Producto mixto de tres vectores y sus propiedades.
Trabajo mixto Tres vectores llaman a un número igual. Denota 
. Aquí los dos primeros vectores se multiplican vector y luego el vector resultante se multiplica por un escalar en el tercer vector. Obviamente, tal producto es un número.
Considere las propiedades de un trabajo mixto.
- Significado geométrico Trabajo mixto. El producto mixto de 3 vectores con una precisión del signo igual al volumen de paralelepípedo, construido sobre estos vectores, como en los rouesos, es decir, .
Y entonces
.
Evidencia. Posponemos los vectores del principio general y hemos construido un paralelepípedo en ellos. Denote y tenga en cuenta que. Por definición de un producto escalar.
Suponiendo que y denotando a través de h. La altura de los paralelepípedos encontramos.
Así, cuando
Si, entonces. Por eso, .
Combinando ambos de estos casos, obtenemos o.
De la prueba de esta propiedad, en particular, se deduce que si la parte superior de los vectores es la derecha, entonces un producto mixto, y si a la izquierda, entonces.
- Para cualquier vectores, la igualdad justa.
La prueba de esta propiedad se desprende de la propiedad 1. De hecho, es fácil mostrar eso. Y los signos "+" y "-" se toman al mismo tiempo, porque Esquinas entre vectores y, al mismo tiempo, afilados o estúpidos.
- Cuando se le permita dos factores, un trabajo mixto cambia el signo.
De hecho, si consideramos un trabajo mixto, entonces, por ejemplo, o
- Trabajo mixto si y solo si uno de los factores es cero o vectores - compartimento.
Evidencia.
Por lo tanto, la condición necesaria y suficiente para el compañero de 3 vectores es la igualdad cero de su trabajo mixto. Además, se deduce que tres vector forman una base en el espacio si.
Si los vectores se especifican en el formulario de coordenadas, se puede mostrar que su producto mixto está en la fórmula:
.T. Acerca de., El producto mixto es igual al determinante del tercer orden, en el que las primeras coordenadas vectoriales están en la segunda línea, en la segunda línea, las coordenadas del segundo vector y en la tercera línea, el tercer vector.
Ejemplos.
Geometría analítica en el espacio.
La ecuacion F (x, y, z) \u003d 0 determina en el espacio Oxyz. Alguna superficie, es decir,. Puntos de ubicación geométrica cuyas coordenadas x, y, z Satisfacer esta ecuación. Esta ecuación se llama la ecuación de la superficie, y x, y, z - Coordenadas actuales.
Sin embargo, a menudo la superficie está definida no por la ecuación, sino como un conjunto de puntos de espacio con una propiedad en particular. En este caso, se requiere la ecuación de la superficie, basada en sus propiedades geométricas.
AVIÓN.
Plano de vector normal.
La ecuación del avión pasando por este punto.
Considere en el espacio un plano arbitrario. Su posición está determinada por el diseño del vector perpendicular a este plano, y algún punto fijo. M 0.(x 0, y 0, z 0) Mentir en el plano σ.
El plano perpendicular del vector σ se llama normal El vector de este plano. Deja que el vector tenga coordenadas.
Derivamos la ecuación del plano σ pasando por este punto. M 0. y tener un vector normal. Para hacer esto, tome el plano Σ un punto arbitrario M (x, y, z) Y mira el vector.
Para cualquier punto METRO.Î σ vector. Por lo tanto, su producto escalar es cero. Esta igualdad es la condición de que el punto. METRO.Î σ. Es válido para todos los puntos de este plano y se altera tan pronto como el punto. METRO. Resulta estar fuera del plano σ.
Si designa a través del punto de vector de radio. METRO.- Radius-Vector Point M 0., entonces la ecuación se puede escribir como
Esta ecuación se llama vector La ecuación del plano. Lo escribimos en forma de coordinación. Desde entonces
Entonces, obtuvimos la ecuación del avión que pasa a través de este punto. Por lo tanto, para elaborar la ecuación del avión, debe conocer las coordenadas del vector normal y las coordenadas de algún punto que se encuentran en el plano.
Tenga en cuenta que la ecuación del plano es la ecuación del 1º grado en relación con las coordenadas actuales x, Y. y z..
Ejemplos.
