आशा है कि कार्यक्रम के विचार और उसके पाठ में टिप्पणियों की व्याख्या पर्याप्त है। मैं केवल दिए गए फ़ंक्शन के शीर्षक को समझाने पर ध्यान केंद्रित करूंगा। SolveEqations फ़ंक्शन में दो इनपुट पैरामीटर हैं। मज़ेदार पैरामीटर समीकरण या हल किए जा रहे समीकरणों की प्रणाली के अनुरूप एक तार्किक फ़ंक्शन निर्दिष्ट करता है। n पैरामीटर मज़ेदार चरों की संख्या निर्दिष्ट करता है। परिणामस्वरूप, सॉल्वइक्वेशंस फ़ंक्शन तार्किक फ़ंक्शन के समाधानों की संख्या लौटाता है, अर्थात, उन सेटों की संख्या जिन पर फ़ंक्शन सत्य का मूल्यांकन करता है।

स्कूली बच्चों के लिए यह आम बात है जब किसी फ़ंक्शन F(x) में एक इनपुट पैरामीटर x होता है जो अंकगणित, स्ट्रिंग या तार्किक प्रकार का एक चर होता है। हमारे मामले में, अधिक शक्तिशाली डिज़ाइन का उपयोग किया जाता है। सॉल्वइक्वेशंस फ़ंक्शन उच्च-क्रम वाले फ़ंक्शंस को संदर्भित करता है - प्रकार F(f) के फ़ंक्शंस, जिनके पैरामीटर न केवल सरल चर हो सकते हैं, बल्कि फ़ंक्शंस भी हो सकते हैं।

सॉल्वइक्वेशंस फ़ंक्शन के पैरामीटर के रूप में पारित किए जा सकने वाले फ़ंक्शंस का वर्ग निम्नानुसार निर्दिष्ट किया गया है:

प्रतिनिधि बूल डीएफ(बूल वर्);

यह वर्ग उन सभी कार्यों का स्वामी है जो एक पैरामीटर के रूप में vars सरणी द्वारा निर्दिष्ट तार्किक चर के मानों के एक सेट को पारित करते हैं। परिणाम एक बूलियन मान है जो इस सेट पर फ़ंक्शन के मान का प्रतिनिधित्व करता है।

अंत में, यहां एक प्रोग्राम है जो तार्किक समीकरणों की कई प्रणालियों को हल करने के लिए सॉल्वइक्वेशंस फ़ंक्शन का उपयोग करता है। SolveEqations फ़ंक्शन नीचे दिए गए प्रोग्रामकॉमन वर्ग का हिस्सा है:

क्लास प्रोग्रामकॉमन

प्रतिनिधि बूल डीएफ(बूल वर्);

स्थिर शून्य मुख्य (स्ट्रिंग आर्ग)

कंसोल.राइटलाइन ("और फ़ंक्शंस -" +

समीकरणों को हल करें(FunAnd, 2));

कंसोल.राइटलाइन ("फ़ंक्शन में 51 समाधान हैं -" +

समीकरणों को हल करें(Fun51, 5));

कंसोल.राइटलाइन ("फ़ंक्शन में 53 समाधान हैं -" +

समीकरणों को हल करें(Fun53, 10));

स्थैतिक बूल फ़नएंड(बूल संस्करण)

वापसी vars && vars;

स्टेटिक बूल फ़न51(बूल वर्ज़)

f = f && (!vars || vars);

f = f && (!vars || vars);

f = f && (!vars || vars);

f = f && (!vars || vars);

f = f && (!vars || vars);

स्टेटिक बूल फ़न53(बूल संस्करण)

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && (!((vars == vars) || (vars == vars)));

इस कार्यक्रम के समाधान परिणाम इस प्रकार हैं:

स्वतंत्र कार्य के लिए 10 कार्य

1. तीन कार्यों में से कौन सा समतुल्य है:
   1. (एक्स → वाई) ¬Y
   2. ¬(X ˅ ¬Y) ˄ (X → ¬Y)
   3. ¬X ˄Y
2. सत्य तालिका का एक अंश दिया गया है:

एक्स 1	एक्स 2	एक्स 3	एक्स 4	एफ
1	0	0	1	1
0	1	1	1	1
1	0	1	0	0

यह टुकड़ा तीन कार्यों में से किससे मेल खाता है:

1. (एक्स 1 ¬एक्स 2) ˄ (एक्स 3 → एक्स 4)
2. (एक्स 1 → एक्स 3) ˄ एक्स 2 ˅ एक्स 4
3. एक्स 1 ˄ एक्स 2 ˅ (एक्स 3 → (एक्स 1 ˅ एक्स 4))
4. जूरी में तीन लोग शामिल हैं. निर्णय तब किया जाता है जब जूरी का अध्यक्ष इसके लिए वोट करता है, जिसे जूरी के कम से कम एक सदस्य का समर्थन प्राप्त होता है। अन्यथा, कोई निर्णय नहीं लिया जाता. एक तार्किक कार्य का निर्माण करें जो निर्णय लेने की प्रक्रिया को औपचारिक बनाता है।
5. यदि चार सिक्के उछालने पर तीन बार चित आता है तो X, Y पर जीत जाता है। एक तार्किक फ़ंक्शन को परिभाषित करें जो एक्स के भुगतान का वर्णन करता है।
6. एक वाक्य में शब्दों को एक से शुरू करके क्रमांकित किया जाता है। यदि निम्नलिखित नियम पूरे होते हैं तो एक वाक्य को सही ढंग से निर्मित माना जाता है:
   1. यदि एक सम संख्या वाला शब्द एक स्वर के साथ समाप्त होता है, तो अगला शब्द, यदि वह मौजूद है, तो एक स्वर से शुरू होना चाहिए।
   2. यदि एक विषम संख्या वाला शब्द एक व्यंजन के साथ समाप्त होता है, तो अगला शब्द, यदि वह मौजूद है, तो एक व्यंजन के साथ शुरू होना चाहिए और एक स्वर के साथ समाप्त होना चाहिए।
      निम्नलिखित में से कौन सा वाक्य सही ढंग से बना है:
   3. माँ ने माशा को साबुन से धोया।
   4. एक नेता हमेशा एक आदर्श होता है.
   5. सत्य अच्छा है, लेकिन खुशी बेहतर है.
7. समीकरण के कितने हल हैं:
   (ए ˄ ¬ बी) ˅ (¬ए ˄ बी) → (सी ˄ डी) = 1
8. समीकरण के सभी समाधान सूचीबद्ध करें:
   (ए → बी) → सी = 0
9. निम्नलिखित समीकरण प्रणाली के कितने समाधान हैं:
   एक्स 0 → एक्स 1 ˄ एक्स 1 → एक्स 2 = 1
   एक्स 2 → एक्स 3 ˄ एक्स 3 → एक्स 4 = 1
   एक्स 5 → एक्स 6 ˄ एक्स 6 → एक्स 7 = 1
   एक्स 7 → एक्स 8 ˄ एक्स 8 → एक्स 9 = 1
   एक्स 0 → एक्स 5 = 1
10. समीकरण के कितने हल हैं:
    ((((एक्स 0 → एक्स 1) → एक्स 2) → एक्स 3) →एक्स 4) →एक्स 5 = 1

