Números destinados a contar objetos y responder a la pregunta "¿cuántos?" ("Cuántos
¿pelotas?", "¿Cuántas manzanas?", "¿Cuántos soldados?"), se llaman naturales.
Si los escribes en orden, de menor a mayor, obtienes una serie natural de números:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 99, 100, 101, …, 999, 1000, 1001 …
La serie natural de números comienza con el número 1.
Cada número natural siguiente es 1 mayor que el anterior.
La serie natural de números es infinita.
Los números pueden ser pares o impares. Los números pares son divisibles por dos, pero los números impares no son divisibles por dos.
Serie de números impares:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, 99, 101, …, 999, 1001, 1003 …
Serie de números pares:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 98, 100, …, 998, 1000, 1002 …
En la serie natural se alternan números pares e impares:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …, 99, 100, …, 999, 1000 …
Cómo comparar números naturales
Al comparar dos números naturales, el de la derecha en la serie natural es mayor:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …
Entonces, siete es más que tres y cinco es más que uno.
En matemáticas, la palabra "menos" se escribe con el signo "<», а для записи слова «больше» - знак « > ».
La esquina afilada de los símbolos mayor que y menor que siempre apunta hacia el menor de los dos números.
La entrada 7 > 3 se lee como "siete sobre tres".
Entrada 3< 7 читается как «три меньше семи».
La entrada 5 > 1 se lee como “cinco sobre uno”.
Entrada 1< 5 читается как «один меньше пяти».
La palabra "igual" en matemáticas se reemplaza por el signo "=":
Cuando los números son grandes, es difícil decir inmediatamente cuál está a la derecha en la serie natural.
Al comparar dos números naturales con diferente número de dígitos, el que tiene más dígitos es mayor.
Por ejemplo, 233.000< 1 000 000, потому что в первом числе шесть цифр, а во втором - семь.
Los números naturales de varios dígitos con el mismo número de dígitos se comparan bit a bit, comenzando con el dígito más significativo.
Primero se comparan las unidades del dígito más significativo, luego el siguiente, el siguiente, y así sucesivamente. Por ejemplo, comparemos los números 5401 y 5430:
5401 = 5 mil 4 centenas 0 decenas 1 unidad;
5430 = 5 mil 4 centenas 3 decenas 0 unidades.
Comparar unidades de miles. En lugar de unidades de miles del número 5401 hay 5 unidades, en lugar de unidades de miles del número 5430 hay 5 unidades. Al comparar unidades de miles, todavía es imposible decir qué número es mayor.
Comparando cientos. En el lugar de las centenas del número 5401 hay 4 unidades, en el lugar de las centenas el número 5430 también tiene 4 unidades. Debemos continuar la comparación.
comparando decenas. En el lugar de las decenas del número 5401 hay 0 unidades, en el lugar de las decenas del número 5430 hay 3 unidades.
Comparando obtenemos 0< 3, поэтому 5401 < 5430.
Los números se pueden ordenar en orden descendente o ascendente.
Si en un registro de varios números naturales cada número siguiente es menor que el anterior, entonces se dice que los números están escritos en orden descendente.
Anotemos los números 5, 22, 13, 800 en orden descendente.
Encontremos un número mayor. El número 5 es un número de un solo dígito, 13 y 22 son números de dos dígitos, 800 es un número de tres dígitos y por lo tanto el más grande. Escribimos 800 en primer lugar.
De los números de dos cifras 13 y 22, el mayor es 22. Después del número 800 escribimos el número 22 y luego el 13.
El número más pequeño es el número 5, de un solo dígito. Lo escribimos al final.
800, 22, 13, 5: registra estos números en orden descendente.
Si en un registro de varios números naturales cada número siguiente es mayor que el anterior, entonces se dice que los números están escritos en orden ascendente.
¿Cómo escribir los números 15, 2, 31, 278, 298 en orden ascendente?
Entre los números 15, 2, 31, 278, 298 encontraremos el más pequeño.
Este es un número 2 de un solo dígito. Escribámoslo en primer lugar.
De los números de dos dígitos 15 y 31, elija el más pequeño: 15, escríbalo en segundo lugar y después, 31.
De los números de tres dígitos, 278 es el más pequeño, lo escribimos después del número 31 y el último escribimos el número 298.
2, 15, 21, 278, 298 - escribiendo estos números en orden ascendente
Enteros– números que se utilizan para contar objetos . Cualquier número natural se puede escribir usando diez. números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Este tipo de número se llama decimal
La secuencia de todos los números naturales se llama natural al lado de .
