Mješoviti proizvod od tri vektora i njegovih svojstava
Mješoviti posao Tri vektora nazivaju broj jednak. Označava 
. Ovdje su prva dva vektora pomnožena vektor, a zatim se rezultirajući vektor pomnoži s skalarom na trećem vektoru. Očito je da je takav proizvod neki broj.
Razmislite o svojstvima mješovitih djela.
- Geometričko značenje Mješoviti posao. Mješoviti proizvod od 3 vektora s tačnošću znaka jednak glasnoću paralelepiped, izgrađen na ovim vektorima, kao i na udaljenostima, I.E. .
Dakle, i
.
Dokaz. Odložimo vektore iz generalnog početka i izgradili paralelepiped na njima. Označavaju i zabilježite to. Po definiciji skalarnog proizvoda
Pod pretpostavkom da i označavajući h. Visina paralelepipeda, nalazimo.
Dakle, kada
Ako onda. Otuda ,.
Kombinujući oba ova slučaja, dobivamo ili.
Od dokaza ove nekretnine, posebno slijedi da ako je vrh vektora pravi, zatim miješani proizvod, a ako je tada lijevo.
- Za sve vektore, sajam jednakost
Dokaz o ovoj nekretnini slijedi iz imovine 1. Zaista, to je lako pokazati. I znakovi "+" i "-" uzimaju se istovremeno, jer Uglovi između vektora i istovremeno oštro ili glupo.
- Kada se puštaju dva faktora, mješoviti rad mijenja znak.
Zaista, ako uzmemo u obzir mješoviti posao, na primjer, ili
- Mješoviti rad ako i samo ako je jedan od faktora nula ili vektora - odjeljak.
Dokaz.
Dakle, neophodni i dovoljan uvjet za suputnik od 3 vektora je jednakost nula svog miješanog rada. Pored toga, slijedi da tri vektor formiraju osnovu u prostoru ako.
Ako su vektori navedeni u koordinatnom obliku, tada se može pokazati da je njihov mješoviti proizvod u formuli:
.T. O nama., Mješoviti proizvod jednak je odrednica trećeg reda, u kojem su prve vektorske koordinate u drugom retku, u drugom retku - koordinate drugog vektora i u trećem retku - treći vektor.
Primjeri.
Analitička geometrija u prostoru
Jednadžba F (x, y, z) \u003d 0 određuje u prostoru Oxyz. Neka površina, tj. Geometrijske lokacije bodova čije koordinate x, y, z Udovolji ovoj jednačini. Ova jednadžba se naziva jednadžbom površine i x, y, z - Trenutna koordinata.
Međutim, često se površina definira ne jednadžbama, već kao skup prostora sa određenom imovinom. U ovom slučaju potrebna je površinska jednadžba na temelju njenih geometrijskih svojstava.
Ravnina.
Normalna vektorska ravnina.
Jednadžba aviona koja prolazi kroz ovu tačku
Razmislite u svemiru proizvoljni avion. Njegova pozicija određuje se dizajnom vektora okomito na ovaj rain, a neku fiksnu točku M 0.(x 0, y 0, z 0) Leže u avionu Σ.
Vektor za okomit ravnine σ se zove normalan Vektor ovog aviona. Neka vektor ima koordinate.
Izvodimo jednadžbu aviona σ prolazimo kroz ovu točku M 0. i imati normalan vektor. Da biste to učinili, uzmite avion σ arbitrarna tačka M (x, y, z) I pogledajte vektor.
Za bilo koju točku M.Î σ vector. Stoga je njihov skalarni proizvod nula. Ova jednakost je uvjet da je tačka M.Î Σ. Vrijedi za sve točke ovog aviona i poremećena je čim tačka M. Ispada da je van aviona Σ.
Ako odredite putem radijus-vektorske tačke M.- Radius-vektorska tačka M 0., tada se jednadžba može napisati kao
Ova jednadžba se zove vektor Jednadžba aviona. Pišemo u koordinatnom obliku. Od tada
Dakle, dobili smo jednadžbu aviona koji prolazi kroz ovu tačku. Stoga, kako bi se izvukla jednadžba aviona, morate znati koordinate normalnog vektora i koordinate neke točke koje leže u avionu.
Imajte na umu da jednadžba aviona jednačina je 1. stepena u odnosu na trenutne koordinate x, Y. i z..
Primjeri.