Ecuación general del avión
Se puede mostrar que cualquier ecuación del primer grado en relación con las coordenadas cartesianas. x, y, z Es una ecuación de un plano determinado. Esta ecuación está escrita en la forma:
AX + BY + CZ + D=0
y llamado ecuación general avión, y coordinar A B C Aquí están las coordenadas del vector plano normal.
Considere los casos privados de la ecuación general. Averiguamos cómo se encuentra el plano en relación con el sistema de coordenadas, si uno o más coeficientes de la ecuación se tratan en cero.
A es la longitud del segmento cortada por el plano del eje BUEY.. Del mismo modo, puedes mostrar que b. y c. - Longitudes de segmentos cortados por el plano en consideración en los ejes. Oy y Onz..
La ecuación del plano en segmentos es conveniente de usar para la construcción de planos.
Propiedades de una pieza escalar.
Producto escalar de vectores, definición, propiedades.
Operaciones lineales sobre vectores.
Vectores, conceptos básicos, definiciones, operaciones lineales sobre ellos.
El vector en el plano se llama un par ordenado de sus puntos, mientras que el primer punto se llama el principio, y el segundo extremo - vector
Se llaman dos vectores iguales si son iguales y co-dirigidos.
Los vectores que se encuentran en una línea recta se denominan acuñados si están recubiertos con alguien y el mismo vector que no está acostado en esta línea recta.
Los vectores que se encuentran en una línea recta o en directo paralelos se llaman colineal, y el colineal, pero no co-dirigido, el contrario opuesto.
Los vectores que se encuentran en las líneas rectas perpendiculares se llaman ortogonal.
Definición 5.4.. Suma a + B. vectores uNA. y b. Llamado vector que viene desde el principio del vector. pero Al final del vector. b. Si el comienzo del vector b. coincide con el final del vector pero .
Definición 5.5.. Diferencia a - B. vectores pero y b. llamado tal vector de Que en suma con vector b. da vector pero .
Definición 5.6. Trabajak. uNA. vector pero Número k.llamado vector b. , Vector colineal pero Tener un módulo igual | k.||uNA. |, y dirección coincidiendo con la dirección. pero por k.\u003e 0 y lo contrario pero por k.<0.
Vector las propiedades de multiplicación por:
Propiedad 1. k (a + B. ) \u003d K. uNA.+ K. b..
Propiedad 2. (k + m)uNA. \u003d K. uNA.+ M. uNA..
Propiedad 3. k (M. uNA.\u003d (km)uNA. .
Corolario. Si los vectores de nozero pero y b. colinear, entonces hay tal numero k., qué b \u003d. k. uNA..
Producto escalar de dos vectores distintivos. uNA. y b. Se llama el número (escalar) igual al producto de las longitudes de estos vectores en el coseno del ángulo φ entre ellos. El producto escalar puede denotarse de varias maneras, por ejemplo, como ab, uNA. · b., (uNA. , b.), (uNA. · b.). Por lo tanto, el producto escalar es:
uNA. · b. = |uNA.| · | b.| · COS φ.
Si al menos uno de los vectores es cero, entonces el producto escalar es cero.
· Propiedad de la permutación: uNA. · b. = b. · uNA. (un producto escalar no cambia de reorganización de multiplicadores);
· Propiedad de distribución: uNA. · ( b. · c.) = (uNA. · b.) · c. (El resultado no depende del orden de la multiplicación);
· Propiedad combinada (con respecto a un factor escalar): (λ uNA.) · b. = λ ( uNA. · b.).
· Propiedad de ortogonalidad (perpendicularidad): si vector uNA. y b. No cero, su producto escalar es cero, solo cuando estos vectores son ortogonales (perpendiculares entre sí) uNA. ┴ b.;
· Propiedad cuadrada: uNA. · uNA. = uNA. 2 = |uNA.| 2 (el producto escalar del vector en sí es igual al cuadrado de su módulo);
· Si los vectores coordinan uNA.\u003d (x 1, y 1, z 1) y b.\u003d (x 2, y 2, z 2), entonces el producto escalar es igual uNA. · b. \u003d x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2.
Vector de retención de vectores. Definición: Bajo el producto vectorial de dos vectores y se entiende como el vector para el que:
El módulo es igual al área del paralelogramo construido sobre los datos del vector, es decir. donde el ángulo entre vectores y
Este vector es perpendicular a los vectores variables, es decir,.
