U ovom članku ćemo se zadržati na konceptu unakrsnog proizvoda dva vektora. Dat ćemo potrebne definicije, zapisati formulu za pronalaženje koordinata vektorskog proizvoda, navesti i obrazložiti njegova svojstva. Nakon toga ćemo se zadržati na geometrijskom značenju vektorskog proizvoda dva vektora i razmotriti rješenja različitih tipičnih primjera.

Navigacija po stranici.

Definicija unakrsnog proizvoda.

Prije definiranja vektorskog proizvoda, shvatimo orijentaciju uređenog tripleta vektora u trodimenzionalnom prostoru.

Odvojite vektore iz jedne tačke. Ovisno o smjeru vektora, trojka može biti desna ili lijeva. Pogledajmo s kraja vektora kako se javlja najkraća rotacija od vektora do. Ako se najkraća rotacija dogodi u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada se naziva triplet vektora u pravu, inače - lijevo.

Sada uzimamo dva nekolinearna vektora i. Odvojimo vektore i iz tačke A. Konstruirajmo neki vektor okomit na oba i i. Očigledno, kada konstruišemo vektor, možemo učiniti dvije stvari, dajući mu ili jedan ili suprotan smjer (vidi ilustraciju).

Ovisno o smjeru vektora, uređeni triplet vektora može biti desni ili lijevi.

Tako smo se približili definiciji vektorskog proizvoda. Dat je za dva vektora, data u pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora.

Definicija.

Vektorski proizvod dva vektora i, dat u pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora, naziva se vektor takav da

Vektorski proizvod vektora i označava se kao.

Vektorske koordinate proizvoda.

Sada dajmo drugu definiciju vektorskog proizvoda, koja vam omogućava da pronađete njegove koordinate po koordinatama datih vektora i.

Definicija.

U pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora unakrsni proizvod dva vektora i je vektor, gdje su koordinatni vektori.

Ova definicija nam daje unakrsni proizvod u koordinatnom obliku.

Pogodno je predstaviti vektorski proizvod u obliku determinante kvadratne matrice trećeg reda, čiji su prvi red jedinični vektori, drugi red sadrži koordinate vektora, a treći koordinate vektor u datom pravougaonom koordinatnom sistemu:

Ako ovu determinantu proširimo elementima prvog reda, onda ćemo dobiti jednakost iz definicije vektorskog proizvoda u koordinatama (ako je potrebno, pogledajte članak):

Treba napomenuti da je koordinatni oblik unakrsnog proizvoda u potpunosti u skladu sa definicijom datom u prvom stavu ovog člana. Štaviše, ove dvije definicije unakrsnog proizvoda su ekvivalentne. Dokaz za ovu činjenicu možete vidjeti u knjizi naznačenoj na kraju članka.

Vektorska svojstva proizvoda.

Budući da se unakrsni proizvod u koordinatama može predstaviti u obliku matrične determinante, sljedeće se lako opravdava na osnovu svojstva vektorskog proizvoda:

Kao primjer, dokažemo svojstvo antikomutativnosti vektorskog proizvoda.

Po definiciji i ... Znamo da je vrijednost determinante matrice obrnuta ako se dva reda zamijene, dakle, , što dokazuje svojstvo antikomutativnosti vektorskog proizvoda.

Vektorski proizvod - primjeri i rješenja.

U osnovi postoje tri vrste zadataka.

U zadacima prvog tipa date su dužine dva vektora i ugao između njih, a potrebno je pronaći dužinu vektorskog proizvoda. U ovom slučaju se koristi formula .

Primjer.

Pronađite dužinu vektorskog proizvoda vektora i, ako je poznato .

Rješenje.

Iz definicije znamo da je dužina vektorskog proizvoda vektora i jednaka proizvodu dužina vektora i sinusa ugla između njih, dakle, .

odgovor:

.

Problemi drugog tipa su povezani sa koordinatama vektora, u kojima se unakrsni proizvod, njegova dužina ili nešto drugo traži kroz koordinate datih vektora. i .

Ovdje je moguće mnogo različitih opcija. Na primjer, ne mogu se specificirati koordinate vektora i, već njihova ekspanzija u koordinatnim vektorima oblika i, ili vektori i mogu biti specificirani koordinatama njihove početne i krajnje tačke.

Razmotrimo tipične primjere.

Primjer.

Dva vektora su data u pravougaonom koordinatnom sistemu ... Pronađite njihov unakrsni proizvod.

Rješenje.

Prema drugoj definiciji, unakrsni proizvod dva vektora u koordinatama zapisuje se kao:

Do istog rezultata bismo došli da je unakrsni proizvod napisan u terminima determinante

odgovor:

.

Primjer.

Odrediti dužinu vektorskog proizvoda vektora i gdje su jedinični vektori pravokutnog Dekartovog koordinatnog sistema.

Rješenje.

Prvo, nalazimo koordinate vektorskog proizvoda u datom pravougaonom koordinatnom sistemu.

Pošto vektori i imaju koordinate i, prema tome (ako je potrebno, pogledajte koordinate vektora u pravougaonom koordinatnom sistemu), onda po drugoj definiciji unakrsnog proizvoda imamo

Odnosno, unakrsni proizvod ima koordinate u datom koordinatnom sistemu.

