En esta lección, consideraremos dos operaciones más con vectores: vector ilustraciones vectores y vectores mixtos (Inmediatamente enlace, que lo necesita. Nada terrible, así que a veces sucede que para la felicidad completa, además vectores de productos escalares, también se requiere. Tal aquí está un vector de adicción a las drogas. Puede buscar la impresión de que subimos a los escombros de la geometría analítica. Esto no es verdad. En esta sección de las matemáticas más altas, no hay suficiente leña en general, excepto Pinocho. De hecho, el material es muy común y simple, difícilmente más difícil que el mismo. producto escalarIncluso las tareas típicas serán más pequeñas. Lo principal en la geometría analítica, ya que muchos serán asesinados o ya se han convencido, no se equivocaron en los cálculos. Repita como hechizo, y serás feliz \u003d)

Si los vectores brillan en algún lugar con un rayo en el horizonte, no de problemas, comienza desde la lección. Vectores de TeterasPara restaurar o re-adquirir conocimientos básicos sobre los vectores. Más lectores preparados pueden familiarizarse con la información de manera selectiva, intenté recolectar la colección de ejemplos más completa que a menudo se encuentran en el trabajo práctico.

¿Qué dicen inmediatamente? Cuando era pequeño, entonces sabía hacer malabares con dos e incluso tres bolas. Tentamente logró. Ahora no tendrás que hacer malabares en absoluto, ya que consideraremos. solo vectores espaciales, y los vectores planos con dos coordenadas permanecerán por la borda. ¿Por qué? Estas acciones nacieron: un vector y un producto mixto de vectores se definen y operan en espacio tridimensional. ¡Ya más fácil!

En esta operación, de la misma manera que en el producto escalar, participe. dos vectores. Que sean letras de tonterías.

Acción en sí denota de la siguiente manera: . Hay otras opciones, pero solía denotar las ilustraciones de vectores de vectores así como eso en corchetes con una cruz.

Y inmediatamente pregunta: Si en vectores de productos escalares Dos vectores están involucrados, y aquí se multiplican dos versiones aquí, entonces cuál es la diferencia? Diferencia explícita, en primer lugar, como resultado:

El resultado de un producto escalar de vectores es un número:

El resultado de vectores de arte vectorial es vectorial.:, Es decir, multiplicamos los vectores y nos vuelvan al vector. Club cerrado. En realidad, de ahí el nombre de la operación. En diversa literatura de aprendizaje, las designaciones también pueden variar, usaré la letra.

Definición de arte vectorial

Primero habrá una definición con una foto, luego comentarios.

Definición: Trabajo de trabajo no controllyline vectores, tomado en este orden, llamado vector, largo que es numérico igual al cuadrado del paralelogramoConstruido en estos datos vectoriales; vector vectores ortogonales Y se dirige para que la base tenga la orientación correcta:

¡Desmontamos la definición de los huesos, hay muchas cosas interesantes!

Por lo tanto, puede seleccionar los siguientes momentos esenciales:

1) Vectores de fuente marcados con flechas rojas por definición no colinear. El caso de los vectores colinotes será apropiado para considerar un poco más tarde.

2) Vectores tomados en orden estrictamente definido: – "A" se multiplica por "BE", no "ser" en "A". El resultado de los vectores de multiplicación. Es un vector que se indica en azul. Si los vectores se multiplican en orden inverso, llegamos a la longitud y el vector opuesto (color de frambuesa). Es decir, la igualdad es correcta .

3) Ahora vamos a familiarizarse con el significado geométrico del producto vectorial. ¡Este es un punto muy importante! La longitud del vector azul (y, por lo tanto, el vector de frambuesa) es numéricamente igual al cuadrado del paralelogramo construido en los vectores. En la figura, este paralelogramo está sombreado en negro.

Nota : El dibujo es esquemático, y naturalmente, la longitud nominal del producto vectorial no es igual al área del paralelogramo.

