El volumen de la pelota. Cómo encontrar el volumen de una pelota: fórmulas básicas y un ejemplo de su uso Cómo calcular el volumen de una pelota

Antes de comenzar a estudiar el concepto de bola, cuál es el volumen de una bola, para considerar las fórmulas para calcular sus parámetros, es necesario recordar el concepto de círculo, estudiado anteriormente en el curso de geometría. Después de todo, la mayoría de las acciones en el espacio tridimensional son similares o se derivan de la geometría bidimensional, ajustada por la aparición de una tercera coordenada y un tercer grado.

¿Qué es un círculo?

Un círculo es una figura en un plano cartesiano (representado en la Figura 1); la mayoría de las veces, la definición suena como "el lugar geométrico de todos los puntos en el plano, la distancia desde la cual a un punto dado (centro) no excede un cierto número no negativo llamado radio".

Como puede ver en la figura, el punto O es el centro de la figura, y el conjunto de absolutamente todos los puntos que llenan el círculo, por ejemplo, A, B, C, K, E, no se encuentran más allá de un radio dado. (no sobrepase el círculo que se muestra en la Fig. .2).

Si el radio es cero, entonces el círculo se convierte en un punto.

Problemas con la comprensión

Los estudiantes a menudo confunden estos términos. Es fácil de recordar con una analogía. El aro que giran los niños en las lecciones de educación física es un círculo. Al comprender esto, o al recordar que las primeras letras de ambas palabras son "O", los niños comprenderán mnemotécnicamente la diferencia.

La introducción del concepto de "bola"

Una pelota es un cuerpo (Fig. 3), delimitado por una cierta superficie esférica. Qué tipo de "superficie esférica" ​​quedará claro a partir de su definición: este es el lugar geométrico de todos los puntos en la superficie, la distancia desde la cual a un punto dado (centro) no excede un cierto número no negativo llamado radio. Como puedes ver, los conceptos de círculo y superficie esférica son similares, solo difieren los espacios en los que se ubican. Si representamos una pelota en un espacio bidimensional, obtenemos un círculo, cuyo límite es un círculo (para una pelota, el límite es una superficie esférica). En la figura vemos una superficie esférica con radios OA = OB.

Bola cerrada y abierta

En espacios vectoriales y métricos también se consideran dos conceptos relacionados con una superficie esférica. Si la pelota incluye esta esfera en sí misma, entonces se llama cerrada, y si no, entonces en este caso la pelota está abierta. Estos son conceptos más "avanzados", se estudian en los institutos cuando se introducen al análisis. Para un uso simple, incluso cotidiano, serán suficientes aquellas fórmulas que se estudian en el curso de geometría sólida de los grados 10-11. Son estos conceptos que son accesibles para casi todas las personas educadas promedio los que se discutirán más adelante.

Conceptos que necesitas saber para los siguientes cálculos

radio y diámetro.

El radio de una esfera y su diámetro se determinan de la misma manera que para un círculo.

Radio: un segmento que conecta cualquier punto en el límite de la pelota y un punto que es el centro de la pelota.

Diámetro: un segmento que conecta dos puntos en el límite de una esfera y pasa por su centro. La Figura 5a demuestra claramente qué segmentos son los radios de la pelota, y la Figura 5b muestra los diámetros de la esfera (los segmentos que pasan por el punto O).

Secciones en una esfera (bola)

Cualquier sección de una esfera es un círculo. Si pasa por el centro de la bola, se llama círculo grande (un círculo con un diámetro de AB), las secciones restantes se llaman círculos pequeños (un círculo con un diámetro de DC).

El área de estos círculos se calcula utilizando las siguientes fórmulas:

Aquí S es la designación del área, R es el radio, D es el diámetro. También hay una constante igual a 3.14. Pero no se confunda que para calcular el área de un círculo grande, se usa el radio o diámetro de la bola (esfera) en sí, y para determinar el área, se requieren las dimensiones del radio del círculo pequeño.

Hay un número infinito de tales secciones que pasan por dos puntos del mismo diámetro que se encuentran en el límite de la esfera. Como ejemplo, nuestro planeta: dos puntos en los polos norte y sur, que son los extremos del eje de la tierra, y en sentido geométrico, los extremos del diámetro, y los meridianos que pasan por estos dos puntos (Figura 7) . Es decir, el número de círculos grandes cerca de la esfera tiende a infinito en cantidad.

partes de la bola

Si se corta una "pieza" de la esfera con la ayuda de algún plano (Figura 8), entonces se llamará segmento esférico o esférico. Tendrá una altura: una perpendicular desde el centro del plano de corte a la superficie esférica O 1 K. El punto K en la superficie esférica, al que llega la altura, se llama la parte superior del segmento esférico. Y un círculo pequeño con un radio de O 1 T (en este caso, según la figura, el plano no pasó por el centro de la esfera, pero si la sección pasa por el centro, entonces el círculo de la sección será grande) , formado al cortar el segmento esférico, se llamará la base de nuestra pieza bola - segmento esférico.