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...
lo mas pequeño El número natural es uno (1). En la serie natural, cada número siguiente es 1 mayor que el anterior. Serie natural sin fin, no hay ningún número más grande en él.
El significado de un dígito depende de su lugar en el registro numérico. Por ejemplo, el número 4 significa: 4 unidades si está en el último lugar en el registro numérico. (en lugar de unidades); 4 diez, si esta en el penúltimo lugar (en el lugar de las decenas); 4 cientos, si esta en tercer lugar desde el final (V lugar de cientos).
El número 0 significa ausencia de unidades de esta categoría en la notación decimal de un número. También sirve para designar el número “ cero" Este número significa "ninguno". El resultado 0:3 en un partido de fútbol significa que el primer equipo no marcó ni un solo gol al rival.
Cero no incluye a los números naturales. Y, de hecho, contar objetos nunca empieza desde cero.
Si la notación de un número natural consta de un signo. – un dígito, entonces se llama inequívoco. Aquellos. inequívoconúmero natural– un número natural, cuya notación consta de un signo – un dígito. Por ejemplo, los números 1, 6, 8 son de un solo dígito.
Doble digitonúmero natural– un número natural cuya notación consta de dos caracteres – dos dígitos.
Por ejemplo, los números 12, 47, 24, 99 son números de dos dígitos.
Además, según la cantidad de caracteres de un número determinado, dan nombres a otros números:
números 326, 532, 893 – tres dígitos;
números 1126, 4268, 9999 – cuatro dígitos etc.
Dos dígitos, tres dígitos, cuatro dígitos, cinco dígitos, etc. los números se llaman números de varios dígitos .
Para leer números de varios dígitos, se dividen, comenzando por la derecha, en grupos de tres dígitos cada uno (el grupo más a la izquierda puede constar de uno o dos dígitos). Estos grupos se llaman clases.
Millón– esto es mil mil (1000 mil), se escribe 1 millón o 1.000.000.
mil millones- Eso son 1000 millones. Se escribe como mil millones o 1.000.000.000.
Los primeros tres dígitos de la derecha forman la clase de unidades, los tres siguientes, la clase de miles, luego vienen las clases de millones, miles de millones, etc. (Figura 1).
Arroz. 1. Clase de millones, clase de miles y clase de unidades (de izquierda a derecha)
El número 15389000286 está escrito en la cuadrícula de bits (Fig. 2).
Arroz. 2. Cuadrícula de bits: número 15 mil millones 389 millones 286
Este número tiene 286 unidades en la clase de unidades, cero unidades en la clase de miles, 389 unidades en la clase de millones y 15 unidades en la clase de miles de millones.
Colocar cero
Hay dos enfoques para definir los números naturales:
- contar (numerar) elementos ( primero, segundo, tercero, cuatro, quinto…);
- Los números naturales son números que surgen cuando designación de cantidad elementos ( 0 artículos, 1 articulo, 2 artículos, 3 artículos, 4 artículos, 5 artículos…).
En el primer caso, la serie de números naturales comienza desde uno, en el segundo, desde cero. No hay consenso entre la mayoría de los matemáticos sobre si es preferible el primer o el segundo enfoque (es decir, si el cero debe considerarse un número natural o no). La inmensa mayoría de las fuentes rusas tradicionalmente adoptan el primer enfoque. El segundo enfoque se adopta, por ejemplo, en las obras de Nicolas Bourbaki, donde los números naturales se definen como cardinalidades de conjuntos finitos. La presencia de cero hace que sea más fácil formular y probar muchos teoremas en aritmética de números naturales, por lo que el primer enfoque introduce el concepto útil rango natural extendido incluyendo cero.
El conjunto de todos los números naturales suele denotarse con el símbolo. Las normas internacionales ISO 31-11 (1992) e ISO 80000-2 (2009) establecen las siguientes designaciones:
En fuentes rusas esta norma aún no se observa; en ellas el símbolo norte (\displaystyle \mathbb (N) ) denota los números naturales sin cero, y la serie natural extendida se denota N 0 , Z + , Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0),\mathbb (Z) _(+),\mathbb (Z) _(\geqslant 0)) etc.
Axiomas que nos permiten determinar el conjunto de los números naturales
Axiomas de Peano para números naturales.