Recordamos una de las fórmulas geométricas: el área del paralelogramo es igual al producto de lados adyacentes en el seno de la esquina entre ellos.. Por lo tanto, según lo anterior, la fórmula para calcular la longitud del producto vectorial:

Enfatizo que en la fórmula estamos hablando de la longitud del vector, y no sobre el mismo vector. ¿Cuál es el significado práctico? Y el significado es que en las tareas de la geometría analítica, el área del paralelograma se encuentra a menudo a través del concepto de arte vectorial:

Obtendremos una segunda fórmula importante. La diagonal del paralelogramo (Dotedier Rojo) lo divide en dos triángulos iguales. En consecuencia, el área del triángulo, construida en los vectores (sombreado rojo), se puede encontrar por la fórmula:

4) No menos importante es que el vector son vectores ortogonales, que es . Por supuesto, el vector dirigido opusamente (la flecha de frambuesa) también es ortogonal en los vectores originales.

5) El vector está dirigido para que base Tiene derecho Orientación. En el aula O. transición a una nueva base Hablé en detalle sobre orientación del avión.Y ahora nos ocuparemos de la orientación del espacio. Le explicaré a tus dedos mano derecha. Combinar mentalmente dedo índice Con vector I. dedo medio Con vector. Dedo sin nombre y un dedo. Presiona la palma. Como resultado pulgar - El arte vectorial buscará. Esta es la base con punta derecha (en la figura que es él). Ahora cambia los vectores ( índice y dedos medios) Los lugares, como resultado, el pulgar se desarrolla, y el trabajo vectorial ya mirará hacia abajo. Esto también es una base regular. Tal vez usted tiene una pregunta: ¿Qué base hace la orientación izquierda? "Nombre" los mismos dedos mano izquierda Vectores y obtener la izquierda y la orientación izquierda del espacio. (En este caso, el pulgar se ubicará en la dirección del vector inferior). Enformemente, estas bases "Spin" u Orient Space en diferentes direcciones. Y este concepto no debe considerarse algo ideado o abstracto, por lo que, por ejemplo, la orientación del espacio cambia el espejo más ordinario, y si "Tira el objeto reflejado desde el Castorcal". No podrá combinarlo en general. Por cierto, traer tres dedos al espejo y analizar la reflexión ;-)

... como es bueno que ahora conoces ley y orientación izquierda Bases, para las terribles declaraciones de algunos profesores sobre el cambio de orientación \u003d)

Ilustraciones vectoriales de vectores colineRes

La definición se desmonta en detalle, queda por descubrir qué está sucediendo cuando los vectores colineRes. Si los vectores son colinotes, se pueden colocar en una línea recta y nuestro paralelogramo también se "pliega" en una sola vez. El área de esto, como dicen las matemáticas, degenerar El paralelogramo es cero. De la fórmula: el sinus cero o 180 grados es cero, y por lo tanto el área es cero

Así, si y . Tenga en cuenta que el producto vectorial en sí es cero vector, pero en la práctica, a menudo se descuida y se escribe que también es cero.

Caso privado - vector Vector del producto en sí mismo:

Con la ayuda de un producto vectorial, la colinealidad de los vectores tridimensionales se puede verificar, y también veremos esta tarea, entre otros.

Para resolver ejemplos prácticos puede requerir mesa trigonométricaPara encontrarlo los valores de los senos.

Bueno, enciende el fuego:

Ejemplo 1.

a) Encuentra la longitud de los vectores de arte vectorial si

b) Encuentre el cuadrado del paralelogramo construido en las versiones si

Decisión: No, este no es un error tipográfico, los datos iniciales en las condiciones de la cláusula I hice intencionalmente lo mismo. ¡Porque tomar decisiones serán diferentes!

a) bajo la condición que necesita para encontrar largo Vector (Arte vectorial). Según la fórmula correspondiente:

Respuesta:

Kohl pronto preguntó sobre la longitud, luego en respuesta, indicar la dimensión: unidades.

b) bajo la condición requerida para encontrar área Un paralelogramo incorporado en vectores. El área de este paralelogramo es numéricamente igual a la longitud del producto vectorial:

Respuesta:

Tenga en cuenta que, en respuesta sobre el vector de producto del discurso, no va a todos, nos preguntaron sobre cuadrado de figuraEn consecuencia, la dimensión es unidades cuadradas.

Siempre miramos lo que se requiere por condición, y, según esto, formulamos claro respuesta. Puede parecer clave, pero hay suficientes claves entre los maestros, y la tarea con buenas posibilidades volverá al refinamiento. Aunque esta no es una quarid particularmente estirada, si la respuesta es incorrecta, entonces parece que una persona no entiende cosas simples y / o no en la esencia de la tarea. Este momento siempre debe mantenerse en control, resolviendo cualquier tarea en matemáticas más altas, y también en otros temas.