Si conectamos cada punto de la base del segmento esférico con el centro de la esfera, obtenemos una figura llamada "sector esférico".

Si por la esfera pasan dos planos paralelos entre sí, entonces la parte de la esfera que queda encerrada entre ellos se llama capa esférica (Figura 9, que muestra una esfera con dos planos y por separado una capa esférica).

La superficie (parte resaltada en la Figura 9 a la derecha) de esta parte de la esfera se llama cinturón (nuevamente, para una mejor comprensión, podemos hacer una analogía con el globo terráqueo, es decir, con sus zonas climáticas: ártico, tropical, templado , etc.), y los círculos de sección serán la capa base de bolas. Altura de la capa: parte del diámetro dibujado perpendicular a los planos de corte desde los centros de las bases. También existe el concepto de una esfera esférica. Se forma cuando los planos que son paralelos entre sí no cortan la esfera, sino que la tocan en un punto cada uno.

Formulas para calcular el volumen de una pelota y su area superficial

Una bola se forma girando alrededor de un diámetro fijo de un semicírculo o círculo. Para calcular los diversos parámetros de este objeto, no se necesitan tantos datos.

El volumen de la pelota, cuya fórmula para el cálculo se indica arriba, se obtiene por integración. Repasemos los puntos.

Consideramos un círculo en un plano bidimensional, porque, como se mencionó anteriormente, es el círculo que subyace en la construcción de la pelota. Usamos solo su cuarta parte (Figura 10).

Tomamos una circunferencia de radio unidad y centro en el origen. La ecuación de dicho círculo es la siguiente: X 2 + Y 2 \u003d R 2. Expresamos Y desde aquí: Y 2 \u003d R 2 - X 2.

Asegúrese de tener en cuenta que la función resultante es no negativa, continua y decreciente en el segmento X (0; R), porque el valor de X en el caso en que consideramos un cuarto de círculo se encuentra desde cero hasta el valor del radio, es decir, hasta uno.

Lo siguiente que hacemos es rotar nuestro cuarto de círculo alrededor del eje x. Como resultado, obtenemos un hemisferio. Para determinar su volumen, recurrimos a métodos de integración.

Como este es el volumen de solo un hemisferio, duplicamos el resultado, de donde obtenemos que el volumen de la pelota es igual a:

Pequeños matices

Si necesita calcular el volumen de una pelota en términos de su diámetro, recuerde que el radio es la mitad del diámetro y sustituya este valor en la fórmula anterior.

Además, la fórmula para el volumen de una esfera se puede alcanzar a través del área de su superficie limítrofe: la esfera. Recuerda que el área de una esfera se calcula mediante la fórmula S = 4πr 2 , integrando la cual, también llegamos a la fórmula anterior para el volumen de una pelota. A partir de las mismas fórmulas, puede expresar el radio si la condición del problema contiene un valor de volumen.

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El radio de una pelota (indicado como r o R) es el segmento de línea que conecta el centro de la pelota con cualquier punto de su superficie. Al igual que con un círculo, el radio de una pelota es una cantidad importante que se necesita para encontrar el diámetro, la circunferencia, el área de superficie y/o el volumen de la pelota. Pero el radio de la pelota también se puede encontrar a partir de un valor dado del diámetro, la circunferencia y otras cantidades. Usa una fórmula en la que puedas sustituir estos valores.

Pasos

Fórmulas para calcular el radio.

Calcula el radio a partir del diámetro. El radio es la mitad del diámetro, así que usa la fórmula d = D/2. Esta es la misma fórmula utilizada para calcular el radio y el diámetro de un círculo.

• Por ejemplo, dada una pelota con un diámetro de 16 cm, el radio de esta pelota: r = 16/2 = 8cm. Si el diámetro es de 42 cm, entonces el radio es 21cm (42/2=21).

1. Calcula el radio a partir de la circunferencia del círculo. Usa la fórmula: r = C/2π. Dado que la circunferencia es C = πD = 2πr, divida la fórmula para calcular la circunferencia entre 2π y obtenga la fórmula para encontrar el radio.

   • Por ejemplo, dada una pelota con una circunferencia de 20 cm, el radio de esta pelota es: r = 20/2π = 3,183cm.
   • La misma fórmula se utiliza para calcular el radio y la circunferencia de un círculo.