Si los vectores son neollyline, entonces forman los tres vectores correctos.
Propiedades del trabajo vectorial:
1. Al cambiar el orden de los factores, el producto vectorial cambia su señal en lo contrario, guardando el módulo, es decir,
2 .Vector cuadrado es cero-vector, es decir,
3 . Multiplicador completo se puede hacer para un signo de trabajo vectorial, es decir,
4 . Para cualquier tres vectores equalidad justa.
5 . Eugene y condición suficiente para la colinealidad de dos vectores y:
Antes de dar el concepto de trabajo vectorial, gire a la pregunta de la orientación de un triple de vectores ordenados a →, B →, C → en espacio tridimensional.
Postalaremos los vectores a →, B →, C → desde un punto. La orientación del triple a →, B →, C → es de derecha o izquierda, dependiendo de la dirección del vector C →. En qué dirección la rotación más corta del vector A → K B → desde el extremo del vector C →, se determina el tipo de troika a →, B →, C →.
Si la rotación más corta se realiza en sentido contrario a las agujas del reloj, entonces el triple de los vectores A →, B →, C → llamado derechoSi en el sentido de las agujas del reloj - leva.
A continuación, tome dos vector no colineal A → y B →. A continuación, publicaré desde el punto A Vectores A B → \u003d A → y A C ® \u003d B →. Construimos el vector A D → \u003d C →, que es simultáneamente perpendicular a ambos b → y a C →. Por lo tanto, al construir el vector en sí mismo A d → \u003d C → podemos hacer un bicon, configurarlo o una dirección, o en el contrario (ver ilustración).
Ordenó tres vectores a →, B →, C → Tal vez, como nos diagamoste a la derecha o hacia la izquierda, dependiendo de la dirección del vector.
A partir de lo anterior, podemos ingresar la definición de un trabajo vectorial. Esta definición se administra para dos vectores definidos en el sistema de coordenadas rectangular de espacio tridimensional.
Definición 1.
Vector producto de dos vectores a → y b → Llamaremos un vector de este tipo especificado en el sistema de coordenadas rectangular de espacio tridimensional, de modo que:
- si los vectores son → y B → Collinear, será cero;
- será perpendicular al vector A → y el vector B → I.E. ∠ a → c → \u003d ∠ b → c → \u003d π 2;
- su longitud está determinada por la fórmula: C → \u003d A → · B → · Sin ∠ A →, B →;
- tropa de vectores A →, B →, C → tiene la misma orientación que el sistema de coordenadas especificado.
Ilustraciones vectoriales de vectores A → y B → Tiene la siguiente designación: A → × B →.
Coordenadas de trabajo vectorial.
Dado que cualquier vector tiene ciertas coordenadas en el sistema de coordenadas, puede ingresar la segunda definición de un producto vectorial, que le permitirá encontrar sus coordenadas de acuerdo con las coordenadas de vectores especificadas.
Definición 2.
En el sistema de coordenadas rectangular de espacio tridimensional. vector producto de dos vectores a → \u003d (a x; a y; a z) y b → \u003d (b x; b y; b z) Llamado vector C → \u003d a → × b → \u003d (ay · bz - az · por) · I → + (AZ · bx - AX · BZ) · J → + (AX · by - ay · bx) · k →, Donde I →, J →, K → son vectores de coordenadas.
El producto del vector se puede introducir como un determinante de matriz cuadrado de tercer orden, donde la primera línea es o →, J →, K →, la segunda línea contiene las coordenadas del vector A → y la tercera: las coordenadas del vector B → En un sistema de coordenadas rectangular dado, este determinante de la matriz se ve así: C → \u003d a → × b → \u003d i → j → k → axayazbxbybz
Decutando este determinante para los elementos de la primera línea, obtenemos la igualdad: C → \u003d A → × b → \u003d i → j → k → axazbxbybz \u003d ayazbybx · i → axazbxbz · j → + axaybxby → k → \u003d \u003d a → × b → \u003d (ay · bz - az · por) · I → + (AZ · BX - AX · BZ) · J → + (AX · by - ay · bx) · k →
Propiedades del trabajo vectorial
Se sabe que el producto vectorial en las coordenadas parece ser el determinante de la matriz C → \u003d a → × b → \u003d i → j → k → a x a y a z b x b y b z, luego en la base propiedades del determinante de la matriz. Muestra lo siguiente propiedades del trabajo vectorial:
- anti-conmutativa A → × B → \u003d - B → × a →;
- distribución A (1) → + A (2) → × B \u003d a (1) → × b → + a (2) → × b → o → × b (1) → + b (2) → \u003d a → × b (1) → + a → × b (2) →;
- asociatividad λ · a → × b → \u003d λ · a → × b → o → × (λ · b →) \u003d λ · a → × b →, donde λ es un número válido arbitrario.
