05.11.202127.05.2017

Vektorski i tačkasti proizvod olakšavaju izračunavanje ugla između vektora. Neka su data dva vektora $ \ overline (a) $ i $ \ overline (b) $, orijentisani ugao između kojih je $ \ varphi $. Izračunajte vrijednosti $ x = (\ overline (a), \ overline (b)) $ i $ y = [\ overline (a), \ overline (b)] $. Tada je $ x = r \ cos \ varphi $, $ y = r \ sin \ varphi $, gdje je $ r = | \ overline (a) | \ cdot | \ overline (b) | $, a $ \ varphi $ je traženi ugao, odnosno tačka $ (x, y) $ ima polarni ugao jednak $ \ varphi $, pa se stoga $ \ varphi $ može naći kao atan2 (y, x).

Površina trougla

Budući da križni proizvod sadrži proizvod dvaju vektorskih dužina kosinusom ugla između njih, križni proizvod se može koristiti za izračunavanje površine trokuta ABC:

$ S_ (ABC) = \ frac (1) (2) | [\ nadcrt (AB), \ nadcrt (AC)] | $.

Tačka koja pripada pravoj liniji

Neka su data tačka $ P $ i prava $ AB $ (data sa dve tačke $ A $ i $ B $). Potrebno je provjeriti da li tačka pripada pravoj $ AB $.

Tačka pripada pravoj liniji $ AB $ ako i samo ako su vektori $ AP $ i $ AB $ kolinearni, to jest, ako je $ [\ overline (AP), \ overline (AB)] = 0 $.

Pripadanje tačke zraku

Neka su data tačka $ P $ i zraka $ AB $ (zadate sa dve tačke - početak zraka $ A $ i tačka na zraku $ B $). Potrebno je provjeriti da li tačka pripada zraku $ AB $.

Uslovu da tačka $ P $ pripada pravoj $ AB $, potrebno je dodati dodatni uslov - vektori $ AP $ i $ AB $ su kosmjerni, odnosno kolinearni i njihov skalarni proizvod je nenegativan, odnosno $ (\ overline (AB), \ overline (AP )) \ ge 0 $.

Tačka pripada linijskom segmentu

Neka su data tačka $ P $ i segment $ AB $. Potrebno je provjeriti da li tačka pripada segmentu $ AB $.

U ovom slučaju, tačka mora pripadati i zraku $ AB $ i zraku $ BA $, tako da se moraju provjeriti sljedeći uslovi:

$ [\ overline (AP), \ overline (AB)] = 0 $,

$ (\ overline (AB), \ overline (AP)) \ ge 0 $,

$ (\ overline (BA), \ overline (BP)) \ ge 0 $.

Udaljenost od tačke do linije

Neka su data tačka $ P $ i prava $ AB $ (data sa dve tačke $ A $ i $ B $). Potrebno je pronaći udaljenost od tačke prave $ AB $.

Zamislite trougao ABP. S jedne strane, njegova površina je $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) | [\ precrtavanje (AB), \ precrtavanje (AP)] | $.

S druge strane, njegova površina je $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) h | AB | $, gdje je $ h $ visina spuštena iz tačke $ P $, odnosno udaljenost od $ P $ do $ AB $. Odakle je $ h = | [\ preklapanje (AB), \ preklapanje (AP)] | / | AB | $.

Udaljenost od tačke do zraka

Neka su data tačka $ P $ i zraka $ AB $ (zadate sa dve tačke - početak zraka $ A $ i tačka na zraku $ B $). Potrebno je pronaći rastojanje od tačke do zraka, odnosno dužinu najkraćeg segmenta od tačke $P$ do bilo koje tačke na zraku.

Ovo rastojanje je jednako ili dužini $ AP $, ili udaljenosti od tačke $ P $ do prave $ AB $. Koji se od slučajeva odvija lako je odrediti relativnim položajem grede i tačke. Ako je ugao PAB oštar, to jest, $ (\ overline (AB), \ overline (AP))> 0 $, onda će odgovor biti rastojanje od tačke $ P $ do prave $ AB $, u suprotnom odgovor će biti dužina segmenta $ AB $.

Udaljenost od tačke do linije

Neka su data tačka $ P $ i segment $ AB $. Potrebno je pronaći rastojanje od $ P $ do segmenta $ AB $.

Ako osnova okomice spuštena sa $ P $ na pravu $ AB $ pada na segment $ AB $, što se može potvrditi uslovima

$ (\ overline (AP), \ overline (AB)) \ ge 0 $,

$ (\ overline (BP), \ overline (BA)) \ ge 0 $,

onda je odgovor udaljenost od tačke $ P $ do prave $ AB $. U suprotnom, udaljenost će biti jednaka $ \ min (AP, BP) $.

Predavanje: Vektorske koordinate; tačkasti proizvod vektora; ugao između vektora

Vektorske koordinate

Dakle, kao što je ranije spomenuto, vektori su usmjereni segment, koji ima svoj početak i kraj. Ako su početak i kraj predstavljeni nekim tačkama, onda na ravni ili u prostoru imaju svoje koordinate.

Ako svaka tačka ima svoje koordinate, onda možemo dobiti koordinate cijelog vektora.

Pretpostavimo da imamo neki vektor čiji početak i kraj vektora imaju sljedeće oznake i koordinate: A (A x; Ay) i B (B x; By)

Da biste dobili koordinate ovog vektora, potrebno je oduzeti odgovarajuće koordinate početka od koordinata kraja vektora:

Da biste odredili koordinate vektora u prostoru, koristite sljedeću formulu:

Tačkasti proizvod vektora

Postoje dva načina za definiranje točkastog proizvoda:

Geometrijski način. Prema njemu, tačkasti proizvod je jednak proizvodu vrijednosti ovih modula kosinusom ugla između njih.

