Teoría electrónica clásica de la conductividad eléctrica de los metales y su justificación experimental. Ley de Wiedemann-Franz.
La corriente eléctrica en los metales es el movimiento ordenado de electrones bajo la influencia de un campo eléctrico.
Esta suposición fue confirmada experimentalmente en el experimento de K. Riecke (1911).
Se pasó una corriente eléctrica a través de una cadena de tres cilindros sucesivos (cobre, aluminio y cobre nuevamente) durante mucho tiempo (aproximadamente un año); en total, 3,5 μC de carga pasaron a través de los cilindros. Sin embargo, no se encontraron rastros de transferencia de sustancias (cobre o aluminio). De ello se deducía que la conductividad eléctrica de los metales se debía a las cargas libres comunes a todos los metales; sólo los electrones eran adecuados para esta función.
Otra prueba convincente de la naturaleza electrónica de la corriente en los metales se obtuvo en experimentos con la inercia de los electrones (el experimento de Tolman y Stewart) (1916).
Una bobina con una gran cantidad de vueltas de alambre delgado se hizo girar rápidamente alrededor de su eje. Los extremos de la bobina se conectaron mediante cables flexibles a un galvanómetro balístico sensible. El carrete desenrollado se frenó bruscamente y
Surgió una corriente de corta duración en el circuito debido a la inercia de los portadores de carga. La carga total que fluye por el circuito se midió con un galvanómetro.
Al frenar una bobina en rotación, sobre cada portador de carga e con masa m actúa una fuerza de frenado, que desempeña el papel de una fuerza externa, es decir, una fuerza de origen no eléctrico:
La fuerza externa por unidad de carga es, por definición, la intensidad del campo de las fuerzas externas:
En consecuencia, en el circuito cuando la bobina está frenando, un fuerza electromotriz:
Durante el tiempo de frenado de la bobina la carga q fluirá hacia el circuito, igual:
¿Dónde está la longitud del cable de la bobina? I– valor de corriente instantánea en la bobina, R– resistencia total del circuito, – velocidad lineal inicial del hilo.
El valor de la carga específica de los portadores de corriente en el metal obtenido en los experimentos resultó ser cercano a la carga específica del electrón. 
La buena conductividad eléctrica de los metales se explica por alta concentración de electrones libres , igual en orden de magnitud número de átomos por unidad de volumen.
La suposición de que los electrones son responsables de la corriente eléctrica en los metales surgió mucho antes que los experimentos de Tolman y Stewart. En 1900, el científico alemán P. Drude, basándose en la hipótesis de la existencia de electrones libres en los metales, creó la teoría electrónica de la conductividad de los metales. Esta teoría fue desarrollada en los trabajos del físico holandés H. Lorentz y se llama teoría clásica del electrón . Según esta teoría, los electrones de los metales se comportan como un gas de electrones, muy parecido a un gas ideal.
El gas electrónico llena el espacio entre los iones que forman la red cristalina del metal. Debido a la interacción con los iones, los electrones pueden abandonar el metal solo superando el llamado barrera potencial . La altura de esta barrera se llama función del trabajo .
A temperaturas normales (ambiente), los electrones no tienen suficiente energía para superar la barrera de potencial. Según la teoría de Drude-Lorentz, los electrones tienen la misma energía promedio de movimiento térmico que las moléculas de un gas ideal monoatómico. Esto nos permite estimar la velocidad promedio del movimiento térmico de los electrones usando las fórmulas de la teoría cinética molecular:
Cuando se aplica un campo eléctrico externo a un conductor metálico, además del movimiento térmico de los electrones, se produce su movimiento ordenado (deriva), es decir, una corriente eléctrica. El valor de la velocidad de deriva de los electrones. se encuentra dentro del rango de 0,6 – 6 mm/s. Por tanto, la velocidad media del movimiento ordenado de los electrones en conductores metálicos es muchos órdenes de magnitud menor que la velocidad media de su movimiento térmico.
La baja velocidad de deriva no contradice el hecho experimental de que la corriente en todo el circuito de corriente continua se establece casi instantáneamente. Cerrar el circuito hace que el campo eléctrico se propague a una velocidad C= 3·108 m/s. Al poco tiempo ( yo– longitud de la cadena) se establece una distribución estacionaria del campo eléctrico a lo largo de la cadena y en ella comienza el movimiento ordenado de los electrones.
En la teoría electrónica clásica de los metales, se supone que el movimiento de los electrones obedece a las leyes de la mecánica de Newton. En esta teoría, se descuida la interacción de los electrones entre sí y su interacción con los iones positivos se reduce únicamente a colisiones. También se supone que con cada colisión el electrón transfiere a la red toda la energía acumulada en el campo eléctrico y por lo tanto después de la colisión comienza a moverse con velocidad de deriva cero.