Dužinu vektorskog proizvoda nalazimo kao kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih koordinata (ovu formulu za dužinu vektora smo dobili u dijelu o pronalaženju dužine vektora):

odgovor:

.

Primjer.

Koordinate tri tačke su date u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu. Nađite neki vektor koji je okomit i istovremeno.

Rješenje.

Vektori i imaju koordinate i, odnosno (pogledajte članak o pronalaženju koordinata vektora kroz koordinate tačaka). Ako pronađemo vektorski proizvod vektora i, onda je to po definiciji vektor okomit i na k i na k, odnosno, to je rješenje našeg problema. Nađi ga

odgovor:

- jedan od okomitih vektora.

U zadacima trećeg tipa testira se vještina korištenja svojstava vektorskog proizvoda vektora. Nakon primjene svojstava, primjenjuju se odgovarajuće formule.

Primjer.

Vektori i su okomiti i njihove dužine su 3 i 4, respektivno. Pronađite dužinu unakrsnog proizvoda .

Rješenje.

Svojstvom distributivnosti vektorskog proizvoda možemo pisati

Zbog svojstva kombinacije, izvlačimo numeričke koeficijente izvan predznaka vektorskih proizvoda u posljednjem izrazu:

Vektorski proizvodi i jednaki su nuli, budući da i , zatim .

Pošto je unakrsni proizvod antikomutativan, onda.

Dakle, koristeći svojstva vektorskog proizvoda, došli smo do jednakosti .

Po uslovu vektori i su okomiti, odnosno ugao između njih je jednak. Odnosno, imamo sve podatke da pronađemo potrebnu dužinu

odgovor:

.

Geometrijsko značenje vektorskog proizvoda.

Po definiciji, dužina vektorskog proizvoda vektora je ... A iz predmeta geometrije u srednjoj školi znamo da je površina trokuta polovina umnožaka dužina dviju stranica trokuta sa sinusom ugla između njih. Prema tome, dužina vektorskog proizvoda jednaka je dvostrukoj površini trokuta s vektorima i stranicama, ako su odvojeni od jedne tačke. Drugim riječima, dužina vektorskog proizvoda vektora i jednaka je površini paralelograma sa stranicama i kutom između njih jednakim. Ovo je geometrijsko značenje vektorskog proizvoda.

7.1. Definicija unakrsnog proizvoda

Tri nekoplanarna vektora a, b i c, uzeta navedenim redoslijedom, formiraju desni triplet ako se od kraja trećeg vektora c vidi najkraća rotacija od prvog vektora a do drugog vektora b u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, i lijevo, ako je u smjeru kazaljke na satu (vidi sliku 16).

Vektorski proizvod vektora a vektorom b je vektor c, koji:

1. Okomito na vektore a i b, odnosno c ^ a i c ^ b;

2. Ima dužinu brojčano jednaku površini paralelograma izgrađenog na vektorima a ib kao na bočnim stranama (vidi sl. 17), tj.

3. Vektori a, b i c formiraju desnu trojku.

Unakrsni proizvod se označava a x b ili [a, b]. Definicija vektorskog proizvoda direktno implicira sljedeće odnose između vektora i, j i k(vidi sliku 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Dokažimo, na primjer, to i hj = k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) |k | = 1, ali | i x j| = | i | J | sin (90°) = 1;

3) vektori i, j i k formiraju desnu trojku (vidi sliku 16).

7.2. Vektorska svojstva proizvoda

1. Kada se faktori preurede, vektorski proizvod mijenja predznak; a xb = (b xa) (vidi sliku 19).

Vektori a xb i b su kolinearni, imaju iste module (površina paralelograma ostaje nepromijenjena), ali suprotne smjerove (trojke a, b, a xb i a, b, b x a suprotne orijentacije). To je a xb = -(b xa).

2. Vektorski proizvod posjeduje kombinatorno svojstvo u odnosu na skalarni faktor, odnosno l (a hb) = (l a) h b = a h (l b).

Neka je l> 0. Vektor l (a xb) je okomit na vektore a i b. Vektor ( l sjekira b je također okomita na vektore a i b(vektori a, l i leže u istoj ravni). Otuda i vektori l(a xb) i ( l sjekira b kolinearno. Očigledno, njihovi pravci se poklapaju. Imaju istu dužinu:

Dakle l(a hb) = l a xb. Slično se može dokazati za l<0.

3. Dva različita od nule vektora a i b kolinearni ako i samo ako je njihov unakrsni proizvod jednak nultom vektoru, tj. a || b<=>a xb = 0.

Konkretno, i * i = j * j = k * k = 0.

4. Vektorski proizvod ima svojstvo distribucije:

(a + b) xc = a xc + b xc.

Prihvatićemo to bez dokaza.

7.3. Izraz unakrsnog proizvoda u koordinatama

Koristićemo tablicu unakrsnog proizvoda vektora i, j i k:

ako se smjer najkraće staze od prvog do drugog vektora poklapa sa smjerom strelice, tada je proizvod jednak trećem vektoru, ako ne, treći vektor se uzima sa predznakom minus.

Neka su data dva vektora a = a x i + a y j+ a z k i b = b x i+ b y j+ b z k... Nađimo unakrsni proizvod ovih vektora, množeći ih kao polinome (prema svojstvima unakrsnog proizvoda):

Rezultirajuća formula se može napisati još kraće:

budući da desna strana jednakosti (7.1) odgovara proširenju determinante trećeg reda po elementima prvog reda Jednakost (7.2) je lako zapamtiti.

