Definicija lopte
Lopta je tijelo čije se sve tačke nalaze od date tačke na udaljenosti koja ne prelazi R.
Online kalkulator
Zadata tačka koja se spominje u definiciji lopte naziva se centar ovu loptu. A spomenuta udaljenost je radijus ove lopte.
Lopta, po analogiji s krugom, također ima prečnik D D D, što je dvostruko veće dužine:
D = 2 ⋅ R D=2\cdot R D=2 ⋅ R
Formula za zapreminu lopte u smislu njenog poluprečnika
Zapremina lopte se izračunava pomoću sljedeće formule:
Formula za zapreminu lopte u smislu radijusaV = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3V=3 4 ⋅ π ⋅ R 3
R R R- radijus ove lopte.
Pogledajmo nekoliko primjera.
Problem 1Lopta je upisana u kocku, dijagonala d d dšto je jednako 500 cm \sqrt(500)\text( cm.)5 0 0 cm . Pronađite zapreminu lopte.
Rješenje
D = 500 d=\sqrt(500) d =5 0 0
Prvo morate odrediti dužinu stranice kocke. Pretpostavićemo da je jednako aa a. Dakle, dijagonala kocke je jednaka (na osnovu Pitagorine teoreme):
D = a 2 + a 2 + a 2 d=\sqrt(a^2+a^2+a^2)d =a 2 + a 2 + a 2
D = 3 ⋅ a 2 d=\sqrt(3\cdot a^2)d =3 ⋅ a 2
D = 3 ⋅ a d=\sqrt(3)\cdot ad =3 ⋅ a
500 = 3 ⋅ a \sqrt(500)=\sqrt(3)\cdot a5 0 0 = 3 ⋅ a
A = 500 3 a=\sqrt(\frac(500)(3))a =3 5 0 0
A ≈ 12,9 a\približno 12,9 a ≈1 2 . 9
Ako je lopta upisana u kocku, tada je njen polumjer jednak polovini dužine stranice ove kocke. Kao rezultat imamo:
R = 1 2 ⋅ a R=\frac(1)(2)\cdot aR=2 1 ⋅ a
R = 1 2 ⋅ 12,9 ≈ 6,4 R=\frac(1)(2)\cdot 12,9\oko 6,4R=2 1 ⋅ 1 2 . 9 ≈ 6 . 4
Završna faza je pronalaženje volumena lopte pomoću formule:
V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 ≈ 4 3 ⋅ π ⋅ (6.4) 3 ≈ 1097, 5 cm 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3\approx\frac(4 )(3)\cdot\pi\cdot (6.4)^3\približno1097.5\text( cm)^3V=3 4 ⋅ π ⋅ R 3 ≈ 3 4 ⋅ π ⋅ (6 . 4 ) 3 ≈ 1 0 9 7 , 5 cm3
Odgovori
1097,5 cm3. 1097,5\tekst( cm)^3.1 0 9 7 , 5 cm3 .
Formula za zapreminu lopte u smislu njenog prečnika
Zapremina lopte se takođe može naći kroz njen prečnik. Da bismo to učinili, koristimo odnos između polumjera i prečnika lopte:
D = 2 ⋅ R D=2\cdot R D=2 ⋅ R
R = D 2 R=\frac(D)(2) R=2 D
Zamijenimo ovaj izraz u formulu za volumen lopte:
V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 = 4 3 ⋅ π ⋅ (D 2) 3 = π 6 ⋅ D 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3=\frac(4 )(3)\cdot\pi\cdot\Big(\frac(D)(2)\Big)^3=\frac(\pi)(6)\cdot D^3V=3 4 ⋅ π ⋅ R 3 = 3 4 ⋅ π ⋅ ( 2 D ) 3 = 6 π ⋅ D 3
Zapremina lopte kroz prečnikV = π 6 ⋅ D 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot D^3V=6 π ⋅ D 3
D D D- prečnik ove lopte.