Estas propiedades no tienen evidencia difícil.
Por ejemplo, podemos probar la propiedad anticomputativa del producto vectorial.
Prueba de anti-conmutativa.
Por definición a → × b → \u003d i → j → k → a x a y a z b x b y b z y b → k → \u003d i → j → k → b x b y b z a x a y a z. Y si las dos líneas de las matrices reorganizan en lugares, el valor del determinante de la matriz debe estar cambiando a lo contrario, por lo tanto, a → × b → \u003d i → j → k → axayazbxbybz \u003d - i → j → k → Bxbybzaxaz \u003d - b → × a → eso y demuestra la anti-conmutación del trabajo vectorial.
Arte vectorial - Ejemplos y soluciones
En la mayoría de los casos, hay tres tipos de tareas.
En las tareas del primer tipo, generalmente se establece la longitud de los dos vectores y el ángulo entre ellos, y debe encontrar la longitud del producto vectorial. En este caso, use la siguiente fórmula C → \u003d A → · B → Sin ∠ A →, B →.
Ejemplo 1.
Encuentre la longitud del vector Producto de vectores A → y B →, si se conoce a → \u003d 3, B → \u003d 5, ∠ A →, B → \u003d π 4.
Decisión
Uso de la definición de la longitud del vector Producto de vectores A → y B → Solucionar esta tarea: a → × b → \u003d a → · b → · pecado ∠ a →, b → \u003d 3 · 5 · sin π 4 \u003d 15 2 2.
Respuesta: 15 2 2 .
Los objetos del segundo tipo están relacionados con las coordenadas de los vectores, en ellos un producto vectorial, su longitud, etc. Buscado a través de las conocidas coordenadas de los vectores especificados a → \u003d (a x; a y; a z) y B → \u003d (b x; b y; b z) .
Para este tipo de tarea, puede resolver muchas opciones de tareas. Por ejemplo, se pueden administrar las coordenadas de los vectores A → y B →, pero sus descomposiciones en los vectores de coordenadas de la forma se pueden administrar. B → \u003d b x · i → + b y · j → + b z · k → y c → \u003d a → × b → \u003d (ay · bz - az · por) · I → + (AZ · bx - ax · bz) · j → + (AX · by-ay · bx) · k →, o Los vectores A → y B → se pueden configurar por las coordenadas de los puntos de su inicio y final.
Considere los siguientes ejemplos.
Ejemplo 2.
En el sistema de coordenadas rectangular, se dan dos vectores A → \u003d (2; 1; - 3), B → \u003d (0; - 1; 1) se dan. Encuentra su arte vectorial.
Decisión
En la segunda definición, encontramos un producto vectorial de dos vectores en las coordenadas especificadas: a → × b → \u003d (ay · bz - az · por) · i → + (AZ · bx - ax · bz) · j → + (AX · BY - AY · BX) · K → \u003d \u003d (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · I → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · J → + ( 2 · (- 1) - 1 · 0) · K → \u003d - 2 I → 2 J → - 2 K →.
Si graba un producto vectorial a través del determinante de la matriz, entonces la solución de este ejemplo es la siguiente: A → × b → \u003d i → j → k → axayazbxbybz \u003d i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 \u003d - 2 I → - 2 J → - 2 K →.
Respuesta: A → × b → \u003d - 2 i → 2 j → - 2 k →.
Ejemplo 3.
Encuentre la longitud del vector Producto de vectores I → - J → y I → + J → + K →, donde I →, J →, K → - ORTHOPS del sistema de coordenadas cartesianas rectangulares.
Decisión
Para empezar, encontraremos las coordenadas del producto vectorial especificado i → - j → → → + j → + k → en este sistema de coordenadas rectangulares.
Se sabe que los vectores I → - J → y i → + j → + k → tienen coordenadas (1; - 1; 0) y (1; 1; 1), respectivamente. Encuentre la longitud del producto vectorial usando el determinante de la matriz, entonces tenemos i → - j → × i → + j → k → 1 - 1 0 1 1 1 \u003d - i → - j → + 2 k →.