समस्याओं के उत्तर:

1. फलन b और c समतुल्य हैं।
2. टुकड़ा फ़ंक्शन बी से मेल खाता है।
3. जब जूरी का अध्यक्ष निर्णय के पक्ष में वोट करता है तो तार्किक चर P को मान 1 लेने दें। वेरिएबल एम 1 और एम 2 जूरी सदस्यों की राय का प्रतिनिधित्व करते हैं। सकारात्मक निर्णय लेने को निर्दिष्ट करने वाला तार्किक कार्य इस प्रकार लिखा जा सकता है:
   पी ˄ (एम 1 ˅ एम 2)
4. मान लीजिए तार्किक चर P i का मान 1 है जब i-वां सिक्का उछालकर सिर पर गिरता है। तार्किक फ़ंक्शन जो भुगतान एक्स को निर्दिष्ट करता है उसे निम्नानुसार लिखा जा सकता है:
   ¬((¬P 1 ˄ (¬P 2 ˅ ¬P 3 ˅ ¬P 4)) ˅
   (¬P 2 ˄ (¬P 3 ˅ ¬P 4)) ˅
   (¬P 3 ˄ ¬P 4))
5. वाक्य बी.
6. समीकरण के 3 समाधान हैं: (a = 1; b = 1; c = 0); (ए = 0; बी = 0; सी = 0); (ए = 0; बी = 1; सी = 0)

समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। इनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक ​​कि खेलों में भी किया जाता है। प्राचीन काल में मनुष्य ने समीकरणों का प्रयोग किया और तब से इनका प्रयोग बढ़ता ही गया। गणित में, कुछ निश्चित समस्याएं हैं जो प्रस्तावात्मक तर्क से संबंधित हैं। इस प्रकार के समीकरण को हल करने के लिए, आपके पास एक निश्चित मात्रा में ज्ञान होना आवश्यक है: प्रस्तावात्मक तर्क के नियमों का ज्ञान, 1 या 2 चर के तार्किक कार्यों की सत्य तालिकाओं का ज्ञान, तार्किक अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करने के तरीके। इसके अलावा, आपको तार्किक संचालन के निम्नलिखित गुणों को जानना होगा: संयोजन, विच्छेदन, व्युत्क्रम, निहितार्थ और तुल्यता।

\चर - \ का कोई भी तार्किक कार्य सत्य तालिका द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है।

आइए कई तार्किक समीकरण हल करें:

\[\rightharpoondown X1\vee X2=1 \]

\[\rightharpoondown X2\vee X3=1\]

\[\rightharpoondown X3\vee X4=1 \]

\[\rightharpoondown X9\vee X10=1\]

आइए समाधान को \[X1\] से शुरू करें और निर्धारित करें कि यह चर कौन से मान ले सकता है: 0 और 1. इसके बाद, हम उपरोक्त प्रत्येक मान पर विचार करेंगे और देखेंगे कि \[X2.\] क्या हो सकता है।

जैसा कि तालिका से देखा जा सकता है, हमारे तार्किक समीकरण के 11 समाधान हैं।

मैं तर्क समीकरण को ऑनलाइन कहां हल कर सकता हूं?

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मान लीजिए n चरों का एक तार्किक फलन है। तार्किक समीकरण इस प्रकार दिखता है:

स्थिरांक C का मान 1 या 0 है।

एक तार्किक समीकरण में 0 से लेकर विभिन्न समाधान हो सकते हैं। यदि C, 1 के बराबर है, तो समाधान सत्य तालिका से चर के वे सभी सेट हैं जिनके लिए फ़ंक्शन F मान सत्य (1) लेता है। शेष सेट शून्य के बराबर C वाले समीकरण के समाधान हैं। आप हमेशा केवल निम्न प्रकार के समीकरणों पर विचार कर सकते हैं:

दरअसल, समीकरण दिया जाए:

इस मामले में, हम समतुल्य समीकरण पर जा सकते हैं:

K तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

किसी सिस्टम का समाधान चरों का एक सेट होता है जिस पर सिस्टम के सभी समीकरण संतुष्ट होते हैं। तार्किक कार्यों के संदर्भ में, तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान प्राप्त करने के लिए, किसी को एक सेट ढूंढना चाहिए जिस पर तार्किक फ़ंक्शन Ф सत्य है, जो मूल कार्यों के संयोजन का प्रतिनिधित्व करता है:

यदि चरों की संख्या छोटी है, उदाहरण के लिए, 5 से कम, तो फ़ंक्शन के लिए एक सत्य तालिका बनाना मुश्किल नहीं है, जो हमें यह कहने की अनुमति देती है कि सिस्टम में कितने समाधान हैं और कौन से सेट हैं जो समाधान प्रदान करते हैं।

तार्किक समीकरणों की प्रणाली का समाधान खोजने पर कुछ यूएसई समस्याओं में, चर की संख्या 10 तक पहुंच जाती है। तब सत्य तालिका का निर्माण लगभग असंभव कार्य हो जाता है। समस्या के समाधान के लिए एक अलग दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। समीकरणों की एक मनमानी प्रणाली के लिए, गणना के अलावा कोई सामान्य विधि नहीं है जो ऐसी समस्याओं को हल करने की अनुमति देती है।

परीक्षा में प्रस्तावित समस्याओं में, समाधान आमतौर पर समीकरणों की प्रणाली की बारीकियों को ध्यान में रखने पर आधारित होता है। मैं दोहराता हूं, चर के एक सेट के लिए सभी विकल्पों को आज़माने के अलावा, समस्या को हल करने का कोई सामान्य तरीका नहीं है। समाधान सिस्टम की विशिष्टताओं के आधार पर बनाया जाना चाहिए। तर्क के ज्ञात नियमों का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली का प्रारंभिक सरलीकरण करना अक्सर उपयोगी होता है। इस समस्या के समाधान के लिए एक अन्य उपयोगी तकनीक इस प्रकार है। हम सभी सेटों में रुचि नहीं रखते हैं, बल्कि केवल उन सेटों में रुचि रखते हैं जिन पर फ़ंक्शन का मान 1 है। एक पूर्ण सत्य तालिका बनाने के बजाय, हम इसका एनालॉग - एक बाइनरी निर्णय वृक्ष बनाएंगे। इस वृक्ष की प्रत्येक शाखा एक समाधान से मेल खाती है और एक सेट निर्दिष्ट करती है जिस पर फ़ंक्शन का मान 1 है। निर्णय वृक्ष में शाखाओं की संख्या समीकरणों की प्रणाली के समाधानों की संख्या से मेल खाती है।

मैं कई समस्याओं के उदाहरणों का उपयोग करके समझाऊंगा कि बाइनरी निर्णय वृक्ष क्या है और इसे कैसे बनाया जाता है।

समस्या 18

तार्किक चर x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो दो समीकरणों की प्रणाली को संतुष्ट करते हैं?