Problem 2Prečnik lopte je 15 cm 15\tekst (cm.) 1 5 cm . Pronađite njen volumen.
Rješenje
D=15 D=15 D=1 5
Vrijednost prečnika odmah zamijenite u formulu:
V = π 6 ⋅ D 3 = π 6 ⋅ 1 5 3 ≈ 1766,25 cm 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot D^3=\frac(\pi)(6)\cdot 15^3\ približno 1766,25\tekst(cm)^3V=6 π ⋅ D 3 = 6 π ⋅ 1 5 3 ≈ 1 7 6 6 . 2 5 cm3
Odgovori
1766,25 cm 3 . 1766,25\text( cm)^3.
Mnoga tijela koja susrećemo u životu ili za koja smo čuli imaju sferni oblik, kao što je fudbalska lopta, kap vode koja pada tokom kiše ili naša planeta. U tom smislu, relevantno je razmotriti pitanje kako pronaći volumen sfere.
Figura lopte u geometriji
Prije nego odgovorimo na pitanje o lopti, pogledajmo izbliza ovo tijelo. Neki ljudi to brkaju sa sferom. Izvana su zaista slični, ali lopta je predmet ispunjen iznutra, dok je sfera samo vanjski omotač lopte beskonačno male debljine.
Sa stanovišta geometrije, lopta se može predstaviti skupom tačaka, a one od njih koje leže na njenoj površini (formiraju kuglu) nalaze se na istoj udaljenosti od centra figure. Ova udaljenost se naziva radijus. U stvari, radijus je jedini parametar koji se može koristiti za opisivanje bilo koje osobine lopte, kao što je njena površina ili zapremina.
Na slici ispod prikazan je primjer lopte.
Ako pažljivo pogledate ovaj savršeni okrugli predmet, možete pogoditi kako ga dobiti iz običnog kruga. Da biste to učinili, dovoljno je rotirati ovu ravnu figuru oko ose koja se poklapa s njegovim promjerom.
Jedan od poznatih antičkih književnih izvora, koji dovoljno detaljno govori o svojstvima ove trodimenzionalne figure, je djelo grčkog filozofa Euklida - "Elementi".
Površina i zapremina
Kada se razmatra pitanje kako pronaći volumen lopte, pored ove vrijednosti, treba dati i formulu za njenu površinu, jer se oba izraza mogu povezati jedan s drugim, kao što će biti prikazano u nastavku.
Dakle, da biste izračunali zapreminu lopte, trebalo bi da primenite jednu od sledeće dve formule:
- V = 4/3 *pi * R3;
- V = 67/16 * R3.
Ovdje je R polumjer figure. Prva data formula je tačna, ali da biste to iskoristili, morate koristiti odgovarajući broj decimalnih mjesta za pi. Drugi izraz daje prilično dobar rezultat, koji se od prvog razlikuje za samo 0,03%. Za niz praktičnih zadataka ova preciznost je više nego dovoljna.
Jednaka ovoj vrijednosti za sferu, odnosno izražena formulom S = 4 * pi * R2. Ako odavde izrazimo poluprečnik i zatim ga zamenimo u prvu formulu za zapreminu, dobićemo: R = √ (S / (4 * pi)) = > V = S / 3 * √ (S / (4 * pi) )).
Stoga smo ispitali pitanja kako pronaći zapreminu lopte kroz poluprečnik i kroz njenu površinu. Ovi izrazi se mogu uspješno primijeniti u praksi. Kasnije ćemo u članku dati primjer njihove upotrebe.
Problem sa kišnim kapima
Voda, kada je u bestežinskom stanju, poprima oblik sferne kapi. To je zbog prisustva sila površinske napetosti, koje teže da minimiziraju površinu. Lopta, pak, ima najnižu vrijednost među svim geometrijskim figurama iste mase.
Za vrijeme kiše, kap vode koja pada je u bestežinskom stanju, pa je njen oblik kugle (ovdje zanemarujemo silu otpora zraka). Potrebno je odrediti zapreminu, površinu i poluprečnik ove kapi ako se zna da je njena masa 0,05 grama.