En consecuencia, el producto vectorial I → J → × i → + j → + k → tiene coordenadas (- 1; - 1; 2) en un sistema de coordenadas dado.
Encontraremos la longitud del producto vectorial de acuerdo con la fórmula (consulte la sección Encontrar la longitud del vector): i → - j → × i → + j → + k → \u003d \u003d - 1 2 + - 1 2 + 2 2 \u003d 6.
Respuesta: Yo → - j → × i → + j → + k → \u003d 6. .
Ejemplo 4.
En un sistema de coordenadas descartular rectangular, se establecen las coordenadas de tres puntos A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Encuentra un poco de vector perpendicular A B → y A C → Al mismo tiempo.
Decisión
Los vectores A B → y A C → tienen las siguientes coordenadas (- 1; 2; 2) y (0; 4; 1), respectivamente. Habiendo encontrado un producto vectorial de vectores a b → y a c →, es obvio que es un vector perpendicular por definición y a una b → y a una c →, es decir, es la solución de nuestra tarea. Lo encontramos a B → × A C → \u003d I → J → K → 1 2 2 0 4 1 \u003d - 6 I → + J → - 4 K →.
Respuesta: - 6 i → + j → - 4 k →. - Uno de los vectores perpendiculares.
Las tareas de tercer tipo se centran en usar las propiedades del arte vectorial. Después del uso de los cuales, recibiremos una solución a una tarea determinada.
Ejemplo 5.
Los vectores a → y B → perpendiculares y sus longitudes son iguales, respectivamente, 3 y 4. Encuentra la longitud del producto vectorial 3 · a → - b → × a → 2 · b → \u003d 3 · a → × a → - 2 · b → + - b → × a → - 2 · b → \u003d \u003d 3 · A → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b →.
Decisión
Por la propiedad de la distribución de la distribución del producto vectorial, podemos escribir 3 · a → - b → × a → 2 · b → \u003d 3 · a → × a → - 2 · b → + - b → → - 2 · b → \u003d \u003d 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b →
Por la propiedad de la asociatividad, llevaremos a cabo los coeficientes numéricos para el signo de los trabajos vectoriales en la última expresión: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → \u003d \u003d 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) → b → × a → + (- 1) · (- 2 ) · B → × b → \u003d \u003d 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b →
Vector funciona A → × a → y b → × b → igual 0, como → × a → \u003d a → → → · pecado 0 \u003d 0 y b → × b → \u003d b → · b → · · pecado 0 \u003d 0, Luego, 3 · A → × A → - 6 · A → × B → - B → × A → + 2 · B → × B → \u003d - 6 · A → × B → - B → × A →. .
Desde la anti-conmutativa del producto vectorial, 6 · a → → × b → - b → → → \u003d - 6 · a → × b → (- 1) · a → × b → \u003d - 5 · a → × b → . .
Usando las propiedades del trabajo vectorial, obtenemos la igualdad 3 · a → - b → × a → - 2 · b → \u003d \u003d - 5 · a → × b →.
Por estado, los vectores a → y B → perpendicular, es decir, el ángulo entre ellos es igual a π 2. Ahora queda solo sustituir los valores encontrados en las fórmulas correspondientes: 3 · a → - b → × a → - 2 · b → \u003d - 5 · a → × b → \u003d 5 · a → × b → \u003d 5 · A → · B → · PECADO (A →, B →) \u003d 5 · 3 · 4 · Sin π 2 \u003d 60.
Respuesta: 3 · A → - B → × A → - 2 · B → \u003d 60.
La longitud del producto vectorial de los vectores de erección es igual a A → × B → \u003d A → · B → Sin ∠ A →, B →. Dado que ya se conoce (desde el curso de la escuela) que el área del triángulo es igual a la mitad del trabajo de la longitud de sus dos lados multiplicado por la esquina entre estas partes. Por lo tanto, la longitud del producto vectorial es igual al área del paralelogramo, un triángulo doble, a saber, el producto de las partes en forma de vectores a → y b →, pendiente de un punto, en el seno de la esquina entre El pecado ∠ A →, B →.
Este es el significado geométrico del producto vectorial.