Opća jednadžba aviona
Može se pokazati da svaka jednadžba prvog stepena u odnosu na kartezijske koordinate x, y, z To je jednadžba određene ravnine. Ova jednadžba je napisana u obrascu:
AX + by + CZ + D=0
i pozvan opća jednadžba avion i koordinira A, B, C Evo koordinata normalnog vektora ravnine.
Razmislite o privatnim slučajevima opće jednadžbe. Otkrivamo kako se avion nalazi u odnosu na koordinatni sustav, ako se jedan ili više koeficijenata jednadžbe tretiraju u nuli.
A je duljina segmenta odsječena avionom osovine Vol.. Slično tome, možete to pokazati b. i c. - Dužine segmenata odsječene avionom koji se razmatra na osi Oy. i Oz..
Jednadžba aviona u segmentima pogodna je za korištenje za izgradnju aviona.
Svojstva skalarnog komada
Skalarni proizvod vektora, definicije, svojstva
Linearno operacije preko vektora.
Vektori, osnovni pojmovi, definicije, linearne operacije na njima
Vektor u avionu naziva se naređeni par točkica, dok se prva tačka naziva početkom, a drugi kraj - vektor
Dva vektora nazivaju se jednakim ako su jednaki i suigravali.
Vektori koji leže na jednoj ravnu liniju nazivaju se uvlačenim ako su presvučeni nekim i istim vektorom ne leži na ovoj ravnoj liniji.
Vektori koji leže na jednoj ravni ili na paralelnoj direktno nazivaju se Collinear, a Collinear, ali nije umijeren - suprotno usmjereno.
Vektori koji leže na okomitim ravnim linijama nazivaju se ortogonalnim.
Definicija 5.4.. Suma a + B. vektori sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: i b. Nazvan vektor koji dolazi od početka vektora ali Na kraju vektora b. Ako je početak vektora b. podudara se s krajem vektora ali .
Definicija 5.5.. Razlika a - B. vektori ali i b. nazvan takav vektor od Koji u sumi sa vektorom b. daje vektoru ali .
Definicija 5.6. Raditik. sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: vektor ali Broj k.nazvan vektor b. , Collinear Vector ali Imati modul jednak | k.||sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: | i smjer se podudaraju sa smjerom ali za k.\u003e 0 i suprotno ali za k.<0.
Svojstva vektora za množenje:
Nekretnina 1. k (a + B. ) \u003d K. sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:+ K. b..
Nekretnina 2. (k + M)sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: \u003d K. sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:+ M. sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:.
Nekretnina 3. k (M. sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:) \u003d (km)sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: .
Korolija. Ako je ne-vektori ali i b. Collinear, onda postoji takav broj k., šta b \u003d. k. sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:.
Skalarni proizvod dva nule vektora sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: i b. Naziva se brojem (skalarni) jednak proizvodu dužina ovih vektora na kosinu u kut φ između njih. Scalarni proizvod može se označiti na različite načine, na primjer, kao aB, sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: · b., (sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: , b.), (sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: · b.). Dakle, skalarni proizvod je:
sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: · b. = |sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:| · | b.| · Cos φ.
Ako je barem jedan od vektora nula, tada je skalarni proizvod nula.
· Nekretnina permutacije: sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: · b. = b. · sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: (skalarni proizvod se ne mijenja iz preuređenja multiplikatora);
· Distributivna nekretnina: sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: · ( b. · c.) = (sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: · b.) · c. (Rezultat ne ovisi o redoslijedu množenja);
· Kombinovana nekretnina (u odnosu na skalarni faktor): (λ sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:) · b. = λ ( sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: · b.).
· Nekretnina ortogonalnosti (okomitost): ako vektor sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: i b. Non-Zero, njihov skalarni proizvod je nula, samo kad su ti vektori pravokutni (okomit jedni na drugi) sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: ┴ b.;
· Skrenite nekretnine: sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: · sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: = sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: 2 = |sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:| 2 (skalarni proizvod vektora je jednak kvadratu njegovog modula);
· Ako vektori koordiniraju sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:\u003d (x 1, y 1, z 1) i b.\u003d (x 2, y 2, z 2), a zatim skalarni proizvod jednak sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: · b. \u003d x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2.
Vektorski holding vektori. Definicija: Pod vektorskim proizvodom dva vektora i razumije se kao vektor za koji:
Modul je jednak području paralelograma izgrađenog na podacima vektora, I.E. gdje kut između vektora i
Ovaj vektor je okomit na varijable vektore, i.e.