Algebarsko značenje. Sa stanovišta algebre, tačkasti proizvod dva vektora je određena veličina koja se dobija kao rezultat zbira proizvoda odgovarajućih vektora.

Ako su vektori dati u prostoru, onda biste trebali koristiti sličnu formulu:

Svojstva:

Ako dva identična vektora pomnožite skalarno, onda njihov dot proizvod neće biti negativan:

Ako se pokaže da je skalarni proizvod dva identična vektora jednak nuli, onda se ovi vektori smatraju nuli:

Ako se vektor pomnoži sam sa sobom, tada će skalarni proizvod biti jednak kvadratu njegovog modula:

Skalarni proizvod ima komunikativnu osobinu, to jest, skalarni proizvod se neće promijeniti permutacijom vektora:

Skalarni proizvod vektora koji nisu nula može biti nula samo ako su vektori jedan na drugi okomiti:

Za skalarni proizvod vektora vrijedi zakon pomaka u slučaju množenja jednog od vektora brojem:

Sa tačkastim proizvodom možete koristiti i distributivno svojstvo množenja:

Ugao između vektora

Definicija 1

Skalarni proizvod vektora je broj jednak proizvodu dina ovih vektora i kosinusa ugla između njih.

Zapis proizvoda vektora a → i b → ima oblik a →, b →. Pretvorimo u formulu:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^. a → i b → označavaju dužine vektora, a →, b → ^ označavaju ugao između datih vektora. Ako je barem jedan vektor nula, odnosno ima vrijednost 0, tada će i rezultat biti nula, a →, b → = 0

Kada množimo vektor sam po sebi, dobijamo kvadrat njegove dužine:

a →, b → = a → b → cos a →, a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Definicija 2

Skalarno množenje vektora samo po sebi naziva se skalarni kvadrat.

Izračunato po formuli:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^.

Oznaka a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → pokazuje da je npb → a → numerička projekcija a → na b →, npa → a → je projekcija b → na a →, respektivno.

Formulirajmo definiciju proizvoda za dva vektora:

Skalarni proizvod dva vektora a → po b → naziva se proizvod dužine vektora a → projekcijom b → po pravcu a → ili proizvod dužine b → projekcijom a → respektivno.

Točkasti proizvod u koordinatama

Izračunavanje dot proizvoda može se izvršiti preko koordinata vektora u datoj ravni ili u prostoru.

Skalarni proizvod dva vektora na ravni, u trodimenzionalnom prostoru, naziva se zbir koordinata datih vektora a → i b →.

Prilikom izračunavanja skalarnog proizvoda datih vektora a → = (a x, a y), b → = (b x, b y) u Dekartovom sistemu koristite:

a →, b → = a x b x + a y b y,

za trodimenzionalni prostor, primjenjuje se sljedeći izraz:

a →, b → = a x b x + a y b y + a z b z.

Zapravo, ovo je treća definicija dot proizvoda.

Dokažimo to.

Dokaz 1

Za dokaz koristimo a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = ax bx + ay by za vektore a → = (ax, ay), b → = (bx, by) na kartezijanskom sistem.

Vektore treba odgoditi

O A → = a → = a x, a y i O B → = b → = b x, b y.

Tada će dužina vektora A B → biti jednaka A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x, b y - a y).

Posmatrajmo trougao O A B.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) je tačno na osnovu kosinus teoreme.

Po uslovu se vidi da je O A = a →, O B = b →, A B = b → - a →, ∠ A O B = a →, b → ^, pa formulu za nalaženje ugla između vektora pišemo drugačije

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a →, b → ^).

Tada iz prve definicije slijedi da je b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a →, b →), dakle (a →, b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2).

Primjenom formule za izračunavanje dužine vektora dobijamo:
a →, b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + po 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) = = ax bx + ay po

Dokažimo jednakosti:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

- odnosno za vektore trodimenzionalnog prostora.

Skalarni proizvod vektora sa koordinatama govori da je skalarni kvadrat vektora jednak zbroju kvadrata njegovih koordinata u prostoru i na ravni. a → = (a x, a y, a z), b → = (b x, b y, b z) i (a →, a →) = a x 2 + a y 2.

Tačkasti proizvod i njegova svojstva

Postoje svojstva tačkastog proizvoda koja su primjenjiva za a →, b → i c →:

komutativnost (a →, b →) = (b →, a →);
distributivnost (a → + b →, c →) = (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) = (a →, b →) + (a → , c →);
svojstvo kombinacije (λ a →, b →) = λ (a →, b →), (a →, λ b →) = λ (a →, b →), λ je bilo koji broj;
skalarni kvadrat je uvijek veći od nule (a →, a →) ≥ 0, gdje je (a →, a →) = 0 u slučaju kada je a → nula.

Primjer 1

Svojstva su objašnjiva zahvaljujući definiciji tačkastog proizvoda na ravni i svojstvima pri sabiranju i množenju realnih brojeva.

Dokazati svojstvo komutativnosti (a →, b →) = (b →, a →). Iz definicije imamo da je (a →, b →) = a y b y + a y b y i (b →, a →) = b x a x + b y a y.

Po svojstvu komutativnosti, jednakosti a x b x = b x a x i a y b y = b y a y su tačne, pa su a x b x + a y b y = b x a x + b y a y.

Iz toga slijedi da je (a →, b →) = (b →, a →). Q.E.D.