Significado físico del trabajo vectorial
En la mecánica, una de las secciones de la física, gracias al producto vectorial, puede determinar el momento de la fuerza en relación con el punto de espacio.
Definición 3.
Bajo el momento del poder F → aplicado al punto B, en relación con el punto A entendemos el siguiente producto vectorial a B → F →.
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Ángulo entre vectores
Para que presentemos el concepto de un producto vectorial de dos vectores, primero debe descubrir el concepto como el ángulo entre estos vectores.
Démos dos Vector $ \\ Overline (α) $ y $ \\ Overline (β) $. Tome el espacio Cualquier punto $ O $ y publique los vectores de $ \\ Overline (α) \u003d \\ Overline (OA) $ \\ Overline (β) \u003d \\ Overline (OB) $, luego el ángulo $ AOB $ será Llamado el ángulo entre estos vectores (Fig. 1).
Designación: $ ∠ (\\ Overline (α), \\ Overline (β)) $
El concepto de ilustraciones vectoriales y fórmula.
Definición 1.
El producto vectorial de dos vectores se llama vector, perpendicular a ambos vectores de datos, y su longitud será igual al producto de estos vectores con una esquina sinusoidal entre los vectores de datos, así como este vector con dos iniciales que tienen una orientación más estricta. , como el sistema de coordenadas de Cartian.
Designación: $ \\ enrala (α) x \\ endina (β) $.
Matemáticamente, se ve así:
- $ | \\ Enrala (α) x \\ endina (β) | \u003d | \\ endina (α) || \\ endina (β) | sin\u2061∠ (\\ endapa (α), \\ endapa (β)) $
- $ \\ enrala (α) x \\ enrala (β) ⊥ \\ endina (α) $, $ \\ enrala (α) x \\ enrala (β) ⊥ \\ endina (β) $
- $ (\\ Enrala (α) x \\ endina (β), \\ endina (α), \\ endina (β)) $ y $ (\\ enlace (I), \\ endina (J), \\ endapa (k)) $ igual Orientado (Fig. 2)
Obviamente, el producto externo de los vectores será igual al vector cero en dos casos:
- Si la longitud de uno o ambos vectores es cero.
- Si el ángulo entre estos vectores será de $ 180 ^ \\ Cirry $ o $ 0 ^ \\ Circ $ (como en este caso, el seno es cero).
Para ver visualmente cómo se encuentra los vectores vectoriales, considere los siguientes ejemplos de la solución.
Ejemplo 1.
Encuentre la longitud del vector $ \\ Overline (Δ) $, que será el resultado de un producto vectorial de vectores, con coordenadas $ \\ endina (α) \u003d (0.4.0) $ \\ endina (β) \u003d ( 3.0.0) $.
Decisión.
Imágenes Estos vectores en el espacio de coordenadas cartesia (Fig. 3):
Figura 3. Vectores en el espacio de coordenadas cartesia. Autor24 - Intercambio de internet del estudiante
Vemos que estos vectores se encuentran en los ejes de $ OX y $ OY $, respectivamente. En consecuencia, el ángulo entre ellos será de $ 90 ^ \\ Circ $. Encuentra las longitudes de estos vectores:
$ | \\ Overline (α) | \u003d \\ sqrt (0 + 16 + 0) \u003d $ 4
$ | \\ Enrala (β) | \u003d \\ sqrt (9 + 0 + 0) \u003d $ 3
Luego, por definición 1, obtenemos el módulo $ | \\ enline (Δ) | $
$ | \\ Overline (δ) | \u003d | \\ Overline (α) || \\ Overline (β) | Sin90 ^ \\ Circ \u003d 4 \\ CDOT 3 \\ CDOT 1 \u003d 12 $
Respuesta: $ 12 $.
Cálculo del arte vectorial de acuerdo con las coordenadas de los vectores.
De la definición 1 fluye inmediatamente y el método para encontrar un producto vectorial para dos vectores. Dado que el vector, además del valor, también tiene una dirección, es imposible encontrarlo solo con un valor escalar. Pero además de él, todavía hay una manera de encontrar vectores con estas coordenadas.