Ako su vektori neullyline, onda formiraju ispravna tri vektora.
Svojstva vektorskog rada:
1. Prilikom promjene redoslijeda faktora, vektorski proizvod mijenja znak na suprotno, uštedu modula, I.E.
2 Trg .Vector je nula-vektor, i.e.
3 . Potpuni multiplikator može se napraviti za vektorski rad, I.E.
4 . Za svaka tri vektora sajamna jednakost
5 . Eugene i dovoljan uvjet za kolibranost dva vektora i:
Prije nego što date koncept vektorskog rada, okrenite se na pitanje orijentacije naručenog trostrukog vektora a →, b →, c → u trodimenzionalnom prostoru.
Odgodit ćemo vektore A →, B →, C → iz jedne tačke. Orijentacija trostrukog A →, B →, C → je u pravu ili lijevo, ovisno o smjeru vektora C →. U kom pravcu najkraća rotacija vektora A → K B → Od kraja vektora C →, tip trojke A →, B →, C → je određen.
Ako se najkraća rotacija vrši u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, zatim trostruki vektori A →, B →, C → Nazvan pravoAko u smjeru kazaljke na satu - leva.
Zatim uzmite dva ne-Collinear vector a → i b →. Zatim ću objaviti od točaka vektori a b → \u003d a → i a c → \u003d b →. Konstruiramo vektor A D → \u003d C →, koji je istovremeno okomit na B → i A C →. Dakle, prilikom izgradnje samog vektora A D → \u003d C → Možemo napraviti bikon, postavljanje ili jedan smjer ili suprotno (vidi ilustraciju).
Naručeno tri vektora A →, b →, C → možda, dok smo shvatili desno ili lijevo, ovisno o smjeru vektora.
Iz gore navedenog možemo ući u definiciju vektorskog rada. Ova je definicija data za dva vektora definirana u pravougaonom koordinatnom sustavu trodimenzionalnog prostora.
Definicija 1.
Vektorski proizvod dva vektora A → i B → Takav vektor nazvat ćemo navedenom u pravougaonom koordinatnom sustavu trodimenzionalnog prostora kao što:
- ako su vektori → i b → Collinear, bit će nula;
- bit će okomit na vektor A → i vektora B → I.E. ∠ a → c → \u003d ∠ b → c → \u003d π 2;
- njegova dužina određuje se formulom: C → \u003d a → · B → · sin ∠ a →, b →;
- vjetar vektora A →, b →, C → ima istu orijentaciju kao i navedeni koordinatni sustav.
Vektorski umetnički rad vektora A → i b → ima sledeću oznaku: A → × B →.
Koordinate vektorskog rada
Budući da bilo koji vektor ima određene koordinate u koordinatnom sustavu, možete ući u drugu definiciju vektorskog proizvoda, što će vam omogućiti da pronađete njegove koordinate prema navedenim koordinatorima vektora.
Definicija 2.
U pravougaonom koordinatnom sustavu trodimenzionalnog prostora vector proizvod dva vektora A → \u003d (A x; a y; a z) i b → \u003d (b x; b y; b z) Nazvan vektor C → \u003d A → × B → \u003d (AY · BZ - AZ ·) ·) · * + (AZ · BX - AX · BZ) · J · Autor - Ay · BX) · K →, Gdje sam →, J →, k → su koordinatni vektori.
Vektorski proizvod može se uvesti kao kvadrat treće narudžbe, gdje je prvi redak ili →, j →, k →, drugi redak sadrži koordinate vektora A → i treći - koordinate vektora B Na zadanom pravokutnom koordinatnom sistemu, ova odrednica matrice izgleda ovako: C → \u003d a → × B → \u003d i → j → k → axayazbxbybz
Desiving ove odrednice za elemente prvog reda, dobivamo jednakost: C → \u003d A → × B → \u003d i → j → k → axazbxbybz \u003d ayazbybx · I → + Axaybxby → k → \u003d \u003d a → × B → \u003d (Ay · BZ - AZ · Do) · I → + (AZ · BX - AX · BZ) · J → + (AX · By - Ay · BX) · K →
Svojstva vektorskog rada
Poznato je da se vektorski proizvod u koordinata čini odrednica matrice C → \u003d A → × B → \u003d i → j → k → a x a y a z b x b y b z, zatim na osnovu svojstva odrednice matrice Prikazuje sledeće svojstva vektorskog rada:
- anti-komutativnost A → × B → \u003d - B → × a →;
- distribucija A (1) → + A (2) → × B \u003d A (1) → × B → + A (2) → × B → ili → × b (1) → + b (2) → \u003d a → × B (1) → + A → × B (2) →;
- asocijativnost · A → × B → \u003d λ · A → × B → ili → × (· · B →) \u003d λ · A → × B →, gdje je λ proizvoljni važeći broj.