उत्तर: सिस्टम में 36 अलग-अलग समाधान हैं।

समाधान: समीकरणों की प्रणाली में दो समीकरण शामिल हैं। आइए 5 चरों के आधार पर पहले समीकरण के समाधानों की संख्या ज्ञात करें -। पहले समीकरण को बदले में 5 समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में माना जा सकता है। जैसा कि दिखाया गया है, समीकरणों की प्रणाली वास्तव में तार्किक कार्यों के संयोजन का प्रतिनिधित्व करती है। विपरीत कथन भी सत्य है - स्थितियों के संयोजन को समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में माना जा सकता है।

आइए निहितार्थ () के लिए एक निर्णय वृक्ष बनाएं - संयोजन का पहला पद, जिसे पहला समीकरण माना जा सकता है। इस पेड़ का चित्रमय प्रतिनिधित्व इस प्रकार दिखता है

समीकरण में चरों की संख्या के अनुसार पेड़ में दो स्तर होते हैं। पहला स्तर पहले चर का वर्णन करता है। इस स्तर की दो शाखाएँ इस चर के संभावित मानों को दर्शाती हैं - 1 और 0. दूसरे स्तर पर, पेड़ की शाखाएँ चर के केवल उन संभावित मानों को दर्शाती हैं जिनके लिए समीकरण सत्य का मूल्यांकन करता है। चूँकि समीकरण एक निहितार्थ निर्दिष्ट करता है, एक शाखा जिस पर मान 1 है, के लिए आवश्यक है कि इस शाखा पर 1 का मान हो। एक शाखा जिस पर मान 0 है वह 0 और 1 के बराबर मान वाली दो शाखाएँ उत्पन्न करती है। पेड़ तीन समाधान निर्दिष्ट करता है, जिनमें से निहितार्थ मान 1 लेता है। प्रत्येक शाखा पर, समीकरण का समाधान देते हुए, चर मानों का एक संबंधित सेट लिखा जाता है।

ये सेट हैं: ((1, 1), (0, 1), (0, 0))

आइए निम्नलिखित समीकरण, निम्नलिखित निहितार्थ को जोड़कर निर्णय वृक्ष का निर्माण जारी रखें। हमारी समीकरण प्रणाली की विशिष्टता यह है कि प्रणाली का प्रत्येक नया समीकरण पिछले समीकरण से एक चर का उपयोग करता है, एक नया चर जोड़ता है। चूँकि वेरिएबल का मान पहले से ही ट्री में है, तो सभी शाखाओं पर जहाँ वेरिएबल का मान 1 है, वेरिएबल का मान भी 1 होगा। ऐसी शाखाओं के लिए, ट्री का निर्माण अगले स्तर तक जारी रहता है, लेकिन कोई नई शाखा नहीं दिखती. एक एकल शाखा जहां एक चर का मान 0 है, दो शाखाओं में विभाजित होगी जहां चर को 0 और 1 के मान प्राप्त होंगे। इस प्रकार, एक नए समीकरण का प्रत्येक जोड़, इसकी विशिष्टता को देखते हुए, एक समाधान जोड़ता है। मूल पहला समीकरण:

6 समाधान हैं. इस समीकरण के लिए संपूर्ण निर्णय वृक्ष इस प्रकार दिखता है:

हमारे सिस्टम का दूसरा समीकरण पहले के समान है:

अंतर केवल इतना है कि समीकरण Y चर का उपयोग करता है। इस समीकरण के भी 6 समाधान हैं। चूँकि प्रत्येक परिवर्तनशील समाधान को प्रत्येक परिवर्तनशील समाधान के साथ जोड़ा जा सकता है, समाधानों की कुल संख्या 36 है।

कृपया ध्यान दें कि निर्मित निर्णय वृक्ष न केवल समाधानों की संख्या (शाखाओं की संख्या के अनुसार) देता है, बल्कि वृक्ष की प्रत्येक शाखा पर स्वयं लिखे गए समाधान भी देता है।

समस्या 19

तार्किक चर x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो नीचे सूचीबद्ध सभी शर्तों को पूरा करते हैं?

यह कार्य पिछले कार्य का एक संशोधन है. अंतर यह है कि एक और समीकरण जोड़ा जाता है जो चर X और Y से संबंधित होता है।

समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि जब इसका मान 1 है (ऐसा एक समाधान मौजूद है), तो इसका मान 1 है। इस प्रकार, एक सेट है जिस पर और 1 का मान है। जब 0 के बराबर है, तो यह हो सकता है 0 और 1 दोनों का कोई भी मान है। इसलिए, 0 के बराबर प्रत्येक सेट, और ऐसे 5 सेट हैं, वेरिएबल Y वाले सभी 6 सेटों से मेल खाते हैं। इसलिए, समाधान की कुल संख्या 31 है।

समस्या 20

समाधान: बुनियादी तुल्यताओं को याद रखते हुए, हम अपना समीकरण इस प्रकार लिखते हैं:

निहितार्थों की चक्रीय श्रृंखला का अर्थ है कि चर समान हैं, इसलिए हमारा समीकरण समीकरण के बराबर है:

इस समीकरण के दो समाधान हैं जब सभी 1 या 0 हों।

समस्या 21

समीकरण के कितने हल हैं:

समाधान: समस्या 20 की तरह, हम चक्रीय निहितार्थ से पहचान की ओर बढ़ते हैं, समीकरण को इस रूप में फिर से लिखते हैं:

आइए इस समीकरण के लिए एक निर्णय वृक्ष बनाएं:

समस्या 22

निम्नलिखित समीकरण प्रणाली के कितने समाधान हैं?

J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M ∧ (N ∨ ¬N) = 0, जहां J, K, L, M, N तार्किक चर हैं?

समाधान।

इसलिए, अभिव्यक्ति (N ∨ ¬N) किसी भी N के लिए सत्य है

J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M = 0.

आइए तार्किक समीकरण के दोनों पक्षों पर निषेध लागू करें और डी मॉर्गन के नियम ¬ (ए ∧ बी) = ¬ ए ∨ ¬ बी का उपयोग करें। हमें ¬J ∨ K ∨ ¬L ∨ M = 1 मिलता है।

एक तार्किक योग 1 के बराबर होता है यदि इसका कम से कम एक घटक कथन 1 के बराबर है। इसलिए, परिणामी समीकरण तार्किक चर के किसी भी संयोजन से संतुष्ट होता है, सिवाय उस स्थिति के जब समीकरण में शामिल सभी मात्राएँ 0 के बराबर हों। 4 चर या तो 1 या 0 के बराबर हो सकते हैं, इसलिए सभी संभावित संयोजन 2·2·2·2 = 16 हैं। इसलिए, समीकरण में 16 −1 = 15 समाधान हैं।

यह ध्यान रखना बाकी है कि पाए गए 15 समाधान तार्किक चर एन के दो संभावित मानों में से किसी एक के अनुरूप हैं, इसलिए मूल समीकरण में 30 समाधान हैं।

उत्तर: 30

समीकरण के कितने भिन्न समाधान हैं?