2. Calcula el radio a partir del volumen de la esfera. Usa la fórmula: r = ((V/π)(3/4)) 1/3. El volumen de la pelota se calcula mediante la fórmula V = (4/3)πr 3 . Separando r en un lado de la ecuación, obtienes la fórmula ((V / π) (3/4)) 3 \u003d r, es decir, para calcular el radio, divide el volumen de la pelota por π, multiplica el resultado por 3/4, y eleva el resultado a la potencia 1/3 (o saca la raíz cúbica).

   • Por ejemplo, dada una pelota con un volumen de 100 cm 3. El radio de esta esfera se calcula de la siguiente manera:
     • ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((31.83)(3/4)) 1/3 = r
     • (23.87) 1/3 = r
     • 2,88cm= r

3. Calcula el radio a partir del área de la superficie. Usa la fórmula: r = √(A/(4 π)). El área de superficie de la pelota se calcula mediante la fórmula A \u003d 4πr 2. Al aislar r en un lado de la ecuación, obtienes la fórmula √(A/(4π)) = r, es decir, para calcular el radio, debes sacar la raíz cuadrada del área de la superficie dividida por 4π. En lugar de sacar la raíz, la expresión (A/(4π)) se puede elevar a la potencia de 1/2.

   • Por ejemplo, dada una esfera con un área superficial de 1200 cm 3 . El radio de esta esfera se calcula de la siguiente manera:
     • √(A/(4π)) = r
     • √(1200/(4π)) = r
     • √(300/(π)) = r
     • √(95.49) = r
     • 9,77cm= r

   Definición de cantidades básicas

   1. Recuerda las cantidades básicas que son relevantes para calcular el radio de la pelota. El radio de una pelota es un segmento que conecta el centro de la pelota con cualquier punto de su superficie. El radio de una esfera se puede calcular a partir de valores dados de diámetro, circunferencia, volumen o área de superficie.

      Usa los valores de estas cantidades para encontrar el radio. El radio se puede calcular a partir de valores dados de diámetro, circunferencia, volumen y área de superficie. Además, estos valores se pueden encontrar a partir de un valor dado del radio. Para calcular el radio, simplemente convierta las fórmulas para encontrar los valores dados. A continuación se encuentran las fórmulas (en las que hay un radio) para calcular el diámetro, la circunferencia, el volumen y la superficie.

   Hallar el radio a partir de la distancia entre dos puntos

   1. Encuentra las coordenadas (x, y, z) del centro de la pelota. El radio de una esfera es igual a la distancia entre su centro y cualquier punto que se encuentre sobre la superficie de la esfera. Si se conocen las coordenadas del centro de la pelota y cualquier punto que se encuentre en su superficie, puede encontrar el radio de la pelota usando una fórmula especial al calcular la distancia entre dos puntos. Primero, encuentra las coordenadas del centro de la pelota. Ten en cuenta que como la pelota es una figura tridimensional, el punto tendrá tres coordenadas (x, y, z) y no dos (x, y).

      • Considere un ejemplo. Dada una bola centrada con coordenadas (4,-1,12) . Usa estas coordenadas para encontrar el radio de la pelota.

   2. Encuentra las coordenadas de un punto en la superficie de la esfera. Ahora necesitas encontrar las coordenadas (x, y, z) cualquier punto en la superficie de la esfera. Dado que todos los puntos que se encuentran en la superficie de la pelota están ubicados a la misma distancia del centro de la pelota, se puede elegir cualquier punto para calcular el radio de la pelota.

      • En nuestro ejemplo, supongamos que algún punto que se encuentra en la superficie de la pelota tiene coordenadas (3,3,0) . Al calcular la distancia entre este punto y el centro de la pelota, encontrarás el radio.

   3. Calcule el radio usando la fórmula d \u003d √ ((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Habiendo aprendido las coordenadas del centro de la pelota y el punto que se encuentra en su superficie, puedes encontrar la distancia entre ellos, que es igual al radio de la pelota. La distancia entre dos puntos se calcula mediante la fórmula d \u003d √ ((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2), donde d es la distancia entre el puntos, (x 1, y 1 ,z 1) son las coordenadas del centro de la pelota, (x 2 ,y 2 ,z 2) son las coordenadas de un punto que se encuentra sobre la superficie de la pelota.

      • En este ejemplo, en lugar de (x 1, y 1, z 1), sustituya (4, -1,12), y en lugar de (x 2, y 2, z 2) sustituya (3,3,0):
        • re \u003d √ ((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)
        • re = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2)
        • re = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
        • re = √(1 + 16 + 144)
        • re = √(161)
        • d=12,69. Este es el radio deseado de la pelota.