¿Dónde hizo el Big Buccha "en"? En principio, también podría unirse a la solución, pero para reducir el registro, no lo hice. Espero que todos entiendan que esta es la designación de la misma.

Ejemplo popular para autop soluciones:

Ejemplo 2.

Encuentra un área triangular construida en vectores si

La fórmula para encontrar el área del triángulo a través del arte vectorial se da en los comentarios a la definición. Solución y respuesta al final de la lección.

En la práctica, la tarea es realmente muy común, los triángulos generalmente pueden torturar.

Para resolver otras tareas, necesitaremos:

Propiedades de la ilustración vectorial

Algunas propiedades del trabajo vectorial que ya hemos considerado, sin embargo, los incluiré en esta lista.

Para vectores arbitrarios y números arbitrarios, las siguientes propiedades son justas:

1) En otras fuentes de información, este artículo generalmente no se identifica en las propiedades, pero es muy importante en términos prácticos. Por lo tanto, déjalo ser.

2) - La propiedad también se desmonta por encima, a veces se llama anticomputativo. En otras palabras, el orden de los vectores importa.

3) - sombrío o de asociación Leyes de trabajo vectorial. Las constantes se eliminan temporalmente del trabajo vectorial. De hecho, ¿qué hacen ellos allí?

4) - Distributivo o distribución Leyes de trabajo vectorial. Con la divulgación de los corchetes, no hay problemas.

Como demostración, considere un breve ejemplo:

Ejemplo 3.

Encontrar si

Decisión: Por condición, es necesario encontrar la longitud del producto vectorial nuevamente. Traemos nuestro miniatura:

(1) Según las leyes asociativas, soportamos las constantes para la redistribución del trabajo vectorial.

(2) Soportamos la constante fuera del módulo, mientras que el módulo "come" un signo "menos". La longitud no puede ser negativa.

(3) Además, es comprensible.

Respuesta:

Es hora de lanzar leña al fuego:

Ejemplo 4.

Calcular el área del triángulo construido en los vectores, si

Decisión: Triangle Square encuentra la fórmula . El obstáculo es que los "vectores CE" y "DE" están representados como sumas de vectores. El algoritmo aquí es estándar y algo se parece a los ejemplos del número 3 y 4 lecciones Vectores de productos escalares. La solución para la claridad para romper en tres etapas:

1) En el primer paso, expresamos un producto vectorial a través de un arte vectorial, de hecho, expresar vector a través de vector. ¡Sobre longitudes, no una palabra!

(1) Sustituamos la expresión de vectores.

(2) Uso de leyes de distribución, revele los corchetes de acuerdo con la regla de la multiplicación de los polinomios.

(3) Uso de leyes asociativas, soportamos todas las constantes más allá de las obras vectoriales. Bajo la experiencia de Malomal, 2 y 3 se pueden realizar simultáneamente.

(4) El primer y último término es cero (cero vector) gracias a una propiedad agradable. En el segundo término, usamos la propiedad anticomatividad del trabajo vectorial:

(5) Damos tales componentes.

Como resultado, el vector resultó ser expresado a través del vector, que se requirió que se lograra:

2) En el segundo paso, encontraremos la longitud del producto vectorial que necesita. Esta acción se parece al Ejemplo 3:

3) Encuentra el área del triángulo deseado:

Las etapas 2-3 soluciones podrían organizarse con una línea.

Respuesta:

La tarea considerada se difunde suficientemente en las pruebas, aquí hay un ejemplo para una decisión independiente:

Ejemplo 5.

Encontrar si

Una breve solución y respuesta al final de la lección. Veamos lo atento que eres cuando estudiamos ejemplos anteriores ;-)

Ilustraciones vectoriales de vectores en coordenadas

definido en la base orthonormal se expresa fórmula:

Fórmula y verdadera SPRYDSKAYA: En la línea superior del determinante, escribimos los vectores de coordenadas, en la segunda y tercera líneas "Pon" las coordenadas de los vectores y se ajustan en orden estricto - Primero, las coordenadas del vector "VE", luego las coordenadas del vector "Dubl-We". Si los vectores deben multiplicarse en un orden diferente, entonces las filas deben intercambiarse en lugares:

Ejemplo 10.