Distributivnost vrijedi za sve brojeve:

(a (1) → + a (2) → +.. + a (n) →, b →) = (a (1) →, b →) + (a (2) →, b →) +. ... ... + (a (n) →, b →)

i (a →, b (1) → + b (2) → +.. + b (n) →) = (a →, b (1) →) + (a →, b (2) →) + . .. ... ... + (a →, b → (n)),

dakle imamo

(a (1) → + a (2) → +.. + a (n) →, b (1) → + b (2) → +... + b (m) →) = (a ( 1) →, b (1) →) + (a (1) →, b (2) →) +. ... ... + (a (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, b (1) →) + (a (2) →, b (2) →) +. ... ... + (a (2) →, b (m) →) +. ... ... + + (a (n) →, b (1) →) + (a (n) →, b (2) →) +. ... ... + (a (n) →, b (m) →)

Točkasti proizvod s primjerima i rješenjima

Svaki problem takvog plana rješava se korištenjem svojstava i formula za tačkasti proizvod:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^);
(a →, b →) = a → n p a → b → = b → n p b → a →;
(a →, b →) = a x b x + a y b y ili (a →, b →) = a x b x + a y b y + a z b z;
(a →, a →) = a → 2.

Pogledajmo neke primjere rješenja.

Primjer 2

Dužina a → je 3, dužina b → je 7. Nađite tačkasti proizvod ako je ugao 60 stepeni.

Rješenje

Po uslovu imamo sve podatke, pa računamo po formuli:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Odgovor: (a →, b →) = 21 2.

Primjer 3

Dati vektori a → = (1, - 1, 2 - 3), b → = (0, 2, 2 + 3). Šta je tačkasti proizvod.

Rješenje

U ovom primjeru razmatra se formula za izračunavanje po koordinatama, jer su one navedene u iskazu problema:

(a →, b →) = ax bx + ay by + az bz = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Odgovor: (a →, b →) = - 9

Primjer 4

Pronađite tačkasti proizvod A B → i A C →. Na koordinatnoj ravni date su tačke A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1).

Rješenje

Za početak se izračunavaju koordinate vektora, jer su koordinate tačaka date uvjetom:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

Zamjenom u formulu koristeći koordinate, dobijamo:

(A B →, A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.

Odgovor: (AB →, A C →) = 28.

Primjer 5

Dati vektori a → = 7 m → + 3 n → i b → = 5 m → + 8 n →, pronađi njihov proizvod. m → je jednako 3 i n → je jednako 2 jedinice, one su okomite.

Rješenje

(a →, b →) = (7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →). Primjenom distributivnog svojstva dobijamo:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) = = (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + ( 3 n →, 8 n →)

Izvadimo koeficijent za predznak proizvoda i dobijemo:

(7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →) = = 7 5 (m →, m →) + 7 8 (m →, n →) + 3 5 (n →, m →) + 3 8 (n →, n →) = = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →)

Svojstvom komutativnosti transformiramo:

35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n → ) + 24 (n →, n →)

Kao rezultat, dobijamo:

(a →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →).

Sada primijenimo formulu za tačkasti proizvod s unaprijed određenim kutom:

(a →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411.

Odgovor: (a →, b →) = 411

Ako postoji numerička projekcija.

Primjer 6

Pronađite tačkasti proizvod a → i b →. Vektor a → ima koordinate a → = (9, 3, - 3), projekciju b → sa koordinatama (- 3, - 1, 1).

Rješenje

Po hipotezi, vektori a → i projekcija b → su suprotno usmjereni, jer a → = - 1 3 · npa → b → →, pa projekcija b → odgovara dužini npa → b → →, i sa predznakom " -":

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Zamjenom u formulu dobijamo izraz:

(a →, b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33.

Odgovor: (a →, b →) = - 33.

Problemi sa poznatim tačkastim proizvodom, gde je potrebno pronaći dužinu vektora ili numeričke projekcije.

Primjer 7

Koju vrijednost λ treba uzeti za dati skalarni proizvod a → = (1, 0, λ + 1) i b → = (λ, 1, λ) biće jednako -1.

Rješenje

Formula pokazuje da je potrebno pronaći zbir proizvoda koordinata:

(a →, b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ.

S obzirom da imamo (a →, b →) = - 1.

Da bismo pronašli λ, izračunavamo jednačinu:

λ 2 + 2 λ = - 1, dakle λ = - 1.

Odgovor: λ = - 1.

Fizičko značenje točkastog proizvoda

Mehanika se bavi primjenom dot proizvoda.

Kada radite A sa konstantnom silom F → telo se pomerilo iz tačke M u N, možete pronaći proizvod dužina vektora F → i MN → sa kosinusom ugla između njih, što znači da je rad jednak na proizvod vektora sile i pomaka:

A = (F →, M N →).

Primjer 8

Kretanje materijalne tačke za 3 metra pod dejstvom sile od 5 ntona usmereno je pod uglom od 45 stepeni u odnosu na osu. Pronaci.

Rješenje

Pošto je rad proizvod vektora sile i pomaka, to znači da, na osnovu uslova F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 °, dobijamo A = (F →, S →) = F → S → cos (F →, S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2.

Odgovor: A = 15 2 2.

Primjer 9

Materijalna tačka, krećući se od M (2, - 1, - 3) do N (5, 3 λ - 2, 4) pod silom F → = (3, 1, 2), izvršila je rad jednak 13 J. Izračunajte dužina kretanja.

Rješenje

Za date koordinate vektora M N → imamo M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7).

Koristeći formulu za pronalaženje rada sa vektorima F → = (3, 1, 2) i MN → = (3, 3 λ - 1, 7), dobijamo A = (F ⇒, MN →) = 3 3 + 1 ( 3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

Po hipotezi je dato da je A = 13 J, što znači 22 + 3 λ = 13. Otuda λ = - 3, dakle M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7).

Da biste pronašli dužinu pomaka M N →, primijenite formulu i zamijenite vrijednosti:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.

Odgovor: 158.

Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter

Tačkasti proizvod vektora

Nastavljamo da se bavimo vektorima. U prvoj lekciji Vektori za lutke ispitali smo pojam vektora, radnje sa vektorima, koordinate vektora i najjednostavnije zadatke sa vektorima. Ako ste prvi put došli na ovu stranicu iz tražilice, toplo preporučujem da pročitate gornji uvodni članak, jer da biste savladali materijal, morate se kretati u terminima i notama koje koristim, imati osnovno znanje o vektorima i biti sposobni da rešavaju elementarne probleme. Ova lekcija je logičan nastavak teme iu njoj ću detaljno analizirati tipične zadatke u kojima se koristi tačkasti proizvod vektora. Ovo je VEOMA VAŽNA aktivnost.... Pokušajte da ne preskačete primjere, oni su popraćeni korisnim bonusom - vježba će vam pomoći da konsolidirate materijal koji ste obrađivali i dođete u ruke do rješenja uobičajenih problema u analitičkoj geometriji.

Sabiranje vektora, množenje vektora brojem…. Bilo bi naivno misliti da matematičari nisu smislili ništa drugo. Pored već razmatranih radnji, postoji niz drugih operacija s vektorima, i to: tačkasti proizvod vektora, vektorski proizvod vektora i mješoviti proizvod vektora... Skalarni proizvod vektora poznat nam je iz škole, druga dva proizvoda tradicionalno su vezana za kurs više matematike. Teme su jednostavne, algoritam za rješavanje mnogih problema je stereotipan i razumljiv. Jedina stvar. Postoji pristojna količina informacija, pa je nepoželjno pokušavati savladati, riješiti SVE ODJEDNOM. Ovo posebno važi za čajnike, vjerujte, autor se uopće ne želi osjećati kao Čikatilo iz matematike. Pa, i ne iz matematike, naravno, isto =) Spremniji učenici mogu koristiti materijale selektivno, na neki način, "dobiti" nedostajuće znanje, za tebe ću biti bezopasni grof Drakula =)

Konačno, otvorimo malo vrata i sa entuzijazmom vidimo šta se dešava kada se dva vektora sretnu...

Određivanje dot proizvoda vektora.
Svojstva točkastih proizvoda. Tipični zadaci

Koncept dot proizvoda

Prvo o ugao između vektora... Mislim da svi intuitivno razumiju koji je ugao između vektora, ali za svaki slučaj, malo detaljnije. Razmotrimo slobodne vektore različite od nule i. Ako ove vektore odložite iz proizvoljne tačke, dobit ćete sliku koju su mnogi već zamislili u svojim glavama:

Priznajem da sam ovdje ocrtao situaciju samo na nivou razumijevanja. Ako vam je potrebna stroga definicija ugla između vektora, pogledajte udžbenik, ali za praktične probleme nam, u principu, nije potrebna. Takođe OVDE I DALJE ću na mjestima zanemariti nulte vektore zbog njihovog malog praktičnog značaja. Rezervisao sam posebno za napredne posetioce sajta koji mi mogu zameriti teorijsku nepotpunost nekih od sledećih izjava.

može uzeti vrijednosti od 0 do 180 stepeni (od 0 do radijana) uključujući. Analitički, ova činjenica je zapisana u obliku dvostruke nejednakosti:

ili

(u radijanima).

U literaturi se ikona ugla često zanemaruje i piše jednostavno.

definicija: Skalarni proizvod dva vektora je BROJ jednak proizvodu dužina ovih vektora kosinusom ugla između njih:

Ovo je već prilično stroga definicija.

Fokusiramo se na bitne informacije:

Oznaka: tačkasti proizvod se označava sa ili jednostavno.

Rezultat operacije je BROJ: Vektor se množi vektorom, a rezultat je broj. Zaista, ako su dužine vektora brojevi, kosinus ugla je broj, tada je njihov proizvod također će biti broj.

Samo par primjera za zagrijavanje:

Primjer 1

Rješenje: Koristimo formulu ... U ovom slučaju:

odgovor:

Vrijednosti kosinusa se mogu naći u trigonometrijska tabela... Preporučujem da ga odštampate - biće potreban u skoro svim delovima tornja i biće potreban mnogo puta.

Sa čisto matematičke tačke gledišta, tačkasti proizvod je bezdimenzionalan, odnosno rezultat je u ovom slučaju samo broj i to je to. Sa stanovišta problema fizike, skalarni proizvod uvijek ima određeno fizičko značenje, odnosno nakon rezultata mora se navesti jedna ili druga fizička jedinica. Kanonski primjer izračunavanja rada sile može se naći u bilo kojem udžbeniku (formula je upravo tačkasti proizvod). Rad sile se, dakle, meri u džulima, a odgovor će biti zapisan sasvim konkretno, na primer,.

Primjer 2

Pronađite ako , a ugao između vektora je.

Ovo je primjer rješenja uradi sam, odgovor je na kraju tutorijala.

Ugao između vektora i vrijednost dot proizvoda

U primjeru 1, tačkasti proizvod je bio pozitivan, au primjeru 2 negativan. Hajde da saznamo o čemu zavisi predznak tačkastog proizvoda. Gledamo našu formulu: ... Dužine vektora koji nisu nula su uvijek pozitivne:, tako da predznak može ovisiti samo o vrijednosti kosinusa.

Bilješka: Za bolje razumijevanje informacija u nastavku, bolje je proučiti kosinusni graf u priručniku Grafovi funkcija i svojstva... Pogledajte kako se kosinus ponaša na segmentu.

Kao što je već napomenuto, ugao između vektora može varirati unutar , a mogući su sljedeći slučajevi:

1) Ako injekcija između vektora ljuto: (od 0 do 90 stepeni), zatim , i tačkasti proizvod će biti pozitivan korežirao, tada se ugao između njih smatra nula, a proizvod tačke također će biti pozitivan. Budući da je formula pojednostavljena:.

