Completado por la estudiante de séptimo grado Polina Karpyuk.
Prioda se crea a partir de figuras similares, simplemente no lo notamos. En esta galería hemos recopilado imágenes en las que la fractalidad es claramente visible.
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Fractales en la naturaleza Realizado por: Polina Karpyuk, estudiante de séptima clase “B” Supervisora: Molchanova Irina Pavlovna Rubtsovsk-2015
Las matemáticas, cuando se analizan correctamente, reflejan no sólo la verdad, sino también una belleza incomparable. Bertrand Russell
¿Qué tienen en común un árbol, una orilla del mar, una nube o los vasos sanguíneos de nuestra mano? Hay una propiedad de estructura que es inherente a todos los objetos enumerados: son autosemejantes. De una rama, como del tronco de un árbol, salen brotes más pequeños, de ellos aún más pequeños, etc., es decir, una rama es similar a todo el árbol. El sistema circulatorio está estructurado de manera similar: de las arterias parten las arteriolas y de ellas los capilares más pequeños a través de los cuales ingresa el oxígeno a los órganos y tejidos. El matemático estadounidense Benoit Mandelbrot llamó a esta propiedad de los objetos fractalidad, y a esos objetos mismos, fractales. La palabra "fractal" en sí se traduce del latín como "parcial", "dividido", "fragmentado", y en cuanto al contenido de este término, no existe una formulación como tal. Suele interpretarse como un conjunto autosemejante, una parte del todo, que repite su estructura a nivel micro. .
Las fotografías espaciales de los paisajes de la Tierra suelen proporcionar excelentes ejemplos de fractales.
Las costas suelen tener forma fractal, pero varían en su grado de escarpada. Este ejemplo muestra dos propiedades características de los fractales naturales: los canales individuales no son una copia entre sí, sino que tienen contornos curvilíneos similares, como si estuvieran dibujados según el mismo patrón. Los conductos grandes tienen un contorno similar a los conductos pequeños y muy pequeños. Si ampliamos, por ejemplo, la esquina inferior izquierda de la imagen, obtendremos algo parecido a la imagen completa.
La interacción del agua y la tierra da lugar a estructuras fractales en los paisajes, ya sean montañas, ríos o costas.
Probablemente todo el mundo conozca el cuadro del artista japonés Hokusai “La gran ola”, donde se representa una ola de tsunami con el Fuji como telón de fondo. Si miras de cerca esta imagen, notarás que al dibujar la cresta de una ola, el artista usó un fractal, como si constara de numerosas patas de agua depredadoras. Por lo tanto, esta imagen se utiliza a menudo como ilustración para libros sobre teoría del caos y fractales.
Cuando una duna de arena es erosionada por el agua, se replica en pequeña escala lo que da forma fractal a paisajes terrestres más grandes.
La descarga de rayos es un ejemplo de fractales naturales.
Esta imagen no sólo ilustra la naturaleza fractal de las copas de los árboles, sino que sugiere otra consideración interesante: el bosque como comunidad biológica es también un fractal. Los árboles individuales, grandes y pequeños, actúan entonces como ramas del fractal. Son similares, pero no se repiten.
Las venas de las hojas son un fractal natural plano. Para cada planta, el patrón característico es único, al igual que el patrón papilar en la mano de una persona es único. Goethe (poeta y científico) creía que la hoja es la parte más expresiva de la planta, que refleja toda su morfología.
Los helechos son un ejemplo de fractales naturales que son muy similares a los fractales informáticos. Además, también son interesantes porque los helechos son una de las plantas evolutivamente más antiguas, junto con varios musgos y otras plantas inferiores.
Este es otro ejemplo famoso y muy impresionante de un fractal natural que tiene formas matemáticamente claras. Hay al menos tres niveles de ingeniosas pirámides autosimilares de repollo romanesco
Un fractal mágicamente hermoso que bien podría inspirar a algún artista. Mientras tanto, mire más de cerca: esto es solo un manojo apretado de hojas de col.
Estos son ejemplos interesantes de estructura fractal en el mundo mineral. La pepita de oro de carbonato y apatita es un tesoro exquisito elaborado por la propia naturaleza.
¿Alguna vez has pensado que pensamos literalmente en fractales? Hay algo en qué pensar aquí: ¿quién diría que el cerebro es una de las creaciones más sorprendentes y únicas de la naturaleza? Y resulta que exteriormente tiene las mismas características fractales que las nubes atmosféricas o el sistema de raíces de las ortigas.
Aquí todo es aún más complicado: dos árboles fractales separados están entrelazados: a uno se le suministra sangre venosa y al otro, sangre arterial enriquecida con oxígeno. Y en conjunto, el pulmón es un sistema sorprendentemente complejo de tres fractales: uno respiratorio y dos circulatorios.
La retina contiene células sensibles a la luz que nos permiten ver. En esta foto son de color verde amarillento. Forman una red (la retina), pero esta red es caótica y fractal.
Esta es la panza de un cerdo. Sus patrones de color también parecen seguir reglas fractales. Este es un tema interesante y, lo más importante, tiene muchas aplicaciones, incluida una importancia militar. ¿Según qué reglas se debe diseñar un patrón de camuflaje para que su portador se mezcle con las formas naturales: paisaje y vegetación?
¡¡¡Gracias por su atención!!!
Recientemente aprendí sobre objetos tan interesantes del mundo matemático como los fractales. Pero no sólo existen en matemáticas. Nos rodean por todas partes. Los fractales son naturales. Hablaré sobre qué son los fractales, sobre los tipos de fractales, sobre ejemplos de estos objetos y sus aplicaciones en este artículo. Para empezar te contaré brevemente qué es un fractal.