((जे → के) → (एम ∧ एन ∧ एल)) ∧ ((जे ∧ ¬K) → ¬ (एम ∧ एन ∧ एल)) ∧ (एम → जे) = 1

जहाँ J, K, L, M, N तार्किक चर हैं?

उत्तर में J, K, L, M और N के मानों के सभी विभिन्न सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है जिनके लिए यह समानता मान्य है। उत्तर के रूप में, आपको ऐसे सेटों की संख्या बतानी होगी।

समाधान।

हम सूत्र A → B = ¬A ∨ B और ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B सूत्र का उपयोग करते हैं

आइए पहले उपसूत्र पर विचार करें:

(जे → के) → (एम ∧ एन ∧ एल) = ¬(¬जे ∨ के) ∨ (एम ∧ एन ∧ एल) = (जे ∧ ¬K) ∨ (एम ∧ एन ∧ एल)

आइए दूसरे उपसूत्र पर विचार करें

(J ∧ ¬K) → ¬(M ∧ N ∧ L) = ¬(J ∧ ¬K) ∨ ¬(M ∧ N ∧ L) = (¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L

आइये तीसरे उपसूत्र पर विचार करें

1) एम → जे = 1 इसलिए,

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (1 ∧ N ∧ L) = ¬K ∨ N ∧ L;

(0 ∨ K) ∨ 0 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ ¬N ∨ ¬L;

आइए गठबंधन करें:

¬K ∨ N ∧ L ∧ K ∨ ¬N ∨ ¬L = 0 ∨ L ∨ 0 ∨ ¬L = L ∨ ¬L = 1 इसलिए 4 समाधान।

(जे ∧ ¬K) ∨ (एम ∧ एन ∧ एल) = (1 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ एन ∧ एल) = ¬K;

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (0 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L

आइए गठबंधन करें:

K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L ∧ ¬K = 1 ∨ ¬N ∨ ¬L इसलिए 4 समाधान।

सी) एम = 0 जे = 0.

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (0 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = 0.

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (1 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L।

उत्तर: 4 + 4 = 8.

उत्तर: 8

समीकरण के कितने भिन्न समाधान हैं?

((के ∨ एल) → (एल ∧ एम ∧ एन)) = 0

जहां K, L, M, N तार्किक चर हैं? उत्तर को K, L, M और N के मानों के सभी विभिन्न सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है जिनके लिए यह समानता मान्य है। उत्तर के रूप में आपको ऐसे सेटों की संख्या बतानी होगी।

समाधान।

आइए संक्रियाओं के लिए सरल संकेतन का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें:

((के + एल) → (एल एम एन)) = 0

1) "निहितार्थ" ऑपरेशन की सत्य तालिका से (पहली समस्या देखें) यह इस प्रकार है कि यह समानता सत्य है यदि और केवल यदि एक ही समय में

के + एल = 1 और एल एम एन = 0

2) पहले समीकरण से यह पता चलता है कि कम से कम एक चर, K या L, 1 के बराबर है (या दोनों एक साथ); तो आइए तीन मामलों पर विचार करें

3) यदि K = 1 और L = 0, तो किसी भी M और N के लिए दूसरी समानता संतुष्ट है; चूँकि दो बूलियन वेरिएबल्स (00, 01, 10 और 11) के 4 संयोजन हैं, हमारे पास 4 अलग-अलग समाधान हैं

4) यदि K = 1 और L = 1, तो दूसरी समानता M · ​​N = 0 के लिए मान्य है; ऐसे 3 संयोजन हैं (00, 01 और 10), हमारे पास 3 और समाधान हैं

5) यदि K = 0, तो L = 1 (पहले समीकरण से); इस मामले में, दूसरी समानता तब संतुष्ट होती है जब M · N = 0; ऐसे 3 संयोजन हैं (00, 01 और 10), हमारे पास 3 और समाधान हैं

6) कुल मिलाकर हमें 4 + 3 + 3 = 10 समाधान मिलते हैं।

उत्तर: 10

समीकरण के कितने भिन्न समाधान हैं?

(के ∧ एल) ∨ (एम ∧ एन) = 1

समाधान।

यह अभिव्यक्ति तीन मामलों में सत्य है, जब (K ∧ L) और (M ∧ N) क्रमशः 01, 11, 10 के बराबर हैं।

1) "01" के ∧ एल = 0; एम ∧ एन = 1, => एम, एन 1 के बराबर हैं, और के और एल एक साथ 1 को छोड़कर कुछ भी हैं। इसलिए, 3 समाधान हैं।

2) "11" के ∧ एल = 1; एम ∧ एन = 1. => 1 समाधान.

3) "10" के ∧ एल = 1; एम ∧ एन = 0. => 3 समाधान।

उत्तर: 7.

उत्तर: 7

समीकरण के कितने भिन्न समाधान हैं?

(एक्स ∧ वाई ∨ जेड) ​​→ (जेड ∨ पी) = 0

जहां X, Y, Z, P तार्किक चर हैं? उत्तर में मूल्यों के उन सभी अलग-अलग सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है जिनके लिए यह समानता रखती है। उत्तर के रूप में, आपको केवल ऐसे सेटों की संख्या बतानी होगी।

समाधान।

(X ∧ Y ∨ Z) ​​​​→ (Z ∨ P) = 0 =>

¬(X ∧ Y ∨ Z) ​​​​∨ (Z ∨ P) = 0;

(¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;

तार्किक OR केवल एक मामले में गलत है: जब दोनों अभिव्यक्तियाँ गलत हों।

इस तरह,

(जेड ∨ पी) = 0 => जेड = 0, पी = 0।

¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z = 0 => ¬X ∨ ¬Y ∧ 1 = 0 =>

¬X ∨ ¬Y = 0 => X = 1; वाई = 1.

इसलिए, समीकरण का केवल एक ही समाधान है।

उत्तर 1

समीकरण के कितने भिन्न समाधान हैं?

(के ∨ एल) ∧ (एम ∨ एन) = 1

जहां K, L, M, N तार्किक चर हैं? उत्तर में K, L, M और N के मानों के सभी विभिन्न सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है जिनके लिए यह समानता मान्य है। उत्तर के रूप में, आपको केवल ऐसे सेटों की संख्या बतानी होगी।

समाधान।

तार्किक और केवल एक ही स्थिति में सत्य है: जब सभी भाव सत्य हों।

के ∨ एल = 1, एम ∨ एन = 1.

प्रत्येक समीकरण 3 समाधान देता है।

समीकरण A ∧ B = 1 पर विचार करें, यदि A और B दोनों तीन-तीन मामलों में सही मान लेते हैं, तो कुल मिलाकर समीकरण में 9 समाधान हैं।

अतः उत्तर 9 है।

उत्तर: 9

समीकरण के कितने भिन्न समाधान हैं?

((ए → बी)∧ सी) ∨ (डी ∧ ¬D)= 1,

जहां A, B, C, D तार्किक चर हैं?