Compruebe si el colineal será los siguientes vectores espaciales:
pero)
B)

Decisión: El cheque se basa en una de las afirmaciones de esta lección: si los vectores colineal, entonces su producto vectorial es cero (cero vector): .

a) Bienvenido a un arte vectorial:

Por lo tanto, los vectores no son colineal.

b) Encuentra un arte vectorial:

Respuesta: a) no colinear, b)

Esta es quizás toda la información básica sobre el producto vectorial de los vectores.

Esta sección no será muy grande, ya que las tareas donde se usa el producto mixto de los vectores, un poco. De hecho, todo se limitará a la definición, el significado geométrico y un par de fórmulas de trabajo.

Las ilustraciones mixtas de los vectores son un trabajo de tres vectores.:

Así es como estaban alineados por un tren y esperar, no esperaría cuando se calcularon.

Primera, de nuevo definición y imagen:

Definición: Trabajo mixto no comprimido vectores, tomado en este orden, llamada el volumen de paralelepipeda, construido sobre los datos del vector, equipado con el signo "+", si la base es la derecha, y el signo "-", si se deja la base.

Realizar una foto. Las líneas invisibles están golpeadas por la línea de puntos:

Sumérgete en definición:

2) Vectores tomados en un determinado orden, es decir, la reorganización de los vectores en el trabajo, como usted adivina, no pasa sin consecuencias.

3) Antes de comentar el significado geométrico, notaré el hecho obvio: los vectores mixtos son un número:. En la literatura educativa, el diseño puede ser algo diferente, utilicé para firmar un producto mixto, y el resultado de los cálculos de la letra "PE".

Priorato el trabajo mixto es un volumen paralelepípedo.Vectores incorporados (la figura se limpia con vectores rojos y líneas negras). Es decir, el número es igual al volumen de este paralelepípedo.

Nota : El dibujo es esquemático.

4) No vamos a vaporizar con el concepto de orientación de la base y el espacio. El significado de la parte final es que se puede agregar un signo menos al volumen. Palabras simples, un producto mixto puede ser negativo :.

Directamente de la definición sigue la fórmula para calcular el volumen de vectores de paralelepípedos, incorporados.