   4. Tenga en cuenta que en los casos generales r = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Todos los puntos que se encuentran en la superficie de la pelota están ubicados a la misma distancia del centro de la pelota. Si en la fórmula para encontrar la distancia entre dos puntos, "d" se reemplaza por "r", obtienes una fórmula para calcular el radio de la pelota a partir de las coordenadas conocidas (x 1, y 1, z 1) del centro de la pelota y las coordenadas (x 2, y 2, z 2 ) cualquier punto que se encuentre sobre la superficie de la esfera.

      • Eleva al cuadrado ambos lados de esta ecuación y obtienes r 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 . Tenga en cuenta que esta ecuación corresponde a la ecuación de una esfera r 2 = x 2 + y 2 + z 2 centrada en (0,0,0).
   • No olvide el orden en que se realizan las operaciones matemáticas. Si no recuerda este orden y su calculadora sabe cómo trabajar con paréntesis, utilícelos.
   • Este artículo habla sobre cómo calcular el radio de una pelota. Pero si tiene problemas para aprender geometría, lo mejor es comenzar calculando los valores asociados con una pelota en términos de un valor de radio conocido.
   • π (Pi) es la letra del alfabeto griego, lo que significa una constante igual a la relación entre el diámetro de un círculo y la longitud de su circunferencia. Pi es un número irracional que no se escribe como una razón de números reales. Hay muchas aproximaciones, por ejemplo, la razón 333/106 te permitirá encontrar el número Pi con una precisión de hasta cuatro dígitos después del punto decimal. Por regla general, utilizan el valor aproximado de pi, que es 3,14.

en geometría pelota se define como un cuerpo determinado, que es un conjunto de todos los puntos en el espacio que están situados desde el centro a una distancia no superior a una determinada, denominada radio de la bola. La superficie de una esfera se llama esfera, y se forma al girar un semicírculo alrededor de su diámetro, que permanece inmóvil.

Este cuerpo geométrico es encontrado muy a menudo por ingenieros de diseño y arquitectos, que a menudo tienen que calcular el volumen de una esfera. Por ejemplo, en el diseño de la suspensión delantera de la gran mayoría de los automóviles modernos, se utilizan los llamados rodamientos de bolas, en los que, como se puede adivinar por el propio nombre, las bolas son uno de los elementos principales. Con su ayuda, los cubos de las ruedas direccionales y las palancas están conectados. De lo correcto que será calculado su volumen depende en gran medida no solo de la durabilidad de estas unidades y la corrección de su trabajo, sino también de la seguridad del tráfico.

En tecnología, se utilizan ampliamente piezas como los rodamientos de bolas, con la ayuda de los cuales los ejes se sujetan en las partes fijas de varias unidades y conjuntos y se garantiza su rotación. Cabe señalar que al calcularlos, los diseñadores necesitan encontrar el volumen de una esfera(o más bien, bolas colocadas en una jaula) con un alto grado de precisión. En cuanto a la fabricación de bolas metálicas para rodamientos, estas se fabrican a partir de alambre metálico mediante un complejo proceso tecnológico que incluye las etapas de conformado, templado, desbastado, acabado lapeado y limpieza. Por cierto, las bolas que se incluyen en el diseño de todos los bolígrafos se fabrican utilizando exactamente la misma tecnología.

Muy a menudo, las bolas también se usan en la arquitectura, y en la mayoría de los casos son elementos decorativos de edificios y otras estructuras. En la mayoría de los casos, están hechos de granito, lo que a menudo requiere mucho trabajo manual. Por supuesto, no se requiere observar una precisión tan alta en la fabricación de estas bolas como las que se utilizan en varias unidades y mecanismos.

Un juego tan interesante y popular como el billar es impensable sin bolas. Para su producción se utilizan diversos materiales (hueso, piedra, metal, plástico) y se emplean diversos procesos tecnológicos. Uno de los principales requisitos para las bolas de billar es su alta resistencia y capacidad para soportar altas cargas mecánicas (principalmente golpes). Además, su superficie debe ser una esfera exacta para garantizar un rodamiento suave y uniforme sobre la superficie de las mesas de billar.

Finalmente, ni un solo árbol de Navidad o Año Nuevo puede prescindir de cuerpos geométricos como las bolas. Estas decoraciones están hechas en la mayoría de los casos de vidrio soplado, y en su producción se presta la mayor atención no a la precisión dimensional, sino a la estética de los productos. Al mismo tiempo, el proceso tecnológico está casi completamente automatizado y las bolas navideñas solo se envasan manualmente.