Un montón de norte (\displaystyle \mathbb (N) ) Se llamará conjunto de números naturales si algún elemento es fijo. 1 (unidad), función S (\displaystyle S) con dominio de definición norte (\displaystyle \mathbb (N) ), llamada la función siguiente ( S: norte (\displaystyle S\dos puntos \mathbb (N) )), y se cumplen las siguientes condiciones:
- el elemento uno pertenece a este conjunto ( 1 ∈ norte (\displaystyle 1\in \mathbb (N) )), es decir, es un número natural;
- el número que sigue al número natural también es un número natural (si , entonces S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\in \mathbb (N) ) o, en notación más corta, S: N → N (\displaystyle S\dos puntos \mathbb (N) \to \mathbb (N) ));
- uno no sigue ningún número natural ( ∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \nexists x\in \mathbb (N) \ (S(x)=1)));
- si es un numero natural un (displaystyle a) sigue inmediatamente como un número natural segundo (\displaystyle b), y para un número natural c (displaystyle c), Eso segundo (\displaystyle b) Y c (displaystyle c) es el mismo número (si S (b) = a (\displaystyle S(b)=a) Y S (c) = a (\displaystyle S(c)=a), Eso b = c (\displaystyle b=c));
- (axioma de inducción) si alguna oración (enunciado) P (\displaystyle P) probado para números naturales norte = 1 (\displaystyle n=1) (base de inducción) y si del supuesto de que es cierto para otro número natural norte (\ Displaystyle n), se deduce que es cierto para lo siguiente norte (\ Displaystyle n) número natural ( hipótesis inductiva), entonces esta oración es verdadera para todos los números naturales (sea P(n) (\displaystyle P(n))- algún predicado de un solo lugar (unario) cuyo parámetro es un número natural norte (\ Displaystyle n). Entonces sí P (1) (\displaystyle P(1)) Y ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))), Eso ∀ norte P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).
Los axiomas enumerados reflejan nuestra comprensión intuitiva de la serie natural y la recta numérica.
El hecho fundamental es que estos axiomas definen esencialmente de manera única los números naturales (la naturaleza categórica del sistema de axiomas de Peano). Es decir, se puede probar (ver, así como una breve prueba) que si (norte, 1, S) (\displaystyle (\mathbb (N),1,S)) Y (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ((\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S))))- dos modelos para el sistema de axiomas de Peano, entonces son necesariamente isomórficos, es decir, hay un mapeo invertible (biyección) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) ))) tal que f (1) = 1 ~ (\displaystyle f(1)=(\tilde (1))) Y f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f(x))) para todos x ∈ norte (\displaystyle x\in \mathbb (N) ).
Por lo tanto, basta con arreglar como norte (\displaystyle \mathbb (N) ) cualquier modelo específico del conjunto de números naturales.
A veces, especialmente en la literatura extranjera y traducida, en el primer y tercer axioma de Peano el uno se reemplaza por cero. En este caso, el cero se considera un número natural. Cuando se define a través de clases de conjuntos equipopower, el cero es un número natural por definición. Sería antinatural rechazarlo deliberadamente. Además, esto complicaría significativamente la construcción y aplicación de la teoría, ya que en la mayoría de las construcciones el cero, como el conjunto vacío, no es algo separado. Otra ventaja de tratar el cero como un número natural es que norte (\displaystyle \mathbb (N) ) forma un monoide. Como ya se mencionó, en la literatura rusa tradicionalmente el cero está excluido de la lista de números naturales.
Definición teórica de conjuntos de números naturales (definición de Frege-Russell)
Así, los números naturales también se introducen a partir del concepto de conjunto, según dos reglas:
Los números definidos de esta manera se llaman ordinales.
Describamos los primeros números ordinales y los números naturales correspondientes:
Magnitud del conjunto de los números naturales.
El tamaño de un conjunto infinito se caracteriza por el concepto de "cardinalidad de un conjunto", que es una generalización del número de elementos de un conjunto finito a conjuntos infinitos. En magnitud (es decir, cardinalidad), el conjunto de números naturales es mayor que cualquier conjunto finito, pero menor que cualquier intervalo, por ejemplo, el intervalo (0, 1) (\displaystyle (0,1)). El conjunto de los números naturales tiene la misma cardinalidad que el conjunto de los números racionales. Un conjunto con la misma cardinalidad que el conjunto de los números naturales se llama conjunto contable. Por tanto, el conjunto de términos de cualquier secuencia es contable. Al mismo tiempo, existe una secuencia en la que cada número natural aparece un número infinito de veces, ya que el conjunto de números naturales se puede representar como una unión contable de conjuntos contables disjuntos (por ejemplo, N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\ copa grande \limits _(n=0)^(\infty )(2n+1)2^(k)\right))).
Operaciones con números naturales
Las operaciones cerradas (operaciones que no derivan un resultado del conjunto de números naturales) sobre números naturales incluyen las siguientes operaciones aritméticas:
Además, se consideran dos operaciones más (desde un punto de vista formal, no son operaciones sobre números naturales, ya que no están definidas para todos pares de números (a veces existen, a veces no)):
Cabe destacar que las operaciones de suma y multiplicación son fundamentales. En particular, el anillo de números enteros se define precisamente mediante las operaciones binarias de suma y multiplicación.