Definición. El vector del vector A en el vector B se llama el vector designado por el símbolo [", B] (o LXB), de tal manera que 1) la longitud del vector [A, B] es igual a (P, donde y es el ángulo entre los vectores A y B (Fig.31); 2) vector [a, b) perpendicular a los vectores A y B, es decir. perpendicular al plano de estos vectores; 3) El vector [A, B] se dirige de modo que desde el final de este vector, la rotación más corta de A a B es visible en sentido contrario a las agujas del reloj (Fig. 32). Higo. 32 Fig.31 En otras palabras, los vectores A, B y [A, B) forman los tres vectores derecho, es decir. Ubicado como grandes, indexados y dedos medios de la mano derecha. Si los vectores A y B colineal, asumimos que [A, B] \u003d 0. Por definición, la longitud del producto vectorial es numéricamente igual al área de paralelogramo SA (Fig. 33), construida en los vectores de variables A y B como A los lados: 6.1. Propiedades del trabajo vectorial 1. El producto vectorial es igual al vector cero y solo cuando al menos uno de los vectores variables es cero o cuando estos vectores colineal (si los vectores A y B colineal, entonces el ángulo entre ellos es 0 o 7g). Es fácil obtener del hecho de que si cuenta el vector cero con un clincons de cualquier vector, la condición de la colinealidad de los vectores A y B se puede expresar de modo que 2. El producto vectorial es antialcomento, es decir. De hecho, vectores (A, B) y tienen la misma longitud y colineal. Las direcciones de estos vectores son opuestos, son opuestos debido al final del vector [A, B] la rotación más corta de A a B se verá contra el reloj en el sentido de las agujas del reloj, y desde el final del vector [B, A] - en el sentido de las agujas del reloj ( Fig. 34). 3. El producto vectorial tiene una propiedad de distribución con respecto a la adición. 4. El multiplicador numérico L se puede hacer para el signo del producto vectorial 6.2. El producto vectorial de vectores especificados por las coordenadas permite que los vectores y también estén establecidos por sus coordenadas en la base. Usando la propiedad de distribución del producto Vector, encontramos un producto vectorial de vectores dados por coordenadas. Trabajo mixto. Repelicamos las obras vectoriales de las Orts de coordenadas (Fig. 35): Por lo tanto, para el producto vectorial de los vectores A y B, obtenemos de fórmula (3), la siguiente fórmula de expresión (4) se puede escribir de forma simbólica, fácilmente memorable Forma, si usa el determinante del tercer orden: descomponer este determinante para los elementos de la 1ª línea, obtenemos (4). Ejemplos. 1. Encuentre el área del paralelogramo construido en el área del vector deseado para que encontremos \u003d desde donde 2. Encuentra un área del triángulo (Fig. 36). Está claro que el área B "D Triangle es igual a la mitad del paralelogramo cuadrado sobre la AU V. Cálculo del producto vectorial (A, B | Vectores A \u003d OA y B \u003d OH, obtenemos un comentario. El producto vectorial es no asociativa, es decir, la igualdad ((a, b), c) \u003d [a, | b, c)) en el caso general es incorrecto. Por ejemplo, cuando A \u003d SS J, tenemos § 7. El producto mixto de la Los vectores les permiten tener tres vectores a, by s. Mueve los vectores A y 1\u003e pronto. Como resultado, obtenemos el vector [A, 1\u003e]. Multipliquelo es escalar al vector C: (k b), c). El número ([a, b], e) se llama un producto mixto de vectores a, b. con e indicado por el símbolo (A, 1), E). 7.1. Significado geométrico de trabajo mixto pospone Vectores A , B y desde el punto gastado O (Fig. 37). Si los cuatro puntos Oh, A, B, C se encuentran en el mismo plano (vectores A, B y C se llaman en este compañero de este caso), luego un producto mixto ( [a, b], c) \u003d 0. Esto sigue del hecho de que el vector [A, B | perpendicular al plano en el que los vectores A y 1 están perpendicados ", por lo que, el vector con. / Si t Los puntos O, A, B, C no están mintiendo en el mismo hueso plano (vectores A, B y con noComplaunar), construimos en los bordes de la OA, OB y \u200b\u200bParallelepiped (FIG. 38 a). Por definición del producto vectorial, tenemos (a, b) \u003d por lo que, por lo que es un área de paralelogramo OADB, y C es un solo vector, perpendicular a los vectores A y B y tal que Troika A, B, C - derecha , es decir Los vectores A, B y C están ubicados, respectivamente, como dedos grandes, índice y medios de la mano derecha (Fig. 38 b). Multiplicando ambas partes de la última igualdad al escalar derecho al vector C, obtenemos que el producto vectorial de los vectores de las coordenadas especificadas. Trabajo mixto. El número de RGS C es igual a la altura de H construido paralelepípedo, tomada con el signo "+", si el ángulo entre vectores con y con agudo (Troika A, B, C - derecha), y con el signo "-" , si el ángulo es estúpido (Troika A, B, С - izquierda), de modo que, por lo tanto, el producto mixto de los vectores A, B e igual al volumen V paralelepípedo, construido en estos vectores como en los RIP, si Troika A, B, C - derecha, y -v, si Troika A, B, S, izquierda. Sobre la base del significado geométrico del trabajo mixto, se puede concluir que, multiplicando los vectores de TC a, B y C en cualquier otro orden, siempre recibiremos +7 o -K. Signo de producción. 38 El mantenimiento dependerá solo porque los tres se forman los vectores variables, a la derecha o hacia la izquierda. Si los vectores A, B, con la troika derecha, entonces la triogía B, C, A y C, A, B también tiene razón. Al mismo tiempo, las tres tropas B, y, con; A, S, B y S, B, A - izquierda. Por lo tanto, (a, b, c) \u003d (b, s, a) \u003d (s, a, b) \u003d - (b, a, c) \u003d - (a, s, b) \u003d - (S, B, pero). ESHERASE Destacamos que el producto mixto de los vectores es igual a NudiChoga solo cuando los vectores variables A, B, con un accionario: (a, B, con un accionario) 7.2. El trabajo mixto en las coordenadas permite que los vectores A, B, estén establecidos por sus coordenadas en la base I, J, K: A \u003d (X \\, Y \\, Z]), B \u003d (X2, Y2\u003e Z2), C \u003d (x3, UZ, 23). Encontramos la expresión de su trabajo mixto (A, B, C). Tenemos un producto mixto de vectores dados por las coordenadas en la base I, J, k, igual al determinante del tercer orden, las filas de las cuales están compuestas en consecuencia de las coordenadas de la primera, la segunda y la tercera parte de los vectores variables. Condición requerida y suficiente para el compañero de vectores y Y \\, Z |), B \u003d (H U2. 22), C \u003d (ZHZ, UZ, 23) se registrarán de la siguiente manera | z, ag2 y2 -2 \u003d 0. Ejemplo ultra. Compruebe si los vectores son "\u003d (7,4,6), B \u003d (2, 1,1), C \u003d (19, II, 17). Los vectores en consideración serán acompañados o no complementarios dependiendo de si serán cero o no hay determinante para descomponerlo de acuerdo con los elementos de la primera cadena, obtenemos D \u003d 7-6-4- 15 + 6-3 \u003d 0 ^ - Vectores N, B, con un accionario. 7.3. Doble vector de producto Double Vector Product [A, [B, C]] es un vector perpendicular a los vectores A y [B, C]. Por lo tanto, se encuentra en el plano de los vectores B y C y se puede descomponer en estos vectores. Se puede mostrar que la fórmula es válida [A, [!\u003e, S]] \u003d B (A, E) - con (a, k). Ejercicios 1. Tres vectores AV \u003d C, F? \u003d O y CA \u003d B Servir como los lados del triángulo. Expresa a través de A, B y con vectores que coinciden con las medianas AM, DN, CP Triangle. 2. ¿Qué condición debe estar relacionado el vector P y Q relacionado con el vector P + Q dividido el ángulo entre ellos por la mitad? Se supone que los tres vectores se atribuyen al comienzo general. 3. Calcule la longitud de las diagonales del paralelogramo construido en los vectores A \u003d 5P + 2Q y B \u003d P - 3Q, si se sabe que | P | \u003d 2V / 2, | Q | \u003d 3 H- (P7CI) \u003d f. 4. Recalcular el rombo como un lado A y B del rombo, demuestra que diagonalmente rombo son mutuamente perpendiculares. 5. Calcule el producto escalar de los vectores A \u003d 4I + 7J + 3K y B \u003d 31 - 5J + K. 6. Encuentre un vector de unidad A0, vector paralelo a \u003d (6, 7, -6). 7. Localice la proyección del vector A \u003d L + J- Kha Vector B \u003d 21 - J - 3K. 8. Localice el coseno del ángulo entre los vectores, si A (-4,0,0,4), IN (-1,6,7), C (1,10,9). 9. Encuentre un solo vector de P °, al mismo tiempo vector perpendicular A \u003d (3, 6, 8) y eje de buey. 10. Calcule el seno de la esquina entre las diagonales del paraleloofamma, construido en vectores A \u003d 2I + J-K, B \u003d I-3J + K como en los lados. Calcule la altura H Parallelepiped, incorporada en vectores A \u003d 31 + 2J - 5K, B \u003d I-J + 4KNC \u003d I-3J + K, si la base es tomada por paralelogramas, vectores integrados A y I). Respuestas