7.4. Neke primjene vektorskog rada

Uspostavljanje kolinearnih vektora

Pronalaženje površine paralelograma i trougla

Prema definiciji vektorskog proizvoda vektora a i b | a xb | = a | * | b | sin g, to jest, S parova = | a x b |. I, prema tome, D S = 1/2 | a x b |.

Određivanje momenta sile u odnosu na tačku

Neka u tački A deluje sila F = AB pusti to O- neka tačka u prostoru (vidi sliku 20).

Iz fizike je poznato da moment sile F u odnosu na tačku O naziva se vektor M, koji prolazi kroz tačku O i:

1) okomito na ravan koja prolazi kroz tačke O, A, B;

2) brojčano jednak proizvodu sile po ramenu

3) formira desni triplet sa vektorima OA i AB.

Dakle, M = OA x F.

Pronalaženje linearne brzine rotacije

Brzina v tačka M krutog tijela koje rotira ugaonom brzinom w oko fiksne ose, određena je Ojlerovom formulom v = w hr, gde je r = OM, gde je O neka fiksna tačka ose (vidi sliku 21).

Prije nego što damo pojam vektorskog proizvoda, osvrnimo se na pitanje orijentacije uređenog tripleta vektora a →, b →, c → u trodimenzionalnom prostoru.

Ostavimo za početak vektore a →, b →, c → iz jedne tačke. Orijentacija trojke a →, b →, c → može biti desna ili lijeva, ovisno o smjeru samog vektora c →. Iz smjera u kojem se vrši najkraća rotacija od vektora a → do b → od kraja vektora c → odredit će se oblik trojke a →, b →, c →.

Ako je najkraća rotacija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada se trojka vektora a →, b →, c → naziva u pravu ako u smjeru kazaljke na satu - lijevo.

Zatim uzmite dva nekolinearna vektora a → i b →. Odložimo tada vektore A B → = a → i A C → = b → iz tačke A. Konstruišemo vektor A D → = c →, koji je istovremeno okomit i na A B → i na A C →. Dakle, kada konstruišemo sam vektor A D → = c → možemo uraditi dve stvari, dajući mu ili jedan ili suprotan smer (vidi ilustraciju).

Uređena trojka vektora a →, b →, c → može, kako smo saznali, biti desna ili leva, u zavisnosti od smera vektora.

Iz gore navedenog možemo uvesti definiciju unakrsnog proizvoda. Ova definicija je data za dva vektora definisana u pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora.

Definicija 1

Vektorski proizvod dva vektora a → i b → nazvaćemo takav vektor dat u pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora tako da:

• ako su vektori a → i b → kolinearni, biće nula;
• bit će okomit na vektor a → i vektor b → tj. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2;
• njegova dužina je određena formulom: c → = a → b → sin ∠ a →, b →;
• triplet vektora a →, b →, c → ima istu orijentaciju kao dati koordinatni sistem.

Vektorski proizvod vektora a → i b → ima sljedeću notaciju: a → × b →.

Vektorske koordinate proizvoda

Budući da svaki vektor ima određene koordinate u koordinatnom sistemu, možete unijeti drugu definiciju unakrsnog proizvoda, koja će vam omogućiti da pronađete njegove koordinate prema datim koordinatama vektora.

Definicija 2

U pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora vektorski proizvod dva vektora a → = (a x; a y; a z) i b → = (b x; b y; b z) naziva se vektor c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →, gdje je i →, j →, k → su koordinatni vektori.

Vektorski proizvod se može predstaviti kao determinanta kvadratne matrice trećeg reda, gde su prvi red vektori jediničnih vektora i →, j →, k →, drugi red sadrži koordinate vektora a →, a treći su koordinate vektora b → u datom pravokutnom koordinatnom sistemu, ova determinanta matrice izgleda ovako: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz

Proširujući ovu determinantu preko elemenata prvog reda, dobijamo jednakost: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = ayazbybz i → - axazbxbz j → + axaybxby k → = = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →

Vektorska svojstva proizvoda

Poznato je da je vektorski proizvod u koordinatama predstavljen kao determinanta matrice c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z, a zatim na osnovu svojstva determinante matrice prikazuje sljedeće svojstva vektorskog proizvoda:

1. antikomutativnost a → × b → = - b → × a →;
2. distributivnost a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ili a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) →;
3. asocijativnost λ a → × b → = λ a → × b → ili a → × (λ b →) = λ a → × b →, gdje je λ proizvoljan realan broj.

Ova svojstva nije teško dokazati.

Kao primjer, možemo dokazati svojstvo antikomutativnosti vektorskog proizvoda.

Dokaz antikomutativnosti

Po definiciji, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z i b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. A ako su dva reda matrice preuređena, tada bi se vrijednost determinante matrice trebala promijeniti u suprotno, dakle, a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = - i → j → k → bxbybzaxayaz = - b → × a →, što i dokazuje antikomutativnost vektorskog proizvoda.

Vektorski proizvod - primjeri i rješenja

U većini slučajeva postoje tri vrste zadataka.

U problemima prvog tipa obično su date dužine dva vektora i ugao između njih, ali morate pronaći dužinu unakrsnog proizvoda. U ovom slučaju koristite sljedeću formulu c → = a → b → sin ∠ a →, b →.