Zapreminu je lako odrediti; da biste to učinili, podijelite poznatu masu sa gustinom H 2 O (ρ = 1 g/cm 3). Tada je V = 0,05 / 1 = 0,05 cm 3.
Znajući kako pronaći volumen lopte, trebali bismo izraziti polumjer iz formule i zamijeniti rezultirajuću vrijednost, imamo: R = ∛ (3 * V / (4 * pi)) = ∛ (3 * 0,05 / (4 * 3,1416)) = 0,2285 cm.
Sada zamjenjujemo vrijednost radijusa u izraz za površinu figure, dobijamo: S = 4 * 3,1416 * 0,22852 = 0,6561 cm 2.
Tako, znajući kako pronaći zapreminu lopte, dobili smo odgovore na sva pitanja zadatka: R = 2,285 mm, S = 0,6561 cm 2 i V = 0,05 cm 3.
U geometriji lopta definira se kao određeno tijelo, koje je skup svih tačaka u prostoru koje se nalaze od centra na udaljenosti ne većoj od date, koja se naziva poluprečnik lopte. Površina lopte naziva se sfera, a sama lopta se formira rotacijom polukruga oko svog prečnika, ostajući nepomična.
Sa ovim geometrijskim tijelom se često susreću dizajneri i arhitekti, koji često moraju izračunati zapreminu sfere. Na primjer, u dizajnu prednjeg ovjesa velike većine modernih automobila koriste se takozvani kuglični zglobovi, u kojima su, kao što možete lako pretpostaviti iz samog naziva, kuglice jedan od glavnih elemenata. Uz njihovu pomoć spojene su glavčine upravljanih kotača i poluga. Koliko će to biti ispravno izračunati njihov obim u velikoj meri zavisi ne samo od trajnosti ovih jedinica i ispravnosti njihovog rada, već i od bezbednosti saobraćaja.
U tehnologiji se široko koriste takvi dijelovi kao što su kuglični ležajevi, uz pomoć kojih se osovine pričvršćuju u fiksne dijelove različitih komponenti i sklopova i osigurava njihova rotacija. Treba napomenuti da prilikom njihovog izračunavanja dizajneri trebaju pronađite zapreminu sfere(tačnije, loptice postavljene u kavez) sa visokim stepenom tačnosti. Što se tiče izrade metalnih kugli za ležaj, one se proizvode od metalne žice složenim procesom koji uključuje faze oblikovanja, kaljenja, grubog brušenja, dorade i čišćenja. Usput, one kuglice koje su uključene u dizajn svih hemijskih olovaka izrađuju se po potpuno istoj tehnologiji.
Vrlo često se kugle koriste u arhitekturi, gdje su najčešće ukrasni elementi zgrada i drugih građevina. U većini slučajeva izrađuju se od granita, što često zahtijeva dosta ručnog rada. Naravno, nije potrebno održavati tako visoku preciznost u proizvodnji ovih lopti kao one koje se koriste u raznim jedinicama i mehanizmima.
Tako zanimljiva i popularna igra kao što je bilijar nezamisliva je bez lopti. Za njihovu proizvodnju koriste se različiti materijali (kost, kamen, metal, plastika) i koriste se različiti tehnološki procesi. Jedan od glavnih zahtjeva za bilijarske kugle je njihova visoka čvrstoća i sposobnost da izdrže velika mehanička opterećenja (prvenstveno udar). Osim toga, njihova površina mora biti tačna sfera kako bi se osiguralo glatko i ravnomjerno kotrljanje po površini biljarskih stolova.
Konačno, nijedna novogodišnja ili božićna jelka ne može bez takvih geometrijskih tijela kao što su kuglice. Ovi ukrasi se u većini slučajeva izrađuju od stakla metodom puhanja, a pri njihovoj izradi najveća pažnja se ne poklanja dimenzijskoj preciznosti, već estetici proizvoda. Tehnološki proces je gotovo potpuno automatiziran, a božićne kuglice se pakuju samo ručno.