Ova svojstva nemaju teške dokaze.
Na primjer, možemo dokazati antikutativno svojstvo vektorskog proizvoda.
Dokaz o protu-komutativnosti
Po definiciji A × B → \u003d I → J → K → A x A Y A Z B X B Y B Z i B → K → \u003d I → J → K → B x B y B Z A X A y a z. I ako se dvije retke matrica preuređuju na mjestima, vrijednost odrednog matrice trebala se mijenjati na suprotno, pa, a → × b → \u003d i → J → k → axayazbxbybz \u003d - I → j → k → Bxbybzaxaz \u003d - B → × a → to i dokazuje anti-komutativnost vektorskog rada.
Vektorska umjetnost - Primjeri i rješenja
U većini slučajeva postoje tri vrste zadataka.
U zadacima prvog tipa, obično se postavlja duljina dva vektora i ugao između njih i morate pronaći dužinu vektorskog proizvoda. U tom slučaju koristite sljedeću formulu C → \u003d A → · B → Grijeh ∠ a →, b →.
Primjer 1.
Pronađite dužinu vektorskog proizvoda vektora A → i B →, ako je poznat a → \u003d 3, b → \u003d 5, ∠ a →, b → \u003d π 4.
Odluka
Koristeći definiciju dužine vektorskog proizvoda vektora A → i B → Rešavanje Ovaj zadatak: A → × B → \u003d A → · B → · SIN ∠ A →, B → \u003d 3 · 5 · SIN Π 4 \u003d 15 2 2.
Odgovor: 15 2 2 .
Objekti drugog tipa povezani su sa koordinatama vektora, u njima vektorski proizvod, dužina itd. Pretraženo putem poznatih koordinata navedenih vektora a → \u003d (a x; a y; a z) i B → \u003d (b x; b y; b z) .
Za ovu vrstu zadatka možete riješiti puno mogućnosti zadataka. Na primjer, koordinate vektora A → i B →, ali mogu se dati njihove raspadanje na koordinatnim vektorima obrasca. B → \u003d B X · I → + b y · → + + b z · k → i c → \u003d a → × b → \u003d (ay · bz - az · po) · I → + (az · bx - AX · bz) · · → + (AX · by - ay · bx) · k → ili Vektori A → i b → mogu se postaviti koordinatama točaka njihovog početka i kraja.
Razmotrite sljedeće primjere.
Primjer 2.
U pravougaonom koordinatnom sustavu dva vektora a → \u003d (2; 1; - 3), b → \u003d (0; - 1; 1) su date. Pronađite njihovu vektorsku umjetnost.
Odluka
Na drugoj definiciji nalazimo vektorski proizvod dva vektora u navedenim koordinatama: A → × B → \u003d (AY · BZ - AZ ·) · I → + (AZ · BX - AX · · → (AX · po - Ay · BX) · K → \u003d \u003d (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · I → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · → + ( 2 · (- 1) - 1 · 0) · k → \u003d - 2 i → 2 j → - 2 k →.
Ako za snimanje vektorskog proizvoda kroz determinant matrice, tada je rješenje ovog primjera: A → × B → \u003d I → J → K → axayazbxbybz \u003d I → J → K → 2 1 - 3 0 - 1 \u003d - 2 i → - 2 j → - 2 k →.
Odgovor: A → × b → \u003d - 2 i → 2 j → - 2 k →.
Primjer 3.
Pronađite dužinu vektorskog proizvoda vektora i → - j → i i → + j → + k →, gdje sam →, j →, k → - ortopi pravokutnog kartezijskog koordinatnog sustava.
Odluka
Za početak naći ćemo koordinate navedenog vektorskog proizvoda I → - J → → → + j → + k → u ovom pravokutnom koordinatnom sustavu.