A pesar de que todas estas suposiciones son muy aproximadas, la teoría electrónica clásica explica cualitativamente las leyes de la corriente eléctrica en conductores metálicos: Ley de Ohm, la ley de Joule-Lenz y explica la existencia de resistencia eléctrica de los metales.
Ley de Ohm:
Resistencia eléctrica de un conductor.
La teoría de Drude se desarrolló en 1900, tres años después del descubrimiento del electrón. La teoría fue luego refinada por Lorentz y ahora es la teoría clásica y actual de la conductividad de los metales.
Teoría electrónica de Drude-Lorentz
Según la teoría, los portadores de corriente en los metales son electrones libres.
Drude sugirió que los electrones en un metal obedecen y pueden describirse mediante las ecuaciones de la teoría cinética molecular. En otras palabras, los electrones libres en un metal obedecen las leyes de MKT y forman un "gas de electrones".
Al moverse en el metal, los electrones chocan entre sí y con la red cristalina (esta es una manifestación de la resistencia eléctrica del conductor). Entre colisiones, los electrones, por analogía con el camino libre medio de las moléculas de gas ideal, logran superar el camino medio λ.
Sin la acción de un campo eléctrico que acelere los electrones, la red cristalina y el gas de electrones tienden a un estado de equilibrio térmico.
Estas son las principales disposiciones de la teoría de Drude:
- La interacción de un electrón con otros electrones e iones no se tiene en cuenta entre colisiones.
- Las colisiones son eventos instantáneos que cambian repentinamente la velocidad del electrón.
- La probabilidad de que un electrón experimente una colisión por unidad de tiempo es 1 τ.
- El estado de equilibrio termodinámico se logra mediante colisiones.
A pesar de muchas suposiciones, la teoría de Drude-Loretzn explica bien el efecto Hall, el fenómeno de la conductividad y la conductividad térmica de los metales. Por eso es relevante hasta el día de hoy, aunque sólo la teoría cuántica de los sólidos podría dar respuestas a muchas preguntas (por ejemplo, por qué hay iones y electrones libres en un metal).
La teoría de Drude explica la resistencia de los metales. Es causada por colisiones de electrones con nodos de la red cristalina.
La liberación de calor, según la ley de Joule-Lenz, también se produce debido a la colisión de electrones con iones reticulares.
La transferencia de calor en los metales también se realiza mediante electrones y no mediante una red cristalina.
Teria Drude no explica muchos fenómenos, como la superconductividad, y no es aplicable en campos magnéticos fuertes; en campos magnéticos débiles puede perder aplicabilidad debido a fenómenos cuánticos.
La velocidad media de los electrones se puede calcular mediante la fórmula de un gas ideal:
Aquí k es la constante de Boltzmann, T es la temperatura del metal, m es la masa del electrón.
Cuando se activa un campo eléctrico externo, al movimiento caótico de las partículas del "gas de electrones" se le superpone el movimiento ordenado de los electrones bajo la influencia de las fuerzas del campo, cuando los electrones comienzan a moverse de manera ordenada con una velocidad promedio u. . La magnitud de esta velocidad se puede estimar a partir de la relación:
donde j es la densidad de corriente, n es la concentración de electrones libres, q es la carga del electrón.
A altas densidades de corriente, los cálculos dan el siguiente resultado: la velocidad promedio del movimiento caótico de los electrones es muchas veces (≈ 10 8) mayor que la velocidad del movimiento ordenado bajo la influencia de un campo. Al calcular la velocidad total, se supone que
tu → + v → ≈ v →
Fórmula idiota
La fórmula de Drude se deriva de la ecuación cinética de Boltzmann y tiene la forma:
σ = norte q 2 τ metro *
Aquí m * es la masa efectiva del electrón, τ es el tiempo de relajación, es decir, el tiempo durante el cual el electrón "olvida" en qué dirección se movió después de la colisión.
Drude derivó la ley de Ohm para las corrientes en el metal:
Experiencia Tolman y Stewart
En 1916, el experimento de Tolman y Stewart proporcionó evidencia directa de que los electrones son portadores de corriente en los metales.
La esencia de la experiencia fue la siguiente.
Experiencia Tolman y Stewart
Una bobina conductora con un cable de longitud L giraba alrededor de su eje a gran velocidad y sus extremos estaban cerrados a un galvanómetro. Cuando la bobina se frenó bruscamente, los electrones libres en el metal continuaron moviéndose por inercia y el galvanómetro registró un pulso de corriente.