2) Ako injekcija između vektora tup: (od 90 do 180 stepeni), zatim , i shodno tome, dot proizvod je negativan:. Poseban slučaj: ako vektori suprotan smjer, tada se razmatra ugao između njih raspoređeno: (180 stepeni). Tačkasti proizvod je također negativan, jer

Tačne su i suprotne tvrdnje:

1) Ako, onda je ugao između ovih vektora oštar. Alternativno, vektori su kosmjerni.

2) Ako, onda je ugao između datih vektora tup. Alternativno, vektori su suprotno usmjereni.

Ali treći slučaj je od posebnog interesa:

3) Ako injekcija između vektora ravno: (90 stepeni), onda dot proizvod je nula:. I obrnuto: ako, onda. Izjava je kompaktno formulirana na sljedeći način: Skalarni proizvod dva vektora je nula ako i samo ako su ovi vektori ortogonalni... Kratka matematička notacija:

! Bilješka : ponoviti osnove matematičke logike: ikona dvostrane logičke posljedice obično se čita "tada i samo tada", "ako i samo ako". Kao što vidite, strelice su usmjerene u oba smjera - "iz ovoga slijedi ovo, i obrnuto - iz onoga što slijedi iz ovoga." Usput, koja je razlika od ikone za jednosmjerno praćenje? Ikona tvrdi samo to da "ovo proizilazi iz ovoga", a nije činjenica da je suprotno. Na primjer: ali nije svaka životinja panter, tako da se ikona ne može koristiti u ovom slučaju. Istovremeno, umjesto ikone mogu koristite jednosmjernu ikonu. Na primjer, rješavajući problem, saznali smo da smo zaključili da su vektori ortogonalni: - takav unos će biti ispravan, pa čak i prikladniji od .

Treći slučaj je od velike praktične važnosti. jer vam omogućava da provjerite da li su vektori ortogonalni ili ne. Ovaj problem ćemo riješiti u drugom dijelu lekcije.

Svojstva točkastih proizvoda

Vratimo se na situaciju kada su dva vektora korežirao... U ovom slučaju, ugao između njih je jednak nuli, a formula proizvoda tačke ima oblik:.

Šta se dešava ako se vektor pomnoži sam sa sobom? Jasno je da je vektor kosmjeran sam sa sobom, pa koristimo gornju pojednostavljenu formulu:

Broj je pozvan skalarni kvadrat vektor, i označen kao.

Na ovaj način, skalarni kvadrat vektora jednak je kvadratu dužine datog vektora:

Iz ove jednakosti možete dobiti formulu za izračunavanje dužine vektora:

Iako se čini nejasnim, ali zadaci lekcije će sve staviti na svoje mjesto. Za rješavanje problema i nama je potrebno svojstva tačkastog proizvoda.

Za proizvoljne vektore i bilo koji broj vrijede sljedeća svojstva:

1) - pomični ili komutativno skalarni zakon proizvoda.

2) - distribucija ili distributivni skalarni zakon proizvoda. Jednostavno, možete proširiti zagrade.

3) - kombinacija ili asocijativni skalarni zakon proizvoda. Konstanta se može izvaditi iz tačkastog proizvoda.

Često, svakakva svojstva (koja takođe treba dokazati!) studenti doživljavaju kao nepotrebno smeće, koje samo treba zapamtiti i sigurno zaboraviti odmah nakon ispita. Čini se da je ono što je ovdje važno, svi znaju od prvog razreda da se proizvod ne mijenja preraspodjelom faktora:. Moram da vas upozorim, u višoj matematici sa ovakvim pristupom lako je polomiti drvo. Tako, na primjer, svojstvo pomaka ne vrijedi za algebarske matrice... To takođe nije tačno za vektorski proizvod vektora... Stoga je barem bolje udubiti se u sva svojstva na koja naiđete u toku više matematike kako biste razumjeli šta se može, a šta ne može učiniti.

Primjer 3

Rješenje: Prvo, razjasnimo situaciju s vektorom. Šta je ovo uopšte? Zbir vektora i je dobro definiran vektor, koji je označen sa. Geometrijska interpretacija radnji s vektorima može se naći u članku Vektori za lutke... Isti peršun sa vektorom je zbir vektora i.

Dakle, po uslovu je potrebno pronaći tačkasti proizvod. U teoriji, morate primijeniti radnu formulu , ali problem je što ne znamo dužine vektora i ugao između njih. Ali uvjet daje slične parametre za vektore, pa ćemo ići drugim putem:

(1) Zamjenski vektorski izrazi.

(2) Širimo zagrade po pravilu množenja polinoma, vulgarna zverkalica se može naći u članku Kompleksni brojevi ili Integracija razlomke racionalne funkcije... Neću se ponavljati =) Usput, svojstvo distribucije skalarnog proizvoda nam omogućava da proširimo zagrade. Imamo pravo.

(3) U prvom i posljednjem pojmu kompaktno zapisujemo skalarne kvadrate vektora: ... U drugom terminu koristimo permutabilnost skalarnog proizvoda:.

(4) Dajemo slične uslove:.

(5) U prvom terminu koristimo formulu skalarnog kvadrata, koja je nedavno spomenuta. U posljednjem mandatu, odnosno, radi ista stvar:. Proširujemo drugi član prema standardnoj formuli .

(6) Mi zamjenjujemo ove uslove , i PAŽLJIVO napravite konačne proračune.

odgovor:

Negativna vrijednost dot proizvoda navodi činjenicu da je ugao između vektora tup.

Zadatak je tipičan, evo primjera za samostalno rješenje:

Primjer 4

Naći tačkasti proizvod vektora i, ako je to poznato .

Sada još jedan uobičajen zadatak, samo za novu formulu za dužinu vektora. Oznake će se ovdje malo preklapati, pa ću je radi jasnoće prepisati drugim slovom:

Primjer 5

Pronađite dužinu vektora if .

Rješenje bit će kako slijedi:

(1) Navedite vektorski izraz.