Poznato je da vektori i → - → i → + j → + k → imati koordinate (1; - 1; 0) i (1; 1; 1), respektivno. Pronađite duljinu vektorskog proizvoda pomoću odrednice matrice, a zatim imamo i → - J → × i → + j → k → 1 - 1 0 1 1 1 \u003d - I → - J → + 2 k →.
Shodno tome, vektorski proizvod I → J → × i → + j → + k → ima koordinate (- 1; - 1; 2) u datom koordinatnom sustavu.
Dužinu vektorskog proizvoda u skladu s formulom (vidi poglavlje Pronalaženje dužine vektora): I → - J → × I → + J → + k → \u003d 1 2 + - 1 + 2 2 \u003d 6.
Odgovor: I → - J → × I → + J → + k → \u003d 6. .
Primjer 4.
U pravougaonom dekartularnom koordinatnom sustavu, postavljene su koordinate tri boda a (1, 0, 1), b (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Pronađite neki vektor okomito A B → i C → u isto vrijeme.
Odluka
Vektori A B → i A C → imaju sljedeće koordinate (- 1; 2; 2) i (0; 4; 1), respektivno. Pronašli su vektorski proizvod vektora a b → i a c →, očito je da je to perpektivni vektor po definiciji i na b → i na C →, to je rješenje našeg zadatka. Pronalazimo ga b × a c → \u003d i → j → k → 1 2 2 0 4 1 \u003d - 6 i → + j → - 4 k →.
Odgovor: - 6 i → + j → - 4 k →. - Jedan od perkomikog vektora.
Zadaci trećeg tipa su fokusirani na korištenje svojstava vektorske umjetnosti. Nakon upotrebe koja ćemo dobiti rješenje za određeni zadatak.
Primjer 5.
Vektori A → i b → okomito i njihove dužine su jednake, odnosno 3 i 4. Pronađite dužinu vektorskog proizvoda 3 · A → - B → × A → 2 · B → \u003d 3 · A → × A → + - B → × A → - 2 · B → \u003d \u003d 3 · A → × A → + 3 · A → × - 2 · B → + - B → × A → + - B → × - 2 · B →.
Odluka
Uz nekretninu distribucije vektorskog proizvoda, možemo napisati 3 · A → - B → × A → 2 · B → \u003d 3 · A → × A → - 2 · B → + - B → → - 2 · B → \u003d \u003d 3 · A → × A → + 3 · A → × - 2 · B → + - B → × A → + - B → × - 2 · B →
Svojstvom asocijativnosti obavit ćemo brojčane koeficijente za znak vektorskih radova u posljednjem izrazu: 3 · A → × A → + 3 · A → × - 2 · B → + - B → × A → + - - b → × - 2 · b → \u003d \u003d 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2 · B → × B → \u003d \u003d 3 · A → × A × 6 · A → × B → - B → × A → + 2 · B → × B →
Vector radi → × a → i b → × B → EQUAL 0, kao → × A → \u003d A → → → · sin 0 \u003d 0 i b → × B → \u003d B → · B → · SIN 0 \u003d 0, Zatim 3 · A → × A → - 6 · A → × B → - B → × A × + 2 · B → × B → \u003d - 6 · A → × B → - B → × A →. .
Iz anti-komutativnosti vektorskog proizvoda, 6 · A → × B → - B → → → × B → (- 1) · A → × B → \u003d B → . .
Koristeći svojstva vektorskog rada, dobijamo jednakost 3 · A → - B → × A → - 2 · B → \u003d \u003d - 5 · A → × B →.
Pod uvjetom, vektori A → i B → okomito, odnosno ugao između njih jednak je π 2. Sada ostaje samo za zamjenu vrijednosti pronađenih u odgovarajućim formulama: 3 · A → - B → × A → \u003d - 5 · A → × B → \u003d 5 · A → × B → \u003d 5 · A → · B → · Grijeh (A →, B →) \u003d 5 · 3 · 4 · SIN Π 2 \u003d 60.
Odgovor: 3 · A → - B → × A → - 2 · B → \u003d 60.
Dužina vektorskog proizvoda vektora erekcije jednaka je A → × B → \u003d A → · B → Sin ∠ a →, b →. Budući da je već poznato (sa školskog kursa) da je područje trokuta jednako polovini rada duljine njegove dvije strane pomnoženo sa uglom između ovih stranaka. Stoga je dužina vektorskog proizvoda jednaka površini paralelograma - dvostruki trokut, naime proizvod stranaka u obliku vektora a → i b →, čeka se iz jednog mjesta na uglu sinusa između Oni grijeh ∠ a →, b →.