Prije nego što počnete proučavati pojam lopte, koliki je volumen lopte, i razmotrite formule za izračunavanje njenih parametara, morate se sjetiti koncepta kruga, proučavanog ranije u kursu geometrije. Uostalom, većina radnji u trodimenzionalnom prostoru je slična ili proizilazi iz dvodimenzionalne geometrije, prilagođene izgledu treće koordinate i trećeg stepena.
Šta je krug?
Krug je lik na kartezijskoj ravni (prikazano na slici 1); najčešće definicija zvuči kao "geometrijska lokacija svih tačaka na ravni, udaljenost od koje do date tačke (centra) ne prelazi određeni nenegativan broj koji se naziva radijus."
Kao što možemo vidjeti sa slike, tačka O je centar figure, a skup apsolutno svih tačaka koje ispunjavaju krug, na primjer, A, B, C, K, E, ne nalaze se dalje od datog polumjera (ne idite dalje od kruga prikazanog na sl. 2).
Ako je radijus nula, tada se krug pretvara u tačku.
Problemi sa razumevanjem
Učenici često brkaju ove koncepte. Lako je zapamtiti pomoću analogije. Obruč koji djeca vrte na časovima fizičkog je krug. Ako ovo razumiju ili zapamtite da su prva slova obje riječi "O", djeca će mnemonički razumjeti razliku.
Uvođenje koncepta "lopte"
Lopta je tijelo (slika 3) omeđeno određenom sfernom površinom. Kakva je to "sferna površina" postaće jasno iz njene definicije: ovo je geometrijski lokus svih tačaka na površini, udaljenost od koje do date tačke (centra) ne prelazi određeni nenegativan broj koji se naziva radijus. Kao što vidite, koncepti kruga i sferne površine su slični, samo se prostori u kojima se nalaze razlikuju. Ako prikažemo loptu u dvodimenzionalnom prostoru, dobijamo kružnicu čija je granica kružnica (granica lopte je sferna površina). Na slici vidimo sfernu površinu poluprečnika OA = OB.
Lopta zatvorena i otvorena
U vektorskim i metričkim prostorima razmatraju se i dva koncepta vezana za sfernu površinu. Ako lopta uključuje ovu sferu, onda se zove zatvorena, ali ako ne, onda je lopta otvorena. Ovo su „napredniji“ koncepti; oni se proučavaju u institutima kao dio njihovog uvoda u analizu. Za jednostavnu, čak i svakodnevnu upotrebu, dovoljne su formule koje se izučavaju na kursu stereometrije za 10-11 razred. Upravo o ovim konceptima koji su dostupni gotovo svakoj prosječno obrazovanoj osobi će biti više riječi.
Koncepti koje trebate znati za sljedeće proračune
Radijus i prečnik.
Poluprečnik kugle i njen prečnik određuju se na isti način kao i za krug.
Radijus je segment koji povezuje bilo koju tačku na granici lopte i tačku koja je centar lopte.
Prečnik je segment koji spaja dvije tačke na ivici lopte i prolazi kroz njeno središte. Slika 5a jasno pokazuje koji su segmenti polumjeri lopte, a slika 5b prikazuje prečnike sfere (segmenti koji prolaze kroz tačku O).
Sekcije u sferi (lopta)
Svaki dio sfere je krug. Ako prolazi kroz centar lopte, naziva se veliki krug (krug prečnika AB), a preostali delovi se nazivaju mali krugovi (krug prečnika DC).
Površina ovih krugova se izračunava pomoću sljedećih formula:
Ovdje je S oznaka za površinu, R za polumjer, D za promjer. Postoji i konstanta jednaka 3,14. Ali nemojte se zbuniti da se za izračunavanje površine velikog kruga koristi polumjer ili promjer same lopte (sfere), a za određivanje površine potrebne su dimenzije polumjera malog kruga.