Suponiendo que los electrones libres obedecen las leyes de la mecánica de Newton, podemos escribir que cuando el conductor se detiene, el electrón adquiere una aceleración v " (dirigida a lo largo de los cables de la bobina). En este caso, una fuerza dirigida contra el electrón actúa sobre el electrón. la aceleración.
Bajo la influencia de esta fuerza, el electrón se comporta como si el campo actuara sobre él E = - m v " q. La fem que surge en la bobina durante el frenado se puede escribir como:
ε = ∫ L mi re l = - m v " q ∫ L re l = - m v " q L
Suponiendo que la aceleración es la misma en cada vuelta, podemos escribir la ley de Ohm para la bobina y luego calcular la carga que pasa a través de ella durante el tiempo d t:
Yo R = - m v " q L
re q = yo d t = - m L d v q R d t d t = - m L d v q R
La carga pasó desde el momento de frenar hasta detenerse:
q = - metro L q R ∫ v 0 0 re v = - metro L v 0 q R
El experimento de Tolman y Stewart concordaba con la teoría; la relación q m obtenida experimentalmente correspondía a la relación entre la carga del electrón y su masa.
Ejemplo
En T = 300 K, calcule la velocidad promedio del movimiento térmico de los electrones libres.
Calculemos la velocidad promedio usando la fórmula de un gas ideal:
k = 1,38 10 - 23 D f K
m = 9,31 10 - 31 kg
Sustituimos los valores y calculamos:
v = 8 1, 38 10 - 23 3 10 2 3, 14 9, 31 10 - 31 ≈ 10 5 m s
Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter
Los experimentos realizados por Rikke en 1901, Mandelstam y Papaleksi en 1913 y Tolman y Stewart en 1916 demostraron que los portadores de corriente en los metales son los electrones. La corriente en los metales puede deberse a una diferencia de potencial extremadamente pequeña. Esto da motivos para creer que los electrones se mueven por todo el metal casi libremente. La aparición de estos electrones libres se explica por el hecho de que durante la formación de una red cristalina, los electrones de valencia unidos más débiles se desprenden fácilmente de los átomos metálicos. Se puede demostrar que su concentración alcanza los electrones en . En una concentración tan alta de electrones, la fuerza promedio que actúa sobre un electrón de todos los demás electrones e iones es cero y, por lo tanto, los electrones pueden considerarse partículas libres y su interacción con los iones puede considerarse como una serie de colisiones sucesivas.
En esta aproximación, un sistema de electrones puede analizarse como un sistema de moléculas monoatómicas de un gas ideal. Sobre esta base, Drude y más tarde Lorentz ampliaron los resultados de la teoría cinética de los gases (ver lección 1.2) a los electrones libres, al llamado gas de electrones, y obtuvieron las leyes de Ohm y Joule-Lenz en forma diferencial.
En el semestre antepenúltimo se estudiaron estas leyes [ver. apuntes de conferencias, parte II, fórmulas (16), (38) en conferencias 6,7].
La densidad de corriente de conducción es igual al producto de la conductividad eléctrica específica del conductor y la intensidad del campo eléctrico en el conductor., es decir.
Ley de Ohm en forma diferencial. (1)
La potencia térmica específica de la corriente en un conductor es igual al producto de su conductividad eléctrica específica por el cuadrado de la intensidad del campo eléctrico en el conductor., es decir.
Ley de Joule-Lenz en forma diferencial, (2)
donde en (1) y (2) g es la conductividad eléctrica (g = 1/r).
Drude y Lorentz demostraron que para conductores metálicos
donde n es la concentración de electrones libres, mi Y metro- carga y masa del electrón, b yoñ es el camino libre promedio del electrón, ávñ es la velocidad promedio del movimiento térmico del electrón. Según la fórmula (30) en la lección 1.2 ávñ 
y en T = 300 K, (masa del electrón 
), 
.
La velocidad del movimiento dirigido (velocidad de deriva de electrones) que surge debido al campo eléctrico. 
. Para , 
(carga electrónica 
), v dr = = 0,78 mm/s, es decir, mucho menor que la velocidad del movimiento térmico del electrón.
Entonces, la teoría clásica explicó las leyes de Ohm, Joule-Lenz, Wiedemann-Franz. Sin embargo, tiene una serie de desventajas.
Un análisis riguroso utilizando la teoría cuántica mostró que no todos los electrones de valencia se mueven libremente a lo largo de la red a velocidades térmicas, sino sólo una pequeña parte de ellos. La abrumadora cantidad de electrones de valencia no participa en la conductividad eléctrica (ni en la capacidad calorífica). Esto conduce a discrepancias entre la teoría clásica y la práctica. Por ejemplo, de (3) se deduce que ~ ~ , y en la práctica en una amplia gama de cambios de temperatura gramos ~ 1/T.