Propiedades básicas
- Conmutatividad de la suma:
- Conmutatividad de la multiplicación:
- Asociatividad de suma:
- Asociatividad de multiplicación:
- Distributividad de la multiplicación relativa a la suma:
estructura algebraica
La suma convierte el conjunto de números naturales en un semigrupo con unidad, el papel de unidad lo desempeñan 0 . La multiplicación también convierte el conjunto de números naturales en un semigrupo con identidad, siendo el elemento identidad 1 . Utilizando cierres respecto de las operaciones de suma-resta y multiplicación-división se obtienen grupos de números enteros Z (\displaystyle \mathbb (Z) ) y números racionales positivos Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q)_(+)^(*)) respectivamente.
El número más simple es número natural. Se utilizan en la vida cotidiana para contar. objetos, es decir para calcular su número y orden.
¿Qué es un número natural? números naturales Nombra los números que se utilizan para contar artículos o indicar el número de serie de cualquier artículo de todos los homogéneos elementos.
Enteros- estos son números que comienzan desde uno. Se forman de forma natural al contar.Por ejemplo, 1,2,3,4,5... -primeros números naturales.
Número natural más pequeño- uno. No existe un mayor número natural. Al contar el número El cero no se utiliza, por lo que el cero es un número natural.
Serie de números naturales es la secuencia de todos los números naturales. Escribir números naturales:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...
En la serie natural, cada número es mayor que el anterior en uno.
¿Cuántos números hay en la serie natural? La serie natural es infinita; el mayor número natural no existe.
Decimal ya que 10 unidades de cualquier dígito forman 1 unidad del dígito más alto. Posicionalmente así cómo el significado de un dígito depende de su lugar en el número, es decir, de la categoría donde está escrito.
Clases de números naturales.
Cualquier número natural se puede escribir utilizando 10 números arábigos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Para leer los números naturales, se dividen, empezando por la derecha, en grupos de 3 dígitos cada uno. 3 primero los números de la derecha son la clase de unidades, los 3 siguientes son la clase de miles, luego las clases de millones, miles de millones yetc. Cada uno de los dígitos de la clase se llama sudescargar.
Comparación de números naturales.
De 2 números naturales, el menor es el número que se llama antes al contar. Por ejemplo, número 7 menos 11 (escrito así:7 < 11 ). Cuando un número es mayor que el segundo, se escribe así:386 > 99 .
Tabla de dígitos y clases de números.
|
unidad de primera clase |
1er dígito de la unidad decenas de segundo dígito 3er lugar cientos |
|
mil de segunda clase |
1er dígito de la unidad de miles 2do dígito decenas de miles 3ª categoría cientos de miles |
|
millones de tercera clase |
1er dígito de la unidad de millones 2da categoría decenas de millones 3ª categoría cientos de millones |
|
miles de millones de cuarta clase |
1er dígito de la unidad de miles de millones 2da categoría decenas de miles de millones 3ª categoría cientos de miles de millones |
|
Los números a partir del quinto grado en adelante se consideran números grandes. Las unidades de quinta clase son billones, sexta clase - cuatrillones, séptima clase - quintillones, octava clase - sextillones, novena clase - eptilliones. Propiedades básicas de los números naturales.
Operaciones con números naturales. 4. La división de números naturales es la operación inversa de la multiplicación. Si segundo ∙ c = un, Eso
Fórmulas para la división: una: 1 = una una: una = 1, una ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (A∙ b) : c = (a:c) ∙ b (A∙ b) : c = (b:c) ∙ a Expresiones numéricas e igualdades numéricas. Una notación donde los números están conectados por signos de acción es expresión numérica. Por ejemplo, 10∙3+4; (60-2∙5):10. Los registros donde se combinan 2 expresiones numéricas con un signo igual son igualdades numéricas. La igualdad tiene lados izquierdo y derecho. El orden de realización de operaciones aritméticas. La suma y la resta de números son operaciones de primer grado, mientras que la multiplicación y la división son operaciones de segundo grado. Cuando una expresión numérica consta de acciones de un solo grado, se realizan de forma secuencial de izquierda a derecha. Cuando las expresiones consisten en acciones sólo de primer y segundo grado, entonces las acciones se realizan primero. segundo grado, y luego - acciones de primer grado. Cuando hay paréntesis en una expresión, las acciones entre paréntesis se realizan primero. Por ejemplo, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21. |