Može se nacrtati beskonačan broj takvih preseka koji prolaze kroz dve tačke istog prečnika koje leže na ivici lopte. Kao primjer, naša planeta: dvije tačke na sjevernom i južnom polu, koje su krajevi Zemljine ose, i u geometrijskom smislu, krajevi prečnika i meridijani koji prolaze kroz ove dvije tačke (slika 7) . To jest, broj velikih krugova na sferi teži beskonačnosti.
Dijelovi lopte
Ako odrežete "komad" od sfere pomoću određene ravni (slika 8), tada će se zvati sferni ili sferni segment. Imat će visinu - okomitu od središta ravnine reza na sfernu površinu O 1 K. Tačka K na sfernoj površini na koju dolazi visina naziva se vrh sfernog segmenta. I mali krug polumjera O 1 T (u ovom slučaju, prema slici, ravnina nije prošla kroz središte sfere, ali ako presjek prolazi kroz centar, tada će kružnica poprečnog presjeka biti veliki), formiran odsijecanjem sfernog segmenta, nazvat će se baza naše kuglice - sferni segment.
Ako svaku osnovnu tačku sfernog segmenta povežemo sa središtem sfere, dobićemo figuru koja se naziva “sferni sektor”.
Ako dvije ravni prolaze kroz sferu i paralelne su jedna s drugom, onda se dio sfere koji je zatvoren između njih naziva sferni sloj (slika 9, na kojoj je prikazana sfera s dvije ravni i zasebnim sfernim slojem).
Površina (naglašeni dio na slici 9 desno) ovog dijela sfere naziva se pojas (opet, radi boljeg razumijevanja, može se povući analogija sa globusom, odnosno sa njegovim klimatskim zonama - arktičkim, tropskim, umjerenim , itd.), a krugovi presjeka će biti sferni sloj baze. Visina sloja je dio promjera povučen okomito na ravni rezanja iz centara baza. Postoji i koncept sferne sfere. Nastaje kada ravni koje su jedna drugoj paralelne ne sijeku sferu, već je dodiruju u jednoj tački.
Formule za izračunavanje zapremine lopte i njene površine
Lopta se formira rotacijom oko fiksnog promjera polukruga ili kruga. Za izračunavanje različitih parametara datog objekta nije potrebno mnogo podataka.
Zapremina sfere, formula za izračunavanje koja je data gore, izvedena je integracijom. Hajde da to shvatimo tačku po tačku.
Razmatramo kružnicu u dvodimenzionalnoj ravni, jer, kao što je gore spomenuto, to je krug koji leži u osnovi konstrukcije lopte. Koristimo samo njen četvrti dio (slika 10).
Uzimamo kružnicu s jediničnim polumjerom i centrom na početku. Jednačina takvog kruga je sljedeća: X 2 + Y 2 = R 2. Odavde izražavamo Y: Y 2 = R 2 - X 2.
Obavezno imajte na umu da je rezultujuća funkcija nenegativna, kontinuirana i opadajuća na segmentu X (0; R), jer vrijednost X u slučaju kada razmatramo četvrtinu kruga leži od nule do vrijednosti radijus, odnosno na jedinstvo.
Sljedeće što radimo je rotiranje naše četvrtine kruga oko x-ose. Kao rezultat, dobijamo hemisferu. Da bismo odredili njegov volumen, pribjegavat ćemo metodama integracije.
Pošto je ovo zapremina samo hemisfere, udvostručimo rezultat, iz čega nalazimo da je zapremina lopte jednaka:
Male nijanse
Ako trebate izračunati zapreminu lopte kroz njen prečnik, zapamtite da je poluprečnik polovina prečnika i zamenite ovu vrednost u gornju formulu.
Formulu za volumen lopte možete doći i kroz područje njene granične površine - sfere. Podsjetimo da se površina sfere izračunava po formuli S = 4πr 2, integrirajući koju dolazimo i do gornje formule za volumen sfere. Iz istih formula možete izraziti radijus ako izraz problema sadrži vrijednost volumena.