(2) Koristimo formulu dužine:, dok cijeli izraz djeluje kao vektor "ve".

(3) Za kvadrat zbira koristimo školsku formulu. Zapazite kako to radi zanimljivo ovdje: - u stvari, to je kvadrat razlike, i, zapravo, jeste. Zainteresovani mogu da preurede vektore po mestima: - ispalo je isto do prestrojavanja pojmova.

(4) Ostalo je već poznato iz prethodna dva problema.

odgovor:

Pošto je riječ o dužini, ne zaboravite navesti dimenziju - "jedinice".

Primjer 6

Pronađite dužinu vektora if .

Ovo je primjer rješenja uradi sam. Kompletno rješenje i odgovor na kraju tutorijala.

Nastavljamo da cijedimo korisne stvari iz tačkastog proizvoda. Pogledajmo ponovo našu formulu ... Prema pravilu proporcije, vratimo dužine vektora na nazivnik lijeve strane:

A mi ćemo zamijeniti dijelove:

Šta je značenje ove formule? Ako znate dužine dva vektora i njihov tačkasti proizvod, onda možete izračunati kosinus ugla između ovih vektora, a samim tim i sam ugao.

Da li je tačkasti proizvod broj? Broj. Da li su dužine vektora brojevi? Brojevi. Dakle, razlomak je također određeni broj. A ako je poznat kosinus ugla: , tada je pomoću inverzne funkcije lako pronaći sam ugao: .

Primjer 7

Pronađite ugao između vektora i, ako je to poznato.

Rješenje: Koristimo formulu:

U završnoj fazi proračuna korištena je tehnika - eliminacija iracionalnosti u nazivniku. Da bih eliminisao iracionalnost, pomnožio sam brojilac i imenilac sa.

Sta ako , zatim:

Vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija mogu se pronaći pomoću trigonometrijska tabela... Iako se to retko dešava. U problemima analitičke geometrije mnogo se češće pojavljuje neka vrsta nespretnog medvjeda, a vrijednost ugla se mora približno pronaći pomoću kalkulatora. Zapravo, takvu sliku ćemo vidjeti više puta.

odgovor:

Opet, ne zaboravite navesti dimenziju - radijane i stupnjeve. Osobno, da bih svjesno "raščistio sva pitanja", radije naznačim i to i to (osim ako se, naravno, po uslovu ne traži odgovor samo u radijanima ili samo u stepenima).

Sada ćete moći sami da se nosite sa težim zadatkom:

Primjer 7 *

Date su dužine vektora i ugao između njih. Pronađite ugao između vektora,.

Zadatak čak nije toliko težak kao višestepeni.
Analizirajmo algoritam rješenja:

1) Prema uslovu, potrebno je pronaći ugao između vektora i stoga morate koristiti formulu .

2) Pronađite tačkasti proizvod (vidi primjere br. 3, 4).

3) Odrediti dužinu vektora i dužinu vektora (vidi primjere br. 5, 6).

4) Kraj rješenja se poklapa sa primjerom br. 7 - znamo broj, što znači da je lako pronaći sam ugao:

Kratko rješenje i odgovor na kraju tutorijala.

Drugi dio lekcije fokusira se na isti tačkasti proizvod. Koordinate. Biće još lakše nego u prvom delu.

Tačkasti proizvod vektora,
dato koordinatama u ortonormalnoj bazi

odgovor:

Nepotrebno je reći da je rad s koordinatama mnogo ugodniji.

Primjer 14

Nađite tačkasti proizvod vektora i, ako

Ovo je primjer rješenja uradi sam. Ovdje možete koristiti asocijativnost operacije, odnosno ne brojite, već odmah pomaknite trojku iz skalarnog proizvoda i pomnožite s njom zadnji. Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Na kraju pasusa, provokativan primjer izračunavanja dužine vektora:

Primjer 15

Pronađite dužine vektora , ako

Rješenje: opet se nagovještava način iz prethodnog odjeljka:, ali postoji još jedan način:

Pronađite vektor:

I njegova dužina prema trivijalnoj formuli :

Tačkasti proizvod ovdje uopće ne dolazi u obzir!

Kao van posla to je kada se izračunava dužina vektora:
Stani. Zašto ne iskoristiti očiglednu osobinu dužine vektora? Šta je sa dužinom vektora? Ovaj vektor je 5 puta duži od vektora. Smjer je suprotan, ali nema veze, jer se govori o dužini. Očigledno, dužina vektora je jednaka proizvodu modul brojevi po dužini vektora:
- znak modula "jede" mogući minus broja.

Na ovaj način:

odgovor:

Formula za kosinus ugla između vektora koji su dati koordinatama

Sada imamo potpunu informaciju da izrazimo prethodno izvedenu formulu za kosinus ugla između vektora u smislu koordinata vektora:

Kosinus ugla između vektora ravnine i dato na ortonormalnoj osnovi, izraženo formulom:
.

Kosinus ugla između vektora prostora dato na ortonormalnoj osnovi, izraženo formulom:

Primjer 16

Zadata su tri vrha trougla. Pronađi (vrhinski ugao).

Rješenje: Prema uslovu, crtanje nije obavezno da se izvodi, ali ipak:

Potreban ugao je označen zelenim lukom. Odmah se prisjećamo školske oznake ugla: - posebna pažnja na prosjek slovo - ovo je vrh ugla koji nam je potreban. Radi kratkoće, moglo bi se napisati i jednostavno.

Iz crteža je sasvim očigledno da se ugao trokuta poklapa sa uglom između vektora i, drugim rečima: .

Poželjno je naučiti kako se mentalno izvodi analiza.