Ovo je geometrijsko značenje vektorskog proizvoda.
Fizičko značenje vektorskog rada
U Mehanici, jedan od dijelova fizike, zahvaljujući vektorskom proizvodu, možete odrediti trenutak sile u odnosu na mjesto prostora.
Definicija 3.
U trenutku monte snage F → Primjenjuje se na točku B, u odnosu na točku A Razumijemo sljedeći vektorski proizvod A B → F →.
Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite ga i pritisnite Ctrl + Enter
Ugao između vektora
Da bismo predstavili koncept vektorskog proizvoda dva vektora, prvo morate shvatiti koncept kao kut između ovih vektora.
Dozvolite nam da damo dva vektorska \\ overline (α) $ i $ \\ overline (β) $. Uzmite u prostoru bilo koje tačke $ i pošaljite sa $ \\ overline vektorima (α) \u003d \\ overline (OA) $ i $ \\ overline (β) \u003d \\ overline $, tada će biti $ AOB $ ugao Naziva se ugao između ovih vektora (Sl. 1).
Oznaka: $ ∠ (\\ Overline (α), \\ overline (β)) $
Koncept vektorskih umjetničkih djela i formule
Definicija 1.
Vektorski proizvod dva vektora naziva se vektor, okomito na vektore podataka, a njegova dužina bit će jednaka proizvodu ovih vektora sa sinutom ugao između vektora podataka, kao i ovaj vektor s dva inicijala imaju čvršća orijentaciju , poput carskog koordinatnog sistema.
Oznaka: $ \\ Overline (α) x \\ overline (β) $.
Matematički, izgleda ovako:
- $ | \\ Overline (α) x \\ overline (β) | \u003d | \\ Overline (α) || \\ Overline (β) | sin\u2061∠ (\\ overline (β), \\ overline (β)) $
- $ \\ Overline (α) x \\ overline (β) ⊥ Overline (α) $, $ \\ Overline (α) x \\ Overline (β) ⊥ ⊥ Overline (β)
- $ (\\ Overline (α) x \\ overline (β), \\ overline (α), \\ overline (β)) $ i $ (\\ overline (i), \\ overline (k)) $ jednako Orijentiran (Sl. 2)
Očito će vanjski proizvod vektora biti jednak nulti vektora u dva slučaja:
- Ako je dužina jednog ili oba vektora nula.
- Ako će kut između ovih vektora biti 180 ^ \\ circl ili 0 ^ \\ circ $ (kao u ovom slučaju, sinus je nula).
Da biste vizualno vidjeli kako se vektorski vektor nalazi, razmislite o sljedećim primjerima rješenja.
Primjer 1.
Pronađite dužinu vektora $ \\ overline (Δ) $, što će biti rezultat vektorskog proizvoda vektora, a koordinate $ \\ overline (α) \u003d (0,4,0) $ i $ \\) \u003d (β) \u003d (β) \u003d 3.0.0) $.
Odluka.
Slike ti vektori u kartonskom koordinatnom prostoru (Sl. 3):
Slika 3. Vektori u kartezijskom koordinatnom prostoru. Autor24 - Studentska internetska razmjena
Vidimo da ti vektori leže na osi od $ $ i $ Oy $, respektivno. Shodno tome, ugao između njih bit će 90 ^ \\ circl $. Pronađite dužine ovih vektora:
$ | \\ Overline (α) | \u003d \\ sqrt (0 + 16 + 0) \u003d 4 USD
$ | \\ Overline (β) | \u003d \\ sqrt (9 + 0 + 0) \u003d 3 USD
Zatim, po definiciji 1 dobivamo $ | \\ overline modul (Δ) | $
$ | \\ Overline (Δ) | \u003d | \\ Overline (α) || \\ Overline (β) | sin90 ^ \\ circ \u003d 4 \\ CDOT 3 \\ CDOT 1 \u003d 12 $
Odgovor: 12 $ $.
Izračun vektorske umjetnosti prema koordinata vektora
Iz definicije 1 odmah teče i način pronalaženja vektorskog proizvoda za dva vektora. Budući da vektor osim vrijednosti također ima smjer, nemoguće je pronaći samo s skalarne vrijednosti. Ali osim njega još uvijek postoji način da se vektori pronađu sa ovim koordinatama.