Un fractal (latín fractus - aplastado, roto, roto) es una figura geométrica compleja que tiene la propiedad de autosemejanza, es decir, compuesta de varias partes, cada una de las cuales es similar a la figura completa. En un sentido más amplio, los fractales se entienden como conjuntos de puntos en el espacio euclidiano que tienen una dimensión métrica fraccionaria (en el sentido de Minkowski o Hausdorff), o una dimensión métrica diferente a la topológica. Como ejemplo, insertaré una imagen que representa cuatro fractales diferentes.
Te contaré un poco sobre la historia de los fractales. Los conceptos de fractal y geometría fractal, que aparecieron a finales de los años 70, se han consolidado firmemente entre los matemáticos y programadores desde mediados de los años 80. La palabra "fractal" fue acuñada por Benoit Mandelbrot en 1975 para referirse a las estructuras irregulares pero autosemejantes que le interesaban. El nacimiento de la geometría fractal suele asociarse con la publicación del libro de Mandelbrot The Fractal Geometry of Nature en 1977. Sus trabajos utilizaron los resultados científicos de otros científicos que trabajaron en el período 1875-1925 en el mismo campo (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff). Pero sólo en nuestros días fue posible combinar su trabajo en un solo sistema.
Hay muchos ejemplos de fractales porque, como dije, nos rodean por todas partes. En mi opinión, incluso todo nuestro Universo es un enorme fractal. Después de todo, todo lo que contiene, desde la estructura del átomo hasta la estructura del Universo mismo, se repite exactamente. Pero hay, por supuesto, ejemplos más específicos de fractales de diferentes áreas. Los fractales, por ejemplo, están presentes en dinámicas complejas. Están allí aparecen naturalmente al estudiar no lineales sistemas dinámicos. El caso más estudiado es cuando el sistema dinámico se especifica mediante iteraciones de un polinomio u holomorfo. función de un complejo de variables en la superficie. Algunos de los fractales más famosos de este tipo son el conjunto de Julia, el conjunto de Mandelbrot y las piscinas de Newton. A continuación, en orden, las imágenes representan cada uno de los fractales anteriores.
Otro ejemplo de fractales son las curvas fractales. Lo mejor es explicar cómo construir un fractal usando el ejemplo de curvas fractales. Una de estas curvas es el llamado copo de nieve de Koch. Hay una sencillaProcedimiento para obtener curvas fractales en un plano. Definamos una línea discontinua arbitraria con un número finito de enlaces, llamada generador. A continuación, reemplazamos cada segmento con un generador (más precisamente, una línea discontinua similar a un generador). En la línea discontinua resultante, reemplazamos nuevamente cada segmento con un generador. Continuando hasta el infinito, en el límite obtenemos una curva fractal. A continuación se muestra el copo de nieve (o curva) de Koch.
También existe una gran variedad de curvas fractales. Los más famosos son el ya mencionado copo de nieve de Koch, así como la curva de Levy, la curva de Minkowski, la línea discontinua del Dragón, la curva de Piano y el árbol de Pitágoras. Creo que puedes encontrar fácilmente una imagen de estos fractales y su historia en Wikipedia si lo deseas.
El tercer ejemplo o tipo de fractales son los fractales estocásticos. Estos fractales incluyen la trayectoria del movimiento browniano. en el plano y en el espacio, evoluciones de Schramm-Löwner, varios tipos de fractales aleatorios, es decir, fractales obtenidos mediante un procedimiento recursivo en el que se introduce un parámetro aleatorio en cada paso.
También existen fractales puramente matemáticos. Estos son, por ejemplo, el conjunto de Cantor, la esponja de Menger, el triángulo de Sierpinski y otros.
Pero quizás los fractales más interesantes sean los naturales. Los fractales naturales son objetos de la naturaleza que tienen propiedades fractales. Y aquí la lista ya es grande. No los enumeraré todos, porque probablemente sea imposible enumerarlos todos, pero les contaré algunos. Por ejemplo, en la naturaleza viva, estos fractales incluyen nuestro sistema circulatorio y nuestros pulmones. Y también las copas y hojas de los árboles. Esto también incluye estrellas de mar, erizos de mar, corales, conchas marinas y algunas plantas como la col o el brócoli. A continuación se muestran claramente varios de estos fractales naturales de la naturaleza viva.
Si consideramos la naturaleza inanimada, entonces hay ejemplos mucho más interesantes que en la naturaleza viva. Rayos, copos de nieve, nubes, conocidos por todos, patrones en las ventanas en los días helados, cristales, cadenas montañosas: todos estos son ejemplos de fractales naturales de la naturaleza inanimada.
Miramos ejemplos y tipos de fractales. En cuanto al uso de los fractales, estos se utilizan en una variedad de campos del conocimiento. En física, los fractales surgen naturalmente al modelar procesos no lineales, como flujos de fluidos turbulentos, procesos complejos de difusión-adsorción, llamas, nubes, etc. Los fractales se utilizan al modelar materiales porosos, por ejemplo, en petroquímica. En biología, se utilizan para modelar poblaciones y describir sistemas de órganos internos (el sistema de vasos sanguíneos). Después de la creación de la curva de Koch, se propuso utilizarla para calcular la longitud de la costa. Los fractales también se utilizan activamente en ingeniería de radio, ciencias de la información y tecnología informática, telecomunicaciones e incluso economía. Y, por supuesto, la visión fractal se utiliza activamente en el arte y la arquitectura modernos. Aquí hay un ejemplo de patrones fractales:
Y así, con esto creo completar mi historia sobre un fenómeno matemático tan inusual como es un fractal. Hoy aprendimos qué es un fractal, cómo apareció, tipos y ejemplos de fractales. También hablé sobre su aplicación y demostré visualmente algunos de los fractales. Espero que hayas disfrutado de esta pequeña excursión al mundo de los sorprendentes y fascinantes objetos fractales.
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- Introducción
- 1. El concepto de fractal
- 2. Clasificación de fractales
- 4. Aplicación de fractales
- Conclusión
- Lista de literatura usada
Introducción
La aparición de objetos matemáticos autosimilares hace cien o más años no interesaba a casi nadie; sólo interesaba a los autores de estos objetos. Además, algunos científicos los apodaron "monstruos" y no creían que tuvieran nada que ver con el mundo real y la ciencia.