Primjer 1

Pronađite dužinu vektorskog proizvoda vektora a → i b → ako znate a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Rješenje

Određivanjem dužine vektorskog proizvoda vektora a → i b → riješit ćemo ovaj problem: a → × b → = a → b → sin ∠ a →, b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2.

odgovor: 15 2 2 .

Problemi drugog tipa imaju veze sa koordinatama vektora, u njima unakrsni proizvod, njegova dužina itd. se pretražuju kroz poznate koordinate datih vektora a → = (a x; a y; a z) i b → = (b x; b y; b z) .

Za ovu vrstu zadataka možete riješiti mnogo opcija za zadatke. Na primjer, ne mogu se dati koordinate vektora a → i b →, već njihova proširenja u koordinatnim vektorima oblika b → = b x i → + b y j → + b z k → i c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →, ili vektori a → i b → mogu biti specificirani po koordinatama njihove početne i krajnje tačke.

Razmotrite sljedeće primjere.

Primjer 2

U pravougaonom koordinatnom sistemu data su dva vektora a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Pronađite njihov unakrsni proizvod.

Rješenje

Prema drugoj definiciji, nalazimo vektorski proizvod dva vektora u datim koordinatama: a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay Bx ) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Ako vektorski proizvod zapišemo kroz determinantu matrice, tada rješenje ovog primjera izgleda ovako: a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

odgovor: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Primjer 3

Odrediti dužinu vektorskog proizvoda vektora i → - j → i i → + j → + k →, gdje su i →, j →, k → jedinični vektori pravokutnog Dekartovog koordinatnog sistema.

Rješenje

Prvo, nalazimo koordinate datog vektorskog proizvoda i → - j → × i → + j → + k → u datom pravougaonom koordinatnom sistemu.

Poznato je da vektori i → - j → i i → + j → + k → imaju koordinate (1; - 1; 0) i (1; 1; 1), respektivno. Nađimo dužinu vektorskog proizvoda koristeći determinantu matrice, tada imamo i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → ...

Dakle, vektorski proizvod i → - j → × i → + j → + k → ima koordinate (- 1; - 1; 2) u datom koordinatnom sistemu.

Dužinu vektorskog proizvoda nalazimo po formuli (pogledajte dio o pronalaženju dužine vektora): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

odgovor: i → - j → × i → + j → + k → = 6. ...

Primjer 4

U pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu date su koordinate tri tačke A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Nađite vektor okomit na A B → i A C → u isto vrijeme.

Rješenje

Vektori A B → i A C → imaju sljedeće koordinate (- 1; 2; 2) i (0; 4; 1), respektivno. Nakon što smo pronašli vektorski proizvod vektora A B → i A C →, očigledno je da je to okomit vektor po definiciji i na A B → i na A C →, odnosno da je rješenje našeg problema. Nađimo ga A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k →.

odgovor: - 6 i → + j → - 4 k →. - jedan od okomitih vektora.

Problemi trećeg tipa su usmjereni na korištenje svojstava vektorskog proizvoda vektora. Nakon primjene koje, dobićemo rješenje zadatog problema.

Primjer 5

Vektori a → i b → su okomiti i njihove dužine su 3 i 4, respektivno. Pronađite dužinu vektorskog proizvoda 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →.

Rješenje

Svojstvom distributivnosti vektorskog proizvoda možemo napisati 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Svojstvom asocijativnosti pomeramo numeričke koeficijente izvan predznaka vektorskih proizvoda u poslednjem izrazu: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorski proizvodi a → × a → i b → × b → su 0 jer je a → × a → = a → a → sin 0 = 0 i b → × b → = b → b → sin 0 = 0, zatim 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a →. ...

Antikomutativnost vektorskog proizvoda implicira - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b →. ...

Koristeći svojstva vektorskog proizvoda, dobijamo jednakost 3 a → - b → × a → - 2 b → = = - 5 a → × b →.

Po hipotezi, vektori a → i b → su okomiti, odnosno ugao između njih je π 2. Sada ostaje samo zamijeniti pronađene vrijednosti u odgovarajuće formule: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a →, b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60.

odgovor: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Dužina vektorskog proizvoda vektora po redosledu jednaka je a → × b → = a → b → sin ∠ a →, b →. Pošto je već poznato (iz školskog predmeta) da je površina trokuta jednaka polovini umnoška dužina njegovih dviju stranica pomnoženog sa sinusom ugla između ovih stranica. Dakle, dužina vektorskog proizvoda jednaka je površini paralelograma - udvojenog trokuta, odnosno umnožak stranica u obliku vektora a → i b →, odvojenih od jedne tačke, sinusom od ugao između njih sin ∠ a →, b →.

Ovo je geometrijsko značenje vektorskog proizvoda.

Fizičko značenje vektorskog proizvoda

U mehanici, jednoj od grana fizike, zahvaljujući vektorskom proizvodu, možete odrediti moment sile u odnosu na tačku u prostoru.

Definicija 3

Pod momentom sile F → primijenjene na tačku B, u odnosu na tačku A, podrazumijevamo sljedeći vektorski proizvod A B → × F →.

Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter

MJEŠOVITI PROIZVOD TRI VEKTORA I NJEGOVA SVOJSTVA

Mješoviti posao tri vektora nazivaju se brojem jednakim. Označeno ... Ovdje se prva dva vektora množe vektorski, a zatim se rezultirajući vektor množi skalarno trećim vektorom. Očigledno, takav proizvod je određeni broj.

Razmotrite svojstva miješanog proizvoda.

1. Geometrijsko značenje mješoviti posao. Mješoviti proizvod 3 vektora, do predznaka, jednak je zapremini paralelepipeda izgrađenog na ovim vektorima, kao na ivicama, tj. ...

   Dakle, i .

   

   Dokaz... Odvojite vektore iz zajedničkog ishodišta i na njima izgradite paralelepiped. Označimo i zabilježimo to. Po definiciji dot proizvoda

   Pretpostavljajući to i označavajući sa h visina paralelepipeda, nalazimo.

   Dakle, za

   Ako, onda i. Dakle, .

   Kombinujući oba ova slučaja, dobijamo ili.

   Konkretno, iz dokaza ovog svojstva slijedi da ako je trojka vektora desna, onda je mješoviti proizvod, a ako je lijeva, onda.

2. Za sve vektore, jednakost

   Dokaz ovog svojstva slijedi iz svojstva 1. Zaista, lako je pokazati da i. Štaviše, znakovi "+" i "-" uzimaju se istovremeno, jer uglovi između vektora i i i su akutni ili tupi.

3. Nakon permutacije bilo koja dva faktora, mješoviti proizvod mijenja predznak.

   Zaista, ako uzmemo u obzir mješovito djelo, onda, na primjer, ili

4. Mješoviti proizvod ako i samo ako je jedan od faktora nula ili su vektori komplanarni.

   Dokaz.

   Dakle, neophodan i dovoljan uslov za komplanarnost 3 vektora je jednakost nule njihovog mješovitog proizvoda. Osim toga, slijedi da tri vektora čine osnovu u prostoru, ako.

   Ako su vektori dati u koordinatnom obliku, onda se može pokazati da se njihov mješoviti proizvod nalazi po formuli:

   .

   To jest, mješoviti proizvod je jednak determinanti trećeg reda, u kojoj prvi red sadrži koordinate prvog vektora, drugi red sadrži koordinate drugog vektora, a treći red sadrži treći vektor.

   Primjeri.

ANALITIČKA GEOMETRIJA U PROSTORU

Jednačina F (x, y, z)= 0 definira u prostoru Oxyz neke površine, tj. lokus tačaka čije koordinate x, y, z zadovoljiti ovu jednačinu. Ova jednačina se naziva jednačina površine i x, y, z- trenutne koordinate.

Međutim, često površina nije određena jednadžbom, već kao skup tačaka u prostoru koje imaju jedno ili drugo svojstvo. U ovom slučaju potrebno je pronaći jednadžbu površine na osnovu njenih geometrijskih svojstava.

AVION.

NORMALNI RAVNI VEKTOR.

JEDNAČINA ZA RAVAN KOJI PROLAZI KROZ ZADANU TAČKU

Razmotrimo proizvoljnu ravan σ u prostoru. Njegov položaj je određen specificiranjem vektora okomitog na ovu ravan i neke fiksne tačke M 0(x 0, y 0, z 0) koji leži u ravni σ.

Vektor okomit na ravan σ naziva se normalno vektor ove ravni. Neka vektor ima koordinate.

Izvedemo jednačinu ravni σ koja prolazi kroz datu tačku M 0 i imaju normalan vektor. Da biste to učinili, uzmite proizvoljnu tačku na ravni σ M (x, y, z) i razmotrimo vektor.

Za bilo koju tačku MÎ σ je vektor, pa je njihov skalarni proizvod jednak nuli. Ova jednakost je uslov da tačka MÎ σ. Važi za sve tačke ove ravni i narušava se čim tačka M biće izvan ravni σ.

Ako označimo radijus vektorom tačke M, Je radijus vektor tačke M 0, tada se jednačina može napisati i u obliku

Ova jednačina se zove vektor jednačina ravnine. Zapišimo to u koordinatnom obliku. Od tada

Dakle, dobili smo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz ovu tačku. Dakle, da biste formirali jednadžbu ravnine, morate znati koordinate vektora normale i koordinate neke tačke koja leži na ravni.

Imajte na umu da je jednadžba ravni jednačina 1. stepena u odnosu na trenutne koordinate x, y i z.

Primjeri.

OPŠTA JEDNAČINA RAVNI

Može se pokazati da bilo koja jednačina prvog stepena u odnosu na kartezijanske koordinate x, y, z je jednadžba određene ravni. Ova jednačina se piše kao:

Ax + By + Cz + D=0

i pozvao opšta jednačina ravni i koordinate A, B, C ovdje su koordinate vektora normale ravnine.

Razmotrimo posebne slučajeve opće jednačine. Hajde da saznamo kako se ravan nalazi u odnosu na koordinatni sistem ako jedan ili više koeficijenata jednačine nestane.

A je dužina linije koju preseca ravan na osi Ox... Slično, to se može pokazati b i c- dužine segmenata odsječenih dotičnom ravninom na osi Oy i Oz.

Pogodno je koristiti jednadžbu ravnine u segmentima za konstruisanje ravni.