Dopustite nam vector $ thelline (α) $ i $ \\ overline (β) $, koji će koordinirati $ (α_1, α_2, α_3) $ i $ (β_1, β_2, β_3) $, respektivno. Tada vektor vektorskog rada (naime, njegove koordinate mogu se naći prema sljedećoj formuli:
$ \\ Overline (α) x \\ overline (β) \u003d \\ početak (vmatrix) \\ Overline (i) \\ overline (j) & \\ overline (k) \\\\ α_1 α_2 β_2 β_3 \\ & β_2 β_3 \\ end (vmatrix) $
Inače, otkrivajući odrednicu, dobivamo sljedeće koordinate
$ \\ Overline (α) x \\ overline (β) \u003d (α_2 β_3-α_3 β_2, α_3 β_1-α_1 β_3, α_1 β_2-α_2 β_1) $
Primjer 2.
Pronađite vektorski vektorski proizvod Collinear Vectors $ \\ Overline (α) $ i $ \\ overline (β) $ s koordinatama $ (0.3.3) $ i $ (- 1,2,6) $.
Odluka.
Koristimo formulu iznad. Primiti
$ \\ Overline (α) x \\ overline (β) \u003d \\ početi (vmatrix) \\ Overline (i) \\ overline (j) & \\ overline (k) \\\\ 0 i 3 i 3 \\\\ - 1 i 2 i 6 \\ Kraj (vmatrix) \u003d (18 -6) \\ Overline (I) - (0 + 3) \\ Overline (J) + (0 + 3) \\ Overline (k) \u003d 12 \\ Overline (i) -3 \\ Overline (J) -3 \\ Overline ( ) +3 \\ overline (k) \u003d (12, -3.3) $
Odgovor: $ (12, -3,3) $.
Svojstva vektorskih umjetničkih djela
Za proizvoljne mješovite tri vektora od $ \\ overline (α) $, $ \\ overline (β) $ i $ \\ overline (γ) $, kao i $ R∈r $, sljedeća svojstva:
Primjer 3.
Pronađite područje paralelograma čiji se vrhovi imaju koordinate od $ (3.0.0) $, $ (0,0,0) $, $ (0,8,0) $ i $ (3.8.0) $.
Odluka.
U početku ćemo pokazati ovaj paralelogram u koordinatnom prostoru (Sl. 5):
Slika 5. PollOgram u koordinatnom prostoru. Autor24 - Studentska internetska razmjena
Vidimo da su dvije strane ovog paralelograma izgrađene pomoću Collinear Vektora sa koordinatama $ \\ overline (α) \u003d (3.0.0) $ i $ \\ overline (β) \u003d (0.8.0) $. Koristeći četvrtu imovinu, dobivamo:
$ S \u003d | \\ Overline (α) X \\ Overline (β) | $
Pronaći ćemo vector $ \\ overline (α) x \\ overline (β) $:
$ \\ Overline (α) x \\ overline (β) \u003d \\ point (vmatrix) \\ Overline (i) \\ overline (j) & \\ overline (k) \\\\ 3 i 0 i 0 \\\\ 0 i 8 & 0 \\\\ 0 & 8 & 0 \\\\ 0 & 8 & 0 \\\\ (Vmatrix) \u003d 0 \\ overline (I) -0 \\ Overline (j) +24 \\ overline (k) \u003d (0,0,24) $
Otuda
$ S \u003d | \\ Overline (α) x \\ overline (β) | \u003d \\ sqrt (0 + 0 + 24 ^ 2) \u003d 24 $
Vektorska umjetnost - Ovo je pseudoktor, okomit, izgrađen na dva sumnje, što je rezultat binarnog rada "vektorskog umnožavanja" preko vektora u trodimenzionalnom euklidskom prostoru. Vektorski proizvod nema svojstva komutativnosti i asocijativnosti (je anti-komutativno) i za razliku od skalarnog proizvoda vektora, je vektor. Široko se koristi u mnogim tehničkim i fizičkim primjenama. Na primjer, trenutak impulsa i lorentz-a matematički zabilježeni u obliku vektorskog rada. Vektorski proizvod je koristan za "mjerenje" vektora - modul vektorskog proizvoda dva vektora jednak je proizvodu njihovih modula, ako su okomito, a smanjuje se na nulu ako su vektori paralelni ili antiparalel .