Las actitudes hacia los objetos matemáticos autosimilares cambiaron con la llegada de las computadoras, cuando aparecieron las primeras imágenes de fractales algebraicos y estocásticos. Inmediatamente después, interesaron no sólo a los matemáticos, sino también a los físicos, biólogos, acústicos y a todos aquellos que se topaban con objetos naturales en su trabajo. Los matemáticos se sintieron atraídos por los fractales por la simplicidad de las fórmulas que describen estructuras tan complejas, los físicos por la oportunidad de reconsiderar la física desde una nueva posición, los biólogos por la correspondencia de las imágenes fractales con varios objetos biológicos.
Los fractales aún no se han agotado; todavía se encuentran objetos fractales en nuevas áreas de la ciencia. Son utilizados por físicos, biólogos, sociólogos, economistas y muchos otros. Los fractales no se han estudiado completamente; se les están encontrando nuevas aplicaciones, cambiando nuestra actitud tanto hacia los fractales mismos como hacia la naturaleza.
El objeto del trabajo es el fenómeno de los fractales.
El tema del trabajo es el lugar de los fractales en la ciencia moderna.
El objetivo del trabajo es considerar los fractales como un fenómeno a la vez simple y complejo.
Objetivos del trabajo: considerar el concepto de fractales, tipos de fractales, la historia del surgimiento y estudio de los fractales, la aplicación de los fractales en la práctica.
1. El concepto de fractal
Los conceptos de fractal y geometría fractal, que aparecieron a finales de los años 70, se han arraigado firmemente entre matemáticos y programadores desde mediados de los años 80 del siglo XX. La palabra fractal se deriva del latín fractus y se traduce como compuesto de fragmentos. Mandelbrot B. Geometría fractal de la naturaleza, p. 5 - M.: Institute of Computer Research, 2002. . Fue propuesto por Benoit Mandelbrot en 1975 para designar estructuras irregulares pero autosemejantes, que estudió Mandelbrot B. Fractal geometría de la naturaleza, p.5 - M.: Institute for Computer Research, 2002. . El nacimiento de la geometría fractal suele asociarse con la publicación del libro de Mandelbrot “La geometría fractal de la naturaleza” en 1977. Sus trabajos utilizaron los resultados científicos de otros científicos que trabajaron en el período 1875-1925 en el mismo campo (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff Pero sólo hasta nuestros días ha sido posible combinar sus trabajos en un único sistema.
El papel de los fractales en los gráficos por computadora hoy en día es bastante importante. Vienen al rescate, por ejemplo, cuando es necesario, utilizando varios coeficientes, definir líneas y superficies de formas muy complejas. Desde el punto de vista de los gráficos por ordenador, la geometría fractal es indispensable a la hora de generar nubes, montañas y superficies marinas artificiales. De hecho, se ha encontrado una manera de representar fácilmente objetos complejos no euclidianos, cuyas imágenes son muy similares a las naturales.
Una de las principales propiedades de los fractales es la autosimilitud. En el caso más simple, una pequeña parte de un fractal contiene información sobre todo el fractal.
La definición de fractal dada por Mandelbrot es la siguiente: “Un fractal es una estructura que consta de partes que son en algún sentido similares al todo”. Feder E. Fractals: World 1991, p.67.
Cabe señalar que la palabra "fractal" no es un término matemático y no tiene una definición matemática estricta generalmente aceptada. Se puede utilizar cuando la figura en cuestión tenga alguna de las siguientes propiedades:
1. Tiene una estructura no trivial en todas las escalas. Esto contrasta con las figuras regulares (como un círculo, una elipse, una gráfica de una función suave): si consideramos un pequeño fragmento de una figura regular a una escala muy grande, se verá como un fragmento de una línea recta. Para un fractal, aumentar la escala no conduce a una simplificación de la estructura; en todas las escalas veremos una imagen igualmente compleja.
2. Es autosimilar o aproximadamente autosimilar.
3. Tiene una dimensión métrica fraccionaria o una dimensión métrica que excede la topológica.
4. Puede construirse mediante un procedimiento recursivo Feder E. Fractals: World 1991, p.133.
Muchos objetos de la naturaleza tienen propiedades fractales, por ejemplo las costas, las nubes, las copas de los árboles, el sistema circulatorio y el sistema alveolar de humanos o animales.
Los fractales, especialmente en un avión, son populares debido a la combinación de belleza con la facilidad de construcción usando una computadora.
Los fractales son principalmente el lenguaje de la geometría. Sin embargo, sus elementos principales no son directamente observables. En este sentido se diferencian fundamentalmente de los objetos habituales de la geometría euclidiana, como una línea recta o un círculo. Los fractales no se expresan en formas geométricas primarias, sino en algoritmos, conjuntos de procedimientos matemáticos.
Estos algoritmos se transforman en formas geométricas utilizando una computadora. El repertorio de elementos algorítmicos es inagotable. Una vez que domines el lenguaje de los fractales, podrás describir la forma de una nube de forma tan clara y sencilla como un arquitecto describe un edificio utilizando dibujos que utilizan el lenguaje de la geometría tradicional.
2. Clasificación de fractales
Fractales geométricos. Los fractales de esta clase son los más visuales. En el caso bidimensional, se obtienen utilizando alguna línea discontinua (o superficie en el caso tridimensional), llamada generador. En un paso del algoritmo, cada uno de los segmentos que componen la polilínea se reemplaza por una polilínea generadora, en la escala adecuada. Como resultado de la repetición interminable de este procedimiento, se obtiene un fractal geométrico.
Fractales algebraicos. Este es el grupo más grande de fractales. Se obtienen mediante procesos no lineales en espacios de n dimensiones. Los procesos bidimensionales son los más estudiados. Al interpretar un proceso iterativo no lineal como un sistema dinámico discreto, se puede utilizar la terminología de la teoría de estos sistemas: retrato de fase, proceso de estado estacionario, atractor, etc.