U ovoj lekciji ćemo pogledati još dvije vektorske operacije: vektorski proizvod vektora i mješoviti proizvod vektora (odmah link, kome treba)... U redu je, ponekad se desi da i za potpunu sreću, pored toga tačkasti proizvod vektora, potrebno je sve više i više. Takva je vektorska zavisnost. Mogao bi se steći utisak da ulazimo u džunglu analitičke geometrije. Ovo nije istina. U ovom dijelu više matematike uglavnom nema dovoljno drva za ogrjev, osim što ima dovoljno za Buratino. Zapravo, materijal je vrlo uobičajen i jednostavan - jedva komplikovaniji od istog skalarni proizvod, bit će čak i manje tipičnih zadataka. Glavna stvar u analitičkoj geometriji, u što će se mnogi uvjeriti ili su se već uvjerili, je DA NE POGREŠITE U PRORAČUNIMA. Ponovite kao čaroliju i bićete sretni =)

Ako vektori svjetlucaju negdje daleko, kao munja na horizontu, nije važno, počnite s lekcijom Vektori za lutke da povrati ili povrati osnovno znanje o vektorima. Spremniji čitatelji mogu se selektivno upoznati s informacijama, pokušao sam prikupiti najpotpuniju zbirku primjera koji se često nalaze u praktičnim radovima

Kako vam odmah ugoditi? Kada sam bio mali, znao sam da žongliram sa dve ili čak tri lopte. Ispalo je spretno. Sada nećete morati uopšte da žonglirate, pošto ćemo razmotriti samo prostorni vektori, a ravni vektori sa dvije koordinate će biti izostavljeni. Zašto? Tako su se ove radnje rodile - vektor i mješoviti proizvod vektora su definirani i rade u trodimenzionalnom prostoru. Već je lakše!

Ova operacija, na isti način kao u tačkastom proizvodu, uključuje dva vektora... Neka ovo budu neprolazna slova.

Sama akcija označeno na sledeći način: . Postoje i druge opcije, ali ja sam navikao da vektorski proizvod vektora označavam na taj način, u uglastim zagradama sa krstom.

I to odmah pitanje: ako je unutra tačkasti proizvod vektora dva vektora su uključena, a i ovdje se dva vektora množe, dakle koja je razlika? Očigledna razlika je, prije svega, u REZULTATU:

Rezultat tačkastog proizvoda vektora je BROJ:

Vektorski proizvod vektora rezultira VEKTOROM:, odnosno množimo vektore i ponovo dobijamo vektor. Zatvoren klub. Zapravo, otuda i naziv operacije. U različitoj obrazovnoj literaturi oznake se također mogu razlikovati, koristit ću slovo.

Definicija unakrsnog proizvoda

Prvo će biti definicija sa slikom, zatim komentari.

Definicija: Po vektorskom proizvodu nekolinearno vektori, uzeti ovim redoslijedom, pod nazivom VEKTOR, dužina koji brojčano jednaka površini paralelograma izgrađen na ovim vektorima; vektor ortogonalno na vektore, i usmjeren je tako da osnova ima pravu orijentaciju:

Definiciju analiziramo po kostima, ima mnogo zanimljivih stvari!

Dakle, mogu se istaći sljedeće bitne tačke:

1) Originalni vektori, označeni crvenim strelicama, po definiciji nije kolinearno... Bilo bi prikladno razmotriti slučaj kolinearnih vektora malo kasnije.

2) Vektori su uzeti po strogo definisanom redosledu: – "A" se množi sa "bh", a ne "bh" do "a". Rezultat množenja vektora je VEKTOR, koji je označen plavom bojom. Ako se vektori pomnože obrnutim redoslijedom, dobićemo vektor jednake dužine i suprotnog smjera (grimizna boja). Odnosno, jednakost je tačna .

3) Hajde da se sada upoznamo sa geometrijskim značenjem vektorskog proizvoda. Ovo je veoma važna tačka! DUŽINA plavog vektora (a samim tim i grimiznoga) je numerički jednaka POVRŠINI paralelograma izgrađenog na vektorima. Na slici je ovaj paralelogram obojen crnom bojom.

Bilješka : crtež je shematski, i, naravno, nazivna dužina poprečnog proizvoda nije jednaka površini paralelograma.

Podsjećamo na jednu od geometrijskih formula: površina paralelograma jednaka je umnošku susjednih stranica na sinus ugla između njih... Stoga, na osnovu gore navedenog, vrijedi formula za izračunavanje DUŽINE vektorskog proizvoda:

Naglašavam da se u formuli govori o DUŽINI vektora, a ne o samom vektoru. Koja je praktična poenta? A značenje je da se u problemima analitičke geometrije površina paralelograma često nalazi kroz koncept vektorskog proizvoda:

Hajde da dobijemo drugu važnu formulu. Dijagonala paralelograma (crvena tačkasta linija) dijeli ga na dva jednaka trougla. Stoga se površina trokuta izgrađenog na vektorima (crveno sjenčanje) može pronaći po formuli:

4) Jednako važna činjenica je da je vektor ortogonan na vektore, tj. ... Naravno, suprotno usmjereni vektor (grimizna strelica) je također ortogonan prema originalnim vektorima.