Pronađite vektore:

Izračunajmo tačkasti proizvod:

I dužine vektora:

Kosinus ugla:

Ovo je redoslijed izvršavanja zadatka koji preporučujem čajnicima. Napredniji čitaoci mogu pisati proračune "u jednom redu":

Evo primjera “loše” vrijednosti kosinusa. Rezultirajuća vrijednost nije konačna, tako da nema smisla da se riješimo iracionalnosti u nazivniku.

Nađimo sam ugao:

Ako pogledate crtež, rezultat je prilično uvjerljiv. Za provjeru, ugao se može izmjeriti i kutomjerom. Nemojte oštetiti poklopac monitora =)

odgovor:

U odgovoru to ne zaboravite pitao o uglu trougla(a ne o kutu između vektora), ne zaboravite navesti tačan odgovor: i približnu vrijednost ugla: pronađeno sa kalkulatorom.

Oni koji su uživali u procesu mogu izračunati uglove i uvjeriti se da je kanonska jednakost istinita

Primjer 17

Trokut je definiran u prostoru koordinatama njegovih vrhova. Pronađite ugao između stranica i

Ovo je primjer rješenja uradi sam. Kompletno rješenje i odgovor na kraju tutorijala

Kratak završni dio bit će posvećen projekcijama, u kojima se skalarni proizvod također "miješa":

Vektor-na-vektorska projekcija. Projekcija vektora na koordinatne ose.
Kosinus smjera vektora

Razmotrite vektore i:

Vektor projektujemo na vektor, za to izostavljamo početak i kraj vektora okomite po vektoru (zelene isprekidane linije). Zamislite da zrake svjetlosti padaju okomito na vektor. Tada će segment (crvena linija) biti "sjena" vektora. U ovom slučaju, projekcija vektora na vektor je DUŽINA segmenta. Odnosno, PROJEKCIJA JE BROJ.

Ovaj BROJ se označava na sljedeći način: "veliki vektor" označava vektor WHCH THE projekta, "mali indeksni vektor" označava vektor NA koji se projektuje.

Sam zapis glasi ovako: "projekcija vektora" a "na vektor" bh "".

Šta se dešava ako je vektor "bs" "prekratak"? Crtamo pravu liniju koja sadrži vektor "be". I vektor "a" će već biti projektovan u smjeru vektora "bh", jednostavno - na pravoj liniji koja sadrži vektor "be". Isto će se dogoditi ako se vektor "a" odloži u tridesetom kraljevstvu - on će se i dalje lako projektovati na pravu liniju koja sadrži vektor "bh".

Ako je ugao između vektora ljuto(kao na slici), onda

Ako vektori ortogonalno, zatim (projekcija je tačka čije se dimenzije pretpostavljaju nulte).

Ako je ugao između vektora tup(na slici mentalno preuredite strelicu vektora), zatim (iste dužine, ali uzeto sa znakom minus).

Odložimo ove vektore sa jedne tačke:

Očigledno, kada se vektor kreće, njegova projekcija se ne mijenja.

Tu će biti i zadaci za samostalno rješenje na koje možete vidjeti odgovore.

Ako su u zadatku i dužine vektora i ugao između njih prikazani "na srebrnom tanjiru", tada uslov zadatka i njegovo rešenje izgleda ovako:

Primjer 1. Zadani vektori. Nađite tačkasti proizvod vektora ako su njihove dužine i ugao između njih predstavljeni sljedećim vrijednostima:

Vrijedi i druga definicija, koja je potpuno ekvivalentna Definiciji 1.

Definicija 2... Skalarni proizvod vektora je broj (skalar) jednak proizvodu dužine jednog od ovih vektora projekcijom drugog vektora na osu, određen prvim od ovih vektora. Formula prema definiciji 2:

Zadatak ćemo riješiti koristeći ovu formulu nakon sljedeće važne teorijske tačke.

Određivanje dot proizvoda vektora u smislu koordinata

Isti broj se može dobiti ako su vektori koji se množe dati njihovim koordinatama.

Definicija 3. Tačkasti proizvod vektora je broj jednak zbroju parnih proizvoda njihovih odgovarajućih koordinata.

Na površini

Ako su dva vektora i na ravni definisana sa svoja dva Kartezijanske pravokutne koordinate

tada je skalarni proizvod ovih vektora jednak zbroju parnih proizvoda njihovih odgovarajućih koordinata:

Primjer 2. Pronađite brojčanu vrijednost projekcije vektora na osu paralelnu vektoru.

Rješenje. Točkasti proizvod vektora nalazimo dodavanjem parnih proizvoda njihovih koordinata:

Sada moramo izjednačiti rezultirajući skalarni proizvod sa proizvodom dužine vektora i projekcije vektora na os paralelnu vektoru (u skladu sa formulom).

Dužinu vektora nalazimo kao kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih koordinata:

Sastavljamo jednačinu i rješavamo je:

Odgovori. Željena brojčana vrijednost je minus 8.

U svemiru

Ako su dva vektora i u prostoru definirana sa svoje tri kartezijanske pravokutne koordinate

tada je skalarni proizvod ovih vektora također jednak zbroju parnih proizvoda njihovih odgovarajućih koordinata, samo što već postoje tri koordinate:

Problem pronalaženja dot proizvoda razmatranom metodom je nakon raščlanjivanja svojstava dot proizvoda. Jer u zadatku će biti potrebno odrediti koji ugao formiraju pomnoženi vektori.

Svojstva vektorskog dot proizvoda

Algebarska svojstva

1. (raseljavanje imovine: veličina njihovog dot proizvoda se ne mijenja od zamjene vektora koji se množe).

2. (kombinatorno svojstvo množitelja: tačkasti proizvod vektora pomnožen nekim faktorom i drugog vektora jednak je proizvodu ovih vektora pomnoženim istim faktorom).

3. (svojstvo distribucije u odnosu na zbir vektora: tačkasti proizvod zbira dva vektora trećim vektorom jednak je zbiru dot proizvoda prvog vektora trećim vektorom i drugog vektora trećim vektorom).