Estas y otras discrepancias se explican por la teoría cuántica.
En 1900, el físico alemán P. Drude creó la teoría de la conductividad eléctrica de los metales. Esta teoría se basa en los siguientes supuestos:
- Los electrones libres de los metales se comportan como moléculas de gas ideales. El gas electrónico obedece las leyes del gas ideal.
- El movimiento de electrones libres obedece a las leyes de Newton.
- Los electrones libres en el proceso de movimiento caótico chocan solo con los iones de la red cristalina.
- Cuando los electrones chocan con los iones, los electrones transfieren toda su energía cinética a los iones.
Según este modelo, los electrones libres en un segmento de un conductor experimentan un movimiento térmico caótico. El campo eléctrico que actúa en el conductor mueve los electrones a baja velocidad (velocidad de deriva de los electrones ~ 0,1 mm/s) a lo largo del conductor.
Fuerza actual en el conductor:
yo=es< v>S
Dónde norte– concentración de electrones libres en el conductor
< v>– velocidad media de deriva de electrones
S– sección transversal del conductor.
Desde la perspectiva de la conductividad electrónica de los metales, fue posible explicar el motivo del calentamiento de los conductores durante el paso de una corriente eléctrica.
La teoría electrónica de la conductividad de los metales fue confirmada experimentalmente en 1913 por los físicos rusos L.I. Mandelstam y N.D. Papaleksi y en 1916 por los físicos estadounidenses T. Stewart y R. Tolman.
La dirección de la corriente eléctrica en el conductor se elige en la dirección del movimiento de partículas cargadas positivamente.
La relación entre la carga transferida a través de la sección transversal de un conductor durante un intervalo de tiempo y este intervalo de tiempo se llama fuerza actual.
En SI [ I] = 1 A (amperio)
Para mantener la corriente eléctrica en un conductor, se requiere un campo eléctrico. Su acción se caracteriza voltaje electrico.
En SI [ Ud.] = 1 V (Voltios)
Para mantener un movimiento direccional constante de partículas cargadas en un conductor, el campo eléctrico debe realizar trabajo. Este trabajo ha sido aceptado. llamar al trabajo de la corriente eléctrica.
El trabajo de las fuerzas del campo eléctrico o el trabajo de la corriente eléctrica en una sección de un circuito con resistencia. R y por el momento t es igual a:
En SI [ A] = 1 J (julio)
Cuando un conductor se calienta, su temperatura aumenta, por lo tanto, aumenta la energía interna. Cuando la temperatura del conductor deja de aumentar, comienza a transferir a los cuerpos circundantes una cierta cantidad de calor igual al trabajo realizado por la corriente eléctrica. Entonces la fórmula A= IUT Determina la cantidad de calor transferido por el conductor a otros cuerpos.
Para conectar conductores en serie, es más conveniente utilizar la fórmula.
Esquema de la conferencia
5.1. Teoría clásica de la conductividad eléctrica de los metales.
5.2. Derivación de la ley de Ohm y la ley de Joule-Lenz.
5.3. Desventajas de la teoría clásica de la conductividad eléctrica de los metales.
Teoría clásica de la conductividad eléctrica de los metales.
Cualquier teoría se considera completa sólo si traza el camino desde el mecanismo elemental de un fenómeno hasta las macrorelaciones que en él se encuentran y que se utilizan en la práctica técnica. En este caso, resultó irresistible relacionar las características del movimiento ordenado de cargas libres en un conductor (conductividad eléctrica) con las leyes básicas de la corriente eléctrica. En primer lugar, era necesario descubrir la naturaleza de los portadores actuales de los metales. Fundamentales en este sentido fueron los experimentos de Rikke 1, en los que durante mucho tiempo ( ≈ año) la corriente pasó a través de tres cilindros metálicos conectados en serie ( Cu, A1, Cu) de la misma sección transversal con extremos traslapados cuidadosamente pulidos. Una enorme carga (≈ 3,5·10 6 C) fluyó a través de esta cadena. A pesar de esto, no se encontraron rastros (ni siquiera microscópicos) de transferencia de sustancia de un cilindro a otro (lo cual se confirmó mediante un pesaje cuidadoso). De esto se concluyó que en los metales el proceso de transferencia de carga eléctrica involucra algunas partículas que son comunes (idénticas) a todos los metales.