Propiedades de una pieza escalar.

Producto escalar de vectores, definición, propiedades.

Operaciones lineales sobre vectores.

Vectores, conceptos básicos, definiciones, operaciones lineales sobre ellos.

El vector en el plano se llama un par ordenado de sus puntos, mientras que el primer punto se llama el principio, y el segundo extremo - vector

Se llaman dos vectores iguales si son iguales y co-dirigidos.

Los vectores que se encuentran en una línea recta se denominan acuñados si están recubiertos con alguien y el mismo vector que no está acostado en esta línea recta.

Los vectores que se encuentran en una línea recta o en directo paralelos se llaman colineal, y el colineal, pero no co-dirigido, el contrario opuesto.

Los vectores que se encuentran en las líneas rectas perpendiculares se llaman ortogonal.

Definición 5.4.. Suma a + B. vectores uNA. y b. Llamado vector que viene desde el principio del vector. pero Al final del vector. b. Si el comienzo del vector b. coincide con el final del vector pero .

Definición 5.5.. Diferencia a - B. vectores pero y b. llamado tal vector de Que en suma con vector b. da vector pero .

Definición 5.6. Trabajak. uNA. vector pero Número k.llamado vector b. , Vector colineal pero Tener un módulo igual | k.||uNA. |, y dirección coincidiendo con la dirección. pero por k.\u003e 0 y lo contrario pero por k.<0.

Vector las propiedades de multiplicación por:

Propiedad 1. k (a + B. ) \u003d K. uNA.+ K. b..