उत्तर में मान ए, बी, सी, डी के सभी अलग-अलग सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है जिनके लिए यह समानता है। उत्तर के रूप में, आपको ऐसे सेटों की संख्या बतानी होगी।

समाधान।

तार्किक "OR" सत्य है जब कम से कम एक कथन सत्य है।

(D ∧ ¬D)= किसी भी D के लिए 0.

इस तरह,

(ए → बी)∧ सी) = 1 => सी = 1; A → B = 1 => ¬ A ∨ B = 1, जो हमें प्रत्येक D के लिए 3 संभावित समाधान देता है।

(D ∧ ¬ D)= किसी भी D के लिए 0, जो हमें दो समाधान देता है (D = 1, D = 0 के लिए)।

इसलिए: कुल समाधान 2*3 = 6.

कुल 6 समाधान.

उत्तर: 6

समीकरण के कितने भिन्न समाधान हैं?

(¬K ∨ ¬L ∨ ¬M) ∧ (L ∨ ¬M ∨ ¬N) = 0

जहां K, L, M, N तार्किक चर हैं? उत्तर में K, L, M और N के मानों के सभी विभिन्न सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है जिनके लिए यह समानता मान्य है। उत्तर के रूप में, आपको केवल ऐसे सेटों की संख्या बतानी होगी।

समाधान।

आइए समीकरण के दोनों पक्षों पर निषेधन लागू करें:

(के ∧ एल ∧ एम) ∨ (¬एल ∧ एम ∧ एन) = 1

तार्किक OR तीन मामलों में सत्य है।

विकल्प 1।

K ∧ L ∧ M = 1, फिर K, L, M = 1, और ¬L ∧ M ∧ N = 0. N मनमाना है, अर्थात 2 समाधान।

विकल्प 2।

¬L ∧ M ∧ N = 1, फिर N, M = 1; एल = 0, के कोई भी, यानी 2 समाधान।

इसलिए उत्तर 4 है.

उत्तर - 4

A, B और C पूर्णांक हैं जिनके लिए कथन सत्य है

¬ (ए = बी) ∧ ((ए > बी)→(बी > सी)) ∧ ((बी > ए)→(सी > बी)).

यदि A = 45 और C = 43 है तो B किसके बराबर है?

समाधान।

कृपया ध्यान दें कि इस जटिल कथन में तीन सरल कथन शामिल हैं

1) ¬(ए = बी); (ए > बी)→(बी > सी); (बी > ए)→(सी > बी);

2) ये सरल कथन ऑपरेशन ∧ (और, संयोजन) द्वारा जुड़े हुए हैं, यानी, उन्हें एक साथ निष्पादित किया जाना चाहिए;

3) ¬(A = B)=1 से यह तुरंत अनुसरण करता है कि A B;

4) मान लीजिए कि A > B, तो दूसरी स्थिति से हमें 1→(B > C)=1 प्राप्त होता है; यह अभिव्यक्ति सत्य हो सकती है यदि और केवल यदि B > C = 1;

5) इसलिए हमारे पास A > B > C है, केवल संख्या 44 इस स्थिति से मेल खाती है;

6) बस मामले में, आइए विकल्प A 0 →(B > C)=1 की भी जाँच करें;

यह अभिव्यक्ति किसी भी बी के लिए सत्य है; अब हम तीसरी शर्त पर गौर करते हैं और पाते हैं

यह अभिव्यक्ति सत्य हो सकती है यदि और केवल यदि C > B, और यहां हमारे पास एक विरोधाभास है, क्योंकि ऐसी कोई संख्या B नहीं है जिसके लिए C > B > A हो।

उत्तर: 44.

उत्तर: 44

एक तार्किक कार्य के लिए एक सत्य तालिका का निर्माण करें

एक्स = (ए ↔ बी) ∨ ¬(ए → (बी ∨ सी))

जिसमें तर्क A के मानों का स्तंभ संख्या 27 का द्विआधारी प्रतिनिधित्व है, तर्क B के मानों का स्तंभ संख्या 77 है, तर्क C के मानों का स्तंभ संख्या 120 है। कॉलम में सबसे महत्वपूर्ण से लेकर सबसे महत्वपूर्ण (शून्य सेट सहित) तक ऊपर से नीचे तक लिखा जाता है। फ़ंक्शन X के मानों के परिणामी बाइनरी प्रतिनिधित्व को दशमलव संख्या प्रणाली में बदलें।

समाधान।

आइए संक्रियाओं के लिए सरल संकेतन का उपयोग करके समीकरण लिखें:

1) यह तीन चरों वाला एक व्यंजक है, इसलिए सत्य तालिका में पंक्तियाँ होंगी; इसलिए, तालिका कॉलम ए, बी और सी के निर्माण के लिए उपयोग की जाने वाली संख्याओं के द्विआधारी प्रतिनिधित्व में 8 अंक होने चाहिए

2) संख्याओं 27, 77 और 120 को बाइनरी सिस्टम में बदलें, तुरंत संख्याओं की शुरुआत में शून्य के 8 अंक जोड़ें

3) यह संभावना नहीं है कि आप प्रत्येक संयोजन के लिए एक्स फ़ंक्शन के मान तुरंत लिख पाएंगे, इसलिए मध्यवर्ती परिणामों की गणना करने के लिए तालिका में अतिरिक्त कॉलम जोड़ना सुविधाजनक है (नीचे तालिका देखें)

एक्स0

ए	में	साथ
0	0
0	1	1
0	0	1
1	0	1
1	1	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

4) तालिका के कॉलम भरें:

ए	में	साथ					एक्स
0	0	0	1	0	1	0	1
0	1	1	0	1	1	0	0
0	0	1	1	1	1	0	1
1	0	1	0	1	1	0	0
1	1	1	1	1	1	0	1
0	1	0	0	1	1	0	0
1	0	0	0	0	0	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1

मान केवल उन पंक्तियों में 1 है जहां A = B

उन पंक्तियों में मान 1 है जहां या तो B या C = 1 है

मान केवल उन पंक्तियों में 0 है जहां A = 1 और B + C = 0 है

मान पिछले कॉलम का उलटा है (0 को 1 से बदल दिया गया है, और 1 को 0 से बदल दिया गया है)

X (अंतिम कॉलम) का परिणाम दो कॉलमों का तार्किक योग है

5) उत्तर पाने के लिए, कॉलम X से ऊपर से नीचे तक बिट्स लिखें:

6) इस संख्या को दशमलव प्रणाली में बदलें:

उत्तर: 171

वह सबसे बड़ा पूर्णांक X कौन सा है जिसके लिए कथन (10 (X+1)·(X+2)) सत्य है?