Déjanos darnos un vector $ \\ Overline (α) $ e $ \\ Overline (β) $, que tendrá coordinadas $ (α_1, α_2, α_3) $ y $ (β_1, β_2, β_3) $, respectivamente. Luego, el vector del trabajo vectorial (a saber, sus coordenadas se pueden encontrar de acuerdo con la siguiente fórmula:
$ \\ enrala (α) x \\ endina (β) \u003d \\ comienzan (vmatrix) \\ enrala (i) \\ endina (j) & \\ end linea (k) \\\\ α_1 α_2 α_3 \\\\ β_1 & β_2 β_3 \\ FIN (VMatrix) PS
De lo contrario, revelando el determinante, obtenemos las siguientes coordenadas.
$ \\ enrala (α) x \\ sobreina (β) \u003d (α_2 β_3-α_3 β_2, α_3 β_1-α_1 β_3, α_1 β_2-α_2 β_1) $
Ejemplo 2.
Buscar vector Vector producto de vectores colineRes $ \\ enlace (α) $ \\ $ \\ enlace (β) $ con coordenadas $ (0.3.3) $ y $ (- 1,2,6) $.
Decisión.
Utilizamos la fórmula anterior. Recibir
$ \\ Enrala (α) x \\ endina (β) \u003d \\ comienzan (VMatrix) \\ Overline (i) \\ Overline (J) & \\ Overline (K) \\\\ 0 y 3 y 3 \\\\ - 1 y 2 y 6 \\ \\\\ - 1 y 2 y 6 \\ End (VMatrix) \u003d (18 -6) \\ Overline (i) - (0 + 3) \\ Endapa (J) + (0 + 3) \\ Overline (K) \u003d 12 \\ Overline (i) -3 \\ Overline (J ) +3 \\ Overline (k) \u003d (12, -3.3) $
Respuesta: $ (12, -3.3) $.
Propiedades de la ilustración vectorial
Para los tres vectores arbitrarios mezclados de $ \\ Overline (α) $, $ \\ Overline (β) $ y $ \\ Overline (γ) $, así como $ R∈R $, las siguientes propiedades:
Ejemplo 3.
Encuentre el área del paralelogramo cuyos vértices tienen coordenadas de $ (3.0.0) $, $ (0.0.0) $, $ (0.8.0) $ y $ (3.8.0) $.
Decisión.
Inicialmente, mostraremos este paralelogramo en el espacio de coordenadas (Fig. 5):
Figura 5. Pollograma en el espacio de coordenadas. Autor24 - Intercambio de internet del estudiante
Vemos que los dos lados de este paralelogramo se construyen utilizando vectores de colineal con coordenadas $ \\ endina (α) \u003d (3.0.0) $ \\ endina (β) \u003d (0.8.0) $. Usando la cuarta propiedad, obtenemos:
$ S \u003d | \\ enrala (α) x \\ endina (β) | $
Encontraremos el vector $ \\ Overline (α) x \\ endina (β) $:
$ \\ Enrala (α) x \\ end linea (β) \u003d \\ comienzan (vmatrix) \\ endina (I) \\ endina (J) & \\ Overline (K) \\\\ 3 y 0 \\ \\\\ 0 y 8 & 0 \\ \\\\ 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ \\\\ 0 & 8 & 0 \\ \\\\ 0 & 8 & 0 \\ \\\\ 0 & 8 & 0 \\ \\\\ 0 y 8 & 0 \\ \\\\ 0 y 8 & 0 \\ \\\\ 0 & 8 & 0 \\ \\\\ 0 & 8 & 0 \\ ' (VMatrix) \u003d 0 \\ Overline (i) -0 \\ Overline (J) +24 \\ Overline (K) \u003d (0,0,24) $
Por eso
$ S \u003d | \\ enrala (α) x \\ endina (β) | \u003d \\ sqrt (0 + 0 + 24 ^ 2) \u003d 24 $
Arte vectorial - Este es un pseudoctor, un plano perpendicular, construido en dos dudacantes, que es el resultado de una "multiplicación de vectores" de operación binaria sobre los vectores en el espacio euclidiano tridimensional. El producto vectorial no tiene las propiedades de la conmutativa y la asociatividad (es anticomputiva) y, a diferencia del producto escalar de los vectores, es un vector. Ampliamente utilizado en muchas aplicaciones técnicas y físicas. Por ejemplo, el momento del impulso y el poder de Lorentz registraron matemáticamente en forma de un trabajo vectorial. El producto vectorial es útil para la "medición" de la perpendicularidad de los vectores: el módulo del vector del producto de dos vectores es igual al producto de sus módulos, si son perpendiculares, y disminuye a cero si los vectores son paralelos o antiparalelas. .