Se sabe que los sistemas dinámicos no lineales tienen varios estados estables. El estado en el que se encuentra el sistema dinámico después de un cierto número de iteraciones depende de su estado inicial. Por tanto, cada estado estable (o, como dicen, atractor) tiene una determinada región de estados iniciales, a partir de los cuales el sistema necesariamente pasará a los estados finales considerados. Así, el espacio de fases del sistema se divide en áreas de atracción de atractores. Si el espacio de fases es un espacio bidimensional, entonces coloreando las áreas de atracción con diferentes colores, se puede obtener un retrato de fases en color de este sistema (proceso iterativo). Al cambiar el algoritmo de selección de color, puede obtener patrones fractales complejos con extraños patrones multicolores. Una sorpresa para los matemáticos fue la capacidad de generar estructuras no triviales muy complejas utilizando algoritmos primitivos.
Fractales escolares. Los objetos naturales que surgen como resultado de procesos aleatorios complejos a menudo tienen forma fractal. Se pueden utilizar fractales estocásticos (aleatorios) para modelarlos. Ejemplos de fractales estocásticos:
1. trayectoria del movimiento browniano en el plano y en el espacio;
2. límite de la trayectoria del movimiento browniano en un plano. En 2001, Lawler, Schramm y Werner demostraron la conjetura de Mandelbort de que su dimensión es 4/3.
3. Evoluciones de Schramm-Löwner: curvas fractales conformemente invariantes que surgen en modelos bidimensionales críticos de mecánica estadística, por ejemplo en el modelo de Ising y la percolación.
4. varios tipos de fractales aleatorios, es decir, fractales obtenidos mediante un procedimiento recursivo en el que se introduce un parámetro aleatorio en cada paso. El plasma es un ejemplo del uso de dicho fractal en gráficos por computadora.
El monotipo fractal, o estocatipia, son tendencias en las artes visuales que consisten en obtener una imagen de un fractal aleatorio. Schroeder M. Fractales, caos, leyes de potencia. Miniaturas del paraíso sin fin. - Izhevsk: RHD, 2001, p.26.
3. La historia de los fractales
Es digno de mención que la aparición de los fractales (aún sin recibir este nombre) en la literatura matemática hace unos cien años fue recibida con lamentable hostilidad, como ha sucedido en la historia del desarrollo de muchas otras ideas matemáticas. Un famoso matemático, Charles Hermite, incluso los llamó monstruos. Al menos el consenso general los reconoció como una patología de interés sólo para los investigadores que abusan de las modas matemáticas, y no para los verdaderos científicos.
Como resultado de los esfuerzos de Benoit Mandelbrot, esta actitud cambió y la geometría fractal se convirtió en una ciencia aplicada respetada. Mandelbrot acuñó el término fractal basándose en la teoría de la dimensión fractal (fraccional) de Hausdorff, propuesta en 1919. Muchos años antes de la aparición de su primer libro sobre geometría fractal, Mandelbrot comenzó a investigar la aparición de monstruos y otras patologías en la naturaleza. Encontró un nicho para los dudosos conjuntos de Cantor, las curvas de Peano, las funciones de Weierstrass y sus múltiples variaciones, que se consideraban una tontería. Él y sus estudiantes descubrieron muchos fractales nuevos, como el movimiento browniano fractal para modelar paisajes de bosques y montañas, fluctuaciones del nivel de los ríos y latidos del corazón. Con la publicación de sus libros, las aplicaciones de la geometría fractal comenzaron a aparecer como hongos después de la lluvia. Esto afectó tanto a muchas ciencias aplicadas como a las matemáticas puras. Ni siquiera la industria cinematográfica quedó al margen. Millones de personas admiraron el paisaje montañoso en la película “Star Migration II: The Wrath of Khan”, construido con fractales Peitgen H.-O., Richter P. H. La belleza de los fractales. - M.: Mir 1993, p.45.
El matemático francés Henri Poincaré inició la investigación de la dinámica no lineal alrededor de 1890, lo que condujo a la moderna teoría del caos. El interés en el tema aumentó notablemente cuando Edward Lorenz, un modelador meteorológico no lineal, descubrió en 1963 que los pronósticos meteorológicos a largo plazo eran imposibles. Lorenz señaló que incluso los pequeños errores al medir el estado actual de las condiciones climáticas pueden llevar a predicciones completamente incorrectas sobre las condiciones climáticas futuras. Esta dependencia esencial de las condiciones iniciales subyace a la teoría matemática del caos.
Las trayectorias de partículas del movimiento browniano, que fueron estudiadas por Robert Brown ya en 1828 y Albert Einstein en 1905, son un ejemplo de curvas fractales, aunque su descripción matemática no fue dada hasta 1923 por Norbert Wiener. En 1890, Peano construyó su famosa curva: un mapeo continuo que transforma un segmento en un cuadrado y, por lo tanto, aumenta su dimensión de uno a dos. El límite del copo de nieve de Koch (1904), cuya dimensión d » 1,2618, es otra curva de dimensión creciente muy conocida.
El fractal, que no se parece en nada a una curva, al que Mandelbrot llamó polvo, es el conjunto clásico de Cantor (1875 o antes). Este conjunto es tan escaso que no contiene intervalos, pero sin embargo tiene el mismo número de puntos que el intervalo. Mandelbrot utilizó ese “polvo” para modelar el ruido estacionario en la telefonía. El polvo fractal de un tipo u otro aparece en numerosas situaciones. De hecho, es un fractal universal en el sentido de que cualquier fractal, un atractor de un sistema de funciones iteradas, es polvo fractal o su proyección en un espacio con una dimensión inferior Peitgen H.-O., Richter P., p. . 22.