समाधान।

एक समीकरण दो संबंधों के बीच निहितार्थ की एक संक्रिया है:

1) बेशक, यहां आप उदाहरण 2208 की तरह ही विधि लागू कर सकते हैं, लेकिन आपको द्विघात समीकरणों को हल करने की आवश्यकता होगी (मैं नहीं चाहता...);

2) ध्यान दें कि शर्त के अनुसार हम केवल पूर्णांकों में रुचि रखते हैं, इसलिए हम किसी तरह मूल अभिव्यक्ति को बदलने की कोशिश कर सकते हैं, एक समकक्ष बयान प्राप्त कर सकते हैं (हम जड़ों के सटीक मूल्यों में बिल्कुल भी दिलचस्पी नहीं रखते हैं!);

3) असमानता पर विचार करें: जाहिर है, यह एक सकारात्मक या नकारात्मक संख्या हो सकती है;

4) यह जांचना आसान है कि डोमेन में कथन सभी पूर्णांकों के लिए सत्य है, और डोमेन में - सभी पूर्णांकों के लिए (भ्रमित न होने के लिए, इसके बजाय गैर-सख्त असमानताओं का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है, और और );

5) इसलिए, पूर्णांकों के लिए इसे समकक्ष अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है

6) किसी अभिव्यक्ति की सत्यता का क्षेत्र दो अनंत अंतरालों का मिलन है;

7) अब दूसरी असमानता पर विचार करें: यह स्पष्ट है कि यह एक धनात्मक या ऋणात्मक संख्या भी हो सकती है;

8) क्षेत्र में, कथन सभी पूर्णांकों के लिए सत्य है, और क्षेत्र में - सभी पूर्णांकों के लिए, इसलिए पूर्णांकों के लिए इसे समकक्ष अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है

9) अभिव्यक्ति की सत्यता का क्षेत्र एक बंद अंतराल है;

10) दी गई अभिव्यक्ति उन क्षेत्रों को छोड़कर हर जगह सत्य है जहां तथा ;

11) कृपया ध्यान दें कि मान अब उपयुक्त नहीं है, क्योंकि वहां और, यानी, निहितार्थ 0 देता है;

12) 2 को प्रतिस्थापित करते समय, (10 (2+1) · (2+2)), या 0 → 0 जो शर्त को पूरा करता है।

तो उत्तर है 2.

उत्तर: 2

वह सबसे बड़ा पूर्णांक X कौन सा है जिसके लिए कथन सत्य है?

(50 (X+1)·(X+1))?

समाधान।

आइए निहितार्थ परिवर्तन को लागू करें और अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

(50 (X+1)·(X+1)) ⇔ ¬(X 2 > 50) ∨ ((X+1) 2) ∨ (|X+1|).

तार्किक OR सत्य है जब कम से कम एक तार्किक कथन सत्य है। दोनों असमानताओं को हल करने और इसे ध्यान में रखने पर हम देखते हैं कि सबसे बड़ा पूर्णांक जिसके लिए उनमें से कम से कम एक संतुष्ट है वह 7 है (आकृति में, दूसरी असमानता का सकारात्मक समाधान पीले रंग में दिखाया गया है, और पहला नीले रंग में दिखाया गया है)।

उत्तर: 7

चर K, L, M, N के मानों को इंगित करें, जिस पर तार्किक अभिव्यक्ति

(¬(M ∨ L) ∧ K) → (¬K ∧ ¬M ∨ N)

असत्य। उत्तर को 4 वर्णों की एक स्ट्रिंग के रूप में लिखें: चर K, L, M और N के मान (उसी क्रम में)। इसलिए, उदाहरण के लिए, पंक्ति 1101 इस तथ्य से मेल खाती है कि K=1, L=1, M=0, N=1।

समाधान।

डुप्लिकेट कार्य 3584.

उत्तर: 1000

(¬K ∨ M) → (¬L ∨ M ∨ N)

समाधान।

आइए निहितार्थ परिवर्तन लागू करें:

(K ∧ ¬M) ∨ (¬L ∨ M ∨ N) = 0

आइए समीकरण के दोनों पक्षों पर निषेधन लागू करें:

(¬K ∨ M) ∧ L ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

आइए परिवर्तन करें:

(¬K ∧ L ∨ M ∧ L) ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

इसलिए, एम = 0, एन = 0, अब विचार करें (¬K ∧ L ∨ M ∧ L):

इस तथ्य से कि एम = 0, एन = 0 यह इस प्रकार है कि एम ∧ एल = 0, तो ¬K ∧ एल = 1, यानी, के = 0, एल = 1।

उत्तर: 0100

चर K, L, M, N के मान निर्दिष्ट करें जिस पर तार्किक अभिव्यक्ति है

(¬(M ∨ L) ∧ K) → ((¬K ∧ ¬M) ∨ N)

असत्य। अपना उत्तर चार वर्णों की एक स्ट्रिंग के रूप में लिखें: चर K, L, M और N के मान (उसी क्रम में)। इसलिए, उदाहरण के लिए, पंक्ति 1101 इस तथ्य से मेल खाती है कि K=1, L=1, M=0, N=1।

समाधान।

आइए संक्रियाओं के सरल अंकन का उपयोग करके समीकरण लिखें (शर्त "अभिव्यक्ति गलत है" का अर्थ है कि यह तार्किक शून्य के बराबर है):

1) शर्त के निरूपण से यह निष्कर्ष निकलता है कि अभिव्यक्ति केवल चर के एक सेट के लिए झूठी होनी चाहिए

2) "निहितार्थ" ऑपरेशन की सत्य तालिका से यह पता चलता है कि यह अभिव्यक्ति झूठी है यदि और केवल यदि एक ही समय में

3) पहली समानता (तार्किक उत्पाद 1 के बराबर है) संतुष्ट है यदि और केवल यदि तथा ; इससे यह निष्कर्ष निकलता है (तार्किक योग शून्य के बराबर है), जो तभी हो सकता है जब; इस प्रकार, हम पहले ही तीन चर परिभाषित कर चुके हैं

4) दूसरी शर्त से, , के लिए और हम प्राप्त करते हैं।

कार्य को डुप्लिकेट करता है

उत्तर: 1000

तार्किक चर P, Q, S, T के मान निर्दिष्ट करें, जिस पर तार्किक अभिव्यक्ति

(P ∨ ¬Q) ∨ (Q → (S ∨ T)) गलत है।

उत्तर को चार वर्णों की एक स्ट्रिंग के रूप में लिखें: चर P, Q, S, T के मान (उसी क्रम में)।

समाधान।

(1) (पी ∨ ¬क्यू) = 0

(2) (क्यू → (एस ∨ टी)) = 0

(1) (पी ∨ ¬क्यू) = 0 => पी = 0, क्यू = 1।

(2) (क्यू → (एस ∨ टी)) = 0 आइए हम निहितार्थ परिवर्तन लागू करें:

¬Q ∨ S ∨ T = 0 => S = 0, T = 0.