Vektorski proizvod možete odrediti na različite načine, a teoretski, u prostoru bilo koje dimenzije n, moguće je izračunati proizvod N-1 vektora, što je pribavio jedini vektor okomit na njih sve. Ali ako je rad ograničen na ne-trivijalne binarne radove sa vektorskim rezultatima, tada je tradicionalni vektorski proizvod definiran samo u trodimenzionalnim i sedmodimenzionalnim prostorima. Rezultat vektorskog proizvoda, kao skalarni, ovisi o metrici euklidskog prostora.
Za razliku od formule za izračunavanje prema koordinatorima vektora skalarnog proizvoda u trodimenzionalnom pravokutnom koordinatnom sustavu, formula za vektorski proizvod ovisi o orijentaciji pravokutnog koordinatnog sustava ili, u suprotnom, u suprotnom, u suprotnom, u suprotnom, u suprotnom, u suprotnom, u protivnom, na drugi način.
Definicija:
Vektorski proizvod A na vektoru B u prostoru R 3 naziva se vektor C, zadovoljavajući sljedeće zahtjeve:
Dužina vektora C jednaka je proizvodu dužina vektora A i B na sinu u kutu φ između njih:
| c | \u003d | A || B | SIN φ;
Vektor C je ortogonalni za svaki od vektora A i B;
Vektor C je usmjeren tako da je vrh abc vektora u pravu;
U slučaju prostora R7 potreban je suradništvo tri vektora A, B, C.
Oznaka:
c \u003d\u003d\u003d A × B
Sl. 1. Područje paralelograma jednak je vektorskom modulu proizvoda
Geometrijska svojstva vektorskog rada:
Potrebni i dovoljan uvjet za kolibranost dva ne-nulti vektora je jednakost nula njihove vektorske umjetnosti.
Modul vektorske umjetnosti jednak je kvadratu S. Paralelogram izgrađen na verzijama danim općem početku vektora sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: i b. (Vidi Sl. 1).
Ako a e. - Jedan vektor, ortogonalni vektori sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: i b. i izabran tako da trojka a, B, E - Tačno i S. - Područje paralelograma izgrađen na njima (dat općem startu), tada formula važi za vektorski proizvod:
\u003d S E.
Sl.2. Količina paralelepiperenog u korištenju vektora i skalarnog proizvoda vektora; Iskrivene linije prikazuju projekcije vektora C na × B i vektorima A na B × C, prvi korak je pronaći skalarni radovi.
Ako a c. - neki vektor, π
- bilo koji avion koji sadrži ovaj vektor, e. - Jedan vektor leži u avionu π
i ortogonalni k c, G.- Jedan vektor, ortogonalni avion π
i usmjeren tako da je vrh vektora eKG je u pravu, onda za bilo koji avion π
Vektor sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: Sajam formule:
\u003d PR E A | C | G
gde je PR-a projekcija vektora E na a
| C | vektorski modul sa
Kada koristite vektorski i skalarni radovi, možete izračunati jačinu paralelepiped, izgrađen na verzijama danim općim početkom verzija. a, B. i C.. Takav proizvod od tri vektora naziva se mješovitim.
V \u003d | a (b × c) |
Na slici pokazuje da se ovaj volumen može naći na dva načina: geometrijski rezultat sačuvan je čak i za zamjenu radova na mjestima "skalar" i "vektor" i "vektora" na mjestima:
V \u003d A × B C \u003d A B × C
Veličina vektorskog proizvoda ovisi o sinu ugao između originalnih vektora, tako da se vektorski proizvod može doživljavati kao stupanj "okomitost" vektora kao i skalarni proizvod "paralelizma" . Vektorski proizvod dva pojedinačna vektora je 1 (pojedinačni vektor), ako su originalni vektori okomići, a jednak 0 (nulti vektor), ako su vektori paralelni ili anti-paralelni.
Izraz za vektorski rad u kartezijskim koordinatama
Ako dva vektora sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: i b. Definirane njihovim pravokutnim kartonskim koordinatama, te tačnije - predstavljene u ortonormalnoj osnovi
a \u003d (A x, a y, a z)
b \u003d (B X, B Y, B Z)
a koordinatni sistem je pravo, tada njihova vektorska umjetnost ima izgled
\u003d (A y b z-z b y, a z b x-x b z, a x b y -a y b x)
Za pamćenje ove formule:
i \u003d σε ijk a j b k
Gde Ε IJK.- Simbol Levi-civita.