Se utilizaron varios fractales arbóreos no sólo para modelar las plantas arbóreas, sino también el árbol bronquial (ramas portadoras de aire en los pulmones), el funcionamiento de los riñones, el sistema circulatorio, etc. Es interesante observar el trabajo de Leonardo da Vinci. Suposición de que todas las ramas de un árbol a una altura determinada, sumadas, tienen el mismo grosor que el tronco (por debajo de su nivel). Esto implica un modelo fractal para la copa del árbol en forma de superficie fractal.
Muchas propiedades notables de los fractales y el caos se revelan mediante el estudio de mapeos iterados. En este caso, comienzan con alguna función y = f(x) y consideran el comportamiento de la secuencia f(x), f(f(x)), f(f(f(x))),... En En el plano complejo, trabajos de este tipo se remontan, aparentemente, al nombre de Cayley, quien investigó el método de Newton para encontrar la raíz aplicado a funciones complejas, y no sólo reales (1879). Gaston Julia y Pierre Fatou (1919) lograron avances notables en el estudio de mapeos complejos iterados. Naturalmente, todo se hizo sin la ayuda de gráficos por computadora. Hoy en día, muchos ya han visto carteles coloridos que representan los decorados de *Julia y el decorado de Mandelbrot, que está estrechamente relacionado con ellos. Es natural empezar a dominar la teoría matemática del caos con mapeos iterados.
El estudio de los fractales y el caos abre maravillosas posibilidades, tanto en el estudio de una infinidad de aplicaciones como en el campo de la matemática pura. Pero al mismo tiempo, como suele ocurrir en las llamadas nuevas matemáticas, los descubrimientos se basan en los trabajos pioneros de los grandes matemáticos del pasado. Sir Isaac Newton entendió esto cuando dijo: “Si he visto más lejos que otros, es porque me he subido a hombros de gigantes”.
4. Aplicación de fractales
Gráficos de computadora
Los fractales se utilizan ampliamente en gráficos por computadora para construir imágenes de objetos naturales, como árboles, arbustos, paisajes montañosos, superficies marinas, etc.
Física y otras ciencias naturales.
En física, los fractales surgen naturalmente al modelar procesos no lineales, como flujos de fluidos turbulentos, procesos complejos de difusión-adsorción aleatoria, llamas, nubes, etc. Los fractales también se utilizan al modelar materiales porosos, por ejemplo, en petroquímica. En biología, se utilizan para modelar poblaciones y describir sistemas de órganos internos (el sistema de vasos sanguíneos).
Literatura
Entre las obras literarias se encuentran aquellas que tienen un carácter textual, estructural o semántico fractal. En los fractales de texto, los elementos del texto se repiten potencialmente hasta el infinito:
1. Un árbol infinito, no ramificado, idéntico a ellos mismos desde cualquier iteración (“El cura tenía un perro...”, “La parábola de un filósofo que sueña que él es una mariposa que sueña que ella es una filósofa que sueña. ..”, “Es una afirmación falsa que la afirmación es verdadera, la afirmación es falsa…”).
2. Textos interminables y no ramificados con variaciones (“Peggy tenía un ganso gracioso…”) y textos con extensiones (“La casa que Jack construyó”).
3. En los fractales estructurales, la disposición del texto es potencialmente fractal.
4. Corona de sonetos (15 poemas), corona de sonetos (211 poemas), corona de coronas de sonetos (2455 poemas).
5. “Historias dentro de una historia” (“El libro de las mil y una noches”, J. Pototsky “Manuscrito encontrado en Zaragoza”).
6. Prefacios que ocultan la autoría (U. Eco “El nombre de la rosa”).
En fractales semánticos y narrativos, el autor habla de la infinita similitud de una parte con el todo.
H. L. Borges “En el círculo de las ruinas”
J. Cortázar “Flor Amarilla”
J. Perek “Kunstkamera”
Antenas fractales.
El uso de la geometría fractal en el diseño de dispositivos de antena fue utilizado por primera vez por el ingeniero estadounidense Nathan Cohen, que entonces vivía en el centro de Boston, donde estaba prohibida la instalación de antenas externas en edificios. Nathan recortó una forma de curva de Koch en papel de aluminio, la pegó en una hoja de papel y luego la fijó al receptor. Resultó que una antena de este tipo no funciona peor que una normal. Y aunque los principios físicos de funcionamiento de dicha antena aún no se han estudiado, esto no impidió que Cohen fundara su propia empresa y lanzara su producción en serie.
Compresión de imágenes.
Existen algoritmos para comprimir imágenes utilizando fractales. Se basan en la idea de que en lugar de una imagen, se puede almacenar un mapeo de compresión para el cual la imagen es un punto fijo.
Redes descentralizadas.
El sistema de asignación de direcciones IP en la red Netsukuku utiliza el principio de compresión de información fractal para almacenar de forma compacta información sobre los nodos de la red. Cada nodo de la red Netsukuku almacena solo 4 KB de información sobre el estado de los nodos vecinos, mientras que cualquier nodo nuevo se conecta a la red común sin necesidad de una regulación central de la distribución de direcciones IP, que, por ejemplo, es típica de la Internet. Así, el principio de compresión de información fractal garantiza un funcionamiento completamente descentralizado y, por tanto, el más estable de toda la red.
Conclusión
La mayoría de la gente cree que los fractales son simplemente imágenes hermosas que agradan a la vista. Afortunadamente, este no es el caso y los fractales se utilizan en muchas áreas de la actividad humana. Ya existe una base teórica para crear nuevas áreas de su aplicación, como el diagnóstico de enfermedades, la predicción de daños durante el impacto dinámico y muchas otras. Pero, a pesar de la inagotabilidad teórica del uso de fractales, se puede suponer que con el tiempo surgirán las principales direcciones de su aplicación.
Sólo han pasado unas pocas décadas desde que Benoit Mandelbrot declaró: “¡La geometría de la naturaleza es fractal!” Hoy ya podemos suponer mucho más, a saber, que la fractalidad es el principio primario de construcción de todos los objetos naturales sin excepción.