Propiedad 2. (k + m)uNA. \u003d K. uNA.+ M. uNA..

Propiedad 3. k (M. uNA.\u003d (km)uNA. .

Corolario. Si los vectores de nozero pero y b. colinear, entonces hay tal numero k., qué b \u003d. k. uNA..

Producto escalar de dos vectores distintivos. uNA. y b. Se llama el número (escalar) igual al producto de las longitudes de estos vectores en el coseno del ángulo φ entre ellos. El producto escalar puede denotarse de varias maneras, por ejemplo, como ab, uNA. · b., (uNA. , b.), (uNA. · b.). Por lo tanto, el producto escalar es:

uNA. · b. = |uNA.| · | b.| · COS φ.

Si al menos uno de los vectores es cero, entonces el producto escalar es cero.

· Propiedad de la permutación: uNA. · b. = b. · uNA. (un producto escalar no cambia de reorganización de multiplicadores);

· Propiedad de distribución: uNA. · ( b. · c.) = (uNA. · b.) · c. (El resultado no depende del orden de la multiplicación);

· Propiedad combinada (con respecto a un factor escalar): (λ uNA.) · b. = λ ( uNA. · b.).

· Propiedad de ortogonalidad (perpendicularidad): si vector uNA. y b. No cero, su producto escalar es cero, solo cuando estos vectores son ortogonales (perpendiculares entre sí) uNA. ┴ b.;

· Propiedad cuadrada: uNA. · uNA. = uNA. 2 = |uNA.| 2 (el producto escalar del vector en sí es igual al cuadrado de su módulo);

· Si los vectores coordinan uNA.\u003d (x 1, y 1, z 1) y b.\u003d (x 2, y 2, z 2), entonces el producto escalar es igual uNA. · b. \u003d x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2.

Vector de retención de vectores. Definición: Bajo el producto vectorial de dos vectores y se entiende como el vector para el que:

El módulo es igual al área del paralelogramo construido sobre los datos del vector, es decir. donde el ángulo entre vectores y

Este vector es perpendicular a los vectores variables, es decir,.

Si los vectores son neollyline, entonces forman los tres vectores correctos.

Propiedades del trabajo vectorial:

1. Al cambiar el orden de los factores, el producto vectorial cambia su señal en lo contrario, guardando el módulo, es decir,

2 .Vector cuadrado es cero-vector, es decir,

3 . Multiplicador completo se puede hacer para un signo de trabajo vectorial, es decir,

4 . Para cualquier tres vectores equalidad justa.

5 . Eugene y condición suficiente para la colinealidad de dos vectores y:

Obviamente, en el caso de un trabajo vectorial, el orden en que se toma el vector, además,

Además, directamente desde la definición, se deduce que para cualquier multiplicador escalar K (número) lo siguiente es verdadero:

Vector producto de vectores colineRes igual a cero vector. Además, el producto vectorial de dos vectores es cero si y solo si son colineal. (En el caso de que uno de ellos cero vector debe recordarse que el vector cero es colineal en cualquier vector por definición).

El trabajo vectorial posee propiedad distributiva, es decir

Expresión del arte vectorial a través de las coordenadas de los vectores.

Deja que se le dan dos versiones

(Cómo encontrar las coordenadas de las coordenadas vectoriales de su inicio y finalización: consulte el artículo escalar de vectores, el artículo de definición alternativa de un producto escalar, o calculando un producto escalar de dos vectores especificados por sus coordenadas).

¿Por qué necesito un trabajo vectorial?

Hay muchas maneras de aplicar un producto vectorial, por ejemplo, como ya está escrito anteriormente, el cálculo del producto vectorial de dos vectores se puede descubrir si son colinotes.

O puede usarse como método para calcular el área de paralelogramo construida en estos vectores. Basado en la definición, la longitud del vector resultante es el área de este paralelogramo.

Además, existe una gran cantidad de aplicaciones en electricidad y magnetismo.

Calculadora de arte vectorial en línea.

Para encontrar un producto escalar de dos vectores que usan esta calculadora, debe ingresar en la primera línea en orden de la coordenada del primer vector, en el segundo segundo. Las coordenadas de los vectores pueden calcularse por las coordenadas de su inicio y final (véase el artículo Producto escalar de vectores, elemento definición alternativa de un producto escalar, o calculando un producto escalar de dos vectores especificados por sus coordenadas.)