La naturaleza de tales partículas podría determinarse por el signo y la magnitud de la carga específica (la relación entre la carga del portador y su masa), un parámetro individual para cualquiera de las micropartículas conocidas en la actualidad. La idea de tal experimento es la siguiente: cuando un conductor metálico se desacelera bruscamente, los portadores de corriente débilmente conectados a la red deberían avanzar por inercia. El resultado de tal desplazamiento es un pulso de corriente, y a partir de la dirección de la corriente se puede determinar el signo de los portadores y, conociendo las dimensiones y la resistencia del conductor, se puede calcular la carga específica de los portadores. Tales experimentos arrojaron valores de relación que coincidían con la carga específica de los electrones. Así, finalmente se demostró que los portadores de corriente eléctrica en los metales son electrones libres. Cuando se forma una red cristalina de un metal (cuando los átomos aislados se acercan entre sí), los electrones de valencia débilmente unidos a los núcleos se desprenden de los átomos del metal, se vuelven "libres" y pueden moverse por todo el volumen. Por tanto, los iones metálicos se encuentran en los nodos de la red cristalina y los electrones libres se mueven caóticamente entre ellos.
Los fundadores de la teoría clásica de la conductividad eléctrica de los metales, Drude 2 y Lorentz 3, fueron los primeros en demostrar que cualquier conjunto de micropersecuciones que no interactúan
Rikke Karl Victor Eduard (1845 – 1915), físico alemán
2 Drude Paul Karl Ludwig (1863 – 1906), físico alemán
3 Lorenz Hendrik Anton (1853 – 1928), físico teórico holandés
Las partículas (incluidos los electrones libres en un metal) pueden considerarse como un gas ideal, es decir, todas las conclusiones de la teoría cinética molecular son aplicables a los electrones libres en un metal.
Durante su movimiento, los electrones de conducción chocan con los iones de la red, como resultado de lo cual se establece un equilibrio termodinámico entre el gas ideal de electrones libres y la red. La velocidad promedio de los electrones libres se puede encontrar de acuerdo con la expresión para la velocidad promedio aritmética del movimiento térmico caótico de las moléculas de un gas ideal (ver fórmula (8.26) en la Conferencia 8, Parte I):
que a temperatura ambiente (T ≈ 300 K) da<tu> = 1,1·10 5 m/s.
Cuando se aplica un campo eléctrico externo a un conductor, además del movimiento térmico de los electrones, también surge su movimiento ordenado, es decir, una corriente eléctrica. La velocidad promedio del movimiento ordenado de electrones.<v> puede determinarse según (4.4). A la densidad de corriente máxima permitida en conductores reales (≈ 10 7 A/m 2), una evaluación cuantitativa da<v> ≈ 10 3 -10 4 m/s. Por lo tanto, incluso en casos extremos, la velocidad promedio del movimiento ordenado de los electrones (que causan la corriente eléctrica) es significativamente menor que su velocidad de movimiento térmico caótico (<v> << <tu>). Por lo tanto, al calcular la velocidad resultante, podemos asumir que (<v> + <tu>) ≈ <tu>. Ya se señaló anteriormente que el objetivo final de la teoría clásica de la conductividad eléctrica de los metales es la derivación de las leyes básicas de la corriente eléctrica, basándose en el mecanismo elemental considerado de movimiento de los portadores de corriente. Como ejemplo, considere cómo se hizo esto al derivar la ley de Ohm en forma diferencial.
5.2. Derivación de la ley de Ohm y la ley de Joule-Lenz
Sea un campo eléctrico con intensidad en un conductor metálico. Desde el lado del campo, el electrón experimenta la acción de la fuerza de Coulomb. F = eE y gana aceleración. Según la teoría de Drude, al final del camino libre medio<yo> un electrón choca con un ion reticular y libera la energía acumulada durante su movimiento en el campo (la velocidad de su movimiento ordenado se vuelve igual a cero). Moviéndose uniformemente acelerado, el electrón adquiere una velocidad al final de su camino libre. 
, Dónde
Porque (<v> + <tu>) ≈ <tu>, entonces 
y (5.1) toma la forma 
. Así, la densidad de corriente, según (4.4), se puede representar como
. (5.2)
Comparando esta expresión con la ley de Ohm en forma diferencial, se puede ver que estas expresiones son idénticas siempre que la conductividad
Así, en el marco de la teoría clásica de la conductividad eléctrica de los metales, la ley de Ohm se dedujo en forma diferencial.
De manera similar se derivó la ley de Joule-Lenz, se obtuvo una relación cuantitativa entre la conductividad específica y la conductividad térmica, teniendo en cuenta que en los metales la transferencia de electricidad y calor se realiza por las mismas partículas (electrones libres) y una serie de otras relaciones.