Conclusiones:
1. Los científicos estudian cuidadosamente la naturaleza de los fractales.
2. En el futuro, muchos problemas de la medicina, la industria informática, la ciencia, etc. se resolverán con la ayuda de fractales.
Lista de literatura usada
gráficos naturales fractales
1. Mandelbrot B. Geometría fractal de la naturaleza. - M.: Instituto de Investigaciones Informáticas, 2002.
2. Peitgen H.-O., Richter P. H. La belleza de los fractales. - M.: Mir, 1993.
3. Feder E. Fractales-M.: Mir, 1991.
4. Schroeder M. Fractales, caos, leyes de potencia. Miniaturas del paraíso sin fin. - Izhevsk: RHD, 2001.
Publicado en Allbest.ru
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Proporciones de la “proporción áurea”
Incluso los antiguos griegos, y posiblemente los egipcios, conocían la proporción de la "sección áurea". Luca Pacioli, un matemático del Renacimiento, llamó a esta proporción la “proporción divina”. Más tarde, los científicos descubrieron que la proporción áurea, tan agradable al ojo humano y que se encuentra a menudo en la arquitectura clásica, el arte e incluso la poesía, se puede encontrar en todas partes de la naturaleza.
La proporción áurea es una división de un segmento en dos partes desiguales, en las que la parte corta está relacionada con la larga como la parte larga está relacionada con el segmento completo. La razón de la parte larga al segmento completo es un número infinito, una fracción irracional 0.618..., la razón de la parte corta es 0.382...
Si construyes un rectángulo con lados cuya proporción es igual a la proporción de la "proporción áurea", e inscribes otro "rectángulo áureo" en él, otro dentro de ese, y así hasta el infinito hacia adentro y hacia afuera, entonces se puede formar una espiral. dibujarse a lo largo de los puntos de las esquinas de los rectángulos. Es interesante que dicha espiral coincida con un corte de la concha de un nautilo, así como con otras espirales que se encuentran en la naturaleza.
Ilustración: Homk/wikipedia.org
Fósil de Nautilus.
Foto: Studio-Annika/Photos.com
Nautilus Shell.
Foto: Chris 73/en.wikipedia.org
La proporción de la proporción áurea es percibida por el ojo humano como hermosa y armoniosa. Y la proporción 0,618... es igual a la proporción entre el número anterior y el siguiente en la serie de Fibonacci. Los números de Fibonacci aparecen en todas partes en la naturaleza: es la espiral a lo largo de la cual las ramas de una planta se unen al tallo, la espiral a lo largo de la cual crecen las escamas de una piña o los granos de un girasol. Curiosamente, el número de filas que giran en sentido antihorario y horario son números adyacentes en la serie de Fibonacci.
La cabeza de una col brócoli y el cuerno de un carnero se retuercen en espiral... Y en el propio cuerpo humano, por supuesto, sano y de proporciones normales, se encuentran las proporciones áureas.
Hombre de Vitruvio. Dibujo de Leonardo da Vinci.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... son números de la serie de Fibonacci, en la que cada término posterior se obtiene de la suma de los dos anteriores. Las galaxias espirales distantes fotografiadas por satélites también giran en espirales de Fibonacci.
Galaxia espiral.
Foto: NASA
Tres ciclones tropicales.
Foto: NASA
La molécula de ADN está retorcida en una doble hélice.
ADN humano retorcido.
Ilustración: Zephyris/en.wikipedia.org
El huracán gira en espiral, la araña teje su red en espiral.
Tela de una araña cruzada.
Foto: Vincent de Groot/videgro.net
La “proporción áurea” también se puede ver en la estructura corporal de la mariposa, en relación con las partes torácica y abdominal de su cuerpo, así como en la libélula. Y la mayoría de los huevos encajan, si no en el rectángulo de la proporción áurea, sí en un derivado de la misma.
Ilustración: Adolfo Millot
Fractales
Otras formas interesantes que podemos ver en todas partes de la naturaleza son los fractales. Los fractales son figuras formadas por partes, cada una de las cuales es similar a la figura completa. ¿No te recuerda esto el principio de la proporción áurea?
Los árboles, los relámpagos, los bronquios y el sistema circulatorio humano tienen forma de fractal; los helechos y el brócoli también se denominan ilustraciones naturales ideales de fractales. “Todo es tan complicado, todo es tan simple” así funciona la naturaleza, se da cuenta la gente, escuchándola con respeto.
“La naturaleza ha dotado al hombre del deseo de descubrir la verdad”, escribió Cicerón, con cuyas palabras me gustaría terminar la primera parte del artículo sobre la geometría en la naturaleza.
El brócoli es una perfecta ilustración natural de un fractal.
Foto: pdphoto.org
Las hojas de helecho tienen la forma de una figura fractal: son autosemejantes.
Foto: Stockbyte/Photos.com
Fractales verdes: hojas de helecho.
Foto: John Foxx/Photos.com
Venas en una hoja amarillenta, con forma de fractal.
Foto: Diego Barucco/Photos.com
Grietas en una piedra: fractal en macro.
Foto: Bob Beale/Photos.com
Ramas del sistema circulatorio en las orejas de un conejo.
Foto: Lusoimages/Photos.com
Rayo - rama fractal.
Foto: John R. Southern/flickr.com
Rama de arterias del cuerpo humano.
Río sinuoso y sus brazos.
Foto: Júpiterimages/Photos.com
El hielo congelado sobre vidrio tiene un patrón autosimilar.
Foto: Schnobby/en.wikipedia.org
Una hoja de hiedra con venas ramificadas, de forma fractal.