Puede determinar el producto vectorial de diferentes maneras, y teóricamente, en el espacio de cualquier dimensión N, es posible calcular el producto de los vectores N-1, habiendo obtenido el único vector perpendicular a todos. Pero si el trabajo se limita a las obras binarias no triviales con los resultados vectoriales, el producto vectorial tradicional se define solo en espacios tridimensionales y sedimensionales. El resultado de un producto vectorial, como el escalar, depende de la métrica del espacio euclidiano.
En contraste con la fórmula para calcular de acuerdo con las coordenadas de vectores del producto escalar en un sistema de coordenadas rectangulares tridimensionales, la fórmula para el producto vectorial depende de la orientación del sistema de coordenadas rectangulares o, de otra manera, su "quiralidad".
Definición:
Un producto vectorial A en el vector B en el espacio R 3 se llama vector C, satisfaciendo los siguientes requisitos:
La longitud del vector C es igual al producto de las longitudes de los vectores A y B en el seno del ángulo φ entre ellos:
| C | \u003d | a || b | sin φ;
El vector C es ortogonal a cada uno de los vectores A y B;
El vector C se dirige para que la parte superior de los vectores ABC sea correcta;
En el caso del espacio R7, se requiere la asociativa de los tres vectores A, B, C.
Designacion:
c \u003d\u003d\u003d A × b
Higo. 1. El área del paralelogramo es igual al módulo de productos vectoriales.
Propiedades geométricas del trabajo vectorial.:
La condición necesaria y suficiente para la colinealidad de dos vectores no cero es la igualdad cero de su arte vectorial.
Módulo de arte vectorial es igual a la plaza S. Un paralelogramo construido en las versiones entregadas al comienzo general de los vectores. uNA. y b. (Ver Fig. 1).
Si un mI. - Vector único, vectores ortogonales. uNA. y b. y elegido para que Troika a, b, e - Derecha y S. - el área del paralelogramo construido sobre ellos (dado al inicio general), entonces la fórmula es válida para el producto vectorial:
\u003d S E.
Figura 2. El volumen de paralelepípedo cuando se usa el producto vectorial y escalar de los vectores; Las líneas de puntos muestran las proyecciones del vector C en un × b y vectores A en B × C, el primer paso es encontrar obras escalares.
Si un c. - algún vector, π
- cualquier plano que contenga este vector, mI. - un solo vector acostado en avión π
y ortogonal k c, G.- Vector único, ortogonal al plano. π
y dirigido para que la parte superior de los vectores ecg es correcto, entonces para cualquier plano π
Vector uNA. Feria de fórmula:
\u003d PR E A | C | G
donde pr e una proyección del vector e en un
| C | Módulo de vector con
Cuando use los trabajos vectoriales y escalares, puede calcular el volumen del paralelepípedo, construido en las versiones entregadas al comienzo general de las versiones. a, b. y C.. Dicho producto de tres vectores se llama mezclado.
V \u003d | a (b × c) |
La figura muestra que este volumen se puede encontrar de dos maneras: el resultado geométrico se conserva incluso cuando se reemplaza al "Scalar" y "Vector" funciona en lugares:
V \u003d a × b c \u003d a b × c
La magnitud del producto vectorial depende del seno del ángulo entre los vectores originales, por lo que el producto vectorial se puede percibir como un grado de "perpendicularidad" de los vectores, así como un producto escalar, se puede considerar como un grado de "paralelismo" . El producto vectorial de dos vectores individuales es 1 (vector único), si los vectores originales son perpendiculares e iguales a 0 (vector cero), si los vectores son paralelos o anti-paralelo.
Expresión para el trabajo vectorial en coordenadas cartesianas.
Si dos vectores uNA. y b. Definido por sus coordenadas cartesianas rectangulares, y más precisamente, presentadas de forma orthonormal
a \u003d (a x, a y, a z)
b \u003d (b x, b y, b z)
y el sistema de coordenadas es el derecho, entonces su arte vectorial tiene la apariencia.
\u003d (A Y B Z-Z B Y, A Z B X-X B Z, A X B Y -A Y B X)
Para memorizar esta fórmula:
i \u003d σε ijk a j b k
Dónde ε ijk.- Símbolo Levi-Civita.