5) Vektor je usmjeren tako da osnovu Ima u pravu orijentacija. U lekciji o prelazak na novu osnovu Govorio sam dovoljno detaljno o tome orijentacija u ravnini, a sada ćemo shvatiti kakva je orijentacija prostora. Na prste ću ti objasniti desna ruka... Mentalno kombinujte kažiprst sa vektorom i srednji prst sa vektorom. Domaći prst i mali prst pritisnite ga na dlan. Kao rezultat thumb- unakrsni proizvod će tražiti gore. Ovo je desno orijentisana osnova (na slici je to). Sada promijenite vektore ( kažiprst i srednji prst) na mjestima, kao rezultat toga, palac će se otvoriti, a križni proizvod će već gledati prema dolje. Ovo je takođe pravo orijentisana osnova. Možda imate pitanje: šta je osnova lijeve orijentacije? "Dodeli" istim prstima lijeva ruka vektora, te dobijemo lijevu osnovu i lijevu orijentaciju prostora (u ovom slučaju, palac će biti lociran u smjeru donjeg vektora)... Slikovito rečeno, ove podloge "uvijaju" ili usmjeravaju prostor u različitim smjerovima. I ovaj koncept ne treba smatrati nečim nategnutim ili apstraktnim - na primjer, orijentaciju prostora mijenja najobičnije ogledalo, a ako "izvučete reflektirani predmet iz ogledala", onda u općenitom slučaju neće ga biti moguće kombinovati sa “originalom”. Usput, prinesi tri prsta ogledalu i analiziraj odraz ;-)

... kako je dobro što sada znaš desno i lijevo orijentisan baze, jer su izjave nekih predavača o promjeni orijentacije strašne =)

Unakrsni proizvod kolinearnih vektora

Definicija je detaljno analizirana, ostaje da se otkrije šta se dešava kada su vektori kolinearni. Ako su vektori kolinearni, onda se mogu locirati na jednoj pravoj liniji i naš paralelogram se također "preklapa" u jednu pravu liniju. Područje takvog, kako kažu matematičari, degenerisati paralelogram je nula. Isto proizlazi iz formule - sinus od nula ili 180 stepeni jednak je nuli, što znači da je površina nula.

Dakle, ako, onda i ... Imajte na umu da je sam unakrsni proizvod jednak nultom vektoru, ali u praksi se to često zanemaruje i piše da je i nula.

Poseban slučaj je vektorski proizvod samog vektora:

Koristeći unakrsni proizvod, možete provjeriti kolinearnost trodimenzionalnih vektora, a mi ćemo, između ostalog, analizirati i ovaj problem.

Za rješavanje praktičnih primjera, možda će vam trebati trigonometrijska tabela da iz njega nađete vrijednosti sinusa.

Pa zapalimo vatru:

Primjer 1

a) Nađite dužinu vektorskog proizvoda vektora if

b) Nađite površinu paralelograma izgrađenog na vektorima ako

Rješenje: Ne, ovo nije greška u kucanju, namjerno sam napravio iste početne podatke u klauzulama uslova. Jer će dizajn rješenja biti drugačiji!

a) Po uslovu, potrebno je pronaći Dužina vektor (vektorski proizvod). Prema odgovarajućoj formuli:

Odgovori:

Pošto je postavljeno pitanje o dužini, onda u odgovoru označavamo dimenziju - jedinice.

b) Po uslovu, potrebno je pronaći kvadrat paralelogram izgrađen na vektorima. Površina ovog paralelograma je numerički jednaka dužini vektorskog proizvoda:

Odgovori:

Napominjemo da odgovor o vektorskom proizvodu uopće ne dolazi u obzir, o čemu su nas pitali područje figure, odnosno, dimenzija je kvadratna jedinica.

Uvek gledamo ŠTA je potrebno da se nađe uslovom, i na osnovu toga formulišemo jasno odgovori. Možda se čini kao bukvalnost, ali među nastavnicima ima dovoljno literalista, a zadatak sa dobrim izgledima će se vratiti na reviziju. Iako ovo nije posebno nategnuto prigovaranje - ako je odgovor netačan, onda se stječe utisak da osoba ne razumije jednostavne stvari i/ili ne razumije suštinu zadatka. Ovaj momenat se uvek mora držati pod kontrolom, rešavajući bilo koji problem iz više matematike, ali i iz drugih predmeta.

Gdje je nestalo veliko slovo "en"? U principu bi se to moglo dodatno ugurati u rješenje, ali da bih skratio snimak nisam. Nadam se da svi to razumiju i da je oznaka iste stvari.

Popularan primjer rješenja uradi sam:

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Formula za pronalaženje površine trokuta kroz unakrsni proizvod data je u komentarima na definiciju. Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

U praksi je zadatak zaista vrlo čest, trouglovi vas generalno mogu mučiti.

Za rješavanje ostalih problema potrebno nam je:

Vektorska svojstva proizvoda

Već smo razmotrili neka svojstva unakrsnog proizvoda, međutim, uključit ću ih u ovu listu.

Za proizvoljne vektore i proizvoljan broj vrijede sljedeća svojstva:

1) U drugim izvorima informacija ova stavka se obično ne ističe u svojstvima, ali je u praktičnom smislu veoma važna. Neka bude.

2) - o imovini se također govori gore, ponekad se naziva antikomutativnost... Drugim riječima, redoslijed vektora je bitan.

3) - kombinacija ili asocijativni zakoni vektorskog proizvoda. Konstante se neprimjetno uklanjaju izvan vektorskog proizvoda. Zaista, šta da rade tamo?

4) - distribucija ili distributivni zakoni vektorskog proizvoda. Nema problema ni sa proširenjem zagrada.

Kao demonstraciju, razmotrite kratak primjer:

Primjer 3

Pronađite ako

Rješenje: Prema uslovu, opet je potrebno pronaći dužinu unakrsnog proizvoda. Hajde da napišemo našu sličicu:

(1) Prema asocijativnim zakonima, pomjeramo konstante izvan podjele vektorskog proizvoda.

(2) Konstantu pomičemo iz modula, dok modul "jede" znak minus. Dužina ne može biti negativna.

(3) Ono što slijedi je jasno.

Odgovori:

Vrijeme je da stavite drva na vatru:

Primjer 4

Izračunajte površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Rješenje: Površina trokuta se nalazi po formuli ... Kvaka je u tome što su vektori "tse" i "de" sami predstavljeni kao sume vektora. Algoritam ovdje je standardan i pomalo podsjeća na primjere 3 i 4 iz lekcije Tačkasti proizvod vektora... Radi jasnoće, podijelimo rješenje u tri faze:

1) U prvom koraku izražavamo vektorski proizvod u smislu vektorskog proizvoda, u stvari, izraziti vektor u terminima vektora... Još ni riječi o dužinama!

(1) Zamjenski vektorski izrazi.

(2) Koristeći distributivne zakone, širimo zagrade prema pravilu množenja polinoma.

(3) Koristeći asocijativne zakone, pomjeramo sve konstante izvan vektorskih proizvoda. Uz malo iskustva, radnje 2 i 3 se mogu izvoditi istovremeno.

(4) Prvi i posljednji član su jednaki nuli (nulti vektor) zbog ugodnog svojstva. U drugom terminu koristimo svojstvo antikomutativnosti vektorskog proizvoda:

(5) Predstavljamo slične pojmove.

Kao rezultat toga, vektor je izražen kao vektor, što je bilo potrebno da se postigne:

2) U drugom koraku nalazimo dužinu vektorskog proizvoda koji nam je potreban. Ova radnja liči na primjer 3:

3) Pronađite površinu traženog trokuta:

Faze 2-3 odluke mogu se završiti u jednom redu.

Odgovori:

Razmatrani problem je prilično čest u testnim radovima, evo primjera za nezavisno rješenje:

Primjer 5

Pronađite ako

Kratko rješenje i odgovor na kraju tutorijala. Da vidimo koliko ste bili oprezni kada ste proučavali prethodne primjere ;-)

Vektorski proizvod vektora u koordinatama

dato na ortonormalnoj osnovi, izraženo formulom:

Formula je zaista jednostavna: u gornji red determinante upisujemo koordinatne vektore, u drugi i treći red "stavljamo" koordinate vektora i stavljamo u strogom redu- prvo koordinate vektora "ve", zatim koordinate vektora "double-ve". Ako se vektori trebaju pomnožiti drugim redoslijedom, tada treba zamijeniti linije:

Primjer 10

Provjerite jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:
a)
b)

Rješenje: Provjera se zasniva na jednoj od izjava u ovoj lekciji: ako su vektori kolinearni, onda je njihov unakrsni proizvod jednak nuli (nulti vektor): .

a) Pronađite unakrsni proizvod:

Dakle, vektori nisu kolinearni.

b) Pronađite unakrsni proizvod:

Odgovori: a) nije kolinearan, b)

Ovdje su, možda, sve osnovne informacije o vektorskom proizvodu vektora.

Ova sekcija neće biti velika, jer nema mnogo zadataka u kojima se koristi mješoviti proizvod vektora. Zapravo, sve će počivati ​​na definiciji, geometrijskom značenju i nekoliko radnih formula.

Mješoviti proizvod vektora je proizvod tri vektora:

Tako su stajali u redu sa malim vozom i čekaju, jedva čekaju da se otkriju.

Prvo, opet definicija i slika:

Definicija: Mješoviti rad nekoplanarni vektori, uzeti ovim redoslijedom se zove zapremina paralelepipeda, izgrađen na datim vektorima, opremljen znakom “+” ako je osnova desna i znakom “-” ako je baza lijeva.

Hajde da završimo crtež. Linije koje su nama nevidljive nacrtane su isprekidanom linijom:

Uronimo u definiciju:

2) Vektori su uzeti određenim redosledom, odnosno permutacija vektora u proizvodu, kao što možete pretpostaviti, ne prolazi bez posljedica.

3) Prije nego što komentiram geometrijsko značenje, primijetit ću očiglednu činjenicu: mješoviti proizvod vektora je BROJ:. U obrazovnoj literaturi dizajn može biti nešto drugačiji, ja sam naviknut označavati mješoviti rad kroz, a rezultat proračuna slovom "pe".

Po definiciji mješoviti proizvod je zapremina paralelepipeda izgrađen na vektorima (figura je nacrtana crvenim vektorima i crnim linijama). Odnosno, broj je jednak zapremini ovog paralelepipeda.

Bilješka : crtež je šematski.

4) Nemojmo se iznova zamarati konceptom baze i prostorne orijentacije. Značenje završnog dijela je da se volumenu može dodati znak minus. Jednostavnim riječima, mješoviti rad može biti negativan:.

Formula za izračunavanje volumena paralelepipeda izgrađenog na vektorima slijedi direktno iz definicije.