Foto: Wojciech Plonka/Photos.com
Para entender qué es un fractal, conviene empezar el análisis desde el punto de vista de las matemáticas, pero antes de profundizar en las ciencias exactas, filosofaremos un poco. Cada persona tiene una curiosidad natural, gracias a la cual aprende sobre el mundo que le rodea. A menudo, en su búsqueda de conocimiento, intenta utilizar la lógica en sus juicios. Así, al analizar los procesos que ocurren a su alrededor, intenta calcular relaciones y derivar ciertos patrones. Las mentes más brillantes del planeta están ocupadas resolviendo estos problemas. En términos generales, nuestros científicos están buscando patrones donde no los hay, y no debería haberlos. Y, sin embargo, incluso en el caos existe una conexión entre ciertos acontecimientos. Esta conexión es lo que es el fractal. Como ejemplo, consideremos una rama rota tirada en el camino. Si lo miramos de cerca, veremos que con todas sus ramas y ramitas parece un árbol. Esta similitud de una parte separada con un todo único indica el llamado principio de autosemejanza recursiva. Los fractales se pueden encontrar por todas partes en la naturaleza, porque muchas formas orgánicas e inorgánicas se forman de manera similar. Se trata de nubes, conchas marinas, caracoles, copas de árboles e incluso el sistema circulatorio. Esta lista puede continuar indefinidamente. Todas estas formas aleatorias se describen fácilmente mediante un algoritmo fractal. Ahora hemos llegado a considerar qué es un fractal desde la perspectiva de las ciencias exactas. 
Algunos hechos secos
La palabra "fractal" en sí se traduce del latín como "parcial", "dividido", "fragmentado", y en cuanto al contenido de este término, no existe una formulación como tal. Suele interpretarse como un conjunto autosemejante, una parte del todo, que repite su estructura a nivel micro. Este término fue acuñado en los años setenta del siglo XX por Benoit Mandelbrot, a quien se le reconoce como el padre de la geometría fractal. Hoy en día, el concepto de fractal significa una imagen gráfica de una determinada estructura que, cuando se amplíe, será similar a ella misma. Sin embargo, la base matemática para la creación de esta teoría se sentó incluso antes del nacimiento del propio Mandelbrot, pero no pudo desarrollarse hasta que aparecieron las computadoras electrónicas.
Antecedentes históricos o cómo empezó todo
A principios del siglo XIX y XX, el estudio de la naturaleza de los fractales era esporádico. Esto se explica por el hecho de que los matemáticos preferían estudiar objetos que pudieran investigarse sobre la base de teorías y métodos generales. En 1872, el matemático alemán K. Weierstrass construyó un ejemplo de función continua que no es diferenciable en ninguna parte. Sin embargo, esta construcción resultó ser enteramente abstracta y difícil de percibir. Luego vino el sueco Helge von Koch, quien en 1904 construyó una curva continua que no tenía tangente en ninguna parte. Es bastante fácil de dibujar y resulta que tiene propiedades fractales. Una de las variantes de esta curva lleva el nombre de su autor: "copo de nieve de Koch". Además, la idea de la autosemejanza de figuras fue desarrollada por el futuro mentor de B. Mandelbrot, el francés Paul Levy. En 1938 publicó el artículo "Curvas y superficies planas y espaciales formadas por partes similares a un todo". En él, describió un nuevo tipo: la curva C de Levy. Todas las figuras anteriores se clasifican convencionalmente como fractales geométricos. 
Fractales dinámicos o algebraicos
El conjunto de Mandelbrot pertenece a esta clase. Los primeros investigadores en esta dirección fueron los matemáticos franceses Pierre Fatou y Gaston Julia. En 1918, Julia publicó un artículo basado en el estudio de iteraciones de funciones racionales complejas. Aquí describió una familia de fractales que están estrechamente relacionados con el conjunto de Mandelbrot. A pesar de que este trabajo glorificó al autor entre los matemáticos, rápidamente fue olvidado. Y solo medio siglo después, gracias a las computadoras, el trabajo de Julia recibió una segunda vida. Las computadoras hicieron posible hacer visible para cada persona la belleza y la riqueza del mundo de los fractales que los matemáticos podían "ver" mostrándolos a través de funciones. Mandelbrot fue el primero en utilizar una computadora para realizar cálculos (un volumen así no se puede hacer manualmente) que permitieron construir una imagen de estas figuras.
Una persona con imaginación espacial.
Mandelbrot comenzó su carrera científica en el Centro de Investigación de IBM. Mientras estudiaban las posibilidades de transmitir datos a largas distancias, los científicos se enfrentaron al hecho de las grandes pérdidas que surgían debido a la interferencia del ruido. Benoit estaba buscando formas de resolver este problema. Al examinar los resultados de las mediciones, notó un patrón extraño: los gráficos de ruido parecían iguales en diferentes escalas de tiempo. 
Se observó una imagen similar tanto durante un día como durante siete días o una hora. El propio Benoit Mandelbrot repetía a menudo que no trabaja con fórmulas, sino que juega con imágenes. Este científico se distinguió por el pensamiento imaginativo, tradujo cualquier problema algebraico al área geométrica, donde la respuesta correcta es obvia. Por eso no es sorprendente que una persona así, distinguida por un rico pensamiento espacial, se convirtiera en el padre de la geometría fractal. Después de todo, la conciencia de esta figura sólo puede llegar cuando estudias los dibujos y piensas en el significado de estos extraños remolinos que forman el patrón. Los patrones fractales no tienen elementos idénticos, pero son similares en cualquier escala.
Julia-Mandelbrot
Uno de los primeros dibujos de esta figura fue una interpretación gráfica del conjunto, que nació del trabajo de Gastón Julia y fue desarrollado posteriormente por Mandelbrot. Gaston intentó imaginar cómo sería un conjunto basándose en una fórmula simple que se repitió a través de un circuito de retroalimentación. Intentemos explicar lo dicho en lenguaje humano, por así decirlo, con los dedos. Para un valor numérico específico, encontramos un nuevo valor usando una fórmula. Lo sustituimos en la fórmula y encontramos lo siguiente. El resultado es una secuencia numérica grande. Para representar tal conjunto, es necesario realizar esta operación una gran cantidad de veces: cientos, miles, millones. Esto es lo que hizo Benoit. Procesó la secuencia y transfirió los resultados a forma gráfica. Posteriormente, coloreó la figura resultante (cada color corresponde a un número determinado de iteraciones). Esta imagen gráfica recibió el nombre de “fractal de Mandelbrot”. 