Definición de pelota

Pelota es un cuerpo cuyos puntos están todos a una distancia no mayor de R de un punto dado.

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El punto dado al que se hace referencia en la definición de la pelota se llama centro esta pelota y dicha distancia es radio de esta pelota.

Una esfera, por analogía con un círculo, también tiene un diámetro D D D, que es el doble de la longitud del radio:

re = 2 ⋅ R re = 2\cdot R re=2 ⋅ R

La fórmula para el volumen de una esfera en términos de su radio

El volumen de una esfera se calcula con la siguiente fórmula:

La fórmula para el volumen de una esfera en términos de radio

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3V =3 4 ​ ⋅ π ⋅ R 3

R R R es el radio de la esfera dada.

Veamos algunos ejemplos.

Tarea 1

Una bola está inscrita en un cubo, diagonal dd d que es igual a 500 ver \sqrt(500)\text(ver)5 0 0 ​ cm . Encuentra el volumen de la esfera.

Solución

D=500 d=\sqrt(500) re=5 0 0 ​

Primero necesitas determinar la longitud del lado del cubo. Supondremos que es igual a un un a. Por lo tanto, la diagonal del cubo es (basado en el teorema de Pitágoras):

re = un 2 + un 2 + un 2 d=\sqrt(a^2+a^2+a^2)re=a 2 + a 2 + a 2 ​

re = 3 ⋅ un 2 d=\sqrt(3\cdot a^2)re=3 ⋅ a 2 ​

re = 3 ⋅ una d=\sqrt(3)\cdot unare=3 ​ ⋅ a

500 = 3 ⋅ un \sqrt(500)=\sqrt(3)\cdot un5 0 0 ​ = 3 ​ ⋅ a

A = 500 3 a=\sqrt(\frac(500)(3))un =3 5 0 0 ​ ​

A ≈ 12,9 a\aprox. 12,9 un ≈1 2 . 9

Si una esfera está inscrita en un cubo, entonces su radio es igual a la mitad de la longitud del lado de este cubo. Como resultado, tenemos:

R = 1 2 ⋅ a R=\frac(1)(2)\cdot aR=2 1 ​ ⋅ a

R = 1 2 ⋅ 12,9 ≈ 6,4 R=\frac(1)(2)\cdot 12,9\approx6,4R=2 1 ​ ⋅ 1 2 . 9 ≈ 6 . 4

La etapa final es encontrar el volumen de la pelota usando la fórmula:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 ≈ 4 3 ⋅ π ⋅ (6.4) 3 ≈ 1097 .5 cm 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3\approx\frac(4 )(3)\cdot\pi\cdot (6.4)^3\approx1097.5\text(cm)^3V =3 4 ​ ⋅ π ⋅ R 3 ≈ 3 4 ​ ⋅ π ⋅ (6 . 4 ) 3 ≈ 1 0 9 7 , 5 cm3

Respuesta

1097, 5 cm3. 1097.5\texto(cm)^3.1 0 9 7 , 5 cm3 .

La fórmula para el volumen de una esfera en términos de su diámetro.

El volumen de una esfera también se puede encontrar en términos de su diámetro. Para ello, utilizamos la relación entre el radio y el diámetro de la bola:

re = 2 ⋅ R re = 2\cdot R re=2 ⋅ R

R = re 2 R=\frac(D)(2) R=2 D​

Sustituye esta expresión en la fórmula del volumen de la pelota:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 = 4 3 ⋅ π ⋅ (re 2) 3 = π 6 ⋅ re 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3=\frac(4 )(3)\cdot\pi\cdot\Big(\frac(D)(2)\Big)^3=\frac(\pi)(6)\cdot D^3V =3 4 ​ ⋅ π ⋅ R 3 = 3 4 ​ ⋅ π ⋅ ( 2 D​ ) 3 = 6 π ​ ⋅ D 3

Volumen de bola a través del diámetro

V = π 6 ⋅ re 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot re^3V =6 π ​ ⋅ D 3

D D D es el diámetro de la esfera.

Tarea 2

El diámetro de la bola es 15 cm 15\texto(cm.) 1 5 cm . Halla su volumen.

Solución

D=15 D=15 re=1 5

Inmediatamente sustituya el valor del diámetro en la fórmula:

V = π 6 ⋅ re 3 = π 6 ⋅ 1 5 3 ≈ 1766,25 cm 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot D^3=\frac(\pi)(6)\cdot 15^3\ aprox. 1766,25\texto(cm)^3V =6 π ​ ⋅ D 3 = 6 π ​ ⋅ 1 5 3 ≈ 1 7 6 6 . 2 5 cm3

Respuesta

$1766.25\text{cm3 .}$