उत्तर: 0100

चर K, L, M, N के मान निर्दिष्ट करें जिस पर तार्किक अभिव्यक्ति है

(के → एम) ∨ (एल ∧ के) ∨ ¬एन

असत्य। अपना उत्तर चार वर्णों की एक स्ट्रिंग के रूप में लिखें: चर K, L, M और N के मान (उसी क्रम में)। इसलिए, उदाहरण के लिए, पंक्ति 1101 इस तथ्य से मेल खाती है कि K=1, L=1, M=0, N=1।

समाधान।

तार्किक OR गलत है यदि और केवल तभी जब दोनों कथन गलत हों।

(के → एम) = 0, (एल ∧ के) ∨ ¬एन = 0।

आइए पहली अभिव्यक्ति के लिए निहितार्थ परिवर्तन लागू करें:

¬K ∨ M = 0 => K = 1, M = 0.

दूसरी अभिव्यक्ति पर विचार करें:

(एल ∧ के) ∨ ¬एन = 0 (पहली अभिव्यक्ति का परिणाम देखें) => एल ∨ ¬एन = 0 => एल = 0, एन = 1।

उत्तर: 1001.

उत्तर: 1001

चर K, L, M, N के मान निर्दिष्ट करें जिस पर तार्किक अभिव्यक्ति है

(के → एम) ∧ (के → ¬एम) ∧ (¬के → (एम ∧ ¬एल ∧ एन))

सत्य। अपना उत्तर चार वर्णों की एक स्ट्रिंग के रूप में लिखें: चर K, L, M और N के मान (उसी क्रम में)। इसलिए, उदाहरण के लिए, पंक्ति 1101 इस तथ्य से मेल खाती है कि K=1, L=1, M=0, N=1।

समाधान।

तार्किक "AND" तभी सत्य है जब दोनों कथन सत्य हों।

1) (K → M) = 1 निहितार्थ परिवर्तन लागू करें: ¬K ∨ M = 1

2) (K → ¬M) = 1 निहितार्थ परिवर्तन लागू करें: ¬K ∨ ¬M = 1

यह इस प्रकार है कि K = 0.

3) (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N)) = 1 आइए निहितार्थ परिवर्तन लागू करें: K ∨ (M ∧ ¬L ∧ N) = 1 इस तथ्य से कि K = 0 हमें प्राप्त होता है।

इस सामग्री में एक प्रस्तुति है जो कंप्यूटर विज्ञान में एकीकृत राज्य परीक्षा के कार्य बी15 (नंबर 23, 2015) में तार्किक समीकरणों और तार्किक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीके प्रस्तुत करती है। यह ज्ञात है कि यह कार्य एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों में सबसे कठिन है। विशेष कक्षाओं में "तर्क" विषय पर पाठ पढ़ाने के साथ-साथ एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी करते समय प्रस्तुति उपयोगी हो सकती है।

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कार्य बी15 का समाधान (तार्किक समीकरणों की प्रणाली) विष्णव्स्काया एम.पी., एमएओयू "जिमनैजियम नंबर 3" 18 नवंबर 2013, सेराटोव

कंप्यूटर विज्ञान में एकीकृत राज्य परीक्षा में टास्क बी15 सबसे कठिन में से एक है!!! निम्नलिखित कौशलों का परीक्षण किया जाता है: तार्किक चर वाले भावों को रूपांतरित करना; प्राकृतिक भाषा में तार्किक चर के मानों के सेट का वर्णन करें जिसके लिए तार्किक चर का दिया गया सेट सत्य है; दी गई शर्तों को पूरा करने वाले बाइनरी सेटों की संख्या गिनें। सबसे कठिन बात इसलिए है क्योंकि... इसे कैसे करें, इस पर कोई औपचारिक नियम नहीं हैं, इसके लिए अनुमान लगाना आवश्यक है।

आप इसके बिना क्या नहीं कर सकते!

आप इसके बिना क्या नहीं कर सकते!

प्रतीक संयोजन: A /\ B , A  B , AB , A &B, A और B वियोजन: A \ / B , A + B , A | बी, ए या बी निषेध:  ए, ए, नहीं ए तुल्यता: ए  बी, ए  बी, ए  बी अनन्य "या": ए  बी, ए एक्स या बी

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि तार्किक चर x1, x2, ..., x9, x10 के मानों के कितने अलग-अलग सेट मौजूद हैं जो नीचे सूचीबद्ध सभी शर्तों को पूरा करते हैं: ((x1 ≡ x2) \/ (x3 ≡ x4)) /\ ​​(¬(x1 ≡ x2) \/ ¬(x3 ≡ x4)) = 1 ((x3 ≡ x4) \/ (x5 ≡ x6)) /\ ​​(¬(x3 ≡ x4) \/ ¬(x5 ≡ x6)) = 1 ((x5 ≡ x6 ) \/ (x7 ≡ x8)) /\ ​​​​(¬(x5 ≡ x7) \/ ¬(x7 ≡ x8)) = 1 ((x7 ≡ x8) \/ (x9 ≡ x10)) /\ ​​(¬(x7 ≡ x8) \/ ¬(x9 ≡ x10)) = 1 उत्तर के लिए सभी अलग-अलग सेटों x1, x2, …, x9, x10 को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है समानता की यह प्रणाली कायम है। उत्तर के रूप में, आपको ऐसे सेटों की संख्या बतानी होगी (डेमो संस्करण 2012)

समाधान चरण 1. चरों को बदलकर सरल बनाएं t1 = t2) =1 (t2 \/ t3) /\ (¬t2 \/ ¬ t3) =1 (t3 \/ t4) /\ (¬t3 \/ ¬ t4) =1 (t4 \/ t5) /\ ( ¬ t4 \/ ¬ t5) =1 किसी एक समीकरण पर विचार करें: (t1 \/ t2) /\ (¬t1 \/ ¬ t2) =1 जाहिर है, यह =1 केवल तभी है जब एक चर 0 है और दूसरा 1 है आइए संयोजन और विच्छेदन के माध्यम से XOR ऑपरेशन को व्यक्त करने के लिए सूत्र का उपयोग करें: (t1 \/ t2) /\ (¬t1 \/ ¬ t2) = t1  t2 = ¬(t1 ≡ t2) =1 ¬(t1 ≡ t2) =1 ¬( t2 ≡ t3) =1 ¬(t3 ≡ t4) =1 ¬(t4 ≡ t5) =1

चरण दो। सिस्टम विश्लेषण ¬(t1 ≡ t2) =1 ¬(t2 ≡ t3) =1 ¬(t3 ≡ t4) =1 ¬(t4 ≡ t5) =1 t1 t2 t3 t4 t5 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Т ।को। tk = x2k-1 ≡ x2k (t1 = x1  x2 ,...), तो tk का प्रत्येक मान x2k-1 और x2k मानों के दो जोड़े से मेल खाता है, उदाहरण के लिए: tk =0 दो जोड़े से मेल खाता है - (0 ,1) और (1, 0), और tk =1 - जोड़े (0,0) और (1,1)।

चरण 3। समाधानों की संख्या गिनना. प्रत्येक t के 2 समाधान हैं, ts की संख्या 5 है। इस प्रकार। चर t के लिए 2 5 = 32 समाधान हैं। लेकिन प्रत्येक t के लिए समाधान x की एक जोड़ी होती है, अर्थात। मूल प्रणाली में 2*32 = 64 समाधान हैं। उत्तर: 64