L. Carpenter: arte creado por la naturaleza
La teoría de los fractales encontró rápidamente una aplicación práctica. Dado que está muy relacionado con la visualización de imágenes autosimilares, los artistas fueron los primeros en adoptar los principios y algoritmos para construir estas formas inusuales. La primera de ellas fue la futura fundadora de Pixar, Lauren Carpenter. Mientras trabajaba en una presentación de prototipos de aviones, se le ocurrió la idea de utilizar una imagen de montañas como fondo. Hoy en día, casi todos los usuarios de computadoras pueden hacer frente a tal tarea, pero en los años setenta del siglo pasado, las computadoras no podían realizar tales procesos porque en ese momento no existían editores gráficos ni aplicaciones para gráficos tridimensionales. Y entonces Loren se topó con el libro de Mandelbrot "Fractales: forma, aleatoriedad y dimensión". En él, Benoit dio muchos ejemplos, mostrando que los fractales existen en la naturaleza (fyva), describió sus diversas formas y demostró que se describen fácilmente mediante expresiones matemáticas. El matemático citó esta analogía como argumento a favor de la utilidad de la teoría que estaba desarrollando en respuesta a una avalancha de críticas por parte de sus colegas. Argumentaron que un fractal es sólo una imagen bonita, no tiene valor y es un subproducto del trabajo de las máquinas electrónicas. Carpenter decidió probar este método en la práctica. Después de estudiar detenidamente el libro, el futuro animador comenzó a buscar una manera de implementar la geometría fractal en gráficos por computadora. Sólo tardó tres días en reproducir en su ordenador una imagen completamente realista del paisaje montañoso. Y hoy este principio se utiliza ampliamente. Resulta que crear fractales no requiere mucho tiempo ni esfuerzo.
La solución del carpintero
El principio que utilizó Lauren fue simple. Consiste en dividir formas geométricas de mayor tamaño en elementos pequeños, y éstos en otros más pequeños similares, y así sucesivamente. Carpenter, usando triángulos grandes, los dividió en 4 pequeños, y así sucesivamente, hasta tener un paisaje montañoso realista. Así, se convirtió en el primer artista en utilizar un algoritmo fractal en gráficos por ordenador para construir la imagen requerida. Hoy en día este principio se utiliza para imitar diversas formas naturales realistas.
La primera visualización 3D utilizando un algoritmo fractal
Unos años más tarde, Lauren aplicó su trabajo en un proyecto a gran escala: el vídeo animado Vol Libre, mostrado en Siggraph en 1980. Este video sorprendió a muchos y su creador fue invitado a trabajar en Lucasfilm. Aquí el animador pudo desarrollar todo su potencial: creó paisajes tridimensionales (un planeta entero) para el largometraje “Star Trek”. Cualquier programa moderno ("Fractals") o aplicación para crear gráficos 3D (Terragen, Vue, Bryce) utiliza el mismo algoritmo para modelar texturas y superficies. 
Tom Beddard
Beddard, que anteriormente era físico láser y ahora artista y artista digital, creó una serie de formas geométricas muy intrigantes, a las que llamó fractales de Fabergé. Exteriormente se parecen a los huevos decorativos de un joyero ruso; tienen el mismo patrón brillante e intrincado. Beddard utilizó un método de plantilla para crear sus representaciones digitales de los modelos. Los productos resultantes sorprenden por su belleza. Aunque muchos se niegan a comparar un producto hecho a mano con un programa de ordenador, hay que admitir que las formas resultantes son extremadamente bellas. Lo más destacado es que cualquiera puede construir un fractal de este tipo utilizando la biblioteca de software WebGL. Te permite explorar varias estructuras fractales en tiempo real.
Fractales en la naturaleza
Pocas personas prestan atención, pero estas asombrosas figuras están presentes en todas partes. La naturaleza se crea a partir de figuras autosimilares, pero no nos damos cuenta. Basta mirar a través de una lupa nuestra piel o la hoja de un árbol y veremos fractales. O tomemos, por ejemplo, una piña o incluso la cola de un pavo real: están formadas por figuras similares. Y la variedad de brócoli Romanescu llama la atención en su apariencia, porque realmente se la puede llamar un milagro de la naturaleza. 
pausa musical
Resulta que los fractales no son sólo formas geométricas, también pueden ser sonidos. Así, el músico Jonathan Colton escribe música utilizando algoritmos fractales. Afirma que tal melodía corresponde a la armonía natural. El compositor publica todas sus obras bajo una licencia CreativeCommons Attribution-Nocommercial, que permite la distribución, copia y transferencia gratuitas de obras a otros.
Indicador fractal
Esta técnica ha encontrado una aplicación muy inesperada. Sobre esta base se creó una herramienta para analizar el mercado bursátil y, como resultado, comenzó a utilizarse en el mercado Forex. Hoy en día, el indicador fractal se encuentra en todas las plataformas comerciales y se utiliza en una técnica comercial llamada ruptura de precios. Esta técnica fue desarrollada por Bill Williams. Como comenta el autor sobre su invento, este algoritmo es una combinación de varias “velas”, en las que la central refleja el punto extremo máximo o, por el contrario, el mínimo.
Finalmente
Entonces vimos qué es un fractal. Resulta que en el caos que nos rodea, en realidad existen formas ideales. La naturaleza es el mejor arquitecto, constructor e ingeniero ideal. Está organizado de forma muy lógica y si no podemos encontrar un patrón, eso no significa que no exista. Quizás necesitemos mirar en una escala diferente. Podemos decir con confianza que los fractales todavía guardan muchos secretos que aún tenemos que descubrir.