4. (skalarni kvadrat vektora je veći od nule), if je vektor različit od nule i, if, je nulti vektor.

Geometrijska svojstva

U definicijama operacije koja se proučava, već smo se dotakli pojma ugla između dva vektora. Vrijeme je da razjasnimo ovaj koncept.

Na gornjoj slici su vidljiva dva vektora koji su dovedeni do zajedničkog porijekla. I prva stvar na koju treba obratiti pažnju: postoje dva ugla između ovih vektora - φ 1 i φ 2 ... Koji se od ovih uglova pojavljuje u definicijama i svojstvima tačkastog proizvoda vektora? Zbir razmatranih uglova je 2 π i stoga su kosinusi ovih uglova jednaki. Definicija dot proizvoda uključuje samo kosinus ugla, ne i vrijednost njegovog izraza. Ali u nekretninama se uzima u obzir samo jedan ugao. A ovo je jedan od dva ugla koji ne prevazilazi π , odnosno 180 stepeni. Na slici je ovaj ugao označen kao φ 1 .

1. Pozivaju se dva vektora ortogonalno i ugao između ovih vektora je prava linija (90 stepeni ili π / 2) ako proizvod tačaka ovih vektora je nula :

Ortogonalnost u vektorskoj algebri je okomitost dva vektora.

2. Dva vektora različita od nule čine oštar ugao (od 0 do 90 stepeni, ili, što je isto - manje π tačkasti proizvod je pozitivan .

3. Dva vektora različita od nule čine tupi ugao (od 90 do 180 stepeni, ili, što je isto - više π / 2) ako i samo ako njihov dot proizvod je negativan .

Primjer 3. Vektori su dati u koordinatama:

Izračunajte produkte svih parova datih vektora. Koji ugao (oštar, ravan, tup) formiraju ovi parovi vektora?

Rješenje. Izračunat ćemo zbrajanjem proizvoda odgovarajućih koordinata.

Dobio je negativan broj, tako da vektori formiraju tupi ugao.

Dobili smo pozitivan broj, tako da vektori formiraju oštar ugao.

Dobili smo nulu, tako da vektori formiraju pravi ugao.

Dobili smo pozitivan broj, tako da vektori formiraju oštar ugao.

Za samotestiranje možete koristiti online kalkulator Tačkasti proizvod vektora i kosinus ugla između njih .

Primjer 4. Date su dužine dva vektora i ugao između njih:

Odrediti pri kojoj vrijednosti broja su vektori i ortogonalni (upravni).

Rješenje. Vektore množimo prema pravilu množenja polinoma:

Sada izračunajmo svaki pojam:

Sastavimo jednačinu (jednakost proizvoda nuli), damo slične članove i riješimo jednačinu:

Odgovor: shvatili smo značenje λ = 1.8, za koje su vektori ortogonalni.

Primjer 5. Dokazati da je vektor ortogonalno (upravno) na vektor

Rješenje. Da bismo provjerili ortogonalnost, množimo vektore i kao polinome, zamjenjujući umjesto njih izraz dat u izjavi problema:

Da biste to učinili, trebate pomnožiti svaki član (član) prvog polinoma sa svakim članom drugog i dodati rezultirajuće proizvode:

Kao rezultat toga, frakcija se smanjuje na štetu. Rezultat je sljedeći:

Zaključak: kao rezultat množenja, dobili smo nulu, dakle, dokazana je ortogonalnost (perpendikularnost) vektora.

Riješite problem sami, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 6. S obzirom na dužine vektora i, i ugao između ovih vektora je π /4 . Odredite po kojoj vrijednosti μ vektori i međusobno su okomiti.

Za samotestiranje možete koristiti online kalkulator Tačkasti proizvod vektora i kosinus ugla između njih .

Matrični prikaz dot proizvoda vektora i proizvoda n-dimenzionalnih vektora

Ponekad je korisno za jasnoću predstaviti dva vektora koji se množe u obliku matrica. Tada je prvi vektor predstavljen kao matrica reda, a drugi - kao matrica stupaca:

Tada će skalarni proizvod vektora biti proizvod ovih matrica :

Rezultat je isti kao onaj dobiven metodom koju smo već razmatrali. Dobija se jedan jedini broj, a proizvod matrice reda na matricu stupaca je također jedan jedini broj.

Pogodno je predstaviti proizvod apstraktnih n-dimenzionalnih vektora u matričnom obliku. Dakle, proizvod dva četvorodimenzionalna vektora će biti proizvod matrice reda sa četiri elementa i matrice kolone takođe sa četiri elementa, proizvod dva petodimenzionalna vektora će biti proizvod matrice reda sa pet elemenata i matrica stupaca također sa pet elemenata, i tako dalje.

Primjer 7. Naći tačkaste proizvode parova vektora

koristeći matričnu reprezentaciju.

Rješenje. Prvi par vektora. Prvi vektor predstavljamo kao matricu reda, a drugi kao matricu stupaca. Pronalazimo tačkasti proizvod ovih vektora kao proizvod matrice reda na matricu stupaca:

Slično, predstavljamo drugi par i nalazimo:

Kao što vidite, rezultati su isti kao i kod istih parova iz primjera 2.

Ugao između dva vektora

Izvođenje formule za kosinus ugla između dva vektora je vrlo lijepo i sažeto.

Da izrazimo tačkasti proizvod vektora

(1)

u koordinatnom obliku, prvo nalazimo skalarni proizvod jediničnih vektora. Tačkasti proizvod vektora sam po sebi po definiciji:

Ono što je napisano u gornjoj formuli znači: proizvod vektora sam po sebi jednak je kvadratu njegove dužine... Kosinus nule jednak je jedan, pa će kvadrat svakog orta biti jednak jedan: