संभाव्य सांख्यिकीय गणितीय मॉडल। सांख्यिकीय मॉडलिंग

सांख्यिकीय मॉडलिंग

गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए एक संख्यात्मक विधि, जिसमें आवश्यक मात्राओं को कुछ यादृच्छिक घटना की संभाव्य विशेषताओं द्वारा दर्शाया जाता है, इस घटना को मॉडल किया जाता है, जिसके बाद आवश्यक विशेषताओं को मॉडल के "टिप्पणियों" के सांख्यिकीय प्रसंस्करण द्वारा लगभग निर्धारित किया जाता है। उदाहरण के लिए, गर्म पतली धातु की प्लेट में ताप प्रवाह की गणना करना आवश्यक है, जिसके किनारों को शून्य तापमान पर बनाए रखा जाता है। ऊष्मा वितरण को तरल की परत में पेंट के एक धब्बे के फैलने के समान समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है (देखें तापीय चालकता, प्रसार)। इसलिए, वे प्लेट पर "पेंट" कणों की समतल ब्राउनियन गति का अनुकरण करते हैं, क्षणों में उनकी स्थिति की निगरानी करते हैं कτ, क= 0, 1, 2,... यह लगभग माना जाता है कि एक छोटे से अंतराल पर τ कण एक कदम चलता है एचसभी दिशाओं में समान रूप से संभावित। हर बार दिशा को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, पिछली सभी चीज़ों की परवाह किए बिना। τ और के बीच संबंध एचतापीय चालकता गुणांक द्वारा निर्धारित। यह गतिविधि ताप स्रोत पर शुरू होती है और किनारे पर पहली बार पहुंचने पर समाप्त होती है (किनारे पर "पेंट" का चिपकना देखा जाता है)। सीमा के खंड सी के माध्यम से ताप प्रवाह क्यू (सी) को चिपकने वाले पेंट की मात्रा से मापा जाता है। कुल मात्रा के साथ एनबड़ी संख्या के नियम के अनुसार कण ऐसा अनुमान चुने गए मॉडल की विसंगति के कारण क्रम एच की एक यादृच्छिक सापेक्ष त्रुटि देता है)।

वांछित मान को एक संख्यात्मक फ़ंक्शन की गणितीय अपेक्षा (गणितीय अपेक्षा देखें) द्वारा दर्शाया जाता है एफघटना के यादृच्छिक परिणाम ω से: , यानी, संभाव्यता माप पी पर एक अभिन्न अंग (एक सेट का माप देखें)। मूल्यांकन के लिए , जहां ω 1 ,..., ω एन -सिम्युलेटेड परिणामों को यादृच्छिक नोड्स के साथ संकेतित अभिन्न अंग के लिए एक चतुर्भुज सूत्र के रूप में देखा जा सकता है ω कऔर यादृच्छिक त्रुटि आरएन आमतौर पर स्वीकार किया जाता है , बड़ी त्रुटि को नगण्य मानना; फैलाव डी.एफअवलोकनों के माध्यम से मूल्यांकन किया जा सकता है (त्रुटि सिद्धांत देखें)।

उपरोक्त उदाहरण में एफ(ω)= 1 , जब प्रक्षेपवक्र C पर समाप्त होता है; अन्यथा एफ(ω) = 0. विचरण

प्रत्येक "प्रयोग" के संचालन को दो भागों में विभाजित किया गया है: एक यादृच्छिक परिणाम का "ड्रा" ω और फ़ंक्शन की बाद की गणना एफ(ω). जब सभी परिणामों का स्थान और संभाव्यता माप पी बहुत जटिल होते हैं, तो ड्राइंग क्रमिक रूप से कई चरणों में की जाती है (उदाहरण देखें)। प्रत्येक चरण में यादृच्छिक चयन यादृच्छिक संख्याओं का उपयोग करके किया जाता है, उदाहरण के लिए कुछ भौतिक सेंसर द्वारा उत्पन्न; उनकी अंकगणितीय नकल का भी उपयोग किया जाता है - छद्म यादृच्छिक संख्याएं (यादृच्छिक और छद्म यादृच्छिक संख्याएं देखें)। इसी तरह की यादृच्छिक चयन प्रक्रियाओं का उपयोग गणितीय सांख्यिकी और गेम सिद्धांत में किया जाता है।

कंप्यूटर पर इंटीग्रल समीकरणों को हल करने के लिए एसएम का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, बड़ी प्रणालियों के अध्ययन में (बड़ी प्रणाली देखें)। वे अपनी बहुमुखी प्रतिभा के कारण सुविधाजनक हैं; एक नियम के रूप में, उन्हें बड़ी मात्रा में मेमोरी की आवश्यकता नहीं होती है। नुकसान बड़ी यादृच्छिक त्रुटियाँ हैं, जो प्रयोगों की संख्या बढ़ने के साथ-साथ बहुत धीरे-धीरे कम होती जाती हैं। इसलिए, मॉडलों को बदलने के तरीके विकसित किए गए हैं जो प्रेक्षित मूल्यों के बिखराव और मॉडल प्रयोग की मात्रा को कम करना संभव बनाते हैं।

लिट.:सांख्यिकीय परीक्षणों की विधि (मोंटे कार्लो विधि), एम., 1962; एर्माकोव एस.एम., मोंटे कार्लो विधि और संबंधित मुद्दे, एम., 1971।

एन एन चेंटसोव।

महान सोवियत विश्वकोश। - एम.: सोवियत विश्वकोश. 1969-1978 .

देखें अन्य शब्दकोशों में "सांख्यिकीय मॉडलिंग" क्या है:

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पुस्तकें

• सांख्यिकीय मॉडलिंग. मोंटे कार्लो विधियाँ. स्नातक और मास्टर डिग्री के लिए पाठ्यपुस्तक, मिखाइलोव जी.ए. पाठ्यपुस्तक यादृच्छिक चर, प्रक्रियाओं और क्षेत्रों के मॉडलिंग की विशेषताओं के लिए समर्पित है। संख्यात्मक एकीकरण पर विशेष ध्यान दिया जाता है, विशेषकर मोंटे कार्लो पद्धति पर। एक समाधान दिया गया है...

सांख्यिकीय मॉडलिंग में सन्निहित धारणाएँ संभाव्यता वितरण के एक सेट का वर्णन करती हैं, जिनमें से कुछ को वितरण को पर्याप्त रूप से अनुमानित करने के लिए माना जाता है। परिभाषा से, एक विशिष्ट डेटा सेट चुना जाता है। सांख्यिकीय मॉडलिंग में निहित संभाव्यता वितरण ही सांख्यिकीय मॉडल को अन्य, गैर-सांख्यिकीय, गणितीय मॉडल से अलग करते हैं।

गणित से संबंध

यह वैज्ञानिक पद्धति मुख्य रूप से गणित में निहित है। सिस्टम का सांख्यिकीय मॉडलिंग आमतौर पर गणितीय समीकरणों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है जो एक या अधिक यादृच्छिक चर और संभवतः अन्य गैर-यादृच्छिक चर से संबंधित होते हैं। इस प्रकार, एक सांख्यिकीय मॉडल "एक सिद्धांत का औपचारिक प्रतिनिधित्व" है (हरमन एडर, केनेथ बोलेन का हवाला देते हुए)।

सभी सांख्यिकीय परिकल्पना परीक्षण और सभी सांख्यिकीय अनुमान सांख्यिकीय मॉडल से प्राप्त होते हैं। अधिक सामान्यतः, सांख्यिकीय मॉडल सांख्यिकीय अनुमान के आधार का हिस्सा होते हैं।

सांख्यिकीय मॉडलिंग के तरीके

अनौपचारिक रूप से, एक सांख्यिकीय मॉडल को एक निश्चित संपत्ति के साथ एक सांख्यिकीय धारणा (या सांख्यिकीय मान्यताओं का सेट) के रूप में सोचा जा सकता है: यह धारणा हमें किसी भी घटना की संभावना की गणना करने की अनुमति देती है। उदाहरण के तौर पर, नियमित छह-तरफा पासों की एक जोड़ी पर विचार करें। हम पासे के बारे में दो अलग-अलग सांख्यिकीय धारणाओं का अध्ययन करेंगे।

पहली सांख्यिकीय धारणा एक सांख्यिकीय मॉडल का निर्माण करती है क्योंकि केवल एक धारणा से हम किसी भी घटना की संभावना की गणना कर सकते हैं। एक वैकल्पिक सांख्यिकीय धारणा एक सांख्यिकीय मॉडल का गठन नहीं करती है क्योंकि केवल एक धारणा के साथ हम प्रत्येक घटना की संभावना की गणना नहीं कर सकते हैं।

उपरोक्त उदाहरण में, पहली धारणा के साथ, किसी घटना की संभावना की गणना करना आसान है। हालाँकि, कुछ अन्य उदाहरणों में, गणना कठिन या अव्यावहारिक भी हो सकती है (उदाहरण के लिए, इसमें लाखों वर्षों की गणना की आवश्यकता हो सकती है)। सांख्यिकीय मॉडल बनाने वाली धारणा के लिए, यह कठिनाई स्वीकार्य है: गणना करना व्यावहारिक नहीं है, केवल सैद्धांतिक रूप से संभव है।

मॉडलों के उदाहरण

आइए मान लें कि हमारे पास स्कूली बच्चों की आबादी है और बच्चे उम्र के हिसाब से समान रूप से वितरित हैं। एक बच्चे की ऊंचाई उम्र से संबंधित होगी: उदाहरण के लिए, जब हम जानते हैं कि एक बच्चा 7 साल का है, तो यह संभावना को प्रभावित करता है कि बच्चा 5 फीट लंबा (लगभग 152 सेमी) होगा। हम इस रिश्ते को एक रेखीय प्रतिगमन मॉडल में औपचारिक रूप दे सकते हैं, उदाहरण के लिए: ऊंचाई = b0 + b1agei + εi, जहां b0 अवरोधन है, b1 वह पैरामीटर है जिसके द्वारा ऊंचाई भविष्यवाणी प्राप्त करने के लिए उम्र को गुणा किया जाता है, εi त्रुटि शब्द है। इसका तात्पर्य यह है कि ऊंचाई का अनुमान कुछ त्रुटि के साथ उम्र के अनुसार लगाया जाता है।

एक वैध मॉडल को सभी डेटा बिंदुओं पर फिट होना चाहिए। इसलिए एक सीधी रेखा (ऊंचाई = b0 + b1agei) डेटा मॉडल के लिए एक समीकरण नहीं हो सकती - जब तक कि यह सभी डेटा बिंदुओं पर सटीक रूप से फिट न हो, यानी, सभी डेटा बिंदु पूरी तरह से लाइन पर स्थित हों। मॉडल के सभी डेटा बिंदुओं को फिट करने के लिए त्रुटि शब्द εi को समीकरण में शामिल किया जाना चाहिए।

सांख्यिकीय अनुमान लगाने के लिए, हमें पहले εi के लिए कुछ संभाव्यता वितरण मानने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, हम मान सकते हैं कि εi का वितरण गॉसियन है, शून्य माध्य के साथ। इस मामले में, मॉडल में 3 पैरामीटर होंगे: b0, b1 और गाऊसी वितरण का विचरण।

सामान्य विवरण

यह गणितीय मॉडल का एक विशेष वर्ग है। जो चीज़ एक सांख्यिकीय मॉडल को अन्य गणितीय मॉडल से अलग बनाती है वह यह है कि यह गैर-नियतात्मक है। इसका उपयोग सांख्यिकीय डेटा को मॉडल करने के लिए किया जाता है। इस प्रकार, गणितीय समीकरणों द्वारा परिभाषित एक सांख्यिकीय मॉडल में, कुछ चरों में विशिष्ट मान नहीं होते हैं, बल्कि संभाव्यता वितरण होते हैं; अर्थात्, कुछ चर स्टोकेस्टिक हैं। उपरोक्त उदाहरण में, ε एक स्टोकेस्टिक चर है; इस चर के बिना मॉडल नियतात्मक होगा।

सांख्यिकीय मॉडल का उपयोग अक्सर सांख्यिकीय विश्लेषण और मॉडलिंग में किया जाता है, भले ही मॉडलिंग की जाने वाली भौतिक प्रक्रिया नियतात्मक हो। उदाहरण के लिए, सिक्का उछालना सिद्धांततः एक नियतिवादी प्रक्रिया है; फिर भी इसे आमतौर पर स्टोकेस्टिक (बर्नौली प्रक्रिया के माध्यम से) के रूप में तैयार किया जाता है।

पैरामीट्रिक मॉडल

वे सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले सांख्यिकीय मॉडल हैं। अर्ध-पैरामीट्रिक और गैर-पैरामीट्रिक मॉडल के बारे में, सर डेविड कॉक्स ने कहा: "वे आम तौर पर वितरण की संरचना और आकार के बारे में कम धारणाएं शामिल करते हैं, लेकिन आमतौर पर स्वतंत्रता के बारे में मजबूत धारणाएं शामिल करते हैं।" अन्य सभी उल्लिखित मॉडलों की तरह, इन्हें भी अक्सर गणितीय मॉडलिंग की सांख्यिकीय पद्धति में उपयोग किया जाता है।

बहुस्तरीय मॉडल

बहुस्तरीय मॉडल (पदानुक्रमित रैखिक मॉडल, नेस्टेड डेटा मॉडल, मिश्रित मॉडल, यादृच्छिक गुणांक, यादृच्छिक प्रभाव मॉडल, यादृच्छिक पैरामीटर मॉडल या विभाजित मॉडल के रूप में भी जाना जाता है) पैरामीटर के सांख्यिकीय मॉडल हैं जो एक से अधिक स्तरों पर भिन्न होते हैं। एक उदाहरण एक छात्र प्रदर्शन मॉडल होगा जिसमें व्यक्तिगत छात्रों के लिए उपाय के साथ-साथ उन कक्षाओं के लिए भी उपाय शामिल हैं जिनमें छात्रों को समूहीकृत किया गया है। इन मॉडलों को रैखिक मॉडल (विशेष रूप से रैखिक प्रतिगमन) के सामान्यीकरण के रूप में सोचा जा सकता है, हालांकि वे गैर-रेखीय मॉडल तक भी विस्तारित हो सकते हैं। पर्याप्त कंप्यूटिंग शक्ति और सॉफ्टवेयर उपलब्ध होने के बाद ये मॉडल और अधिक लोकप्रिय हो गए।

बहुस्तरीय मॉडल विशेष रूप से अनुसंधान परियोजनाओं के लिए उपयुक्त होते हैं जहां प्रतिभागियों के लिए डेटा को एक से अधिक स्तरों पर व्यवस्थित किया जाता है (अर्थात, नेस्टेड डेटा)। विश्लेषण की इकाइयाँ आम तौर पर व्यक्तिगत (निचले स्तर पर) होती हैं जो प्रासंगिक/समग्र इकाइयों (उच्च स्तर पर) के भीतर निहित होती हैं। जबकि बहुस्तरीय मॉडल में डेटा का निम्नतम स्तर आम तौर पर व्यक्तिगत होता है, व्यक्तियों के बार-बार किए गए माप पर भी विचार किया जा सकता है। इस प्रकार, बहुस्तरीय मॉडल एकतरफा या बहुभिन्नरूपी बार-बार माप विश्लेषण के लिए एक वैकल्पिक प्रकार का विश्लेषण प्रदान करते हैं। विकास वक्रों में व्यक्तिगत अंतर पर विचार किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, बहुस्तरीय मॉडल का उपयोग ANCOVA के विकल्प के रूप में किया जा सकता है, जहां उपचार अंतर के परीक्षण से पहले आश्रित चर पर स्कोर कोवरिएट्स (उदाहरण के लिए, व्यक्तिगत अंतर) के लिए समायोजित किया जाता है। बहुस्तरीय मॉडल प्रतिगमन ढलानों की एकरूपता की धारणा के बिना इन प्रयोगों का विश्लेषण करने में सक्षम हैं, जो ANCOVA के लिए आवश्यक है।

बहुस्तरीय मॉडल का उपयोग कई स्तरों वाले डेटा के लिए किया जा सकता है, हालांकि दो-स्तरीय मॉडल सबसे आम हैं, और इस लेख का शेष भाग केवल इन पर केंद्रित है। आश्रित चर की जांच विश्लेषण के निम्नतम स्तर पर की जानी चाहिए।

मॉडल चयन

मॉडल चयन सांख्यिकीय मॉडलिंग के ढांचे के भीतर दिए गए डेटा के उम्मीदवार मॉडल के एक सेट से चयन करने का कार्य है। सरलतम मामलों में, पहले से मौजूद डेटा सेट पर विचार किया जाता है। हालाँकि, कार्य में डिजाइनिंग प्रयोग भी शामिल हो सकते हैं ताकि एकत्रित डेटा मॉडल चयन कार्य के लिए उपयुक्त हो। समान पूर्वानुमानित या व्याख्यात्मक शक्ति वाले उम्मीदवार मॉडल को देखते हुए, सबसे सरल मॉडल सबसे अच्छा विकल्प होने की संभावना है (ओकैम का रेजर)।

कोनिशी और कितागावा कहते हैं, "अधिकांश सांख्यिकीय अनुमान समस्याओं को सांख्यिकीय मॉडलिंग से संबंधित समस्याएं माना जा सकता है।" इसी तरह, कॉक्स ने कहा, "किसी समस्या को सांख्यिकीय मॉडल में कैसे अनुवादित किया जाता है यह अक्सर विश्लेषण का सबसे महत्वपूर्ण हिस्सा होता है।"

मॉडल चयन अनिश्चितता के तहत निर्णय लेने या अनुकूलन के उद्देश्य से कम्प्यूटेशनल मॉडल के एक बड़े सेट से कुछ प्रतिनिधि मॉडल चुनने की समस्या को भी संदर्भित कर सकता है।

ग्राफिक मॉडल

एक ग्राफिकल मॉडल, या संभाव्य ग्राफिकल मॉडल (पीजीएम) या संरचित संभाव्यता मॉडल, एक संभाव्य मॉडल है जिसके लिए ग्राफ यादृच्छिक चर के बीच सशर्त संबंध की संरचना को व्यक्त करता है। इनका उपयोग आमतौर पर संभाव्यता सिद्धांत, सांख्यिकी (विशेषकर बायेसियन सांख्यिकी) और मशीन लर्निंग में किया जाता है।

अर्थमितीय मॉडल

अर्थमिति मॉडल अर्थमिति में उपयोग किए जाने वाले सांख्यिकीय मॉडल हैं। एक अर्थमिति मॉडल उन सांख्यिकीय संबंधों को परिभाषित करता है जो किसी विशेष आर्थिक घटना से संबंधित विभिन्न आर्थिक मात्राओं के बीच मौजूद माने जाते हैं। एक अर्थमिति मॉडल एक नियतात्मक आर्थिक मॉडल से प्राप्त किया जा सकता है जो अनिश्चितता का कारण बनता है, या एक आर्थिक मॉडल से जो स्वयं स्टोकेस्टिक है। हालाँकि, अर्थमितीय मॉडल का उपयोग करना भी संभव है जो किसी विशेष आर्थिक सिद्धांत से बंधे नहीं हैं।

गणितीय आँकड़े व्यावहारिक गणित की एक शाखा है, जो सीधे तौर पर निकटवर्ती और संभाव्यता सिद्धांत पर आधारित है। किसी भी गणितीय सिद्धांत की तरह, गणितीय आँकड़े एक निश्चित मॉडल के ढांचे के भीतर विकसित होते हैं जो वास्तविक घटनाओं की एक निश्चित श्रृंखला का वर्णन करते हैं। एक सांख्यिकीय मॉडल को परिभाषित करने और गणितीय आंकड़ों में समस्याओं की विशिष्टताओं को समझाने के लिए, आइए संभाव्यता सिद्धांत के कुछ प्रावधानों को याद करें।

संभाव्यता सिद्धांत में अध्ययन किया गया यादृच्छिक घटना का गणितीय मॉडल संभाव्यता स्थान की अवधारणा पर आधारित है। इसके अलावा, प्रत्येक विशिष्ट स्थिति में, संभाव्यता को -बीजगणित पर एक पूरी तरह से ज्ञात संख्यात्मक फ़ंक्शन माना जाता है, अर्थात, किसी भी संख्या के लिए संख्या पूरी तरह से निर्धारित होती है। संभाव्यता सिद्धांत का मुख्य कार्य सरल घटनाओं की ज्ञात संभावनाओं से विभिन्न जटिल घटनाओं की संभावनाओं को खोजने के तरीकों को विकसित करना है (उदाहरण के लिए, यादृच्छिक चर के वितरण के ज्ञात कानूनों का उपयोग करके, उनकी संख्यात्मक विशेषताओं और यादृच्छिक चर के कार्यों के वितरण के नियमों का उपयोग करना) दृढ़ निश्चय वाला)।

हालाँकि, व्यवहार में, किसी विशिष्ट यादृच्छिक प्रयोग का अध्ययन करते समय, संभावना, एक नियम के रूप में, अज्ञात या आंशिक रूप से ज्ञात होती है। कोई केवल यह मान सकता है कि सच्ची संभाव्यता संभाव्यता के किसी वर्ग का एक तत्व है (सबसे खराब - सभी संभावित संभावनाओं का वर्ग जिसे निर्दिष्ट किया जा सकता है)। कक्षा एक सेट कहा जाता है स्वीकार्य किसी दिए गए प्रयोग की संभावनाओं और सेट का वर्णन करने के लिए - सांख्यिकीय मॉडल प्रयोग। सामान्य तौर पर, गणितीय आंकड़ों का कार्य प्रयोग के देखे गए परिणामों द्वारा प्रदान की गई जानकारी का उपयोग करके अध्ययन की जा रही यादृच्छिक घटना के संभाव्य मॉडल को परिष्कृत करना है (अर्थात, सत्य या उसके करीब की संभावना का पता लगाना) जिसे सांख्यिकीय डेटा कहा जाता है। .

शास्त्रीय गणितीय आँकड़ों में, जिसका हम आगे अध्ययन करेंगे, हम संचालन से युक्त यादृच्छिक प्रयोगों से निपटते हैं एनअज्ञात संभाव्यता वितरण वाले कुछ यादृच्छिक चर का बार-बार स्वतंत्र अवलोकन, यानी। अज्ञात वितरण फ़ंक्शन. इस मामले में, देखे गए यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों के सेट को कहा जाता है सामान्य जनसंख्या , एक वितरण समारोह होने या के अनुसार वितरित । नंबर , जो एक यादृच्छिक चर के स्वतंत्र अवलोकनों का परिणाम हैं, कहलाते हैं नमूना सामान्य आबादी से या चयनात्मक (सांख्यिकीय डेटा। प्रेक्षणों की संख्या कहलाती है आयतन नमूने.

गणितीय सांख्यिकी का मुख्य कार्य यह है कि किसी नमूने का उपयोग कैसे किया जाए सामान्य जनसंख्या से, प्रेक्षित यादृच्छिक चर की अज्ञात संभाव्य विशेषताओं के संबंध में सूचित निष्कर्ष निकालने के लिए, उससे यथासंभव अधिक जानकारी निकालना।

एक सांख्यिकीय मॉडल द्वारा जो एक यादृच्छिक चर के बार-बार स्वतंत्र अवलोकनों से मेल खाता है, इसके बजाय एक सेट को समझना स्वाभाविक है, जहां सामान्य जनसंख्या है, बोरेल उपसमुच्चय का बीजगणित है, किसी दिए गए यादृच्छिक चर के लिए स्वीकार्य वितरण कार्यों का वर्ग है , जिसमें वास्तविक अज्ञात वितरण फ़ंक्शन भी शामिल है।

त्रिगुण को अक्सर सांख्यिकीय प्रयोग कहा जाता है।

यदि वितरण कार्यों को एक निश्चित पैरामीटर के मान तक निर्दिष्ट किया जाता है, यानी, (एक पैरामीट्रिक सेट है), तो ऐसे मॉडल को कहा जाता है पैरामीट्रिक . उनका कहना है कि इस मामले में तो पता चल गया है प्रकार प्रेक्षित यादृच्छिक चर का वितरण, और केवल वह पैरामीटर जिस पर वितरण निर्भर करता है अज्ञात है। पैरामीटर या तो अदिश या सदिश हो सकता है।

सांख्यिकीय मॉडल कहा जाता है निरंतर या अलग , यदि क्रमशः वितरण फ़ंक्शन वर्ग के सभी घटक ऐसे हैं।

उदाहरण 1. मान लीजिए कि देखे गए यादृच्छिक चर का वितरण ज्ञात भिन्नता और अज्ञात अपेक्षित मूल्य के साथ गाऊसी है।

इस मामले में, सांख्यिकीय मॉडल निरंतर है और इसका रूप है:

यदि विचरण भी अज्ञात है, तो सांख्यिकीय मॉडल का रूप इस प्रकार है:

और वितरण फ़ंक्शन में संभाव्यता घनत्व होता है

यह तथाकथित सामान्य सामान्य मॉडल है, जिसे दर्शाया गया है।

उदाहरण 2. मान लीजिए कि देखे गए यादृच्छिक चर का वितरण एक अज्ञात पैरामीटर के साथ पॉइसन है। इस मामले में, सांख्यिकीय मॉडल अलग है और इसका रूप है: यादृच्छिक चर (वे कहते हैं कि यादृच्छिक चर प्रतियां हैं), और जिसने प्रयोग के परिणामस्वरूप अभी तक एक विशिष्ट मूल्य नहीं लिया है। नमूना विशिष्ट से संक्रमण सामान्य जनसंख्या से किसी भी नमूने के लिए मान्य निष्कर्ष प्राप्त करने के लिए सैद्धांतिक प्रश्नों और समस्याओं को हल करने में बाद में यादृच्छिक नमूने का बार-बार उपयोग किया जाएगा।

गणितीय सांख्यिकी में विचार की जाने वाली मुख्य समस्याओं को दो बड़े समूहों में विभाजित किया जा सकता है:

1. किसी देखे गए यादृच्छिक चर के अज्ञात वितरण कानून और उसमें शामिल मापदंडों को निर्धारित करने से संबंधित समस्याएं (उन्हें सांख्यिकीय अनुमान सिद्धांत के ढांचे के भीतर माना जाता है)।

2. किसी देखे गए यादृच्छिक चर के वितरण कानून के संबंध में परिकल्पनाओं के परीक्षण से संबंधित समस्याएं (सांख्यिकीय परिकल्पनाओं के परीक्षण के सिद्धांत के ढांचे के भीतर हल की गईं)।

गणितीय आँकड़े गणित की एक शाखा है जो यादृच्छिक घटनाओं और प्रक्रियाओं के संभाव्य मॉडल बनाने के लिए अवलोकन और प्रयोगात्मक डेटा को रिकॉर्ड करने, वर्णन करने और विश्लेषण करने के तरीके विकसित करती है। विशिष्ट अवलोकन परिणामों की गणितीय प्रकृति के आधार पर, गणितीय आँकड़ों को संख्याओं के आँकड़ों, बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण, कार्यों (प्रक्रियाओं) और समय श्रृंखला के विश्लेषण, गैर-संख्यात्मक प्रकृति की वस्तुओं के आँकड़ों में विभाजित किया जाता है। गणितीय आँकड़े सांख्यिकीय पैटर्न या उनकी विशेषताओं के उपयोग के आधार पर सांख्यिकीय विश्लेषण के विभिन्न तरीकों को जोड़ते हैं।

सांख्यिकी का इतिहास आमतौर पर निर्भरता बहाल करने की समस्या से शुरू माना जाता है, 1794 में के. गॉस द्वारा इसके विकास के बाद से (अन्य स्रोतों के अनुसार - 1795 में) न्यूनतम वर्ग विधि.डेटा का अनुमान लगाने और विवरण के आयाम को कम करने के तरीकों का विकास 100 साल से भी पहले शुरू हुआ, जब के. पियर्सन ने बनाया प्रमुख घटक विधि.बाद में इन्हें विकसित किया गया कारक विश्लेषण,विभिन्न निर्माण विधियाँ (क्लस्टर विश्लेषण),विश्लेषण एवं उपयोग (विभेदक विश्लेषण)वर्गीकरण (टाइपोलॉजी)और अन्य। 20वीं सदी की शुरुआत में। गणितीय सांख्यिकी का सिद्धांत ए. ए. चुप्रोव द्वारा विकसित किया गया था। यादृच्छिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत में महत्वपूर्ण योगदान ए. ए. मार्कोव, ई. ई. स्लटस्की, ए. एन. कोलमोगोरोव, ए. या. खिनचिन और अन्य ने दिया। 20वीं सदी के पहले तीसरे में विकसित हुआ। डेटा विश्लेषण सिद्धांत कहा जाता है पैरामीट्रिक आँकड़े,चूँकि इसके अध्ययन का मुख्य उद्देश्य एक या छोटी संख्या में मापदंडों द्वारा वर्णित वितरण के नमूने हैं। सबसे आम पियर्सन वक्रों का परिवार है, जिसे चार मापदंडों द्वारा परिभाषित किया गया है। सबसे लोकप्रिय सामान्य वितरण था। परिकल्पनाओं का परीक्षण करने के लिए पियर्सन, स्टूडेंट और फिशर परीक्षणों का उपयोग किया गया। अधिकतम संभावना विधि और विचरण का विश्लेषण प्रस्तावित किया गया, और प्रयोग योजना के बुनियादी विचार तैयार किए गए।

1954 में, यूक्रेनी एसएसआर के विज्ञान अकादमी के शिक्षाविद बी.वी. गेदेंको ने निम्नलिखित परिभाषा दी: "सांख्यिकी में तीन खंड होते हैं:

• 1) सांख्यिकीय जानकारी का संग्रह, अर्थात्। किसी भी सामूहिक समुच्चय की व्यक्तिगत इकाइयों की विशेषता बताने वाली जानकारी;
• 2) प्राप्त आंकड़ों का सांख्यिकीय अध्ययन, जिसमें उन पैटर्न की पहचान करना शामिल है जिन्हें बड़े पैमाने पर अवलोकन डेटा के आधार पर स्थापित किया जा सकता है;
• 3) सांख्यिकीय डेटा के सांख्यिकीय अवलोकन और विश्लेषण के लिए तकनीकों का विकास।

अंतिम खंड, वास्तव में, गणितीय आंकड़ों की सामग्री का गठन करता है।"

विशिष्ट समस्याओं में विसर्जन से जुड़े तरीकों की विशिष्टता की डिग्री के अनुसार, डेटा विश्लेषण के सांख्यिकीय तरीकों के क्षेत्र में तीन प्रकार की वैज्ञानिक और व्यावहारिक गतिविधियों को प्रतिष्ठित किया जाता है:

• ए) आवेदन के क्षेत्र की बारीकियों को ध्यान में रखे बिना, सामान्य प्रयोजन विधियों का विकास और अनुसंधान;
• बी) गतिविधि के एक विशेष क्षेत्र की जरूरतों के अनुसार वास्तविक घटनाओं और प्रक्रियाओं के सांख्यिकीय मॉडल का विकास और अनुसंधान;
• ग) विशिष्ट डेटा के सांख्यिकीय विश्लेषण के लिए सांख्यिकीय तरीकों और मॉडलों का अनुप्रयोग।

सांख्यिकीय विश्लेषण की सबसे सामान्य विधियाँ हैं:

• प्रतिगमन विश्लेषण (गणितीय अपेक्षाओं की तुलना के आधार पर);
• विचरण का विश्लेषण (विचरणों की तुलना के आधार पर);
• सहसंबंध विश्लेषण (घटनाओं या प्रक्रियाओं के बीच गणितीय अपेक्षाओं, भिन्नताओं और कनेक्शन की विशेषताओं को ध्यान में रखता है);
• कारक विश्लेषण (एक बहुक्रियात्मक प्रयोग का सांख्यिकीय प्रसंस्करण);
• रैंक सहसंबंध (सहसंबंध और कारक विश्लेषण का एक संयोजन)।

गणितीय आंकड़ों के विभिन्न तरीकों को लागू करते समय, सांख्यिकीय पैटर्न या उनकी विशेषताओं को विभिन्न तरीकों से प्राप्त किया जाता है: नमूनों का अवलोकन और अध्ययन करके, नमूने को विविधता श्रृंखला के रूप में परिवर्तित करने या विभाजित करने के विभिन्न तरीकों के आधार पर अनुमानित तरीकों का उपयोग करके, नमूनों को प्रवाह में विभाजित करना , अनुभाग, यादृच्छिक समय अंतराल और आदि।

प्रबंधन के विभिन्न क्षेत्रों में गणितीय सांख्यिकी का उपयोग किया जाता है।

"सांख्यिकी" शब्द का प्रयोग मूल रूप से किसी राज्य या उसके हिस्से की आर्थिक और राजनीतिक स्थिति का वर्णन करने के लिए किया गया था। उदाहरण के लिए, परिभाषा 1792 से मिलती है: "आंकड़े वर्तमान समय में या अतीत में किसी ज्ञात बिंदु पर राज्य की स्थिति का वर्णन करते हैं।" और वर्तमान में, राज्य सांख्यिकीय सेवाओं की गतिविधियाँ इस परिभाषा में अच्छी तरह फिट बैठती हैं। सांख्यिकी को ज्ञान की एक शाखा के रूप में परिभाषित किया गया था जो बड़े पैमाने पर सांख्यिकीय (मात्रात्मक या गुणात्मक) डेटा एकत्र करने, मापने और विश्लेषण करने के सामान्य मुद्दों से संबंधित है; सामूहिक सामाजिक घटनाओं के मात्रात्मक पक्ष का संख्यात्मक रूप में अध्ययन।

"सांख्यिकी" शब्द लैटिन से आया है स्थिति -मामलों की स्थिति. "सांख्यिकी" शब्द को 1746 में जर्मन वैज्ञानिक गॉटफ्रीड एचेनवाल द्वारा विज्ञान में पेश किया गया था, जिसमें जर्मन विश्वविद्यालयों में पढ़ाए जाने वाले पाठ्यक्रम "स्टेट स्टडीज" के नाम को "सांख्यिकी" से बदलने का प्रस्ताव दिया गया था, जिससे सांख्यिकी के विकास की शुरुआत हुई। विज्ञान और शैक्षणिक अनुशासन।

सांख्यिकी सामग्री के अनुसंधान और प्रसंस्करण के लिए एक विशेष पद्धति का उपयोग करती है: बड़े पैमाने पर सांख्यिकीय अवलोकन, समूहीकरण की विधि, औसत, सूचकांक, संतुलन विधि, ग्राफिक छवियों की विधि और सांख्यिकीय डेटा विश्लेषण के अन्य तरीके।

कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के विकास का सांख्यिकी पर महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ा है। पहले, सांख्यिकीय मॉडल मुख्य रूप से रैखिक मॉडल द्वारा दर्शाए जाते थे। कंप्यूटर की गति में वृद्धि और संबंधित संख्यात्मक एल्गोरिदम के विकास ने कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क जैसे गैर-रेखीय मॉडल में रुचि बढ़ा दी है, और सामान्यीकृत रैखिक मॉडल और पदानुक्रमित मॉडल जैसे जटिल सांख्यिकीय मॉडल के विकास को जन्म दिया है। बार-बार नमूने लेने पर आधारित कम्प्यूटेशनल विधियाँ व्यापक हो गई हैं। वर्तमान में, कम्प्यूटेशनल आँकड़े विकसित हो रहे हैं, और सामान्य और विशिष्ट उद्देश्यों के लिए विभिन्न प्रकार के सांख्यिकीय सॉफ़्टवेयर उपलब्ध हैं। सांख्यिकीय विधियों का उपयोग "डेटा माइनिंग" नामक दिशा में किया जाता है (अध्याय 8 देखें)।

सांख्यिकीय मॉडलिंग

सांख्यिकीय और अर्थमितीय मॉडलिंग- उनके सांख्यिकीय मॉडल पर ज्ञान की वस्तुओं का अनुसंधान; इन घटनाओं के स्पष्टीकरण प्राप्त करने के लिए, साथ ही शोधकर्ता की रुचि की घटनाओं या संकेतकों की भविष्यवाणी करने के लिए वास्तविक जीवन की वस्तुओं, प्रक्रियाओं या घटनाओं (उदाहरण के लिए: अर्थमिति में आर्थिक प्रक्रियाएं) के मॉडल का निर्माण और अध्ययन।

ऐसे मॉडलों के मापदंडों का अनुमान सांख्यिकीय विधियों का उपयोग करके लगाया जाता है। उदाहरण के लिए: अधिकतम संभावना विधि, न्यूनतम वर्ग विधि, क्षणों की विधि।

Y = b_1 + b_2×X

जहां Y - व्यय, X - आय, b_1 और b_2 - समीकरण के पैरामीटर (पैरामीटर), u - स्टोकेस्टिक त्रुटि (अशांति, त्रुटि अवधि)।

सांख्यिकीय और अर्थमितीय मॉडल के प्रकार

रैखिक प्रतिगमन (ओएलएस) द्विआधारी चर पर प्रतिगमन ऑटोरेग्रेसिव मॉडल एक साथ समीकरणों की प्रणाली (एसईएम) रैखिक संभाव्यता मॉडल (एलपीएम) लॉगिट मॉडल (लॉगिट) प्रोबिट मॉडल (प्रोबिट), आदि।

विकिमीडिया फ़ाउंडेशन. 2010.

देखें अन्य शब्दकोशों में "सांख्यिकीय मॉडलिंग" क्या है:

सांख्यिकीय मॉडलिंग- उन स्थितियों में संभाव्य प्रणालियों के व्यवहार की प्रक्रियाओं का अध्ययन करने का एक तरीका जहां इन प्रणालियों में आंतरिक बातचीत अज्ञात है। इसमें अध्ययन की जा रही प्रक्रिया की मशीन नकल शामिल है, जो कि, जैसे कि, कॉपी की गई थी ... ... आर्थिक और गणितीय शब्दकोश

अनुप्रयुक्त और कम्प्यूटेशनल गणित की एक विधि, जिसमें विशेष रूप से विकसित स्टोकेस्टिक्स के कंप्यूटर पर कार्यान्वयन शामिल है। अध्ययन की जा रही घटनाओं या वस्तुओं के मॉडल। एस.एम. के अनुप्रयोग के दायरे का विस्तार प्रौद्योगिकी के तेजी से विकास से जुड़ा है और विशेष रूप से... ... गणितीय विश्वकोश

गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए एक संख्यात्मक विधि, जिसमें आवश्यक मात्राओं को कुछ यादृच्छिक घटना की संभाव्य विशेषताओं द्वारा दर्शाया जाता है, इस घटना को मॉडल किया जाता है, जिसके बाद आवश्यक विशेषताओं को लगभग निर्धारित किया जाता है... ... महान सोवियत विश्वकोश

विचाराधीन घटना में निहित सांख्यिकीय पैटर्न का उपयोग करके स्थितियों की मॉडलिंग करना। व्यावसायिक शर्तों का शब्दकोश. Akademik.ru. 2001... व्यावसायिक शर्तों का शब्दकोश

मॉडलिंग ज्ञान की वस्तुओं का उनके मॉडल पर अध्ययन है; वास्तविक जीवन की वस्तुओं, प्रक्रियाओं या घटनाओं के मॉडल बनाना और उनका अध्ययन करना ताकि इन घटनाओं की व्याख्या प्राप्त की जा सके, साथ ही रुचि की घटनाओं की भविष्यवाणी की जा सके... विकिपीडिया

समाजशास्त्र में सिमुलेशन मॉडलिंग- एक प्रकार का गणितीय मॉडलिंग जिसमें किसी सामाजिक प्रक्रिया या किसी सामाजिक प्रणाली के कामकाज को कंप्यूटर पर पुन: प्रस्तुत करना शामिल है। लगभग हमेशा अध्ययन की जा रही घटना को प्रभावित करने वाले यादृच्छिक कारकों का पुनरुत्पादन शामिल होता है, और, परिणामस्वरूप,... ... समाजशास्त्र: विश्वकोश

मॉडलिंग, सांख्यिकीय- विभिन्न मॉडलों का विकास जो वर्णित वस्तु, घटना के सांख्यिकीय पैटर्न को दर्शाते हैं। इन मॉडलों की एक सामान्य विशिष्ट विशेषता यादृच्छिक गड़बड़ी या विचलन पर विचार करना है। वस्तुएँ एस.एम. कुछ अलग हैं... ... बड़ा आर्थिक शब्दकोश

सांख्यिकीय मॉडलिंग- चर (संकेतक, विशेषताओं) और उनके बीच सांख्यिकीय संबंधों के एक सेट के माध्यम से एक निश्चित घटना या घटना के बीच संबंधों की प्रणाली का प्रतिनिधित्व या विवरण। एम.एस. का लक्ष्य (किसी भी अन्य मॉडलिंग की तरह) कल्पना करें... ... समाजशास्त्र: विश्वकोश

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सिमुलेशन मॉडलिंग- (...फ्रांसीसी मॉडल नमूने से) कंप्यूटर का उपयोग करके सांख्यिकीय परीक्षणों (मोंटे कार्लो विधि) का उपयोग करके किसी भी घटना और प्रक्रियाओं का अध्ययन करने की एक विधि। यह विधि अध्ययन की जा रही घटना पर यादृच्छिक कारकों के प्रभाव को चित्रित (अनुकरण) करने पर आधारित है या... ... मनोविज्ञान और शिक्षाशास्त्र का विश्वकोश शब्दकोश

पुस्तकें

• सांख्यिकीय मॉडलिंग. मोंटे कार्लो विधियाँ. स्नातक और मास्टर डिग्री के लिए पाठ्यपुस्तक, मिखाइलोव जी.ए. पाठ्यपुस्तक यादृच्छिक चर, प्रक्रियाओं और क्षेत्रों के मॉडलिंग की विशेषताओं के लिए समर्पित है। संख्यात्मक एकीकरण पर विशेष ध्यान दिया जाता है, विशेषकर मोंटे कार्लो पद्धति पर। एक समाधान दिया गया है...