समाधान के भाग को समाप्त करने की विधि तार्किक चर x1, x2, ..., x5, y1,y2,..., y5 के मानों के कितने अलग-अलग सेट मौजूद हैं जो नीचे सूचीबद्ध सभी शर्तों को पूरा करते हैं: (x1→ x2 )∧(x2→ x3)∧(x3→ x4 )∧(x4→ x5) =1; (y1→ y2)∧(y2→ y3)∧(y3→ y4) ∧(y4→ y5) =1; y5→ x5 =1. उत्तर में उन सभी अलग-अलग सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है x1, x2, ..., x5, y 1 , y2, ... , y5 जिनके लिए समानता की यह प्रणाली लागू होती है। उत्तर में ऐसे सेटों की संख्या अवश्य बताई जानी चाहिए।

समाधान। स्टेप 1। समीकरणों का अनुक्रमिक समाधान प्रत्येक निहितार्थ सत्य है. निहितार्थ केवल एक मामले में गलत है, जब 1  0, अन्य सभी मामलों में (0  0, 0  1, 1  1) ऑपरेशन रिटर्न 1. आइए इसे तालिका के रूप में लिखें:

स्टेप 1। समीकरणों का अनुक्रमिक समाधान टी.ओ. x1, x2, x3, x4, x5 के लिए समाधान के 6 सेट प्राप्त किए गए: (00000), (00001), (00011), (00111), (01111), (11111)। इसी तरह तर्क करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि y1, y2, y3, y4, y5 के लिए समाधानों का एक ही सेट है। क्योंकि ये समीकरण स्वतंत्र हैं, अर्थात उनके पास सामान्य चर नहीं हैं, तो समीकरणों की इस प्रणाली का समाधान (तीसरे समीकरण को ध्यान में रखे बिना) "एक्स" और "वाई" के 6 * 6 = 36 जोड़े होंगे। तीसरे समीकरण पर विचार करें: y5→ x5 =1 जोड़े का समाधान है: 0 0 0 1 1 1 जोड़ा समाधान नहीं है: 1 0

आइए प्राप्त समाधानों की तुलना करें। जहां y5 =1, x5=0 उपयुक्त नहीं है। ऐसे 5 जोड़े हैं। सिस्टम के समाधानों की संख्या: 36-5=31। उत्तर: 31 कॉम्बिनेटरिक्स की आवश्यकता थी!!!

गतिशील प्रोग्रामिंग विधि तार्किक समीकरण x 1 → x 2 → x 3 → x 4 → x 5 → x 6 = 1 के कितने भिन्न समाधान हैं, जहाँ x 1, x 2, …, x 6 तार्किक चर हैं? उत्तर में चर मानों के सभी अलग-अलग सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है जिनके लिए यह समानता रखती है। उत्तर के रूप में, आपको ऐसे सेटों की मात्राएँ बतानी होंगी।

समाधान चरण 1. स्थिति का विश्लेषण समीकरण में बाईं ओर निहितार्थ की संक्रियाएँ क्रमानुसार लिखी गई हैं, प्राथमिकता समान है। आइए फिर से लिखें: ((((एक्स 1 → एक्स 2) → एक्स 3) → एक्स 4) → एक्स 5) → एक्स 6 = 1 एनबी! प्रत्येक आगामी चर पिछले एक पर नहीं, बल्कि पिछले निहितार्थ के परिणाम पर निर्भर करता है!

चरण दो। एक पैटर्न का खुलासा आइए पहले निहितार्थ पर विचार करें, X 1 → X 2. सत्य तालिका: X 1 X 2 X 1 → हमें एक 0 और एक 1 मिला। केवल एक 0 और तीन 1 हैं, यह पहले ऑपरेशन का परिणाम है।

चरण दो। एक पैटर्न का खुलासा x 3 को पहले ऑपरेशन के परिणाम से जोड़ने पर, हमें मिलता है: F(x 1 ,x 2) x 3 F(x 1 ,x 2)  x 3 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 दो 0 से - दो 1, प्रत्येक 1 से (3 होते हैं) एक 0 और एक 1 (3+3)

चरण 3. सूत्र की व्युत्पत्ति टी.ओ. आप i चर वाले समीकरण के लिए शून्य N i की संख्या और एक E i की संख्या की गणना के लिए सूत्र बना सकते हैं: ,

चरण 4. तालिका को भरना आइए उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके शून्य और एक की संख्या की गणना करते हुए, i = 6 के लिए तालिका को बाएं से दाएं भरें; तालिका दिखाती है कि अगला कॉलम पिछले कॉलम से कैसे बनाया गया है: चरों की संख्या 1 2 3 4 5 6 शून्य की संख्या N i 1 1 3 5 11 21 इकाइयों की संख्या E i 1 2*1+1= 3 2*1 +3=5 11 21 43 उत्तर: 43

तार्किक अभिव्यक्तियों के सरलीकरण का उपयोग करने वाली विधि समीकरण के कितने अलग-अलग समाधान हैं ((J → K) → (M  N  L))  ((M  N  L) → (¬ J  K))  (M → जे) = 1 जहां जे, के, एल, एम, एन तार्किक चर हैं? उत्तर में J, K, L, M और N के मानों के सभी विभिन्न सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है जिनके लिए यह समानता मान्य है। उत्तर के रूप में, आपको ऐसे सेटों की संख्या बतानी होगी।

समाधान ध्यान दें कि J → K = ¬ J  K आइए चरों में परिवर्तन का परिचय दें: J → K=A, M  N  L =B आइए परिवर्तन को ध्यान में रखते हुए समीकरण को फिर से लिखें: (A → B)  (B → ए)  (एम → जे)=1 4. (ए ​​ बी)  (एम → जे)= 1 5. जाहिर है, ए और बी के समान मूल्यों के लिए ए  बी 6. अंतिम निहितार्थ एम → पर विचार करें जे =1 यह संभव है यदि: एम= जे=0 एम=0, जे=1 एम=जे=1

समाधान क्योंकि A  B, तब जब M=J=0 हमें 1 + K=0 मिलता है। कोई समाधान नहीं. जब M=0, J=1 हमें 0 + K=0, K=0, और N और L कोई भी हो, 4 समाधान मिलते हैं: ¬ J  K = M  N  L K N L 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 11

समाधान 10. जब M=J=1 हमें 0+K=1 *N * L, या K=N*L, 4 समाधान मिलते हैं: 11. कुल में 4+4=8 समाधान होते हैं उत्तर: 8 K N L 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1

जानकारी के स्रोत: ओ.बी. बोगोमोलोवा, डी.यू. उसेनकोव। बी15: नए कार्य और नए समाधान // सूचना विज्ञान, संख्या 6, 2012, पी। 35 – 39. के.यू. पोलाकोव। तार्किक समीकरण // सूचना विज्ञान, संख्या 14, 2011, पृ. 30-35. http://ege-go.ru/zadania/grb/b15/, [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]। http://kpolyakov.naroad.ru/school/ege.htm, [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]।